Oi-oi-oi-oi ... no see on tina, nagu loed lause enda ette =) Küll aga aitab siis lõõgastus, seda enam, et täna ostsin endale sobivad aksessuaarid. Seetõttu jätkame esimese jaotisega, loodan, et artikli lõpuks säilitan rõõmsa meeleolu.

Kahe sirgjoone vastastikune paigutus

Juhtum, kui saal laulab kooris kaasa. Kaks rida saab:

1) vaste;

2) olema paralleelne: ;

3) või lõikuvad ühes punktis: .

Abi mannekeenidele : palun pidage meeles ristmiku matemaatilist märki, seda esineb väga sageli. Kirje tähendab, et joon lõikub punktis oleva sirgega.

Kuidas määrata kahe joone suhtelist asukohta?

Alustame esimese juhtumiga:

Kaks sirget langevad kokku siis ja ainult siis, kui nende vastavad koefitsiendid on proportsionaalsed, see tähendab, et on olemas selline arv "lambda", et võrdsused

Vaatleme sirgeid ja koostame vastavatest kordajatest kolm võrrandit: . Igast võrrandist järeldub, et seega need jooned langevad kokku.

Tõepoolest, kui kõik võrrandi koefitsiendid korrutage -1-ga (muutke märke) ja kõik võrrandi koefitsiendid vähendades 2 võrra, saad sama võrrandi: .

Teine juhtum, kui jooned on paralleelsed:

Kaks sirget on paralleelsed siis ja ainult siis, kui nende koefitsiendid muutujatel on võrdelised: , aga.

Näiteks võtke kaks sirgjoont. Kontrollime muutujate vastavate koefitsientide proportsionaalsust:

Siiski on selge, et.

Ja kolmas juhtum, kui jooned ristuvad:

Kaks sirget lõikuvad siis ja ainult siis, kui nende muutujate koefitsiendid EI OLE proportsionaalsed, see tähendab, et "lambda" väärtust EI OLE, et võrdsused oleksid täidetud

Niisiis, sirgjoonte jaoks koostame süsteemi:

Esimesest võrrandist järeldub, et , ja teisest võrrandist: , seega, süsteem on ebaühtlane(lahendused puuduvad). Seega ei ole muutujate koefitsiendid proportsionaalsed.

Järeldus: jooned lõikuvad

Praktilistes ülesannetes saab kasutada just vaadeldud lahendusskeemi. Muide, see on väga sarnane vektorite kollineaarsuse kontrollimise algoritmiga, mida me õppetunnis käsitlesime. Vektorite lineaarse (mitte)sõltuvuse mõiste. Vektori alus. Kuid on ka tsiviliseeritud pakett:

Näide 1

Uurige joonte suhtelist asukohta:

Otsus põhineb sirgjoonte suunavektorite uurimisel:

a) Võrranditest leiame sirgete suunavektorid: .

, nii et vektorid ei ole kollineaarsed ja sirged lõikuvad.

Igaks juhuks panen ristmikule osutitega kivi:

Ülejäänud hüppavad üle kivi ja järgnevad otse surmatu Kashchei juurde =)

b) Leidke sirgete suunavektorid:

Sirgedel on sama suunavektor, mis tähendab, et need on kas paralleelsed või samad. Siin pole determinant vajalik.

Ilmselgelt on tundmatute koefitsiendid proportsionaalsed, samas kui .

Uurime, kas võrdsus on tõsi:

Seega

c) Leidke sirgete suunavektorid:

Arvutame determinandi, mis koosneb nende vektorite koordinaatidest:
, seega on suunavektorid kollineaarsed. Jooned on kas paralleelsed või langevad kokku.

Proportsionaalsustegurit "lambda" on lihtne näha otse kollineaarsete suunavektorite suhtest. Kuid selle võib leida ka võrrandite endi koefitsientide kaudu: .

Nüüd uurime, kas võrdsus on tõsi. Mõlemad tasuta tingimused on null, seega:

Saadud väärtus rahuldab seda võrrandit (tavaliselt rahuldab seda iga arv).

Seega jooned langevad kokku.

Vastus:

Peagi õpite (või isegi olete juba õppinud) lahendama kaalutud probleemi sõna otseses mõttes mõne sekundiga. Sellega seoses ei näe ma põhjust iseseisva lahenduse jaoks midagi pakkuda, parem on panna geomeetrilisse vundamenti veel üks oluline tellis:

Kuidas tõmmata antud joonega paralleelset joont?

Selle kõige lihtsama ülesande teadmatuse eest karistab röövel Ööbik karmilt.

Näide 2

Sirge on antud võrrandiga . Kirjutage võrrand punkti läbiva paralleelse sirge jaoks.

Otsus: tähistage tundmatut rida tähega . Mida seisund selle kohta ütleb? Joon läbib punkti. Ja kui sirged on paralleelsed, siis on ilmselge, et sirge "ce" suunav vektor sobib ka sirge "de" konstrueerimiseks.

Me võtame võrrandist välja suunavektori:

Vastus:

Näite geomeetria näeb välja lihtne:

Analüütiline kontrollimine koosneb järgmistest etappidest:

1) Kontrollime, et joontel oleks sama suunavektor (kui sirge võrrandit pole korralikult lihtsustatud, siis on vektorid kollineaarsed).

2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit.

Analüütilist kontrollimist on enamikul juhtudel lihtne suuliselt läbi viia. Vaadake kahte võrrandit ja paljud teist saavad kiiresti aru, kuidas jooned on paralleelsed ilma jooniseta.

Tänased näited ise lahendamiseks on loomingulised. Sest Baba Yagaga tuleb ikka võistelda ja ta, teate, on igasuguste mõistatuste armastaja.

Näide 3

Kirjutage võrrand sirgele, mis läbib sirgega paralleelset punkti

Lahenduseks on ratsionaalne ja mitte väga ratsionaalne viis. Lühim tee on tunni lõpus.

Tegime paralleeljoontega veidi tööd ja tuleme nende juurde hiljem tagasi. Ühttuvate joonte juhtum pakub vähe huvi, seega mõelge probleemile, mis on teile hästi teada kooli õppekava:

Kuidas leida kahe sirge lõikepunkti?

Kui sirge lõikuvad punktis , siis on selle koordinaadid lahenduseks lineaarvõrrandisüsteemid

Kuidas leida sirgete lõikepunkti? Lahendage süsteem.

Siin on teile kahe süsteemi geomeetriline tähendus lineaarvõrrandid kahe tundmatuga on kaks tasapinnal lõikuvat (kõige sagedamini) sirget.

Näide 4

Leidke sirgete lõikepunkt

Otsus: Lahendamiseks on kaks võimalust – graafiline ja analüütiline.

Graafiline viis on lihtsalt joonistada etteantud jooned ja otse jooniselt leida lõikepunkt:

Siin on meie mõte: . Kontrollimiseks tuleks igasse sirge võrrandisse asendada selle koordinaadid, need peaksid mahtuma nii sinna kui ka sinna. Teisisõnu, punkti koordinaadid on süsteemi lahendus. Tegelikult kaalusime graafilist lahendusviisi lineaarvõrrandisüsteemid kahe võrrandiga, kahe tundmatuga.

Graafiline meetod pole muidugi halb, kuid sellel on märgatavaid puudusi. Ei, asi pole selles, et seitsmenda klassi õpilased nii otsustavad, vaid selles, et õige ja TÄPSE joonise tegemine võtab aega. Lisaks ei ole mõnda joont nii lihtne konstrueerida ja lõikepunkt ise võib olla kuskil kolmekümnendas kuningriigis väljaspool märkmikulehte.

Seetõttu on lõikepunkti otstarbekam otsida analüütilise meetodiga. Lahendame süsteemi:

Süsteemi lahendamiseks kasutati võrrandite terminipõhise liitmise meetodit. Vastavate oskuste arendamiseks külastage õppetundi Kuidas võrrandisüsteemi lahendada?

Vastus:

Kontrollimine on triviaalne – ristumispunkti koordinaadid peavad rahuldama süsteemi iga võrrandit.

Näide 5

Leidke sirgete lõikepunkt, kui need ristuvad.

See on tee-seda-ise näide. Ülesande saab mugavalt jagada mitmeks etapiks. Seisundi analüüs näitab, et see on vajalik:
1) Kirjutage sirge võrrand.
2) Kirjutage sirge võrrand.
3) Selgitage välja joonte suhteline asukoht.
4) Kui sirged lõikuvad, siis leidke lõikepunkt.

Tegevusalgoritmi väljatöötamine on tüüpiline paljude geomeetriliste ülesannete puhul ja sellele keskendun ma korduvalt.

Täielik lahendus ja vastus õpetuse lõpus:

Kingapaar pole veel kulunud, kuna jõudsime tunni teise osani:

Perpendikulaarsed jooned. Kaugus punktist jooneni.
Nurk ridade vahel

Alustame tüüpilise ja väga olulise ülesandega. Esimeses osas õppisime etteantud sirgega paralleelset sirget ehitama ja nüüd pöörab onn kanakoibadel 90 kraadi:

Kuidas tõmmata joont, mis on antud joonega risti?

Näide 6

Sirge on antud võrrandiga . Kirjutage võrrand punkti läbiva ristsirge jaoks.

Otsus: Eeldusel on teada, et . Tore oleks leida sirge suunavektor. Kuna jooned on risti, on trikk lihtne:

Võrrandist “eemaldame” normaalvektori: , millest saab sirge suunav vektor.

Koostame sirgjoone võrrandi punktist ja suunavektorist:

Vastus:

Avame geomeetrilise visandi:

Hmm... Oranž taevas, oranž meri, oranž kaamel.

Lahenduse analüütiline kontrollimine:

1) Eraldage võrranditest suunavektorid ja abiga vektorite punktkorrutis järeldame, et sirged on tõepoolest risti: .

Muide, võite kasutada tavalisi vektoreid, see on veelgi lihtsam.

2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit .

Kontrollimist on jällegi lihtne suuliselt läbi viia.

Näide 7

Leidke ristsirgete lõikepunkt, kui võrrand on teada ja punkt.

See on tee-seda-ise näide. Ülesandes on mitu tegevust, mistõttu on mugav lahendust punkt-punkti kaupa järjestada.

Meie põnev teekond jätkub:

Kaugus punktist jooneni

Meie ees on sirge jõeriba ja meie ülesanne on jõuda selleni lühimat teed pidi. Takistused puuduvad ja kõige optimaalsem marsruut on liikumine mööda risti. See tähendab, et kaugus punktist sirgeni on risti oleva segmendi pikkus.

Geomeetrias tähistatakse kaugust traditsiooniliselt kreeka tähega "ro", näiteks: - kaugus punktist "em" sirgjooneni "de".

Kaugus punktist jooneni väljendatakse valemiga

Näide 8

Leia kaugus punktist sirgeni

Otsus: kõik, mida vajate, on numbrid hoolikalt valemis asendada ja arvutused teha:

Vastus:

Teostame joonise:

Leitud kaugus punktist jooneni on täpselt punase lõigu pikkus. Kui teed ruudulisele paberile joonise mõõtkavas 1 ühikut. \u003d 1 cm (2 lahtrit), siis saab kaugust mõõta tavalise joonlauaga.

Mõelge teisele ülesandele sama joonise järgi:

Ülesandeks on leida punkti koordinaadid, mis on punktiga sirge suhtes sümmeetriline . Teen ettepaneku sooritada toimingud ise, kuid kirjeldan lahendusalgoritmi vahetulemustega:

1) Leia sirge, mis on joonega risti.

2) Leidke sirgete lõikepunkt: .

Mõlemat toimingut käsitletakse üksikasjalikult selles õppetükis.

3) Punkt on lõigu keskpunkt. Keskmise ja ühe otsa koordinaadid on meile teada. Kõrval lõigu keskkoha koordinaatide valemid leida .

Ei ole üleliigne kontrollida, kas kaugus on samuti võrdne 2,2 ühikuga.

Siin võib arvutustes raskusi tekkida, kuid tornis aitab palju abi mikrokalkulaatorist, mis võimaldab lugeda harilikud murded. Olen korduvalt nõu andnud ja soovitan veel.

Kuidas leida kaugust kahe paralleelse sirge vahel?

Näide 9

Leidke kahe paralleelse sirge vaheline kaugus

See on veel üks näide sõltumatust lahendusest. Väike vihje: lahendusviise on lõpmatult palju. Aruandesõna tunni lõpus, kuid parem proovige ise arvata, ma arvan, et teie leidlikkus oli hästi hajutatud.

Nurk kahe joone vahel

Ükskõik milline nurk, siis lengi:


Geomeetrias võetakse VÄIKSEMAKS nurgaks kahe sirge vaheline nurk, millest järeldub automaatselt, et see ei saa olla nüri. Joonisel ei loeta punase kaarega näidatud nurka ristuvate joonte vaheliseks nurgaks. Ja selle "roheline" naaber või vastupidiselt orienteeritud karmiinpunane nurk.

Kui sirged on risti, võib nendevaheliseks nurgaks võtta ükskõik millise neljast nurgast.

Kuidas nurgad erinevad? Orienteerumine. Esiteks on põhimõtteliselt oluline nurga "kerimise" suund. Teiseks kirjutatakse negatiivselt orienteeritud nurk miinusmärgiga, näiteks kui .

Miks ma seda ütlesin? Tundub, et tavapärase nurgakontseptsiooniga saab hakkama. Fakt on see, et valemites, mille abil leiame nurgad, on lihtne saada negatiivne tulemus ja see ei tohiks teid üllatada. Miinusmärgiga nurk pole halvem ja sellel on väga spetsiifiline geomeetriline tähendus. Negatiivse nurga joonisel tuleb kindlasti noolega näidata selle suund (päripäeva).

Kuidas leida nurk kahe joone vahel? On kaks töövalemit:

Näide 10

Leidke ridade vaheline nurk

Otsus ja Meetod üks

Vaatleme kahte sirget, mis on antud võrranditega üldkujul:

Kui sirge mitte risti, siis orienteeritud nendevahelise nurga saab arvutada järgmise valemi abil:

Pöörame hoolega tähelepanu nimetajale – see on täpselt nii skalaarkorrutis sirgjoonte suunavektorid:

Kui , siis valemi nimetaja kaob ja vektorid on ortogonaalsed ja jooned risti. Seetõttu tehti reservatsioon sõnastuses olevate joonte mitteperpendikulaarsuse osas.

Eelneva põhjal vormistatakse lahendus mugavalt kahes etapis:

1) Arvutage sirgjoonte suunavektorite skalaarkorrutis:
nii et jooned ei ole risti.

2) Leiame joonte vahelise nurga valemiga:

Via pöördfunktsioon nurga enda leidmine on lihtne. Sel juhul kasutame kaartangensi veidrust (vt joonis 1). Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused):

Vastus:

Vastuses märkige täpne väärtus, samuti kalkulaatori abil arvutatud ligikaudne väärtus (soovitavalt nii kraadides kui radiaanides).

Noh, miinus, nii miinus, see on okei. Siin on geomeetriline illustratsioon:

Pole üllatav, et nurk osutus negatiivse orientatsiooniga, sest ülesande seisukorras on esimene number sirge ja nurga “väänamine” sai alguse just sellest.

Kui soovite tõesti positiivset nurka saada, peate sirgjooned vahetama, st võtma koefitsiendid teisest võrrandist ja võta koefitsiendid esimesest võrrandist . Lühidalt, peate alustama otsesest .

See materjal on pühendatud sellisele kontseptsioonile nagu kahe ristuva sirge vaheline nurk. Esimeses lõigus selgitame, mis see on, ja näitame seda illustratsioonides. Seejärel analüüsime, kuidas leiate selle nurga siinuse, koosinuse ja nurga enda (vaatame eraldi juhtumeid tasapinna ja ruumilise ruumiga), anname vajalikud valemid ja näitame näidetega, kuidas neid täpselt rakendatakse praktikas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Selleks, et mõista, mis on kahe sirge ristumiskohas moodustatud nurk, peame meenutama nurga, perpendikulaarsuse ja lõikepunkti määratlust.

Definitsioon 1

Me nimetame kahte sirget ristuvateks, kui neil on üks ühine punkt. Seda punkti nimetatakse kahe sirge lõikepunktiks.

Iga sirge on lõikepunktiga jagatud kiirteks. Sel juhul moodustavad mõlemad jooned 4 nurka, millest kaks on vertikaalsed ja kaks külgnevad. Kui me teame ühe neist mõõtu, saame määrata ka ülejäänud ülejäänud.

Oletame, et teame, et üks nurkadest on võrdne α-ga. Sellisel juhul on selle suhtes vertikaalne nurk samuti võrdne α-ga. Ülejäänud nurkade leidmiseks peame arvutama erinevuse 180 ° - α . Kui α on 90 kraadi, on kõik nurgad õiged. Täisnurga all lõikuvaid sirgeid nimetatakse risti (perpendikulaarsuse mõistele on pühendatud eraldi artikkel).

Vaata pilti:

Jätkame põhimääratluse sõnastamisega.

Definitsioon 2

Kahe ristuva sirge moodustatud nurk on need kaks joont moodustavast neljast nurgast väiksema mõõt.

Definitsioonist tuleb teha oluline järeldus: nurga suurust väljendatakse sel juhul suvalise reaalarvuga intervallis (0, 90] . Kui sirged on risti, siis on nendevaheline nurk igal juhul võrdne 90 kraadiga.

Võimalus leida kahe ristuva sirge vahelise nurga mõõt on kasulik paljude praktiliste ülesannete lahendamisel. Lahendusmeetodi saab valida mitme valiku hulgast.

Alustuseks võime kasutada geomeetrilisi meetodeid. Kui me teame midagi lisanurkade kohta, siis saame need ühendada vajaliku nurgaga, kasutades võrdsete või sarnaste kujundite omadusi. Näiteks kui teame kolmnurga külgi ja peame välja arvutama nurga nende sirgete vahel, millel need küljed asuvad, siis sobib lahendamiseks koosinusteoreem. Kui oleme seisukorras täisnurkne kolmnurk, siis on arvutuste tegemiseks vaja teadmisi ka nurga siinuse, koosinuse ja puutuja kohta.

Seda tüüpi ülesannete lahendamiseks on väga mugav ka koordinaatmeetod. Selgitame, kuidas seda õigesti kasutada.

Meil on ristkülikukujuline (ristkülikukujuline) koordinaatide süsteem O x y kahe sirgega. Tähistame neid tähtedega a ja b. Sel juhul saab sirgjooni kirjeldada mis tahes võrrandi abil. Algsetel sirgetel on lõikepunkt M . Kuidas määrata nende joonte vahel soovitud nurka (tähistagem α)?

Alustame antud tingimustel nurga leidmise põhiprintsiibi sõnastamisega.

Teame, et sellised mõisted nagu suunamine ja normaalvektor on sirgjoone mõistega tihedalt seotud. Kui meil on mingi sirge võrrand, saame sealt võtta nende vektorite koordinaadid. Seda saame teha kahe risuva sirge jaoks korraga.

Kahe ristuva sirge moodustatud nurga saab leida kasutades:

• nurk suunavektorite vahel;
• nurk normaalvektorite vahel;
• nurk ühe sirge normaalvektori ja teise joone suunavektori vahel.

Nüüd vaatame iga meetodit eraldi.

1. Oletame, et meil on sirge a suunavektoriga a → = (a x , a y) ja sirge b suunavektoriga b → (b x , b y) . Nüüd paneme lõikepunktist kõrvale kaks vektorit a → ja b →. Pärast seda näeme, et nad asuvad igaüks oma liinil. Siis on meil nende suhtelise positsiooni jaoks neli võimalust. Vaata illustratsiooni:

Kui kahe vektori vaheline nurk ei ole nüri, on see nurk, mida vajame ristuvate sirgete a ja b vahel. Kui see on nüri, võrdub soovitud nurk nurgaga a → , b → ^ külgneva nurgaga. Seega α = a → , b → ^, kui a → , b → ^ ≤ 90 ° , ja α = 180 ° - a → , b → ^ kui a → , b → ^ > 90 ° .

Lähtudes sellest, et võrdsete nurkade koosinused on võrdsed, saame saadud võrrandid ümber kirjutada järgmiselt: cos α = cos a → , b → ^ kui a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ kui a → , b → ^ > 90 ° .

Teisel juhul kasutati redutseerimisvalemeid. Seega

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Kirjutame viimase valemi sõnadega:

3. määratlus

Kahe ristuva sirge moodustatud nurga koosinus on võrdne selle suunavektorite vahelise nurga koosinusmooduliga.

Kahe vektori a → = (a x, a y) ja b → = (b x, b y) vahelise nurga koosinuse valemi üldvorm näeb välja järgmine:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Sellest saame tuletada kahe antud sirge vahelise nurga koosinuse valemi:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Seejärel saab nurga enda leida järgmise valemi abil:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Siin on a → = (a x, a y) ja b → = (b x, b y) antud sirgete suunavektorid.

Toome näite probleemi lahendamisest.

Näide 1

Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on tasapinnal antud kaks lõikuvat sirget a ja b. Neid saab kirjeldada parameetriliste võrranditega x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R ja x 5 = y - 6 - 3 . Arvutage nende joonte vaheline nurk.

Otsus

Meil on tingimuses parameetriline võrrand, mis tähendab, et selle sirge jaoks saame kohe kirja panna selle suunavektori koordinaadid. Selleks peame võtma parameetri koefitsientide väärtused, st. sirgel x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R on suunavektor a → = (4 , 1) .

Teist rida kirjeldatakse kasutades kanooniline võrrand x 5 = y - 6 - 3 . Siin saame koordinaadid nimetajatest võtta. Seega on sellel sirgel suunavektor b → = (5 , - 3) .

Järgmisena jätkame otse nurga leidmisega. Selleks asendage lihtsalt kahe vektori saadaolevad koordinaadid ülaltoodud valemiga α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Saame järgmise:

α = a rc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Vastus: need jooned moodustavad 45 kraadise nurga.

Sarnase ülesande saame lahendada normaalvektorite vahelise nurga leidmisega. Kui meil on sirge a normaalvektoriga n a → = (n a x , n a y) ja sirge b normaalvektoriga n b → = (n b x , n b y) , siis on nendevaheline nurk võrdne nurgaga n a → ja n b → või nurk, mis külgneb nurgaga n a → , n b → ^ . See meetod on näidatud pildil:

Valemid ristumisjoonte ja selle nurga enda vahelise nurga koosinuse arvutamiseks normaalvektorite koordinaatide abil näevad välja järgmised:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Siin n a → ja n b → tähistavad kahe antud sirge normaalvektoreid.

Näide 2

Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on antud kaks sirget, kasutades võrrandeid 3 x + 5 y - 30 = 0 ja x + 4 y - 17 = 0 . Leidke nendevahelise nurga siinus, koosinus ja selle nurga enda suurus.

Otsus

Algsed sirged on antud, kasutades tavalisi sirge võrrandeid kujul A x + B y + C = 0 . Tähistame normaalvektorit n → = (A , B) . Leiame ühe sirge esimese normaalvektori koordinaadid ja kirjutame need üles: n a → = (3 , 5) . Teise rea x + 4 y - 17 = 0 korral on normaalvektori koordinaadid n b → = (1 , 4) . Nüüd lisage saadud väärtused valemile ja arvutage kokku:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Kui teame nurga koosinust, saame selle siinuse arvutada trigonomeetrilise põhiidentiteedi abil. Kuna sirgjoonte moodustatud nurk α ei ole nüri, siis sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

Sel juhul α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Vastus: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Analüüsime viimast juhtumit - sirgetevahelise nurga leidmist, kui teame ühe sirge suunavektori ja teise normaalvektori koordinaate.

Oletame, et sirgel a on suunavektor a → = (a x , a y) ja sirgel b normaalvektor n b → = (n b x , n b y) . Peame need vektorid ristumispunktist edasi lükkama ja kaaluma kõiki nende suhtelise asukoha võimalusi. Vaata pilti:

Kui antud vektorite vaheline nurk ei ole suurem kui 90 kraadi, siis selgub, et see täiendab a ja b vahelist nurka täisnurgaks.

a → , n b → ^ = 90 ° - α , kui a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Kui see on alla 90 kraadi, saame järgmise:

a → , n b → ^ > 90 ° , siis a → , n b → ^ = 90 ° + α

Kasutades võrdsete nurkade koosinuste võrdsuse reeglit, kirjutame:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α a → , n b → ^ ≤ 90 ° korral.

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α juures a → , n b → ^ > 90 ° .

Seega

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Sõnastame järelduse.

4. definitsioon

Kahe tasapinnas lõikuva sirge vahelise nurga siinuse leidmiseks tuleb arvutada esimese sirge suunavektori ja teise normaalvektori vahelise nurga koosinusmoodul.

Paneme kirja vajalikud valemid. Nurga siinuse leidmine:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Nurga enda leidmine:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Siin on a → esimese rea suunavektor ja n b → teise rea normaalvektor.

Näide 3

Kaks lõikuvat sirget on antud võrranditega x - 5 = y - 6 3 ja x + 4 y - 17 = 0 . Leidke ristumisnurk.

Otsus

Antud võrranditest võtame suuna- ja normaalvektori koordinaadid. Selgub a → = (- 5 , 3) ​​ja n → b = (1 , 4) . Võtame valemi α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 ja kaalume:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Pange tähele, et võtsime võrrandid eelmisest ülesandest ja saime täpselt sama tulemuse, kuid erineval viisil.

Vastus:α = a r c sin 7 2 34

Siin on veel üks viis soovitud nurga leidmiseks antud joonte kaldekoefitsientide abil.

Meil on sirge a , mis on defineeritud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis võrrandiga y = k 1 · x + b 1 , ja sirge b , mis on defineeritud kui y = k 2 · x + b 2 . Need on kaldega joonte võrrandid. Ristmikunurga leidmiseks kasutage valemit:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1, kus k 1 ja k 2 on antud sirgete kalded. Selle rekordi saamiseks kasutati normaalvektorite koordinaatide kaudu nurga määramise valemeid.

Näide 4

Tasapinnal ristuvad kaks sirget, mis on antud võrranditega y = - 3 5 x + 6 ja y = - 1 4 x + 17 4 . Arvutage ristumisnurk.

Otsus

Meie sirgete kalded on võrdsed k 1 = - 3 5 ja k 2 = - 1 4 . Liidame need valemisse α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 ja arvutame:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Vastus:α = a r c cos 23 2 34

Selle lõigu järeldustes tuleb märkida, et siin toodud nurga leidmise valemeid ei pea pähe õppima. Selleks piisab etteantud sirgete juhiste ja/või normaalvektorite koordinaatide teadmisest ja nende määramise oskusest erinevad tüübid võrrandid. Kuid nurga koosinuse arvutamise valemid on parem meeles pidada või üles kirjutada.

Kuidas arvutada ruumis ristuvate sirgete vahelist nurka

Sellise nurga arvutamise võib taandada suunavektorite koordinaatide arvutamisele ja nende vektorite poolt moodustatud nurga suuruse määramisele. Selliste näidete puhul kasutame samu arutluskäike, mida oleme varem esitanud.

Oletame, et meil on ristkülikukujuline koordinaatide süsteem, mis asub aadressil kolmemõõtmeline ruum. See sisaldab kahte sirget a ja b lõikepunktiga M . Suunavektorite koordinaatide arvutamiseks peame teadma nende sirgete võrrandeid. Tähistame suunavektorid a → = (a x , a y , a z) ja b → = (b x , b y , b z) . Nendevahelise nurga koosinuse arvutamiseks kasutame valemit:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Nurga enda leidmiseks vajame järgmist valemit:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Näide 5

Meil on 3D-ruumis defineeritud sirgjoon, kasutades võrrandit x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . On teada, et see lõikub O z teljega. Arvutage lõikenurk ja selle nurga koosinus.

Otsus

Tähistame arvutatavat nurka tähega α. Kirjutame üles esimese sirge suunavektori koordinaadid - a → = (1 , - 3 , - 2) . Rakendustelje puhul saame juhiseks võtta koordinaatvektori k → = (0 , 0 , 1). Oleme saanud vajalikud andmed ja saame need soovitud valemisse lisada:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Selle tulemusena saime, et vajalik nurk on võrdne a r c cos 1 2 = 45 °.

Vastus: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Juhend

Märge

Periood trigonomeetriline funktsioon puutuja on võrdne 180 kraadiga, mis tähendab, et sirgjoonte kaldenurgad ei saa mooduli järgi seda väärtust ületada.

Abistavad nõuanded

Kui kaldekoefitsiendid on üksteisega võrdsed, on selliste joonte vaheline nurk 0, kuna sellised sirged kas langevad kokku või on paralleelsed.

Ristmisjoonte vahelise nurga määramiseks on vaja mõlemad sirged (või üks neist) viia uude asukohta paralleelse ülekande meetodil ristmikule. Pärast seda peaksite leidma nurga saadud ristuvate joonte vahel.

Sa vajad

• Joonlaud, täisnurkne kolmnurk, pliiats, nurgamõõtja.

Juhend

Olgu siis antud vektor V = (a, b, c) ja tasapind A x + B y + C z = 0, kus A, B ja C on normaalse N koordinaadid. Siis on nurga koosinus α vektorite V ja N vahel on: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Nurga väärtuse arvutamiseks kraadides või radiaanides tuleb saadud avaldisest arvutada koosinuse pöördfunktsioon, st. arkosiin: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Näide: leia süstimine vahel vektor(5, -3, 8) ja lennuk, mis on antud üldvõrrandiga 2 x - 5 y + 3 z = 0. Lahendus: kirjutage üles tasandi N = (2, -5, 3) normaalvektori koordinaadid. Asendage kõik teadaolevad väärtusedülaltoodud valemis: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Seotud videod

Sirge, millel on üks ringjoonega ühine punkt, puutub ringiga. Puutuja teine ​​tunnus on see, et see on alati risti kokkupuutepunkti tõmmatud raadiusega, see tähendab, et puutuja ja raadius moodustavad sirge süstimine. Kui ühest punktist A tõmmata ringjoone AB ja AC kaks puutujat, siis on need alati üksteisega võrdsed. Puutujate vahelise nurga määratlus ( süstimine ABC) toodetakse Pythagorase teoreemi abil.

Juhend

Nurga määramiseks peate teadma ringi OB ja OS raadiust ning puutuja alguspunkti kaugust ringi keskpunktist - O. Seega on nurgad ABO ja ACO võrdsed, raadius OB, näiteks 10 cm ja kaugus ringi AO keskpunktist on 15 cm. Määrake puutuja pikkus valemiga Pythagorase teoreemi järgi: AB = Ruutjuur alates AO2 - OB2 või 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

nurk ruumisirgete vahel nimetame mis tahes külgnevaid nurki, mille moodustavad kaks sirget, mis on tõmmatud läbi andmetega paralleelse suvalise punkti.

Olgu ruumis antud kaks sirget:

Ilmselgelt saab joonte vahelist nurka φ võtta nende suunavektorite ja vahelise nurgana. Kuna , siis vektoritevahelise nurga koosinuse valemi järgi saame

Kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimused on samaväärsed nende suunavektorite paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimustega ja:

Kaks otse on paralleelsed siis ja ainult siis, kui nende vastavad koefitsiendid on proportsionaalsed, st. l 1 paralleel l 2 siis ja ainult paralleelselt .

Kaks otse risti siis ja ainult siis, kui vastavate koefitsientide korrutiste summa on võrdne nulliga: .

Kell eesmärk sirge ja tasapinna vahel

Laske rida d- ei ole risti tasapinnaga θ;
d′− sirge projektsioon d tasapinnale θ;
Sirgete vahelistest nurkadest väikseim d ja d"me helistame nurk sirge ja tasapinna vahel.
Tähistame seda kui φ=( d,θ)
Kui a d⊥θ , siis ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− ristkülikukujuline koordinaatsüsteem.
Tasapinnaline võrrand:

θ: Ax+Kõrval+cz+D=0

Leiame, et sirge on antud punkti ja suunavektoriga: d[M 0,lk→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Siis jääb üle välja selgitada vektorite vaheline nurk n→ ja lk→ tähistage seda kui γ=( n→,lk→).

Kui nurk γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Kui nurk γ>π/2 , siis vajalik nurk φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Siis nurk sirge ja tasapinna vahel saab arvutada järgmise valemi abil:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√lk 21+lk 22+lk 23

29. küsimus. Ruutvormi mõiste. Ruutvormide märgimääratlus.

Ruutvorm j (x 1, x 2, ..., x n) n reaalset muutujat x 1, x 2, ..., x n nimetatakse vormi summaks
, (1)

kus aij on mõningaid numbreid, mida nimetatakse koefitsientideks. Ilma üldistust kaotamata võime seda eeldada aij = a ji.

Ruutvormi nimetatakse kehtiv, kui aij О GR. Ruutkujuline maatriks nimetatakse maatriksiks, mis koosneb selle koefitsientidest. Ruutvorm (1) vastab ainulaadsele sümmeetrilisele maatriksile
st. A T = A. Seega ruutvorm(1) saab kirjutada maatriksi kujul j ( X) = x T Ah, kus x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Ja vastupidi, mis tahes sümmeetriline maatriks (2) vastab ainulaadsele ruutvormile kuni muutujate tähistuseni.

Ruutvormi aste nimetatakse selle maatriksi auastmeks. Ruutvormi nimetatakse mitte-degenereerunud, kui selle maatriks on mitteainsuseline AGA. (tuletage meelde, et maatriks AGA nimetatakse mittedegeneratiivseks, kui selle determinant on nullist erinev). Vastasel juhul on ruutvorm degenereerunud.

positiivne kindel(või rangelt positiivne), kui

j ( X) > 0 , kellelegi X = (X 1 , X 2 , …, x n), Pealegi X = (0, 0, …, 0).

Maatriks AGA positiivne kindel ruutvorm j ( X) nimetatakse ka positiivseks kindlaks. Seetõttu vastab positiivne kindel ruutvorm ainulaadsele positiivsele kindlale maatriksile ja vastupidi.

Ruutkuju (1) nimetatakse negatiivne kindel(või rangelt negatiivne), kui

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), Pealegi X = (0, 0, …, 0).

Sarnaselt ülaltoodule nimetatakse negatiivse-määratletud ruutmaatriksit ka negatiivseks-kindlaks.

Seetõttu on positiivselt (negatiivselt) kindel ruutvorm j ( X) jõuab minimaalse (maksimaalse) väärtuseni j ( X*) = 0 jaoks X* = (0, 0, …, 0).

Pange tähele, et enamik ruutvorme ei ole märgikindlad, st nad ei ole positiivsed ega negatiivsed. Sellised ruutvormid kaovad mitte ainult koordinaatsüsteemi alguspunktis, vaid ka teistes punktides.

Millal n> 2, ruutvormi märgimääratluse kontrollimiseks on vaja erikriteeriume. Vaatleme neid.

Suured alaealised ruutvorme nimetatakse alaealisteks:

see tähendab, et need on alaealised järgus 1, 2, …, n maatriksid AGA, mis asub vasakus ülanurgas, viimane neist ühtib maatriksi determinandiga AGA.

Positiivse määratuse kriteerium (Sylvesteri kriteerium)

X) = x T Ah on positiivne kindel, on vajalik ja piisav, et kõik maatriksi peamised alaealised AGA olid positiivsed, see tähendab: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Negatiivse kindluse kriteerium Selleks, et ruutvorm j ( X) = x T Ah on negatiivne kindel, siis on vajalik ja piisav, et selle paarisjärjekorras põhimollid on positiivsed ja paaritu järjekorra põhimollid negatiivsed, st: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

a. Olgu antud kaks joont, need jooned, nagu 1. peatükis märgitud, moodustavad erinevaid positiivseid ja negatiivseid nurki, mis antud juhul võivad olla nii teravad kui ka nürid. Teades üht neist nurkadest, leiame hõlpsasti ka mõne teise.

Muide, kõigi nende nurkade puhul on puutuja arvväärtus sama, erinevus võib olla ainult märgis

Sirgede võrrandid. Arvud on esimese ja teise sirge suunavektori projektsioonid, mille vaheline nurk on võrdne ühe sirgjoonte moodustatud nurgaga. Seetõttu on ülesanne taandatud vektorite vahelise nurga määramisele, saame

Lihtsuse huvides võime terava positiivse nurga mõistmiseks kokku leppida kahe sirge vahelise nurga (nagu näiteks joonisel 53).

Siis on selle nurga puutuja alati positiivne. Seega, kui valemi (1) paremal küljel saadakse miinusmärk, peame selle kõrvale jätma, st säilitama ainult absoluutväärtuse.

Näide. Määrake ridade vaheline nurk

Valemi (1) järgi on meil

koos. Kui on märgitud, kumb nurga külgedest on selle algus ja milline lõpp, siis nurga suunda alati vastupäeva lugedes saame valemitest (1) veel midagi välja võtta. Nagu jooniselt fig. 53 valemi (1) paremal küljel saadud märk näitab, milline nurk - terav või nüri - moodustab teise joone esimesega.

(Tõepoolest, jooniselt 53 näeme, et esimese ja teise suunavektori vaheline nurk on kas võrdne soovitud joontevahelise nurgaga või erineb sellest ±180° võrra.)

d. Kui sirged on paralleelsed, siis on paralleelsed ka nende suunavektorid Rakendades kahe vektori paralleelsuse tingimust, saame!

See on vajalik ja piisav tingimus, et kaks sirget oleksid paralleelsed.

Näide. Otsene

on paralleelsed, sest

e. Kui sirged on risti, siis on ka nende suunavektorid risti. Rakendades kahe vektori perpendikulaarsuse tingimust, saame kahe sirge perpendikulaarsuse tingimuse, nimelt

Näide. Otsene

risti, sest

Seoses paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimustega lahendame kaks järgmist ülesannet.

f. Joonistage läbi punkti antud sirgega paralleelne sirge

Otsus tehakse nii. Kuna soovitud sirge on paralleelne antud sirgega, siis saame selle suunavektoriks võtta sama, mis antud sirge oma, st vektori projektsioonidega A ja B. Ja siis kirjutatakse soovitud sirge võrrand. kujul (§ 1)

Näide. Sirgega paralleelset punkti (1; 3) läbiva sirge võrrand

on järgmine!

g. Joonistage joon läbi punkti, mis on risti antud sirgega

Siin ei sobi enam võtta vektorit projektsioonidega A ja suunavaks vektoriks, vaid tuleb võita vektor, mis on sellega risti. Seetõttu tuleb selle vektori projektsioonid valida vastavalt tingimusele, et mõlemad vektorid on risti, st vastavalt tingimusele

Seda tingimust saab täita lõpmatul hulgal, kuna siin on üks võrrand kahe tundmatuga. Aga kõige lihtsam on see võtta. Siis kirjutatakse soovitud sirge võrrand kujul

Näide. Perpendikulaarsel sirgel punkti (-7; 2) läbiva sirge võrrand

on järgmine (teise valemi järgi)!

h. Juhul, kui read on antud vormi võrranditega