epigraaf
Kui vaatad kaua kuristikku,
saad mõnusalt aega veeta.
Mehaaniline hingeinsener

Niipea kui laps (ja see juhtub kuskil kolme-neljaaastasena) mõistab, et kõik numbrid on jagatud kolme rühma "üks, kaks ja mitu", püüab ta kohe välja selgitada: kui palju on palju, kui palju erineb. paljust , ja kas neid võib olla nii palju, et enam pole. Kindlasti mängisite oma vanematega huvitavat (selle vanuse kohta) mängu, kes nimetab suurima numbri ja kui esivanem ei olnud rumalam kui viienda klassi õpilane, siis võitis ta alati, iga "miljoni" vastusega "kaks miljonit" , ja "miljardi" puhul - "kaks miljardit" või "miljard pluss üks".

Juba esimeses kooliastmes teavad kõik, et numbreid on lõpmatult palju, need ei lõpe kunagi ja pole ka suurimat arvu. Miljoni triljoni miljardi kohta võite alati öelda "pluss üks" ja võita. Ja veidi hiljem tuleb (peaks tulema!) arusaam, et pikad numbrijadad iseenesest ei tähenda midagi. Kõigil neil triljonitel ja miljarditel on mõtet ainult siis, kui need kujutavad endast teatud arvu objekte või kirjeldavad teatud nähtust. Pikka numbrit, mis pole muud kui pikalt kõlavate arvude hulk, väljamõtlemine ei valmista raskusi, neid on juba lõpmatult palju. Teadus tegeleb teatud määral piltlikult öeldes väga konkreetsete arvukombinatsioonide otsimisega selles piiritus kuristikus, lisades mõnele füüsikalisele nähtusele, nagu valguse kiirus, Avogadro arv või Plancki konstant.

Ja kohe tekib küsimus, mis on maailma suurim number, mis midagi tähendab? Selles artiklis püüan rääkida digitaalsest koletisest nimega Graham number, kuigi rangelt võttes teab teadus veelgi rohkem numbreid. Grahami number on enim avalikustatud, võiks öelda, et laiem avalikkus on "kuulnud", sest see on üsna lihtsalt seletatav ja samas piisavalt suur, et pöörata tähelepanu. Üldiselt on siin vaja deklareerida väike lahtiütlus (vene hoiatus). See võib tunduda naljana, aga ma ei tee nalja. Ma räägin päris tõsiselt – sellistes matemaatilistes sügavustes pedantne nokitsemine koos tajupiiride ohjeldamatu avardumisega võib (ja hakkab) avaldama tõsist mõju maailmapildile, indiviidi positsioneerimisele ühiskonnas ja lõpuks valija üldise psühholoogilise seisundi kohta või, nimetame asju nende õigete nimedega - avab tee shizile. Järgmist teksti ei maksa liiga tähelepanelikult lugeda, selles kirjeldatud asju liiga elavalt ja ilmekalt ette kujutada ei maksa. Ja ära ütle hiljem, et sind ei hoiatatud!

Sõrmed:

Enne koletiste numbrite juurde asumist harjutame kõigepealt kasside peal. Tuletan meelde, et suurte arvude (mitte koletiste, vaid lihtsalt suurte arvude) kirjeldamiseks on mugav kasutada teaduslikku või nn. eksponentsiaalne tähistus.

Kui nad ütlevad näiteks tähtede arvu kohta universumis (vaadatavas universumis), ei vaevu ükski idioot arvutama, kui palju neid on otseses mõttes, kuni viimase täheni välja. Arvatakse, et ligikaudu 10 21 tükki. Ja see on madalam hinnang. See tähendab, et tähtede koguarvu saab väljendada arvuna, mille ühe järel on 21 nulli, s.o. "1 000 000 000 000 000 000 000".

Selline näeb välja väike osa neist (umbes 100 000) kerasparves Omega Centauri.

2

Loomulikult, kui rääkida sellistest skaaladest, siis reaalarvud arvus olulist rolli ei mängi, kõik on väga tinglik ja ligikaudne. Võib-olla on tähtede tegelik arv universumis "1 564 861 615 140 168 357 973" või "9 384 684 643 798 468 483 745". Ja isegi "3 333 333 333 333 333 333 333", miks mitte, kuigi see on muidugi ebatõenäoline. Kosmoloogias, universumi kui terviku omaduste teaduses, selliseid pisiasju ei petta. Peaasi on ette kujutada, et see arv koosneb ligikaudu 22 numbrist, millest alates on mugavam pidada seda 21 nulliga ühikuks ja kirjutada see 10 21-ks. Reegel on üldine ja väga lihtne. Mis number või number on kraadi asemel (siin on trükitud väikeses kirjas 10 peale), mitu nulli on pärast ühte selles numbris, kui maalida see lihtsal viisil, tähed reas ja mitte teaduslikul viisil. Mõnel numbril on "inimnimi", näiteks 10 3 nimetame "tuhandeks", 10 6 - "miljoniks" ja 10 9 - "miljardiks" ja mõnel mitte. Oletame, et 1059-l pole üldnimetust. Ja 10 21, muide, on see - see on "sekstiljon".

Kõik, mis ulatub miljonini, on peaaegu igaühele intuitiivselt arusaadav, sest kes ei tahaks saada miljonäriks? Siis algavad mõned probleemid. Kuigi miljard (10 9) on samuti peaaegu kõigile teada. Võite isegi lugeda kuni miljardini. Kui alles pärast sündi, sõna otseses mõttes sünnihetkel, hakkate lugema kord sekundis "üks, kaks, kolm, neli ..." ja ärge magage, ärge jooge, ärge sööge, vaid ainult loendama-loendama - Loendage väsimatult päeval ja öösel, siis kui saabub 32 aastat, võite lugeda kuni miljardini, sest Maa 32 pööret ümber Päikese võtab aega umbes miljard sekundit.

7 miljardit on inimeste arv planeedil. Eeltoodu põhjal on täiesti võimatu neid kõiki inimelu jooksul järjestikku üles lugeda, peate elama üle kahesaja aasta.

100 miljardit (10 11) – kui palju inimesi on planeedil selle ajaloo jooksul elanud. McDonald's müüs 1998. aastaks oma 50-aastase eksisteerimise jooksul 100 miljardit hamburgerit. Meie Linnutee galaktikas on 100 miljardit tähte (noh, natuke rohkem) ja Päike on üks neist. Vaadeldav universum sisaldab sama palju galaktikaid. Inimese ajus on 100 miljardit neuronit. Ja igas nende ridade lugejas pimesooles elab sama palju anaeroobseid baktereid.
Triljon (1012) on arv, mida kasutatakse harva. Triljonini on võimatu lugeda, selleks kulub 32 tuhat aastat. Triljon sekundit tagasi elasid inimesed koobastes ja jahtisid odadega mammuteid. Jah, triljon sekundit tagasi elasid Maal mammutid. Planeedi ookeanides on umbes triljon kala. Meie naabruses asuv Andromeeda galaktika sisaldab umbes triljonit tähte. Inimene koosneb 10 triljonist rakust. Venemaa SKT ulatus 2013. aastal 66 triljoni rublani (2013. aastal rubla). Maast Saturnini on kõigis kunagi ilmunud raamatutes trükitud 100 triljonit sentimeetrit ja sama palju tähti.

Kvadriljon (1015, üks miljon miljardit) on sipelgate koguarv planeedil. Normaalsed inimesed ei häälda seda sõna valjusti, noh, tunnistage, millal te viimati "kvadriljonit midagi" ühes vestluses kuulsite?

Kvintiljon (10 18 miljardit miljardit) – 3x3x3 Rubiku kuubiku kokkupanemisel on nii palju võimalikke konfiguratsioone. Nii on ka vee kuupmeetrite arv maailmameres.
Sextillion (10 21) – oleme seda numbrit juba kohanud. Tähtede arv vaadeldavas universumis. Liivaterade arv kõigis Maa kõrbetes. Transistoride arv kõigis inimkonna olemasolevates elektroonikaseadmetes, kui Intel meile ei valetaks.

10 sekstiljonit (1022) on molekulide arv grammis vees.

10 24 on Maa mass kilogrammides.

10 26 on Vaadeldava Universumi läbimõõt meetrites, aga meetrites lugeda pole eriti mugav, vaadeldava universumi üldtunnustatud piirid on 93 miljardit valgusaastat.
Teadus ei tööta vaadeldavast universumist suuremate mõõtmetega. Teame kindlalt, et vaadeldav universum ei ole tervik-kõik-tervikuniversum. See on osa, mida me vähemalt teoreetiliselt näeme ja jälgime. Või on seda varem näinud. Või näeme kunagi kauges tulevikus, jäädes tänapäeva teaduse raamidesse. Ülejäänud universumist ei jõua signaalid meieni isegi valguse kiirusel, mis muudab need kohad meie vaatenurgast justkui olematuks. Kui suur see suur universum on, ei tea tegelikult keegi. Võib-olla miljon korda rohkem kui Foreseeable. Või äkki miljard. Või võib-olla isegi lõputult. Ma ütlen, et see pole enam teadus, vaid oletus kohvipaksu kohta. Teadlastel on mõned oletused, kuid see on rohkem fantaasia kui tegelikkus.

Kosmiliste mastaapide visualiseerimiseks on kasulik seda pilti uurida, laiendades seda täisekraanile.

3

Kuid isegi vaadeldavas universumis saate toppida palju rohkem midagi muud kui meetrid.

Planeet Maa koosneb 1051 aatomist.

10 80 ligikaudne elementaarosakeste arv vaadeldavas universumis.

10 90 on vaadeldavas universumis olevate footonite ligikaudne arv. Neid on peaaegu 10 miljardit korda rohkem kui elementaarosakesi, elektrone ja prootoneid.
10 100 on googol. See number ei tähenda füüsiliselt midagi, lihtsalt ümar ja ilus. Firma, mis seadis endale eesmärgiks linkide Google’i indekseerimise (nali muidugi, seda on rohkem kui universumi elementaarosakesi on!) võttis 1998. aastal endale nimeks Google.

Vaadeldava universumi täitmiseks kuni silmamunadeni on vaja 10 122 prootonit, tihedalt niimoodi, prootoni prootoni, selja vastas.

Vaadeldav universum võtab enda alla 10 185 Plancki ruumala. Plancki mahust väiksemaid väärtusi (10–35 meetri pikkune Plancki kuubik) meie teadus ei tea. Kindlasti, nagu universumi puhul, on midagi veelgi väiksemat, kuid teadlased pole selliste tühiasjade jaoks veel mõistlikke valemeid välja mõelnud, on ainult puhas spekulatsioon.

Selgub, et umbes 10 185 on suurim arv, mis põhimõtteliselt võib tänapäeva teaduses midagi tähendada. Teaduses, mis suudab tunnetada ja mõõta. See on midagi, mis on olemas või võiks eksisteerida, kui juhtuks nii, et me teadsime universumi kohta kõike, mida oli vaja teada. Number koosneb 186 numbrist, siin see on:

100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Teadus siin muidugi ei lõpe, aga siis jätkuvad vabad teooriad, oletused ja isegi lihtsalt pseudoteaduslik male ja rutt. Näiteks olete ilmselt kuulnud inflatsiooniteooriast, mille kohaselt võib-olla on meie Universum vaid osa suuremast Multiversumist, milles need universumid on nagu mullid šampanjaookeanis.

4

Või kuulnud stringiteooriast, mille järgi võib olla umbes 10 500 stringide vibratsiooni konfiguratsiooni, mis tähendab sama palju potentsiaalseid universumeid, millest igaühel on oma seadused.
Mida kaugemale metsa, seda vähem jääb teoreetilisest füüsikast ja teadusest laiemalt kasvavatesse numbritesse ning nullide veergude tagant hakkab piiluma üha puhtam, pilvitu teaduste kuninganna. Matemaatika ei ole füüsika, piiranguid pole ja häbeneda pole midagi, kõnni, hing, kirjuta valemitesse nullid kasvõi kukutamiseni.
Mainin vaid paljudele tuntud googolplexi. Arv, millel on numbrite googoli astmes kümme googoli astmes (10 googoli) või kümme kümne astmes saja astmes (10 10 100 (toimetaja ei luba teil teha uut iteratsiooni). kraad, peab olema pilt, muidu panen kaldkriipsu (/)

.
10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
Ma ei hakka seda numbritega kirja panema. Googleplex ei tähenda absoluutselt mitte midagi. Inimene ei kujuta ette millegi googolplexi, see on füüsiliselt võimatu. Sellise arvu üleskirjutamiseks vajate kogu vaadeldavat universumit, kui kirjutate "nanopliiatsiga" otse vaakumis, tegelikult kosmose Plancki rakkudes. Tõlgime kogu aine tindiks ja täidame universumi ühe tahke arvuga, siis saame googolplexi. Aga matemaatikud (kohutavad inimesed!) teevad ainult soojendust googolprexiga, see on madalaim latt, millest nende jaoks tõelised pätid alguse saavad. Ja kui te arvate, et googolplex on see, millest me räägime, siis pole teil aimugi, KUI valesti see on.
Googolplexi taga on palju huvitavaid numbreid, millel on matemaatilistes tõestustes üks või teine ​​roll, kui pikk ja lühike, läheme otse Grahami numbri juurde, mis on saanud nime (no muidugi) matemaatik Ronald Grahami järgi. Kõigepealt ütlen teile, mis see on ja milleks see on mõeldud, pärast mida kirjeldan piltlikult ja sõrmedel ™, mis see suurus on, ja seejärel kirjutan numbri enda. Täpsemalt püüan ma kirjutatut lahti seletada.
Grahami number ilmus teoses, mis oli pühendatud ühe Ramsey teooria ülesande lahendamisele ja "Ramsey" pole siin mitte ebatäiuslik osastav, vaid teise matemaatiku Frank Ramsey perekonnanimi. Ülesanne on muidugi vilistide vaatevinklist üsna kaugel, kuigi mitte väga segane, isegi kergesti mõistetav.
Kujutage ette kuubikut, mille kõik tipud on ühendatud kahe värvi, punase või sinise joonelõikudega. Ühendatud ja juhuslikult värvitud. Mõned on juba arvanud, et räägime matemaatika harust, mida nimetatakse kombinatoorikaks.
6

Kas me saame mõelda ja valida värvide konfiguratsiooni nii (ja neid on ainult kaks - punane ja sinine), et nende segmentide värvimisel EI selguks, et kõik nelja tippu ühendavad sama värvi segmendid asuvad samas lennukis? Sel juhul EI kujuta need sellist arvu:
7

Võite ise mõelda, väänata oma kujutlusvõimes kuubikut silme ees, selle tegemine pole nii keeruline. Värve on kaks, kuubil on 8 tippu (nurka), mis tähendab, et neid ühendavaid segmente on 28. Värvimiskonfiguratsiooni saab valida nii, et ülaltoodud joonist me kuskile ei satuks, tuleb mitmevärviline jooned kõigil võimalikel tasapindadel.
Mis siis, kui meil on rohkem mõõtmeid? Mis siis, kui me võtame mitte kuubi, vaid neljamõõtmelise kuubi, s.t. tesserakt? Kas saame teha sama triki, mis 3D puhul?
8

Ma isegi ei hakka selgitama, mis on neljamõõtmeline kuup, kas kõik teavad? Neljamõõtmelisel kuubil on 16 tippu. Ja pole vaja aju pahvida ja püüda ette kujutada neljamõõtmelist kuubikut. See on puhas matemaatika. Vaatasin mõõtmete arvu, asendasin selle valemisse, sain tippude, servade, tahkude arvu jne. Seega on neljamõõtmelisel kuubil 16 tippu ja 120 neid ühendavat segmenti. Värvikombinatsioonide arv neljamõõtmelisel juhul on palju suurem kui kolmemõõtmelise puhul, kuid ka siin pole eriti keeruline arvutada, jagada, taandada jms. Lühidalt, saate teada, et neljamõõtmelises ruumis saate ka hüperkuubi segmentide värvimisega välja mõelda, et kõik 4 tippu ühendavad sama värvi jooned ei asuks samal tasapinnal.
Viies dimensioonis? Ja viiemõõtmelises, kus kuubikut nimetatakse penteraktiks või pentakubiks, on see ka võimalik.
Ja seda kuues mõõtmes.
Ja siis tekivad raskused. Graham ei suutnud matemaatiliselt tõestada, et seitsmemõõtmeline hüperkuub suudab sellist operatsiooni sooritada. Nii kaheksa- kui üheksamõõtmeline jne. Kuid antud "ja nii edasi", selgus, et ei lähe lõpmatuseni, vaid lõpeb mingi väga suure numbriga, mida kutsuti "Grahami numbriks".
See tähendab, et hüperkuubil on mingi minimaalne mõõde, mille puhul tingimust rikutakse, ja enam ei ole võimalik vältida värvisegmentide kombinatsiooni, et neli sama värvi punkti asuvad samal tasapinnal. Ja see minimaalne mõõde on täpselt suurem kui kuus ja täpselt väiksem kui Grahami arv, see on teadlase matemaatiline tõestus.
Ja nüüd definitsioon sellest, mida ma eespool paari lõiguna kirjeldasin, kuivas ja igavas (kuid mahukas) matemaatikakeeles. Sellest pole vaja aru saada, aga ma ei saa seda mitte tuua.
Vaatleme n-mõõtmelist hüperkuubikut ja ühendame kõik tippude paarid, et saada täielik graaf 2n tipuga. Värvige selle graafiku iga serv punaseks või siniseks. Mis on n väikseim väärtus, mille puhul iga selline värvimine sisaldab tingimata ühevärvilist täielikku alamgraafi nelja tipuga, mis kõik asuvad samal tasapinnal?
1971. aastal tõestas Graham, et sellel probleemil on lahendus ja see lahendus (mõõtmete arv) jääb numbri 6 ja mõne suurema arvu vahele, mis hiljem (mitte autor ise) tema järgi nimetati. 2008. aastal parandati tõestust, tõsteti alumist piiri, nüüd jääb soovitud mõõtmete arv juba numbri 13 ja Grahami numbri vahele. Matemaatikud ei maga, töö käib, haare kitseneb.
70ndatest on möödunud palju aastaid, leiti matemaatilisi probleeme, milles esinevad arvud ja rohkem Grahamit, kuid see esimene koletisarv avaldas kaasaegsetele muljet, kes mõistsid, mis ulatusega see tegu on, et 1980. aastal kanti see Guinnessi rekordite raamatusse kui " kõige suurem arv, mis kunagi ranges matemaatilises tõestuses osales"
Proovime välja mõelda, kui suur see on. Suurim arv, millel võib olla füüsiline tähendus, on 10 185 ja kui kogu vaadeldav universum on täidetud näiliselt lõputu pisikeste numbrite komplektiga, saame midagi, mis on sellega võrreldav. googolplex.
9

Kas kujutate ette seda kogukonda? Edasi, tagasi, üles, alla, nii kaugele, kui silm näeb ja nii kaugele, kui Hubble'i teleskoop näeb, ja isegi nii kaugele, kui sellest ei piisa, kõige kaugemate galaktikateni ja neist kaugemale vaadates - numbrid, numbrid, numbrid palju väiksem kui prooton. Selline universum ei saa muidugi kaua eksisteerida, see kukub kohe kokku mustaks auguks. Kas mäletate, kui palju teavet teoreetiliselt universumisse mahub? Ma rääkisin.
Number on tõesti tohutu, murrab aju. See ei ole täpselt võrdne googolplexiga ja sellel pole nime, nii et ma nimetan seda "dochulioniks". Sain just aru, miks mitte. Plancki rakkude arv vaadeldavas universumis ja igasse lahtrisse kirjutatakse arv. Number sisaldab 10 185 numbrit ja seda saab esitada kui 10 10 185 .
dochulion = 10 10 185
Avame taju uksed veidi laiemalt. Kas mäletate inflatsiooniteooriat? Et meie universum on vaid üks paljudest multiversumi mullidest. Ja kui kujutate ette dochulioni sellistest mullidest? Võtame arvu, mis on sama pikk kui kõik olemasolev ja kujutame Multiversumit ette sarnase arvu universumitega, millest igaüks on kuni silmamunadeni numbritega täidetud – saame dochulioni dochulioni. Kas te kujutate seda ette? Kuidas sa ujud skalaarvälja olematuses ja ümberringi on universumid-universumid ja numbrid-arvud-arvud neis... Loodan, et selline õudusunenägu (aga miks õudusunenägu?) ei piina (ja milleks piinata?) öösiti liiga muljetavaldav lugeja.
Mugavuse huvides nimetame sellist toimingut "flip". Selline kergemeelne vahelehüüe, nagu nad võtsid Universumi ja pöörasid selle pahupidi, siis oli see numbrites sees ja nüüd, vastupidi, on meil väljas sama palju universumeid, kui oli numbreid ja iga kast on täis, täis numbrid. Granaatõuna koorides painutate koort niimoodi, terad tulevad seestpoolt välja ja granaadid on jälle terades. See tuli ka liikvel olles, miks mitte, sest see töötas koos dohulioniga.
Millega ma tegelen? Kas tasub aeglustada? Ole nüüd, hoba, ja veel üks pööre! Ja nüüd on meil nii palju universumeid, kui oli universumites numbreid, mille arv oli võrdne meie universumit täitnud numbrite dochulioniga. Ja kohe, peatumata, keerake uuesti. Nii neljas kui ka viies. Kümnes, tuhandes. Hoia end mõttega kursis, pildista ikka pilti?
Ärgem raisakem aega pisiasjadele, sirutagem kujutlusvõime tiibu, kiirendagem täiega ja keerakem flips. Me pöörame iga universumi pahupidi nii palju kordi, kui palju oli Hulioni-eelseid universumeid eelmises pöördes, mis läks ümber eelmisest, mida ... uh ... noh, kas te järgite? Kuskil niisama. Nüüd olgu meie numbriks näiteks "dochouliard".
dohouliard = flip flips
Me ei peatu ja muudame dohouliardide dohulionide lehvitamist seni, kuni meil jõudu jätkub. Kuni silmis pimedaks läheb, kuni karjuda tahad. Siin on igaüks julge Pinocchio enda jaoks, peatussõnaks saab "brynza".
Niisiis. Milles see on? Hiiglaslikud ja lõpmatud dochuliendid ja täisnumbritega universumite dohuliarid ei vasta Grahami numbrile. Nad isegi ei kriimusta pinda. Kui Grahami number on kujutatud pulga kujul, mis on traditsiooniliselt üle kogu vaadeldava universumi tõmmatud, siis see, mis me siin oleme kokku kleepunud, osutub jämeduse pügalaks ... noh ... kuidas ma saan selle nii sõnastada , pehmelt öeldes ... mainimist vääriv. Siin ma pehmendasin seda nii hästi kui suutsin.
Nüüd kaldume veidi kõrvale, teeme pausi. Lugesime, lugesime, silmad väsisid. Unustagem Grahami number, me peame veel enne seda roomama ja roomama, oma silmad defokuseerima, lõdvestuma, mõtisklema palju väiksemal, lausa miniatuursel numbril, mida hakkame nimetama g 1 , ja kirjutama selle üles ainult kuue tähemärgiga:
g1 = 33
Arv g 1 on võrdne "kolm, neli noolt, kolm". Mida see tähendab? Seda tähistust nimetatakse Knuthi noolemärgistuseks.
Üksikasjade ja üksikasjade jaoks võite lugeda Vikipeedia artiklit, kuid seal on valemid, ma räägin selle lühidalt lihtsate sõnadega ümber.
Üks nool tähendab tavalist astendamist.
22 = 2 2 = 4
33 = 3 3 = 27
44 = 4 4 = 256
1010 = 10 10 = 10 000 000 000
Kaks noolt tähendavad arusaadavalt eksponentsimist.
23 = 222 = 2 2/ 2 = 2 4 = 16
33 = 333 = 3 3/3 = 3 27 = 7 625 597 484 987 (rohkem kui 7 triljonit)
34 = 3333 = 3 3/3/3 = 3 7 625 597 484 987 = umbes 3 triljoni numbriga arv
35 = 33333 = 3 3/ 3/ 3/ 3 = 3 3/7 625 597 484 987 = 3 3 triljoni numbri astmeni – googolplex on juba nõme
Lühidalt öeldes näitab "numbrinool nool teine ​​number" kraadide kõrgust (matemaatika ütleb "b torni") on ehitatud esimesest numbrist. Näiteks 58 tähendab kaheksast viiest koosnevat torni ja on nii suur, et seda ei saa arvutada üheski superarvutis, isegi kõigis planeedi arvutites korraga.
Lühidalt, "numbrinool nool muu number" näitab, kui kõrged kraadid (matemaatikud ütlevad "torn") on ehitatud esimesest numbrist. Näiteks 58 tähendab kaheksast viiest koosnevat torni ja on nii suur, et seda ei saa arvutada üheski superarvutis, isegi kõigis planeedi arvutites korraga.

Liigume edasi kolme noole juurde. Kui topeltnool näitaks torni kõrgust kraadides, siis kolmiknool näitaks justkui "torni kõrguse torni kõrgust"? Mida-seal! Kolmiku puhul on meil torni kõrgus torni kõrgusest torni kõrgus (matemaatikas sellist mõistet pole, otsustasin nimetada "tornita"). Midagi sellist: 11

See tähendab, et 33 moodustab tornideta kolmikud, mille kõrgus on 7 triljonit tükki. Mis on 7 triljonit kolmikut, mis on üksteise peale laotud ja mida nimetatakse "tornita"? Kui lugesite seda teksti hoolikalt läbi ega jäänud kohe alguses magama, siis ilmselt mäletate, et Maast Saturnini on 100 triljonit sentimeetrit. Ekraanil näidatud kolm kaheteistkümnenda kirjatüübiga, see üks – 3 – on viie millimeetri kõrgune. Nii et tornideta kolmikud ulatuvad teie ekraanilt ... noh, muidugi mitte Saturnini. Isegi Päike ei jõua, ainult veerand astronoomilisest ühikust, umbes sama palju kui hea ilmaga Maalt Marsile. Juhin teie tähelepanu (ärge magage!), et tornideta ei ole arv Maast Marsini, vaid see on nii kõrge kraadide torn. Mäletame, et viis kolmikut selles tornis katavad googolplexi, kolmikute esimese detsimeetri arvutamine põletab kõik planeedi arvutite kaitsmed ja ülejäänud miljonid kilomeetrid kraadid on juba kasutud, lihtsalt mõnitavad avalikult lugejat, loendavad neid. on kasutu ja võimatu.
12

Nüüd on selge, et 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 tornita, (mitte 3 tornideta, vaid "kolme noole noolega tornitus" (!)), see on tornita tornitus ei mahu ei pikkusesse ega kõrgus vaadeldavasse universumisse ja ei mahu isegi oletatavasse multiversumi.
Sõnad lõpevad 35 = 33333 ja vahelehüüded 36 = 333333, kuid huvi korral võite harjutada.
Liigume edasi nelja noole juurde. Nagu arvata võis, istub siin torn torni peal, sõidab ilma tornita ja isegi sellise torniga, mis ilma tornita pole oluline. Ma annan lihtsalt vaikselt pildi, mis paljastab nelja noole arvutamise skeemi, kui iga järgmine kraaditorni number määrab kraadide torni kõrguse, mis määrab kraadide torni kõrguse, määrab torni kõrguse. kraadide torn ... ja nii kuni eneseunustuseni.

Seda on mõttetu arvutada ja see ei tööta. Siinne kraadide arv ei sobi sisukaks arvestuseks. Seda numbrit ei saa ette kujutada, seda ei saa kirjeldada. Ükski sõrmede™ analoogia ei kehti, numbrit pole lihtsalt millegagi võrrelda. Võib öelda, et see on tohutu, et see on suurejooneline, et see on monumentaalne ja vaatab sündmuste horisondi taha. See tähendab, et anda talle mõned sõnalised epiteetid. Kuid visualiseerimine, isegi vaba ja kujundlik, on võimatu. Kui kolme noolega sai veel vähemalt midagi öelda, tornita Maalt Marsile joonistada, millegagi kuidagi võrrelda, siis analoogiaid lihtsalt olla ei saa. Proovige ette kujutada õhukest kolmest torni Maalt Marsini, selle kõrval veel üks peaaegu samasugune ja teine ​​ja veel üks ... Tornide lõputu väli ulatub kaugusesse, lõpmatusse, igal pool on tornid, igal pool on tornid . Ja mis on kõige solvavam, nendel tornidel pole isegi numbriga midagi pistmist, nad määravad ainult teiste tornide kõrguse, mis tuleb ehitada tornide kõrguse saamiseks, tornide kõrguse saamiseks ... et saada arv ise pärast mõeldamatut aega ja iteratsioone.
See on g 1, see on 33.
Puhanud? Nüüd, alates g 1, pöördume uue jõuga tagasi Grahami numbri rünnaku juurde. Kas olete märganud, kuidas eskalatsioon noolt noolele kasvab?
33 = 27
33 = 7 625 597 484 987
33 = torn, Maalt Marsini.
33 = arv, mida ei saa ette kujutada ega kirjeldada.
Ja kujutage ette, milline digitaalne õudusunenägu toimub, kui tulistaja on viieaastane? Millal on kuus? Kas kujutate ette arvu, kui tulistaja saab sajaks? Kui saate, juhin teie tähelepanu arvule g 2 , milles nende noolte arv on võrdne g 1 -ga. Pea meeles, mis on g 1, eks?

Kõike, mis seni kirjutatud, kõiki neid arvutusi, kraadisid ja torne, mis multiversumite multiversumitesse ei mahu, läks vaja ainult ühe jaoks. NOOLTE ARV näitamiseks numbris g 2 . Pole vaja midagi kokku lugeda, saab lihtsalt naerda ja käega vehkida.
Ma ei varja, on ka g 3 , mis sisaldab g 2 noolt. Muide, kas on ikka selge, et g 3 ei ole g 2 "astmeni" g 2, vaid tornideta tornide arv, mis määrab kõrguse määravate tornideta tornide kõrguse ... ja nii edasi allapoole terve kett kuni universumi kuumasurmani? See on koht, kus sa hakkad nutma.
Miks nutta? Sest täiesti tõsi. Samuti on arv g 4 , mis sisaldab kolmikute vahel g 3 nooli. On ka g 5 , on g 6 ja g 7 ning g 17 ja g 43 ...
Ühesõnaga on neid 64 g. Iga eelmine on numbriliselt võrdne järgmise noolte arvuga. Viimane g 64 on Grahami number, millest kõik tundus nii süütult alguse saanud. See on hüperkuubi mõõtmete arv, millest kindlasti piisab segmentide punaseks ja siniseks värvimiseks. Võib-olla vähem, see on nii-öelda ülempiir. See on kirjutatud järgmiselt:

epigraaf
Kui vaatad kaua kuristikku,
saad mõnusalt aega veeta.
Mehaaniline hingeinsener

Niipea kui laps (ja see juhtub kuskil kolme-neljaaastaselt) saab aru, et kõik numbrid on jagatud kolme rühma "üks, kaks ja mitu", püüab ta kohe välja selgitada: kui palju on liiga palju, kuidas palju erineb palju, ja kas see võib olla nii palju, et rohkem pole. Kindlasti mängisite oma vanematega huvitavat (selle vanuse kohta) mängu, kes nimetab suurima arvu ja kas esivanem oli pole lollim kui 5. klassi õpilane, siis võitis ta alati, vastates "kaks miljonit" iga "miljoni" kohta ja "kaks miljardit" või "miljard pluss üks" iga "miljardi" kohta.

Juba esimeses kooliastmes teavad kõik, et numbreid on lõpmatult palju, need ei lõpe kunagi ja pole ka suurimat arvu. Igaühele miljonit triljonit miljardit võite alati öelda "pluss üks" ja võita. Ja veidi hiljem tuleb (peaks tulema!) arusaam, et pikad numbrijadad iseenesest ei tähenda midagi. Kõik need triljoneid miljardeid alles siis on neil mõtet, kui nad kujutavad mitut objekti või kirjeldavad teatud nähtust. Pole raske välja mõelda pikka numbrit, mis pole midagi muud kui pika kõlaga numbrite komplekt, nii et nad lõpmatu arv. Teadus tegeleb teatud määral piltlikult öeldes väga konkreetsete arvukombinatsioonide otsimisega selles piiritus kuristikus, lisades mõnele füüsikalisele nähtusele, nagu valguse kiirus, Avogadro arv või Plancki konstant.

Ja kohe tekib küsimus, mis on maailma suurim number, mis midagi tähendab? Selles artiklis proovin rääkida digitaalsest koletisest nimega Grahami number, kuigi rangelt võttes teab teadus numbreid ja palju muud. Grahami number on enim avalikustatud, võiks öelda, et laiem avalikkus on "kuulnud", sest see on üsna lihtsalt seletatav ja samas piisavalt suur, et pöörata tähelepanu. Üldiselt on siin vaja kuulutada väike lahtiütlus ( vene keel hoiatus). See võib tunduda naljana, aga ma ei tee nalja. Ma räägin päris tõsiselt – niisugustes matemaatilistes sügavustes pedantne nokitsemine koos tajupiiride ohjeldamatu avardumisega võib (ja hakkabki) avaldama tõsist mõju maailmavaatele, indiviidi positsioneerimisele ühiskonnas ja lõppkokkuvõttes. , peal üldine psühholoogiline seisund korjamine või, nimetame asju õigete nimedega – avab tee shizile. Järgmist teksti ei maksa liiga tähelepanelikult lugeda, selles kirjeldatud asju liiga elavalt ja ilmekalt ette kujutada ei maksa. Ja ära ütle hiljem, et sind ei hoiatatud!

Enne koletiste numbrite juurde asumist harjutame kõigepealt kasside peal. Tuletan meelde, et suurte arvude (mitte koletiste, vaid lihtsalt suurte arvude) kirjeldamiseks on mugav kasutada teaduslikku või nn. eksponentsiaalne salvestusmeetod.

Kui nad ütlevad näiteks tähtede arvu kohta universumis (vaadatavas universumis), ei vaevu ükski idioot arvutama, kui palju neid on otseses mõttes, kuni viimase täheni välja. Arvatakse, et ligikaudu 10 21 tükki. Ja see on madalam hinnang. See tähendab, et tähtede koguarvu saab väljendada arvuna, mille ühe järel on 21 nulli, s.o. "1 000 000 000 000 000 000 000".

Selline näeb välja väike osa neist (umbes 100 000) kerasparves Omega Centauri.

Loomulikult, kui rääkida sellistest skaaladest, siis reaalarvud arvus olulist rolli ei mängi, kõik on väga tinglik ja ligikaudne. Võib olla tegelikult tähtede arv universumis on "1 564 861 615 140 168 357 973" või võib-olla "9 384 684 643 798 468 483 745". Ja isegi "3 333 333 333 333 333 333 333", miks mitte, kuigi see on muidugi ebatõenäoline. Kosmoloogias, universumi kui terviku omaduste teaduses, selliseid pisiasju ei petta. Peaasi on ette kujutada umbes see arv koosneb 22 numbrist, millest alates on mugavam pidada seda 21 nulliga ühikuks ja kirjutada see 10 21-ks. Reegel on üldine ja väga lihtne. Mis kujund või arv on kraadi asemel (siin on trükitud väikeses kirjas 10 peale), mitu nulli on pärast ühte selles numbris, kui värvite selle lihtsal viisil, märgid reas, mitte teaduslik viis. Mõnel numbril on "inimnimi", näiteks 10 3 nimetame "tuhandeks", 10 6 - "miljoniks" ja 10 9 - "miljardiks" ja mõnel mitte. Oletame, et 1059-l pole üldnimetust. Ja 10 21, muide, on see - see on "sekstiljon".

Kõik, mis ulatub miljonini, on intuitiivselt arusaadav peaaegu igale inimesele, sest kes ei taha olla miljonär? Siis algavad mõned probleemid. Kuigi miljard (10 9) on samuti peaaegu kõigile teada. Võite isegi lugeda kuni miljardini. Kui alles pärast sündi, sõna otseses mõttes sünnihetkel, hakkate lugema kord sekundis "üks, kaks, kolm, neli ..." ja ärge magage, ärge jooge, ärge sööge, vaid ainult loendama-loendama - Loendage väsimatult päeval ja öösel, siis kui saabub 32 aastat, võite lugeda kuni miljardini, sest Maa 32 pööret ümber Päikese võtab aega umbes miljard sekundit.

7 miljardit on inimeste arv planeedil. Eeltoodu põhjal on täiesti võimatu neid kõiki inimelu jooksul järjestikku üles lugeda, peate elama üle kahesaja aasta.

100 miljardit (10 11) – nii palju inimesi on planeedil kogu selle ajaloo jooksul elanud. McDonald's müüs 1998. aastaks oma 50-aastase eksisteerimise jooksul 100 miljardit hamburgerit. Meie Linnutee galaktikas on 100 miljardit tähte (noh, natuke rohkem) ja Päike on üks neist. Vaadeldav universum sisaldab sama palju galaktikaid. Inimese ajus on 100 miljardit neuronit. Ja igas nende ridade lugejas pimesooles elab sama palju anaeroobseid baktereid.

Triljon (10 12) on arv, mida kasutatakse harva. Triljonini on võimatu lugeda, selleks kulub 32 tuhat aastat. Triljon sekundit tagasi elasid inimesed koobastes ja jahtisid odadega mammuteid. Jah, triljon sekundit tagasi elasid Maal mammutid. Planeedi ookeanides on umbes triljon kala. Meie naabruses asuv Andromeeda galaktika sisaldab umbes triljonit tähte. Inimene koosneb 10 triljonist rakust. Venemaa SKT ulatus 2013. aastal 66 triljoni rublani (2013. aastal rubla). Maast Saturnini on kõigis kunagi avaldatud raamatutes trükitud 100 triljonit sentimeetrit ja kokku sama palju tähti.

Kvadriljon (10 15, miljon miljardit) on sipelgate koguarv planeedil. Normaalsed inimesed ei häälda seda sõna valjusti, noh, tunnistage, millal te viimati "kvadriljonit midagi" ühes vestluses kuulsite?

Kvintiljon (10 18 miljardit miljardit) – 3x3x3 Rubiku kuubiku kokkupanemisel on nii palju võimalikke konfiguratsioone. Nii on ka vee kuupmeetrite arv maailmameres.

Sextillion (10 21) – oleme seda numbrit juba kohanud. Tähtede arv vaadeldavas universumis. Liivaterade arv kõigis Maa kõrbetes. Transistoride arv kõigis inimkonna olemasolevates elektroonikaseadmetes, kui Intel meile ei valetaks.

10 sektiljonit (10 22) on molekulide arv grammis vees.

10 24 on Maa mass kilogrammides.

10 26 - vaadeldava universumi läbimõõt meetrites, kuid meetrites pole eriti mugav lugeda, vaadeldava universumi üldtunnustatud piirid on 93 miljardit valgusaastat.

Teadus ei tööta vaadeldavast universumist suuremate mõõtmetega. Teame kindlalt, et vaadeldav universum ei ole tervik-kõik-tervikuniversum. See on osa, mida me vähemalt teoreetiliselt näeme ja jälgime. Või on seda varem näinud. Või näeme millalgi kauges tulevikus, jäädes kaasaegse teaduse raamidesse. Ülejäänud universumist ei jõua signaalid meieni isegi valguse kiirusel, mis muudab need kohad meie vaatenurgast justkui olematuks. Kui suur see suur universum on tegelikult Keegi ei tea. Võib-olla miljon korda rohkem kui Foreseeable. Või äkki miljard. Või võib-olla isegi lõputult. Ma ütlen, et see pole enam teadus, vaid oletus kohvipaksu kohta. Teadlastel on mõned oletused, kuid see on rohkem fantaasia kui tegelikkus.

Kosmiliste mastaapide visualiseerimiseks on kasulik seda pilti uurida, laiendades seda täisekraanile.

Planeet Maa koosneb 1051 aatomist.

10 80 ligikaudne elementaarosakeste arv vaadeldavas universumis.

10 90 on vaadeldavas universumis olevate footonite ligikaudne arv. Neid on peaaegu 10 miljardit korda rohkem kui elementaarosakesi, elektrone ja prootoneid.

10 100 - googol. See number ei tähenda füüsiliselt midagi, lihtsalt ümar ja ilus. Firma, mis seadis endale eesmärgiks linkide Google’i indekseerimise (nali muidugi, seda on rohkem kui universumi elementaarosakesi on!) võttis 1998. aastal endale nimeks Google.

Vaadeldava universumi täitmiseks kuni silmamunadeni on vaja 10 122 prootonit, tihedalt niimoodi, prootoni prootoni, selja vastas.

Vaadeldav universum võtab enda alla 10 185 Plancki ruumala. Vähem kui Plancki maht (10–35 meetri pikkune Plancki kuup) meie teadus ei tea. Kindlasti, nagu universumi puhul, on midagi veelgi väiksemat, kuid teadlased ei ole selliste tühiste asjade jaoks veel mõistlikke valemeid välja mõelnud, lihtsalt spekulatsioon.

Selgub, et umbes 10 185 on suurim arv, mis põhimõtteliselt võib tänapäeva teaduses midagi tähendada. Teaduses, mis suudab tunnetada ja mõõta. See on midagi, mis on olemas või võiks eksisteerida, kui juhtuks nii, et me teadsime universumi kohta kõike, mida oli vaja teada. Number koosneb 186 numbrist, siin see on:

100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Teadus siin muidugi ei lõpe, aga siis jätkuvad vabad teooriad, oletused ja isegi lihtsalt pseudoteaduslik male ja rutt. Näiteks olete ilmselt kuulnud inflatsiooniteooriast, mille kohaselt võib-olla on meie Universum vaid osa suuremast Multiversumist, milles need universumid on nagu mullid šampanjaookeanis.

Või kuulnud stringiteooriast, mille järgi võib olla umbes 10 500 stringide vibratsiooni konfiguratsiooni, mis tähendab sama palju potentsiaalseid universumeid, millest igaühel on oma seadused.

Mida kaugemale metsa, seda vähem jääb teoreetilisest füüsikast ja teadusest laiemalt kasvavatesse numbritesse ning nullide veergude tagant hakkab piiluma üha puhtam, pilvitu teaduste kuninganna. Matemaatika ei ole füüsika, piiranguid pole ja häbeneda pole midagi, kõnni, hing, kirjuta valemitesse nullid kasvõi kukutamiseni.

Mainin vaid tuntud googolplex. Arv, mille googoli astmes on kümme googoli astmel (10 googoli) või kümme kümne astmel saja astmel (10 10 100).

10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Ma ei hakka seda numbritega kirja panema. Googleplex ei tähenda absoluutselt mitte midagi. Inimene ei kujuta ette millegi googolplexi, see on füüsiliselt võimatu. Sellise arvu üleskirjutamiseks vajate kogu vaadeldavat universumit, kui kirjutate "nanopliiatsiga" otse vaakumis, tegelikult kosmose Plancki rakkudes. Tõlgime kogu aine tindiks ja täidame universumi ühe tahke arvuga, siis saame googolplexi. Aga matemaatikud (kohutavad inimesed!) teevad ainult soojendust googolprexiga, see on madalaim latt, millest nende jaoks tõelised pätid alguse saavad. Ja kui te arvate, et googolplex on see, millest me räägime, siis pole teil aimugi, KUI valesti see on.

Googolplexi taga on palju huvitavaid numbreid, millel on matemaatilistes tõestustes üks või teine ​​roll, kui pikk ja lühike, läheme otse Grahami numbri juurde, mis on saanud nime (no muidugi) matemaatik Ronald Grahami järgi. Esiteks ütlen teile, mis see on ja miks te seda vajate, pärast mida piltlikult öeldes ja sõrmedel™ Kirjeldan, mis see suurusjärgus on, ja siis kirjutan numbri ise. Täpsemalt püüan ma kirjutatut lahti seletada.

Grahami number ilmus teoses, mis oli pühendatud ühe Ramsey teooria ülesande lahendamisele ja "Ramsey" pole siin mitte ebatäiuslik osastav, vaid teise matemaatiku Frank Ramsey perekonnanimi. Ülesanne on muidugi vilistide vaatevinklist üsna kaugel, kuigi mitte väga segane, isegi kergesti mõistetav.

Kujutage ette kuubikut, mille kõik tipud on ühendatud kahe värvi, punase või sinise joonte-lõikudega. Ühendatud ja juhuslikult värvitud. Mõned on juba arvanud, et räägime matemaatika harust, mida nimetatakse kombinatoorikaks.

Kas me suudame välja mõelda ja valida värvide konfiguratsiooni sellisel viisil (ja neid on ainult kaks - punane ja sinine), nii et nende segmentide värvimisel EI õnnestu, et kõik sama värvi segmendid ühenduvad neli tippu asuvad samal tasapinnal? Sel juhul EI kujuta need sellist arvu:

Võite ise mõelda, väänata oma kujutlusvõimes kuubikut silme ees, selle tegemine pole nii keeruline. Värve on kaks, kuubil on 8 tippu (nurka), mis tähendab, et neid ühendavaid segmente on 28. Värvimiskonfiguratsiooni saab valida nii, et ülaltoodud joonist me kuskile ei satuks, seal on mitmevärvilised jooned kõigil võimalikel tasanditel.

Mis siis, kui meil on rohkem mõõtmeid? Mis siis, kui me võtame mitte kuubi, vaid neljamõõtmelise kuubi, s.t. tesserakt? Kas saame teha sama triki, mis 3D puhul?

Ma isegi ei hakka selgitama, mis on neljamõõtmeline kuup, kas kõik teavad? Neljamõõtmelisel kuubil on 16 tippu. Ja pole vaja aju pahvida ja püüda ette kujutada neljamõõtmelist kuubikut. See on puhas matemaatika. Vaatasin mõõtmete arvu, asendasin selle valemisse, sain tippude, servade, tahkude arvu jne. Seega on neljamõõtmelisel kuubil 16 tippu ja 120 neid ühendavat segmenti. Värvikombinatsioonide arv neljamõõtmelisel juhul on palju suurem kui kolmemõõtmelise puhul, kuid ka siin pole eriti keeruline arvutada, jagada, taandada jms. Lühidalt, saate teada, et neljamõõtmelises ruumis saate ka hüperkuubi segmentide värvimisega välja mõelda, et kõik 4 tippu ühendavad sama värvi jooned ei asuks samal tasapinnal.

Viies dimensioonis? Ja viiemõõtmelises, kus kuubikut nimetatakse penteraktiks või pentakubiks, on see ka võimalik.
Ja seda kuues mõõtmes.

Ja siis tekivad raskused. Graham ei suutnud matemaatiliselt tõestada, et seitsmemõõtmeline hüperkuub suudab sellist operatsiooni sooritada. Nii kaheksa- kui üheksamõõtmeline jne. Kuid antud "ja nii edasi", selgus, et ei lähe lõpmatuseni, vaid lõpeb mingi väga suure numbriga, mida kutsuti "Grahami numbriks".

See tähendab, et on olemas minimaalne mõõde hüperkuubik, mille puhul tingimust rikutakse, ja enam ei ole võimalik vältida värvisegmentide kombinatsiooni, nii et neli sama värvi punkti asuvad samal tasapinnal. Ja see minimaalne mõõde on täpselt suurem kui kuus ja täpselt väiksem kui Grahami arv, see on teadlase matemaatiline tõestus.

Ja nüüd definitsioon sellest, mida ma eespool paari lõiguna kirjeldasin, kuivas ja igavas (kuid mahukas) matemaatikakeeles. Sellest pole vaja aru saada, aga ma ei saa seda mitte tuua.

Vaatleme n-mõõtmelist hüperkuubikut ja ühendame kõik tippude paarid, et saada täielik graaf 2n tipuga. Värvige selle graafiku iga serv punaseks või siniseks. Mis on n väikseim väärtus, mille puhul iga selline värvimine sisaldab tingimata ühevärvilist täielikku alamgraafi nelja tipuga, mis kõik asuvad samal tasapinnal?

1971. aastal tõestas Graham, et sellel probleemil on lahendus ja see lahendus (mõõtmete arv) jääb numbri 6 ja mõne suurema arvu vahele, mis hiljem (mitte autor ise) tema järgi nimetati. 2008. aastal parandati tõestust, tõsteti alumist piiri, nüüd jääb soovitud mõõtmete arv juba numbri 13 ja Grahami numbri vahele. Matemaatikud ei maga, töö käib, haare kitseneb.

70ndatest on möödunud palju aastaid, leiti matemaatilisi probleeme, milles esinevad arvud ja rohkem Grahamit, kuid see esimene koletisarv avaldas kaasaegsetele muljet, kes mõistsid, mis ulatusega see tegu on, et 1980. aastal kanti see Guinnessi rekordite raamatusse kui " kõige suurem arv, mis kunagi ranges matemaatilises tõestuses osales"

Proovime välja mõelda, kui suur see on. Suurim arv, millel võib olla füüsiline tähendus, on 10 185 ja kui kogu vaadeldav universum on täidetud näiliselt lõputu pisikeste numbrite komplektiga, saame midagi, mis on sellega võrreldav. googolplex.

Kas kujutate ette seda kogukonda? Edasi, tagasi, üles, alla, nii kaugele kui silm näeb ja nii kaugele kui Hubble'i teleskoop suudab, ja isegi nii kaugele kui sellest ei piisa, kõige kaugematesse galaktikatesse ja nendest kaugemale vaadates - numbreid, numbreid, numbreid palju väiksem kui prooton. Selline universum ei saa muidugi kaua eksisteerida, see kukub kohe kokku mustaks auguks. Kas mäletate, kui palju teavet teoreetiliselt universumisse mahub? Mina küll.

Number on tõesti tohutu, murrab aju. See ei ole täpselt võrdne googolplexiga ja sellel pole nime, nii et ma kutsun seda " dohulion". Sain just aru, miks mitte. Plancki rakkude arv vaadeldavas universumis ja iga rakk sisaldab numbrit. Arv sisaldab 10 185 numbrit, seda saab esitada kui 10 10 185.

dochulion = 10 10 185

Avame taju uksed veidi laiemalt. Mäletad? Et meie universum on vaid üks paljudest multiversumi mullidest. Ja kui kujutate ette dohulion sellised mullid? Võtame nii pika arvu kui kõik olemasolev ja kujutame ette Multiversumit sarnase arvu universumitega, millest igaüks on täidetud numbritega kuni silmamunadeni – saame dochulion dochulion. Kas te kujutate seda ette? Kuidas sa hõljud skalaarvälja olematuses ja ümberringi on universumid-universumid ja numbrid-arvud-arvud neis ... Loodan, et selline õudusunenägu (aga miks õudusunenägu?) ei piina (ja milleks piinata?) öösiti liiga muljetavaldav lugeja.

Mugavuse huvides nimetame sellist toimingut " klapp". Selline kergemeelne vahelehüüe, nagu nad võtsid universumi ja pöörasid selle pahupidi, siis oli see arvudes sees ja nüüd, vastupidi, on meil väljas sama palju universumeid, kui oli numbreid ja iga kast on täis. täis, kõik arvuliselt.Nagu granaatõun, puhastad, painutad koore nii, terad tulevad seest välja ja granaadid on jälle terades. dochulion sest see veeres.

Millega ma tegelen? Kas tasub aeglustada? Ole nüüd, hoba ja veel üks klapp! Ja nüüd on meil nii palju universumeid, kui oli universumites numbreid, mille arv oli võrdne meie universumit täitnud numbrite dochulioniga. Ja kohe, peatumata, keerake uuesti. Nii neljas kui ka viies. Kümnes, tuhandes. Hoia end mõttega kursis, pildista ikka pilti?

Ärgem raiskagem aega pisiasjadele, sirutagem kujutlusvõime tiivad, kiirendagem täiega ja keerakem klapid. Me pöörame iga universumi pahupidi nii palju kordi, kui palju oli Hulioni-eelseid universumeid eelmises pöördes, mis läks ümber eelmisest, mida ... uh ... noh, kas te järgite? Kuskil niisama. Olgu nüüd meie numbriks, " dochouliard".

dohouliard = flip flips

Me ei peatu ja muudame dohouliardide dohulionide lehvitamist seni, kuni meil jõudu jätkub. Kuni silmis pimedaks läheb, kuni karjuda tahad. Siin on igaüks julge Pinocchio enda jaoks, peatussõnaks saab "brynza".

Niisiis. Milles see on? Hiiglaslikud ja lõpmatud dochuliendid ja täisnumbritega universumite dohuliarid ei vasta Grahami numbrile. Nad isegi ei kriimusta pinda. Kui Grahami number esitatakse pulga kujul, mis on traditsiooniliselt kogu vaadeldavas universumis venitatud, siis mis me siin teiega oleme ümber pööratud osutub paksuse sälguks ... noh ... kuidas see pehmelt öeldes oleks ... mainimist vääriv. Siin ma pehmendasin seda nii hästi kui suutsin.

Nüüd kaldume veidi kõrvale, teeme pausi. Lugesime, lugesime, silmad väsisid. Unustagem Grahami number, me peame selle ees veel roomama ja roomama, oma silmad fookuse kaotama, lõdvestuma, mõtisklema palju väiksemal, lausa miniatuursel numbril, mida hakkame nimetama g 1 , ja kirjutama selle üles ainult kuue tähemärgiga:

Arv g 1 on võrdne "kolm, neli noolt, kolm". Mida see tähendab? Selline näeb välja tähistus, mida nimetatakse Knuthi noolemärgistuseks.

Üks nool tähendab tavalist astendamist.

1010 = 10 10 = 10 000 000 000

Kaks noolt tähendavad arusaadavalt eksponentsimist.

23 = 222 = 2 2 2 = 2 4 = 16

33 = 333 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987 (rohkem kui 7 triljonit)

34 = 3333 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 = umbes 3 triljoni numbriga arv

35 = 33333 = 3 3 3 3 3 = 3 3 7 625 597 484 987 = 3 3 triljoni numbri astmes – googolplex on juba nõme

Lühidalt, "numbrinool nool teine ​​number" näitab kraadide kõrgust (matemaatikud ütlevad " torni") on ehitatud esimesest numbrist. Näiteks 58 tähendab kaheksast viiest koosnevat torni ja on nii suur, et seda ei saa arvutada üheski superarvutis, isegi kõigis planeedi arvutites korraga.

5 5 5 5 5 5 5 5

Liigume edasi kolme noole juurde. Kui topeltnool näitaks torni kõrgust kraadides, siis kolmiknool näitaks justkui "torni kõrguse torni kõrgust"? Mida-seal! Kolmiku puhul on meil torni kõrgus torni kõrgus torni kõrgus (matemaatikas pole sellist mõistet, otsustasin seda nimetada " hooletu"). Midagi sellist:

See tähendab, et 33 moodustab tornideta kolmikud, mille kõrgus on 7 triljonit tükki. Mis on 7 triljonit kolmikut, mis on üksteise peale laotud ja mida nimetatakse "tornita"? Kui lugesite seda teksti hoolikalt läbi ega jäänud kohe alguses magama, siis ilmselt mäletate, et Maast Saturnini on 100 triljonit sentimeetrit. Ekraanil kuvatav kolmik kaheteistkümnenda kirjatüübiga, see üks – 3 – on viie millimeetri kõrgune. Nii et tornideta kolmikud ulatuvad teie ekraanilt ... noh, muidugi mitte Saturnini. Isegi Päike ei jõua, ainult veerand astronoomilisest ühikust, umbes sama palju kui hea ilmaga Maalt Marsile. Juhin teie tähelepanu (ärge magage!), et tornideta ei ole arv Maast Marsini, vaid see on nii kõrge kraadide torn. Mäletame, et viis kolmikut selles tornis katavad googolplexi, kolmikute esimese detsimeetri arvutamine põletab kõik planeedi arvutite kaitsmed ja ülejäänud miljonid kilomeetrid kraadid on juba kasutud, lihtsalt mõnitavad avalikult lugejat, loendavad neid. on kasutu ja võimatu.

Nüüd on selge, et 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 tornita, (mitte 3 tornideta, vaid "kolme noolt tornita noolega" (!)), ta tornitu tornitus ei pikkuselt ega kõrguselt ei mahu vaadeldavasse universumisse ega mahu isegi kavandatavasse multiversumisse.

Sõnad lõpevad 35 = 33333 ja vahelehüüded 36 = 333333, kuid huvi korral võite harjutada.

Liigume edasi nelja noole juurde. Nagu arvata võis, istub siin torn torni peal, sõidab ilma tornita ja isegi sellise torniga, mis ilma tornita pole oluline. Ma annan lihtsalt vaikselt pildi, mis paljastab nelja noole arvutamise skeemi, kui iga järgmine kraaditorni number määrab kraadide torni kõrguse, mis määrab kraadide torni kõrguse, määrab torni kõrguse. kraadide torn ... ja nii kuni eneseunustuseni.

Seda on mõttetu arvutada ja see ei tööta. Siinne kraadide arv ei sobi sisukaks arvestuseks. Seda numbrit ei saa ette kujutada, seda ei saa kirjeldada. Analoogiat pole sõrmedel™ ei ole kohaldatavad, pole numbril lihtsalt millegagi võrrelda. Võib öelda, et see on tohutu, et see on suurejooneline, et see on monumentaalne ja vaatab sündmuste horisondi taha. See tähendab, et anda sellele mõned sõnalised epiteetid. Kuid visualiseerimine, isegi vaba ja kujundlik, on võimatu. Kui kolme noolega sai veel vähemalt midagi öelda, tornita Maalt Marsile joonistada, millegagi kuidagi võrrelda, siis analoogiaid lihtsalt olla ei saa. Proovige ette kujutada õhukest kolmest torni Maalt Marsini, selle kõrval veel üks peaaegu samasugune ja teine ​​ja veel üks ... Tornide lõputu väli ulatub kaugusesse, lõpmatusse, igal pool on tornid, igal pool on tornid . Ja mis on kõige solvavam, nendel tornidel pole isegi numbriga midagi pistmist, nad määravad ainult teiste tornide kõrguse, mis tuleb ehitada tornide kõrguse saamiseks, tornide kõrguse saamiseks ... et saada arv ise pärast mõeldamatut aega ja iteratsioone.

See on g 1, see on 33.

Puhanud? Nüüd, alates g 1, pöördume uue jõuga tagasi Grahami numbri rünnaku juurde. Kas olete märganud, kuidas eskalatsioon noolt noolele kasvab?

33 = 7 625 597 484 987

33 = torn, Maalt Marsini.

33 = arv, mida ei saa ette kujutada ega kirjeldada.

Ja kujutage ette, milline digitaalne õudusunenägu toimub, kui tulistaja on viieaastane? Millal on kuus? Kas kujutate ette arvu, kui tulistaja saab sajaks? Kui saate, juhin teie tähelepanu arvule g 2 , milles nende noolte arv on võrdne g 1 -ga. Pea meeles, mis on g 1, eks?

Kõike, mis seni kirjutatud, kõiki neid arvutusi, kraadisid ja torne, mis multiversumite multiversumitesse ei mahu, läks vaja ainult ühe jaoks. NOOLTE ARV näitamiseks numbris g 2 . Pole vaja midagi kokku lugeda, saab lihtsalt naerda ja käega vehkida.

Ma ei varja, on ka g 3 , mis sisaldab g 2 noolt. Muide, kas on ikka selge, et g 3 ei ole g 2 "astmeni" g 2, vaid tornideta tornide arv, mis määrab kõrguse määravate tornideta tornide kõrguse ... ja nii edasi allapoole terve kett kuni universumi kuumasurmani? See on koht, kus sa hakkad nutma.

Miks nutta? Sest täiesti tõsi. Samuti on arv g 4 , mis sisaldab kolmikute vahel g 3 nooli. On ka g 5 , on g 6 ja g 7 ning g 17 ja g 43 ...

Ühesõnaga on neid 64 g. Iga eelmine on numbriliselt võrdne järgmise noolte arvuga. Viimane g 64 on Grahami number, millest kõik tundus nii süütult alguse saanud. See on hüperkuubi mõõtmete arv, millest kindlasti piisab segmentide punaseks ja siniseks värvimiseks. Võib-olla vähem, see on nii-öelda ülempiir. See on kirjutatud järgmiselt:

Ja nad kirjutavad seda nii:

Kõik, nüüd saate ausalt lõõgastuda. Pole vaja enam midagi ette kujutada ja arvutada. Kui olete selle punktini lugenud, peaks kõik juba paika loksuma. Või ära tõuse. Või mitte omaette.

Jah, läbipõlenud kaitsmetega kogenud lugeja, etteheiteid pole vaja, sul on täiesti õigus. Grahami number on kauge ja väljamõeldud jama. Kõik need mõõtmeteta hüperkuubikud ja abstraktsed tasandid, kurat rebib need laiali, kellele neid vaja on? Kus on kilogrammid, kus on elektronid, kus on midagi, mida saab mõõta? Mis tühi jutt mitte millestki? Ma nõustun. Võime öelda, et tänane postitus sõrmedel™ võimalikult kaugel reaalteadusest, hõljudes peaaegu täielikult mingites absurdsetes matemaatilistes fantaasiates, samal ajal kui teadlastel ei jätku aparaatide jaoks raha, maailma energiaprobleem on lahendamata ja kellelgi on hoovis veel tualett. Ja kes ja valdkonnas.

Aga mine tea, on selline teooria, ka väga efemeerne ja filosoofiline, võib-olla olete kuulnud – kõik, mida inimene võiks ette kujutada või ette kujutada, saab kunagi kindlasti tõeks. Sest tsivilisatsiooni arengu määrab see, kui palju ta suutis minevikufantaasiaid reaalsuseks tõlkida.

Keegi ei tea, mida tulevik meile toob. Inimtsivilisatsioonil on tuhat võimalust lõpetada: tuumasõjad, keskkonnakatastroofid, surmavad pandeemiad, milline asteroid võib sisse lennata, dinosaurused ei lase sul valetada. Inimkonna areng võib iseenesest seiskuda, järsku on selline seaduspärasus, et mingi taseme saavutamisel lihtsalt areng seiskub ja kõik. Või saabuvad galaktikatevahelise liidu esindajad ja peatavad selle arengu jõuga.

Kuid siiski on, ja mitte väike, võimalus, et inimkonna areng jätkub peatumata. Isegi kui mitte nii peadpööritavalt kiiresti kui viimase 100 aasta jooksul, peaasi, et liikumine oleks edasi, peaasi, et see oleks progressiivne.

Loodusel on üks vankumatu seadus, mis on meile teada kõige iidsemast antiikajast. Mis juhtub, mis juhtub, mida me endamisi mõtleme, aga aeg ei kao kuhugi, see läheb mööda. Tahame seda või mitte, meiega või ilma, möödub tuhat ja 10 tuhat aastat.

200 aastat tagasi tundus lendav vaip (tavaline lennuk), maagiline peegel (Skype video) või kauge kuningriik (planeedi Marsi pind) torumuinasjutt, 2000 aastat tagasi tugineti ainult jumalatele, 20 000 aastat tagasi ei osanud nad seda üldse ette kujutada, kujutlusvõimest ei piisanud. Kas oskate öelda, mis on inimesele kättesaadav 200 aasta pärast? Aastal 2000, 20 000 aasta pärast?

Kas inimkond jääb ellu, kas see on üldse inimkond eesliitega "inimene-" ja võib-olla selleks ajaks lõppeb tehisintellekti staadium, millest tekivad mingid erilise teadlikkuse kategooria eeterlikud energiaained? Võibolla jah võibolla ei.

Mis siis, kui miljon aastat möödub? Aga ta läheb sinna, kuhu läheb. Grahami number ja üleüldse kõik see, mille üle inimene suudab mõelda, ette kujutada, olematusest välja tõmmata ja kui mitte käegakatsutavaks, aga vähemalt mingi tähendusega olemiks teha, kehastub varem või hiljem. Lihtsalt sellepärast, et täna oli meil piisavalt jõudu areneda võimeks sellist realiseerida.

Täna, homme, kui on võimalus – viska pea tagasi öötaevasse. Kas mäletate seda hetke, mil tundsite oma tühisust? Kas sa tunned, kui pisike inimene on? Tolmukübe, aatom võrreldes tohutu universumiga, mis on täis tähti, mille numbreid pole, noh, ja vastavalt ka kuristik pole väike.

Järgmisel korral proovige tunnetada, kui palju on Universum liivatera võrreldes sellega, mis teie peas toimub. Milline kuristik avaneb, millised mõõtmatud mõisted sünnivad, milliseid maailmu ehitatakse, kuidas Universum ühe mõtteliigutusega pahupidi pöörab, kuidas ja kui palju erineb elav, intelligentne mateeria surnud ja ebamõistlikust.

Usun, et mõne aja pärast sirutab inimene käe Grahami numbri järele, puudutab seda käega või mis iganes tal selleks ajaks käe asemel on. See ei ole põhjendatud, teaduslikult tõestatud mõte, see on tõesti lihtsalt lootus, miski, mis mind inspireerib. Mitte usk suure algustähega, mitte religioosne ekstaas, mitte õpetus ega vaimne praktika. Seda ma inimkonnalt ootan. Selles, mida ma oma võimaluste piires püüan aidata. Kuigi ettevaatusest liigitan end jätkuvalt agnostikuks.

Suurim matemaatiline konstant
Infinityt on raske õigesti kujutada, ilma et esiteks väga suuri numbreid tutvustataks. Ma ei räägi pisikestest numbritest, mis on nullilähedased, nagu aatomite arv universumis või aastate arv, mis kulub ahvil Shakespeare’i teoste kopeerimiseks. Kutsun teid üles mõtlema, mis oli 1977. aasta paiku suurim arv, mida kunagi tõsises matemaatilises tõestuses kasutatud. See Ronald Grahami tõestus annab Ramsey teooria teatud küsimusele vastuste ülemise piiri. Tõestuse mõistmiseks tuleb kasutusele võtta uus kontseptsioon Donald Knuthi teosest "lõplike arvude uurimine". Seda mõistet tähistatakse tavaliselt väikese ülespoole suunatud noolega, mida tähistame siin kui ^

3^3 = 3 * 3 * 3 = 27. See arv on piisavalt väike, et seda ette kujutada.

3^^3 = 3^(3^3) = 3^27 = 7.625.597.484.987. Rohkem kui 27, kuid piisavalt väike, et saaksin printida. Keegi ei kujuta ette seitset triljonit, kuid me saame kergesti aru sellest numbrist, mis järjekorras vastab ligikaudu SKT mahule.

3^^^3 = 3^^(3^^3) = 3^(3^(3^(3^...^(3^3)...)))). Intervall "..." koosneb 7 625 597 484 987 kolmikust. Teisisõnu, 3^^^3 või nool (3, 3, 3) on 7 625 597 484 987 taseme kõrguse eksponentsiaalne torn. See arv on väljaspool inimese kontseptsiooni, kuid selle loomise protseduuri saab visualiseerida. Võtame x=1. Määra x väärtuseks 3^x. Korrake seda seitse triljonit korda. Kuigi selle arvu varaseimad astmed on liiga suured, et mahutada kogu universumisse, on eksponentsiaalne torn ise, mis on kirjutatud kui "3^3^3^3...^3", piisavalt väike, et mahutada kaasaegsesse superarvutisse. .

3^^^^3 = 3^^^(3^^^3) = 3^^(3^^(3^^...^^(3^^3)...)). Nii arv kui ka selle loomise protseduur on praegu üle inimese esitusvõime, kuigi protseduurist võib aru saada. Võtke x=1. Määrake x x-pikkuse eksponentsiaalse torni väärtus. Korrake seda 3^^^3 korda, mis võrdub seitsme triljoni kolmekordse eksponentsiaalse torniga.

Ja selle tulemusena on Martin Gardneri sõnade kohaselt "3^^^^3 kujuteldamatult suurem kui 3^^^3, kuid see on siiski väike, kuna enamik lõplikke arve on suuremad."

Ja siis Grahami number. Olgu x võrdne 3^^^^^3-ga, ülalkirjeldatud kujuteldamatult suure arvuga. Seejärel määrake x-le väärtus 3^^^^^^^(x nool)^^^^^^^3. Tehke sama uuesti, kuid asendage (3^^^^^^^(x nool)^^^^^^^^3) Korrake seda 63 korda või 64 korda, võttes arvesse algset järjestust 3^^ ^^^3.

Grahami number ületab minu mõistmise. Ma võin seda kirjeldada, kuid ma ei saa sellest õigesti aru. (Võib-olla saab Graham sellest aru, kuna ta kirjutas seda kasutades matemaatilise tõestuse.) See arv on palju suurem kui enamiku inimeste arusaam lõpmatusest. Ma tean, et see oli rohkem kui mu kujutlusvõime.

Tõeline vastus Ramsey probleemile, mis andis selle arvu ülempiiriks, oli tõenäoliselt number 6.

P.s Lisaks ebausklikule õudusele tekitas see number minu jaoks väikese nalja: Onotole Wasserman paneb Grahami numbri lihtsalt paari sekundiga ruutudesse.

Et numbri ulatust kuidagi ette kujutada, analüüsime selle rekordit üksikasjalikumalt.

1 . Niisiis, matemaatikas on aritmeetiliste toimingute taseme määramiseks mõiste "hüperoperaator". Seega on liitmine esimese taseme hüperoperaator ja teise taseme hüperoperaator korrutamine, mis on korduv liitmine. See tähendab, et kordaja on arv, mis ütleb meile, mitu korda on vaja korrutatud väärtust liita. Näiteks: 3 3 = 3 + 3 + 3 = 9. Järgmine hüperoperaator on eksponentsiatsioon, x n = X^n, mis on sisuliselt korduv korrutamine. Näide: 3 3 \u003d 3 3 3 \u003d 27. Knuthi tähistusega 3 3 kirjutamine näeb välja nagu 33. Selguse huvides tuleks siinkohal öelda, et avaldise 33 esimene number on väärtus, millega me toimingu sooritame , ja numbrite vahel olevate noolte arv on aritmeetiline tehe; sel juhul tähendab üks nool astendamist. Teine number tähendab võimsust, milleni esimest numbrit tuleks tõsta (mitu korda endaga korrutada). Vastavalt sellele tähendab väljend 74 seitset kuni neljanda astmeni. Teisisõnu, 7 tuleb korrutada 7-ga neli korda.

2 . Neljanda taseme hüperoperaator on tetratsioon, korduv astendamine. Knuthi kirjes on numbrite vahel kaks noolt. Näide: 33 \u003d 3 3 \u003d 3 3 3 \u003d 3 27 \u003d 7 625 597 484 987. See tähendab, et teine ​​number kahe noole juures tähendab, et nii mitu korda peate tõstma esimest numbrit jõud iseenesest. Teisisõnu, see näitab meile elektritorni kõrgust esimesest numbrist. Näiteks kirje 58 tähendab kaheksast viiest koosnevat torni, mis on nagu kuubikud üksteise otsa kuhjatud.

Need, kelle aju on rasvast üleni paistes või on hõivatud vaid mõtetega, kuidas chani leida, päkapikk üles pumbata või aknest lahti saada, peaksid meeles pidama, et väljendeid arvutatakse tetratsioonis. ülevalt alla, või paremalt vasakule. Lihtsamalt öeldes, 3 3 3 võrdub kuradi mitte 27 3, vaid seesama 3 27 . Nüüd näete, mu karvane väike sõber, et tetratsioon on juba üsna võimas tähistus, mis võimaldab teil kirjutada lühikese avaldisena numbreid, mis on 100 500 korda suuremad kui 100 500. Kuid see pole veel kõik, sest see pole piisavalt võimas hüperoperaator, et arvutage Grahami arv.

3 . Liigume edasi: viienda taseme hüperoperaator on pentatsioon (korduv tetratsioon). Kolm noolt numbrite vahel. Siit algab jama, millest inimesed, kes pole professionaalsed matemaatikud, sülitavad kogu selle jama peale ega püüa sellest enam aru saada. Aga sa pole nagu nemad, eks? Kui arvasite, et arvu 3 pentatsioon on 7 625 597 484 987 astmega lagundatud 3-ks, siis eksite. Sul pole õrna aimugi, kui valesti sa eksid. Kui 3 astmeni 7 625 597 484 987 on ainult 34. Ja pentatsioon on 33 = 3(33) = 3(7 625 597 484 987) = 33…( astendite arv - 7 625 597 484 987 korda)…3. See tähendab, et saadakse kolmekordne jõutorn, mille kõrgus on üle seitsme ja poole triljoni korruse! Teisisõnu, teine ​​number kolme noole juuresolekul tähendab, kui kõrge on esimese numbri tetratsioonitorn. Selguse huvides: 34 saab kirjutada kui 3 3 3 3 või 3 (3 (3 3)). Ja siin on peamine mõista, et see tetratsioonide torn ei ole kraadide torn, siin on eskalatsioon palju kiirem. 34 = 3 3 3 3 = 7 625 597 484 987 3 3.
Lõpuks sain selle kätte, lits! 34 võrdub 3-ga arvu tetratsioonis, mis saadakse elektritorni arvutamisel numbrist 3, mille kõrgus on 7 625 597 484 987 korrust. Seega, kui 34 on kirjutatud kolmekordse elektritornina, võrdub selle torni korruste arv arvuga, mis saadakse 7 625 597 484 987 korruse kõrguse elektritorni arvutamisel. Tutvustatakse? Ma muidugi ei esitanud, selliseid koguseid ei saa hoobiga mõista.

Kui sa ikka hakkasid vaikselt aru saama, mis kurat siin toimub, siis lugege lõige 2 uuesti läbi.

4 . Ja viimane hüperoperaator, mida vajame, on heksatsioon. Nagu arvata võis, neli noolt kolme vahel. See on järelikult korduv karistus. Teine number nelja noole juures tähendab, kui kõrge on "pentatsiooni" torn. 33 \u003d 3 (33) \u003d 333 ... 33, kus tetratsioonide arv on pentatsiooni 33 arvutamise tulemus. Kui te ei saa jälle millestki aru, lugege punktid 3 ja 2 uuesti.
Kui liigume selle mõeldamatu tetratsioonide ahela päris lõppu ja hakkame seda arvutama, siis teine ​​kolmik lõpust võrdub tetratsioonis 7 625 597 484 987. Ja kolmanda kolmiku tetratsiooni tulemus tetratsioonist. lõpp on eelmises lõigus kolmiku pentatsiooniga saadud arv. Ja meie ees on veel googolplexid ja arvu 3 korduvate tetratsioonide googolplexid. Juba on mõttetu püüda millestki aru saada, tulemust kuidagi katta ... Ja siin võite küsida: "Kas see on tõesti Grahami number? Vau, kui suur!” Aga ei, see pole Grahami number. See oli vaid matemaatiline vihje ja see on tühine, Grahami numbriga võrreldes mõõtmatult väike.

Seetõttu on hexation lihtsalt ühe pissiva noole lisamine pentatsioonile, kuid tulemus osutub kujuteldamatu arvu tellimuste võrra suuremaks. Ja nüüd tegelikult Grahami numbri arvutamine. Näidetes olevat numbrit kolm kasutati põhjusega, sest Grahami arv on sisuliselt korrutatud kolmikud. Niisiis, nimetame oma heksatsiooni (33) tulemust G1. See on esimene arvutamise samm. Ainult esimene. Ja järgmine samm kiirendab edenemist nii, et ühe, kümne, MILJONI noole lisamine numbrite vahele on aja märkimine. Teine samm on G2 arvutamine. Nüüd võtame kolmiku heksaatiseerimise tulemuse ja kirjutame avaldise, kus superastme noolte arv on võrdne selle tulemusega. G2 = 3…(suurjõuliste noolte arv - G1)…3. Huvitav, kuidas SELLISE taseme hüperoperaatorit nimetatakse?..

Mitte ainult tulemuse, vaid isegi selle hüperoperaatori salvestamine pole enam võimalik ilma vähendamiseta. Ja selle arvutusest tulenev arv (kui seda muidugi oleks võimalik arvutada) täidaks oma numbritega Universumi ja paralleelmaailmad ja alamruumi ja kõik teised astraalid. Ja ärge unustage, et G1-s oli noolte arv võrdne neljaga - ja see on juba arv, mis pole tavalisel viisil arvutamiseks ja kirjutamiseks saadaval! Ja G2-s on see arv ainult superkraadide arv. See on kõik. Areng on uskumatult kiire. Ja see on alles algus. Järgmine samm on arvu G3 arvutamine, kus superjõu noolte arv võrdub G2-ga! Sarnaselt järgneb pärast seda veel 62 arvutamisetappi, kus iga sammu tulemuseks on ainult järgmise sammu superjõu noolte arv ja Grahami number on G64!

Vaistenu, mõnikord on matan hullem kui suvalised ravimid.

Seal oli üks vana mees, häbelik nagu poiss,
Kohmakas, arglik patriarh...
Kes on looduse auks vehkleja?
No muidugi, tuline Lamarck.
Osip Mandelstam

Lisaks Grahami numbri ja paljude muude huvitavate numbrite kirjeldamisele teen ettepaneku arutada veel paari numbrit. Nüüd dešifreeritakse kiiruga inimese genoomi. Minu arvates on sellest vähe kasu, nagu kõigist eksperimentaalsetest andmetest, mille kohta on vähemalt mingi teooria (pole selge, mida tegelikult mõõdetakse), kuid vähemalt sai teada, et inimese genoom koosneb 3,1 miljardist alusest ( igat liiki tümiin guaniini ja muude uratsiilidega) Darwini evolutsiooniteooria seisukohalt peetakse igat elusolendit teatud aluste kombinatsiooni ellujäämise proovikiviks ja peamine religiooni kokkupõrge Darwini teooriaga toimub siis, kui Darwini teooria või õigemini selle kaasaegne tõlgendus väidab, et see loendus toimub juhuslikult. Väljaspool seda väidet ei ole vastuolu evolutsiooniteooria ja näiteks juudi-kristliku 1. Moosese raamatus kirjeldatud pildi vahel, hoolimata sellest, mida kreatsionistid väidavad.

Näiteks kui eeldada, et kõige esimeses DNA-s olevale kõige esimesele elusolendile oli programmeeritud kogu evolutsioon sellest kõige esimesest olendist tänapäeva inimeseni, siis see pilt, mida võib pidada Lamarcki evolutsiooni kaasaegseks tõlgenduseks, ei erine kuidagi sellest. Genesis ja selle mõtteeksperimendi esimene elusolend ei tohiks olla Adam Brodsky, vaid Lamarcki arhetüübiks. Ainuüksi sõnad "Jumal lõi" 1. Moosese raamatust tähendavad selles kontekstis, et Jumal kirjutas Lamarcki arhetüübi programmi. Muide, ka selle programmi ja programmeerimismeetodi enda leiutas Tema.

Oletame, et selle kõige esimese elusolendi aluspaaride kombinatsioon on ainulaadne, siis saame hinnata Darwini evolutsiooni kiirust madalamalt. Alustame sellest, et hiljuti leiti väikseim elusolend (viirused on teoreetiliselt veelgi väiksemad, kuid neid ei saa pidada täisväärtuslikeks elusolenditeks, kuna nad vajavad paljunemiseks võõrast rakumehhanismi - igasuguseid mitokondreid jne. jne) Kujutage ette, et kogu universum (10 kuni 26 meetrit) on tipuni täidetud nende 0,009 kuupmikroni suuruste elusolenditega, kes testivad pidevalt DNA kombinatsioone ja igaühel neist on oma ainulaadne testimisülesanne, mis välistab DNA testimise dubleerimine erinevate elusolendite poolt ja kui midagi edukat ilmneb, saavad kõik universumi elusolendid sellest hetkega teada ja muudavad oma testiülesannet, nii et kõik ebaõnnestunud testil põhinevad kombinatsioonid lükatakse edasisest testimisest kõrvale. Nimetame Darwini arvuks sel viisil testimist vajavate genoomide koguarvu ja kui korrutame Darwini arvu testitava olendi minimaalse elueaga – Plancki ajaga, mis on minimaalne ajakvant – ja jagame selliste olendite koguarvust, siis saame määrata sellise evolutsiooni teatud iseloomuliku aja, mida teen ettepaneku nimetada Darwini ajaks. Ja kui jagada Darwini aeg meie universumi maksimaalse vanusega, saate numbri, mida ma teen ettepaneku nimetada Ockhami Williami numbriks, kuna ta oli esimene, kes tõestas, et teaduslikud meetodid ei suuda tõestada Jumala olemasolu, kuid teie ei suuda ka oma puudumist tõendada. Tõepoolest, Ockhami arv näitab Darwini teooria raames maksimaalset sisenemiste arvu Darwini evolutsiooni meie universumis, see tähendab, et see eraldab need DNA kombinatsioonid, mis võivad olla elusolendi genoomiks, neist, mis on ilmselgelt saatuslikud. See tähendab, et see arv näitab erinevust elu ja surma vahel meie universumis.

Loomulikult teen ettepaneku nimetada Ockhami numbri ja Grahami numbri suhet Brodsky numbriks ja kogu seda protseduuri teen ettepaneku nimetada Brodski paradoksiks.

Algselt postitas lyubimica_mira Graham's Number on Fingers™

Originaal võetud kaval2m Graham Number on Fingers™

epigraaf
Kui vaatad kaua kuristikku,
saad mõnusalt aega veeta.
Mehaaniline hingeinsener

Niipea kui laps (ja see juhtub kuskil kolme-neljaaastaselt) saab aru, et kõik numbrid on jagatud kolme rühma "üks, kaks ja mitu", püüab ta kohe välja selgitada: kui palju on liiga palju, kuidas palju erineb palju, ja kas see võib olla nii palju, et rohkem pole. Kindlasti mängisite oma vanematega huvitavat (selle vanuse kohta) mängu, kes nimetab suurima arvu ja kas esivanem oli pole lollim kui 5. klassi õpilane, siis võitis ta alati, vastates "kaks miljonit" iga "miljoni" kohta ja "kaks miljardit" või "miljard pluss üks" iga "miljardi" kohta.

Juba esimeses kooliastmes teavad kõik, et numbreid on lõpmatult palju, need ei lõpe kunagi ja pole ka suurimat arvu. Igaühele miljonit triljonit miljardit võite alati öelda "pluss üks" ja võita. Ja veidi hiljem tuleb (peaks tulema!) arusaam, et pikad numbrijadad iseenesest ei tähenda midagi. Kõik need triljoneid miljardeid alles siis on neil mõtet, kui nad kujutavad mitut objekti või kirjeldavad teatud nähtust. Pole raske välja mõelda pikka numbrit, mis pole midagi muud kui pika kõlaga numbrite komplekt, nii et nad lõpmatu arv. Teadus tegeleb teatud määral piltlikult öeldes väga konkreetsete arvukombinatsioonide otsimisega selles piiritus kuristikus, lisades mõnele füüsikalisele nähtusele, nagu valguse kiirus, Avogadro arv või Plancki konstant.

Ja kohe tekib küsimus, mis on maailma suurim number, mis midagi tähendab? Selles artiklis proovin rääkida digitaalsest koletisest nimega Grahami number, kuigi rangelt võttes teab teadus numbreid ja palju muud. Grahami number on enim avalikustatud, võiks öelda, et laiem avalikkus on "kuulnud", sest see on üsna lihtsalt seletatav ja samas piisavalt suur, et pöörata tähelepanu. Üldiselt on siin vaja kuulutada väike lahtiütlus ( vene keel hoiatus). See võib tunduda naljana, aga ma ei tee nalja. Ma räägin päris tõsiselt – niisugustes matemaatilistes sügavustes pedantne nokitsemine koos tajupiiride ohjeldamatu avardumisega võib (ja hakkabki) avaldama tõsist mõju maailmavaatele, indiviidi positsioneerimisele ühiskonnas ja lõppkokkuvõttes. , peal üldine psühholoogiline seisund korjamine või, nimetame asju õigete nimedega – avab tee shizile. Järgmist teksti ei maksa liiga tähelepanelikult lugeda, selles kirjeldatud asju liiga elavalt ja ilmekalt ette kujutada ei maksa. Ja ära ütle hiljem, et sind ei hoiatatud!
Sõrmed:
Enne koletiste numbrite juurde asumist harjutame kõigepealt kasside peal. Tuletan meelde, et suurte arvude (mitte koletiste, vaid lihtsalt suurte arvude) kirjeldamiseks on mugav kasutada teaduslikku või nn. eksponentsiaalne salvestusmeetod.

Kui nad ütlevad näiteks tähtede arvu kohta universumis (vaadatavas universumis), ei vaevu ükski idioot arvutama, kui palju neid on otseses mõttes, kuni viimase täheni välja. Arvatakse, et ligikaudu 10 21 tükki. Ja see on madalam hinnang. See tähendab, et tähtede koguarvu saab väljendada arvuna, mille ühe järel on 21 nulli, s.o. "1 000 000 000 000 000 000 000".

Selline näeb välja väike osa neist (umbes 100 000) kerasparves Omega Centauri.

Loomulikult, kui rääkida sellistest skaaladest, siis reaalarvud arvus olulist rolli ei mängi, kõik on väga tinglik ja ligikaudne. Võib olla tegelikult tähtede arv universumis on "1 564 861 615 140 168 357 973" või võib-olla "9 384 684 643 798 468 483 745". Ja isegi "3 333 333 333 333 333 333 333", miks mitte, kuigi see on muidugi ebatõenäoline. Kosmoloogias, universumi kui terviku omaduste teaduses, selliseid pisiasju ei petta. Peaasi on ette kujutada umbes see arv koosneb 22 numbrist, millest alates on mugavam pidada seda 21 nulliga ühikuks ja kirjutada see 10 21-ks. Reegel on üldine ja väga lihtne. Mis kujund või arv on kraadi asemel (siin on trükitud väikeses kirjas 10 peale), mitu nulli on pärast ühte selles numbris, kui värvite selle lihtsal viisil, märgid reas, mitte teaduslik viis. Mõnel numbril on "inimnimi", näiteks 10 3 nimetame "tuhandeks", 10 6 - "miljoniks" ja 10 9 - "miljardiks" ja mõnel mitte. Oletame, et 1059-l pole üldnimetust. Ja 10 21, muide, on see - see on "sekstiljon".

Kõik, mis ulatub miljonini, on intuitiivselt arusaadav peaaegu igale inimesele, sest kes ei taha olla miljonär? Siis algavad mõned probleemid. Kuigi miljard (10 9) on samuti peaaegu kõigile teada. Võite isegi lugeda kuni miljardini. Kui alles pärast sündi, sõna otseses mõttes sünnihetkel, hakkate lugema kord sekundis "üks, kaks, kolm, neli ..." ja ärge magage, ärge jooge, ärge sööge, vaid ainult loendama-loendama - Loendage väsimatult päeval ja öösel, siis kui saabub 32 aastat, võite lugeda kuni miljardini, sest Maa 32 pööret ümber Päikese võtab aega umbes miljard sekundit.

7 miljardit on inimeste arv planeedil. Eeltoodu põhjal on täiesti võimatu neid kõiki inimelu jooksul järjestikku üles lugeda, peate elama üle kahesaja aasta.

100 miljardit (10 11) – nii palju inimesi on planeedil kogu selle ajaloo jooksul elanud. McDonald's müüs 1998. aastaks oma 50-aastase eksisteerimise jooksul 100 miljardit hamburgerit. Meie Linnutee galaktikas on 100 miljardit tähte (noh, natuke rohkem) ja Päike on üks neist. Vaadeldav universum sisaldab sama palju galaktikaid. Inimese ajus on 100 miljardit neuronit. Ja igas nende ridade lugejas pimesooles elab sama palju anaeroobseid baktereid.

Triljon (10 12) on arv, mida kasutatakse harva. Triljonini on võimatu lugeda, selleks kulub 32 tuhat aastat. Triljon sekundit tagasi elasid inimesed koobastes ja jahtisid odadega mammuteid. Jah, triljon sekundit tagasi elasid Maal mammutid. Planeedi ookeanides on umbes triljon kala. Meie naabruses asuv Andromeeda galaktika sisaldab umbes triljonit tähte. Inimene koosneb 10 triljonist rakust. Venemaa SKT ulatus 2013. aastal 66 triljoni rublani (2013. aastal rubla). Maast Saturnini on kõigis kunagi avaldatud raamatutes trükitud 100 triljonit sentimeetrit ja kokku sama palju tähti.
Kvadriljon (10 15, miljon miljardit) on sipelgate koguarv planeedil. Normaalsed inimesed ei häälda seda sõna valjusti, noh, tunnistage, millal te viimati "kvadriljonit midagi" ühes vestluses kuulsite?
Kvintiljon (10 18 miljardit miljardit) – 3x3x3 Rubiku kuubiku kokkupanemisel on nii palju võimalikke konfiguratsioone. Nii on ka vee kuupmeetrite arv maailmameres.
Sextillion (10 21) – oleme seda numbrit juba kohanud. Tähtede arv vaadeldavas universumis. Liivaterade arv kõigis Maa kõrbetes. Transistoride arv kõigis inimkonna olemasolevates elektroonikaseadmetes, kui Intel meile ei valetaks.
10 sektiljonit (10 22) on molekulide arv grammis vees.
10 24 on Maa mass kilogrammides.
10 26 - vaadeldava universumi läbimõõt meetrites, kuid meetrites pole eriti mugav lugeda, vaadeldava universumi üldtunnustatud piirid on 93 miljardit valgusaastat.

Teadus ei tööta vaadeldavast universumist suuremate mõõtmetega. Teame kindlalt, et vaadeldav universum ei ole tervik-kõik-tervikuniversum. See on osa, mida me vähemalt teoreetiliselt näeme ja jälgime. Või on seda varem näinud. Või näeme millalgi kauges tulevikus, jäädes kaasaegse teaduse raamidesse. Ülejäänud universumist ei jõua signaalid meieni isegi valguse kiirusel, mis muudab need kohad meie vaatenurgast justkui olematuks. Kui suur see suur universum on tegelikult Keegi ei tea. Võib-olla miljon korda rohkem kui Foreseeable. Või äkki miljard. Või võib-olla isegi lõputult. Ma ütlen, et see pole enam teadus, vaid oletus kohvipaksu kohta. Teadlastel on mõned oletused, kuid see on rohkem fantaasia kui tegelikkus.
Kosmiliste mastaapide visualiseerimiseks on kasulik seda pilti uurida, laiendades seda täisekraanile.

Kuid isegi vaadeldavas universumis saate toppida palju rohkem midagi muud kui meetrid.
Planeet Maa koosneb 1051 aatomist.
10 80 ligikaudne elementaarosakeste arv vaadeldavas universumis.
10 90 on vaadeldavas universumis olevate footonite ligikaudne arv. Neid on peaaegu 10 miljardit korda rohkem kui elementaarosakesi, elektrone ja prootoneid.
10 100 - googol. See number ei tähenda füüsiliselt midagi, lihtsalt ümar ja ilus. Firma, mis seadis endale eesmärgiks linkide Google’i indekseerimise (nali muidugi, seda on rohkem kui universumi elementaarosakesi on!) võttis 1998. aastal endale nimeks Google.
Vaadeldava universumi täitmiseks kuni silmamunadeni on vaja 10 122 prootonit, tihedalt niimoodi, prootoni prootoni, selja vastas.
Vaadeldav universum võtab enda alla 10 185 Plancki ruumala. Vähem kui Plancki maht (10–35 meetri pikkune Plancki kuup) meie teadus ei tea. Kindlasti, nagu universumi puhul, on midagi veelgi väiksemat, kuid teadlased ei ole selliste tühiste asjade jaoks veel mõistlikke valemeid välja mõelnud, lihtsalt spekulatsioon.

Selgub, et umbes 10 185 on suurim arv, mis põhimõtteliselt võib tänapäeva teaduses midagi tähendada. Teaduses, mis suudab tunnetada ja mõõta. See on midagi, mis on olemas või võiks eksisteerida, kui juhtuks nii, et me teadsime universumi kohta kõike, mida oli vaja teada. Number koosneb 186 numbrist, siin see on:
100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Teadus siin muidugi ei lõpe, aga siis jätkuvad vabad teooriad, oletused ja isegi lihtsalt pseudoteaduslik male ja rutt. Näiteks olete ilmselt kuulnud inflatsiooniteooriast, mille kohaselt võib-olla on meie Universum vaid osa suuremast Multiversumist, milles need universumid on nagu mullid šampanjaookeanis.

Või kuulnud stringiteooriast, mille järgi võib olla umbes 10 500 stringide vibratsiooni konfiguratsiooni, mis tähendab sama palju potentsiaalseid universumeid, millest igaühel on oma seadused.

Mida kaugemale metsa, seda vähem jääb teoreetilisest füüsikast ja teadusest laiemalt kasvavatesse numbritesse ning nullide veergude tagant hakkab piiluma üha puhtam, pilvitu teaduste kuninganna. Matemaatika ei ole füüsika, piiranguid pole ja häbeneda pole midagi, kõnni, hing, kirjuta valemitesse nullid kasvõi kukutamiseni.
Mainin vaid tuntud googolplex. Arv, mille googoli astmes on kümme googoli astmel (10 googoli) või kümme kümne astmel saja astmel (10 10 100).
10 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Ma ei hakka seda numbritega kirja panema. Googleplex ei tähenda absoluutselt mitte midagi. Inimene ei kujuta ette millegi googolplexi, see on füüsiliselt võimatu. Sellise arvu üleskirjutamiseks vajate kogu vaadeldavat universumit, kui kirjutate "nanopliiatsiga" otse vaakumis, tegelikult kosmose Plancki rakkudes. Tõlgime kogu aine tindiks ja täidame universumi ühe tahke arvuga, siis saame googolplexi. Aga matemaatikud (kohutavad inimesed!) teevad ainult soojendust googolprexiga, see on madalaim latt, millest nende jaoks tõelised pätid alguse saavad. Ja kui te arvate, et googolplex on see, millest me räägime, siis pole teil aimugi, KUI valesti see on.

Googolplexi taga on palju huvitavaid numbreid, millel on matemaatilistes tõestustes üks või teine ​​roll, kui pikk ja lühike, läheme otse Grahami numbri juurde, mis on saanud nime (no muidugi) matemaatik Ronald Grahami järgi. Esiteks ütlen teile, mis see on ja miks te seda vajate, pärast mida piltlikult öeldes ja sõrmedel™ Kirjeldan, mis see suurusjärgus on, ja siis kirjutan numbri ise. Täpsemalt püüan ma kirjutatut lahti seletada.

Grahami number ilmus teoses, mis oli pühendatud ühe Ramsey teooria ülesande lahendamisele ja "Ramsey" pole siin mitte ebatäiuslik osastav, vaid teise matemaatiku Frank Ramsey perekonnanimi. Ülesanne on muidugi vilistide vaatevinklist üsna kaugel, kuigi mitte väga segane, isegi kergesti mõistetav.
Kujutage ette kuubikut, mille kõik tipud on ühendatud kahe värvi, punase või sinise joonte-lõikudega. Ühendatud ja juhuslikult värvitud. Mõned on juba arvanud, et räägime matemaatika harust, mida nimetatakse kombinatoorikaks.

Kas me suudame välja mõelda ja valida värvide konfiguratsiooni sellisel viisil (ja neid on ainult kaks - punane ja sinine), nii et nende segmentide värvimisel EI õnnestu, et kõik sama värvi segmendid ühenduvad neli tippu asuvad samal tasapinnal? Sel juhul EI kujuta need sellist arvu:

Võite ise mõelda, väänata oma kujutlusvõimes kuubikut silme ees, selle tegemine pole nii keeruline. Värve on kaks, kuubil on 8 tippu (nurka), mis tähendab, et neid ühendavaid segmente on 28. Värvimiskonfiguratsiooni saab valida nii, et ülaltoodud joonist me kuskile ei satuks, seal on mitmevärvilised jooned kõigil võimalikel tasanditel.
Mis siis, kui meil on rohkem mõõtmeid? Mis siis, kui me võtame mitte kuubi, vaid neljamõõtmelise kuubi, s.t. tesserakt? Kas saame teha sama triki, mis 3D puhul?

Ma isegi ei hakka selgitama, mis on neljamõõtmeline kuup, kas kõik teavad? Neljamõõtmelisel kuubil on 16 tippu. Ja pole vaja aju pahvida ja püüda ette kujutada neljamõõtmelist kuubikut. See on puhas matemaatika. Vaatasin mõõtmete arvu, asendasin selle valemisse, sain tippude, servade, tahkude arvu jne. Noh, või piilus Vikipeediast, kui valemit ei mäleta. Seega on neljamõõtmelisel kuubil 16 tippu ja 120 neid ühendavat segmenti. Värvikombinatsioonide arv neljamõõtmelisel juhul on palju suurem kui kolmemõõtmelise puhul, kuid ka siin pole eriti keeruline arvutada, jagada, taandada jms. Lühidalt, saate teada, et neljamõõtmelises ruumis saate ka hüperkuubi segmentide värvimisega välja mõelda, et kõik 4 tippu ühendavad sama värvi jooned ei asuks samal tasapinnal.
Viies dimensioonis? Ja viiemõõtmelises, kus kuubikut nimetatakse penteraktiks või pentakubiks, on see ka võimalik.
Ja seda kuues mõõtmes.
Ja siis tekivad raskused. Graham ei suutnud matemaatiliselt tõestada, et seitsmemõõtmeline hüperkuub suudab sellist operatsiooni sooritada. Nii kaheksa- kui üheksamõõtmeline jne. Kuid antud "ja nii edasi", selgus, et ei lähe lõpmatuseni, vaid lõpeb mingi väga suure numbriga, mida kutsuti "Grahami numbriks".
See tähendab, et on olemas minimaalne mõõde hüperkuubik, mille puhul tingimust rikutakse, ja enam ei ole võimalik vältida värvisegmentide kombinatsiooni, nii et neli sama värvi punkti asuvad samal tasapinnal. Ja see minimaalne mõõde on täpselt suurem kui kuus ja täpselt väiksem kui Grahami arv, see on teadlase matemaatiline tõestus.

Ja nüüd definitsioon sellest, mida ma eespool paari lõiguna kirjeldasin, kuivas ja igavas (kuid mahukas) matemaatikakeeles. Sellest pole vaja aru saada, aga ma ei saa seda mitte tuua.
Vaatleme n-mõõtmelist hüperkuubikut ja ühendame kõik tippude paarid, et saada täielik graaf 2n tipuga. Värvige selle graafiku iga serv punaseks või siniseks. Mis on n väikseim väärtus, mille puhul iga selline värvimine sisaldab tingimata ühevärvilist täielikku alamgraafi nelja tipuga, mis kõik asuvad samal tasapinnal?

1971. aastal tõestas Graham, et sellel probleemil on lahendus ja see lahendus (mõõtmete arv) jääb numbri 6 ja mõne suurema arvu vahele, mis hiljem (mitte autor ise) tema järgi nimetati. 2008. aastal parandati tõestust, tõsteti alumist piiri, nüüd jääb soovitud mõõtmete arv juba numbri 13 ja Grahami numbri vahele. Matemaatikud ei maga, töö käib, haare kitseneb.
70ndatest on möödunud palju aastaid, leiti matemaatilisi probleeme, milles esinevad arvud ja rohkem Grahamit, kuid see esimene koletisarv avaldas kaasaegsetele muljet, kes mõistsid, mis ulatusega see tegu on, et 1980. aastal kanti see Guinnessi rekordite raamatusse kui " kõige suurem arv, mis kunagi ranges matemaatilises tõestuses osales"

Proovime välja mõelda, kui suur see on. Suurim arv, millel võib olla füüsiline tähendus, on 10 185 ja kui kogu vaadeldav universum on täidetud näiliselt lõputu pisikeste numbrite komplektiga, saame midagi, mis on sellega võrreldav. googolplex.

Kas kujutate ette seda kogukonda? Edasi, tagasi, üles, alla, nii kaugele kui silm näeb ja nii kaugele kui Hubble'i teleskoop suudab, ja isegi nii kaugele kui sellest ei piisa, kõige kaugematesse galaktikatesse ja nendest kaugemale vaadates - numbreid, numbreid, numbreid palju väiksem kui prooton. Selline universum ei saa muidugi kaua eksisteerida, see kukub kohe kokku mustaks auguks. Kas mäletate, kui palju teavet teoreetiliselt universumisse mahub? Ma rääkisin.

Number on tõesti tohutu, murrab aju. See ei ole täpselt võrdne googolplexiga ja sellel pole nime, nii et ma kutsun seda " dohulion". Sain just aru, miks mitte. Plancki rakkude arv vaadeldavas universumis ja iga rakk sisaldab numbrit. Arv sisaldab 10 185 numbrit, seda saab esitada kui 10 10 185.
dochulion = 10 10 185
Avame taju uksed veidi laiemalt. Kas mäletate inflatsiooniteooriat? Et meie universum on vaid üks paljudest multiversumi mullidest. Ja kui kujutate ette dohulion sellised mullid? Võtame nii pika arvu kui kõik olemasolev ja kujutame ette Multiversumit sarnase arvu universumitega, millest igaüks on täidetud numbritega kuni silmamunadeni – saame dochulion dochulion. Kas te kujutate seda ette? Kuidas sa hõljud skalaarvälja olematuses ja ümberringi on universumid-universumid ja numbrid-arvud-arvud neis ... Loodan, et selline õudusunenägu (aga miks õudusunenägu?) ei piina (ja milleks piinata?) öösiti liiga muljetavaldav lugeja.

Mugavuse huvides nimetame sellist toimingut " klapp". Selline kergemeelne vahelehüüe, nagu nad võtsid universumi ja pöörasid selle pahupidi, siis oli see arvudes sees ja nüüd, vastupidi, on meil väljas sama palju universumeid, kui oli numbreid ja iga kast on täis. täis, kõik arvuliselt.Nagu granaatõun, puhastad, painutad koore nii, terad tulevad seest välja ja granaadid on jälle terades. dochulion sest see veeres.
Millega ma tegelen? Kas tasub aeglustada? Ole nüüd, hoba ja veel üks klapp! Ja nüüd on meil nii palju universumeid, kui oli universumites numbreid, mille arv oli võrdne meie universumit täitnud numbrite dochulioniga. Ja kohe, peatumata, keerake uuesti. Nii neljas kui ka viies. Kümnes, tuhandes. Hoia end mõttega kursis, pildista ikka pilti?

Ärgem raiskagem aega pisiasjadele, sirutagem kujutlusvõime tiivad, kiirendagem täiega ja keerakem klapid. Me pöörame iga universumi pahupidi nii palju kordi, kui palju oli Hulioni-eelseid universumeid eelmises pöördes, mis läks ümber eelmisest, mida ... uh ... noh, kas te järgite? Kuskil niisama. Olgu nüüd meie numbriks, " dochouliard".
dohouliard = flip flips
Me ei peatu ja muudame dohouliardide dohulionide lehvitamist seni, kuni meil jõudu jätkub. Kuni silmis pimedaks läheb, kuni karjuda tahad. Siin on igaüks julge Pinocchio enda jaoks, peatussõnaks saab "brynza".
Niisiis. Milles see on? Hiiglaslikud ja lõpmatud dochuliendid ja täisnumbritega universumite dohuliarid ei vasta Grahami numbrile. Nad isegi ei kriimusta pinda. Kui Grahami number esitatakse pulga kujul, mis on traditsiooniliselt kogu vaadeldavas universumis venitatud, siis mis me siin teiega oleme ümber pööratud osutub paksuse sälguks ... noh ... kuidas see pehmelt öeldes oleks ... mainimist vääriv. Siin ma pehmendasin seda nii hästi kui suutsin.

Nüüd kaldume veidi kõrvale, teeme pausi. Lugesime, lugesime, silmad väsisid. Unustagem Grahami number, me peame selle ees veel roomama ja roomama, oma silmad fookuse kaotama, lõdvestuma, mõtisklema palju väiksemal, lausa miniatuursel numbril, mida hakkame nimetama g 1 , ja kirjutama selle üles ainult kuue tähemärgiga:
g1 = 33
Arv g 1 on võrdne "kolm, neli noolt, kolm". Mida see tähendab? Selline näeb välja tähistus, mida nimetatakse Knuthi noolemärgistuseks.
Üksikasjade ja üksikasjade jaoks võite lugeda Vikipeedia artiklit, kuid seal on valemid, ma räägin selle lühidalt lihtsate sõnadega ümber. Üks nool tähendab tavalist astendamist.
22 = 2 2 = 4
33 = 3 3 = 27
44 = 4 4 = 256
1010 = 10 10 = 10 000 000 000

Kaks noolt tähendavad arusaadavalt eksponentsimist.
23 = 222 = 2 2 2 = 2 4 = 16
33 = 333 = 3 3 3 = 3 27 = 7 625 597 484 987 (rohkem kui 7 triljonit)
34 = 3333 = 3 3 3 3 = 3 7 625 597 484 987 = umbes 3 triljoni numbriga arv

Lühidalt, "numbrinool nool teine ​​number" näitab kraadide kõrgust (matemaatikud ütlevad " torni") on ehitatud esimesest numbrist. Näiteks 58 tähendab kaheksast viiest koosnevat torni ja on nii suur, et seda ei saa arvutada üheski superarvutis, isegi kõigis planeedi arvutites korraga.
5 5 5 5 5 5 5 5
Liigume edasi kolme noole juurde. Kui topeltnool näitaks torni kõrgust kraadides, siis kolmiknool näitaks justkui "torni kõrguse torni kõrgust"? Mida-seal! Kolmiku puhul on meil torni kõrgus torni kõrgus torni kõrgus (matemaatikas pole sellist mõistet, otsustasin seda nimetada " hooletu"). Midagi sellist:

See tähendab, et 33 moodustab tornideta kolmikud, mille kõrgus on 7 triljonit tükki. Mis on 7 triljonit kolmikut, mis on üksteise peale laotud ja mida nimetatakse "tornita"? Kui lugesite seda teksti hoolikalt läbi ega jäänud kohe alguses magama, siis ilmselt mäletate, et Maast Saturnini on 100 triljonit sentimeetrit. Ekraanil kuvatav kolmik kaheteistkümnenda kirjatüübiga, see üks – 3 – on viie millimeetri kõrgune. Nii et tornideta kolmikud ulatuvad teie ekraanilt ... noh, muidugi mitte Saturnini. Isegi Päike ei jõua, ainult veerand astronoomilisest ühikust, umbes sama palju kui hea ilmaga Maalt Marsile. Juhin teie tähelepanu (ärge magage!), et tornideta ei ole arv Maast Marsini, vaid see on nii kõrge kraadide torn. Mäletame, et viis kolmikut selles tornis katavad googolplexi, kolmikute esimese detsimeetri arvutamine põletab kõik planeedi arvutite kaitsmed ja ülejäänud miljonid kilomeetrid kraadid on juba kasutud, lihtsalt mõnitavad avalikult lugejat, see on mõttetu neid kokku lugeda.

Nüüd on selge, et 34 = 3333 = 337 625 597 484 987 = 3 tornita, (mitte 3 tornideta, vaid "kolme noolt tornita noolega" (!)), ta tornitu tornitus ei pikkuselt ega kõrguselt ei mahu vaadeldavasse universumisse ega mahu isegi kavandatavasse multiversumisse.
Sõnad lõpevad 35 = 33333 ja vahelehüüded 36 = 333333, kuid huvi korral võite harjutada.

Liigume edasi nelja noole juurde. Nagu arvata võis, istub siin torn torni peal, sõidab ilma tornita ja isegi sellise torniga, mis ilma tornita pole oluline. Ma annan lihtsalt vaikselt pildi, mis paljastab nelja noole arvutamise skeemi, kui iga järgmine kraaditorni number määrab kraadide torni kõrguse, mis määrab kraadide torni kõrguse, määrab torni kõrguse. kraadide torn ... ja nii kuni eneseunustuseni.

Seda on mõttetu arvutada ja see ei tööta. Siinne kraadide arv ei sobi sisukaks arvestuseks. Seda numbrit ei saa ette kujutada, seda ei saa kirjeldada. Analoogiat pole sõrmedel™ ei ole kohaldatavad, pole numbril lihtsalt millegagi võrrelda. Võib öelda, et see on tohutu, et see on suurejooneline, et see on monumentaalne ja vaatab sündmuste horisondi taha. See tähendab, et anda sellele mõned sõnalised epiteetid. Kuid visualiseerimine, isegi vaba ja kujundlik, on võimatu. Kui kolme noolega sai veel vähemalt midagi öelda, tornita Maalt Marsile joonistada, millegagi kuidagi võrrelda, siis analoogiaid lihtsalt olla ei saa.
Nüüd, alates g 1, pöördume uue jõuga tagasi Grahami numbri rünnaku juurde. Kas olete märganud, kuidas eskalatsioon noolt noolele kasvab?
33 = 27
33 = 7 625 597 484 987
33 = torn, Maalt Marsini.
33 = arv, mida ei saa ette kujutada ega kirjeldada.

Ja kujutage ette, milline digitaalne õudusunenägu toimub, kui tulistaja on viieaastane? Millal on kuus? Kas kujutate ette arvu, kui tulistaja saab sajaks? Kui saate, juhin teie tähelepanu arvule g 2 , milles nende noolte arv on võrdne g 1 -ga. Pea meeles, mis on g 1, eks?

Kõike, mis seni kirjutatud, kõiki neid arvutusi, kraadisid ja torne, mis multiversumite multiversumitesse ei mahu, läks vaja ainult ühe jaoks. NOOLTE ARV näitamiseks numbris g 2 . Pole vaja midagi kokku lugeda, saab lihtsalt naerda ja käega vehkida.
Ma ei varja, on ka g 3 , mis sisaldab g 2 noolt. Muide, kas on ikka selge, et g 3 ei ole g 2 "astmeni" g 2, vaid tornideta tornide arv, mis määrab kõrguse määravate tornideta tornide kõrguse ... ja nii edasi allapoole terve kett kuni universumi kuumasurmani? See on koht, kus sa hakkad nutma.

Miks nutta? Sest täiesti tõsi. Samuti on arv g 4 , mis sisaldab kolmikute vahel g 3 nooli. On ka g 5 , on g 6 ja g 7 ning g 17 ja g 43 ...
Ühesõnaga on neid 64 g. Iga eelmine on numbriliselt võrdne järgmise noolte arvuga. Viimane g 64 on Grahami number, millest kõik tundus nii süütult alguse saanud. See on hüperkuubi mõõtmete arv, millest kindlasti piisab segmentide punaseks ja siniseks värvimiseks. Võib-olla vähem, see on nii-öelda ülempiir. See on kirjutatud järgmiselt:
ja kirjuta see nii:

Kõik, nüüd saate ausalt lõõgastuda. Pole vaja enam midagi ette kujutada ja arvutada. Kui olete selle punktini lugenud, peaks kõik juba paika loksuma. Või ära tõuse. Või mitte omaette.

Aga mine tea, on selline teooria, ka väga efemeerne ja filosoofiline, võib-olla olete kuulnud – kõik, mida inimene võiks ette kujutada või ette kujutada, saab kunagi kindlasti tõeks. Sest tsivilisatsiooni arengu määrab see, kui palju ta suutis minevikufantaasiaid reaalsuseks tõlkida.

Keegi ei tea, mida tulevik meile toob. Inimtsivilisatsioonil on tuhat võimalust lõpetada: tuumasõjad, keskkonnakatastroofid, surmavad pandeemiad, milline asteroid võib sisse lennata, dinosaurused ei lase sul valetada. Kuid loodusel on üks vankumatu seadus, mis on meile teada kõige iidsemast antiikajast. Mis juhtub, mis juhtub, mida me endamisi mõtleme, aga aeg ei kao kuhugi, see läheb mööda. Tahame seda või mitte, meiega või ilma, möödub tuhat ja 10 tuhat aastat.

Mis siis, kui miljon aastat möödub? Aga ta läheb sinna, kuhu läheb. Grahami number ja üleüldse kõik see, mille üle inimene suudab mõelda, ette kujutada, olematusest välja tõmmata ja kui mitte käegakatsutavaks, aga vähemalt mingi tähendusega olemiks teha, kehastub varem või hiljem. Lihtsalt sellepärast, et täna on meil olnud jõudu areneda võimeks seda realiseerida.

Täna, homme, kui on võimalus – viska pea tagasi öötaevasse. Kas mäletate seda hetke, mil tundsite oma tühisust? Kas sa tunned, kui pisike inimene on? Tolmukübe, aatom võrreldes tohutu universumiga, mis on täis tähti, mille numbreid pole, noh, ja vastavalt ka kuristik pole väike.

Järgmisel korral proovige tunnetada, kui palju on Universum liivatera võrreldes sellega, mis teie peas toimub. Milline kuristik avaneb, millised mõõtmatud mõisted sünnivad, milliseid maailmu ehitatakse, kuidas Universum ühe mõtteliigutusega pahupidi pöörab, kuidas ja kui palju erineb elav, intelligentne mateeria surnud ja ebamõistlikust.

Usun, et mõne aja pärast sirutab inimene käe Grahami numbri järele, puudutab seda käega või mis iganes tal selleks ajaks käe asemel on. See ei ole põhjendatud, teaduslikult tõestatud mõte, see on tõesti lihtsalt lootus, miski, mis mind inspireerib. Mitte usk suure algustähega, mitte religioosne ekstaas, mitte õpetus ega vaimne praktika. Seda ma inimkonnalt ootan. Selles, mida ma oma võimaluste piires püüan aidata. Kuigi ettevaatusest liigitan end jätkuvalt agnostikuks.