Esmapilgul võib tunduda, et ruutjuure faktoritesse arvestamise protseduur on keeruline ja immutamatu. Aga ei ole. Selles artiklis näitame teile, kuidas läheneda ruutjuurele ja teguritele ning kuidas ruutjuurt lihtsalt ja lihtsalt laiendada, kasutades kahte tõestatud meetodit.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Juure faktoriseerimine

Alustuseks määratleme ruutjuure faktoritesse arvestamise protseduuri eesmärgi. Sihtmärk- lihtsustage ruutjuurt ja kirjutage see arvutuste jaoks mugavas vormis.

Definitsioon 1

Ruutjuure lagundamine teguriteks – kahe või enama arvu leidmine, mis omavahel korrutades annavad algse arvuga võrdse arvu. Näiteks: 4 × 4 = 16.

Kui leiate tegurid, saate ruutjuure avaldist hõlpsasti lihtsustada või kõrvaldada:

Näide 1

Jagage juurarv 2-ga, kui see on paaris.

Juurarv tuleks alati jagada algarvudega, kuna algarvude mis tahes väärtusi saab arvesse võtta algteguriteks. Kui teil on paaritu arv, siis proovige see jagada 3-ga. Ei jagu 3-ga? Jagage veel 5, 7, 9 jne.

Kirjutage avaldis kahe arvu korrutise juurena.

Näiteks saate 98 lihtsustada järgmiselt: = 98 ÷ 2 = 49 . Sellest järeldub, et 2 × 49 = 98 , nii et saame ülesande ümber kirjutada järgmisel viisil: 98 = (2 × 49) .

Jätkake arvude laiendamist, kuni kahe identse arvu ja teiste arvude korrutis jääb juure alla.

Võtame meie näite (2 × 49):

Kuna 2 on juba maksimaalselt lihtsustatud, peame lihtsustama 49 . Otsime algarvu, millega saab 49 jagada. Ilmselgelt ei sobi ei 3 ega 5. Järele jääb 7: 49 ÷ 7 = 7, seega 7 × 7 = 49 .

Kirjutame näite järgmisel kujul: (2 × 49) = (2 × 7 × 7) .

Ruutjuure avaldise lihtsustamine.

Kuna sulgudes on meil 2 ja kahe identse arvu (7) korrutis, siis saame arvu 7 juuremärgist välja võtta.

Näide 2

(2 × 7 × 7) = (2) × (7 × 7) = (2) × 7 = 7 (2) .

Kui juure all on kaks identset numbrit, lõpetage arvude faktooreerimine. Seda muidugi juhul, kui oled kõik võimalused maksimaalselt ära kasutanud.

Pidage meeles: on juuri, mida saab mitu korda lihtsustada.

Sel juhul korrutatakse need arvud, mis me juure alt välja võtame, ja numbrid, mis on selle ees.

Näide 3

180 = (2 × 90) 180 = (2 × 2 × 45) 180 = 2 × 45

kuid 45 saab arvesse võtta ja juurt veel kord lihtsustada.

180 = 2 (3 × 15) 180 = 2 (3 × 3 × 5) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5

Kui juuremärgi alla pole võimalik saada kahte identset arvu, tähendab see, et sellist juurt ei saa lihtsustada.

Kui pärast lagunemist radikaalne väljendus algarvude korrutisele ei saanud kahte identset arvu, siis ei saa sellist juurt lihtsustada.

Näide 4

70 = 35 × 2, seega 70 = (35 × 2)

35 = 7 x 5 seega (35 x 2) = (7 x 5 x 2)

Nagu näete, on kõik kolm tegurit algarvud, mida ei saa faktoriseerida. Nende hulgas pole identseid numbreid, seega pole võimalik täisarvu juure alt välja võtta. Lihtsustama 70 see on keelatud.

täisruut

Jäta mõned algarvude ruudud meelde.

Arvu ruut saadakse selle endaga korrutamisel, s.o. ruudustamisel. Kui jätate meelde kümmekond algarvu ruutu, lihtsustab see oluliselt teie elu juurte edasisel lihtsustamisel.

Näide 5

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100

Kui ruutjuure märgi all on täisruut, siis tasub juurmärk eemaldada ja selle täisruudu ruutjuur üles kirjutada.

Keeruline? Mitte:

Näide 6

1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10

Proovige juuremärgi all olev arv lagundada täisruudu ja teise arvu korrutiseks.

Kui näete, et juuravaldis on jaotatud täisruudu ja mis tahes arvu korrutiseks, siis mõne näite meeldejätmisega säästate oluliselt aega ja närve:

Näide 7

50 = (25 × 2) = 5 2 . Kui juurarv lõpeb 25, 50 või 75-ga, saate selle alati arvestada 25 ja mõne muu arvu korrutisega.

1700 \u003d (100 × 17) \u003d 10 17. Kui juurarv lõpeb 00-ga, saate selle alati lagundada 100 ja mõne arvu korrutiseks.

72 = (9 × 8) = 38. Kui juurarvu numbrite summa on 9, saate selle alati lagundada 9 ja mõne arvu korrutiseks.

Proovige juurarv lagundada mitme täisruudu korrutiseks: võtke need juuremärgi alt välja ja korrutage.

Näide 8

72 = (9 × 8) 72 = (9 × 4 × 2) 72 = 9 × 4 × 2 72 = 3 × 2 × 2 72 = 6 2

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Ruutjuure lihtsustamise eesmärk on see ümber kirjutada kujul, mida on lihtsam arvutustes kasutada. Arvu faktoriseerimine on kahe või enama arvu leidmine, mille korrutamisel saadakse algne arv, näiteks 3 x 3 = 9. Tegureid leides saab ruutjuurt lihtsustada või sellest üldse lahti saada. Näiteks √9 = √(3x3) = 3.

Kui juurarv on paaris, jagage see 2-ga. Kui juurarv on paaritu, proovige see jagada 3-ga (kui arv ei jagu 3-ga, jagage see algarvude loendis 5, 7 ja nii edasi). Jagage radikaalarv eranditult algarvudega, kuna iga arvu saab algteguriteks lagundada. Näiteks ei pea te juurarvu 4-ga jagama, kuna 4 jagub 2-ga ja olete juba jaganud juurarvu 2-ga.

Kirjutage ülesanne ümber kahe arvu korrutise juurena. Näiteks lihtsustame √98: 98 ÷ 2 = 49, seega 98 = 2 x 49. Kirjutage ülesanne ümber järgmiselt: √98 = √(2 x 49).

Radikaalne avaldis on algebraline avaldis, mis asub juurmärgi all (ruut, kuup või kõrgem). Mõnikord võivad erinevate väljendite tähendused olla samad, näiteks 1/(√2 - 1) = √2 + 1. Radikaalse avaldise lihtsustamisega tahetakse see viia mõne kanoonilise tähistuseni. Kui kaks kanoonilisel kujul kirjutatud avaldist on endiselt erinevad, ei ole nende väärtused võrdsed. Matemaatikas arvatakse, et kanooniline vorm radikaalsete avaldiste (nagu ka juurtega avaldiste) kirjutamine järgib järgmisi reegleid:

• Võimalusel vabaneda juuremärgi all olevast murdosast
• Vabanege avaldisest murdosaastendajaga
• Võimalusel vabanege nimetaja juurtest
• Vabanege juurtest juurteni korrutamise operatsioonist
• Juuremärgi alla peate jätma ainult need liikmed, millest pole võimalik täisarvu juurt eraldada

Neid reegleid saab rakendada testüksuste täitmisel. Näiteks kui lahendasite ülesande, kuid tulemus ei vasta ühelegi antud vastusele, kirjutage tulemus kanoonilises vormis. Pidage meeles, et testiüksuste vastused on antud kanoonilisel kujul, nii et kui kirjutate tulemuse samal kujul, saate hõlpsalt õige vastuse kindlaks teha. Kui ülesanne nõuab "lihtsusta vastust" või "lihtsusta radikaalseid väljendeid", tuleb tulemus kirjutada kanoonilises vormis. Veelgi enam, kanooniline vorm lihtsustab võrrandite lahendamist, kuigi mõnda võrrandit on lihtsam käsitleda, kui kanooniline tähistus mõneks ajaks unustada.

Sammud

Täisruutudest ja täiskuubikutest vabanemine

Murdastendajaga avaldisest vabanemine

Teisenda murdosa astendajaga avaldis radikaalavaldiseks. Või vajaduse korral teisendage juuravaldis murdosaliseks, kuid ärge kunagi segage selliseid avaldisi samasse võrrandisse, näiteks: √5 + 5^(3/2). Oletame, et otsustate töötada juurtega; n ruutjuur tähistatakse kui √n ja n kuupjuurt √n kuup.

Murdudest vabanemine juure märgi all

Kanoonilise tähise järgi tuleb murdosa juur esitada täisarvude juurte jaotusena.

Vaadake juuravaldist. Kui see on murdosa, minge järgmise sammu juurde.

Asendage murdosa juur kahe juure suhtega vastavalt järgmisele identiteedile:√(a/b) = √a/√b.

• Ärge kasutage seda identiteeti, kui nimetaja on negatiivne või sisaldab muutujat, mis võib olla negatiivne. Sel juhul lihtsustage kõigepealt murdosa.

1. Lihtsusta täisruutusid (kui neid on). Näiteks √(5/4) = √5/√4 = (√5)/2.

Juurkorrutamise operatsioonist vabanemine

Vabanemine teguritest, mis on täiuslikud ruudud

Teguriseeri juurarv. Tegurid on mõned arvud, mille korrutamisel saadakse algne arv. Näiteks 5 ja 4 on arvu 20 kaks tegurit. Kui te ei saa radikaalarvust täisarvu juurt eraldada, jagage see arv võimalikeks teguriteks ja leidke nende hulgast täiuslik ruut.

• Näiteks kirjutage üles kõik tegurid 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 on koefitsient 45 (9 x 5 = 45) ja täiuslik ruut (9 = 3^2).

1. Võtke välja kordaja, mis on täiuslik ruut väljaspool juurmärki. 9 on täiuslik ruut, sest 3 x 3 = 9. Vabane juuremärgi all olevast 9-st ja kirjuta juuremärgi ette 3; Juuremärgi alla jääb 5. Kui sisestate juuremärgi alla arvu 3, korrutatakse see iseendaga ja arvuga 5, see tähendab 3 x 3 x 5 \u003d 9 x 5 \u003d 45. 3 √ 5 on √45 kirjutamise lihtsustatud vorm.

   • √45 = √(9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

2. Leia muutujaga radikaalavaldis täisruut. Pidage meeles: √(a^2) = |a|. Sellist avaldist saab lihtsustada tähega "a", kuid ainult siis, kui muutuja võtab positiivsed väärtused. √(a^3) saab lagundada √a * √(a^2), sest samade muutujate korrutamisel liidetakse nende eksponendid (a * a^2 = a^3).

   • Seega on avaldises a^3 a^2 täiuslik ruut.

3. Võtke välja juurmärk muutuja jaoks, mis on täiuslik ruut. Vabanege juurmärgi all olevast a^2-st ja kirjutage juurmärgi ette "a". Seega √(a^3) = a√a.

   Sisestage sarnased terminid ja lihtsustage kõiki ratsionaalseid väljendeid.

Nimetaja juurtest vabanemine (nimetaja ratsionaliseerimine)

1. Kanoonilise vormi järgi peaks nimetaja võimalusel sisaldama ainult täisarve (või muutuja olemasolul polünoomi).

   • Kui nimetaja on juuremärgi all olev monoom, näiteks [lugeja]/√5, korrutage lugeja ja nimetaja selle juurega: ([lugeja] * √5)/(√5 * √5) = ([lugeja] * √5 )/5.
     • Millal kuupjuur või suurem juur, korrutage lugeja ja nimetaja radikaaljuurega nimetaja ratsionaliseerimiseks sobiva astmega. Kui nimetaja on näiteks kuup √5, korrutage lugeja ja nimetaja kuubikuga √(5^2).
   • Kui nimetaja on summa või erinevuse avaldis ruutjuured, näiteks √2 + √6, korrutage lugeja ja nimetaja konjugaatavaldisega, st avaldisega, mille liikmete vahel on vastupidine märk. Näiteks: [lugeja]/(√2 + √6) = ([lugeja] * (√2 - √6))/((√2 + √6) * (√2 - √6)). Seejärel kasutage nimetaja ratsionaliseerimiseks ruutude erinevuse valemit ((a + b)(a - b) = a^2 - b^2): (√2 + √6)(√2 - √6) = (√2 )^2 - (√6)^2 = 2 - 6 = -4.
     • Ruudude erinevuse valemit saab rakendada ka avaldisele nagu 5 + √3, kuna iga täisarv on teise täisarvu ruutjuur. Näiteks: 1/(5 + √3) = (5 - √3)/((5 + √3)(5 - √3)) = (5 - √3)/(5^2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3)/(25 - 3) = (5 - √3)/22
     • Seda meetodit saab rakendada ruutjuurte summale, näiteks √5 - √6 + √7. Kui rühmitate selle avaldise kujul (√5 - √6) + √7 ja korrutate selle arvuga (√5 - √6) - √7, siis te ei vabane juurtest, vaid saate vormi avaldise a + b * √30, kus " a" ja "b" on monoomid, millel puudub juur. Seejärel saab saadud avaldise korrutada konjugaadiga: (a + b * √30) (a - b * √30), et juurtest lahti saada. See tähendab, et kui konjugeeritud avaldist saab kasutada üks kord, et vabaneda teatud arvust juurtest, siis saab seda kasutada suvaline arv kordi kõigist juurtest vabanemiseks.
     • Seda meetodit saab kasutada ka juurte puhul kõrged kraadid, näiteks väljendile "4. juur 3-st pluss 7. juur 9-st". Sel juhul korrutage lugeja ja nimetaja nimetajas oleva avaldise konjugaadiga. Kuid siin on kõrvalavaldis ülalkirjeldatust veidi erinev. Selle juhtumi kohta saate lugeda algebra õpikutest.
2. Mõne lihtsa probleemi puhul ei saa kirjeldatud meetodeid rakendada. Mõnede keerukate ülesannete puhul tuleb neid meetodeid rakendada rohkem kui üks kord. Lihtsustage saadud väljendeid samm-sammult ja seejärel kontrollige, kas lõplik vastus on kirjutatud kanoonilises vormis, mille kriteeriumid on toodud selle artikli alguses. Kui vastus esitatakse kanoonilises vormis, on probleem lahendatud; vastasel juhul kasutage uuesti üht kirjeldatud meetoditest.
3. Kanooniline tähistus laieneb reeglina kompleksarvudele (i = √(-1)). Isegi kui kompleksarv on kirjutatud i-na, mitte juurena, on parem nimetajas i-st lahti saada.
4. Mõned siin kirjeldatud meetodid hõlmavad ruutjuurtega töötamist. Üldised põhimõtted on kuupjuurte või kõrgema astme juurte puhul samad, kuid mõnda meetodit (eelkõige nimetaja ratsionaliseerimise meetodit) on nende puhul üsna keeruline rakendada. Lisaks küsige õpetajalt juurte õiget kirjet (kuubik √4 või kuup √ (2 ^ 2)).
5. Selle artikli mõnes osas kasutatakse mõistet "kanooniline vorm" valesti; me peaksime tõesti rääkima tähistuse "tüüpvormist". Erinevus seisneb selles, et kanoonilise vormi puhul tuleb kirjutada kas 1 + √2 või √2 +1; standardvorm eeldab, et mõlemad avaldised (1 + √2 ja √2 + 1) on vaieldamatult võrdsed, isegi kui need on kirjutatud erinevalt. Siin peame "kahtlemata" all silmas aritmeetikat (liitmine on kommutatiivne), mitte algebralisi omadusi (√2 on x^2-2 mittenegatiivne juur).
6. Kui kirjeldatud meetodid tunduvad mitmetähenduslikud või on üksteisega vastuolus, sooritage järjekindlaid ja ühemõttelisi matemaatilisi tehteid ning kirjutage vastus üles nii, nagu õpetaja nõuab või õpikus tavaks.

Jätkame teema uurimist võrrandite lahendus". Lineaarvõrranditega oleme juba tutvunud ja nüüd läheme nendega tutvuma ruutvõrrandid.

Kõigepealt arutleme, mis on ruutvõrrand, kuidas seda üldkujul kirjutatakse ja anname sellega seotud definitsioonid. Pärast seda analüüsime näidete abil üksikasjalikult, kuidas lahendatakse mittetäielikud ruutvõrrandid. Liigume edasi lahenduse juurde. täielikud võrrandid, saame juurte valemi, tutvume ruutvõrrandi diskriminandiga ja vaatleme tüüpnäidete lahendusi. Lõpuks jälgime seoseid juurte ja koefitsientide vahel.

Leheküljel navigeerimine.

Mis on ruutvõrrand? Nende tüübid

Kõigepealt peate selgelt mõistma, mis on ruutvõrrand. Seetõttu on loogiline hakata ruutvõrranditest rääkima ruutvõrrandi definitsiooniga, aga ka sellega seotud definitsioonidest. Pärast seda võite kaaluda peamisi tüüpe ruutvõrrandid: taandatud ja taandamata, samuti täielikud ja mittetäielikud võrrandid.

Ruutvõrrandite definitsioon ja näited

Definitsioon.

Ruutvõrrand on vormi võrrand a x 2 +b x+c=0, kus x on muutuja, a , b ja c on mõned arvud ning a erineb nullist.

Ütleme kohe, et ruutvõrrandeid nimetatakse sageli teise astme võrranditeks. Seda seetõttu, et ruutvõrrand on algebraline võrrand teine ​​aste.

Helistatud definitsioon võimaldab tuua näiteid ruutvõrranditest. Seega 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 jne. on ruutvõrrandid.

Definitsioon.

Numbrid a , b ja c nimetatakse ruutvõrrandi koefitsiendid a x 2 + b x + c \u003d 0 ja koefitsienti a nimetatakse esimeseks ehk kõrgemaks või koefitsiendiks x 2 juures, b on teine ​​koefitsient või koefitsient x juures ja c on vaba liige.

Näiteks võtame ruutvõrrandi kujul 5 x 2 −2 x−3=0 , siin on juhtkoefitsient 5, teine ​​koefitsient −2 ja vaba liige −3 . Pange tähele, et kui koefitsiendid b ja/või c on negatiivsed, nagu just toodud näites, siis lühivorm ruutvõrrandi kirjutamine kujul 5 x 2 −2 x−3=0 , mitte 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 .

Väärib märkimist, et kui koefitsiendid a ja/või b on võrdsed 1 või −1, siis neid ruutvõrrandi tähistuses tavaliselt otseselt ei esine, mis on tingitud selliste tähistuste iseärasustest. Näiteks ruutvõrrandis y 2 −y+3=0 on juhtiv koefitsient üks ja koefitsient punktis y on −1.

Taandatud ja taandamata ruutvõrrandid

Sõltuvalt juhtkoefitsiendi väärtusest eristatakse redutseeritud ja taandamata ruutvõrrandid. Anname vastavad definitsioonid.

Definitsioon.

Nimetatakse ruutvõrrand, mille juhtiv koefitsient on 1 redutseeritud ruutvõrrand. Vastasel juhul on ruutvõrrand vähendamata.

Vastavalt see määratlus, ruutvõrrandid x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 jne. - vähendatud, igaühes neist esimene koefitsient võrdne ühega. Ja 5 x 2 −x−1=0 jne. - taandamata ruutvõrrandid, mille juhtkoefitsiendid erinevad 1-st.

Mis tahes taandamata ruutvõrrandist, jagades selle mõlemad osad juhtkoefitsiendiga, saate minna taandatule. See toiming on samaväärne teisendus, see tähendab, et sel viisil saadud taandatud ruutvõrrandil on samad juured kui algsel taandamata ruutvõrrandil või, nagu sellel, pole juuri.

Toome näite, kuidas toimub üleminek taandamata ruutvõrrandilt taandatud võrrandile.

Näide.

Võrrandist 3 x 2 +12 x−7=0 minge vastava taandatud ruutvõrrandi juurde.

Otsus.

Meil piisab algvõrrandi mõlema osa jagamisest juhtkoefitsiendiga 3, see on nullist erinev, nii et saame selle toimingu sooritada. Meil on (3 x 2 +12 x-7):3=0:3, mis on sama mis (3 x 2):3+(12 x):3-7:3=0 jne (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , kust . Nii saime redutseeritud ruutvõrrandi, mis on samaväärne algse võrrandiga.

Vastus:

Täielikud ja mittetäielikud ruutvõrrandid

Ruutvõrrandi definitsioonis on tingimus a≠0. See tingimus on vajalik selleks, et võrrand a x 2 +b x+c=0 oleks täpselt ruudukujuline, kuna a=0 korral muutub see tegelikult lineaarvõrrandiks kujul b x+c=0 .

Mis puudutab koefitsiente b ja c, siis need võivad olla võrdsed nulliga nii eraldi kui ka koos. Nendel juhtudel nimetatakse ruutvõrrandit mittetäielikuks.

Definitsioon.

Nimetatakse ruutvõrrand a x 2 +b x+c=0 mittetäielik, kui vähemalt üks koefitsientidest b , c on võrdne nulliga.

Omakorda

Definitsioon.

Täielik ruutvõrrand on võrrand, milles kõik koefitsiendid erinevad nullist.

Neid nimesid pole antud juhuslikult. See selgub järgmisest arutelust.

Kui koefitsient b on võrdne nulliga, on ruutvõrrand kujul a x 2 +0 x+c=0 ja see on võrdne võrrandiga a x 2 +c=0 . Kui c=0 , st ruutvõrrand on kujul a x 2 +b x+0=0 , siis saab selle ümber kirjutada kujule x 2 +b x=0 . Ja b=0 ja c=0 korral saame ruutvõrrandi a·x 2 =0. Saadud võrrandid erinevad täisruutvõrrandist selle poolest, et nende vasakpoolsed küljed ei sisalda ei muutujaga x ega vaba liiget ega mõlemat. Sellest ka nende nimi – mittetäielikud ruutvõrrandid.

Seega võrrandid x 2 +x+1=0 ja −2 x 2 −5 x+0,2=0 on täielike ruutvõrrandite näited ja x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 on mittetäielikud ruutvõrrandid.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine

Eelmise lõigu teabest järeldub, et on kolme tüüpi mittetäielikke ruutvõrrandeid:

• a x 2 =0 , sellele vastavad koefitsiendid b=0 ja c=0;
• ax2 +c=0, kui b=0;
• ja a x2 +b x=0, kui c=0.

Analüüsime järjekorras, kuidas lahendatakse igat tüüpi mittetäielikud ruutvõrrandid.

a x 2 \u003d 0

Alustuseks lahendame mittetäielikud ruutvõrrandid, milles koefitsiendid b ja c on võrdsed nulliga, st võrranditega kujul a x 2 =0. Võrrand a·x 2 =0 on ekvivalentne võrrandiga x 2 =0, mis saadakse originaalist, jagades selle mõlemad osad nullist erineva arvuga a. Ilmselt on võrrandi x 2 \u003d 0 juur null, kuna 0 2 \u003d 0. Sellel võrrandil pole muid juuri, mis on seletatav, tõepoolest, iga nullist erineva arvu p korral toimub ebavõrdsus p 2 >0, mis tähendab, et p≠0 korral ei saavutata võrdsust p 2 =0 kunagi.

Seega on mittetäielikul ruutvõrrandil a x 2 \u003d 0 üks juur x \u003d 0.

Näitena anname mittetäieliku ruutvõrrandi lahendi −4·x 2 =0. See on samaväärne võrrandiga x 2 \u003d 0, selle ainus juur on x \u003d 0, seetõttu on algsel võrrandil üks juurnull.

Lühilahenduse saab sel juhul väljastada järgmiselt:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Mõelge nüüd, kuidas lahendatakse mittetäielikud ruutvõrrandid, milles koefitsient b on võrdne nulliga ja c≠0, st võrrandid kujul a x 2 +c=0. Teame, et liikme ülekandmine võrrandi ühelt küljelt teisele vastupidise märgiga, samuti võrrandi mõlema poole jagamine nullist erineva arvuga annab samaväärse võrrandi. Seetõttu saab mittetäieliku ruutvõrrandi a x 2 +c=0 ekvivalentsed teisendused läbi viia:

• liigutage c paremale, mis annab võrrandi a x 2 =-c,
• ja jagame selle mõlemad osad a-ga , saame .

Saadud võrrand võimaldab teha järeldusi selle juurte kohta. Olenevalt a ja c väärtustest võib avaldise väärtus olla negatiivne (näiteks kui a=1 ja c=2 , siis ) või positiivne (näiteks kui a=-2 ja c=6 , siis ), ei ole see võrdne nulliga, sest tingimusel c≠0 . Eraldi analüüsime juhtumeid ja .

Kui , siis võrrandil pole juuri. See väide tuleneb asjaolust, et mis tahes arvu ruut on mittenegatiivne arv. Sellest järeldub, et kui , siis suvalise arvu p korral ei saa võrdsus olla tõene.

Kui , siis võrrandi juurtega on olukord erinev. Sel juhul, kui meenutame umbes, siis ilmneb kohe võrrandi juur, see on arv, kuna. Lihtne on arvata, et arv on ka võrrandi juur, tõepoolest, . Sellel võrrandil pole muid juuri, mida saab näidata näiteks vastuoluga. Teeme seda.

Tähistame võrrandi just hääldatud juured x 1 ja −x 1 . Oletame, et võrrandil on teine ​​juur x 2, mis erineb näidatud juurtest x 1 ja −x 1 . On teada, et võrrandi asendamine selle juurte x asemel muudab võrrandi tõeliseks arvuliseks võrdusmärgiks. x 1 ja −x 1 jaoks on meil , ja x 2 jaoks on meil . Arvvõrduste omadused võimaldavad teostada tõeliste arvuliste võrratuste terminihaaval lahutamist, seega võrduse vastavate osade lahutamine annab x 1 2 − x 2 2 =0. Arvudega tehtete omadused võimaldavad saadud võrrandi ümber kirjutada kujul (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Teame, et kahe arvu korrutis on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui vähemalt üks neist on võrdne nulliga. Seetõttu järeldub saadud võrratusest, et x 1 −x 2 =0 ja/või x 1 +x 2 =0 , mis on sama, x 2 =x 1 ja/või x 2 = −x 1 . Seega oleme jõudnud vastuoluni, kuna alguses ütlesime, et võrrandi x 2 juur erineb x 1 ja −x 1 -st. See tõestab, et võrrandil pole muid juuri kui ja .

Teeme selle lõigu teabe kokkuvõtte. Mittetäielik ruutvõrrand a x 2 +c=0 on samaväärne võrrandiga , mis

• pole juuri, kui
• on kaks juurt ja kui .

Vaatleme näiteid mittetäielike ruutvõrrandite lahendamisest kujul a·x 2 +c=0 .

Alustame ruutvõrrandiga 9 x 2 +7=0 . Pärast vaba liikme ülekandmist võrrandi paremale poolele saab see kujul 9·x 2 =−7. Jagades saadud võrrandi mõlemad pooled 9-ga, saame tulemuseks . Kuna paremal pool saadakse negatiivne arv, siis sellel võrrandil pole juuri, seega pole algsel mittetäielikul ruutvõrrandil 9 x 2 +7=0 juuri.

Lahendame veel ühe mittetäieliku ruutvõrrandi −x 2 +9=0. Viime üheksa paremale küljele: -x 2 \u003d -9. Nüüd jagame mõlemad osad −1-ga, saame x 2 =9. Paremal pool on positiivne arv, millest järeldame, et või . Pärast lõpliku vastuse üleskirjutamist: mittetäielikul ruutvõrrandil −x 2 +9=0 on kaks juurt x=3 või x=−3.

a x 2 +b x=0

Jääb üle lahendada viimast tüüpi mittetäielikud ruutvõrrandid c=0 korral. Mittetäielikud ruutvõrrandid kujul a x 2 +b x=0 võimaldavad lahendada faktoriseerimise meetod. Ilmselgelt saame hakkama võrrandi vasakpoolses servas, mille jaoks piisab, kui võtta sulgudest välja ühistegur x. See võimaldab meil liikuda algselt mittetäielikult ruutvõrrandilt ekvivalentsele võrrandile kujul x·(a·x+b)=0 . Ja see võrrand on samaväärne kahe võrrandi hulgaga x=0 ja a x+b=0 , millest viimane on lineaarne ja mille juur on x=-b/a .

Seega on mittetäielikul ruutvõrrandil a x 2 +b x=0 kaks juurt x=0 ja x=−b/a.

Materjali kinnistamiseks analüüsime konkreetse näite lahendust.

Näide.

Lahenda võrrand.

Otsus.

Võtame x sulgudest välja, see annab võrrandi. See on võrdne kahe võrrandiga x=0 ja . Lahendame saadud lineaarvõrrand: , ja jagamine seganumber peal harilik murd, leiame. Seetõttu on algvõrrandi juurteks x=0 ja .

Pärast vajaliku praktika saamist võib selliste võrrandite lahendid lühidalt kirjutada:

Vastus:

x=0 , .

Diskriminant, ruutvõrrandi juurte valem

Ruutvõrrandite lahendamiseks on juurvalem. Paneme kirja ruutvõrrandi juurte valem: , kus D=b 2 −4 a c- nn ruutvõrrandi diskriminant. Märkus tähendab sisuliselt seda.

Kasulik on teada, kuidas juurvalem saadi ja kuidas seda ruutvõrrandite juurte leidmisel rakendatakse. Tegeleme sellega.

Ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine

Peame lahendama ruutvõrrandi a·x 2 +b·x+c=0 . Teeme mõned samaväärsed teisendused:

• Selle võrrandi mõlemad osad saame jagada nullist erineva arvuga a, mille tulemusena saame taandatud ruutvõrrandi.
• Nüüd vali täisruut selle vasakul küljel: . Pärast seda võtab võrrand kuju .
• Selles etapis on võimalik teostada kahe viimase termini ülekandmine paremale poole vastasmärgiga, meil on .
• Ja teisendame ka parempoolset avaldist: .

Selle tulemusena jõuame võrrandini , mis on ekvivalentne algse ruutvõrrandiga a·x 2 +b·x+c=0 .

Oleme eelmistes lõikudes analüüsimisel juba lahendanud sarnase kujuga võrrandeid. See võimaldab meil teha võrrandi juurte kohta järgmised järeldused:

• kui , siis võrrandil pole reaalseid lahendeid;
• kui , siis võrrandil on vorm , seega, , millest on nähtav selle ainus juur;
• kui , siis või , mis on sama kui või , see tähendab, et võrrandil on kaks juurt.

Seega sõltub võrrandi juurte ja seega ka algse ruutvõrrandi olemasolu või puudumine parempoolse avaldise märgist. Selle avaldise märgi määrab omakorda lugeja märk, kuna nimetaja 4 a 2 on alati positiivne, see tähendab avaldise b 2 −4 a c märk. Seda avaldist b 2 −4 a c nimetatakse ruutvõrrandi diskriminant ja tähistatud tähega D. Siit on diskrimineerija olemus selge - selle väärtuse ja märgi järgi järeldatakse, kas ruutvõrrandil on reaalsed juured ja kui on, siis milline on nende arv - üks või kaks.

Pöördume tagasi võrrandi juurde, kirjutame selle ümber, kasutades diskriminandi tähistust: . Ja me järeldame:

• kui D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• kui D=0, siis sellel võrrandil on üks juur;
• lõpuks, kui D>0, siis võrrandil on kaks juurt või , mille saab ümber kirjutada kujul või , ning pärast murdude laiendamist ja taandamist ühiseks nimetajaks saame .

Nii tuletasime ruutvõrrandi juurte valemid, need näevad välja sellised, kus diskriminant D arvutatakse valemiga D=b 2 −4 a c .

Nende abiga saate positiivse diskriminandi abil arvutada ruutvõrrandi mõlemad reaaljuured. Kui diskriminant on võrdne nulliga, annavad mõlemad valemid sama juurväärtuse, mis vastab ruutvõrrandi ainsale lahendile. Ja negatiivse diskriminandi korral, kui proovite kasutada ruutvõrrandi juurte valemit, seisame silmitsi ruutjuure eraldamisega negatiivsest arvust, mis viib meid kaugemale ja kooli õppekava. Negatiivse diskriminandi korral pole ruutvõrrandil tegelikke juuri, kuid sellel on paar kompleksne konjugaat juured, mida saab leida samade juurvalemite abil, mille saime.

Algoritm ruutvõrrandite lahendamiseks juurvalemite abil

Praktikas saab ruutvõrrandi lahendamisel kohe kasutada juurvalemit, millega nende väärtused arvutada. Kuid see on rohkem keeruliste juurte leidmine.

Koolialgebra kursusel ei räägita aga tavaliselt ruutvõrrandi keerulistest, vaid tegelikest juurtest. Sel juhul on soovitatav enne ruutvõrrandi juurte valemite kasutamist kõigepealt leida diskriminant, veenduda, et see pole negatiivne (vastasel juhul võime järeldada, et võrrandil pole reaalseid juuri) ja pärast seda. arvutage juurte väärtused.

Ülaltoodud põhjendus lubab meil kirjutada ruutvõrrandi lahendamise algoritm. Ruutvõrrandi a x 2 + b x + c \u003d 0 lahendamiseks vajate:

• kasutades diskriminandi valemit D=b 2 −4 a c arvuta selle väärtus;
• järeldada, et ruutvõrrandil pole reaalseid juuri, kui diskriminant on negatiivne;
• arvutage valemi abil võrrandi ainus juur, kui D=0 ;
• leida ruutvõrrandi kaks reaaljuurt juurvalemi abil, kui diskriminant on positiivne.

Siinkohal märgime ainult, et kui diskriminant on võrdne nulliga, võib kasutada ka valemit, see annab sama väärtuse kui .

Võite liikuda ruutvõrrandite lahendamise algoritmi rakendamise näidete juurde.

Näiteid ruutvõrrandite lahendamisest

Vaatleme kolme ruutvõrrandi lahendusi positiivse, negatiivse ja nulldiskriminandiga. Olles käsitlenud nende lahendust, on analoogia põhjal võimalik lahendada mis tahes muu ruutvõrrand. Alustame.

Näide.

Leidke võrrandi x 2 +2 x−6=0 juured.

Otsus.

Sel juhul on ruutvõrrandi koefitsiendid järgmised: a=1 , b=2 ja c=−6 . Algoritmi järgi peate esmalt arvutama diskriminandi, selleks asendame diskriminandi valemiga näidatud a, b ja c, saame D=b 2–4 a c=2 2–4 1 (–6)=4+24=28. Kuna 28>0, see tähendab, et diskriminant on suurem kui null, on ruutvõrrandil kaks reaaljuurt. Leiame need juurte valemiga , saame , siin saame lihtsustada tehes saadud avaldisi juuremärgi arvestamine millele järgneb murdosa vähendamine:

Vastus:

Liigume järgmise tüüpilise näite juurde.

Näide.

Lahenda ruutvõrrand −4 x 2 +28 x−49=0 .

Otsus.

Alustame diskrimineerija leidmisest: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Seetõttu on sellel ruutvõrrandil üks juur, mille leiame kui , see tähendab,

Vastus:

x = 3,5.

Jääb üle kaaluda ruutvõrrandite lahendamist negatiivse diskriminandiga.

Näide.

Lahendage võrrand 5 y 2 +6 y+2=0 .

Otsus.

Siin on ruutvõrrandi koefitsiendid: a=5 , b=6 ja c=2 . Asendades need väärtused diskrimineeriva valemiga, saame D=b 2 –4 a c=6 2 –4 5 2=36–40=–4. Diskriminant on negatiivne, seetõttu pole sellel ruutvõrrandil tegelikke juuri.

Kui teil on vaja määrata keerulisi juuri, siis kasutame ruutvõrrandi juurte jaoks tuntud valemit ja sooritame tehted kompleksarvudega:

Vastus:

pärisjuuri pole, kompleksjuured on: .

Veel kord märgime, et kui ruutvõrrandi diskriminant on negatiivne, siis koolkond kirjutab tavaliselt kohe vastuse, milles märgitakse, et pärisjuuri pole ja keerulisi juuri nad ei leia.

Juurvalem isegi teise koefitsiendi jaoks

Ruutvõrrandi juurte valem , kus D=b 2 −4 a c võimaldab saada kompaktsema valemi, mis võimaldab lahendada ruutvõrrandid paariskoefitsiendiga punktis x (või lihtsalt koefitsiendiga, mis näeb välja nagu 2 n näiteks või 14 ln5=2 7 ln5). Toome ta välja.

Oletame, et peame lahendama ruutvõrrandi kujul a x 2 +2 n x + c=0 . Leiame selle juured meile teadaoleva valemi abil. Selleks arvutame diskriminandi D = (2 n) 2 -4 a c = 4 n 2 -4 a c = 4 (n 2 -a c), ja seejärel kasutame juurvalemit:

Tähistage avaldist n 2 −a c kui D 1 (mõnikord tähistatakse seda D "). Siis saab vaadeldava ruutvõrrandi juurte valem teise koefitsiendiga 2 n kuju , kus D 1 =n 2 −a c .

On lihtne näha, et D=4·D 1 või D 1 =D/4 . Teisisõnu, D 1 on diskriminandi neljas osa. On selge, et D 1 märk on sama, mis D märk. See tähendab, et märk D 1 näitab ka ruutvõrrandi juurte olemasolu või puudumist.

Seega on teise koefitsiendiga 2 n ruutvõrrandi lahendamiseks vaja

• Arvutage D 1 =n 2 −a·c ;
• Kui D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Kui D 1 =0, siis arvutage valemi abil võrrandi ainus juur;
• Kui D 1 >0, siis leia valemi abil kaks reaaljuurt.

Mõelge näite lahendusele selles lõigus saadud juurvalemi abil.

Näide.

Lahenda ruutvõrrand 5 x 2 −6 x−32=0 .

Otsus.

Selle võrrandi teist kordajat saab esitada kui 2·(−3) . See tähendab, et saate algse ruutvõrrandi ümber kirjutada kujul 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, siin a=5 , n=−3 ja c=−32 ning arvutada välja ruutvõrrandi neljanda osa. diskrimineeriv: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Kuna selle väärtus on positiivne, on võrrandil kaks reaaljuurt. Leiame need vastava juurvalemi abil:

Pange tähele, et ruutvõrrandi juurte jaoks oli võimalik kasutada tavalist valemit, kuid sel juhul tuleks teha rohkem arvutustööd.

Vastus:

Ruutvõrrandite vormi lihtsustamine

Mõnikord, enne ruutvõrrandi juurte arvutamise alustamist valemite abil, ei tee paha küsida: "Kas selle võrrandi vormi on võimalik lihtsustada"? Nõustuge, et ruutvõrrandit 11 x 2 −4 x −6=0 on arvutustes lihtsam lahendada kui 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Tavaliselt saavutatakse ruutvõrrandi vormi lihtsustamine selle mõlema poole korrutamise või jagamise teel mõne arvuga. Näiteks eelmises lõigus õnnestus meil saavutada võrrandi 1100 x 2 −400 x −600=0 lihtsustamine, jagades mõlemad pooled 100-ga.

Sarnane teisendus viiakse läbi ruutvõrranditega, mille koefitsiendid ei ole . Sel juhul jagatakse mõlemad võrrandi osad tavaliselt selle koefitsientide absoluutväärtustega. Näiteks võtame ruutvõrrandi 12 x 2 −42 x+48=0. selle koefitsientide absoluutväärtused: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Jagades mõlemad algse ruutvõrrandi osad 6-ga, saame ekvivalentse ruutvõrrandi 2 x 2 −7 x+8=0 .

Ja ruutvõrrandi mõlema osa korrutamine tehakse tavaliselt murdosakordajate vabanemiseks. Sel juhul korrutatakse selle koefitsientide nimetajatega. Näiteks kui ruutvõrrandi mõlemad osad korrutada väärtusega LCM(6, 3, 1)=6 , siis saab see lihtsamal kujul x 2 +4 x−18=0 .

Selle lõigu kokkuvõtteks märgime, et peaaegu alati vabanege ruutvõrrandi kõrgeima koefitsiendi miinusest, muutes kõigi liikmete märke, mis vastab mõlema osa korrutamisele (või jagamisele) -1-ga. Näiteks tavaliselt minnakse ruutvõrrandist −2·x 2 −3·x+7=0 lahenduseni 2·x 2 +3·x−7=0 .

Ruutvõrrandi juurte ja kordajate vaheline seos

Ruutvõrrandi juurte valem väljendab võrrandi juuri selle kordajate kaudu. Juurte valemi põhjal saate juurte ja koefitsientide vahel muid seoseid.

Kõige tuntumad ja rakendatavad valemid Vieta teoreemist vormi ja . Täpsemalt, antud ruutvõrrandi korral on juurte summa võrdne teise vastasmärgiga koefitsiendiga ja juurte korrutis on vaba liige. Näiteks ruutvõrrandi 3 x 2 −7 x+22=0 kujul saame kohe öelda, et selle juurte summa on 7/3 ja juurte korrutis on 22/3.

Kasutades juba kirjutatud valemeid, saate ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahel mitmeid muid seoseid. Näiteks saab ruutvõrrandi juurte ruutude summat väljendada selle kordajate kaudu: .

Bibliograafia.

• Algebra:õpik 8 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M. : Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovitš A.G. Algebra. 8. klass. Kell 14 1. osa. Õpik õppeasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich. - 11. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

8. klassis tutvuvad koolilapsed matemaatikatundides sellise mõistega nagu “radikaalne” või lihtsalt öeldes “juur”. Samal ajal puutusid nad esmakordselt kokku sellise probleemiga nagu keeruliste radikaalide lihtsustamine. Liitradikaalid on väljendid, milles üks juur asub teise all. Seetõttu nimetatakse neid mõnikord ka pesastatud radikaalideks. Selles artiklis räägib matemaatika ja füüsika juhendaja üksikasjalikult, kuidas kuidas lihtsustada keerulist radikaali.

Meetodid komplekssete radikaalide lihtsustamiseks

Keerulise radikaali lihtsustamine tähendab välise juure vabanemist. Selle teema uurimist on kõige parem alustada topeltradikaalide lihtsustamisest. Lõppude lõpuks, kui õpime topeltradikaale lihtsustama, saame hakkama ka keerulisemate radikaalidega.

Kuidas vabaneda välisjuurest? On selge, et selleks peate juuravaldise teisendama, esitades selle täisruuduna. Selleks kasutame tuntud valemit "Erinevuse ruut":

Siin, nagu näete, on negatiivsel terminil kordaja paremal. Seetõttu võtame juure all selle kordaja. Selleks esindame toote kujul:

Siis ja . Jääb vaid pöörata tähelepanu asjaolule, et . Nüüd näete, et juure all saime erinevuse ruudu:

Nüüd me mäletame seda. See on moodul. See on siin väga oluline, sest ruutjuur on positiivne arv. Siis saame:

Noh, kuna title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="21" width="61" style="vertical-align: -3px;">, модуль раскрывается со знаком минус. В результате в ответе получаем:!}

Just nii õnnestus meil seda radikaali lihtsustada. Kuid on ka keerulisemaid juhtumeid, mil ei ole kohe võimalik arvata, kuidas radikaalset avaldist täisruuduna esitada. Näiteks järgmises näites.

Selleks, et oma ajusid pikaks ajaks ei segaks, võite kasutada järgmist meetodit.

Tuletan meelde, et meie eesmärk on esitada juure all olevat väljendit täiusliku ruuduna. Täpsemalt selles näites ruutsummana:

Noh, summa ruut selgub tuntud valemi järgi, mille me juba täna kirjutasime:

Niisiis, idee on tegelikult võtta radikaalse väljendi irratsionaalne osa ja ratsionaalne osa jaoks. Siis selgub järgmine süsteem võrrandid:

On selge, et ja Vastasel juhul ei ole süsteemi teine ​​võrrand täidetud. Seejärel väljendame koefitsiendi teisest võrrandist:

Selle murdosa nimetaja ei ole võrdne nulliga, seega on selle lugeja võrdne nulliga. Saame bikvadraatvõrrandi, mis on lahendatud standardsel viisil (vt täpsemalt lisatud videost). Selle lahendamisel saame koguni 4 juurt. Võite võtta mis tahes. Mulle meeldib see rohkem. Siis . Niisiis, lõpuks saame:

Siin on viis keeruka radikaali lihtsustamiseks. Üks on veel. Neile, kellele meeldib pähe õppida keerulisi valemeid, mida mina ei ole. Kuid kirjelduse täielikkuse huvides räägin sellest ka.

Keeruliste radikaalide valem

Valem näeb välja selline:

Päris hirmutav, kas pole? Kuid ärge kartke, mõnel juhul saab seda tõepoolest edukalt rakendada. Vaatame näidet:

Asendage vastavad väärtused valemisse:

Siin on vastus.

Niisiis, täna tunnis rääkisin sellest, kuidas keerukat radikaali lihtsustada. Kui te varem ei teadnud meetodeid, millest täna räägiti, siis tõenäoliselt peate ikkagi palju õppima, et end matemaatika eksamil või sisseastumiseksamil kindlalt tunda. Aga ära muretse, ma võin sulle seda kõike õpetada. Kogu vajalik info minu tundide kohta on sees. Edu sulle!

Valmistas Sergei Valerievich