Sarnased dokumendid

Graafikute taastamine etteantud tipu naabrusmaatriksitest. Servade külgnevuse, langemise, ligipääsetavuse, vastukäivuse maatriksi iga graafiku konstruktsioon. Otsige graafikute koostist. Graafi tippude lokaalsete astmete määramine. Otsige graafikute alust.

laboritööd, lisatud 01.09.2009


Antud graafiku kirjeldus tippude V ja kaare X komplektide, külgnemisloendite, esinemis- ja külgnemismaatriksi järgi. Vastava suunamata graafiku kaalumaatriks. Lühima teepuu määramine Dijkstra algoritmi abil. Puude leidmine graafikult.

kursusetöö, lisatud 30.09.2014


"Graafi" mõiste ja selle maatriksesitus. Külgnevus- ja langemismaatriksite omadused. Marsruutide, kettide ja tsiklite omadused. Graafi kesktippude leidmise probleem, selle meetrilised karakteristikud. Graafiteooria rakendamine teaduse ja tehnoloogia valdkondades.

kursusetöö, lisatud 05.09.2015


Algoritm suunamata graafi graafilisele esitusele üleminekuks. Suunatamata graafi tippude arv. Lugemine naabrusmaatriksist. Seosed maatriksi tippude vahel. Tipukoordinaatide määramine sõltuvalt sektorite arvust.

laboritööd, lisatud 29.04.2011


Automaatjuhtimissüsteemi matemaatiline kirjeldus graafikute abil. Graafi koostamine ja selle teisendamine, diferentsiaalidest vabanemine. Suunatud ja suunamata graafikute optimeerimine, külgnemis- ja langemismaatriksite koostamine.

laboritööd, lisatud 11.03.2012


Suunatud ja suunamata graafid: üldkarakteristikud, eritipud ja -servad, tippude poolkraadid, külgnevus, langevus, ligipääsetavus, ühenduvusmaatriksid. Iga graafiku arvkarakteristikud, sügavuse ja laiuse läbimine, tsüklite alus.

kursusetöö, lisatud 14.05.2012


Identiteetide või kaasamiste kehtivuse kontrollimine komplektalgebra ja Euler-Venni diagrammide abil. Graafi ja maatriksi kujutamine seosest, millel on refleksiivsuse, transitiivsuse ja antisümmeetria omadused. Suunamata graafiku uurimine.

test, lisatud 05.05.2013


Hulk on elementide kogum, mida ühendab mingi atribuut. Tehted defineeritakse hulkadega, mis on paljuski sarnased aritmeetikaga. Tehteid hulkadega tõlgendatakse geomeetriliselt, kasutades Euleri-Venni diagramme.

abstraktne, lisatud 03.02.2009


Pseudograafi diagrammi, esinemismaatriksi ja tipu naabrusmaatriksi konstrueerimine. Puu taastamine vektorist Pruferi algoritmi abil. Funktsiooni tõesuse tabeli konstrueerimine ning täiuslikud konjunktiivsed ja disjunktiivsed normaalvormid.

test, lisatud 25.09.2013


Diskreetse matemaatika ülesannete lahendamise meetodid. Suunatud ja suunamata graafi kõigi tippude paaride vahelise lühima tee arvutamine Floydi algoritmi abil. Probleemi analüüs ja selle lahendamise meetodid. Programmi areng ja omadused.

Hulkade visuaalseks esitamiseks kasutatakse Euleri-Venni diagramme (nimetatud matemaatikute Leonhard Euleri (1707-1783) ja John Venni (1834-1923) järgi. Hulke tähistatakse tasapinnal aladega ja nende alade sees paiknevad hulga elemendid tinglikult. Sageli on kõik diagrammil olevad komplektid paigutatud ristküliku sisse, mis on universaalne komplekt. Kui element kuulub rohkem kui ühte hulka, peavad sellistele hulkadele vastavad alad kattuma, et ühine element saaks samaaegselt olla vastavates piirkondades. Diagrammidel kogumeid kujutavate alade kuju valik võib olla suvaline (ringid, hulknurgad jne).

Näiteks, Euleri-Venni diagrammide abil saab näidata, et hulk on hulga alamhulk (joonis 3).

Illustreerime ülaltoodud tehteid hulkadega Euleri-Venni diagrammide abil: a) hulkade liit ja; b) määrata ristmik; c) hulga vahe (ilma); d) komplekti lisamine universaalsele komplektile (joon. 4, a, b, sisse, G).

Näide 1 Tõesta identsus Euleri-Venni diagrammide abil.

Lahendus

Konstrueerime hulga täiendi universaalseks hulgaks (joon. 5, a). Komplekt vastab varjutatud alale (joon. 5, b). Seega on näha, et Euleri-Venni diagrammidel on komplektid ja kujutatud seega ühtemoodi.

Näide 2 Näita seda .

Lahendus

Koostame antud identiteedi vasakule poolele vastava hulga. Komplekt on kujutatud varjutatud alaga joonisel fig. 6, a. Komplekt vastab varjutatud alale joonisel fig. 6, b.

Komplekt kujutab mõlemal eelmisel diagrammil varjutatud ala, nii et see on näidatud joonisel fig. 6, sisse tumedam ala.

Koostame antud identiteedi paremale poolele vastava hulga.

Komplektid ja on kujutatud varjutatud alaga joonisel fig. 7, a ja 7, b vastavalt.

Komplekt on näidatud varjutatud alaga joonisel fig. 7, sisse.

Võrreldes joonist fig. 6, sisse ja joon. 7, sisse, näeme, et Euleri-Venni diagrammid on kujutatud samamoodi, seega .

Küsimused ja ülesanded iseseisvaks lahendamiseks

1. Joonistage komplektid Euleri-Venni diagrammide abil:

2. Kirjeldage komplekte, mis vastavad joonisel fig. kaheksa, a, b, sisse, G, kasutades Euleri-Venni diagramme:

3. Kasutage Euleri-Venni diagramme, et näidata, et:

1.4. Komplekttehte omadused

Eespool tutvustatud komplektoperatsioonidel on järgmised omadused.

1. - kommutatiivsus.

2. - Assotsiatiivsus.

3. - jaotus.

4. - idempotentsus.

5. - identiteediseadused.

6. ,, on üksteist täiendavad seadused.

7. - De Morgani seadused.

8. - neeldumisseadused.

9. - liimimise seadused.

10. - Poretski seadused.

Näide 1 Hulgadega tehtavate tehte omaduste põhjal lihtsustage avaldist.

Lahendus

= /de Morgani seadus/ =

= = /jaotusseadus/ =

= = /kommutatiivsuse seadus/ =

= = /jaotusseadus/ =

/kommutatiivsuse seadus/ =

/lisamise seadused/ =

= /kommutatiivsuse ja identiteedi seadused/ =

= = /sümmeetrilise erinevuse definitsioon/ =.

Nagu juba mainitud, on lõpliku hulga kardinaalsuseks selle elementide arv. Järgnev teoreem annab lihtsa reegli kahe hulga liidu kardinaalsuse arvutamiseks.

Kaasamiste ja välistuste teoreem. Kahe hulga liidu võimsus on võrdne nende hulkade astmete summa ja nende lõikepunkti võimsuse vahega, s.o.

Tõestus

Väite tõestust on kõige mugavam illustreerida graafiliselt. Nagu on näidatud joonisel fig. 9, koosneb komplekt alamhulkadest: ja millel ei ole ühiseid elemente. Seetõttu ja.

Tutvustame tähistust:

Q.E.D.

Näide 2 63 ülikoolis informaatikat õppivast esmakursuslasest saavad kõik osaleda lisaloengutes. Kui neist 16 õpivad ka raamatupidamise kursust, 37 õpivad ka ettevõtluse kursust ja 5 õpib mõlemat eriala, siis kui palju on õpilasi, kes nimetatud lisatundidel üldse ei käi?

Lahendus

Tutvustame tähistust:

Seega on õpilaste arv, kes ei osale lisakursustel.

Märkus 1. Kaasamise ja välistamise teoreemi saab sõnastada kolme hulga puhul:

Näide 3 Kursusel on 42 õpilast. Neist 16 tegeleb kergejõustiku, 24 jalgpalli, 15 male, 11 nii kergejõustiku kui ka jalgpalli sektsiooniga; 8 - nii kergejõustikus kui males; 12 - nii jalgpallis kui ka males; ja 6 kõigis kolmes osas. Ülejäänud õpilastele meeldib turism. Kui palju õpilasi on turiste?

Lahendus

Tutvustame tähistust:

Probleemi olukorrast: ,,,,,, ja.

Kust, st turismiga tegelevate õpilaste arv.

Märkus 2.Ülaltoodud ülesannete lahendamisel on mugav kasutada Euleri-Venni diagramme.

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks

Tõesta identiteedid, kasutades hulgatehte atribuute:

2. Sööklasse tuli lõunatama 33 inimest. 10 inimest tellis supi, 16 - pilafi, 30 - kompoti, 7 inimest tellis kõik kolm rooga, 8 inimest tellis supi ja pilafi, 14 inimest supi ja kompoti. Kui paljud tellisid pilafi ja kompotti?

3. Õpilasrühmas õpib inglise keelt 12, saksa keelt 13, prantsuse keelt 16, ainult inglise ja saksa keelt, 3 ainult inglise ja prantsuse keelt, 5 kõiki kolme keelt. Rühmas pole ainult inglise keelt õppivaid õpilasi. Kaks inimest õpivad ainult saksa keelt, kuus inimest ainult prantsuse keelt. Üks õpilane rühmas ei õpi ühtegi loetletud keelt. Kui palju õpilasi rühmas on?

Inimese mõtlemine on korraldatud nii, et maailm on kujutatud eraldiseisvatest "objektidest" koosnevana. Filosoofid on ammu teadnud, et maailm on ühtne lahutamatu tervik ja selles olevate objektide valik pole midagi muud kui meie mõtlemise meelevaldne toiming, mis võimaldab kujundada ratsionaalsele analüüsile ligipääsetava pildi. Kuid olgu kuidas on, objektide ja nende komplektide valik on meie mõtlemise loomulik korrastamise viis, mistõttu pole üllatav, et see on põhilise täpsete teadmiste kirjeldamise vahendi – matemaatika – aluseks.

Hulga mõiste on matemaatika üks põhilisi määratlemata mõisteid. Hulgi kohta teatakse minimaalselt, et see koosneb elementidest. Kindluse mõttes võtame kasutusele järgmised sõnastused.

Definitsioon. hulga all S me mõistame mis tahes kindlate ja eristatavate objektide kogumit, mis on mõeldav ühtse tervikuna. Neid objekte nimetatakse hulga elementideks. S.

Definitsioon. Hulga all mõistetakse seost ühtseks tervikuks teatud üsna eristatavatest objektidest (objektidest), mida nimetatakse nende moodustatud hulga elementideks.

Komplekte tähistatakse tavaliselt ladina tähestiku suurtähtedega: A, B, C, …; ja komplektide elemendid on väiketähtedega: a, b, c, … .

Kui objekt X on komplekti element M, siis nad ütlevad seda X kuulub M: hm. Muidu nad ütlevad seda X ei kuulu M: hm.

Selles intuitiivses definitsioonis, mis kuulub saksa matemaatikule G. Cantorile, on oluline asjaolu, et objektide kogumit peetakse üheks objektiks, ja see on ette nähtud ühtse tervikuna. Mis puutub esemetesse endisse, mida saab komplekti kaasata, siis nende osas on märkimisväärne vabadus.

Näide 1

See võib olla ülikooli üliõpilaste hulk, algarvude kogum jne.

Definitsioon. Palju AGA nimetatakse hulga alamhulgaks AT, kui mõni element on pärit AGA on element AT(tähistatud). Kui a AGA on alamhulk AT ja AT ei ole alamhulk AGA, siis nad ütlevad seda AGA on range (õige) alamhulk AT(tähistatud).

Definitsioon. Elementideta hulka nimetatakse tühjaks (tähistatakse Æ-ga), see on mis tahes hulga alamhulk. Palju U nimetatakse universaalseks, see tähendab, et kõik vaadeldavad hulgad on selle alamhulk.

Mõelge kahele hulga võrdsuse definitsioonile.

Definitsioon. Komplektid AGA ja AT loetakse võrdseteks, kui need koosnevad samadest elementidest, kirjuta A=B, muidu AGA¹ AT.

Definitsioon. Komplektid AGA ja AT loetakse võrdseks, kui

Seal on järgmised hulga määratlemise viise :

1) elementide loetlemine: M = (a 1 , a 2 , …, a k} , st selle elementide loend;

2) iseloomulik predikaat: M = (x | P(x)} (iseloomulike omaduste kirjeldus, mis selle elementidel peaksid olema);

genereerimisprotseduur: M = { x | x= f} , mis kirjeldab, kuidas saada komplekti elemente juba vastuvõetud elementidest või muudest objektidest. Sel juhul on komplekti elemendid kõik objektid, mis võivad olla

1) on ehitatud sellise protseduuri abil. Näiteks kõigi täisarvude hulk, mis on kahe astmed.

kommenteerida. Hulkade määramisel loendamise teel on elementide tähistused tavaliselt suletud sulgudes ja eraldatud komadega. Loend võib määrata ainult lõplikke hulki (hulga elementide arv on lõplik, vastasel juhul nimetatakse hulka lõpmatuks). Iseloomulik predikaat on tingimus, mis on väljendatud loogilise lause või protseduuri kujul, mis tagastab loogilise väärtuse. Kui antud elemendi puhul on tingimus täidetud, siis see kuulub defineeritud hulka, vastasel juhul ei kuulu. Genereerimisprotseduur on protseduur, mis käivitamisel genereerib mõned objektid, mis on määratletava komplekti elemendid. Lõpmatud hulgad defineeritakse iseloomuliku predikaadi või genereerimisprotseduuriga.

Näide 2

1) M = (1, 2, 3, 4)- komplekti elementide loetlemine.

2) on iseloomulik predikaat.

Definitsioon. Lõpliku hulga kardinaalsus AGA on selle elementide arv.

Hulga kardinaalsust tähistatakse: | A|.

Näide 3

|| = 0; |{}| = 1.

Definitsioon. Hulgusid peetakse samaväärseteks, kui nende kardinaalsused on samad.

Definitsioon. Hulga A kõigi alamhulkade hulka nimetatakse Boole'i ​​P(A).

On teada, et kui komplekt AGA sisaldab n elemendid, seejärel komplekt P(A) sisaldab 2 n elemendid. Sellega seoses kasutame ka set-degree hulga tähistust AGA nagu 2 A.

Näide 4

A = (0, 1, 2),P(A) = { , {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}} .

Geomeetriliselt saab hulki esitada Euleri-Venni diagrammide abil. Diagrammi konstruktsioon koosneb suurest ristkülikust, mis kujutab universaalset komplekti U, ja selle sees - ringid (või mõned muud suletud kujundid), mis tähistavad komplekte. Figuurid peavad ristuma ülesandes nõutud kõige üldisemal juhul ja olema vastavalt märgistatud. Diagrammi eri alade sees asuvaid punkte võib pidada vastavate hulga elementideks. Koostatud diagrammi abil on võimalik teatud alasid varjutada, et näidata äsja moodustatud komplekte.

Hulkoperatsioone peetakse olemasolevate hulgast uute hulkade saamiseks.

Definitsioon. Komplektide liit AGA ja AT nimetatakse hulgaks, mis koosneb kõigist elementidest, mis kuuluvad vähemalt ühte hulka AGA,AT(Joonis 1.1):

Riis. 1.1. Euleri-Venni diagramm ühendamiseks

Definitsioon. Määra ristmik AGA ja AT nimetatakse hulgaks, mis koosneb kõigist neist ja ainult nendest elementidest, mis kuuluvad samaaegselt hulka AGA, ja paljud AT(Joonis 1.2):

Riis. 1.2. Euleri-Venni diagramm ristmiku jaoks

Definitsioon. määrata erinevus AGA ja AT on kõigi nende ja ainult nende elementide kogum AGA, mis ei kuulu selle hulka AT(Joonis 1.3):

Riis. 1.3. Euleri-Venni diagramm erinevuse jaoks

Definitsioon. Sümmeetrilise komplekti erinevus AGA ja AT on nende hulkade elementide hulk, mis kuuluvad kas ainult hulka AGA või ainult komplekti AT(Joonis 1.4):

Riis. 1.4. Euleri-Venni diagramm sümmeetrilise erinevuse jaoks

Definitsioon. Komplekti absoluutne täiendus AGA on kõigi nende elementide hulk, mis hulka ei kuulu AGA(Joonis 1.5):

Riis. 1.5. Euleri-Venni diagramm absoluutse täienduse jaoks

Näide 5

Kasutades Euleri-Venni diagramme, tõestame identiteeti:

Mõelge seose vasakpoolsele küljele ja tehke toimingud järjekorras:

1) leida hulkade ristumiskoht AT ja FROM() (joonis 1.6, a);

2) leida saadud hulga liit hulgaga AGA() (joonis 1.6, b).

Mõelge suhte paremale küljele :

1) leida hulkade liit AGA ja AT(joonis 1.6, c);

2) leida hulkade liit AGA ja FROM(riis.

3) leidke kahe viimase hulga ristumiskoht ja ( ) (joonis 6, e):

Mõlemal juhul (joon. 1.6, b) ja (joon. 1.6, e) saame võrdsed hulgad. Seetõttu kehtib algne seos.

Riis. 1.6. Identiteeditõend Euleri-Venni diagrammide abil

Vaatleme hulkade algebra põhiidentiteete. Suvaliste komplektide jaoks AGA,AT, ja FROM kehtivad järgmised seosed (tabel 1.11):

Tabel 1.11 Algebra põhiidentiteedid

Lugu

Definitsioon 1

Leonhard Eulerile esitati küsimus: kas Koenigsbergis ringi liikudes on võimalik mööda minna kõigist linna sildadest, ilma et neist kaks korda läbi tuleks. Lisati seitsme sillaga linna plaan.

Kirjas tuttavale itaalia matemaatikule andis Euler Königsbergi sildade probleemile lühikese ja ilusa lahenduse: sellise paigutusega on probleem lahendamatu. Samas viitas ta, et küsimus tundus talle huvitav, sest. "Selle lahendamiseks ei piisa ei geomeetriast ega algebrast...".

Paljude ülesannete lahendamisel kujutas L. Euler hulki ringide abil, mistõttu neid kutsutigi "Euleri ringid". Seda meetodit kasutas veelgi varem saksa filosoof ja matemaatik Gottfried Leibniz, kes selgitas nende abil mõistetevahelisi loogilisi seoseid geomeetriliselt, kuid sagedamini kasutas lineaardiagramme. Euler aga töötas meetodi üsna põhjalikult välja. Graafilised meetodid said eriti kuulsaks tänu inglise loogikule ja filosoofile John Vennile, kes võttis kasutusele Venni diagrammid ja sarnaseid skeeme nimetatakse sageli nn. Euleri-Venni diagrammid. Neid kasutatakse paljudes valdkondades, näiteks hulgateoorias, tõenäosusteoorias, loogikas, statistikas ja arvutiteaduses.

Diagrammi koostamise põhimõte

Seni on Euleri-Venni diagramme laialdaselt kasutatud mitme hulga kõigi võimalike ristumiskohtade skemaatiliseks kujutamiseks. Diagrammid näitavad kõiki $2^n$ n atribuutide kombinatsioone. Näiteks kui $n=3$, on diagrammil kolm ringi, mille keskpunktid on võrdkülgse kolmnurga tippudes ja sama raadiusega, mis on ligikaudu võrdne kolmnurga külje pikkusega.

Loogilised operatsioonid määratlevad tõesuse tabelid. Diagrammil on kujutatud ring koos selle komplekti nimega, mida see esindab, näiteks $A$. Ringi $A$ keskel olev ala näitab avaldise $A$ õigsust ja ringist väljaspool olev ala on vale. Loogilise toimingu kuvamiseks on varjutatud ainult need alad, milles komplektide $A$ ja $B$ loogilise toimingu väärtused on tõesed.

Näiteks kahe hulga $A$ ja $B$ konjunktsioon on tõene ainult siis, kui mõlemad hulgad on tõesed. Sel juhul on diagrammil $A$ ja $B$ konjunktsiooni tulemuseks ringide keskel olev ala, mis kuulub samaaegselt hulka $A$ ja hulka $B$ (ristmik komplektidest).

Joonis 1. Hulkade $A$ ja $B$ konjunktsioon

Euleri-Venni diagrammide kasutamine loogiliste võrduste tõestamiseks

Vaatleme, kuidas kasutatakse Euleri-Venni diagrammide koostamise meetodit loogiliste võrduste tõestamiseks.

Tõestame de Morgani seadust, mida kirjeldab võrdsus:

Tõestus:

Joonis 4. $A$ inversioon

Joonis 5. $B$ inversioon

Joonis 6. $A$ ja $B$ inversioonide konjunktsioon

Pärast vasaku ja parema osa kuvamise ala võrdlemist näeme, et need on võrdsed. Sellest järeldub loogilise võrdsuse kehtivus. De Morgani seadus on tõestatud Euleri-Venni diagrammide abil.

Internetist teabe otsimise ülesande lahendamine Euleri-Venni diagrammide abil

Internetist teabe otsimiseks on mugav kasutada otsingupäringuid, mille loogilised konnektiivid on tähenduselt sarnased vene keele sidesõnadega "ja", "või". Loogiliste konnektiivide tähendus saab selgemaks, kui illustreerida neid Euleri-Venni diagrammide abil.

Näide 1

Tabelis on näiteid otsinguserveri päringutest. Igal päringul on oma kood – täht $A$ kuni $B$. Peate järjestama päringukoodid iga päringu jaoks leitud lehtede arvu kahanevas järjekorras.

Joonis 7

Lahendus:

Koostame iga päringu jaoks Euleri-Venni diagrammi:

Joonis 8

Vastus: BVA.

Loogilise tähendusliku ülesande lahendamine Euleri-Venni diagrammide abil

Näide 2

Talvevaheajal ei käinud $2$ klassi $36$ õpilastest kinos, teatris ega tsirkuses. 25$ inimesed käisid kinos, 11$ teatris, 17$ tsirkuses; nii kinos kui ka teatris - $6$; ja kinos ja tsirkuses - 10 $; ja teatrisse ja tsirkusesse - 4 dollarit.

Kui palju inimesi on kinos, teatris ja tsirkuses käinud?

Lahendus:

Tähistame kinos, teatris ja tsirkuses käinud meeste arvu – $x$.

Koostame diagrammi ja selgitame välja meeste arvu igas piirkonnas:

Joonis 9

Ei olnud ei teatris, ei kinos ega tsirkuses - $2$ inimese kohta.

Seega 36–2 dollarit = 34 dollarit inimest. üritustel osalenud.

Kinos ja teatris käisid $6$, mis tähendab, et kinos ja teatris käisid ainult ($6 - x)$ inimesed.

10$ inimesed käisid kinos ja tsirkuses, seega ainult kinos ja tsirkuses ($10 - x$) inimesed.

Teatris ja tsirkuses käisid $4$, mis tähendab, et teatris ja tsirkuses käisid ainult teater ja tsirkus ($4 - x$) inimesed.

Kinos käisid $25$, mis tähendab, et kinos käis vaid $25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$.

Samamoodi käisid teatris ainult ($1+x$) inimesed.

Tsirkuses käisid ainult ($3+x$) inimesed.

Niisiis, käisime teatris, kinos ja tsirkuses:

$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34 $;

Need. ainult üks inimene käis teatris, kinos ja tsirkuses.

Lugu

Definitsioon 1

Leonhard Eulerile esitati küsimus: kas Koenigsbergis ringi liikudes on võimalik mööda minna kõigist linna sildadest, ilma et neist kaks korda läbi tuleks. Lisati seitsme sillaga linna plaan.

Kirjas tuttavale itaalia matemaatikule andis Euler Königsbergi sildade probleemile lühikese ja ilusa lahenduse: sellise paigutusega on probleem lahendamatu. Samas viitas ta, et küsimus tundus talle huvitav, sest. "Selle lahendamiseks ei piisa ei geomeetriast ega algebrast...".

Paljude ülesannete lahendamisel kujutas L. Euler hulki ringide abil, mistõttu neid kutsutigi "Euleri ringid". Seda meetodit kasutas veelgi varem saksa filosoof ja matemaatik Gottfried Leibniz, kes selgitas nende abil mõistetevahelisi loogilisi seoseid geomeetriliselt, kuid sagedamini kasutas lineaardiagramme. Euler aga töötas meetodi üsna põhjalikult välja. Graafilised meetodid said eriti kuulsaks tänu inglise loogikule ja filosoofile John Vennile, kes võttis kasutusele Venni diagrammid ja sarnaseid skeeme nimetatakse sageli nn. Euleri-Venni diagrammid. Neid kasutatakse paljudes valdkondades, näiteks hulgateoorias, tõenäosusteoorias, loogikas, statistikas ja arvutiteaduses.

Diagrammi koostamise põhimõte

Seni on Euleri-Venni diagramme laialdaselt kasutatud mitme hulga kõigi võimalike ristumiskohtade skemaatiliseks kujutamiseks. Diagrammid näitavad kõiki $2^n$ n atribuutide kombinatsioone. Näiteks kui $n=3$, on diagrammil kolm ringi, mille keskpunktid on võrdkülgse kolmnurga tippudes ja sama raadiusega, mis on ligikaudu võrdne kolmnurga külje pikkusega.

Loogilised operatsioonid määratlevad tõesuse tabelid. Diagrammil on kujutatud ring koos selle komplekti nimega, mida see esindab, näiteks $A$. Ringi $A$ keskel olev ala näitab avaldise $A$ õigsust ja ringist väljaspool olev ala on vale. Loogilise toimingu kuvamiseks on varjutatud ainult need alad, milles komplektide $A$ ja $B$ loogilise toimingu väärtused on tõesed.

Näiteks kahe hulga $A$ ja $B$ konjunktsioon on tõene ainult siis, kui mõlemad hulgad on tõesed. Sel juhul on diagrammil $A$ ja $B$ konjunktsiooni tulemuseks ringide keskel olev ala, mis kuulub samaaegselt hulka $A$ ja hulka $B$ (ristmik komplektidest).

Joonis 1. Hulkade $A$ ja $B$ konjunktsioon

Euleri-Venni diagrammide kasutamine loogiliste võrduste tõestamiseks

Vaatleme, kuidas kasutatakse Euleri-Venni diagrammide koostamise meetodit loogiliste võrduste tõestamiseks.

Tõestame de Morgani seadust, mida kirjeldab võrdsus:

Tõestus:

Joonis 4. $A$ inversioon

Joonis 5. $B$ inversioon

Joonis 6. $A$ ja $B$ inversioonide konjunktsioon

Pärast vasaku ja parema osa kuvamise ala võrdlemist näeme, et need on võrdsed. Sellest järeldub loogilise võrdsuse kehtivus. De Morgani seadus on tõestatud Euleri-Venni diagrammide abil.

Internetist teabe otsimise ülesande lahendamine Euleri-Venni diagrammide abil

Internetist teabe otsimiseks on mugav kasutada otsingupäringuid, mille loogilised konnektiivid on tähenduselt sarnased vene keele sidesõnadega "ja", "või". Loogiliste konnektiivide tähendus saab selgemaks, kui illustreerida neid Euleri-Venni diagrammide abil.

Näide 1

Tabelis on näiteid otsinguserveri päringutest. Igal päringul on oma kood – täht $A$ kuni $B$. Peate järjestama päringukoodid iga päringu jaoks leitud lehtede arvu kahanevas järjekorras.

Joonis 7

Lahendus:

Koostame iga päringu jaoks Euleri-Venni diagrammi:

Joonis 8

Vastus: BVA.

Loogilise tähendusliku ülesande lahendamine Euleri-Venni diagrammide abil

Näide 2

Talvevaheajal ei käinud $2$ klassi $36$ õpilastest kinos, teatris ega tsirkuses. 25$ inimesed käisid kinos, 11$ teatris, 17$ tsirkuses; nii kinos kui ka teatris - $6$; ja kinos ja tsirkuses - 10 $; ja teatrisse ja tsirkusesse - 4 dollarit.

Kui palju inimesi on kinos, teatris ja tsirkuses käinud?

Lahendus:

Tähistame kinos, teatris ja tsirkuses käinud meeste arvu – $x$.

Koostame diagrammi ja selgitame välja meeste arvu igas piirkonnas:

Joonis 9

Ei olnud ei teatris, ei kinos ega tsirkuses - $2$ inimese kohta.

Seega 36–2 dollarit = 34 dollarit inimest. üritustel osalenud.

Kinos ja teatris käisid $6$, mis tähendab, et kinos ja teatris käisid ainult ($6 - x)$ inimesed.

10$ inimesed käisid kinos ja tsirkuses, seega ainult kinos ja tsirkuses ($10 - x$) inimesed.

Teatris ja tsirkuses käisid $4$, mis tähendab, et teatris ja tsirkuses käisid ainult teater ja tsirkus ($4 - x$) inimesed.

Kinos käisid $25$, mis tähendab, et kinos käis vaid $25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$.

Samamoodi käisid teatris ainult ($1+x$) inimesed.

Tsirkuses käisid ainult ($3+x$) inimesed.

Niisiis, käisime teatris, kinos ja tsirkuses:

$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34 $;

Need. ainult üks inimene käis teatris, kinos ja tsirkuses.