Kahte maatriksi saab korrutada ainult siis, kui neist esimeses on täpselt sama palju veerge kui teise ridade arv. Väärtused ise võivad olla mitte ainult terviklikud, vaid ka osalised. Olles saanud selle ülesande arvutamise ärakirja, saate aru, kuidas korrutamine toimub. See säästab teie aega ja aitab teil paremini mõista andmetöötluse keerukust.

Oletame, et teil on kaks maatriksit ja peate leidma nende korrutise. See veebikalkulaator aitab teil seda kiiresti ja suurima täpsusega teha. See mitte ainult ei korruta paari minutiga raskusteta kahte maatriksit, vaid võimaldab teil ka nende arvutuste algoritmi üksikasjalikumalt mõista. Seega aitab veebikalkulaatori kasutamine teoorias käsitletud materjali koondada. Arvutused võib ka esmalt käsitsi teha ja siis siit üle vaadata, see on suurepärane ajutreening.

Selle veebikalkulaatori kasutamise juhised pole keerulised. Maatriksite võrgus korrutamiseks määrake esmalt veergude ja ridade arv esimeses maatriksis, klõpsates maatriksist vasakul ja selle all asuvatel ikoonidel "+" või "-". Seejärel sisestage numbrid. Korrake samu toiminguid teise maatriksiga. Seejärel jääb üle vaid klõpsata nupul "Arvuta" - ja näete soovitud väärtust koos üksikasjaliku arvutusalgoritmiga.

koosnevad t read ja P veerge nimetatakse suurusmaatriksiks n× m. Numbrid a 11 , a 12 , ..., a mn helistas talle elemendid. Maatriksit tähistav tabel on kirjutatud sulgudes ja tähistatud A = (a ij ).

Kui maatriksi ridade arv on võrdne selle veergude arvuga, nimetatakse maatriksit nn. ruut, ja selle ridade arv, mis on võrdne veergude arvuga, - korras ruutmaatriks.

Nimetatakse kõigi ruutmaatriksi elementide kogumit, mis asuvad lõigul, mis ühendab vasaku ülanurga alumise paremaga peamine diagonaal ja segmendil, mis ühendab paremat ülemist nurka alumise vasakuga - külgmine diagonaal.

Ruutmaatriksit nimetatakse diagonaal, kui kõik selle elemendid, mis ei asu põhidiagonaalil, on võrdsed nulliga. Ruutmaatriksit, mille põhidiagonaalil olevad elemendid on võrdsed ühega ja ülejäänud on nullid, nimetatakse vallaline ja tähistatud E.

Kaks maatriksit ja nimetatakse võrdne, kui nende ridade ja veergude arv on võrdne ja kui nende maatriksite vastavates kohtades olevad elemendid on võrdsed.

Nimetatakse maatriksit, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga null ja seda tähistatakse H.

Definitsiooni järgi maatriksi korrutamiseks AGA numbri r järgi vajate maatriksi iga elementi AGA korrutada r-ga.

Näide. Antud maatriks A =
, leidke maatriks 3 AGA.

3 A = 3
=

maatriksite summa AGA ja AT nimetatakse maatriksit C, mille elemendid on võrdsed maatriksite vastavate elementide summadega AGA ja AT. Maatriksiid saab lisada ainult sama arvu ridade ja veergudega.

Näide. Maatriksi andmed A =
ja AT =
. Otsige üles Matrix C = A + B.

C =

Maatriksi lisamise omadused:

A+B=B+A

(A+B)+ C \u003d A + (B + C)

AGA + H = AGA

Matrix toode AGA maatriksiks AT on määratletud ainult siis, kui maatriksi veergude arv AGA võrdub maatriksi ridade arvuga AT. Korrutamise tulemusena saadakse maatriks AB, millel on nii palju ridu kui maatriksis AGA ja nii palju veerge, kui maatriksis on AT.

Kahe maatriksi korrutis AGA (m× lk) ja AT(lk× n) nimetatakse maatriksiks FROM (m× n), mille elemendid on määratud reegliga

FROM ij =

kommenteerida. Kahe maatriksi korrutamiseks vajate elemente i-esimese maatriksi elementidega korrutatud rida j teise maatriksi veergu ja lisage saadud produktid. Hankige indeksiga uue maatriksi element ij.

Näide. Maatriksid a ja b on antud. ;. Leia maatriksite korrutis av.

AB=

=
=

Näide. Maatriksi andmed AGA ja AT. AGA=
ja B = .

Lahendus: A =(2x3) AT= (3X2) => AB =(2x2)

AB=
 =
=

Maatriksi korrutamise omadused:

AB VA;

(AB)C=A(BC);

AE= EA= AGA

(AB)k = (AB)k = A(Bk)

(A+B)C = AB+BC

A(B+C) = AB + AC/

Transponeeritud maatriks A T Maatriksiks nimetatakse maatriksiks, milles veergude asemel kirjutatakse read ja ridade asemel veerud.

Näide. Laske maatriksil A=
, siis

AGA T =

Determinandid.

teist järku determinant, vastavad maatriksile AGA =
, helistas numbrile
=a 11 a 22 - a 12 a 21 .

Näide. Arvutage teist järku determinandiga.

\u003d 1 (-3) - 2 4 \u003d -11.

kolmandat järku determinant, vastavad maatriksile

AGA =
, helistas numbrile
=a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 13 a 22 a 31 - a 12 a 21 a 33 -a 11 a 23 a 32.

Et meeles pidada, millised võrdsuse paremal küljel olevad tooted tuleks võtta märgiga "+" ja millised "-" märgiga, on kasulik kasutada reeglit, mida nimetatakse kolmnurga reegliks, mis on näidatud joonisel 1. üks.

« + » « - »

1. pilt.

Näide. Arvuta determinant

Teine viis kolmandat järku determinantide arvutamiseks on viis, kuidas arvutada kolmandat järku determinandid, see seisneb kahe esimese veeru liitmises, korrutiste leidmises piki põhidiagonaali ja sellega paralleele ning piki sekundaarset diagonaali ja sellega paralleele.

= a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 13 a 22 a 31 - a 12 a 21 a 33 -a 11 a 23 a 32.

Kvalifitseerija omadused:

Kui determinandis on kaks rida (veergu) vahetatud, muutub selle märk vastupidiseks.

Kui determinandis ridu ja veerge vahetatakse, siis selle märk ja väärtus ei muutu.

Kui determinandi kaks rida on võrdelised (võrdsed), siis on see võrdne nulliga.

Kui mõni determinandi rida (veerg) korrutatakse mõne arvuga ja liidetakse teisele reale (veerule), siis selle väärtus ei muutu.

Kui determinandis on mõne rea (veeru) elementidel ühine tegur, siis saab selle determinandi märgist välja võtta.

Kui determinant sisaldab nulli rida või veergu, on see võrdne nulliga.

Alaealine M ij määrav element a ij nimetatakse determinandiks, mis on saadud originaalist kustutamise teel i- oh line ja j veerg, millel see element asub.

Algebraline komplement A ij määrav element a ij nimetatakse minoorseks korrutis (-1) i + j .

Kolmas viis determinantide arvutamiseks on laiendusteoreem.

Dekompositsiooni teoreem: Determinant on võrdne mis tahes rea (veeru) elementide ja nende algebraliste komplementide korrutiste summaga.

Näide. Arvutage kolmandat järku determinant , laiendades determinandi üle esimese rea elementide.

= 5 (-1) 1+1 + 3 (-1) 1+2
+ 2 (-1) 1+3
= 68.

Sama determinandi saab arvutada omaduse 4) abil ja seejärel rakendada laiendusteoreemi. Meie näites moodustame esimesse veergu nullid. Selleks lisage esimese rea elementidele teise rea elemendid, korrutatuna 5-ga, ja lisage teise rea elemendid, korrutatuna 7-ga, kolmanda rea ​​elementidele. Ja laiendage saadud maatriksit esimese veeru elementide järgi.

=
= 0
- (-1)
+0
=
\u003d 13 34 - 17 22 \u003d 68.

Mõne sekundi pärast annab server täpse lahenduse. Maatriksi korrutamine võrgus saab maatriks, mille iga elementi hinnatakse skalaarina tööd esimese maatriksi read teise maatriksi vastavatesse veergudesse vastavalt reeglile maatrikskorrutised. Kell maatriksi korrutamine võrgus, on tulemuseks saadud maatriksi iga element korrutamineühe maatriksi read teise maatriksi veergudeks vastavalt reeglile maatrikstooted. Otsi võrgutöö kaks maatriksid lubatud mõõtmed vähendatakse leidmiseni maatriksid nende vastavad mõõtmed. Operatsioon korrutamine võrgus kaks maatriksid mõõtmed NxK ja KxM taandatakse leidmisele maatriksid mõõtmed MxN. Selle elemendid maatriksid moodustada skalaar tööd korrutatud maatriksid, see on tulemus maatriksi korrutamine võrgus. Ülesande leidmine maatriksitooted võrgus või operatsioon maatriksi korrutamine võrgus peitub korrutamine ridadest veergudesse maatriksid reegli järgi maatrikskorrutised. www.sait leiab maatrikstoode režiimis antud mõõtmed võrgus. Maatriksi korrutamine võrgus antud dimensioonist on maatriksi vastava mõõtme leidmine, mille elemendid on skalaarsed töötab vastavad read ja veerud korrutatud maatriksid. Leidmine maatriksitooted võrgus teoreetiliselt laialt levinud maatriksid, samuti lineaaralgebra. Maatriksite korrutis võrgus kasutatakse saadud maatriksi määramiseks alates korrutamine antud maatriksid. Selleks, et arvutada maatrikstoode või määratleda maatriksi korrutamine võrgus, peate kulutama palju aega, kuni meie server leiab maatriksite korrutis võrgus alates korrutamine kaks antud maatriksid võrgus. Sel juhul vastus leidmisega maatrikstooted on õiged ja piisava täpsusega, isegi kui numbrid maatriksi korrutamine võrgus saab olema irratsionaalne. Kohapeal www.sait märkide sisestamine on elementides lubatud maatriksid, see on maatriksite korrutis võrgus saab esitada üldises sümboolses vormis koos maatriksi korrutamine võrgus. Kasulik on kontrollida ülesande lahendamisel saadud vastust maatriksi korrutamine võrgus saidi kasutades www.sait. Operatsiooni tegemisel maatriksi korrutamine võrgus peate probleemi lahendamisel olema tähelepanelik ja äärmiselt keskendunud. Meie sait omakorda aitab teil kontrollida oma otsust sellel teemal maatriksi korrutamine võrgus. Kui teil pole aega lahendatud probleemide pikaks kontrollimiseks, siis www.sait on kindlasti mugav vahend kontrollimiseks maatriksi korrutamine võrgus.

Esiteks, MIS peaks olema kolme maatriksi korrutamise tulemus? Kass ei sünnita hiirt. Kui maatrikskorrutamine on teostatav, on tulemuseks ka maatriks. Noh, minu algebraõpetaja ei saa aru, kuidas ma seletan algebralise struktuuri suletust selle elementide suhtes =)

Kolme maatriksi korrutist saab arvutada kahel viisil:

1) leida ja korrutada maatriksiga "ce": ;

2) kas esmalt leida , seejärel sooritada korrutamine.

Tulemused langevad tingimata kokku ja teoreetiliselt seda omadust nimetatakse maatriksikorrutamise assotsiatiivsuseks:

Näide 6

Maatriksite korrutamine kahel viisil

Algoritm lahendusi kahesammuline: leia kahe maatriksi korrutis, siis jälle kahe maatriksi korrutis.

1) Kasutage valemit

Esimene toiming:

Teine toiming:

2) Kasutage valemit

Esimene toiming:

Teine toiming:

Vastus:

Tuttavam ja standardsem on muidugi esimene lahendusviis, seal "nagu oleks kõik korras". Muide, tellimuse kohta. Vaadeldava ülesande puhul tekib sageli illusioon, et jutt käib mingist maatriksite permutatsioonist. Neid pole siin. Tuletan teile seda veel kord meelde üldiselt EI TOHI MAATRIKSID ASENDADA. Niisiis, teises lõigus, teises etapis, teostame korrutamise, kuid mitte mingil juhul. Tavaliste numbritega läheks selline arv läbi, aga maatriksitega mitte.

Korrutamise assotsiatiivsuse omadus ei kehti mitte ainult ruudu, vaid ka suvaliste maatriksite puhul - seni, kuni need on korrutatud:

Näide 7

Leia kolme maatriksi korrutis

See on tee-seda-ise näide. Näidislahenduses viidi arvutused läbi kahel viisil, analüüsida, kumb on tulusam ja lühem.

Maatriksi korrutamise assotsiatiivsuse omadus ilmneb suurema hulga tegurite puhul.

Nüüd on aeg naasta maatriksite jõudude juurde. Maatriksi ruutu vaadeldakse kohe alguses ja see on päevakorras.

Maatrikskorrutis- üks põhitehteid maatriksitega. Korrutustehte tulemusel saadud maatriksit nimetatakse maatriksite korrutis.

tööd Suurusmaatriksil olevat suurusmaatriksit nimetatakse suurusmaatriksiks, mille elemendid arvutatakse valemiga

Kahe maatriksi korrutamine on teostatav ainult siis, kui esimese teguri veergude arv on võrdne teise teguri ridade arvuga; sel juhul ütleme, et maatriksite kuju nõus. Eelkõige on korrutamine alati teostatav, kui mõlemad tegurid on sama järgu ruutmaatriksid.

Leidke maatriksite korrutised AB ja BA, kui

ja

Lahendus: meil on

tagasi sisu juurde

(38) 87. Milliseid tehteid nimetatakse kommutatiivseteks? Näidake näidete abil, et maatrikskorrutis ei ole kommutatiivne.

Kommutatiivsus = Permutatiivsus.

Tavalisi numbreid saab ümber paigutada: , ja maatriksid üldiselt ei pendelda: .

Milliseid maatrikseid saab korrutada?

Maatriksi korrutamiseks maatriksiga nii et maatriksi veergude arvoli võrdne maatriksi ridade arvuga.

Näide: Kas maatriksit on võimalik maatriksiga korrutada?

Seega saate maatriksi andmeid korrutada.

Kuid kui maatriksid ümber paigutada, pole sel juhul korrutamine enam võimalik!

Seetõttu on korrutamine võimatu:

Harvad pole ka nipiga ülesanded, mil õpilasel palutakse korrutada maatriksid, mille korrutamine on ilmselgelt võimatu.

Tuleb märkida, et mõnel juhul on maatriksite korrutamine võimalik mõlemal viisil. Näiteks maatriksite puhul on võimalikud nii korrutamine kui ka korrutamine

tagasi sisu juurde

(39) 88. Mis on identsus- ja pöördmaatriksid? Kuidas konstrueeritakse (Gaussi) pöördmaatriks?

Olgu a ruutmaatriks järku n. Pöördmaatriks on maatriks A -1, nii et A -1 *A=E (siin A -1 ja E on sama järjekorra ruutmaatriksid ja E on identsusmaatriks).

See definitsioon ei tähenda üldse, et mis tahes maatriksi A jaoks eksisteeriks pöördmaatriks.

(0 0) - see rida viib selleni, et selle maatriksi korrutise esimene rida mis tahes muuga koosneb ainult nullidest (identiteedimaatriksis see nii ei ole)

Pöördmaatriksi leidmine Gaussi meetodil.