Kahe muutujaga lineaarvõrrand on mis tahes võrrand, millel on järgmine vorm: a*x + b*y =c. Siin on x ja y kaks muutujat, a,b,c on mõned arvud.

Lineaarvõrrandi a*x + b*y = c lahendus on suvaline arvupaar (x, y), mis seda võrrandit rahuldab, st muudab võrrandi muutujatega x ja y õigeks arvuliseks võrrandiks. Lineaarvõrrandil on lõpmatu arv lahendeid.

Kui iga arvupaar, mis on kahe muutujaga lineaarvõrrandi lahend, on kujutatud koordinaattasandil punktidena, siis kõik need punktid moodustavad kahe muutujaga lineaarvõrrandi graafiku. Meie x ja y väärtused toimivad punktide koordinaatidena. Sel juhul on x väärtus abstsiss ja y väärtus on ordinaat.

Kahe muutujaga lineaarvõrrandi graafik

Kahe muutujaga lineaarvõrrandi graafik on koordinaattasandi kõigi võimalike punktide hulk, mille koordinaadid on selle lineaarvõrrandi lahendid. On lihtne arvata, et graafik on sirgjoon. Seetõttu nimetatakse selliseid võrrandeid lineaarseteks.

Ehitusalgoritm

Algoritm kahe muutujaga lineaarvõrrandi joonistamiseks.

1. Joonistage koordinaatide teljed, allkirjastage need ja märkige ühiku skaala.

2. Lineaarvõrrandis pane x = 0 ja lahenda saadud võrrand y jaoks. Märgi saadud punkt graafikule.

3. Lineaarvõrrandis võtke arv 0 kui y ja lahendage saadud võrrand x jaoks. Märgi saadud punkt graafikule

4. Vajadusel võtke x suvaline väärtus ja lahendage saadud võrrand y jaoks. Märgi saadud punkt graafikule.

5. Ühendage saadud punktid, jätkake nende jaoks graafikut. Allkirjastage saadud rida.

Näide: Joonistage võrrand 3*x - 2*y =6;

Paneme х=0, siis - 2*y=6; y = -3;

Paneme y=0, siis 3*x = 6; x=2;

Saadud punktid märgime graafikule, tõmbame läbi nende sirge ja allkirjastame. Vaadake allolevat pilti, graafik peaks välja nägema selline.

Teema:Lineaarne funktsioon

Õppetund:Kahe muutujaga lineaarvõrrand ja selle graafik

Tutvusime koordinaattelje ja koordinaattasandi mõistetega. Teame, et iga tasandi punkt määratleb üheselt arvude paari (x; y), kusjuures esimene arv on punkti abstsiss ja teine ​​ordinaat.

Väga sageli kohtame lineaarvõrrandit kahes muutujas, mille lahenduseks on arvupaar, mida saab esitada koordinaattasandil.

Tüüpvõrrand:

Kus a, b, c on arvud ja

Seda nimetatakse lineaarvõrrandiks kahe muutujaga x ja y. Sellise võrrandi lahenduseks on mis tahes selline arvude paar x ja y, mille asendamisel võrrandisse saame õige arvulise võrdsuse.

Arvupaar kuvatakse koordinaattasandil punktina.

Selliste võrrandite puhul näeme palju lahendusi, see tähendab palju arvupaare ja kõik vastavad punktid asuvad ühel sirgel.

Kaaluge näidet:

Selle võrrandi lahenduste leidmiseks peate valima sobivad arvude x ja y paarid:

Olgu , siis muutub algne võrrand ühe tundmatu võrrandiks:

,

See tähendab, esimene numbripaar, mis on lahendus antud võrrand(0; 3). Sai punkti A(0; 3)

Las olla . Saame algse võrrandi ühe muutujaga: , seega sai punkt В(3; 0)

Paneme arvupaarid tabelisse:

Joonistame graafikule punktid ja tõmbame sirge:

Pange tähele, et selle sirge mis tahes punkt on antud võrrandi lahendus. Kontrollime – võta koordinaadiga punkt ja leia graafikult selle teine ​​koordinaat. On ilmne, et praegusel hetkel. Asendage see arvupaar võrrandisse. Saame 0=0 - õige arvuline võrdus, mis tähendab, et joonel asuv punkt on lahendus.

Siiani ei saa me tõestada, et mis tahes konstrueeritud sirgel asuv punkt on võrrandi lahend, seega aktsepteerime seda tõena ja tõestame seda hiljem.

Näide 2 – joonistage võrrand:

Teeme tabeli, meile piisab kahe punkti sirgjoone ehitamisest, kuid kontrolliks võtame kolmanda:

Esimeses veerus valisime mugava , leiame y:

, ,

Teises veerus valisime mugava, leiame x:

, , ,

Kontrollime ja otsime aadressilt:

, ,

Koostame graafiku:

Korrutage antud võrrand kahega:

Sellisest teisendusest lahenduste hulk ei muutu ja graafik jääb samaks.

Järeldus: õppisime lahendama kahe muutujaga võrrandeid ja koostama nende graafikuid, saime teada, et sellise võrrandi graafik on sirge ja et selle sirge mis tahes punkt on võrrandi lahendus

1. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovitš E.A. jt Algebra 7. 6. väljaanne. M.: Valgustus. 2010. aasta

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. ja teised Algebra 7 .M .: Haridus. 2006

2. Portaal jaoks pere vaatamine ().

Ülesanne 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, nr 960, lk 210;

Ülesanne 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, nr 961, punkt 210;

Ülesanne 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, nr 962, punkt 210;

Videotund "Kahe muutujaga võrrand ja selle graafik" tutvustab õpilastele kahe muutujaga võrrandi mõistet, selle lahendust, annab aimu kahe muutujaga võrrandi graafikust, selle ülesehitusest. Videotunni ülesandeks on selleteemalist õppematerjali visuaalselt esitleda, hõlbustades õpetajal tunnis ülesannete täitmist ning võimaldades tunniaega efektiivsemalt kasutada.

Videotunni võimalused on suuremad kui ühelgi teisel visuaalsel abivahendil. Oskus kasutada animatsiooniefekte, asendada õpetajat graafikute, jooniste konstrueerimise demonstreerimisel, häälsaadete tegemisel võimaldab tõsta tunni tulemuslikkust, ratsionaalsemalt aega jaotada ning hoida õpilaste tähelepanu õpitaval materjalil.

Videoõpetus algab teema tutvustamisega. Õpilastele esitatakse näited kahe muutujaga võrranditest: 3x + 4y \u003d 16, x 2 \u003d 9-y 2, xy-8 \u003d 0. Järgnevalt tutvustame kahe muutujaga võrrandi lahendusi. Näidatud on muutujate x=4 ja y=1 väärtuste asendus, mis muudab võrrandi 3x+4y=16 õiglaseks võrdsuseks. Pärast võrrandi lahendamise olemuse selgitamist tutvustatakse võrrandi lahendamise mõistet, milleks on antud juhul arvupaar (4; 1), milles on esikohal muutuja x väärtus ja väärtus muutuja y on teises. Lisaks kuvatakse õpilastele meeldejätmiseks ekraanil definitsioon, mis on võrrandi lahendus, mis on muutujate väärtuste paar, mis muudab võrrandi tõeliseks võrduseks.

Selgitatakse ära kahe muutujaga võrrandi tunnus – enamasti on neil lõpmatu arv lahendeid. Tutvustatakse samaväärsete võrrandite mõistet, mis on võrrandid, millel on sama lahendite kogum. Märgitakse sama viisi kahe muutujaga kogu võrrandi ja ühe muutujaga kogu võrrandi astme määramiseks. Samuti on selgitatud, et kahte muutujat sisaldaval võrrandil, mille vasakul on polünoom ja paremal pool 0, on aste, võrdselt see polünoom. Ainus võimalus võrrandi astme määramiseks on asendada see samaväärse võrrandiga nii, et võrrandi vasakule küljele jääb standardkuju polünoom, vasakule aga null. Sellise asendamise näide on toodud: märgitakse, et võrrandid (x 2 -y) 2 \u003d x 4 -1 ja -2x 2 y + y 2 +1 \u003d 0 on samaväärsed. Pärast võrrandi vormile viimist, kui tüüpvormi polünoom jääb vasakule poole, saab kindlaks teha, et see võrrand on kolmanda astmega.

Järgmisena vaatleme kahe muutujaga võrrandi graafiku tunnuseid. Esitatud definitsioonis on mõne kahe muutujaga võrrandi graafik koordinaattasandil olevate punktide kogum, mille koordinaate asendades saate õige võrdsuse. Õpilastele tuletatakse meelde juba varem uuritud graafikutüüpi, milleks on kahe muutujaga võrrandi graafik. See on sirgjoon, mis on lineaarse võrrandi ax + by = c graafik, kus a≠0 ja b≠0, samuti parabool - võrrandi y \u003d x 2 graafik, hüperbool - a yx graafik \u003d 15.

Õpilased on joonistanud funktsiooni x 2 +y 2 =r 2, kus r on suvaline positiivne arv. Ekraanil kuvatakse ring, mis on selle võrrandi graafik. On tõestatud, et ringjoone mis tahes punkt täidab antud võrrandit. Selleks märgime suvalise punkti B(x; y). Abstsissteljega langetatud risti pikkus on võrdne antud punkti ordinaatmooduliga ja antud punktist lähtepunkti tõmmatud lõik võrdub raadiusega. Lõigu pikkus alguspunktist kuni risti ja abstsisstelje lõikepunktini on võrdne abstsissi absoluutväärtusega. Alates saadud täisnurkne kolmnurk AOB on meil võrdus: AO 2 +AB 2 =BO 2, see tähendab |x| 2+|y| 2 = r 2. See võrdsus kehtib ka ilma mooduli märgita.

Veendumaks, et võrrand on tõsi ringjoone mis tahes asendis B (x; y), tehakse ettepanek võtta arvesse punkti B, mis asub ringi lõikepunktis abstsissteljega. Tuleb märkida, et sel juhul võrdub punkti y üks koordinaat raadiusega ja teine ​​on null. Võrrand x 2 + y 2 \u003d r 2 muutub 0 2 + r 2 \u003d r 2, seega on ka võrdsus tõene. Veelgi enam, kõigi punktide puhul, mis ei asu definitsioonipiirkonnas, ei vasta nende koordinaadid ringjoone võrrandile x 2 +y 2 =r 2 . Selliste punktide näited on märgitud koordinaattasandile. Vaatlusaluse konstruktsiooni üldine järeldus järeldub, et tähises x 2 + y 2 \u003d r 2 olev ringvõrrand kehtib juhtudel, kus punktid A (x; y) kuuluvad definitsiooni φ, O (0; 0) piirkonda. ) on ringi keskpunkt ja r - raadius.

Järgmisena vaatleme, kuidas ringi võrrand sõltub selle keskpunkti asukohast. Märgitakse, et kui keskpunkt liigutatakse |a| ühikut paremale või vasakule paralleelselt x-ga, samuti |b|-ga ühikuid üles või alla, paralleelselt y-ga, saadakse sama raadiusega ring, ainult mille keskpunkt on punktis uute koordinaatidega O (a; b). Sellise ringi võrrand on (x-a) 2 + (y-b) 2 =r 2 .

Videotundi "Kahe muutujaga võrrand ja selle graafik" saab kasutada selleteemalises algebratunnis visuaalseks abivahendiks või asendada õpetaja seletust teemal. Samuti võib see materjal olla kasulik kaugõppes, see aitab õpilastel teemat iseseisvalt omandada.

Tihti kohtasime võrrandeid kujul ax + b = 0, kus a, b on arvud, x on muutuja. Näiteks bx - 8 \u003d 0, x + 4 \u003d O, - 7x - 11 \u003d 0 jne. Arvud a, b (võrrandi koefitsiendid) võivad olla mis tahes, välja arvatud juhul, kui a \u003d 0.

Võrrandit ax + b \u003d 0, kus a, nimetatakse lineaarvõrrandiks ühe muutujaga x (või lineaarvõrrandiks ühe tundmatu x-ga). Lahendage see, st väljendage x läbi a ja b, saame:

Varem märkisime, et üsna sageli matemaatiline mudel tegelik olukord on ühe muutujaga lineaarvõrrand või võrrand, mis pärast teisendusi taandub lineaarseks. Mõelge nüüd sellele tegelikule olukorrale.

Linnadest A ja B, mille vahemaa on 500 km, läks teineteise poole kaks rongi, kummalgi oma. püsikiirus. Teadaolevalt väljus esimene rong 2 tundi varem kui teine. 3 tundi pärast teise rongi väljumist kohtusid nad. Millised on rongide kiirused?

Koostame ülesande matemaatilise mudeli. Olgu x km/h esimese rongi kiirus ja y km/h teise rongi kiirus. Esimene oli teel 5 tundi ja läbis seetõttu bx km. Teine rong oli teel 3 tundi, s.o. läbinud teed Zu km.

Nende kohtumine toimus punktis C. Joonisel 31 on kujutatud olukorra geomeetrilist mudelit. Algebralises keeles saab seda kirjeldada järgmiselt:

5x + Zu = 500

või
5x + Zu – 500 = 0.

Seda matemaatilist mudelit nimetatakse lineaarvõrrandiks kahe muutujaga x, y.
Üldiselt

ax + by + c = 0,

kus a, b, c on numbrid ja , on lineaarne võrrand kahe muutujaga x ja y (või kahe tundmatuga x ja y).

Pöördume tagasi võrrandi 5x + Zy = 500 juurde. Märkame, et kui x = 40, y = 100, siis 5 40 + 3 100 = 500 on õige võrdus. See tähendab, et vastus probleemi küsimusele võib olla järgmine: esimese rongi kiirus on 40 km/h, teise rongi kiirus 100 km/h. Arvude paari x = 40, y = 100 nimetatakse võrrandi 5x + Zy = 500 lahendiks. Väidetavalt vastab see väärtuste paar (x; y) ka võrrandile 5x + Zy = 500.

Kahjuks pole see lahendus ainulaadne (me kõik armastame ju kindlust, ühemõttelisust). Tõepoolest, võimalik on ka järgmine variant: x = 64, y = 60; tõepoolest, 5 64 + 3 60 = 500 on õige võrdus. Ja see: x \u003d 70, y \u003d 50 (kuna 5 70 + 3 50 \u003d 500 on õige võrdsus).

Kuid ütleme, et arvupaar x \u003d 80, y \u003d 60 ei ole võrrandi lahendus, kuna nende väärtustega ei saavutata õiget võrdsust:

Üldjuhul on võrrandi ax + võrra + c = 0 lahend suvaline arvupaar (x; y), mis seda võrrandit rahuldab, st muudab võrdsuse muutujatega ax + x + c = 0 tõeliseks arvuliseks võrdusmärgiks. . Selliseid lahendusi on lõpmatult palju.

kommenteerida. Pöördume veel kord tagasi ülaltoodud ülesandes saadud võrrandi 5x + Zy = 500 juurde. Selle lahendite lõpmatu hulga hulgas on näiteks järgmised: x = 100, y = 0 (tõepoolest, 5100 + 30 = 500 on õige arvuline võrdus); x \u003d 118, y \u003d - 30 (kuna 5 118 + 3 (-30) \u003d 500 on õige numbriline võrdsus). Siiski, olles võrrandi lahendid, need paarid ei saa olla selle probleemi lahendused, sest rongi kiirus ei saa olla nulliga võrdne (siis ta ei lähe, vaid seisab paigal); seda enam, et rongi kiirus ei saa olla negatiivne (siis ei lähe ta teise rongi poole, nagu probleemi seisukorras kirjas, vaid vastupidises suunas).

Näide 1 Joonestage kahe muutujaga x + y - 3 = 0 punkti xOy koordinaattasandil lineaarvõrrandi lahendid.

Otsus. Antud võrrandile valime mitu lahendit ehk mitu võrrandit rahuldavat arvupaari: (3; 0), (2; 1), (1; 2) (0; 3), (- 2; 5).

A. V. Pogorelov, Geomeetria 7.-11. klassile, Õpik haridusasutustele