Nagu praktika näitab, põhjustavad ruutfunktsiooni omaduste ja graafikute ülesanded tõsiseid raskusi. See on üsna kummaline, sest ruutfunktsiooni läbitakse 8. klassis ja siis "pressitakse" terve 9. klassi esimene veerand parabooli omadustega välja ja ehitatakse selle graafikud erinevate parameetrite jaoks.

Selle põhjuseks on asjaolu, et sundides õpilasi paraboole ehitama, ei pühenda nad praktiliselt aega graafikute "lugemisele", st ei harjuta pildilt saadava teabe mõistmist. Ilmselt eeldatakse, et pärast kahe tosina graafiku koostamist avastab ja sõnastab nutikas õpilane ise valemis olevate koefitsientide ja graafiku välimuse vahelise seose. Praktikas see ei tööta. Selliseks üldistamiseks on vaja tõsist matemaatilise miniuurimuse kogemust, mida enamikul üheksandikutel loomulikult pole. Samal ajal teevad nad GIA-s ettepaneku määrata koefitsientide märgid täpselt ajakava järgi.

Me ei nõua koolilastelt võimatut ja pakume lihtsalt ühte selliste probleemide lahendamise algoritmidest.

Niisiis, vormi funktsioon y=ax2+bx+c nimetatakse ruutlikuks, selle graafik on parabool. Nagu nimigi ütleb, on põhikomponent kirves 2. See on a ei tohiks olla võrdne nulliga, ülejäänud koefitsiendid ( b ja Koos) võib olla võrdne nulliga.

Vaatame, kuidas selle koefitsientide märgid mõjutavad parabooli välimust.

Lihtsaim sõltuvus koefitsiendile a. Enamik koolilapsi vastab enesekindlalt: "kui a> 0, siis on parabooli harud suunatud ülespoole ja kui a < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой a > 0.

y = 0,5x2 - 3x + 1

Sel juhul a = 0,5

Ja nüüd selleks a < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

Sel juhul a = - 0,5

Koefitsiendi mõju Koos ka piisavalt lihtne järgida. Kujutage ette, et me tahame leida funktsiooni väärtuse punktis X= 0. Asendage valemis null:

y = a 0 2 + b 0 + c = c. Selgub, et y = c. See on Koos on parabooli ja y-telje lõikepunkti ordinaat. Reeglina on seda punkti graafikult lihtne leida. Ja määrake, kas see on üle nulli või alla selle. See on Koos> 0 või Koos < 0.

Koos > 0:

y=x2+4x+3

Koos < 0

y = x 2 + 4x - 3

Vastavalt sellele, kui Koos= 0, siis parabool läbib tingimata alguspunkti:

y=x2+4x

Parameetriga keerulisem b. See, millal me selle leiame, ei sõltu mitte ainult sellest b aga ka alates a. See on parabooli tipp. Selle abstsiss (telje koordinaat X) leitakse valemiga x in \u003d - b / (2a). Sellel viisil, b = - 2ax tolli. See tähendab, et me tegutseme järgmisel viisil: graafikult leiame parabooli tipu, määrame selle abstsissi märgi, st vaatame nullist paremale ( x sisse> 0) või vasakule ( x sisse < 0) она лежит.

See pole aga veel kõik. Tähelepanu tuleb pöörata ka koefitsiendi märgile a. See tähendab, et näha, kuhu parabooli harud on suunatud. Ja alles pärast seda valemi järgi b = - 2ax tolli määrata märk b.

Kaaluge näidet:

Ülespoole suunatud oksad a> 0, parabool ristub teljega juures alla nulli tähendab Koos < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x sisse> 0. Niisiis b = - 2ax tolli = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: a > 0, b < 0, Koos < 0.

Ettekanne ja õppetund teemal:
"Funktsiooni $y=ax^2+bx+c$ graafik. Atribuudid"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, tagasisidet, ettepanekuid! Kõiki materjale kontrollib viirusetõrjeprogramm.

Õppevahendid ja simulaatorid veebipoes "Integral" 8. klassile
Käsiraamat õpiku Dorofeeva G.V. Käsiraamat õpikule Nikolsky S.M.

Poisid, viimastel õppetundidel, mida me ehitasime suur hulk graafikud, sealhulgas paljud paraboolid. Täna teeme omandatud teadmised kokku ja õpime koostama selle funktsiooni graafikuid kõige üldisemal kujul.
kaalume ruudukujuline kolmik$a*x^2+b*x+c$. $a, b, c$ nimetatakse koefitsientideks. Need võivad olla mis tahes numbrid, kuid $a≠0$. $a*x^2$ nimetatakse juhtliikmeks, $a$ nimetatakse juhtivaks koefitsiendiks. Väärib märkimist, et koefitsiendid $b$ ja $c$ võivad olla võrdsed nulliga, see tähendab, et trinoom koosneb kahest liikmest ja kolmas on võrdne nulliga.

Vaatleme funktsiooni $y=a*x^2+b*x+c$. Seda funktsiooni nimetatakse "ruutarvuks", kuna suurim võimsus on sekund, see tähendab ruut. Koefitsiendid on samad, mis eespool määratletud.

Viimase näite viimases õppetükis analüüsisime sarnase funktsiooni graafiku koostamist.
Tõestame, et iga sellise ruutfunktsiooni saab taandada kujule: $y=a(x+l)^2+m$.

Sellise funktsiooni graafik koostatakse täiendava koordinaatsüsteemi abil. Suures matemaatikas on arvud üsna haruldased. Peaaegu iga probleem tuleb tõestada kõige üldisemal juhul. Täna analüüsime üht sellist tõendit. Poisid, näete kogu matemaatilise aparaadi võimsust, aga ka selle keerukust.

Valime ruudu kolmiku hulgast täisruudu:
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac(b)(a)*x)+c=$ $= a(x^2+2\frac(b)(2a)*x+\frac(b^2)(4a))-\frac(b^2)(4a)+c=a(x+\frac(b) (2a))^2+\frac(4ac-b^2)(4a)$.
Saime, mida tahtsime.
Iga ruutfunktsiooni saab esitada järgmiselt:
$y=a(x+l)^2+m$, kus $l=\frac(b)(2a)$, $m=\frac(4ac-b^2)(4a)$.

$y=a(x+l)^2+m$ joonistamiseks peate joonistama funktsiooni $y=ax^2$. Pealegi on parabooli tipp punktis koordinaatidega $(-l;m)$.
Niisiis, meie funktsioon $y=a*x^2+b*x+c$ on parabool.
Parabooli telg on sirge $x=-\frac(b)(2a)$ ja parabooli tipu koordinaadid piki abstsissi, nagu näeme, arvutatakse järgmise valemiga: $x_ (c)=-\frac(b)(2a) $.
Parabooli tipu koordinaadi arvutamiseks piki y-telge saate:

• kasutage valemit: $y_(c)=\frac(4ac-b^2)(4a)$,
• asendada otse tipu $x$ koordinaat algfunktsiooniga: $y_(c)=ax_(c)^2+b*x_(c)+c$.

Näide 1
Ilma funktsiooni $y=4x^2-6x-3$ joonistamata vastake järgmistele küsimustele:

Lahendus.
a) Parabooli telg on sirge $x=-\frac(b)(2a)=-\frac(-6)(2*4)=\frac(6)(8)=\frac(3 )(4)$ .
b) Leidsime tipu abstsissi $x_(c)=\frac(3)(4)$ kohal.
Leiame tipu ordinaadi algfunktsiooniga otsese asendamise teel:
$y_(v)=4*(\frac(3)(4))^2-6*\frac(3)(4)-3=\frac(9)(4)-\frac(18)(4 )-\frac(12)(4)=-\frac(21)(4)$.
c) Vajaliku funktsiooni graafik saadakse graafiku $y=4x^2$ paralleelülekande teel. Selle oksad vaatavad üles, mis tähendab, et ka algfunktsiooni parabooli oksad vaatavad üles.
Üldiselt, kui koefitsient $a>0$, siis oksad vaatavad üles, kui koefitsient $a
Näide 2
Joonistage funktsioon: $y=2x^2+4x-6$.

Lahendus.
Leidke parabooli tipu koordinaadid:
$x_(b)=-\frac(b)(2a)=-\frac(4)(4)=-1$.
$y_(v)=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Märkige koordinaatteljel tipu koordinaat. Siinkohal konstrueerime justkui uues koordinaatsüsteemis parabooli $y=2x^2$.

Paraboolgraafikute koostamise lihtsustamiseks on palju võimalusi.

• Leiame kaks sümmeetrilist punkti, arvutame nendes punktides funktsiooni väärtuse, märgime need koordinaattasandile ja ühendame need parabooli kirjeldava kõvera tipuga.
• Saame ehitada parabooli haru tipust paremale või vasakule ja seejärel peegeldada seda.
• Saame ehitada punktide järgi.

Näide 3
Leia funktsiooni suurim ja väikseim väärtus: $y=-x^2+6x+4$ lõigul $[-1;6]$.

Lahendus.
Koostame selle funktsiooni graafiku, valime vajaliku intervalli ja leiame oma graafiku madalaima ja kõrgeima punkti.
Leidke parabooli tipu koordinaadid:
$x_(b)=-\frac(b)(2a)=-\frac(6)(-2)=3$.
$y_(v)=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
Punktis koordinaatidega $(3;13)$ konstrueerime parabooli $y=-x^2$. Valige vajalik intervall. Madalaima punkti koordinaat on -3, kõrgeima punkti koordinaat on 13.
$y_(nimi)=-3$; $y_(naib)=13 $.

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks

Mugav selleks, et pärast sõltumatu muutuja x konkreetse väärtuse andmist (argument) arvutada välja sõltuva muutuja y vastav väärtus. Näiteks kui funktsioonile on antud y \u003d x 2, st. f (x) \u003d x 2, siis x \u003d 1 jaoks saame y \u003d 1 2 \u003d 1; lühidalt on see kirjutatud järgmiselt: f (1) \u003d 1. x \u003d 2 korral saame f (2) \u003d 2 2 \u003d 4, st y \u003d 4; koos x \u003d - 3 saame f (- 3) \u003d (- Z) 2 \u003d 9, see tähendab, y \u003d 9 jne.

Juba 7. klassis hakkasime mõistma, et võrdsuses y \u003d f (x) on parem pool, s.o. avaldis f(x) ei piirdu nelja ülaltoodud juhtumiga (C, kx, kx + m, x 2).

Näiteks oleme juba kohanud tükipõhiseid funktsioone, st. funktsioonid antud erinevate valemitega erinevatel intervallidel. Siin on üks selline funktsioon: y = f(x), kus

Kas mäletate, kuidas selliseid funktsioone joonistada? Kõigepealt peate ehitama parabooli y \u003d x 2 ja võtma selle osa punktist x< 0 (левая ветвь параболы, рис. 1), затем надо построить прямую у = 2х и взять ее часть при х >0 (joonis 2). Ja lõpuks, mõlemad valitud osad tuleb ühendada üheks jooniseks, st ehitada samale koordinaattasandile (vt joonis 3).

Nüüd on meie ülesanne järgmine: täiendada õpitud funktsioonide varu. Reaalses elus on protsesse, mida kirjeldavad mitmesugused vormi y \u003d f (x) matemaatilised mudelid, mitte ainult need, mida me eespool loetlesime. Selles osas vaatleme funktsiooni y = kx 2 , kus koefitsient k - mis tahes nullist erinev arv.

Tegelikult on funktsioon y = kx 2 teile ühel juhul mõneti tuttav. Vaadake: kui k \u003d 1, siis saame y \u003d x 2; õppisite seda funktsiooni 7. klassis ja ilmselt mäletate, et selle graafik on parabool (joonis 1). Arutame, mis juhtub koefitsiendi k muude väärtustega.

Mõelge kahele funktsioonile: y \u003d 2x 2 ja y \u003d 0,5x 2. Teeme esimese funktsiooni y \u003d 2x 2 väärtuste tabeli:

Koostage punktid (0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1,5; 4,5), (-1,5; 4,5) koordinaattasand(joonis 4); nad visandavad mingi joone, tõmbame selle (joon. 5).

Teeme teise funktsiooni y \u003d 0,5x 2 väärtuste tabeli:

Konstrueerige punktid (0; 0), (1; 0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2), C; 4.5), (-3; 4.5) koordinaattasandil (joon. 6); nad visandavad mingi joone, joonistame selle (joonis 7)

.

Joonisel fig. 4 ja 6 nimetatakse mõnikord vastava funktsiooni graafiku kontrollpunktideks.

Võrrelge jooniseid 1, 5 ja 7. Kas pole tõsi, et tõmmatud jooned on sarnased? Igaüht neist nimetatakse parabooliks; sel juhul nimetatakse punkti (0; 0) parabooli tipuks ja y-telge parabooli sümmeetriateljeks. Koefitsiendi k väärtus määrab parabooli harude "aspiratsiooni kiiruse" ülespoole või, nagu öeldakse, parabooli "järsusastme". See on selgelt näha joonisel fig. 8, kus kõik kolm ülaltoodud parabooli asuvad samal koordinaattasandil.

Täpselt sama on olukord kõigi teiste funktsioonidega kujul y \u003d kx 2, kus k\u003e 0. Selle graafik on parabool, mille tipp on alguses koordinaadid, on parabooli harud suunatud ülespoole ja mida järsem, seda suurem on koefitsient k. Y-telg on parabooli sümmeetriatelg. Muide, matemaatikud ütlevad lühiduse huvides sageli pika fraasi "parabool, mis toimib funktsiooni y \u003d kx 2 graafikuna" asemel "parabool y \u003d kx 2" ja termini " parabooli sümmeetriatelg”, kasutavad nad terminit “parabooli telg”.

Kas märkate, et on olemas analoogia funktsiooniga y = kx? Kui k > 0, siis funktsiooni y \u003d kx graafik on alguspunkti läbiv sirge (pidage meeles, ütlesime lühidalt: sirge y \u003d kx) ja siin sõltub sirge "järsakus" koefitsiendi k väärtus. See on selgelt näha joonisel fig. 9, kus on näidatud ühes koordinaatsüsteemis diagrammid lineaarfunktsioonid y = kx koefitsiendi kolme väärtuse jaoks

Pöördume tagasi funktsiooni y \u003d kx 2 juurde. Uurime, kuidas on lood negatiivse koefitsiendi ft korral. Koostame näiteks funktsiooni graafiku

y \u003d - x 2 (siin k \u003d - 1). Teeme väärtuste tabeli:

Pange tähele punkte (0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (-3; - 9) koordinaattasandil (joon. 10); nad visandavad mingi joone, tõmbame selle (joon. 11). See on parabool, mille tipp asub punktis (0; 0), y-telg on sümmeetriatelg, kuid erinevalt juhul, kui k> 0, on seekord parabooli harud suunatud allapoole. Sarnane on olukord koefitsiendi k teiste negatiivsete väärtuste puhul.

Seega on funktsiooni graafik parabool, mille tipp on alguspunktis; y-telg on parabooli telg; parabooli oksad on k>0 u korral suunatud ülespoole k korral alla<0.

Samuti märgime, et parabool y \u003d kx 2 puudutab x-telge punktis (0; 0), st parabooli üks haru läheb sujuvalt teise, justkui klammerdub x-telje külge.

Kui ehitada ühte koordinaatsüsteemi funktsiooni graafikud y \u003d x 2 ja y \u003d - x2, siis on lihtne näha, et need paraboolid on x-telje suhtes üksteise suhtes sümmeetrilised, mis on selgelt näha joonisel fig. 12. Samamoodi on paraboolid y \u003d 2x 2 ja y \u003d - 2x 2 üksteise suhtes sümmeetrilised x-telje ümber (ärge olge laisk, ehitage need üles
kaks parabooli samas koordinaatsüsteemis ja kontrollige tehtud väite paikapidavust).

Üldiselt on funktsiooni y \u003d - f (x) graafik sümmeetriline funktsiooni y \u003d f (x) graafiku suhtes x-telje ümber.

Funktsiooni y \u003d kx 2 omadused, kui k > 0

Selle funktsiooni omadusi kirjeldades toetume selle geomeetrilisele mudelile – paraboolile (joonis 13).

1. Kuna mis tahes x väärtuse jaoks valemiga y \u003d kx 2 saate arvutada y vastava väärtuse, defineeritakse funktsioon mis tahes punktis x (argumendi x mis tahes väärtuse jaoks). Lühidalt on see kirjutatud järgmiselt: funktsiooni domeen on (-oo, +oo), st kogu koordinaatrida.

2. y \u003d 0 x \u003d 0 jaoks; y > O juures . Seda on näha ka funktsiooni graafikult (see kõik asub x-telje kohal), kuid seda saab põhjendada ka ilma graafiku abita: kui

Siis kx 2 > O kahe positiivse arvu k ja x 2 korrutisena.

3. y = kx 2 on pidev funktsioon. Tuletame meelde, et me peame seda terminit seni lause "funktsiooni graafik on pidev joon, mille saab tõmmata pliiatsit paberilt tõstmata" sünonüümiks. Ülemistes klassides antakse funktsiooni pidevuse mõiste täpsem matemaatiline tõlgendus, mitte geomeetrilise illustratsiooni alusel.

4.y/ naim = 0 (saavutatud x = 0); nai6 pole olemas.

Tuletage meelde, et (/naim on funktsiooni väikseim väärtus ja Unib. on funktsiooni suurim väärtus antud intervallil; kui intervalli pole määratud, on vastavalt unaim- ja y naib väikseim ja suurim väärtus funktsiooni definitsioonipiirkonnas.

5. Funktsioon y \u003d kx 2 suureneb x\u003e O korral ja väheneb x korral< 0.

Tuletame meelde, et 7. klassi algebra kursusel leppisime kokku kutsuda funktsiooni, mille graafik vaadeldaval intervallil läheb vasakult paremale justkui “ülesmäge”, suurendades ja funktsiooni, mille graafik vaadeldaval intervallil läheb vasakult paremale, justkui “allamäge”, - väheneb. Täpsemalt võib öelda nii: funktsiooni y \u003d f (x) nimetatakse intervalli X suurenemiseks, kui sellel intervallil vastab argumendi suurem väärtus funktsiooni suuremale väärtusele; funktsiooni y = f (x) nimetatakse intervallil X kahanevaks, kui sellel intervallil vastab argumendi suurem väärtus funktsiooni väiksemale väärtusele.

Algebra-7 õpikus nimetasime graafikuks loetava funktsiooni omaduste loetlemise protsessi. Graafiku lugemise protsess muutub meie jaoks järk-järgult rikkalikumaks ja huvitavamaks – funktsioonide uusi omadusi uurides. Neid viit omadust, mis on ülal loetletud, arutasime 7. klassis seal õpitud funktsioonide juures. Lisame ühe uue kinnistu.

Funktsiooni y = f(x) nimetatakse altpoolt piiratuks, kui funktsiooni kõik väärtused on suuremad kui teatud arv. Geomeetriliselt tähendab see, et funktsiooni graafik asub mõnest kõrgemal otse, paralleelselt x-teljega.

Nüüd vaadake: funktsiooni y \u003d kx 2 graafik asub sirge y \u003d - 1 kohal (või y \u003d - 2, vahet pole) - see on joonistatud joonisel fig. 13. Seega on y - kx2 (k > 0) allpool piiratud funktsioon.

Koos altpoolt piiratud funktsioonidega vaadeldakse ka ülalt piiratud funktsioone. Funktsiooni y - f(x) nimetatakse ülalt piiratuks, kui funktsiooni kõik väärtused on teatud arvust väiksemad. Geomeetriliselt tähendab see, et funktsiooni graafik asub mingi x-teljega paralleelse sirge all.
Kas parabooli y = kx 2 jaoks on selline sirge, kus k > 0? Ei. See tähendab, et funktsioon ei ole ülalt piiratud.

Niisiis, saime veel ühe kinnisvara, lisame selle viiele, mis on ülaltoodud.

6. Funktsioon y = kx 2 (k > 0) on altpoolt ja ülevalt piiramata.

Funktsiooni y \u003d kx 2 omadused k jaoks< 0

Selle funktsiooni omaduste kirjeldamisel lähtume selle geomeetrilisest mudel- parabool (joonis 14).

1. Funktsiooni määratlusala - (-oo, +oo).

2. y \u003d 0 x \u003d 0 jaoks; juures< 0 при .

Z.y \u003d kx 2 on pidev funktsioon.
4. y nau6 = 0 (saavutatud x = 0), uneesmärki ei eksisteeri.

5. Funktsioon suureneb x juures< 0, убывает при х > 0.

6. Funktsioon on ülalt piiratud ja altpoolt mitte piiratud.

Selgitame viimast omadust: on x-teljega paralleelne sirge (näiteks y = 1, see on joonistatud joonisel 14), nii et kogu parabool asub sellest sirgest allpool; see tähendab, et funktsioon on ülalt piiratud. Teisest küljest on võimatu tõmmata x-teljega paralleelset joont nii, et kogu parabool asetseks selle sirge kohal; see tähendab, et funktsioon ei ole allpool piiratud.

Eespool funktsiooni omaduste loetlemisel kasutatud käikude järjekord ei ole seaduspärasus seni, kuni see on kronoloogiliselt arenenud just nii.

Enam-vähem kindla käikude järjekorra töötame välja järk-järgult ja ühtlustame selle 9. klassi algebra kursusel.

Näide 1 Leidke lõigul funktsiooni y \u003d 2x 2 väikseim ja suurim väärtus: a) ; b) [- 2, - 1]; c) [- 1, 1,5].

a) Koostame funktsiooni y \u003d 2x 2 graafiku ja valime selle lõigu osa (joonis 15). Märkame, et 1/naim. = 0 (saavutati x = 0 juures) ja y max = 8 (saavutati x = 2 juures).

b) Koostame funktsiooni y \u003d 2x 2 graafiku ja valime selle osa lõigul [- 2, - 1] (joonis 16). Pange tähele, et 2/naim = 2 (saavutatud x = - 1) ja y max = 8 (saavutatud x = - 2).

c) Koostame funktsiooni y \u003d 2x 2 graafiku ja valime selle osa lõigul [- 1, 1.5] (joonis 17). Märgime, et unanm = 0 (saavutati x = 0) ja y saavutatakse punktis x = 1,5; arvutame selle väärtuse: (1,5) = 2-1,5 2 = 2-2,25 = 4,5. Seega, y max = 4,5.

Näide 2 Lahendage võrrand - x 2 \u003d 2x - 3.

Lahendus. Algebra-7 õpikus arendasime algoritm võrrandite graafiline lahendus, tuletage see meelde.

Võrrandi f (x) = g (x) graafiliseks lahendamiseks vajate:

1) kaaluge kahte funktsiooni y \u003d -x 2 ja y \u003d 2x -3;
2) koostada funktsiooni i/ = / (x) graafik;
3) koostage funktsiooni y \u003d g (x) graafik;
4) leida koostatud graafikute lõikepunktid; abstsiss
Nende punktide summad on võrrandi f(x) = g(x) juured.

Rakendame seda algoritmi antud võrrand.
1) Mõelge kahele funktsioonile: y \u003d - x2 ja y \u003d 2x - 3.
2) Koostame parabooli - funktsiooni y \u003d - x 2 graafiku (joonis 18).

3) Koostame funktsiooni y \u003d 2x - 3 graafiku. See on sirgjoon, selle koostamiseks piisab, kui leida graafikul suvalised kaks punkti. Kui x \u003d 0, siis y \u003d - 3; kui x = 1, siis y = -1. Niisiis, leidsime kaks punkti (0; -3) ja (1; -1). Neid kahte punkti läbiv sirgjoon (funktsiooni y \u003d 2x - 3 graafik) on näidatud samal joonisel (vt joonis 18).

4) Joonise järgi leiame, et sirge ja parabool ristuvad kahes punktis A (1; -1) ja B (-3; -9). See tähendab, et sellel võrrandil on kaks juurt: 1 ja -3 on punktide A ja B abstsissid.

Vastus: 1, -3.

kommenteerida. Muidugi ei saa graafilisi illustratsioone pimesi usaldada. Võib-olla meile lihtsalt tundub, et punktil A on koordinaadid (1; - 1), aga tegelikult on need näiteks erinevad (0,98; - 1,01)?

Seega on alati hea ennast kontrollida. Seega peate vaadeldavas näites veenduma, et punkt A (1; -1) kuulub parabooli y \u003d - x 2 (see on lihtne - lihtsalt asendage punkti A koordinaadid valemis y \ u003d - x 2; saame - 1 \u003d - 1 2 - õige arvulise võrdsuse) ja sirge y \u003d 2x - 3 (ja see on lihtne - lihtsalt asendage punkti A koordinaadid valemiga y \u003d 2x - 3; saame - 1 \u003d 2-3 - õige arvulise võrdsuse). Sama tuleb teha punkti 8 puhul. See kontroll näitab, et vaadeldavas võrrandis andsid graafilised vaatlused õige tulemuse.

Näide 3 Lahendage süsteem

Lahendus. Teisendame süsteemi esimese võrrandi vormiks y \u003d - x 2. Selle funktsiooni graafik on parabool, mis on näidatud joonisel fig. kaheksateist.

Teisendame süsteemi teise võrrandi kujule y \u003d 2x - 3. Selle funktsiooni graafik on joonisel fig. kaheksateist.

Parabool ja sirge ristuvad punktides A (1; -1) ja B (- 3; - 9). Nende punktide koordinaadid on antud võrrandisüsteemi lahendused.

Vastus: (1; -1), (-3; -9).

Näide 4. Antud funktsioon y - f (x), kus

Nõutud:

a) arvutada f(-4), f(-2), f(0), f(1,5), f(2), f(3);

b) koostada funktsiooni graafik;

c) loetlege graafiku abil funktsiooni omadused.

a) Väärtus x = - 4 rahuldab tingimust -, seetõttu tuleb funktsiooni definitsiooni esimesest reast arvutada f (-4) Meil ​​on f (x) = - 0,5x2, mis tähendab f (-4) = -0,5 . (-4) 2 = -8.

Samamoodi leiame:

f(-2) = -0,5 . (-2) 2 =-2;
f(0) = -0,5 . 0 2 = 0.

Väärtus vastab tingimusele, seega tuleb see arvutada funktsiooni definitsiooni teisest reast. Meil on f(x) = x + 1, seega Väärtus x = 1,5 vastab tingimusele 1< х < 2, т. е. f(1,5) надо вычислять по третьей строке задания функции. Имеем f (х) = 2х 2 , значит, f(1,5) = 2-1,5 2 = 4,5.
Samamoodi saame f(2)= 2 . 2 2 =8.

Väärtus x = 3 ei vasta ühelegi kolmest funktsiooni määramise tingimusest ja seetõttu ei saa f(3) sel juhul arvutada, punkt x = 3 ei kuulu funktsiooni valdkonda. Määramine f(3) arvutamiseks on vale.

b) Saame koostada graafiku “tüki haaval”. Esmalt konstrueerime parabooli y = -0,5x 2 ja valime selle osa lõigul [-4, 0] (joonis 19). Seejärel konstrueerime sirge y \u003d x + 1 u. valime selle osa poolintervallil (0, 1] (joonis 20) Järgmiseks konstrueerime parabooli y = 2x 2 ja valime selle osa poolintervallil (1, 2] (joonis 21).

Lõpuks on kõik kolm "tükki" kujutatud samas koordinaatsüsteemis; saame funktsiooni y \u003d f (x) graafiku (joonis 22).

c) Loetleme funktsiooni omadused või, nagu kokku leppisime, loeme graafikut.

1. Funktsiooni ulatus on segment [-4, 2].

2. y \u003d 0 x \u003d 0 jaoks; y > 0 0 juures<х<2;у<0 при - 4 < х < 0.

3. Funktsioon läbib katkestuse, kui x = 0.

4. Funktsioon suureneb lõigul [-4, 2].

5. Funktsioon on piiratud nii alt kui ka ülalt.

6. y naim = -8 (saavutatud x = -4); y nai6 . = 8 (saavutatud x = 2).

Näide 5 Antakse funktsioon y \u003d f (x), kus f (x) \u003d Zx 2. Otsi.

Kuidas ehitada parabooli? Ruutfunktsiooni graafiku tegemiseks on mitu võimalust. Igal neist on oma plussid ja miinused. Vaatleme kahte võimalust.

Alustuseks joonistame ruutfunktsiooni nagu y=x²+bx+c ja y= -x²+bx+c.

Näide.

Joonistage funktsioon y=x²+2x-3.

Lahendus:

y=x²+2x-3 on ruutfunktsioon. Graafik on parabool, mille harud on ülespoole. Parabooli tipu koordinaadid

Tipust (-1;-4) koostame graafiku paraboolist y=x² (nagu lähtepunktist. (0;0) asemel - tipp (-1;-4). Alates (-1;- 4) liigume 1 ühiku võrra paremale ja 1 võrra üles, seejärel 1 võrra vasakule ja 1 võrra üles, siis: 2 - paremale, 4 - üles, 2 - vasakule, 4 - üles, 3 - paremale, 9 - üles, 3 - vasakule, 9 - üles. neist 7 punktist ei piisa, siis - 4 paremale, 16 - üles jne).

Ruutfunktsiooni y= -x²+bx+c graafik on parabool, mille harud on suunatud allapoole. Graafi koostamiseks otsime tipu koordinaate ja ehitame sellest parabooli y= -x².

Näide.

Joonistage funktsioon y= -x²+2x+8.

Lahendus:

y= -x²+2x+8 on ruutfunktsioon. Graafik on parabool, mille harud on allapoole. Parabooli tipu koordinaadid

Ülaosast ehitame parabooli y = -x² (1 - paremale, 1 - alla; 1 - vasakule, 1 - alla; 2 - paremale, 4 - alla; 2 - vasakule, 4 - alla jne):

See meetod võimaldab koostada parabooli kiiresti ja ei tekita raskusi, kui tead, kuidas joonistada funktsioone y=x² ja y= -x². Puudus: kui tipukoordinaadid on murdarvud, pole joonistamine kuigi mugav. Kui soovite teada graafiku ja x-telje lõikepunktide täpseid väärtusi, peate lisaks lahendama võrrandi x² + bx + c = 0 (või -x² + bx + c = 0), isegi kui neid punkte saab jooniselt otse määrata.

Teine võimalus parabooli koostamiseks on punktide järgi, st graafikult võib leida mitu punkti ja tõmmata nende kaudu parabool (arvestades, et sirge x=xₒ on selle sümmeetriatelg). Tavaliselt võtavad nad selleks parabooli tipu, graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega ja 1-2 lisapunkti.

Joonistage funktsioon y=x²+5x+4.

Lahendus:

y=x²+5x+4 on ruutfunktsioon. Graafik on parabool, mille harud on ülespoole. Parabooli tipu koordinaadid

see tähendab, et parabooli tipp on punkt (-2,5; -2,25).

Otsivad. Lõikepunktis Ox teljega y=0: x²+5x+4=0. Ruutvõrrandi juured x1 \u003d -1, x2 \u003d -4, see tähendab, et nad said graafikul kaks punkti (-1; 0) ja (-4; 0).

Graafiku lõikepunktis Oy teljega x=0: y=0²+5∙0+4=4. Sai punkti (0; 4).

Graafiku täpsustamiseks võite leida lisapunkti. Võtame x=1, siis y=1²+5∙1+4=10 ehk siis veel üks graafiku punkt - (1; 10). Märgime need punktid koordinaattasandile. Võttes arvesse parabooli sümmeetriat selle tippu läbiva sirge suhtes, märgime veel kaks punkti: (-5; 6) ja (-6; 10) ning joonistame nende kaudu parabooli:

Joonistage funktsioon y= -x²-3x.

Lahendus:

y= -x²-3x on ruutfunktsioon. Graafik on parabool, mille harud on allapoole. Parabooli tipu koordinaadid

Ülemine (-1,5; 2,25) on parabooli esimene punkt.

Graafiku lõikepunktides x-teljega y=0 ehk lahendame võrrandi -x²-3x=0. Selle juured on x=0 ja x=-3, see tähendab, et (0; 0) ja (-3; 0) on graafikul veel kaks punkti. Punkt (o; 0) on ka parabooli ja y-telje lõikepunkt.

Kui x=1 y=-1²-3∙1=-4, st (1; -4) on joonise lisapunkt.

Punktidest parabooli ehitamine on esimesega võrreldes aeganõudvam meetod. Kui parabool ei lõiku Ox teljega, on vaja rohkem lisapunkte.

Enne kui jätkame ruutfunktsioonide joonistamist kujul y=ax²+bx+c, kaalume funktsioonide joonistamist geomeetriliste teisenduste abil. Funktsioonide graafikuid kujul y=x²+c on samuti kõige mugavam ehitada kasutades ühte neist teisendustest – paralleeltõlget.