Kahemõõtmelises ruumis ristuvad kaks sirget ainult ühes punktis, mis on antud koordinaatidega (x, y). Kuna mõlemad sirged läbivad oma lõikepunkti, peavad koordinaadid (x, y) vastama mõlemale neid sirgeid kirjeldavale võrrandile. Mõnede edasijõudnute oskustega saate leida paraboolide ja muude ruutkõverate lõikepunktid.

Sammud

Kahe sirge lõikepunkt

Kirjutage üles iga rea ​​võrrand, eraldades võrrandi vasakul küljel oleva muutuja "y". Võrrandi teised tingimused tuleks asetada parem pool võrrandid. Võib-olla sisaldab teile "y" asemel antud võrrand muutujat f (x) või g (x); sel juhul isoleerige selline muutuja. Muutuja eraldamiseks sooritage võrrandi mõlemal poolel sobivad matemaatilised toimingud.

• Kui teile teadaoleva teabe alusel sirgete võrrandeid pole antud.
• Näide. Antud sirged, mida kirjeldavad võrrandid ja y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12 = -2x). Teises võrrandis tähe "y" eraldamiseks lisage võrrandi mõlemale poolele arv 12:

1. Otsite mõlema sirge lõikepunkti, st punkti, mille (x, y) koordinaadid vastavad mõlemale võrrandile. Kuna muutuja "y" on iga võrrandi vasakul küljel, saab iga võrrandi paremal küljel olevaid avaldisi võrdsustada. Kirjutage üles uus võrrand.

   • Näide. Nagu y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) ja y = 12–2x (\displaystyle y=12-2x), siis saame kirjutada järgmise võrdsuse: .

2. Leidke muutuja "x" väärtus. Uus võrrand sisaldab ainult ühte muutujat "x". "x" leidmiseks eraldage see muutuja võrrandi vasakul küljel, tehes võrrandi mõlemal poolel vastava matemaatika. Peaksite saama võrrandi nagu x = __ (kui te seda teha ei saa, vaadake seda jaotist).

   • Näide. x + 3 = 12–2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Lisama 2x (\displaystyle 2x) võrrandi mõlemale küljele:
   • 3x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Lahutage võrrandi mõlemalt küljelt 3:
   • 3x=9 (\displaystyle 3x=9)
   • Jagage võrrandi mõlemad pooled 3-ga:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Kasutage muutuja "x" leitud väärtust muutuja "y" väärtuse arvutamiseks. Selleks asendage leitud väärtus "x" võrrandis (ükskõik milline) sirge.

   • Näide. x = 3 (\displaystyle x=3) ja y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y=6 (\displaystyle y=6)

4. Kontrolli vastust. Selleks asendage "x" väärtus mõne teise sirgjoone võrrandiga ja leidke "y" väärtus. Kui saate erinev tähendus"y", kontrollige oma arvutuste õigsust.

   • Näide: x = 3 (\displaystyle x=3) ja y = 12–2x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12–2 (3) (\displaystyle y=12-2 (3))
   • y = 12–6 (\displaystyle y=12-6)
   • y=6 (\displaystyle y=6)
   • Teil on sama "y" väärtus, seega pole teie arvutustes vigu.

5. Kirjuta üles koordinaadid (x, y). Arvutades "x" ja "y" väärtusi, olete leidnud kahe sirge lõikepunkti koordinaadid. Kirjutage lõikepunkti koordinaadid kujul (x, y).

   • Näide. x = 3 (\displaystyle x=3) ja y=6 (\displaystyle y=6)
   • Seega ristuvad kaks sirget punktis, mille koordinaadid (3,6).

6. Arvutused erijuhtudel. Mõnel juhul ei leita muutuja "x" väärtust. Kuid see ei tähenda, et oleksite teinud vea. Erijuhtum tekib siis, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:

   • Kui kaks sirget on paralleelsed, siis nad ei ristu. Sel juhul muutujat "x" lihtsalt vähendatakse ja teie võrrand muutub mõttetuks võrduseks (näiteks 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). Sel juhul kirjuta oma vastusesse, et sirged ei ristu või lahendus puudub.
   • Kui mõlemad võrrandid kirjeldavad ühte sirget, siis on ristumispunkte lõpmatu arv. Sel juhul muutujat "x" lihtsalt vähendatakse ja teie võrrand muutub rangeks võrdsuseks (näiteks 3 = 3 (\displaystyle 3 = 3)). Sel juhul kirjutage vastusesse, et need kaks rida langevad kokku.

   Probleemid ruutfunktsioonidega

   1. Ruutfunktsiooni definitsioon. Ruutfunktsioonis on ühel või mitmel muutujal teine ​​aste (kuid mitte kõrgem), näiteks x 2 (\displaystyle x^(2)) või y 2 (\displaystyle y^(2)). Ruutfunktsioonide graafikud on kõverad, mis ei tohi ristuda või ristuda ühes või kahes punktis. Selles jaotises räägime teile, kuidas leida ruutkõverate lõikepunkti või -punkte.

   2. Kirjutage iga võrrand ümber, eraldades võrrandi vasakul küljel oleva muutuja "y". Teised võrrandi liikmed tuleks asetada võrrandi paremale küljele.

      • Näide. Leidke graafikute lõikepunkt(id). x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) ja
      • Eraldage võrrandi vasakul küljel muutuja "y":
      • ja y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • Selles näites on teile antud üks ruutfunktsioon ja üks lineaarfunktsioon. Pidage meeles, et kui teile antakse kaks ruutfunktsioonid, on arvutused sarnased allolevatele etappidele.

   3. Võrdsusta iga võrrandi paremal küljel olevad avaldised. Kuna muutuja "y" on iga võrrandi vasakul küljel, saab iga võrrandi paremal küljel olevaid avaldisi võrdsustada.

      • Näide. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) ja y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Viige saadud võrrandi kõik liikmed selle vasakule küljele ja kirjutage paremale küljele 0. Selleks tehke põhilised matemaatilised tehted. See võimaldab teil saadud võrrandi lahendada.

      • Näide. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Lahutage võrrandi mõlemast küljest "x":
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Lahutage võrrandi mõlemast küljest 7:

   5. Lahenda ruutvõrrand. Kui kannate kõik võrrandi liikmed selle vasakule küljele, saate ruutvõrrandi. Seda saab lahendada kolmel viisil: kasutades spetsiaalset valemit ja.

      • Näide. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Võrrandi faktoriseerimisel saad kaks binoomväärtust, mille korrutamisel saadakse algne võrrand. Meie näites esimene liige x 2 (\displaystyle x^(2)) saab lagundada x*x-ks. Sisestage järgmine kirje: (x) (x) = 0
      • Meie näites saab lõikepunkti -6 arvestada järgmiselt: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • Meie näites on teine ​​liige x (või 1x). Lisage iga lõiketegurite paar (meie näites -6), kuni saate 1. Meie näites on õige lõiketegurite paar -2 ja 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), nagu − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Täida lüngad leitud numbripaariga: .

   6. Ärge unustage kahe graafiku teist lõikepunkti. Kui lahendate probleemi kiiresti ja mitte eriti hoolikalt, võite teise ristumispunkti unustada. Kahe ristumispunkti "x" koordinaadid leiate järgmiselt.

      • Näide (faktoring). Kui võrrandis (x - 2) (x + 3) = 0 (\kuvastiil (x-2) (x+3) = 0)üks sulgudes olevatest avaldistest on võrdne 0-ga, siis võrdub kogu võrrand 0-ga. Seetõttu võime selle kirjutada järgmiselt: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) ja x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (see tähendab, et leidsite võrrandi kaks juurt).
      • Näide (kasutage valemit või täielikku ruutu). Kui kasutate ühte neist meetoditest, kuvatakse lahendus Ruutjuur. Näiteks meie näite võrrand saab sellise kuju x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Pidage meeles, et ruutjuure võtmisel saate kaks lahendust. Meie puhul: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt(25)) = 5*5), ja 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Seega kirjutage üles kaks võrrandit ja leidke kaks x väärtust.

   7. Graafikud lõikuvad ühes punktis või ei ristu üldse. Sellised olukorrad tekivad, kui on täidetud järgmised tingimused:

      • Kui graafikud ristuvad ühes punktis, jagatakse ruutvõrrand võrdseteks teguriteks, näiteks (x-1) (x-1) = 0 ja ruutjuur 0-st ilmub valemis ( 0 (\displaystyle (\sqrt(0)))). Sel juhul on võrrandil ainult üks lahend.
      • Kui graafikud üldse ei ristu, siis võrrand ei faktoriseerita ja valemis ilmub negatiivse arvu ruutjuur (näiteks − 2 (\displaystyle (\sqrt(-2)))). Sel juhul kirjuta vastusesse, et lahendust pole.

X-telje lõikepunktid peavad lahendama võrrandi y₁=y2, st k₁x+b₁=k₂x+b2.

Teisenda see võrratus, et saada k₁x-k₂x=b2-b1. Nüüd väljendage x: x=(b2-b1)/(k1-k2). Nii leiate graafikute lõikepunkti, mis asub piki OX-telge. Leia y-teljel lõikepunkt. Lihtsalt asendage mis tahes funktsioonis x väärtus, mille leidsite varem.

Eelmine valik sobib diagrammide jaoks. Kui funktsioon on , järgige järgmisi juhiseid. Samamoodi nagu lineaarfunktsiooni puhul, leidke x väärtus. Selleks lahendage ruutvõrrand. Võrrandist 2x² + 2x - 4=0 leia (võrrand on toodud näitena). Selleks kasutage valemit: D= b² - 4ac, kus b on väärtus enne X ja c on arvväärtus.

Arvväärtuste asendamisel saadakse avaldis nagu D= 4 + 4*4= 4+16= 20. Võrrandid sõltuvad diskriminandi väärtusest. Nüüd lisage või lahutage (kordatult) saadud diskriminandi juur muutuja b väärtusele "-" märgiga ja jagage koefitsiendi a kahekordse korrutisega. Nii leiate võrrandi juured, st ristumispunktide koordinaadid.

Funktsioonigraafikutel on funktsioon: OX-telg lõikub kaks korda, see tähendab, et leiate x-telje kaks koordinaati. Kui saate perioodilise X versus Y väärtuse, siis teadke, et graafik lõikub lõpmatu arvu punktidega x-teljega. Kontrollige, kas olete ristumispunktid leidnud. Selleks asendage X väärtused võrrandiga f(x)=0.

Allikad:

• Sirgete lõikepunktide leidmine

Kui tead a väärtust, siis võid öelda, et oled ruutvõrrandi lahendanud, sest selle juured leitakse väga lihtsalt.

Sa vajad

• -ruutvõrrandi diskriminandi valem;
• -Korrutustabeli tundmine

Juhend

Seotud videod

Abistavad nõuanded

Ruutvõrrandi diskriminant võib olla positiivne, negatiivne või võrdne 0-ga.

Allikad:

• Otsus ruutvõrrandid
• diskrimineeriv on ühtlane

Vihje 3: kuidas leida funktsioonigraafiku lõikepunktide koordinaate

Funktsiooni y \u003d f (x) graafik on kõigi tasapinna punktide kogum, koordinaadid x, mille puhul need vastavad seosele y \u003d f (x). Funktsioonigraafik illustreerib visuaalselt funktsiooni käitumist ja omadusi. Graafiku koostamiseks valitakse tavaliselt mitu argumendi x väärtust ja arvutatakse nende jaoks funktsiooni y=f(x) vastavad väärtused. Graafiku täpsemaks ja visuaalsemaks koostamiseks on kasulik leida selle lõikepunktid koordinaatide telgedega.

Juhend

X-telje (X-telje) ületamisel on funktsiooni väärtus 0, s.o. y=f(x)=0. x arvutamiseks tuleb lahendada võrrand f(x)=0. Funktsiooni puhul saame võrrandi ax+b=0 ja leiame x=-b/a.

Seega lõikub X-telg punktis (-b/a,0).

Keerulisematel juhtudel, näiteks y ruutsõltuvuse korral x-st, on võrrandil f (x) \u003d 0 kaks juurt, seetõttu lõikub x-telg kaks korda. y sõltuvuse korral x-st, näiteks y=sin(x), on lõpmatu arv lõikepunkte x-teljega.

Funktsiooni graafiku ja X-telje lõikepunktide koordinaatide leidmise õigsuse kontrollimiseks on vaja asendada leitud väärtused x f (x). Mis tahes arvutatud x-i avaldise väärtus peab olema võrdne 0-ga.

Juhend

Esiteks on vaja arutada ülesande lahendamiseks sobiva koordinaatsüsteemi valikut. Tavaliselt asetatakse seda tüüpi ülesannete puhul üks kolmnurkadest 0X teljele nii, et üks punkt langeb kokku lähtepunktiga. Seetõttu ei tohiks te kalduda kõrvale üldtunnustatud otsuse kaanonitest ja teha sama (vt joonis 1). Kolmnurga määramise meetod ise ei mängi põhirolli, kuna saate alati liikuda ühelt neist (mida näete hiljem).

Olgu soovitud kolmnurk antud selle külgede AC ja AB kahe vektoriga vastavalt a(x1, y1) ja b(x2, y2). Veelgi enam, konstruktsiooni järgi y1=0. BC kolmas külg vastab selle joonise kohaselt c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2). Punkt A asetatakse koordinaatide alguspunkti, see tähendab selle koordinaadid A(0, 0). Seda on ka lihtne näha koordinaadid B (x2, y2), a C (x1, 0). Sellest võime järeldada, et kolmnurga määratlus kahe vektori järgi langes automaatselt kokku selle definitsiooniga kolme punkti võrra.

Järgmisena peaksite lõpetama soovitud kolmnurga selle suurusele vastava rööpküliku ABDC. Pealegi, et hetkel ristmikud rööpküliku diagonaalid, on need jagatud nii, et AQ on kolmnurga ABC mediaan, laskub punktist A küljele BC. Diagonaalvektor s sisaldab seda ja on rööpkülikureegli järgi a ja b geomeetriline summa. Siis s = a + b ja selle koordinaadid s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Sama koordinaadid on samuti punktis D(x1+x2, y2).

Nüüd saate jätkata sirgjoone võrrandi koostamist, mis sisaldab s-i, mediaani AQ ja mis kõige tähtsam, soovitud punkti ristmikud mediaan H. Kuna vektor s ise on selle sirge juhis ja teada on ka tema juurde kuuluv punkt A (0, 0), siis kõige lihtsam on kasutada tasapinnalise sirge võrrandit kanoonilisel kujul: (x -x0) / m =(y-y0)/n. Siin (x0, y0) koordinaadid sirge suvaline punkt (punkt А(0, 0)) ja (m, n) – koordinaadid s (vektor (x1+x2, y2). Nii näeb soovitud rida l1 välja selline: x/(x1+x2)=y/ y2.

Selle leidmise viis on ristmik. Seetõttu tuleks leida veel üks sirgjoon, mis sisaldab nn. 1 teise rööpküliku АPBC konstruktsioon, mille diagonaal g=a+c =g(2x1-x2, -y2) sisaldab teist mediaani CW, langetatud C-st küljele AB. See diagonaal sisaldab punkti C(x1, 0), koordinaadid mis mängib rolli (x0, y0) ja suunavektor on siin g(m, n)=g(2x1-x2, -y2). Siit l2 saadakse võrrandiga: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).

1. Funktsioonide graafikute lõikepunkti koordinaatide leidmiseks tuleb mõlemad funktsioonid üksteisega võrdsustada, üle kanda vasak pool kõik liikmed, mis sisaldavad $ x $, ja ülejäänutest paremal ning leidke saadud võrrandi juured.
2. Teine võimalus on koostada võrrandisüsteem ja lahendada see, asendades ühe funktsiooni teisega
3. Kolmas meetod hõlmab funktsioonide graafilist konstrueerimist ja visuaalne määratlus ristumispunktid.

Kahe lineaarfunktsiooni juhtum

Vaatleme kahte lineaarfunktsiooni $ f(x) = k_1 x+m_1 $ ja $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Neid funktsioone nimetatakse otsesteks. Nende loomine on piisavalt lihtne, peate lihtsalt võtma kaks väärtust $x_1$ ja $x_2$ ning leidma $f(x_1)$ ja $(x_2)$. Seejärel korrake sama funktsiooniga $ g(x) $. Järgmiseks leidke visuaalselt funktsioonigraafikute lõikepunkti koordinaat.

Peaksite teadma, et lineaarfunktsioonidel on ainult üks lõikepunkt ja ainult siis, kui $ k_1 \neq k_2 $. Vastasel juhul on $ k_1=k_2 $ korral funktsioonid üksteisega paralleelsed, kuna $ k $ on kaldetegur. Kui $ k_1 \neq k_2 $, aga $ m_1=m_2 $, siis on lõikepunktiks $ M(0;m) $. Kiirendatud probleemide lahendamiseks on soovitav seda reeglit meeles pidada.

Kahe mittelineaarse funktsiooni juhtum

Olgu antud kaks sirget ja tuleb leida nende lõikepunkt. Kuna see punkt kuulub mõlemale antud sirgele, peavad selle koordinaadid vastama nii esimese kui ka teise sirge võrrandile.

Seega tuleks kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmiseks lahendada võrrandisüsteem

Näide 1. Leia sirgete lõikepunkt ja

Otsus. Leiame võrrandisüsteemi lahendamisel soovitud lõikepunkti koordinaadid

Lõikepunktil M on koordinaadid

Näitame, kuidas selle võrrandist sirgjoont konstrueerida. Joone tõmbamiseks piisab selle kahe punkti teadmisest. Iga punkti joonistamiseks anname ühele selle koordinaadile suvalise väärtuse ja seejärel leiame võrrandist teise koordinaadi vastava väärtuse.

Kui sirge üldvõrrandis ei ole mõlemad koefitsiendid praegustel koordinaatidel võrdsed nulliga, siis selle sirge konstrueerimiseks on kõige parem leida selle lõikepunktid koordinaatide telgedega.

Näide 2. Koostage sirgjoon.

Otsus. Leidke selle sirge lõikepunkt x-teljega. Selleks lahendame koos nende võrrandid:

ja saame. Nii leiti selle sirge ja abstsisstelje lõikepunkti punkt M (3; 0) (joon. 40).

Seejärel lahendades ühiselt antud sirge võrrandi ja y-telje võrrandi

leiame sirge lõikepunkti y-teljega. Lõpuks konstrueerime sirge selle kahest punktist M ja

Mõne geomeetriaülesande lahendamisel koordinaatmeetodil on vaja leida sirgete lõikepunkti koordinaadid. Enamasti tuleb tasapinnal otsida kahe sirge lõikepunkti koordinaate, kuid mõnikord tuleb määrata ka kahe ruumilise sirge lõikepunkti koordinaadid. Selles artiklis käsitleme kahe sirge ristumispunkti koordinaatide leidmist.

Leheküljel navigeerimine.

Kahe sirge lõikepunkt on definitsioon.

Esmalt määratleme kahe sirge lõikepunkti.

Seega on üldvõrranditega tasapinnal määratletud kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmiseks vaja lahendada antud sirgete võrranditest koosnev süsteem.

Vaatleme näidislahendust.

Näide.

Leidke ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis tasapinnas võrranditega x-9y+14=0 ja 5x-2y-16=0 defineeritud kahe sirge lõikepunkt.

Otsus.

Meile on antud kaks üldist sirge võrrandit, millest me koostame süsteemi: . Saadud võrrandisüsteemi lahendid on kergesti leitavad, kui selle esimene võrrand on lahendatud muutuja x suhtes ja see avaldis asendatakse teise võrrandiga:

Võrrandisüsteemi leitud lahendus annab meile kahe sirge lõikepunkti soovitud koordinaadid.

Vastus:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 ja 5x-2y-16=0.

Niisiis, kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmine, mis on määratletud tasapinna üldvõrranditega, taandatakse kahe süsteemi lahendamiseks. lineaarvõrrandid kahe tundmatu muutujaga. Aga mis siis, kui tasapinnal olevad sirged on antud mitte üldvõrranditega, vaid erinevat tüüpi võrranditega (vt tasapinna sirgjoone võrrandi tüüpe)? Sellistel juhtudel saate kõigepealt viia sirge võrrandid üldkujule ja alles pärast seda leida lõikepunkti koordinaadid.

Näide.

ja .

Otsus.

Enne antud sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmist viime nende võrrandid üldkujule. Üleminek parameetrilistest võrranditest sirgele selle sirgjoone üldvõrrandile näeb välja selline järgmisel viisil:

Nüüd viime läbi vajalikud toimingud sirge kanoonilise võrrandiga:

Seega on sirgete lõikepunkti soovitud koordinaadid vormi võrrandisüsteemi lahendiks . Selle lahendamiseks kasutame:

Vastus:

M 0 (-5, 1)

On veel üks võimalus leida tasapinnal kahe sirge lõikepunkti koordinaadid. Seda on mugav kasutada siis, kui üks ridadest on antud vormi parameetriliste võrranditega , ja teine ​​- erineva kujuga sirgjoone võrrand. Sel juhul saab muutujate x ja y asemel asendada avaldised mõnes teises võrrandis ja , millest on võimalik saada väärtus, mis vastab antud sirgete lõikepunktile. Sel juhul on joonte lõikepunktil koordinaadid .

Leiame sel viisil eelmisest näitest sirgete lõikepunkti koordinaadid.

Näide.

Määrake sirgete lõikepunkti koordinaadid ja .

Otsus.

Asendage otseavaldise võrrandis:

Lahendades saadud võrrandi, saame . See väärtus vastab joonte ühisele punktile ja . Arvutame lõikepunkti koordinaadid, asendades sirge parameetriliste võrranditega:
.

Vastus:

M 0 (-5, 1).

Pildi täiendamiseks tuleks arutada veel ühte punkti.

Enne kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmist tasapinnal on kasulik veenduda, et antud sirged tõesti lõikuvad. Kui selgub, et algsed sirged langevad kokku või on paralleelsed, siis selliste sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmisest ei saa juttugi olla.

Muidugi saate ilma sellise kontrollita hakkama ja koostada kohe vormi võrrandisüsteemi ja lahenda see. Kui võrrandisüsteemil on kordumatu lahend, siis annab see algsirgete ristumispunkti koordinaadid. Kui võrrandisüsteemil pole lahendeid, siis võime järeldada, et algsed sirged on paralleelsed (kuna ei ole olemas sellist reaalarvude x ja y paari, mis rahuldaks üheaegselt antud sirgete mõlemat võrrandit). Võrrandisüsteemi lõpmatu hulga lahendite olemasolust järeldub, et algsel sirgel on lõpmatult palju ühiseid punkte, see tähendab, et need langevad kokku.

Vaatame näiteid, mis nende olukordadega sobivad.

Näide.

Uurige, kas sirged ja lõikuvad ning kui ristuvad, siis leidke lõikepunkti koordinaadid.

Otsus.

antud võrrandid jooned vastavad võrranditele ja . Lahendame nendest võrranditest koosneva süsteemi .

Ilmselt väljendatakse süsteemi võrrandeid üksteise kaudu lineaarselt (süsteemi teine ​​võrrand saadakse esimesest, korrutades selle mõlemad osad 4-ga), seetõttu on võrrandisüsteemil lõpmatu arv lahendeid. Seega defineerivad võrrandid ja sama sirge ning nende sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmisest rääkida ei saa.

Vastus:

Võrrandid ja määravad sama sirge ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy, seega ei saa rääkida ristumispunkti koordinaatide leidmisest.

Näide.

Leidke sirgete lõikepunkti koordinaadid ja , kui võimalik.

Otsus.

Probleemi seisukord tunnistab, et jooned ei pruugi ristuda. Koostame nendest võrranditest süsteemi. Kohaldatav selle lahenduse jaoks, kuna see võimaldab teil tuvastada võrrandisüsteemi ühilduvuse või ebakõla ja kui see on ühilduv, siis leida lahendus:

Süsteemi viimane võrrand pärast Gaussi meetodi otsest kulgu muutus valeks võrrandiks, seetõttu pole võrrandisüsteemil lahendeid. Sellest võime järeldada, et algsed sirged on paralleelsed ja nende sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmisest ei saa rääkida.

Teine lahendus.

Uurime, kas antud sirged ristuvad.

- tavaline joonvektor , ja vektor on sirge normaalne vektor . Kontrollime täitmist ja : võrdsus on tõsi, kuna seega on antud joonte normaalvektorid kollineaarsed. Siis on need jooned paralleelsed või langevad kokku. Seega ei leia me algsirgete lõikepunkti koordinaate.

Vastus:

Antud sirgete lõikepunkti koordinaate on võimatu leida, kuna need sirged on paralleelsed.

Näide.

Leia sirgete 2x-1=0 lõikepunkti koordinaadid ja kui need ristuvad.

Otsus.

Koostame võrrandisüsteemi, mis on antud sirgete üldvõrrandid: . Selle võrrandisüsteemi põhimaatriksi determinant erineb nullist , seega on võrrandisüsteemil unikaalne lahendus, mis näitab etteantud sirgete lõikepunkti.

Sirgede lõikepunkti koordinaatide leidmiseks peame lahendama süsteemi:

Saadud lahendus annab meile sirgete lõikepunkti koordinaadid, st 2x-1 = 0 ja .

Vastus:

Kahe sirge ruumis lõikepunkti koordinaatide leidmine.

Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid sisse kolmemõõtmeline ruum asuvad sarnaselt.

Vaatleme näiteid.

Näide.

Leia võrranditega ruumis antud kahe sirge lõikepunkti koordinaadid ja .

Otsus.

Koostame antud sirgete võrranditest võrrandisüsteemi: . Selle süsteemi lahendus annab meile ruumis olevate sirgete lõikepunkti soovitud koordinaadid. Leiame kirjaliku võrrandisüsteemi lahenduse.

Süsteemi põhimaatriksil on vorm , ja laiendatud .

Teeme kindlaks A ja maatriksi auaste T . Me kasutame