mooduli number kutsutakse seda numbrit ennast, kui see on mittenegatiivne, või sama numbrit vastupidise märgiga, kui see on negatiivne.

Näiteks moodul 6 on 6 ja moodul -6 on samuti 6.

See tähendab, et arvu moodulit mõistetakse absoluutväärtusena, selle arvu absoluutväärtusena, võtmata arvesse selle märki.

Tähistatakse järgmiselt: |6|, | X|, |a| jne.

(Lisateavet leiate jaotisest "Numbrimoodul").

Modulo võrrandid.

Näide 1 . lahendage võrrand|10 X - 5| = 15.

Otsus.

Vastavalt reeglile on võrrand võrdne kahe võrrandi kombinatsiooniga:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Otsustame:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Vastus: X 1 = 2, X 2 = -1.

Näide 2 . lahendage võrrand|2 X + 1| = X + 2.

Otsus.

Kuna moodul on mittenegatiivne arv, siis X+ 2 ≥ 0. Vastavalt:

X ≥ -2.

Teeme kaks võrrandit:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Otsustame:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Mõlemad numbrid on suuremad kui -2. Nii et mõlemad on võrrandi juured.

Vastus: X 1 = -1, X 2 = 1.

Näide 3 . lahendage võrrand

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Otsus.

Võrrand on mõttekas, kui nimetaja ei ole võrdne nulliga – seega kui X≠ 1. Võtame seda tingimust arvesse. Meie esimene toiming on lihtne – me mitte lihtsalt ei vabane murdosast, vaid teisendame selle nii, et saaksime mooduli kõige puhtamal kujul:

|X+ 3| - 1 = 4 ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Nüüd on meil ainult mooduli all olev avaldis võrrandi vasakul küljel. Liigu edasi.
Arvu moodul on mittenegatiivne arv – see tähendab, et see peab olema nullist suurem või sellega võrdne. Vastavalt sellele lahendame ebavõrdsuse:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Seega on meil teine ​​tingimus: võrrandi juur peab olema vähemalt 3/4.

Vastavalt reeglile koostame kahe võrrandi komplekti ja lahendame need:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Saime kaks vastust. Kontrollime, kas need on algse võrrandi juured.

Meil oli kaks tingimust: võrrandi juur ei tohi olla võrdne 1-ga ja see peab olema vähemalt 3/4. St X ≠ 1, X≥ 3/4. Mõlemad tingimused vastavad ainult ühele kahest saadud vastusest – numbrile 2. Seega on ainult see algvõrrandi juur.

Vastus: X = 2.

Ebavõrdsused mooduliga.

Näide 1 . Lahendage ebavõrdsus| X - 3| < 4

Otsus.

Mooduli reegel ütleb:

|a| = a, kui a ≥ 0.

|a| = -a, kui a < 0.

Moodulil võib olla nii mittenegatiivne kui ka negatiivne arv. Seega peame kaaluma mõlemat juhtumit: X- 3 ≥ 0 ja X - 3 < 0.

1) Millal X- 3 ≥ 0 meie algne ebavõrdsus jääb samaks, ainult ilma moodulmärgita:
X - 3 < 4.

2) Millal X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Sulgude avamisel saame:

-X + 3 < 4.

Seega oleme nende kahe tingimuse põhjal jõudnud kahe ebavõrdsuse süsteemi liiduni:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Lahendame need:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Seega on meie vastuses kahe komplekti liit:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Määrake väikseim ja suurim väärtus. Need on -1 ja 7. Samal ajal X suurem kui -1, kuid väiksem kui 7.
Pealegi, X≥ 3. Seega on ebavõrdsuse lahenduseks kogu arvude hulk vahemikus -1 kuni 7, välja arvatud need äärmuslikud arvud.

Vastus: -1 < X < 7.

Või: X ∈ (-1; 7).

Lisandmoodulid.

1) Meie ebavõrdsuse lahendamiseks on lihtsam ja lühem viis – graafiline. Selleks tõmmake horisontaaltelg (joonis 1).

Väljend | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X punktile 3 vähem kui neli ühikut. Märgime teljele numbri 3 ja loeme sellest vasakule ja paremale 4 jaotust. Vasakul jõuame punktini -1, paremal - punktini 7. Seega punktid X me lihtsalt nägime ilma neid arvutamata.

Veelgi enam, ebavõrdsuse tingimuse kohaselt ei kuulu -1 ja 7 ise lahenduste hulka. Seega saame vastuse:

1 < X < 7.

2) Kuid on veel üks lahendus, mis on veelgi lihtsam kui graafiline viis. Selleks tuleb meie ebavõrdsus esitada järgmisel kujul:

4 < X - 3 < 4.

Nii see ju mooduli reegli järgi on. Mittenegatiivne arv 4 ja sarnane negatiivne arv -4 on ebavõrdsuse lahendi piirid.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Näide 2 . Lahendage ebavõrdsus| X - 2| ≥ 5

Otsus.

See näide erineb oluliselt eelmisest. Vasak pool on suurem kui 5 või võrdne 5-ga. Geomeetrilisest vaatenurgast on ebavõrdsuse lahenduseks kõik arvud, mis on punktist 2 5 ühiku kaugusel või rohkem (joonis 2). Graafik näitab, et need on kõik arvud, mis on väiksemad või võrdsed kui -3 ja suuremad kui 7 või sellega võrdsed. Seega oleme vastuse juba saanud.

Vastus: -3 ≥ X ≥ 7.

Samal teel lahendame sama ebavõrdsuse, paigutades vaba liikme vastupidise märgiga vasakule ja paremale:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Vastus on sama: -3 ≥ X ≥ 7.

Või: X ∈ [-3; 7]

Näide lahendatud.

Näide 3 . Lahendage ebavõrdsus 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Otsus.

Number X võib olla positiivne, negatiivne või null. Seetõttu peame arvestama kõigi kolme asjaoluga. Nagu teate, võetakse neid arvesse kahes ebavõrdsuses: X≥ 0 ja X < 0. При X≥ 0, kirjutame lihtsalt oma esialgse ebavõrdsuse ümber nii, nagu see on, ainult ilma mooduli märgita:

6x 2 - X - 2 ≤ 0.

Nüüd teine ​​juhtum: kui X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Sulgude laiendamine:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Seega oleme saanud kaks võrrandisüsteemi:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Peame lahendama süsteemide ebavõrdsused – see tähendab, et peame leidma kahe ruutvõrrandi juured. Selleks võrdsustame võrratuste vasakpoolsed küljed nulliga.

Alustame esimesest:

6X 2 - X - 2 = 0.

Ruutvõrrandi lahendamine – vt jaotist "Rutvõrrand". Nimetame vastuse kohe:

X 1 \u003d -1/2, x 2 = 2/3.

Esimesest võrratuste süsteemist saame, et algse võrratuse lahendus on kogu arvude hulk vahemikus -1/2 kuni 2/3. Me kirjutame lahenduste liidu X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Nüüd lahendame teise ruutvõrrandi:

6X 2 + X - 2 = 0.

Selle juured:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Järeldus: millal X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Kombineerime kaks vastust ja saame lõpliku vastuse: lahenduseks on kogu arvude hulk vahemikus -2/3 kuni 2/3, sealhulgas need äärmuslikud arvud.

Vastus: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Või: X ∈ [-2/3; 2/3].

Moodulit sisaldavate võrratuste lahendamiseks on mitu võimalust. Vaatleme mõnda neist.

1) Võrratuse lahendamine mooduli geomeetrilise omaduse abil.

Tuletan meelde, mis on mooduli geomeetriline omadus: arvu x moodul on kaugus lähtepunktist punktini, mille koordinaat on x.

Sel viisil ebavõrdsuse lahendamise käigus võib tekkida 2 juhtumit:

1. |x| ≤ b,

Ja ebavõrdsus mooduliga taandub ilmselgelt kahe võrratuse süsteemiks. Siin võib märk olla range, sel juhul "torgatakse" pildil olevad punktid välja.

2. |x| ≥ b, siis lahenduse pilt näeb välja selline:

Ja mooduli ebavõrdsus taandub ilmselgelt kahe võrratuse hulgaks. Siin võib märk olla range, sel juhul "torgatakse" pildil olevad punktid välja.

Näide 1

Lahendage võrratus |4 – |x|| ≥ 3.

Otsus.

See ebavõrdsus on võrdne järgmise hulgaga:

U [-1;1] U

Näide 2

Lahendage võrratus ||x+2| – 3| ≤ 2.

Otsus.

See ebavõrdsus on samaväärne järgmise süsteemiga.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.

Eraldi lahendame süsteemi esimese ebavõrdsuse. See on samaväärne järgmise komplektiga:

U[-1; 3].

2) Väärtuste lahendamine mooduli definitsiooni abil.

Lubage mul teile alustada mooduli määratlus.

|a| = a kui a ≥ 0 ja |a| = -a kui a< 0.

Näiteks |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

Näide 1

Lahendage võrratus 3|x – 1| ≤ x + 3.

Otsus.

Kasutades mooduli määratlust, saame kaks süsteemi:

(x – 1 ≥ 0
(3 (x – 1) ≤ x + 3

(x - 1< 0
(-3 (x - 1) ≤ x + 3.

Lahendades esimese ja teise süsteemi eraldi, saame:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x ≥ 0.

Algse ebavõrdsuse lahenduseks on kõik esimese süsteemi lahendused ja kõik teise süsteemi lahendused.

Vastus: x€.

3) Võrratuste lahendamine ruudustamisel.

Näide 1

Lahendage võrratus |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

Otsus.

Tõstame ebavõrdsuse mõlemad pooled ruutu. Märgin, et ebavõrdsuse mõlema poole kandmine on võimalik ainult siis, kui mõlemad on positiivsed. Sel juhul on meil moodulid nii vasakul kui ka paremal, nii et saame seda teha.

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Nüüd kasutame järgmist mooduli atribuuti: (|x|) 2 = x 2 .

(x 2–1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.

(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,

(x - 2) (2x 2 - x)< 0,

x (x - 2) (2x - 1)< 0.

Lahendame intervallmeetodil.

Vastus: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Võrratuste lahendamine muutujate muutmise meetodil.

Näide.

Lahendage võrratus (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Otsus.

Pange tähele, et (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Siis saame ebavõrdsuse

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Teeme muudatuse y = |2x + 3|.

Kirjutame oma ebavõrdsuse ümber, võttes arvesse asendust.

y 2 – y ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0.

Laguneme ruudukujuline kolmik, seisab vasakul, tegurite järgi.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1–11) / 2,

(y - 6) (y + 5) ≤ 0.

Lahendame intervallmeetodil ja saame:

Tagasi asendamise juurde:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

See kahekordne ebavõrdsus on samaväärne ebavõrdsuse süsteemiga:

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

Lahendame iga ebavõrdsuse eraldi.

Esimene on samaväärne süsteemiga

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Lahendame selle ära.

(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.

Teine võrratus kehtib ilmselgelt kõigi x kohta, kuna moodul on definitsiooni järgi positiivne arv. Kuna süsteemi lahendiks on kõik x, mis rahuldavad samaaegselt nii süsteemi esimest kui teist võrratust, siis algse süsteemi lahendus on selle esimese topeltvõrratuse lahend (teine ​​kehtib ju kõigi x kohta) .

Vastus: x € [-4,5; 1.5].

blog.site, materjali täieliku või osalise kopeerimisega on nõutav link allikale.

Moodulitega ebavõrdsuse paljastamise meetodid (reeglid) seisnevad moodulite järjestikuses avalikustamises, kasutades alammooduli funktsioonide konstantse märgi intervalle. Lõplikus versioonis saadakse mitu võrratust, millest nad leiavad intervallid või intervallid, mis rahuldavad ülesande tingimust.

Liigume edasi praktikas levinud näidete lahendamise juurde.

Lineaarsed ebavõrdsused moodulitega

Lineaarse all peame silmas võrrandeid, milles muutuja siseneb võrrandisse lineaarselt.

Näide 1. Leia lahendus ebavõrdsusele

Otsus:
Ülesande tingimusest järeldub, et x=-1 ja x=-2 korral muutuvad moodulid nulliks. Need punktid jagavad arvtelje intervallideks

Igas neist intervallidest lahendame antud ebavõrdsuse. Selleks koostame kõigepealt graafilised joonised submodulaarsete funktsioonide konstantse märgi aladest. Neid on kujutatud aladena, millel on märgid iga funktsiooni kohta.

või intervallid kõigi funktsioonide märkidega.

Esimesel intervallil avage moodulid

Korrutame mõlemad osad miinus ühega, samas kui ebavõrdsuse märk muutub vastupidiseks. Kui teil on selle reegliga raske harjuda, võite miinusest vabanemiseks liigutada iga osa märgist kaugemale. Lõpuks saate kätte

Hulga x>-3 lõikepunktiks alaga, millel võrrandid lahendati, on intervall (-3;-2) . Kellel on lihtsam graafiliselt lahendusi otsida, saab joonistada nende alade ristumiskoha

Lahenduseks on alade üldine ristumiskoht. Range ebatasasusega servi ei arvestata. Kui mitte ranget, kontrollitakse asendamisega.

Teisel intervallil saame

Lõik on intervall (-2; -5/3). Graafiliselt näeb lahendus välja selline

Kolmandal intervallil saame

See tingimus ei anna nõutavale alale lahendusi.

Kuna kaks leitud lahendust (-3;-2) ja (-2;-5/3) piirnevad punktiga x=-2 , siis kontrollime ka seda.

Seega on lahenduseks punkt x=-2. Üldlahendus seda silmas pidades näeb välja selline (-3;5/3).

Näide 2. Leidke ebavõrdsusele lahendus
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

Otsus:
Alammooduli funktsioonide nullpunktid on punktid x=2, x=3, x=4 . Kui argumentide väärtused on nendest punktidest väiksemad, on alammooduli funktsioonid negatiivsed ja kui väärtused on suured, on need positiivsed.

Punktid jagavad reaaltelje neljaks intervalliks. Avame moodulid vastavalt märgi püsivuse intervallidele ja lahendame võrratused.

1) Esimesel intervallil on kõik alammoodulfunktsioonid negatiivsed, seetõttu muudame moodulite laiendamisel märgi vastupidiseks.

Leitud x väärtuste ristumiskoht vaadeldava intervalliga on punktide kogum

2) Punktide x=2 ja x=3 vahelises intervallis on esimene alammooduli funktsioon positiivne, teine ​​ja kolmas negatiivsed. Laiendades mooduleid, saame

võrratus, mis ristumiskohas intervalliga, millel me lahendame, annab ühe lahendi - x=3.

3) Punktide x=3 ja x=4 vahelises intervallis on esimene ja teine ​​alammooduli funktsioon positiivsed ning kolmas negatiivne. Selle põhjal saame

See tingimus näitab, et kogu intervall rahuldab moodulite ebavõrdsust.

4) Väärtuste x>4 korral on kõik funktsioonid märgipositiivsed. Moodulite laiendamisel me nende märki ei muuda.

Leitud tingimus ristumiskohas intervalliga annab järgmise lahenduste komplekti

Kuna ebavõrdsus on lahendatud kõikidel intervallidel, jääb üle leida kõigi leitud x väärtuste ühine väärtus. Lahenduseks on kaks intervalli

See näide on lahendatud.

Näide 3. Leia lahendus ebavõrdsusele
||x-1|-5|>3-2x

Otsus:
Meil on ebavõrdsus mooduliga moodulist. Sellised ebavõrdsused ilmnevad moodulite pesastamisel, alustades neist, mis on paigutatud sügavamale.

Alammooduli funktsioon x-1 teisendatakse punktis x=1 nulliks. Väiksemate väärtuste puhul, mis on suuremad kui 1, on see negatiivne ja positiivne, kui x>1. Selle põhjal avame sisemise mooduli ja arvestame iga intervalli ebavõrdsust.

Kõigepealt kaaluge intervalli miinus lõpmatusest üheni

Alammooduli funktsioon on punktis x=-4 null. Väiksemate väärtuste puhul on see positiivne, suuremate väärtuste puhul negatiivne. Laiendage x moodulit<-4:

Vaadeldava ala ristumiskohas saame lahenduste komplekti

Järgmine samm on mooduli laiendamine intervallil (-4; 1)

Võttes arvesse mooduli laiendusala, saame lahenduste intervalli

PIDage meeles: kui saate sellistes moodulitega ebatasasustes kaks intervalli, mis piirnevad ühise punktiga, siis reeglina on see ka lahendus.

Selleks peate lihtsalt kontrollima.

Sel juhul asendame punkti x=-4.

Nii et x=-4 on lahendus.
Laiendage sisemist moodulit x>1 jaoks

Alammooduli funktsioon on x jaoks negatiivne<6.
Moodulit laiendades saame

See tingimus jaotises intervalliga (1;6) annab tühja lahenduste hulga.

Kui x>6 saame ebavõrdsuse

Ka lahendades saime tühja komplekti.
Arvestades kõike ülaltoodut, on moodulitega ebavõrdsuse ainus lahendus järgmine intervall.

Võrratused ruutvõrrandeid sisaldavate moodulitega

Näide 4. Leidke ebavõrdsusele lahendus
|x^2+3x|>=2-x^2

Otsus:
Alammooduli funktsioon kaob punktides x=0, x=-3. Lihtsa asendamise teel miinus üks

määrame, et see on intervallil (-3; 0) väiksem kui null ja sellest üle positiivne.
Laiendage moodulit piirkondades, kus alammooduli funktsioon on positiivne

Jääb kindlaks määrata alad, kus ruutfunktsioon on positiivne. Selleks määratleme juured ruutvõrrand

Mugavuse huvides asendame punkti x=0, mis kuulub intervalli (-2;1/2). Funktsioon on selles intervallis negatiivne, seega on lahenduseks järgmised hulgad x

Siin tähistavad sulgud lahendustega alade servi, seda tehti teadlikult, võttes arvesse järgmist reeglit.

MEELES: Kui moodulitega või lihtvõrratus on range, siis leitud alade servad ei ole lahendid, aga kui võrratused ei ole ranged (), siis on servad lahendid (tähistatud nurksulgudega).

Seda reeglit kasutavad paljud õpetajad: kui on antud range ebavõrdsus ja kirjutate arvutuste käigus lahendusse nurksulu ([,]), loevad nad seda automaatselt valeks vastuseks. Samuti, kui testimisel on määratud mitterange ebavõrdsus moodulitega, siis otsige lahenduste hulgast nurksulgudega alasid.

Intervallil (-3; 0) moodulit laiendades muudame funktsiooni märgi vastupidiseks

Võttes arvesse ebavõrdsuse avalikustamise ulatust, on lahendusel vorm

Koos eelmise alaga annab see kaks poolintervalli

Näide 5. Leia lahendus ebavõrdsusele
9x^2-|x-3|>=9x-2

Otsus:
Antud on mitterange võrratus, mille alammooduli funktsioon on punktis x=3 võrdne nulliga. Väiksemate väärtuste korral on see negatiivne, suuremate väärtuste korral positiivne. Laiendame moodulit intervallil x<3.

Võrrandi diskriminandi leidmine

ja juured

Nullpunkti asendades saame teada, et intervallil [-1/9; 1] on ruutfunktsioon negatiivne, seega on intervall lahendus. Järgmisena avage moodul x>3 jaoks

Matemaatika on teaduse tarkuse sümbol,

näide teaduslikust rangusest ja lihtsusest,

täiuslikkuse ja ilu standard teaduses.

Vene filosoof, professor A.V. Vološinov

Modulo ebavõrdsused

Koolimatemaatikas on kõige raskemini lahendatavad probleemid ebavõrdsused, mis sisaldavad muutujaid mooduli märgi all. Selliste ebavõrdsuste edukaks lahendamiseks on vaja hästi tunda mooduli omadusi ja omada oskusi neid kasutada.

Põhimõisted ja omadused

Reaalarvu moodul (absoluutväärtus). tähistatud ja on määratletud järgmiselt:

Mooduli lihtsad omadused hõlmavad järgmisi seoseid:

JA .

Märge, et kaks viimast omadust kehtivad iga paarisastme korral.

Samuti kui , kus , siis ja

Keerulisemad mooduli omadused, mida saab tõhusalt kasutada võrrandite ja võrratuste lahendamisel moodulitega, formuleeritakse järgmiste teoreemide abil:

1. teoreem.Mis tahes analüütiliste funktsioonide jaoks ja ebavõrdsus.

2. teoreem. Võrdsus võrdub ebavõrdsusega.

3. teoreem. Võrdsus võrdub ebavõrdsusega.

Levinumad ebavõrdsused koolimatemaatikas, mis sisaldavad tundmatuid muutujaid moodulmärgi all, on vormi ebavõrdsused ja kus mingi positiivne konstant.

4. teoreem. Ebavõrdsus võrdub kahekordse ebavõrdsusega, ja ebavõrdsuse lahendustaandub ebavõrdsuse hulga lahendamisele ja .

See teoreem on teoreemide 6 ja 7 erijuhtum.

Keerulisemad ebavõrdsused, moodulit sisaldavad vormi ebavõrdsused ja .

Sellise ebavõrdsuse lahendamise meetodeid saab sõnastada järgmise kolme teoreemi abil.

5. teoreem. Ebavõrdsus võrdub kahe ebavõrdsussüsteemi kombinatsiooniga

JA (1)

Tõestus. Sellest ajast

See viitab punkti (1) kehtivusele.

6. teoreem. Ebavõrdsus on samaväärne ebavõrdsuse süsteemiga

Tõestus. Nagu , siis ebavõrdsusest järgib seda . Selle tingimuse korral ebavõrdsusja sel juhul osutub teine ​​ebavõrdsuse süsteem (1) ebajärjekindlaks.

Teoreem on tõestatud.

7. teoreem. Ebavõrdsus võrdub ühe võrratuse ja kahe ebavõrdsussüsteemi kombinatsiooniga

JA (3)

Tõestus. Alates , siis ebavõrdsus alati hukatud, kui .

Las olla , siis ebavõrdsusoleks võrdne ebavõrdsusega, millest järeldub kahe võrratuse hulk ja .

Teoreem on tõestatud.

Kaaluge tüüpilised näitedülesannete lahendamine teemal „Ebavõrdsused, mis sisaldavad muutujaid mooduli märgi all.

Võrratuste lahendamine mooduliga

Lihtsaim meetod mooduliga võrratuste lahendamiseks on meetod, põhineb mooduli laiendamisel. See meetod on üldine, aga üldiselt võib selle rakendamine viia väga tülikate arvutusteni. Seetõttu peaksid õpilased teadma ka muid (efektiivsemaid) meetodeid ja võtteid selliste ebavõrdsuste lahendamiseks. Eriti, peavad olema teoreemide rakendamise oskused, antud artiklis.

Näide 1Lahendage ebavõrdsus

. (4)

Otsus.Ebavõrdsust (4) lahendatakse "klassikalise" meetodiga – mooduli laiendamise meetodiga. Selleks murrame numbritelje punktid ja intervallidega ja kaaluge kolme juhtumit.

1. Kui , siis , , , ja ebavõrdsus (4) võtab kuju või .

Kuna siin käsitletakse juhtumit, on , ebavõrdsuse (4) lahendus.

2. Kui , siis ebavõrdsusest (4) saame või . Alates intervallide ristumiskohast ja on tühi, siis ei ole vaadeldaval intervallil ebavõrdsuse (4) lahendeid.

3. Kui , siis ebavõrdsus (4) võtab kuju või . See on ilmne on ka lahendus ebavõrdsusele (4).

Vastus: ,.

Näide 2 Lahendage ebavõrdsus.

Otsus. Oletame, et. Nagu , siis saab antud ebavõrdsus kuju või . Sellest ajast ja järelikult või .

Kuid seetõttu või .

Näide 3 Lahendage ebavõrdsus

. (5)

Otsus. Nagu , siis on ebavõrdsus (5) samaväärne ebavõrdsustega või . Siit, vastavalt teoreemile 4, meil on hulk ebavõrdsusi ja .

Vastus: ,.

Näide 4Lahendage ebavõrdsus

. (6)

Otsus. Tähistame . Siis ebavõrdsusest (6) saame ebavõrdsuse , , või .

Siit, kasutades intervallmeetodit, saame . Nagu , siis siin on meil ebavõrdsuse süsteem

Süsteemi (7) esimese ebavõrdsuse lahendus on kahe intervalli liit ja , ja teise võrratuse lahendus on topeltvõrratus. See tähendab, et võrratussüsteemi (7) lahendus on kahe intervalli liit ja .

Vastus: ,

Näide 5Lahendage ebavõrdsus

. (8)

Otsus. Teisendame ebavõrdsuse (8) järgmiselt:

Või .

Intervallmeetodi rakendamine, saame lahenduse ebavõrdsusele (8).

Vastus:.

Märge. Kui paneme teoreemi 5 tingimusesse ja, siis saame .

Näide 6 Lahendage ebavõrdsus

. (9)

Otsus. Ebavõrdsusest (9) järeldub. Teisendame ebavõrdsuse (9) järgmiselt:

Või

Alates , siis või .

Vastus:.

Näide 7Lahendage ebavõrdsus

. (10)

Otsus. Alates ja , siis või .

Selles ühenduses ja ebavõrdsus (10) võtab kuju

Või

. (11)

Sellest järeldub, et või . Kuna , siis ebavõrdsus (11) tähendab ka või .

Vastus:.

Märge. Kui rakendame teoreemi 1 võrratuse (10) vasakule poolele, siis saame . Siit ja ebavõrdsusest (10) järeldub, see või . Nagu , siis ebavõrdsus (10) võtab kuju või .

Näide 8 Lahendage ebavõrdsus

. (12)

Otsus. Sellest ajast ja ebavõrdsus (12) tähendab või . Kuid seetõttu või . Siit saame või .

Vastus:.

Näide 9 Lahendage ebavõrdsus

. (13)

Otsus. Vastavalt teoreemile 7 on ebavõrdsuse (13) lahendid või .

Lase nüüd. Sel juhul ja ebavõrdsus (13) võtab kuju või .

Kui kombineerime intervalle ja , siis saame vormi ebavõrdsuse (13) lahendi.

Näide 10 Lahendage ebavõrdsus

. (14)

Otsus. Kirjutame võrratuse (14) ümber samaväärsel kujul: . Kui rakendame teoreemi 1 selle võrratuse vasakule poolele, saame võrratuse .

Siit ja teoreemist 1 järeldub, et ebavõrdsus (14) on täidetud mis tahes väärtuste korral.

Vastus: suvaline number.

Näide 11. Lahendage ebavõrdsus

. (15)

Otsus. Lause 1 rakendamine võrratuse (15) vasakule poolele, saame . Siit ja võrratusest (15) järgneb võrrand, mis näeb välja nagu.

Vastavalt teoreemile 3, võrrand võrdub ebavõrdsusega. Siit saame.

Näide 12.Lahendage ebavõrdsus

. (16)

Otsus. Võrratusest (16) saame teoreemi 4 järgi võrratuste süsteemi

Ebavõrdsuse lahendamiselkasutame teoreemi 6 ja saame võrratuste süsteemimillest järeldub.

Mõelge ebavõrdsusele. Vastavalt teoreemile 7, saame ebavõrdsuse hulga ja . Teine rahvastiku ebavõrdsus kehtib iga tegelikkuse kohta.

Seega, ebavõrdsuse (16) lahend on.

Näide 13Lahendage ebavõrdsus

. (17)

Otsus. 1. teoreemi järgi võime kirjutada

(18)

Võttes arvesse ebavõrdsust (17), järeldame, et mõlemad ebavõrdsused (18) muutuvad võrdsusteks, s.o. on olemas võrrandisüsteem

3. teoreemi järgi on see võrrandisüsteem võrdne võrratussüsteemiga

või

Näide 14Lahendage ebavõrdsus

. (19)

Otsus. Sellest ajast . Korrutame mõlemad ebavõrdsuse (19) osad avaldisega , mis mis tahes väärtuste korral võtab ainult positiivsed väärtused. Seejärel saame ebavõrdsuse, mis on ekvivalentne vormi ebavõrdsusega (19).

Siit saame või , kuhu . Alates ja siis ebavõrdsuse (19) lahendid on ja .

Vastus: ,.

Mooduliga ebavõrdsuse lahendamise meetodite põhjalikumaks uurimiseks on soovitatav tutvuda õpetustega, loetletud soovitatavate lugemiste loendis.

1. Matemaatika ülesannete kogu tehnikaülikooli sisseastujatele / Toim. M.I. Scanavi. - M .: Maailm ja haridus, 2013. - 608 lk.

2. Suprun V.P. Matemaatika gümnasistidele: ebavõrdsuse lahendamise ja tõestamise meetodid. – M.: Lenand / URSS, 2018. - 264 lk.

3. Suprun V.P. Matemaatika keskkooliõpilastele: mittestandardsed meetodid ülesannete lahendamiseks. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 lk.

Kas teil on küsimusi?

Juhendaja abi saamiseks - registreeru.

saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.