Kahe või enama arvu suurima ühisjagaja leidmise õppimiseks peate mõistma, mis on naturaal-, alg- ja kompleksarvud.

Naturaalarv on mis tahes arv, mida kasutatakse täisarvude loendamiseks.

Kui naturaalarvu saab jagada ainult iseenda ja ühega, nimetatakse seda algarvuks.

Kõik naturaalarvud saab jagada iseenda ja ühega, kuid ainus paaris algarv on 2, kõik ülejäänud algarvud saab jagada kahega. Seetõttu saavad algarvud olla ainult paaritud arvud.

Liiga palju algnumbreid täielik nimekiri neid pole olemas. GCD leidmiseks on mugav kasutada selliste numbritega spetsiaalseid tabeleid.

Enamikku naturaalarve saab jagada mitte ainult ühega, vaid ka teiste arvudega. Nii saab näiteks arvu 15 jagada 3 ja 5-ga. Neid kõiki nimetatakse arvu 15 jagajateks.

Seega on iga A jagaja arv, millega seda saab ilma jäägita jagada. Kui arvul on rohkem kui kaks loomulikku jagajat, nimetatakse seda liitarvuks.

Numbril 30 on sellised jagajad nagu 1, 3, 5, 6, 15, 30.

Näete, et arvudel 15 ja 30 on samad jagajad 1, 3, 5, 15. Nende kahe arvu suurim ühine jagaja on 15.

Seega on arvude A ja B ühine jagaja arv, millega saate need täielikult jagada. Maksimaalseks võib pidada maksimaalset koguarvu, millega neid saab jagada.

Probleemide lahendamiseks kasutatakse järgmist lühendatud pealdist:

GCD (A; B).

Näiteks GCD (15; 30) = 30.

Naturaalarvu kõigi jagajate üleskirjutamiseks kasutatakse tähistust:

D(15) = (1, 3, 5, 15)

gcd (9; 15) = 1

Selles näites on naturaalarvudel ainult üks ühine jagaja. Neid nimetatakse vastavalt koprimeks, ühik on nende suurim ühine jagaja.

Kuidas leida arvude suurim ühisjagaja

Mitme numbri GCD leidmiseks vajate:

Leidke iga naturaalarvu kõik jagajad eraldi, st jagage need teguriteks (algarvudeks);

Valige antud arvude jaoks kõik samad tegurid;

Korrutage need kokku.

Näiteks arvude 30 ja 56 suurima ühisjagaja arvutamiseks kirjutage järgmine:

Et mitte segadusse sattuda , on mugav kirjutada kordajad vertikaalsete veergude abil. Rea vasakul küljel peate paigutama dividendi ja paremale - jagaja. Dividendi alla tuleks märkida saadud jagatis.

Seega on paremas veerus kõik lahenduseks vajalikud tegurid.

Identsed jagajad (leitud tegurid) saab mugavuse huvides alla kriipsutada. Need tuleks ümber kirjutada ja korrutada ning üles kirjutada suurim ühisjagaja.

GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10

Arvude suurima ühisjagaja leidmine on tõesti nii lihtne. Veidi harjutades saate seda peaaegu automaatselt teha.

Naturaalarvude jaguvuse märgid.

Nimetatakse arve, mis jaguvad 2-ga ilma jäägitaisegi .

Nimetatakse numbreid, mis ei jagu võrdselt 2-gakummaline .

2-ga jaguvuse märk

Kui naturaalarvu kirje lõpeb paariskohaga, siis jagub see arv 2-ga ilma jäägita ja kui arvukirje lõpeb paaritu numbriga, siis see arv ei jagu 2-ga ilma jäägita.

Näiteks numbrid 60 , 30 8 , 8 4 jaguvad ilma jäägita 2-ga ja arvud 5-ga1 , 8 5 , 16 7 ei jagu 2-ga ilma jäägita.

3-ga jaguvuse märk

Kui arvu numbrite summa jagub 3-ga, siis jagub arv ka 3-ga; Kui arvu numbrite summa ei jagu 3-ga, siis arv ei jagu 3-ga.

Näiteks uurime, kas arv 2772825 jagub 3-ga. Selleks arvutame selle arvu numbrite summa: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - jagub 3-ga Seega jagub arv 2772825 3-ga.

5-ga jaguvuse märk

Kui naturaalarvu kirje lõpeb 0 või 5-ga, siis jagub see arv ilma jäägita 5-ga. Kui arvukirje lõpeb mõne teise numbriga, siis arvu ei saa ilma jäägita jagada 5-ga.

Näiteks numbrid 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 jaguvad ilma jäägita 5-ga ja arvud 1-ga7 , 37 8 , 9 1 ära jaga.

9-ga jaguvuse märk

Kui arvu numbrite summa jagub 9-ga, siis jagub arv ka 9-ga; Kui arvu numbrite summa ei jagu 9-ga, siis arv ei jagu 9-ga.

Näiteks uurime, kas arv 5402070 jagub 9-ga. Selleks arvutame selle arvu numbrite summa: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - ei jagu arvuga 9. See tähendab, et arv 5402070 ei jagu 9-ga.

10-ga jaguvuse märk

Kui naturaalarvu kirje lõpeb numbriga 0, siis see arv jagub ilma jäägita 10-ga. Kui naturaalarvu kirje lõpeb mõne teise numbriga, siis see ei jagu ilma jäägita 10-ga.

Näiteks numbrid 40 , 17 0 , 1409 0 jaguvad ilma jäägita 10-ga ja arvud 1-ga7 , 9 3 , 1430 7 - ära jaga.

Suurima ühisjagaja (gcd) leidmise reegel.

Mitme naturaalarvu suurima ühisjagaja leidmiseks peate:

2) ühe nende arvude laiendamisel sisalduvate tegurite hulgast kriipsutada maha need, mis ei kuulu teiste arvude laiendamisse;

3) leida ülejäänud tegurite korrutis.

Näide. Leiame GCD (48;36). Kasutame reeglit.

1. Jagame arvud 48 ja 36 algteguriteks.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Arvu 48 laiendusse kaasatud tegurite hulgast kustutame need, mis arvu 36 laiendusse ei kuulu.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Seal on tegurid 2, 2 ja 3.

3. Korrutage ülejäänud tegurid ja saate 12. See arv on arvude 48 ja 36 suurim ühisjagaja.

GCD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

Vähima ühiskordse (LCM) leidmise reegel.

Mitme naturaalarvu vähima ühiskordse leidmiseks peate:

1) lagundada need algteguriteks;

2) kirjutab välja ühe arvu laienduses sisalduvad tegurid;

3) lisab neile ülejäänud arvude laiendustest puuduvad tegurid;

4) leida saadud tegurite korrutis.

Näide. Leiame LCM (75;60). Kasutame reeglit.

1. Jagame arvud 75 ja 60 algteguriteks.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Pane kirja tegurid, mis sisalduvad arvu 75 laienduses: 3, 5, 5.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Lisage neile arvu 60 dekompositsioonist puuduvad tegurid, s.o. 2, 2.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Leidke saadud tegurite korrutis

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Teemat "Mitmed numbrid" õpitakse üldhariduskooli 5. klassis. Selle eesmärk on parandada matemaatiliste arvutuste kirjalikku ja suulist oskust. Selles õppetükis tutvustatakse uusi mõisteid - "mitmearvulised arvud" ja "jagajad", naturaalarvu jagajate ja kordajate leidmise tehnikat, LCM-i mitmel viisil leidmise võimalust.

See teema on väga oluline. Selleteadmisi saab rakendada murrudega näidete lahendamisel. Selleks tuleb leida ühisosa, arvutades vähima ühiskordse (LCM).

A kordne on täisarv, mis jagub A-ga ilma jäägita.

Igal naturaalarvul on lõpmatu arv selle kordajaid. Seda peetakse kõige väiksemaks. Korrutis ei saa olla väiksem kui arv ise.

On vaja tõestada, et arv 125 on arvu 5 kordne. Selleks tuleb esimene arv jagada teisega. Kui 125 jagub 5-ga ilma jäägita, on vastus jah.

Seda meetodit saab kasutada väikeste arvude puhul.

LCM-i arvutamisel on erijuhtumeid.

1. Kui teil on vaja leida kahele arvule (näiteks 80 ja 20) ühiskordne, kus üks neist (80) jagub ilma jäägita teisega (20), siis on see arv (80) väikseim nende kahe arvu kordne.

LCM (80, 20) = 80.

2. Kui kahel ei ole ühist jagajat, siis võime öelda, et nende LCM on nende kahe arvu korrutis.

LCM (6, 7) = 42.

Mõelge viimasele näitele. 6 ja 7 on 42 suhtes jagajad. Nad jagavad kordse ilma jäägita.

Selles näites on 6 ja 7 paarijagajad. Nende korrutis on võrdne kõige mitmekordsema arvuga (42).

Arvu nimetatakse algarvuks, kui see jagub ainult iseendaga või 1-ga (3:1=3; 3:3=1). Ülejäänud nimetatakse komposiitmaterjaliks.

Teises näites peate määrama, kas 9 on 42 jagaja.

42:9=4 (ülejäänud 6)

Vastus: 9 ei ole 42 jagaja, sest vastuses on jääk.

Jagaja erineb kordsest selle poolest, et jagaja on arv, millega naturaalarvud jagatakse, ja kordne jagub ise selle arvuga.

Suurim arvude ühine jagaja a ja b, korrutatuna nende väikseima kordsega, saadakse arvude endi korrutis a ja b.

Nimelt: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Keerukamate arvude ühiskordsed leitakse järgmisel viisil.

Näiteks leidke LCM 168, 180, 3024 jaoks.

Jagame need arvud algteguriteks, kirjutame need võimsuste korrutisena:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.

Tagasi edasi

Tähelepanu! Slaidi eelvaade on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada esitluse kogu ulatust. Kui olete huvitatud see töö palun laadige alla täisversioon.

Suurima ühisjagaja (GCD) ja vähima ühiskordaja (LCM) mõistetega kohtuvad keskkooliõpilased kuuendas klassis. Seda teemat on alati raske hallata. Lapsed ajavad need mõisted sageli segamini, ei saa aru, miks neid on vaja uurida. Viimasel ajal on populaarteaduslikus kirjanduses eraldi väiteid, et see materjal tuleks kooli õppekavast välja jätta. Arvan, et see pole päris tõsi ja seda on vaja uurida, kui mitte klassiruumis, siis tunnivälisel ajal koolikomponendi klassiruumis, kuna see aitab kaasa kooliõpilaste loogilise mõtlemise arengule, suurendades arvutustoimingute kiirus ja oskus lahendada probleeme kaunite meetodite abil.

Uurides teemat "Murdude liitmine ja lahutamine koos erinevad nimetajad"Õpetame lapsi leidma kahele või enamale arvule ühist nimetajat. Näiteks tuleb liita murrud 1/3 ja 1/5. Õpilased saavad hõlpsasti leida arvu, mis jagub ilma jäägita 3 ja 5-ga. arv on 15. Tõepoolest, kui arvud on väikesed, siis on korrutustabelit hästi tundes nende ühisnimetajat lihtne leida. Mõned poisid märkavad, et see arv on arvude 3 ja 5 korrutis. Lastel on oma arvamus. et arvudele saab alati niiviisi ühise nimetaja leida.Näiteks lahutame murrud 7/ 18 ja 5 / 24. Leiame arvude 18 ja 24 korrutis. See võrdub 432. Oleme juba saanud suur number, ja kui teil on vaja teha täiendavaid arvutusi (eriti kõigi toimingute näidete jaoks), suureneb vea tõenäosus. Kuid leitud arvude vähim ühiskordne (LCM), mis antud juhul on võrdne vähima ühisnimetajaga (LCD) - arv 72 - hõlbustab oluliselt arvutusi ja viib näite kiirema lahendamiseni ning säästab seeläbi aega määratud selle ülesande täitmiseks, mis mängib olulist rolli lõputesti sooritamisel, kontrolltööl, eriti lõpliku sertifitseerimise ajal.

Uurides teemat "Murdude taandamine", saate liikuda järjestikku jagades murdu lugeja ja nimetaja sama naturaalarvuga, kasutades arvude jaguvuse märke, saades lõpuks taandamatu murru. Näiteks peate vähendama murdosa 128/344. Esmalt jagame murru lugeja ja nimetaja arvuga 2, saame murdarvuks 64/172. Veelkord jagame saadud murru lugeja ja nimetaja 2-ga, saame murdarvuks 32/86. Jagage veel kord murdu lugeja ja nimetaja 2-ga, saame taandamatuks murruks 16/43. Kuid murdosa vähendamise saab teha palju lihtsamalt, kui leiame arvude 128 ja 344 suurima ühisjagaja. GCD (128, 344) = 8. Jagades selle arvuga murru lugeja ja nimetaja, saame kohe taandamatu murru.

Näidake lastele erinevaid viise, kuidas leida arvude suurim ühisjagaja (GCD) ja vähim ühiskordaja (LCM). Lihtsatel juhtudel on mugav lihtsa loendamisega leida arvude suurim ühisjagaja (GCD) ja vähim ühiskordaja (LCM). Kui arvud suurenevad, saab kasutada algtegureid. Kuuenda klassi õpikus (autor N.Ya. Vilenkin) on näidatud järgmine meetod arvude suurima ühisjagaja (GCD) leidmiseks. Jagame arvud algteguriteks:

• 16 = 2*2*2*2
• 120 = 2*2*2*3*5

Seejärel kriipsutame ühe arvu laiendamisse kaasatud tegurite hulgast välja need, mida teise arvu laiendamine ei hõlma. Ülejäänud tegurite korrutis on nende arvude suurim ühisjagaja. Antud juhul on see arv 8. Enda kogemusest olen veendunud, et lastele on arusaadavam, kui arvude laiendustes tõmbame samad tegurid alla ja siis ühest laiendusest leiame allajoonitud korrutise. tegurid. See on nende arvude suurim ühine jagaja. Kuuendas klassis on lapsed aktiivsed ja uudishimulikud. Saate neile seada järgmise ülesande: proovige kirjeldatud viisil leida arvude 343 ja 287 suurim ühisjagaja. Ei ole kohe selge, kuidas neid algteguriteks arvestada. Ja siin saate neile rääkida iidsete kreeklaste leiutatud imelisest meetodist, mis võimaldab teil otsida suurimat ühisjagajat (GCD) ilma algteguriteks lagunemata. Seda suurima ühise jagaja leidmise meetodit kirjeldati esmakordselt Eukleidese Elementides. Seda nimetatakse Eukleidese algoritmiks. See koosneb järgmisest: Esiteks jagage suurem arv väiksemaga. Kui on jääk, jagage väiksem arv jäägiga. Kui jääk saadakse uuesti, jagage esimene jääk teisega. Nii jätkake jagamist, kuni jääk on null. Viimane jagaja on nende arvude suurim ühisjagaja (GCD).

Pöördume oma näite juurde tagasi ja selguse huvides kirjutame lahendus tabeli kujul.

Seega gcd(344 287) = 7

Ja kuidas leida samade arvude vähim ühiskordne (LCM)? Kas selleks on mingi moodus, mis ei nõuaks nende arvude esialgset lagundamist algteguriteks? Selgub, et see on olemas ja väga lihtne. Peame need arvud korrutama ja jagama korrutise suurima leitud ühisjagajaga (GCD). Selles näites on arvude korrutis 98441. Jagage see 7-ga ja saate arvuks 14063. LCM(343,287) = 14063.

Matemaatikas on üks raskemaid teemasid tekstülesannete lahendamine. Peame õpilastele näitama, kuidas kasutada mõisteid "Greatest Common Divisor (GCD)" ja "Least Common Multiple (LCM)" probleemide lahendamiseks, mida on mõnikord raske tavapärasel viisil lahendada. Siin on paslik koos õpilastega koos kooliõpiku autorite pakutud ülesannetega läbi mõelda vanu ja meelelahutuslikke ülesandeid, mis arendavad lastes uudishimu ja tõstavad huvi selle teema uurimise vastu. Nende mõistete oskuslik valdamine võimaldab õpilastel näha ilusat lahendust ebastandardsele probleemile. Ja kui lapse tuju pärast hea probleemi lahendamist tõuseb, on see märk edukast tööst.

Seega õpiti koolis selliseid mõisteid nagu arvude "suurim ühine jagaja (GCD)" ja "väikseim ühine mitmik (LCD)".

Võimaldab säästa tööde tegemiseks eraldatud aega, mis toob kaasa tehtud ülesannete mahu olulise suurenemise;

Suurendab aritmeetiliste toimingute sooritamise kiirust ja täpsust, mis toob kaasa lubatavate arvutusvigade arvu olulise vähenemise;

Võimaldab leida kauneid viise mittestandardsete tekstiülesannete lahendamiseks;

Arendab õpilastes uudishimu, avardab silmaringi;

Loob eeldused mitmekülgse loovisiksuse kasvamiseks.

Definitsioon. Nimetatakse suurimat naturaalarvu, millega arvud a ja b jaguvad ilma jäägita suurim ühisjagaja (gcd) need numbrid.

Leiame arvude 24 ja 35 suurima ühisjagaja.
24 jagajad on arvud 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ja 35 jagajad numbrid 1, 5, 7, 35.
Näeme, et arvudel 24 ja 35 on ainult üks ühine jagaja – arv 1. Selliseid numbreid nimetatakse koprime.

Definitsioon. Naturaalarvudeks nimetatakse koprime kui nende suurim ühisjagaja (gcd) on 1.

Suurim ühine jagaja (GCD) võib leida ilma kõiki antud arvude jagajaid välja kirjutamata.

Arvestades arvud 48 ja 36, ​​saame:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Nende arvude esimese laiendamises sisalduvate tegurite hulgast kustutame need, mis ei sisaldu teise numbri laiendamises (st kaks kahekümnend).
Alles jäävad tegurid 2 * 2 * 3. Nende korrutis on 12. See arv on arvude 48 ja 36 suurim ühisjagaja. Leitakse ka kolme või enama arvu suurim ühisjagaja.

Leidma suurim ühine jagaja

2) kriipsutage ühe nende arvude laiendamises sisalduvate tegurite hulgast läbi need, mis ei sisaldu teiste arvude laiendamises;
3) leida ülejäänud tegurite korrutis.

Kui kõik antud arvud jaguvad ühega neist, siis see arv on suurim ühine jagaja antud numbrid.
Näiteks arvude 15, 45, 75 ja 180 suurim ühisjagaja on 15, kuna see jagab kõik ülejäänud arvud: 45, 75 ja 180.

Vähim levinud kordne (LCM)

Definitsioon. Vähim levinud kordne (LCM) naturaalarvud a ja b on väikseimad naturaalarvud, mis on arvu a ja b kordne. Arvude 75 ja 60 vähim ühiskordne (LCM) on leitav ilma nende arvude kordajaid järjest välja kirjutamata. Selleks jagame 75 ja 60 lihtsateks teguriteks: 75 \u003d 3 * 5 * 5 ja 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Kirjutame välja nendest arvudest esimese laienduses sisalduvad tegurid ja lisame neile teise arvu laiendusest puuduvad tegurid 2 ja 2 (s.t. ühendame tegurid).
Saame viis tegurit 2 * 2 * 3 * 5 * 5, mille korrutis on 300. See arv on arvude 75 ja 60 vähim ühiskordne.

Leidke ka kolme või enama arvu vähim ühiskordne.

To leida vähim ühiskordne mitu naturaalarvu, vajate:
1) lagundada need algteguriteks;
2) kirjutab välja ühe arvu laienduses sisalduvad tegurid;
3) lisab neile ülejäänud arvude laiendustest puuduvad tegurid;
4) leida saadud tegurite korrutis.

Pange tähele, et kui üks neist arvudest jagub kõigi teiste arvudega, on see arv nende arvude vähim ühiskordne.
Näiteks arvude 12, 15, 20 ja 60 vähim ühiskordne oleks 60, kuna see jagub kõigi antud arvudega.

Pythagoras (VI sajand eKr) uuris koos õpilastega arvude jagatavuse küsimust. Arv, mis võrdub kõigi selle jagajate summaga (ilma arvu endata), nimetasid nad täiuslikuks arvuks. Näiteks numbrid 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) on täiuslikud. Järgmised täiuslikud arvud on 496, 8128, 33 550 336. Pythagoraslased teadsid ainult kolme esimest täiuslikku arvu. Neljas – 8128 – sai tuntuks 1. sajandil. n. e. Viies – 33 550 336 – leiti 15. sajandil. 1983. aastaks oli teada juba 27 täiuslikku numbrit. Kuid siiani ei tea teadlased, kas on paarituid täiuslikke numbreid, kas on olemas suurim täiuslik arv.
Muistsete matemaatikute huvi algarvude vastu tuleneb asjaolust, et iga arv on kas algarv või seda saab esitada korrutisena algarvud, st algarvud on justkui tellised, millest on ehitatud ülejäänud naturaalarvud.
Tõenäoliselt märkasite, et naturaalarvude reas esinevad algarvud ebaühtlaselt - mõnes rea osas on neid rohkem, teistes - vähem. Kuid mida edasi liigume mööda arvujadasid, seda haruldasemad on algarvud. Tekib küsimus: kas viimane (suurim) algarv on olemas? Vana-Kreeka matemaatik Euclid (3. sajand eKr) tõestas oma raamatus "Algused", mis oli kaks tuhat aastat matemaatika põhiõpik, et algarve on lõpmata palju, st iga algarvu taga on paarisarv. suurem algarv.
Algarvude leidmiseks tuli sellise meetodi välja teine ​​samaaegne Kreeka matemaatik Eratosthenes. Ta kirjutas üles kõik arvud 1-st mõne arvuni ja seejärel kriipsutas läbi ühiku, mis ei ole alg- ega liitarv, ja seejärel kriipsutas läbi ühe kõik arvud pärast 2 (arvud, mis on 2 kordsed, st 4, 6, 8 jne). Esimene järelejäänud arv pärast 2 oli 3. Seejärel tõmmati pärast kahte maha kõik numbrid pärast 3 (arvud, mis on 3-kordsed, st 6, 9, 12 jne). lõpuks jäid läbi kriipsutamata ainult algarvud.