Kõrgeima kategooria õpetaja: Minaichenko N.S., gümnaasium nr 24, Sevastopol

Tund 8. klassis: "Ruudne trinoom ja selle juured"

Tunni tüüp : uute teadmiste õppetund.

Tunni eesmärk:

korraldada õpilaste tegevusi lagunemise alaste teadmiste kinnistamiseks ja arendamiseks ruudukujuline kolmik lineaarsetel teguritel murdude vähendamine;

arendada oskusi rakendada teadmisi kõigist faktooringmeetoditest: sulgudest, lühendatud korrutusvalemitest ja rühmitamismeetodist, et valmistuda algebra eksami edukaks sooritamiseks;

luua tingimused arenguks kognitiivne huvi teemale, kujunemisele loogiline mõtlemine ja enesekontroll faktoriseerimise kasutamisel.

Varustus: multimeediaprojektor, ekraan, esitlus: "Ruudse trinoomi juured", ristsõna, test, jaotusmaterjal.

Põhimõisted . Ruuttrinoomi faktoriseerimine.

Õpilaste iseseisev tegevus. Ruuttrinoomi faktorisatsiooniteoreemi rakendamine ülesannete lahendamisel.

Tunniplaan

Vastused õpilaste küsimustele

IV. Esmane teadmiste valdamise test. Peegeldus

Õpetaja sõnum.

Tudengisõnum

v. Kodutöö

tahvlile kirjutamine

Metoodiline kommentaar:

See teema on põhiline jaotises "Algebraliste avaldiste identiteedi teisendused". Seetõttu on oluline, et õpilased saaksid automaatselt mitte ainult näidetes näha faktorisatsiooni valemeid, vaid saaksid neid rakendada ka muudes ülesannetes: näiteks võrrandite lahendamisel, avaldiste teisendamisel, identiteedi tõestamisel.

See teema keskendub ruudu trinoomi faktoriseerimisele:

kirves+ bx + c = a(x – x)(x – x),

kus x ja x - juured ruutvõrrand ax + bx + c = 0.

See võimaldab laiendada õpilase vaatevälja, õpetada teda mõtlema mittestandardses olukorras, kasutades samal ajal õpitavat materjali, s.t. ruuttrinoomi faktoriseerimise valemi abil:

võime vähendada algebralisi murde;

oskus lihtsustada algebralisi avaldisi;

võrrandite lahendamise oskus;

võime identiteeti tõestada.

Tunni põhisisu:

a) 3x + 5x - 2;

b) –x + 16x – 15;

c) x - 12x + 24;

d) -5x + 6x - 1.

№2. Vähendage murdosa:

№3. Lihtsustage väljendit:

№4. Lahendage võrrand:

b)

Tundide ajal:

I. Teadmiste täiendamise etapp.

Õppetegevuse motiveerimine.

a) ajaloost:

b) ristsõna:

Meele soojendus-treening - ristsõna:

Horisontaalselt:

1) Teise astme juurt nimetatakse .... (ruut)

2) Muutuvad väärtused, mille korral võrrandist saab tõeline võrdus (juured)

3) Võrdsust, mis sisaldab tundmatut, nimetatakse ... (võrrand)

4) India teadlanekes pani paika ruutvõrrandite lahendamise üldreegli (Brahmagupta)

5) Ruutvõrrandi koefitsiendid on ... (arvud)

6) Vana-Kreeka teadlane, kes leiutas võrrandite lahendamise geomeetrilise meetodi (Euclid)

7) Ruutvõrrandi kordajaid ja juuri ühendav teoreem (Vieta)

8) "eristav", ruutvõrrandi juurte määratlemine on ... (diskriminant)

Lisaks:

Kui D>0, siis mitu juurt? (kaks)

Kui D = 0, siis mitu juurt? (üks)

Kui D<0, сколько корней? (нет действительных корней)

Horisontaalselt ja vertikaalselt tunni teema: "Ruudne kolmik"

b) motivatsioon:

See teema on põhiline jaotises "Algebraliste avaldiste identiteedi teisendused". Seetõttu on oluline, et te saaksite automaatselt mitte ainult näidetes näha faktorisatsiooni valemeid, vaid saaksite neid rakendada ka muudes ülesannetes: nagu murdude vähendamine, võrrandite lahendamine, avaldiste teisendamine, identiteetide tõestamine.

Täna keskendume ruudu trinoomi faktoriseerimisele:

II. Uue materjali õppimine.

Teema: Ruuttrinoom ja selle juured.

Paljude muutujate polünoomide üldteooria jääb koolikursuse raamidest kaugele välja. Seetõttu piirdume ühe reaalmuutuja polünoomide uurimisega ja sedagi kõige lihtsamatel juhtudel. Vaatleme ühe muutuja polünoome, mis on taandatud standardkujule.

Polünoomi juur on muutuja väärtus, mille juures polünoomi väärtus võrdub nulliga. See tähendab, et polünoomi juurte leidmiseks on vaja see võrdsustada nulliga, s.t. lahendage võrrand.

Esimese astme polünoomijuur
lihtne leida
. Eksam:
.

Ruuttrinoomi juured saab leida võrrandi lahendamisega:
.

Ruutvõrrandi juurte valemi järgi leiame:

;

Kui a ja - ruudukujulise trinoomi juured
, kus ≠ 0,

siis .

Tõestus:

Teostame ruudukujulise trinoomi järgmised teisendused:

=
=
=

=
=
=

=
=

Kuna diskrimineerija
, saame:

=
=

Kasutame sulgudes ruutude erinevuse valemit ja saame:

=
=
,

nagu
;
. Teoreem on tõestatud.

Saadud valemit nimetatakse valemiksruudukujulise trinoomi faktoriseerimine.

III. Oskuste ja vilumuste kujunemine.

№1. Teguriseerige ruudu kolmik:

Otsus:

Vastus: 3x+5x–2=3(x+2)(x-)=(x+2)(3x-1)

Töölaual:

b) –5x + 6x – 1;

Lisaks:

c) x - 12x + 24;

d) –x + 16x – 15.

№2. Vähendage murdosa:

a)

№4. Lahendage võrrand:

b)

IV. Esmane teadmiste valdamise test.

a) Test.

Valik 1.

1. Leidke ruudukujulise trinoomi juured:2x 2 -9x-5

Vastus:

2. Millise polünoomiga tuleks ellips asendada, et võrdus oleks tõene:

b) Optsioonide vastastikune kontrollimine (vastused ja hindamisparameetrid on illustreeritud).

c) Peegeldus.

V. Kodutöö.

9. klassi algebra kursusel õpitakse teemat "Ruudne trinoom ja selle juured". nagu iga teine ​​matemaatikatund, nõuab ka selleteemaline tund spetsiaalseid tööriistu ja õppemeetodeid. Nähtavus on vajalik. See hõlmab ka seda videotundi, mis on loodud spetsiaalselt õpetaja töö hõlbustamiseks.

See õppetund kestab 6:36 minutit. Selle aja jooksul jõuab autor teema täielikult paljastada. Õpetaja peab materjali koondamiseks valima ainult teemakohased ülesanded.

Õppetund algab polünoomide näidete näitamisega ühes muutujas. Seejärel ilmub ekraanile polünoomi juure definitsioon. Seda definitsiooni toetab näide, kus on vaja leida polünoomi juured. Olles võrrandi lahendanud, saab autor polünoomi juured.

Sellele järgneb märkus, et ruuttrinoomide hulka kuuluvad ka sellised teise astme polünoomid, mille puhul teine, kolmas või mõlemad koefitsiendid, välja arvatud kõrgeim, on võrdsed nulliga. Seda teavet toetab näide, kus vaba tegur on null.

Seejärel selgitab autor, kuidas leida ruudukujulise trinoomi juuri. Selleks tuleb lahendada ruutvõrrand. Ja autor soovitab seda kontrollida näitega, kus on antud ruudukujuline trinoom. Peame leidma selle juured. Lahendus koostatakse antud ruuttrinoomilt saadud ruutvõrrandi lahendi alusel. Lahendus on ekraanile kirjutatud üksikasjalikult, selgelt ja arusaadavalt. Selle näite lahendamise käigus jätab autor meelde ruutvõrrandi lahendamise, kirjutab valemid üles ja saab tulemuse. Vastus kirjutatakse ekraanile.

Autor selgitas ruudukujulise trinoomi juurte leidmist näite põhjal. Kui õpilased mõistavad olemust, saate liikuda üldisemate punktide juurde, mida autor teeb. Seetõttu võtab ta kõik ülaltoodu täiendavalt kokku. Üldiselt kirjutab autor matemaatilises keeles üles ruuttrinoomi juurte leidmise reegli.

Sellele järgneb märkus, et mõne ülesande puhul on mugavam kirjutada ruudukujuline trinoom veidi teistmoodi. See kirje kuvatakse ekraanil. See tähendab, et selgub, et binoomi ruutu saab eristada ruuttrinoomist. Sellist teisendust soovitatakse vaadelda näitega. Selle näite lahendus kuvatakse ekraanil. Nagu eelmises näites, on lahendus üles ehitatud üksikasjalikult koos kõigi vajalike selgitustega. Seejärel käsitleb autor probleemi, kus just antud infot kasutatakse. See on geomeetrilise tõestuse probleem. Lahendus sisaldab illustratsiooni joonise kujul. Probleemi lahendus on üksikasjalik ja selge.

Sellega õppetund lõpeb. Kuid õpetaja saab vastavalt õpilaste võimetele valida ülesanded, mis sellele teemale vastavad.

Seda videotundi saab kasutada algebratundides uue materjali selgitusena. See sobib suurepäraselt õpilaste enese ettevalmistamiseks tunniks.

Ettekanne 9. klassi matemaatikatunniks teemal "Ruudne trinoom ja selle juured" koos ülesannete sisuga aine süvaõppeks. Esitlus on mõeldud pidevaks kasutamiseks kogu tunni vältel. Erinevat laadi ülesanded sisult.

Lae alla:

Eelvaade:

Esitluste eelvaate kasutamiseks looge Google'i konto (konto) ja logige sisse: https://accounts.google.com

Slaidide pealdised:

Plaani punkt Plaani punkt Plaani punkt Plaani punkt Plaani punkt Teadmiste täiendamine Tunni teemaga tutvumine Entsüklopeediline viide Dünaamiline minut Kodutöö Ruuttrinoomi ja selle juured koostas matemaatikaõpetaja: 1KK Radchenko Natalja Fedorovna

Teadmiste aktualiseerimine Tunni teema õppimine Entsüklopeediline viide Dünaamiline minut Kodutöö Teadmiste aktualiseerimine ◊ 1 Funktsioonide kohta materjali kordamine; ◊ 2 Teoreetiline alus ruutvõrrandi lahendid; ◊ 3 Vieta teoreem; ◊ 4 kokku.

Teadmiste aktualiseerimine Materjali kordamine: nende funktsioonide hulgas märkige lineaarsed kahanevad funktsioonid: y= x²+12 y= -x-24 y= 9x+8 h= 23-23x h= 1/x² g= (x+16)² g = -3

Teadmiste uuendamine Mis määrab ruutvõrrandi juurte olemasolu ja arvu? Kuidas arvutada ruutvõrrandi diskriminanti D \u003d 2. Millised on ruutvõrrandi D\u003e 0, siis x 1,2 \u003d D \u003d 0, siis x \u003d juurte valemid

Teadmiste täiendamine t² - 2t - 3 = 0 3. Arvutage diskriminant ja vastake küsimusele "Mitu juurt on ruutvõrrandil"? D= 16 >0 , kaks juurt Mis on juurte korrutis? X 1  x 2 = - 3 5. Mis on võrrandi juurte summa? X 1 + x 2 \u003d 2 6. Mida saab öelda juurte märkide kohta? Erinevate märkide juured 7. Leia juured valiku teel. X 1 \u003d 3, x 2 = -1

Tunni teema õppimine ◊ 1 Tunni teema aruandlus; ◊ 2 kontseptsiooni "Ruudne trinoom ja selle juured" teoreetilised alused; ◊ 3 suurte mõtlejate ütlusi matemaatikast; ◊ 4 Teemanäidete analüüs; Tunni teema õppimine Entsüklopeediaviide Dünaamiline minut Kodutöö

Ruuttrinoom ja selle juured Ruuttrinoom on polünoom kujul ax² + bx + c, kus x on muutuja, a, b ja c on mõned arvud, pealegi a≠ 0. Ruuttrinoomi juur on muutuja väärtus, mille juures selle trinoomi väärtus on null

Ruuttrinoom ja selle juured Heast mõistusest ei piisa, peaasi, et seda hästi kasutada. R. Descartes Igaüks peaks suutma järjekindlalt mõelda, lõplikult otsustada, valesid järeldusi kummutada: füüsik ja luuletaja, traktorist ja keemik. E. Kolman

Entsüklopeediline viide ◊ 1 "parameetri" mõiste; ◊ 2 Sõna "parameeter" tähendus vene sõnaraamatutes ja sõnaraamatus võõrsõnad; ◊ 3 parameetri nimetus ja ulatus; ◊ 4 näidet parameetritega. Entsüklopeediline viide Dünaamiline minut Kodutöö

Entsüklopeediline viide PARAMEETER (kreeka keelest παραμετρέω - mõõdan, seadistus). Väärtus, mis sisaldub matemaatilises valemis ja säilitab konstantse väärtuse ühe nähtuse piires või konkreetse ülesande jaoks ..., (mat.) Parameeter - tähega väljendatud konstantne väärtus, mis säilitab oma konstantse väärtuse ainult järgmistel tingimustel: etteantud ülesanne ... "Võõrsõnade sõnastik". 3. Millise parameetri m väärtuse juures on kolmikruudul 2x ² + 2tx - m - 0,5 üks juur? Leia see juur.

Dünaamiline paus ◊ 1 „Probleemülesande“ lahendus; ◊ 2 Ajaloo viide: kiri minevikust; Dünaamiline minutiline kodutöö

Dünaamiline paus Millise parameetri m väärtuse korral on kolmikruudus 2x ² + 2tx - t - 0,5 = 0 ja sellel on üks juur? Leia see juur. Ruutvõrrandil on üks juur D=0 D= b² - 4ac; a = 2, b = 2 m, c = - m - 0,5 D = (2 m)² - 4  2  (- m - 0,5) = 4 m² + 8 m + 4 D = 0, 4 m² + 8 m +4 \u003d 0 m² + 2m +1 \u003d 0 (m + 1)² \u003d 0 m \u003d - 1 2x - 1) ² \u003d 0 2x -1 \u003d 0 x \u003d 0,5

Dünaamiline paus Kodutöös paluti 8. klassi õpilastel leida ruudukujulise trinoomi (x ² - 5x +7) ² - 2 (x ² - 5x +7) - 3 juured Pärast järelemõtlemist arutles Vitya järgmiselt: esmalt tuleb sulgud avada ja seejärel tuua sarnased terminid . Aga Stjopa ütles, et selle lahendamiseks on lihtsam viis ja sulgusid pole üldse vaja avada. Aidake Vital leida ratsionaalne lahendus

Dünaamiline paus Ruuttrinoomi juurte leidmise ja ruutvõrrandite koostamise probleeme leidub juba Vana-Egiptuse matemaatilistes papüürustes. Üldreegli juurte leidmiseks ja võrrandite lahendamiseks kujul: ax ² + bx \u003d c, kus a > 0, b ja c on suvalised, sõnastas Brahmagupta (VII sajand pKr). Brahmagupta ei teadnud veel, et ruutvõrrandil võib olla ka negatiivne juur. Bhaskara Acharya (XII sajand) sõnastas seose võrrandi koefitsientide vahel. Tegi palju ülesandeid.

Üldistus, kodutöö ◊ 1 Harjutuste lahendus parameetriga: Erinevat tüüpiülesanded; ◊ 2 Kokkuvõte uuritavast teemast; ◊ 3 Kodutööd: tasemete kaupa. Kodutöö

Üldistus, kodutöö Leia ruuttrinoomi (x-4)² + (4y-12)² juured. Leidke parameetri a väärtused, millest igaühe jaoks on kolmikruudul x²+ 4 x + 2ax+8a+1 üks lahendus. Kodutöö: punkt 3; 1. rühm: nr 45 (c, d), nr 49 (c, d); Rühm 2: a) leidke parameetri a väärtus, mille kolmikruudul x²-6x+2ax+4a pole lahendust; b) leidke kolmikruudu (2x-6)²+(3y-12)² juured

malli allikas Tšernakova Natalia Vladimirovna Arhangelski oblasti MTÜ "Kutsekool nr 31" riikliku õppeasutuse keemia- ja bioloogiaõpetaja "http://pedsovet.su/"

Ruuttrinoomi juurte leidmine

Eesmärgid: tutvustada ruuttrinoomi mõistet ja selle juuri; moodustada ruudukujulise trinoomi juurte leidmise oskus.

Tundide ajal

I. Organisatsioonimoment.

II. suuline töö.

Milline arvudest: -2; -üks; üks; 2 - kas võrrandite juured?

a) 8 X+ 16 = 0; sisse) X 2 + 3X – 4 = 0;

b) 5 X 2 – 5 = 0; G) X 3 – 3X – 2 = 0.

III. Uue materjali selgitus.

Uue materjali selgitus tuleks läbi viia järgmise skeemi järgi:

1) Tutvustage polünoomjuure mõistet.

2) Tutvustage ruuttrinoomi mõistet ja selle juuri.

3) Analüüsige küsimust ruuttrinoomi võimaliku juurte arvu kohta.

Küsimust binoom ruudu eraldamise kohta ruuttrinoomist on parem käsitleda järgmises õppetükis.

Igas uue materjali selgitamise etapis on vaja õpilastele pakkuda suulist ülesannet, et testida teooria põhipunktide omastamist.

Ülesanne 1. Milline arvudest: -1; üks; ; 0 - on polünoomi juured X 4 + 2X 2 – 3?

Ülesanne 2. Millised järgmistest polünoomidest on ruudukujulised trinoomid?

1) 2X 2 + 5X – 1; 6) X 2 – X – ;

2) 2X – ; 7) 3 – 4X + X 2 ;

3) 4X 2 + 2X + X 3 ; 8) X + 4X 2 ;

4) 3X 2 – ; 9) + 3X – 6;

5) 5X 2 – 3X; 10) 7X 2 .

Millise kolmiku ruutjuur on 0?

Ülesanne 3. Kas ruutkolminoomil võib olla kolm juurt? Miks? Mitu juurt on kolmikruudusel X 2 + X – 5?

IV. Oskuste ja vilumuste kujunemine.

Harjutused:

1. № 55, № 56, № 58.

2. Nr 59 (a, c, e), nr 60 (a, c).

Selles ülesandes ei pea te otsima ruudukujuliste trinoomide juuri. Piisab, kui leida nende diskrimineerija ja vastata esitatud küsimusele.

a) 5 X 2 – 8X + 3 = 0;

D 1 = 16 – 15 = 1;

D 1 0, seega on sellel ruutkolminoomil kaks juurt.

b) 9 X 2 + 6X + 1 = 0;

D 1 = 9 – 9 = 0;

D 1 = 0, seega on ruutkolminoomil üks juur.

kell 7 X 2 + 6X – 2 = 0;

7X 2 – 6X + 2 = 0;

D 1 = 9 – 14 = –5;

Kui aega on, saab teha numbri 63.

Otsus

Las olla kirves 2 + bx + c on antud ruutkolminom. Niivõrd kui a+ b +
+c= 0, siis on selle trinoomi üks juurtest võrdne 1-ga. Vieta teoreemi järgi on teine ​​juur võrdne . Vastavalt seisundile koos = 4a, seega on selle ruuttrinoomi teine ​​juur
.

Vastused: 1 ja 4.

V. Tunni tulemused.

Küsimused

Mis on polünoomjuur?

Millist polünoomi nimetatakse ruuttrinoomiks?

Kuidas leida ruudukujulise trinoomi juuri?

Mis on ruudukujulise trinoomi diskriminant?

Mitu juurt võib ruudukujulisel trinoomil olla? Millest see oleneb?

Kodutöö: Nr 57, nr 59 (b, d, f), nr 60 (b, d), nr 62.

Ruuttrinoomi juure leiate diskriminandi kaudu. Lisaks kehtib teise astme redutseeritud polünoomi puhul koefitsientide suhtel põhinev Vieta teoreem.

Juhend

• Ruutvõrrandid on koolialgebras üsna lai teema. Vasak pool selline võrrand on teise astme polünoom kujul A x² + B x + C, s.o. tundmatu x kolme erineva astmega monomi avaldis. Ruuttrinoomi juure leidmiseks peate arvutama x väärtuse, mille puhul see avaldis on võrdne nulliga.
• Ruutvõrrandi lahendamiseks tuleb leida diskriminant. Selle valem tuleneb polünoomi täisruudu esiletõstmisest ja on selle koefitsientide kindel suhe: D = B² - 4 A C.
• Diskriminant võib omandada erinevaid väärtusi, sealhulgas olla negatiivne. Ja kui nooremad õpilased võivad kergendatult öelda, et sellisel võrrandil pole juuri, siis keskkooliõpilased suudavad neid juba kompleksarvude teooria põhjal määrata. Seega võib olla kolm võimalust: Diskriminant on positiivne arv. Siis on võrrandi juured: x1 = (-B + √D)/2 A; x2 = (-B - √D) / 2 A;
  Diskriminant on läinud nulli. Teoreetiliselt on antud juhul võrrandil ka kaks juurt, kuid praktiliselt on need samad: x1 \u003d x2 \u003d -B / 2 A;
  Diskriminant on väiksem kui null. Arvutusse sisestatakse teatud väärtus i² = -1, mis võimaldab kirjutada komplekslahenduse: x1 = (-B + i √|D|)/2 A; x2 \u003d (-B - i √ | D |) / 2 A.
• Diskriminantmeetod kehtib iga ruutvõrrandi puhul, kuid on olukordi, kus on soovitatav rakendada rohkem kiire tee, eriti väikeste täisarvu koefitsientide puhul. Seda meetodit nimetatakse Vieta teoreemiks ja see koosneb redutseeritud trinoomi koefitsientide vahelistest suhete paarist: x² + P x + Q
  x1 + x2 = -P;
  x1 x2 = Q. Jääb vaid juured üles korjata.
• Tuleb märkida, et võrrandit saab taandada sarnasele kujule. Selleks peate jagama kõik trinoomi liikmed koefitsiendiga kõrgeimas astmes A: A x² + B x + C | A
  x² + B/A x + C/A
  x1 + x2 = -B/A;
  x1 x2 = C/A.