Alustame kahe või enama arvu vähima ühiskordse uurimisega. Jaotises anname mõiste definitsiooni, vaatleme teoreemi, mis loob seose vähima ühiskordse ja suurima ühisjagaja vahel ning toome näiteid probleemide lahendamisest.

Ühiskordsed – määratlus, näited

Selles teemas huvitavad meid ainult nullist erinevate täisarvude ühiskordsed.

Definitsioon 1

Täisarvude ühiskordne on täisarv, mis on kõigi antud arvude kordne. Tegelikult on see mis tahes täisarv, mida saab jagada mis tahes antud arvuga.

Ühiskordaja määratlus viitab kahele, kolmele või enamale täisarvule.

Näide 1

Vastavalt ülaltoodud arvu 12 määratlusele on ühiskordsed 3 ja 2. Ka arv 12 on arvude 2, 3 ja 4 ühiskordne. Arvud 12 ja -12 on arvude ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 ühiskordsed.

Samal ajal on arvude 2 ja 3 ühiskordseks arvud 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , −100 010 004 ja mitmed teised.

Kui võtta arvud, mis jaguvad paari esimese arvuga ja ei jagu teisega, siis sellised arvud ei ole ühiskordsed. Seega ei ole arvude 2 ja 3 puhul arvud 16 , − 27 , 5009 , 27001 ühiskordsed.

0 on mis tahes nullist erinevate täisarvude kogumi ühiskordne.

Kui meenutada jaguvuse omadust vastandarvude suhtes, siis selgub, et mõni täisarv k on nende arvude ühiskordne samamoodi nagu arv - k. See tähendab, et ühised jagajad võivad olla kas positiivsed või negatiivsed.

Kas kõigi numbrite jaoks on võimalik leida LCM-i?

Ühiskordse võib leida mis tahes täisarvu jaoks.

Näide 2

Oletame, et meile antakse k täisarvud a 1 , a 2 , … , a k. Arv, mille saame arvude korrutamise käigus a 1 a 2 … a k jagatavusomaduse järgi jagatakse see kõigi algses tootes sisalduvate teguritega. See tähendab, et arvude korrutis a 1 , a 2 , … , a k on nende arvude vähim ühiskordne.

Mitu ühiskordset võib neil täisarvudel olla?

Täisarvude rühmal võib olla suur hulkühiskordsed. Tegelikult on nende arv lõpmatu.

Näide 3

Oletame, et meil on mingi arv k . Siis on arvude k · z korrutis, kus z on täisarv, arvude k ja z ühiskordne. Arvestades, et arvude arv on lõpmatu, siis ühiskordajate arv on lõpmatu.

Least Common Multiple (LCM) – määratlus, sümbol ja näited

Tuletage meelde antud arvude hulgast väikseima arvu kontseptsiooni, mida käsitlesime jaotises Täisarvude võrdlus. Seda kontseptsiooni silmas pidades sõnastame vähima ühiskordse definitsiooni, millel on kõigist ühiskordadest suurim praktiline tähendus.

2. definitsioon

Antud täisarvude vähim ühiskordne on nende arvude vähim positiivne ühiskordne.

Vähim ühiskordne on olemas suvalise arvu antud arvude puhul. Mõiste tähistamiseks teatmekirjanduses kasutatakse kõige sagedamini lühendit NOK. Lühikiri numbrite vähima tavalise kordse jaoks a 1 , a 2 , … , a k näeb välja nagu LCM (a 1 , a 2 , … , a k).

Näide 4

6 ja 7 vähim ühiskordne on 42. Need. LCM(6, 7) = 42. Nelja arvu – 2, 12, 15 ja 3 – vähim ühiskordne on 60. Lühike on LCM (- 2 , 12 , 15 , 3) ​​= 60 .

Mitte kõigi antud arvude rühmade puhul on vähim ühiskordne ilmselge. Sageli tuleb see välja arvutada.

NOC ja NOD vaheline seos

Väikseim ühiskordne ja suurim ühisjagaja on omavahel seotud. Mõistete vahelise seose paneb paika teoreem.

1. teoreem

Kahe positiivse täisarvu a ja b vähim ühiskordne on võrdne arvu a ja b korrutisega, mis on jagatud arvude a ja b suurima ühisjagajaga, st LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) .

Tõestus 1

Oletame, et meil on mingi arv M, mis on arvude a ja b kordne. Kui arv M jagub a-ga, on olemas ka mõni täisarv z , mille alusel võrdsus M = a k. Jaguvuse definitsiooni järgi, kui M on samuti jaguv b, nii siis a k jagatuna b.

Kui võtame kasutusele uue tähise gcd jaoks (a , b) as d, siis saame kasutada võrdusi a = a 1 d ja b = b 1 · d. Sel juhul on mõlemad võrdsused koalgarvud.

Oleme selle juba kindlaks teinud a k jagatuna b. Nüüd saab selle tingimuse kirjutada järgmisel viisil:
a 1 d k jagatuna b 1 d, mis on samaväärne tingimusega a 1 k jagatuna b 1 jaguvuse omaduste järgi.

Suhteliselt algarvude omaduse järgi, kui a 1 ja b 1- vastastikku algarvud, a 1 ei jaguga b 1 vaatamata asjaolule, et a 1 k jagatuna b 1, siis b 1 peaks jagama k.

Sel juhul oleks kohane eeldada, et arv on olemas t, milleks k = b 1 t, ja alates b1=b:d, siis k = b: d t.

Nüüd selle asemel k võrdsusse panna M = a k vormi väljendus b: d t. See võimaldab meil jõuda võrdsuseni M = a b: d t. Kell t=1 saame a ja b vähima positiivse ühiskordse , võrdne a b: d, eeldusel, et numbrid a ja b positiivne.

Seega oleme tõestanud, et LCM (a , b) = a b: GCD (a, b).

LCM-i ja GCD vahelise ühenduse loomine võimaldab leida kahe või enama arvu suurima ühisjagaja kaudu vähima ühiskordse.

3. määratlus

Teoreemil on kaks olulist tagajärge:

• kahe arvu vähima ühiskordse kordsed on samad, mis nende kahe arvu ühiskordsed;
• positiivsete koaprimarvude a ja b vähim ühiskordne on võrdne nende korrutisega.

Neid kahte fakti pole raske põhjendada. M arvu a ja b mis tahes ühiskordne defineeritakse võrrandiga M = LCM (a, b) t mõne täisarvu t korral. Kuna a ja b on kaasalgarvud, siis gcd (a, b) = 1, seega LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Kolme või enama arvu vähim ühiskordne

Mitme arvu vähima ühiskordse leidmiseks peate järjestikku leidma kahe arvu LCM-i.

2. teoreem

Teeskleme seda a 1 , a 2 , … , a k on mõned positiivsed täisarvud. LCM-i arvutamiseks m k need numbrid peame järjestikku arvutama m2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , a k) .

Tõestus 2

Käesolevas teemas käsitletud esimese teoreemi esimene järeldus aitab meil tõestada teise teoreemi õigsust. Põhjendus koostatakse järgmise algoritmi järgi:

• arvude ühiskordsed a 1 ja a 2 langevad kokku nende LCM-i kordsetega, tegelikult langevad nad kokku arvu kordsetega m2;
• arvude ühiskordsed a 1, a 2 ja a 3 m2 ja a 3 m 3;
• arvude ühiskordsed a 1 , a 2 , … , a k langevad kokku arvude ühiskordadega m k - 1 ja a k, langevad seetõttu kokku arvu kordsetega m k;
• tingitud asjaolust, et arvu väikseim positiivne kordne m k on number ise m k, siis arvude vähim ühiskordne a 1 , a 2 , … , a k on m k.

Seega oleme teoreemi tõestanud.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Mõelge kolmele võimalusele vähima ühiskordse leidmiseks.

Faktooringuga leidmine

Esimene võimalus on leida vähim ühiskordne, arvutades antud arvud algteguriteks.

Oletame, et peame leidma arvude 99, 30 ja 28 LCM-i. Selleks jagame kõik need arvud algteguriteks:

Soovitud arvu jagumiseks 99, 30 ja 28-ga on vajalik ja piisav, et see hõlmaks kõiki nende jagajate algtegureid. Selleks peame võtma kõik nende arvude algtegurid suurima esinemisastmeni ja korrutama need kokku:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Seega LCM (99, 30, 28) = 13 860. Ükski teine ​​arv, mis on väiksem kui 13 860, ei jagu ühtlaselt 99, 30 või 28-ga.

Antud arvude vähima ühiskordaja leidmiseks peate need arvutama algteguriteks, seejärel võtma iga algteguri suurima eksponendiga ja korrutama need tegurid kokku.

Kuna koalgarvudel ei ole ühiseid algtegureid, on nende vähim ühiskordaja võrdne nende arvude korrutisega. Näiteks kolm arvu: 20, 49 ja 33 on algarvud. Sellepärast

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Sama tuleks teha ka erinevate algarvude vähima ühise kordse otsimisel. Näiteks LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Valiku järgi leidmine

Teine võimalus on leida sobitamise teel vähim ühiskordne.

Näide 1. Kui suurim antud arvudest jagub võrdselt teiste antud arvudega, siis nende arvude LCM on võrdne neist suuremaga. Näiteks antud neli arvu: 60, 30, 10 ja 6. Igaüks neist jagub 60-ga, seega:

NOC(60; 30; 10; 6) = 60

Muudel juhtudel kasutatakse vähima ühiskordse leidmiseks järgmist protseduuri:

1. Me määratleme suurim arv nendest numbritest.
2. Järgmiseks leiame arvud, mis on suurima arvu kordsed, korrutades selle kasvavas järjekorras naturaalarvudega ja kontrollides, kas ülejäänud antud arvud jaguvad saadud korrutisega.

Näide 2. Antud on kolm arvu 24, 3 ja 18. Määrake neist suurim – see on arv 24. Järgmiseks leidke arvud, mis on 24 kordsed, kontrollides, kas igaüks neist jagub 18 ja 3-ga:

24 1 = 24 jagub 3-ga, kuid ei jagu 18-ga.

24 2 = 48 - jagub 3-ga, kuid ei jagu 18-ga.

24 3 \u003d 72 - jagub 3 ja 18-ga.

Seega LCM(24, 3, 18) = 72.

Otsimine järjestikuse leidmise LCM abil

Kolmas viis on LCM-i järjestikuse leidmise teel leida vähim ühiskordne.

Kahe antud arvu LCM võrdub nende arvude korrutisega, mis on jagatud nende suurima ühisjagajaga.

Näide 1. Leidke kahe antud arvu LCM: 12 ja 8. Määrake nende suurim ühisjagaja: GCD (12, 8) = 4. Korrutage need arvud:

Jagame toote nende GCD-ks:

Seega LCM(12, 8) = 24.

Kolme või enama numbri LCM-i leidmiseks kasutatakse järgmist protseduuri.

1. Esiteks leitakse mis tahes kahe antud numbri LCM.
2. Seejärel leitud vähima ühiskordse ja kolmanda antud arvu LCM.
3. Seejärel saadud vähima ühiskordse ja neljanda arvu LCM jne.
4. Seega LCM-i otsing jätkub seni, kuni on numbreid.

Näide 2. Leiame kolme antud arvu LCM-i: 12, 8 ja 9. Oleme juba leidnud eelmises näites arvude 12 ja 8 LCM-i (see on arv 24). Jääb üle leida arvu 24 vähim ühiskordne ja kolmas antud arv - 9. Määrake nende suurim ühisjagaja: gcd (24, 9) = 3. Korrutage LCM arvuga 9:

Jagame toote nende GCD-ks:

Seega LCM(12, 8, 9) = 72.

Suurim ühisjagaja ja vähim ühiskordne on aritmeetilised põhimõisted, mis võimaldavad teil vaevata töötada harilikud murrud. LCM ja neid kasutatakse kõige sagedamini mitme murru ühisnimetaja leidmiseks.

Põhimõisted

Täisarvu X jagaja on teine ​​täisarv Y, millega X on jagatav ilma jäägita. Näiteks arvu 4 jagaja on 2 ja 36 on 4, 6, 9. Täisarvu X kordne on arv Y, mis jagub X-ga ilma jäägita. Näiteks 3 on 15 kordne ja 6 on 12 kordne.

Mis tahes arvupaari jaoks leiame nende ühised jagajad ja kordsed. Näiteks 6 ja 9 puhul on ühiskordne 18 ja ühisjagaja on 3. Ilmselt võib paaridel olla mitu jagajat ja kordajat, seega kasutatakse arvutustes GCD suurimat ja LCM-i väikseimat jagajat. .

Väikseimal jagajal pole mõtet, kuna iga arvu puhul on see alati üks. Ka suurim kordne on mõttetu, kuna kordajate jada kipub lõpmatuseni.

GCD leidmine

Suurima ühise jagaja leidmiseks on palju meetodeid, millest kuulsaimad on:

• jagajate järjestikune loendamine, paarile ühiste valimine ja neist suurima otsimine;
• arvude lagunemine jagamatuteks teguriteks;
• Eukleidese algoritm;
• binaarne algoritm.

Täna kl õppeasutused populaarseimad on algfaktoriseerimise meetodid ja Eukleidese algoritm. Viimast kasutatakse omakorda Diofantini võrrandite lahendamisel: GCD otsimine on vajalik selleks, et kontrollida võrrandi võimalust selle lahendamiseks täisarvudes.

NOC leidmine

Vähim ühiskordaja määratakse täpselt ka iteratiivse loendamise või jagamatuteks teguriteks jagamise teel. Lisaks on LCM-i lihtne leida, kui suurim jagaja on juba määratud. Numbrite X ja Y puhul on LCM ja GCD seotud järgmise seosega:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Näiteks kui gcd(15,18) = 3, siis LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. LCM-i kõige ilmsem kasutamine on ühisnimetaja leidmine, mis on antud murrud.

Koaprarvud

Kui arvupaaril pole ühiseid jagajaid, siis nimetatakse sellist paari koaprarvuks. Selliste paaride GCD on alati võrdne ühega, ning jagajate ja kordajate ühenduse põhjal on koaprime LCM võrdne nende korrutisega. Näiteks arvud 25 ja 28 on kaasalgarvud, kuna neil pole ühiseid jagajaid, ja LCM(25, 28) = 700, mis vastab nende korrutisele. Mis tahes kaks jagamatut arvu on alati kaasalgarvuks.

Ühine jagaja ja mitmikkalkulaator

Meie kalkulaatoriga saate arvutada GCD ja LCM suvalise arvu numbrite jaoks. Ülesanded ühiste jagajate ja kordajate arvutamiseks leidub 5. ja 6. klassi aritmeetikas, kuid GCD ja LCM on matemaatika põhimõisted ning neid kasutatakse arvuteoorias, planimeetrias ja kommunikatiivses algebras.

Näited elust

Murdude ühisnimetaja

Väiksemat ühiskordset kasutatakse mitme murru ühisnimetaja leidmisel. Laske aritmeetilises ülesandes liita 5 murdu:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Murdude lisamiseks tuleb avaldis taandada ühise nimetajani, mis taandub LCM-i leidmise probleemiks. Selleks valige kalkulaatoris 5 numbrit ja sisestage nimetaja väärtused vastavatesse lahtritesse. Programm arvutab LCM-i (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Nüüd peate iga murdosa jaoks arvutama lisategurid, mis on määratletud kui LCM-i ja nimetaja suhe. Seega näeksid lisakordajad välja järgmised:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Pärast seda korrutame kõik murrud vastava lisateguriga ja saame:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Selliseid murde saame lihtsalt liita ja tulemuseks saada kujul 159/360. Vähendame murdosa 3 võrra ja näeme lõplikku vastust - 53/120.

Lineaarsete diofantiinsete võrrandite lahendus

Lineaarsed diofantiini võrrandid on avaldised kujul ax + by = d. Kui suhe d / gcd(a, b) on täisarv, siis on võrrand lahendatav täisarvudes. Kontrollime paari võrrandit täisarvlahenduse võimalikkuse kohta. Kõigepealt kontrollige võrrandit 150x + 8y = 37. Kalkulaatori abil leiame gcd (150,8) = 2. Jagage 37/2 = 18,5. Arv ei ole täisarv, seetõttu pole võrrandil täisarvu juuri.

Kontrollime võrrandit 1320x + 1760y = 10120. Leidke kalkulaatoriga gcd(1320, 1760) = 440. Jagage 10120/440 = 23. Selle tulemusena saame täisarvu, seega on Diofantiini koefitsient lahendatav. .

Järeldus

GCD ja LCM mängivad arvuteoorias olulist rolli ning mõisteid ise kasutatakse laialdaselt matemaatika erinevates valdkondades. Kasutage meie kalkulaatorit mis tahes arvu arvu suurimate jagajate ja väikseimate kordajate arvutamiseks.

Palju jagajaid

Mõelge järgmisele ülesandele: leidke arvu 140 jagaja. On ilmne, et arvul 140 pole mitte üks jagaja, vaid mitu. Sellistel juhtudel öeldakse, et ülesanne on palju lahendusi. Otsime need kõik üles. Kõigepealt laiendame antud number peamiste tegurite jaoks:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Nüüd saame lihtsalt kõik jagajad välja kirjutada. Alustame lihtsate jagajatega, st nendega, mis on ülaltoodud laiendis:

Seejärel kirjutame välja need, mis saadakse algjagajate paarikaupa korrutamisega:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Siis - need, mis sisaldavad kolme lihtsat jagajat:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Lõpuks ärgem unustagem ühikut ja lagunevat arvu ennast:

Kõik meie poolt leitud jagajad moodustavad palju arvu 140 jagajad, mis on kirjutatud lokkis sulgudes:

Arvu 140 jagajate hulk =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Tajumise hõlbustamiseks oleme siin välja kirjutanud jagajad ( seada elemendid) kasvavas järjekorras, kuid üldiselt pole see vajalik. Lisaks tutvustame lühendit. "Arvu 140 jagajate komplekt" asemel kirjutame "D (140)". Sellel viisil,

Samamoodi võib leida jagajate hulga mis tahes muu naturaalarvu jaoks. Näiteks lagunemisest

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

saame:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Kõigi jagajate hulgast tuleks eristada algjagajate hulk, mis arvude 140 ja 105 puhul on vastavalt võrdsed:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

Tuleb rõhutada, et arvu 140 dekomponeerimisel algteguriteks esineb kaks kaks korda, samas kui hulgas PD(140) on see ainult üks. Hulk PD(140) on sisuliselt kõik vastused ülesandele: "Leia arvu 140 algtegur". On selge, et sama vastust ei tohiks korrata rohkem kui üks kord.

Fraktsiooni vähendamine. Suurim ühine jagaja

Mõelge murdosale

Teame, et seda murdosa saab taandada arvuga, mis on nii lugeja (105) kui ka nimetaja (140) jagaja. Vaatame hulka D(105) ja D(140) ning paneme kirja nende ühised elemendid.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Hulkade D(105) ja D(140) ühised elemendid =

Viimase võrdsuse saab kirjutada lühemalt, nimelt:

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Siin näitab spetsiaalne ikoon "∩" ("maha auguga kott") lihtsalt seda, et kahest selle vastasküljele kirjutatud komplektist tuleks valida ainult ühised elemendid. Kirje "D (105) ∩ D (140)" on " ristmik komplektid Te alates 105 ja Te alates 140.

[Pange tähele, et komplektidega saate teha mitmesuguseid kahendtoiminguid, peaaegu nagu numbritega. Teine levinud kahendoperatsioon on ühing, mida tähistab ikoon "∪" ("üles oleva auguga kott"). Kahe hulga liit sisaldab mõlema komplekti kõiki elemente:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Niisiis, saime teada, et murdosa

saab taandada ükskõik millisele komplekti kuuluvale numbrile

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

ja seda ei saa taandada ühegi teise naturaalarvuga. Siin on kõik võimalikud viisid vähendamiseks (välja arvatud ebahuvitav ühe võrra vähendamine):

Ilmselge on, et kõige otstarbekam on murdosa vähendada arvu võrra, võimalusel suuremana. Sel juhul on see number 35, mis väidetavalt on suurim ühine jagaja (GCD) numbrid 105 ja 140. See on kirjutatud kui

gcd(105, 140) = 35.

Kui aga meile antakse kaks arvu ja me peame leidma nende suurima ühise jagaja, siis praktikas ei pea me moodustama ühtegi hulka. Piisab, kui lihtsalt faktoriseerida mõlemad arvud algteguriteks ja tõmmata alla need tegurid, mis on ühised mõlema faktorijaotuse jaoks, näiteks:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Korrutades allajoonitud arvud (mis tahes laienduses), saame:

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Muidugi on võimalik, et allajoonitud tegurit on rohkem kui kaks:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Siit on selge, et

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Eraldi äramärkimist väärib olukord, kus ühiseid tegureid üldse pole ja pole ka midagi rõhutada, näiteks:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

Sel juhul,

gcd(42, 55) = 1.

Kutsutakse kahte naturaalarvu, mille gcd on võrdne ühega koprime. Kui teete sellistest arvudest murdosa, näiteks

siis selline murd on taandamatu.

Üldiselt võib murdude vähendamise reegli kirjutada järgmiselt:

Siin eeldatakse, et a ja b on naturaalarvud ja kõik murrud on positiivsed. Kui nüüd omistada selle võrdsuse mõlemale poolele miinusmärk, saame negatiivsete murdude jaoks vastava reegli.

Murdude liitmine ja lahutamine. Vähim ühine kordne

Oletame, et soovite arvutada kahe murdosa summa:

Teame juba, kuidas nimetajad algteguriteks jaotatakse:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Sellest lagunemisest järeldub kohe, et murdude ühise nimetajani viimiseks piisab, kui korrutada esimese murru lugeja ja nimetaja 2∙ 2-ga (teise nimetaja rõhutamata algtegurite korrutis) ja teise murru lugeja ja nimetaja 3-ga (esimese nimetaja allajoonimata algtegurid "produkt"). Selle tulemusel muutuvad mõlema murru nimetajad võrdseks arvuga, mida saab esitada järgmiselt:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

On lihtne mõista, et mõlemad algnimetajad (nii 105 kui ka 140) on arvu 420 jagajad ja arv 420 on omakorda mõlema nimetaja kordne - ja mitte ainult kordne, see on vähim ühiskordne (NOC) numbrid 105 ja 140. See on kirjutatud järgmiselt:

LCM(105; 140) = 420.

Vaadates lähemalt arvude 105 ja 140 laienemist, näeme, et

105 ∙ 140 = LCM(105, 140) ∙ GCD(105, 140).

Samamoodi meelevaldse jaoks naturaalarvud b ja d:

b ∙ d= LCM( b, d) ∙ GCD( b, d).

Lõpetame nüüd oma murdude liitmise:

Nimetatakse suurimat naturaalarvu, millega arvud a ja b jaguvad ilma jäägita suurim ühine jagaja need numbrid. Tähistage GCD(a, b).

Kaaluge GCD leidmist kahe naturaalarvu 18 ja 60 näitel:

324 , 111 ja 432

Jagame arvud algteguriteks:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3 × 37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Kustutades esimesest numbrist, mille tegurid ei ole teises ja kolmandas numbris, saame:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

GCD( 324 , 111 , 432 )=3

GCD leidmine Eukleidese algoritmi abil

Teine viis suurima ühisjagaja leidmiseks kasutades Eukleidese algoritm. Eukleidese algoritm on kõige rohkem tõhus viis leidmine GCD, seda kasutades peate pidevalt leidma arvude jaotuse jääki ja rakendama korduv valem.

Korduv valem GCD jaoks, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), kus a mod b on a jagamise b-ga jääk.

Eukleidese algoritm

Näide Leidke arvude suurim ühisjagaja 7920 ja 594

Leiame GCD( 7920 , 594 ) Eukleidese algoritmi kasutades arvutame kalkulaatori abil jaotuse jäägi.

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

Selle tulemusena saame GCD( 7920 , 594 ) = 198

Vähim ühine kordne

Ühise nimetaja leidmine murdude liitmisel ja lahutamisel erinevad nimetajad peab teadma ja oskama arvutada vähim ühiskordne(NOC).

Arvu "a" kordne on arv, mis ise jagub arvuga "a" ilma jäägita.

Arvud, mis on 8-kordsed (see tähendab, et need arvud jagatakse 8-ga ilma jäägita): need on arvud 16, 24, 32 ...

9-kordsed: 18, 27, 36, 45…

Antud arvul a on lõpmatult palju kordusi, erinevalt sama arvu jagajatest. Jagajad – lõplik arv.

Kahe naturaalarvu ühiskordne on arv, mis jagub võrdselt mõlema arvuga..

Vähim ühine kordne Kahe või enama naturaalarvu (LCM) on väikseim naturaalarv, mis ise jagub kõigi nende arvudega.

Kuidas leida NOC

LCM-i saab leida ja kirjutada kahel viisil.

Esimene viis LCM-i leidmiseks

Seda meetodit kasutatakse tavaliselt väikeste arvude puhul.

1. Kirjutame rea iga arvu kordsed välja, kuni saadakse kordne, mis on mõlema arvu jaoks sama.
2. Arvu "a" kordne on tähistatud suure tähega "K".

Näide. Leidke LCM 6 ja 8.

Teine viis LCM-i leidmiseks

Seda meetodit on mugav kasutada kolme või enama numbri LCM-i leidmiseks.

Ühesuguste tegurite arv arvude laiendustes võib olla erinev.

Vähima ühiskordse (LCM) leidmise saate ka vormistada järgmiselt. Leiame LCM-i (12, 16, 24) .

24 = 2 2 2 3

Nagu arvude laiendamisest näha, on 24 (arvudest suurim) laiendusse kaasatud kõik 12 tegurid, seega lisame LCM-ile ainult ühe 2 arvu 16 laiendusest.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Vastus: LCM (12, 16, 24) = 48

NOC-de leidmise erijuhud

Näiteks LCM(60, 15) = 60
Kuna koalgarvudel pole ühiseid algjagajaid, on nende vähim ühiskordne võrdne nende arvude korrutisega.

Meie saidil saate arvutuste kontrollimiseks kasutada ka spetsiaalset kalkulaatorit, et leida võrgust kõige vähem levinud kordne.

Kui naturaalarv jagub ainult 1-ga ja iseendaga, nimetatakse seda algarvuks.

Iga naturaalarv jagub alati 1-ga ja iseendaga.

Arv 2 on väikseim algarv. See on ainus paaris algarv, ülejäänud algarvud on paaritud.

Algarve on palju ja esimene neist on arv 2. Viimast algarvu siiski pole. Jaotises "Õppimiseks" saate alla laadida algarvude tabeli kuni 997.

Kuid paljud naturaalarvud jaguvad teiste naturaalarvudega võrdselt.

• arv 12 jagub 1-ga, 2-ga, 3-ga, 4-ga, 6-ga, 12-ga;
• 36 jagub 1-ga, 2-ga, 3-ga, 4-ga, 6-ga, 12-ga, 18-ga, 36-ga.

Arvu, millega arv jagub võrdselt (12 puhul on need 1, 2, 3, 4, 6 ja 12), nimetatakse arvu jagajateks.

Naturaalarvu a jagaja on selline naturaalarv, mis jagab antud arvu "a" ilma jäägita.

Naturaalarvu, millel on rohkem kui kaks tegurit, nimetatakse liitarvuks.

Pange tähele, et numbritel 12 ja 36 on ühised jagajad. Need on arvud: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Nende arvude suurim jagaja on 12.

Kahe antud arvu "a" ja "b" ühisjagaja on arv, millega mõlemad antud arvud "a" ja "b" jagatakse ilma jäägita.

Suurim ühine jagaja(GCD) kahest antud arvust "a" ja "b" on suurim arv, millega mõlemad arvud "a" ja "b" jaguvad ilma jäägita.

Lühidalt, arvude "a" ja "b" suurim ühisjagaja on kirjutatud järgmiselt:

Näide: gcd (12; 36) = 12 .

Lahenduskirje arvude jagajaid tähistatakse suure tähega "D".

Numbritel 7 ja 9 on ainult üks ühine jagaja - arv 1. Selliseid numbreid nimetatakse koalgarvud.

Koaprarvud on naturaalarvud, millel on ainult üks ühine jagaja - arv 1. Nende GCD on 1.

Kuidas leida suurim ühisjagaja

Kahe või enama naturaalarvu gcd leidmiseks vajate:

• lagundada arvude jagajad algteguriteks;

Arvutused on mugavalt kirjutatud vertikaalse riba abil. Reast vasakul kirjutage kõigepealt üles dividend, paremale - jagaja. Edasi vasakpoolses veerus kirjutame üles privaatsuse väärtused.

Selgitame kohe näitega. Faktoriseerime arvud 28 ja 64 algteguriteks.

Tõmmake mõlemas arvus alla samad algtegurid.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Leiame identsete algtegurite korrutise ja kirjutame vastuse üles;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Vastus: GCD (28; 64) = 4

GCD asukohta saate korraldada kahel viisil: veerus (nagu tehti ülal) või "real".

Esimene viis GCD kirjutamiseks

Leidke GCD 48 ja 36.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

Teine viis GCD kirjutamiseks

Nüüd kirjutame GCD otsingulahenduse reale. Leidke GCD 10 ja 15.

Meie teabesaidilt leiate arvutuste kontrollimiseks abiprogrammi abil ka võrgust suurima ühise jagaja.

Vähima ühiskordaja leidmine, meetodid, näited LCM-i leidmiseks.

Allpool esitatud materjal on loogiline jätk teooriale, mis pärineb artiklist pealkirjaga LCM - Least Common Multiple, definitsioon, näited, LCM-i ja GCD seos. Siin me räägime vähima ühiskordse (LCM) leidmine, ja pöörata erilist tähelepanu näidete lahendamisele. Esmalt näitame, kuidas arvutatakse kahe arvu LCM nende arvude GCD järgi. Järgmisena kaaluge vähima ühiskordse leidmist arvude algteguriteks faktorina. Pärast seda keskendume kolme või enama arvu LCM-i leidmisele ja pöörame tähelepanu ka negatiivsete arvude LCM-i arvutamisele.

Leheküljel navigeerimine.

Vähima ühiskordse (LCM) arvutamine läbi gcd

Üks viis vähima ühiskordse leidmiseks põhineb LCM-i ja GCD vahelisel suhtel. Olemasolev seos LCM-i ja GCD vahel võimaldab teadaoleva suurima ühisjagaja kaudu arvutada kahe positiivse täisarvu väikseima ühiskordaja. Vastaval valemil on vorm LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Vaadake näiteid LCM-i leidmiseks ülaltoodud valemi järgi.

Leidke kahe arvu 126 ja 70 vähim ühiskordne.

Selles näites a=126, b=70. Kasutame LCM-i seost GCD-ga, mida väljendatakse valemiga LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . See tähendab, et kõigepealt peame leidma arvude 70 ja 126 suurima ühisjagaja, mille järel saame kirjutatud valemi järgi arvutada nende arvude LCM-i.

Leia gcd(126, 70), kasutades Eukleidese algoritmi: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , seega gcd(126, 70)=14 .

Nüüd leiame nõutava vähima ühise kordse: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

Mis on LCM(68, 34)?

Kuna 68 jagub võrdselt 34-ga, siis gcd(68, 34)=34 . Nüüd arvutame väikseima ühiskordse: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

Pange tähele, et eelmine näide sobib järgmise reegliga positiivsete täisarvude a ja b LCM-i leidmiseks: kui arv a jagub b-ga, siis on nende arvude vähim ühiskordne a .

LCM-i leidmine arvude algfaktoriteks arvutamise teel

Teine viis vähima ühiskordaja leidmiseks põhineb arvude arvutamisel algteguriteks. Kui teeme nende arvude kõigi algtegurite korrutise, mille järel jätame sellest korrutisest välja kõik levinud algtegurid, mis esinevad nende arvude laiendustes, siis on saadud korrutis võrdne nende arvude vähima ühiskordsega.

Väljakuulutatud reegel LCM-i leidmiseks tuleneb võrdsusest LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Tõepoolest, arvude a ja b korrutis on võrdne kõigi arvude a ja b laienemisega seotud tegurite korrutisega. Omakorda gcd(a, b) võrdub kõigi arvude a ja b laiendustes samaaegselt esinevate algtegurite korrutisega (mida kirjeldatakse peatükis gcd leidmine, kasutades arvude algteguriteks jaotamist ).

Võtame näite. Anname teada, et 75=3 5 5 ja 210=2 3 5 7 . Koostage nende laienduste kõigi tegurite korrutis: 2 3 3 5 5 5 7 . Nüüd jätame sellest tootest välja kõik tegurid, mis esinevad nii arvu 75 kui ka arvu 210 laienemisel (sellised tegurid on 3 ja 5), ​​siis saab korrutis kuju 2 3 5 5 7 . Selle korrutise väärtus võrdub 75 ja 210 vähima ühiskordsega, st LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

Pärast arvude 441 ja 700 arvestamist algteguriteks leidke nende arvude vähim ühiskordne.

Jagame arvud 441 ja 700 algteguriteks:

Saame 441=3 3 7 7 ja 700=2 2 5 5 7 .

Nüüd teeme kõigi nende arvude laienemisega seotud tegurite korrutise: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Jätame sellest korrutisest välja kõik tegurid, mis esinevad samaaegselt mõlemas laienduses (selline tegur on ainult üks – see on arv 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Seega LCM(441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100 .

LCM(441; 700) = 44 100.

LCM-i leidmise reegli, kasutades arvude algteguriteks jaotamist, saab sõnastada veidi teisiti. Kui liidame arvu b laienemisest puuduvad tegurid arvu a laienemise teguritele, siis on saadud korrutise väärtus võrdne arvu a ja b vähima ühiskordsega.

Näiteks võtame kõik samad arvud 75 ja 210, nende laiendused algteguriteks on järgmised: 75=3 5 5 ja 210=2 3 5 7 . Arvu 75 dekomponeerimisest saadud teguritele 3, 5 ja 5 liidame arvu 210 dekomponeerimisest puuduvad tegurid 2 ja 7, saame korrutise 2 3 5 5 7 , mille väärtus on LCM(75 , 210) .

Leidke 84 ja 648 vähim ühiskordne.

Esmalt saame arvude 84 ja 648 lagunemise algteguriteks. Need näevad välja nagu 84=2 2 3 7 ja 648=2 2 2 3 3 3 3 . Teguritele 2 , 2 , 3 ja 7 arvu 84 dekomponeerimisest liidame arvu 648 lagunemisest puuduvad tegurid 2 , 3 , 3 ja 3 , saame korrutise 2 2 2 3 3 3 3 7 , mis võrdub 4 536 . Seega on arvude 84 ja 648 soovitud vähim ühiskordne 4536.

Kolme või enama numbri LCM-i leidmine

Kolme või enama arvu väikseima ühiskordse saab leida, leides järjestikku kahe arvu LCM-i. Tuletage meelde vastav teoreem, mis annab võimaluse leida kolme või enama arvu LCM.

Olgu positiivsed täisarvud a 1 , a 2 , …, a k antud, nende arvude vähim ühiskordne m k leitakse järjestikuses arvutuses m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Mõelge selle teoreemi rakendamisele nelja arvu vähima ühiskordse leidmise näitel.

Leidke nelja arvu 140, 9, 54 ja 250 LCM.

Kõigepealt leiame m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . Selleks määrame eukleidilise algoritmi abil gcd(140, 9) , meil on 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , seega gcd( 140, 9)=1, kust LCM(140,9)=1409: GCD(140,9)=140 9:1=1260. See tähendab, et m 2 = 1 260 .

Nüüd leiame m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54) . Arvutame selle läbi gcd(1 260, 54) , mille määrab samuti Eukleidese algoritm: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Siis gcd(1 260, 54) = 18, kust LCM(1 260, 54) = 1 260 54:gcd(1 260, 54) = 1 260 54:18 = 3 780. See tähendab, m 3 \u003d 3 780.

Jääb üle leida m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Selleks leiame Eukleidese algoritmi kasutades GCD(3 780, 250): 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Seetõttu gcd(3 780, 250) = 10, seega LCM(3 780, 250) = 3 780 250:gcd(3 780, 250) = 3 780 250:10 = 94 500. See tähendab, m 4 \u003d 94 500.

Seega on algse nelja arvu vähim ühiskordne 94 500.

LCM(140; 9; 54; 250)=94500.

Paljudel juhtudel leitakse kolme või enama arvu vähim ühiskordne, kasutades antud arvude algfaktoriseerimist. Sel juhul tuleks järgida järgmist reeglit. Mitme arvu vähim ühiskordne on võrdne korrutisega, mis koosneb järgmiselt: teise arvu laiendamisel puuduvad tegurid liidetakse kõikidele esimese arvu laienemise teguritele, puuduvad tegurid saadud teguritele liidetakse kolmas arv jne.

Vaatleme näidet vähima ühiskordse leidmiseks, kasutades arvude algteguriteks jaotamist.

Leidke viie arvu 84, 6, 48, 7, 143 vähim ühiskordne.

Esiteks saame nende arvude jaotused algteguriteks: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 on algarv, see langeb kokku selle lagunemisega algteguriteks) ja 143=11 13 .

Nende arvude LCM-i leidmiseks tuleb esimese arvu 84 teguritele (need on 2 , 2 , 3 ja 7) lisada teise arvu 6 dekompositsioonist puuduvad tegurid. Arvu 6 laiendus ei sisalda puuduvaid tegureid, kuna nii 2 kui 3 on juba esimese arvu 84 laiendamisel olemas. Edasi teguritele 2 , 2 , 3 ja 7 liidame kolmanda arvu 48 laiendist puuduvad tegurid 2 ja 2 , saame tegurite 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ja 7 hulga . Järgmises etapis ei ole vaja sellele komplektile faktoreid lisada, kuna 7 on selles juba sisaldunud. Lõpuks lisame teguritele 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ja 7 arvu 143 laiendist puuduvad tegurid 11 ja 13 . Saame korrutise 2 2 2 2 3 7 11 13 , mis võrdub 48 048 .

Seetõttu LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

LCM(84; 6; 48; 7; 143)=48048.

Negatiivsete arvude vähima levinuima kordse leidmine

Mõnikord on ülesandeid, mille puhul peate leidma arvude vähima ühiskordse, mille hulgast üks, mitu või kõik arvud on negatiivsed. Nendel juhtudel tuleb kõik negatiivsed arvud asendada nende vastandarvudega, mille järel tuleks leida positiivsete arvude LCM. See on viis negatiivsete arvude LCM-i leidmiseks. Näiteks LCM(54, –34)=LCM(54, 34) ja LCM(–622, –46, –54, –888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

Saame seda teha, kuna a kordajate hulk on sama mis −a kordajate hulk (a ja −a on vastandarvud). Tõepoolest, olgu b mingi a kordne, siis b jagub a-ga ja jaguvuse mõiste kinnitab sellise täisarvu q olemasolu, et b=a q . Kuid tõene on ka võrdus b=(−a)·(−q), mis sama jaguvuse kontseptsiooni kohaselt tähendab, et b jagub −a , st b on −a kordne. Tõene on ka vastupidine väide: kui b on -a kordne, siis b on ka a kordne.

Leidke negatiivsete arvude −145 ja −45 vähim ühiskordne.

Asendame negatiivsed arvud −145 ja −45 nende vastandarvudega 145 ja 45 . Meil on LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Olles määranud gcd(145, 45)=5 (näiteks kasutades Eukleidese algoritmi), arvutame LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305. Seega on negatiivsete täisarvude −145 ja −45 vähim ühiskordne 1305 .

www.cleverstudents.ru

Jätkame divisjoni õppimist. AT see õppetund Vaatleme selliseid mõisteid nagu GCD ja NOC.

GCD on suurim ühine jagaja.

NOC on vähim ühiskordne.

Teema on suht igav, aga sellest on vaja aru saada. Seda teemat mõistmata ei saa te tõhusalt töötada murdudega, mis on matemaatikas tõeline takistus.

Suurim ühine jagaja

Definitsioon. Suurim arvude ühine jagaja a ja b a ja b jagatud ilma jäägita.

Et seda definitsiooni hästi mõista, asendame muutujate asemel a ja b muutuja asemel näiteks suvalised kaks numbrit a asendada number 12 ja muutuja asemel b number 9. Proovime nüüd lugeda seda määratlust:

Suurim arvude ühine jagaja 12 ja 9 on suurim arv, mille võrra 12 ja 9 jagatud ilma jäägita.

Definitsioonist on selgelt näha, et me räägime arvude 12 ja 9 ühisest jagajast ning see jagaja on kõigist olemasolevatest jagajatest suurim. See suurim ühisjagaja (gcd) tuleb leida.

Kahe arvu suurima ühisjagaja leidmiseks kasutatakse kolme meetodit. Esimene meetod on üsna aeganõudev, kuid võimaldab hästi mõista teema olemust ja tunnetada selle kogu tähendust.

Teine ja kolmas meetod on üsna lihtsad ja võimaldavad GCD kiiresti leida. Vaatleme kõiki kolme meetodit. Ja mida praktikas rakendada - valite ise.

Esimene võimalus on leida kahe arvu kõikvõimalikud jagajad ja valida neist suurim. Vaatleme seda meetodit järgmises näites: leidke arvude 12 ja 9 suurim ühisjagaja.

Esiteks leiame arvu 12 kõik võimalikud jagajad. Selleks jagame 12 kõikideks jagajateks vahemikus 1 kuni 12. Kui jagaja võimaldab jagada 12 ilma jäägita, siis tõstame selle esile sinisega ja tehke sulgudes asjakohane selgitus.

12: 1 = 12
(12 jagatud 1-ga ilma jäägita, seega 1 on 12 jagaja)

12: 2 = 6
(12 jagatud 2-ga ilma jäägita, seega 2 on 12 jagaja)

12: 3 = 4
(12 jagatud 3-ga ilma jäägita, seega 3 on 12 jagaja)

12: 4 = 3
(12 jagatud 4-ga ilma jäägita, seega 4 on 12 jagaja)

12:5 = 2 (2 jäänud)
(12 ei jagata 5-ga ilma jäägita, seega 5 ei ole 12 jagaja)

12: 6 = 2
(12 jagatud 6-ga ilma jäägita, seega 6 on 12 jagaja)

12: 7 = 1 (5 jäänud)
(12 ei jagata 7-ga ilma jäägita, seega 7 ei ole 12 jagaja)

12: 8 = 1 (4 jäänud)
(12 ei jagata 8-ga ilma jäägita, seega 8 ei ole 12 jagaja)

12:9 = 1 (3 jäänud)
(12 ei jagata 9-ga ilma jäägita, seega 9 ei ole 12 jagaja)

12: 10 = 1 (2 jäänud)
(12 ei jagata 10-ga ilma jäägita, seega 10 ei ole 12 jagaja)

12:11 = 1 (1 jäänud)
(12 ei jagata 11-ga ilma jäägita, seega 11 ei ole 12 jagaja)

12: 12 = 1
(12 jagatud 12-ga ilma jäägita, seega 12 on 12 jagaja)

Nüüd leiame arvu 9 jagajad. Selleks kontrollige kõiki jagajaid vahemikus 1 kuni 9

9: 1 = 9
(9 jagatud 1-ga ilma jäägita, seega 1 on 9 jagaja)

9: 2 = 4 (1 jäänud)
(9 ei jagata 2-ga ilma jäägita, seega 2 ei ole 9 jagaja)

9: 3 = 3
(9 jagatud 3-ga ilma jäägita, seega 3 on 9 jagaja)

9: 4 = 2 (1 jäänud)
(9 ei jagata 4-ga ilma jäägita, seega 4 ei ole 9 jagaja)

9:5 = 1 (4 jäänud)
(9 ei jagata 5-ga ilma jäägita, seega 5 ei ole 9 jagaja)

9: 6 = 1 (3 jäänud)
(9 ei jaganud 6-ga ilma jäägita, seega 6 ei ole 9 jagaja)

9:7 = 1 (2 jäänud)
(9 ei jagata 7-ga ilma jäägita, seega 7 ei ole 9 jagaja)

9:8 = 1 (1 jäänud)
(9 ei jagata 8-ga ilma jäägita, seega 8 ei ole 9 jagaja)

9: 9 = 1
(9 jagatud 9-ga ilma jäägita, seega 9 on 9 jagaja)

Nüüd kirjuta üles mõlema arvu jagajad. Sinisega esile tõstetud numbrid on jagajad. Kirjutame need välja:

Olles jagajad välja kirjutanud, saate kohe kindlaks teha, milline neist on suurim ja levinum.

Definitsiooni järgi on 12 ja 9 suurim ühisjagaja arv, millega 12 ja 9 jagavad võrdselt. Arvude 12 ja 9 suurim ja ühine jagaja on arv 3

Nii arv 12 kui ka arv 9 jaguvad 3-ga ilma jäägita:

Seega gcd (12 ja 9) = 3

Teine viis GCD leidmiseks

Nüüd kaaluge teist võimalust suurima ühise jagaja leidmiseks. Selle meetodi olemus seisneb mõlema arvu algteguriteks jaotamises ja ühiste korrutamises.

Näide 1. Leidke numbrite 24 ja 18 GCD

Esiteks arvestame mõlemad arvud algteguriteks:

Nüüd korrutame nende ühised tegurid. Et mitte segadusse sattuda, võib ühiseid tegureid alla joonida.

Vaatame arvu 24 lagunemist. Selle esimene tegur on 2. Otsime sama tegurit arvu 18 lagunemisel ja näeme, et see on ka seal. Me rõhutame mõlemat:

Jällegi vaatame arvu 24 lagunemist. Selle teine ​​tegur on samuti 2. Otsime sama tegurit arvu 18 lagunemisel ja näeme, et teist korda seda pole. Siis me ei tõsta midagi esile.

Järgmised kaks numbri 24 laienduses puuduvad ka numbri 18 laienduses.

Liigume arvu 24 lagunemisel viimasele tegurile. See on tegur 3. Otsime sama tegurit arvu 18 lagunemisel ja näeme, et see on ka seal. Rõhutame mõlemat kolme:

Seega on arvude 24 ja 18 ühised tegurid tegurid 2 ja 3. GCD saamiseks tuleb need tegurid korrutada:

Seega gcd (24 ja 18) = 6

Kolmas viis GCD leidmiseks

Nüüd kaaluge kolmandat võimalust suurima ühise jagaja leidmiseks. Selle meetodi olemus seisneb selles, et suurima ühisjagaja jaoks otsitavad arvud jagatakse algteguriteks. Seejärel kustutatakse esimese arvu dekompositsioonist tegurid, mis ei sisaldu teise arvu dekomponeerimises. Ülejäänud numbrid esimeses laienduses korrutatakse ja saadakse GCD.

Näiteks leiame sel viisil GCD numbrite 28 ja 16 jaoks. Kõigepealt jagame need arvud algteguriteks:

Meil on kaks laiendust: ja

Nüüd kustutame esimese numbri laiendist need tegurid, mis ei sisaldu teise numbri laienduses. Teise numbri laiendus ei sisalda seitset. Kustutame selle esimesest laiendusest:

Nüüd korrutame ülejäänud tegurid ja saame GCD:

Arv 4 on arvude 28 ja 16 suurim ühisjagaja. Mõlemad arvud jaguvad 4-ga ilma jäägita:

Näide 2 Leidke arvude 100 ja 40 GCD

Arvu 100 välja arvutamine

Arvu 40 arvutamine

Meil on kaks laiendust:

Nüüd kustutame esimese numbri laiendist need tegurid, mis ei sisaldu teise numbri laienduses. Teise numbri laiendus ei sisalda ühte viit (on vaid üks viis). Kustutame selle esimesest lagunemisest

Korrutage ülejäänud arvud:

Saime vastuseks 20. Seega on arv 20 arvude 100 ja 40 suurim ühisjagaja. Need kaks arvu jaguvad 20-ga ilma jäägita:

GCD (100 ja 40) = 20.

Näide 3 Leidke arvude 72 ja 128 gcd

Arvu 72 arvutamine

Arvu 128 arvutamine

2×2×2×2×2×2×2

Nüüd kustutame esimese numbri laiendist need tegurid, mis ei sisaldu teise numbri laienduses. Teise numbri laiendus ei sisalda kahte kolmikut (pole üldse). Kustutame need esimesest laiendusest:

Saime vastuseks 8. Seega on arv 8 arvude 72 ja 128 suurim ühisjagaja. Need kaks arvu jaguvad 8-ga ilma jäägita:

GCD (72 ja 128) = 8

GCD leidmine mitme numbri jaoks

Suurima ühisjagaja võib leida mitme arvu, mitte ainult kahe arvu jaoks. Selleks jagatakse suurimat ühisjagajat otsitavad arvud algteguriteks, seejärel leitakse nende arvude ühiste algtegurite korrutis.

Näiteks leiame GCD numbrite 18, 24 ja 36 jaoks

Arvu 18 arvestamine

Arvu 24 arvestamine

Arvu 36 arvestamine

Meil on kolm laiendust:

Nüüd valime välja ja joonime alla nende numbrite ühised tegurid. Kõik kolm numbrit peavad sisaldama ühiseid tegureid:

Näeme, et arvude 18, 24 ja 36 ühised tegurid on tegurid 2 ja 3. Nende tegurite korrutamisel saame otsitava GCD:

Saime vastuseks 6. Seega on arv 6 arvude 18, 24 ja 36 suurim ühisjagaja. Need kolm arvu jaguvad 6-ga ilma jäägita:

GCD (18, 24 ja 36) = 6

Näide 2 Leidke numbrite 12, 24, 36 ja 42 jaoks gcd

Faktoriseerime iga arvu. Seejärel leiame nende arvude ühistegurite korrutise.

Arvu 12 faktoriseerimine

Arvu 42 arvestamine

Meil on neli laiendust:

Nüüd valime välja ja joonime alla nende numbrite ühised tegurid. Ühised tegurid peavad sisalduma kõigis neljas numbris:

Näeme, et arvude 12, 24, 36 ja 42 ühised tegurid on tegurid 2 ja 3. Nende tegurite korrutamisel saame otsitava GCD:

Saime vastuseks 6. Seega on arv 6 arvude 12, 24, 36 ja 42 suurim ühisjagaja. Need arvud jaguvad 6-ga ilma jäägita:

gcd(12, 24, 36 ja 42) = 6

Eelmisest õppetükist teame, et kui mõni arv jagatakse teisega ilma jäägita, nimetatakse seda selle arvu kordseks.

Selgub, et mitmekordne võib olla ühine mitmele arvule. Ja nüüd oleme huvitatud kahe arvu kordsest, kuigi see peaks olema võimalikult väike.

Definitsioon. Numbrite vähim ühiskordne (LCM). a ja b- a ja b a ja number b.

Definitsioon sisaldab kahte muutujat a ja b. Asendame need muutujad mis tahes kahe arvuga. Näiteks muutuja asemel a asendada number 9 ja muutuja asemel b asendame arvu 12. Nüüd proovime lugeda definitsiooni:

Numbrite vähim ühiskordne (LCM). 9 ja 12 - on väikseim arv, mis on arvu kordne 9 ja 12 . Teisisõnu, see on nii väike arv, mis jagub ilma jäägita arvuga 9 ja numbril 12 .

Definitsioonist on selge, et LCM on väikseim arv, mis jagub ilma jäägita arvuga 9 ja 12. See LCM tuleb leida.

Vähima ühiskordse (LCM) leidmiseks on kaks võimalust. Esimene võimalus on see, et saate üles kirjutada kahe arvu esimesed kordsed ja seejärel valida nende kordsete hulgast sellise arvu, mis on ühine nii arvudele kui ka väikestele. Rakendame seda meetodit.

Kõigepealt leiame arvu 9 esimesed kordsed. 9 kordajate leidmiseks peate selle üheksa kordamööda korrutama arvudega 1 kuni 9. Saadud vastused on arvu 9 kordsed. alustame. Mitmed on punasega esile tõstetud:

Nüüd leiame arvule 12 kordajad. Selleks korrutame 12 kordamööda kõigi arvudega 1 kuni 12.