Geomeetrilise ülesande lahendamiseks koordinaatide meetodil on vaja lõikepunkti, mille koordinaate kasutatakse lahenduses. Tekib olukord, kui on vaja otsida tasapinnal kahe sirge lõikepunkti koordinaate või määrata ruumis samade sirgete koordinaadid. See artikkel käsitleb juhtumeid, kuidas leida punktide koordinaadid, kus antud sirged ristuvad.

Yandex.RTB R-A-339285-1

On vaja määratleda kahe sirge lõikepunktid.

Lõik sirgete suhtelise asukoha kohta tasapinnal näitab, et need võivad kokku langeda, olla paralleelsed, ristuda ühes ühises punktis või ristuda. Kaht ruumis olevat sirget nimetatakse ristuvateks, kui neil on üks ühine punkt.

Sirgede lõikepunkti määratlus kõlab järgmiselt:

Definitsioon 1

Punkti, kus kaks sirget ristuvad, nimetatakse nende lõikepunktiks. Teisisõnu, lõikuvate sirgete punkt on lõikepunkt.

Mõelge allolevale joonisele.

Enne kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmist on vaja vaadelda allolevat näidet.

Kui tasapinnal on koordinaatsüsteem O x y, siis on antud kaks sirget a ja b. Sirge a vastab üldvõrrandile kujul A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, sirge b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 korral. Siis M 0 (x 0 , y 0) on mingi tasandi punkt, tuleb kindlaks teha, kas punktist M 0 saab nende sirgete lõikepunkt.

Probleemi lahendamiseks on vaja definitsioonist kinni pidada. Siis peavad sirged ristuma punktis, mille koordinaatideks on antud võrrandite A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ja A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 lahend. See tähendab, et lõikepunkti koordinaadid asendatakse kõigis etteantud võrrandites. Kui nad annavad asendamisel õige identiteedi, siis loetakse M 0 (x 0 , y 0) nende lõikepunktiks.

Näide 1

Antud kaks lõikuvat sirget 5 x - 2 y - 16 = 0 ja 2 x - 5 y - 19 = 0 . Kas punkt M 0 koordinaatidega (2, - 3) on lõikepunktiks.

Lahendus

Et sirgete lõikekoht oleks reaalne, on vajalik, et punkti M 0 koordinaadid vastaksid sirgete võrranditele. Seda kontrollitakse nende asendamisega. Me saame sellest aru

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Mõlemad võrdsused on tõesed, mis tähendab, et M 0 (2, - 3) on antud sirgete lõikepunkt.

Me kujutame seda lahendust alloleva joonise koordinaatjoonel.

Vastus: antud punkt koordinaatidega (2, - 3) on antud sirgete lõikepunktiks.

Näide 2

Kas sirged 5 x + 3 y - 1 = 0 ja 7 x - 2 y + 11 = 0 ristuvad punktis M 0 (2 , - 3) ?

Lahendus

Ülesande lahendamiseks on vaja kõigis võrrandites asendada punkti koordinaadid. Me saame sellest aru

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Teine võrdsus ei ole tõene, mis tähendab, et antud punkt ei kuulu reale 7 x - 2 y + 11 = 0 . Seega on meil, et punkt M 0 ei ole sirgete lõikepunkt.

Jooniselt on selgelt näha, et M 0 ei ole joonte lõikepunkt. Neil on ühine punkt koordinaatidega (- 1 , 2) .

Vastus: punkt koordinaatidega (2, - 3) ei ole antud sirgete lõikepunkt.

Läheme kahe sirge lõikepunktide koordinaatide leidmisele tasapinnal etteantud võrrandite abil.

Kaks ristuvat sirget a ja b on antud võrranditega kujul A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ja A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0, mis asuvad punktis O x y. Lõikepunkti M 0 määramisel saame, et peaksime jätkama koordinaatide otsimist võrrandite A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ja A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 järgi.

Definitsioonist on ilmne, et M 0 on sirgete ühine lõikepunkt. Sel juhul peavad selle koordinaadid rahuldama võrrandeid A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ja A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Teisisõnu, see on saadud süsteemi A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 lahendus.

See tähendab, et ristumispunkti koordinaatide leidmiseks on vaja kõik võrrandid süsteemi liita ja see lahendada.

Näide 3

Tasapinnal on antud kaks sirget x - 9 y + 14 = 0 ja 5 x - 2 y - 16 = 0. peate leidma nende ristmiku.

Lahendus

Andmed võrrandi seisukorra kohta tuleb koguda süsteemi, mille järel saame x - 9 y + 14 \u003d 0 5 x - 2 y - 16 \u003d 0. Selle lahendamiseks lahendatakse esimene võrrand x jaoks, avaldis asendatakse teisega:

x - 9 a + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 a - 14 5 x - 2 a - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 a - 14 5 9 a - 14 - 2 a - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Saadud arvud on koordinaadid, mis tuli leida.

Vastus: M 0 (4, 2) on sirgete x - 9 y + 14 = 0 ja 5 x - 2 y - 16 = 0 lõikepunkt.

Koordinaatide otsimine taandub süsteemi lahendamisele lineaarvõrrandid. Kui vastavalt tingimusele on antud võrrandi teine ​​vorm, siis tuleb see taandada normaalkujule.

Näide 4

Määrake sirgete x - 5 = y - 4 - 3 ja x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R lõikepunktide koordinaadid.

Lahendus

Alustuseks on vaja võrrandid viia üldkujule. Siis saame, et x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R teisendatakse järgmiselt:

x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Seejärel võtame võrrandi kanooniline vorm x - 5 = y - 4 - 3 ja teisendage. Me saame sellest aru

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Seega on koordinaadid ristumispunktid

x - 9 a + 14 = 0 3 x - 5 a + 20 = 0 ⇔ x - 9 a = - 14 3 x - 5 a = - 20

Koordinaatide leidmiseks rakendame Crameri meetodit:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 (- 5) - (- 9) 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 (- 5) - (- 9) ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 (- 20) - (- 14) 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 212

Vastus: M 0 (- 5, 1).

Tasapinnal asuvate sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmiseks on veel üks võimalus. See on rakendatav, kui üks sirgetest on antud parameetriliste võrranditega kujul x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Siis asendatakse x = x 1 + a x λ ja y = y 1 + a y λ, kus saame λ = λ 0, mis vastab lõikepunktile, mille koordinaadid on x 1 + a x λ 0, y 1 + a y λ 0 .

Näide 5

Määrake sirge x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R ja x - 5 = y - 4 - 3 lõikepunkti koordinaadid .

Lahendus

On vaja teostada asendus x - 5 \u003d y - 4 - 3 avaldisega x \u003d 4 + 9 λ, y \u003d 2 + λ, siis saame:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Lahendamisel saame, et λ = - 1 . See tähendab, et sirgete x = 4 + 9 λ y = 2 + λ, λ ∈ R ja x-5 = y-4-3 vahel on lõikepunkt. Koordinaatide arvutamiseks on vaja parameetrilises võrrandis asendada avaldis λ = - 1. Siis saame, et x = 4 + 9 (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1 .

Vastus: M 0 (- 5, 1).

Teema täielikuks mõistmiseks peate teadma mõningaid nüansse.

Kõigepealt peate mõistma joonte asukohta. Kui need ristuvad, leiame koordinaadid, muudel juhtudel lahendust ei tule. Selle kontrolli vältimiseks saame koostada süsteemi kujul A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 + C 2 \u003d 0 Lahenduse olemasolul järeldame, et sirged lõikuvad . Kui lahendust pole, siis on need paralleelsed. Kui süsteemil on lõpmatu arv lahendusi, siis öeldakse, et need on samad.

Näide 6

Antud sirged x 3 + y - 4 = 1 ja y = 4 3 x - 4 . Tehke kindlaks, kas neil on ühine punkt.

Lahendus

Antud võrrandeid lihtsustades saame 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 ja 4 3 x - y - 4 = 0 .

Järgmiseks lahendamiseks on vaja võrrandid süsteemi koguda:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

See näitab, et võrrandid on väljendatud üksteise kaudu, siis saame lõpmatu arvu lahendusi. Siis määravad võrrandid x 3 + y - 4 = 1 ja y = 4 3 x - 4 sama sirge. Seetõttu puuduvad ristumispunktid.

Vastus: antud võrrandid määratlevad sama sirge.

Näide 7

Leidke 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 ja 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 lõikuvate sirgete punkti koordinaadid.

Lahendus

Tingimuste järgi on võimalik, et jooned ei ristu. Kirjutage võrrandisüsteem ja lahendage. Lahenduse jaoks on vaja kasutada Gaussi meetodit, kuna selle abil on võimalik kontrollida võrrandi ühilduvust. Saame vormi süsteemi:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 a = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) (- (3 + 2)) = 1 + - 7 ( - (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Saime vale võrdsuse, nii et süsteemil pole lahendusi. Me järeldame, et jooned on paralleelsed. Ristmikupunkte pole.

Teine lahendus.

Kõigepealt peate kindlaks määrama joonte ristumiskoha olemasolu.

n 1 → = (2 , 2 - 3) on sirge 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 normaalvektor, siis vektor n 2 → = (2 (3 + 2) , -7 on sirge 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 normaalvektor .

Vajalik on kontrollida vektorite n 1 → = (2, 2 - 3) ja n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) kollineaarsust. Saame võrrandi kujul 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 . See on õige, sest 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0 . Sellest järeldub, et vektorid on kollineaarsed. See tähendab, et sirged on paralleelsed ja neil pole lõikepunkte.

Vastus: ristumispunkte pole, sirged on paralleelsed.

Näide 8

Leidke antud sirgete 2 x - 1 = 0 ja y = 5 4 x - 2 lõikekoordinaadid.

Lahendus

Selle lahendamiseks koostame võrrandisüsteemi. Saame

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Leia põhimaatriksi determinant. Selleks on 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2 . Kuna see on nullist erinev, on süsteemil 1 lahendus. Sellest järeldub, et jooned ristuvad. Lahendame ristumispunktide koordinaatide leidmise süsteemi:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Saime, et antud sirgete lõikepunkti koordinaadid on M 0 (1 2 , - 11 8) .

Vastus: M 0 (1 2, - 11 8) .

Kahe sirge ruumis lõikepunkti koordinaatide leidmine

Samamoodi leitakse ruumijoonte lõikepunktid.

Kui sirged a ja b on antud koordinaattasandil O x y z lõikuvate tasandite võrranditega, siis on olemas sirge a, mille saab määrata antud süsteemi abil A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 \u003d 0 ja sirge b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 \u003d 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 \u003d 0.

Kui punkt M 0 on sirgete lõikepunkt, siis peavad selle koordinaadid olema mõlema võrrandi lahendid. Saame süsteemis lineaarvõrrandid:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Vaatleme selliseid ülesandeid näidete abil.

Näide 9

Leidke antud sirgete lõikepunkti koordinaadid x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 ja 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Lahendus

Koostame süsteemi x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ja lahendame selle. Koordinaatide leidmiseks on vaja lahendada maatriksi kaudu. Siis saame põhimaatriksi kujul   A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 ja laiendatud maatriksi T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Maatriksi auastme määrame Gaussi järgi.

Me saame sellest aru

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Sellest järeldub, et suurendatud maatriksi aste on 3. Siis võrrandisüsteem x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 annab tulemuseks ainult ühe lahendi.

Alusmollil on determinant 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0, siis viimane võrrand ei sobi. Saame, et x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3 . Süsteemi lahendus x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Seega saame, et lõikepunktil x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 ja 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 on koordinaadid (1 , - 3 , 0) .

Vastus: (1 , - 3 , 0) .

Süsteem kujul A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 on ainult üks lahend. Seega sirged a ja b lõikuvad.

Muudel juhtudel pole võrrandil lahendust, st puuduvad ka ühispunktid. See tähendab, et koordinaatidega punkti on võimatu leida, kuna seda pole olemas.

Seetõttu on süsteem kujul A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 lahendatakse Gaussi meetodil. Selle kokkusobimatuse tõttu jooned ei ristu. Kui lahendeid on lõpmatult palju, siis need langevad kokku.

Saate teha otsuse, arvutades maatriksi põhi- ja laiendatud järgu ning seejärel rakendada Kroneckeri-Capelli teoreemi. Saame ühe, mitu või täielik puudumine lahendusi.

Näide 10

Antud on sirgete x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 ja x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 võrrandid. Leidke ristumispunkt.

Lahendus

Esiteks paneme paika võrrandisüsteemi. Saame, et x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 . Lahendame selle Gaussi meetodiga:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Ilmselgelt pole süsteemil lahendusi, mis tähendab, et sirged ei ristu. Ristmispunkti pole.

Vastus: ristumispunkti pole.

Kui sirged on antud konooniliste või parameetriliste võrrandite abil, tuleb need viia ristuvate tasandite võrrandite kujule ja seejärel leida koordinaadid.

Näide 11

Antud kaks sirget x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ , λ ∈ R ja x 2 = y - 3 0 = z 5 O x y z . Leidke ristumispunkt.

Lahendus

Seadsime sirgjooned kahe ristuva tasandi võrrandiga. Me saame sellest aru

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Leiame koordinaadid 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 , selleks arvutame maatriksi auastmed. Maatriksi auaste on ​3 ja põhimoll on 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, mis tähendab, et viimane võrrand tuleb süsteemist välja jätta. Me saame sellest aru

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Lahendame süsteemi Crameri meetodil. Saame, et x = - 2 y = 3 z = - 5 . Siit saame, et antud sirgete lõikepunkt annab punkti koordinaatidega (- 2 , 3 , - 5) .

Vastus: (- 2 , 3 , - 5) .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Mõne geomeetriaülesande lahendamisel koordinaatmeetodil on vaja leida sirgete lõikepunkti koordinaadid. Enamasti tuleb tasapinnal otsida kahe sirge lõikepunkti koordinaate, kuid mõnikord tuleb määrata ka kahe ruumilise sirge lõikepunkti koordinaadid. Selles artiklis käsitleme kahe sirge ristumispunkti koordinaatide leidmist.

Leheküljel navigeerimine.

Kahe sirge lõikepunkt on definitsioon.

Esmalt määratleme kahe sirge lõikepunkti.

Seega on üldvõrranditega tasapinnal määratletud kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmiseks vaja lahendada antud sirgete võrranditest koosnev süsteem.

Vaatleme näidislahendust.

Näide.

Leidke ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis tasapinnas võrranditega x-9y+14=0 ja 5x-2y-16=0 defineeritud kahe sirge lõikepunkt.

Lahendus.

Meile on antud kaks üldist joonvõrrandit, millest me koostame süsteemi: . Saadud võrrandisüsteemi lahendused on kergesti leitavad, kui selle esimene võrrand on lahendatud muutuja x suhtes ja see avaldis asendatakse teise võrrandiga:

Võrrandisüsteemi leitud lahendus annab meile kahe sirge lõikepunkti soovitud koordinaadid.

Vastus:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 ja 5x-2y-16=0.

Niisiis, kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmine, mis on määratletud tasapinna üldvõrranditega, taandatakse kahe tundmatu muutujaga kahe lineaarvõrrandi süsteemi lahendamiseks. Aga mis siis, kui tasapinnal olevad sirged on antud mitte üldvõrranditega, vaid erinevat tüüpi võrranditega (vt tasapinna sirgjoone võrrandi tüüpe)? Nendel juhtudel saab kõigepealt viia sirge võrrandid üldkujule ja alles pärast seda leida lõikepunkti koordinaadid.

Näide.

ja .

Lahendus.

Enne antud sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmist viime nende võrrandid üldkujule. Üleminek parameetrilistest võrranditest sirgele selle sirgjoone üldvõrrandile näeb välja selline järgmisel viisil:

Nüüd viime läbi vajalikud toimingud sirge kanoonilise võrrandiga:

Seega on sirgete lõikepunkti soovitud koordinaadid vormi võrrandisüsteemi lahendiks . Selle lahendamiseks kasutame:

Vastus:

M 0 (-5, 1)

On veel üks võimalus leida tasapinna kahe sirge lõikepunkti koordinaadid. Seda on mugav kasutada, kui üks ridadest on antud vormi parameetriliste võrranditega , ja teine ​​- erineva kujuga sirgjoone võrrand. Sel juhul saab muutujate x ja y asemel asendada avaldised mõnes teises võrrandis ja , millest on võimalik saada väärtus, mis vastab antud sirgete lõikepunktile. Sel juhul on joonte lõikepunktil koordinaadid .

Leiame sel viisil eelmisest näitest sirgete lõikepunkti koordinaadid.

Näide.

Määrake sirgete lõikepunkti koordinaadid ja .

Lahendus.

Asendage otseavaldise võrrandis:

Lahendades saadud võrrandi, saame . See väärtus vastab joonte ühisele punktile ja . Arvutame lõikepunkti koordinaadid, asendades sirge parameetriliste võrranditega:
.

Vastus:

M 0 (-5, 1).

Pildi täiendamiseks tuleks arutada veel ühte punkti.

Enne kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmist tasapinnal on kasulik veenduda, et antud sirged tõesti lõikuvad. Kui selgub, et algsed sirged langevad kokku või on paralleelsed, siis selliste sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmisest ei saa juttugi olla.

Muidugi saate ilma sellise kontrollita hakkama ja koostada kohe vormi võrrandisüsteemi ja lahenda see. Kui võrrandisüsteemil on kordumatu lahend, siis annab see algsirgete ristumispunkti koordinaadid. Kui võrrandisüsteemil pole lahendeid, siis saame järeldada, et algsed sirged on paralleelsed (kuna pole olemas sellist reaalarvude x ja y paari, mis rahuldaks üheaegselt antud sirgete mõlemat võrrandit). Võrrandisüsteemi lõpmatu hulga lahendite olemasolust järeldub, et algsel sirgel on lõpmatult palju ühiseid punkte, see tähendab, et need langevad kokku.

Vaatame näiteid, mis nende olukordadega sobivad.

Näide.

Uurige, kas sirged ja lõikuvad ning kui ristuvad, siis leidke lõikepunkti koordinaadid.

Lahendus.

antud võrrandid jooned vastavad võrranditele ja . Lahendame nendest võrranditest koosneva süsteemi .

Ilmselgelt väljendatakse süsteemi võrrandeid üksteise kaudu lineaarselt (süsteemi teine ​​võrrand saadakse esimesest, korrutades selle mõlemad osad 4-ga), seetõttu on võrrandisüsteemil lõpmatu arv lahendeid. Seega defineerivad võrrandid ja sama sirge ning nende sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmisest rääkida ei saa.

Vastus:

Võrrandid ja määravad sama sirge ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy, seega ei saa rääkida ristumispunkti koordinaatide leidmisest.

Näide.

Leidke sirgete lõikepunkti koordinaadid ja , kui võimalik.

Lahendus.

Probleemi seisukord tunnistab, et jooned ei pruugi ristuda. Koostame nendest võrranditest süsteemi. Kohaldatav selle lahenduse jaoks, kuna see võimaldab teil tuvastada võrrandisüsteemi ühilduvuse või ebakõla ja kui see on ühilduv, siis leida lahendus:

Süsteemi viimane võrrand pärast Gaussi meetodi otsest kulgu muutus valeks võrrandiks, seetõttu pole võrrandisüsteemil lahendeid. Sellest võime järeldada, et algsed sirged on paralleelsed ja nende sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmisest ei saa rääkida.

Teine lahendus.

Uurime, kas antud sirged ristuvad.

- tavaline joonvektor , ja vektor on sirge normaalne vektor . Kontrollime täitmist ja : võrdsus on tõsi, kuna seega on antud joonte normaalvektorid kollineaarsed. Siis on need jooned paralleelsed või langevad kokku. Seega ei leia me algsirgete lõikepunkti koordinaate.

Vastus:

Antud sirgete lõikepunkti koordinaate on võimatu leida, kuna need sirged on paralleelsed.

Näide.

Leia sirgete 2x-1=0 lõikepunkti koordinaadid ja kui need ristuvad.

Lahendus.

Koostame võrrandisüsteemi, mis on antud sirgete üldvõrrandid: . Selle võrrandisüsteemi põhimaatriksi determinant erineb nullist , seega on võrrandisüsteemil unikaalne lahendus, mis näitab etteantud sirgete lõikepunkti.

Sirgede lõikepunkti koordinaatide leidmiseks peame lahendama süsteemi:

Saadud lahendus annab meile sirgete lõikepunkti koordinaadid, st 2x-1 = 0 ja .

Vastus:

Kahe sirge ruumis lõikepunkti koordinaatide leidmine.

Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid sisse kolmemõõtmeline ruum asuvad sarnaselt.

Vaatleme näiteid.

Näide.

Leia võrranditega ruumis antud kahe sirge lõikepunkti koordinaadid ja .

Lahendus.

Koostame antud sirgete võrranditest võrrandisüsteemi: . Selle süsteemi lahendus annab meile ruumis olevate sirgete lõikepunkti soovitud koordinaadid. Leiame kirjaliku võrrandisüsteemi lahenduse.

Süsteemi põhimaatriksil on vorm , ja laiendatud .

Teeme kindlaks A ja maatriksi auaste T . Me kasutame

Teema 3. Teooria

Analüütiline geomeetria ruumis.

Tasapinna ja sirge võrrandid.

 Üldvõrrand lennuk on esimest järku algebraline võrrand koordinaatide suhtes (x; y; z)

- normaalne , tasapinnaga risti olev vektor.

Tasapindade paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimused on määratud normaalide kollinaarsuse ja perpendikulaarsuse tingimustega.

Mõned standardsed tasapinna võrrandite tüübid:

Tasapinna tegelikud võrrandid saadakse esimese rea vastava determinandi laiendamisega.

 Valem arvutamiseks vahemaad alates antud punkt M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) enne lennuk võrrandiga antud Ah+Kõrval+ cz+ D=0 :

.

Ilmselgelt kui d=0 , siis punkt M 1 kuulub lennukile.

 Sirgjoon ruumis on defineeritud kui kahe mitteparalleelse tasandi (mis tahes, mis läbib sirget) lõikejoon.

Ruumi sirgjoone võrrandite tüübid:

Ruumi sirgjoonte paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimused on määratletud kui nende suunavektorite kollineaarsuse ja perpendikulaarsuse tingimused. Olgu siis read (1) ja (2) antud kanoonilisel või parameetrilisel kujul

.

 Kahe sirge ristumistingimus ruumis on kolme vektori komplonaarsuse tingimus:

 Üleminek sirgjoone üldvõrranditest kanoonilise või parameetrilise vormi võrranditeni viiakse läbi järgmiselt (võimalik on ka vastupidine üleminek).

Üldkujul sirgjoone võrrandid on antud:
.

Leiame suunavektori koordinaadid:
sirget määratlevate tasandite normaalide vektorkorrutisena.

Otsime üles ükskõik milline punkt joonel. Samuti kuulub see mõlemale tasandile, mis defineerivad sirget, nii et selle koordinaadid (x 0, y 0, z 0) leiate võrrandisüsteemist:

,

milles üks koordinaatidest tuleb suvaliselt määrata (kuna leiame ükskõik milline punkt), kuid nii, et süsteemil oleks unikaalne lahendus. Vektori koordinaadid ja leitud punkt asendatakse kanooniliste või parameetriliste võrranditega.

Sirge ja tasandi paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimused sõnastatakse normaal- ja suundvektori perpendikulaarsuse ja paralleelsuse tingimustena.

1. Funktsioonide graafikute lõikepunkti koordinaatide leidmiseks tuleb mõlemad funktsioonid üksteisega võrdsustada, üle kanda vasak pool kõik liikmed, mis sisaldavad $ x $, ja ülejäänutest paremal ning leidke saadud võrrandi juured.
2. Teine võimalus on koostada võrrandisüsteem ja lahendada see, asendades ühe funktsiooni teisega
3. Kolmas meetod hõlmab funktsioonide graafilist konstrueerimist ja visuaalne määratlus ristumispunktid.

Kahe lineaarfunktsiooni juhtum

Vaatleme kahte lineaarfunktsiooni $ f(x) = k_1 x+m_1 $ ja $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Neid funktsioone nimetatakse otsesteks. Nende loomine on piisavalt lihtne, peate lihtsalt võtma kaks väärtust $x_1$ ja $x_2$ ning leidma $f(x_1)$ ja $(x_2)$. Seejärel korrake sama funktsiooniga $ g(x) $. Järgmiseks leidke visuaalselt funktsioonigraafikute lõikepunkti koordinaat.

Peaksite teadma, et lineaarfunktsioonidel on ainult üks lõikepunkt ja ainult siis, kui $ k_1 \neq k_2 $. Vastasel juhul on $ k_1=k_2 $ korral funktsioonid üksteisega paralleelsed, kuna $ k $ on kaldetegur. Kui $ k_1 \neq k_2 $, aga $ m_1=m_2 $, siis on lõikepunktiks $ M(0;m) $. Kiirendatud probleemide lahendamiseks on soovitav seda reeglit meeles pidada.

Kahe mittelineaarse funktsiooni juhtum