Füüsikaliste ja matemaatikateaduste doktor A. DMITRIJEV, Venemaa Teaduste Akadeemia (Moskva) Raadiotehnika ja elektroonikainstituudi juhtivteadur.

Dünaamiline (deterministlik) kaos ja fraktalid on mõisted, mis jõudsid maailma teaduslikku pilti suhteliselt hiljuti, alles 20. sajandi viimasel veerandil. Sellest ajast peale pole huvi nende vastu kadunud mitte ainult spetsialistide - füüsikute, matemaatikute, bioloogide jne, vaid ka teaduskaugete inimeste seas. Fraktaalide ja deterministliku kaosega seotud uuringud muudavad paljusid tavalisi ettekujutusi meid ümbritseva maailma kohta. Ja mitte mikroobjektide maailmast, kus inimsilm on ilma erivarustuseta jõuetu, ja mitte kosmilise mastaabiga nähtustest, vaid kõige tavalisematest objektidest: pilvedest, jõgedest, puudest, mägedest, heintest. Fraktalid sunnivad meid ümber vaatama oma vaateid looduslike ja tehisobjektide geomeetrilistele omadustele ning dünaamiline kaos toob radikaalseid muudatusi arusaamast sellest, kuidas need objektid võivad ajas käituda. Nende kontseptsioonide põhjal välja töötatud teooriad avavad uusi võimalusi erinevates teadmisvaldkondades, sealhulgas info- ja kommunikatsioonitehnoloogiates.

Teadus ja elu // Illustratsioonid

Puudel, nagu ka paljudel teistel looduses esinevatel objektidel, on fraktaalstruktuur.

Teadus ja elu // Illustratsioonid

Krimmi mänd (vasakul) ja tehisfraktaalstruktuur (paremal) on märkimisväärselt sarnased.

Võnkuahela reaktsioon välisele perioodilisele signaalile: a - lineaarse ahela perioodiline reaktsioon, b - mittelineaarse ahela kaootiline reaktsioon. Mittelineaarse mahtuvuse rolli täidab pooljuhtdioodi p-n-siirde.

Dünaamilise süsteemi liikumist saab visualiseerida trajektoori abil faasitasandil, kus X- ja Y-telg on osakese üldistatud koordinaat ja impulss. a - summutatud pendli võnkumised.

Näited kaosega süsteemidest.

Teadus ja elu // Illustratsioonid

Peamised viisid kaootiliste süsteemide sünkroniseerimiseks: a - globaalsete ühenduste kaudu: iga süsteem mõjutab igaüht; b - südamestimulaatori või "stimulaatori" abil: üks süsteemidest määrab rütmi kõigile teistele elementidele.

Teadus ja elu // Illustratsioonid

Näide teabe salvestamisest deterministliku kaose abil.

Venemaa Teaduste Akadeemia Raadiotehnika ja elektroonikainstituudi InformChaose laboratooriumi töötajad A. I. Panas ja S. O. Starkov viivad läbi katset kiire otsese kaootilise andmeedastuse kohta mikrolainealas (ülal).

Nii näevad välja kaootilised mikrolainevõnkumised, mis võimaldavad tõsta infoedastuskiirust traditsiooniliste süsteemidega võrreldes kümneid kordi.

Mis on fraktal?

Fraktalid on kõikjal meie ümber, nii mägede piirjoontes kui ka mereranniku looklevas joones. Mõned fraktaalid muutuvad pidevalt, näiteks liikuvad pilved või värelevad leegid, samas kui teised, nagu puud või meie veresoonte süsteemid, säilitavad evolutsioonilise struktuuri.
H. O. Peigen ja P. H. Richter.

Geomeetria, mida me koolis õppisime ja mida igapäevaelus kasutame, ulatub tagasi Eukleidesse (umbes 300 eKr). Kolmnurgad, ruudud, ringid, rööpkülikud, rööptahukad, püramiidid, kuulid, prismad on klassikalise geomeetria jaoks tüüpilised objektid. Inimtehtud objektid sisaldavad tavaliselt neid kujundeid või nende fragmente. Looduses pole need aga nii levinud. Tõepoolest, kas näiteks metsakaunitarid näevad välja nagu mõni loetletud esemetest või nende kombinatsioon? On hästi näha, et erinevalt Eukleidese vormidest ei ole loodusobjektidel siledust, nende servad on katkised, sakilised, pinnad on karedad, korrodeerunud pragudest, läbikäikudest ja aukudest. "Miks nimetatakse geomeetriat sageli külmaks ja kuivaks? Üks põhjus on võimetus kirjeldada pilve, mäe, puu või merekalda kuju. Pilved ei ole kerad, mäed ei ole koonused, rannajooned ei ole ringid ja maakoor ei ole sile." , ja välk ei liigu sirgjooneliselt. Loodus näitab meile mitte ainult kõrgemat, vaid hoopis teistsugust keerukuse taset, "- algavad need sõnad" Looduse fraktalgeomeetria "kirjutanud Benoit Mandelbrot . Just tema võttis 1975. aastal esmakordselt kasutusele fraktali mõiste – ladinakeelsest sõnast fractus, purustatud kivi, lõhenenud ja ebaregulaarne. Selgub, et peaaegu kõik looduslikud moodustised on fraktaalstruktuuriga. Mida see tähendab? Kui vaadata fraktaalobjekti tervikuna, siis selle osa suurendatud skaalal, siis selle osa osa jne, on hästi näha, et need näevad välja ühesugused. Fraktalid on isesarnased – nende kuju reprodutseeritakse erinevatel mõõtkavadel.

Fraktalide avastamine muutis revolutsiooni mitte ainult geomeetrias, vaid ka füüsikas, keemias ja bioloogias. Fraktalalgoritmid on leidnud rakendust ka infotehnoloogiates, näiteks loodusmaastike kolmemõõtmeliste arvutipiltide sünteesiks, andmete kokkusurumiseks (tihendamiseks) (vt "Teadus ja elu" nr 4, 1994; nr 8, 12). , 1995; nr 7, 1998). Lisaks näeme, et fraktali mõiste on tihedalt seotud teise mitte vähem uudishimuliku nähtusega - kaosega dünaamilistes süsteemides.

Determinism ja kaos

KAOS (Kreeka caos) - kreeka mütoloogias piiramatu ürgmass,
millest hiljem moodustati
kõike, mis on olemas. Ülekantud tähenduses - segadus, segadus.
Entsüklopeedia
Cyril ja Methodius

Kui nad räägivad teatud süsteemi determinismist, siis mõtlevad nad selle all, et selle käitumist iseloomustab ühemõtteline põhjuslik seos. See tähendab, et teades süsteemi algtingimusi ja liikumisseadust, on võimalik täpselt ennustada selle tulevikku. Just see universumi liikumise idee on iseloomulik klassikalisele Newtoni dünaamikale. Kaos, vastupidi, tähendab kaootilist, juhuslikku protsessi, mil sündmuste kulgu ei ole võimalik ette näha ega taasesitada. Mis on deterministlik kaos – kahe vastandliku mõiste näiliselt võimatu liit?

Alustame lihtsast kogemusest. Keermel riputatud pall kaldub vertikaalselt kõrvale ja vabastatakse. On kõikumisi. Kui kuul on veidi kõrvale kaldunud, kirjeldatakse selle liikumist lineaarvõrranditega. Kui kõrvalekalle on tehtud piisavalt suureks, ei ole võrrandid enam lineaarsed. Mis sellega muutub? Esimesel juhul ei sõltu võnkesagedus (ja vastavalt ka periood) alghälbe astmest. Teises - selline sõltuvus toimub. Mehaanilise pendli kui võnkesüsteemi täielik analoog on võnkeahel ehk "elektriline pendel". Lihtsamal juhul koosneb see induktiivpoolist, kondensaatorist (mahtuvus) ja takistist (takistus). Kui kõik need kolm elementi on lineaarsed, on ahela võnkumised samaväärsed lineaarse pendli võnkumisega. Kuid kui näiteks mahtuvus on mittelineaarne, sõltub võnkeperiood nende amplituudist.

Võnkuahela dünaamika määravad kaks muutujat, näiteks voolutugevus ahelas ja pinge mahtuvusel. Kui joonistada need suurused piki X- ja Y-telge, siis vastab süsteemi iga olek saadud koordinaattasandi teatud punktile. Seda lennukit nimetatakse faasis. (Vastavalt juhul, kui dünaamiline süsteem on määratletud n muutujad, siis saab kahemõõtmelise faasitasandi asemel panna selle vastavusse n- mõõtmete faasiruum.)

Nüüd hakkame oma pendlitele välise perioodilise signaaliga tegutsema. Lineaarsete ja mittelineaarsete süsteemide reaktsioon on erinev. Esimesel juhul luuakse järk-järgult regulaarsed perioodilised võnkumised sama sagedusega kui sõidusignaali sagedus. Faasitasandil vastab selline liikumine suletud kõverale, mida nimetatakse meelitaja(inglise verbist meelitada- meelitada), on pidevat protsessi iseloomustavate trajektooride kogum. Mittelineaarse pendli puhul võivad tekkida keerulised mitteperioodilised võnked, kui trajektoor faasitasandil meelevaldselt pika aja jooksul ei sulgu. Sel juhul sarnaneb deterministliku süsteemi käitumine väliselt täiesti juhusliku protsessiga - see on nähtus dünaamiline ehk deterministlik kaos. Pilt kaosest faasiruumis - kaootiline atraktor- on väga keerulise struktuuriga: see on fraktal. Oma ebatavaliste omaduste tõttu nimetatakse seda ka kummaline ligitõmbaja .

Miks täpselt määratletud seaduste järgi arenev süsteem käitub kaootiliselt? Kõrvaliste müraallikate mõjul, aga ka kvanttõenäosusel ei ole antud juhul sellega mingit pistmist. Kaose tekitab mittelineaarse süsteemi sisemine dünaamika – selle omadus eraldada eksponentsiaalselt kiiresti meelevaldselt lähedasi trajektoore. Sellest tulenevalt sõltub trajektooride kuju väga tugevalt algtingimustest. Selgitame, mida see tähendab mittelineaarse võnkeahela näitel välise perioodilise signaali mõjul. Toome oma süsteemi sisse väikese häire - muudame veidi kondensaatori algset laengut. Siis muutuvad algselt praktiliselt sünkroonsed võnked häiritud ja häirimata ahelates üsna pea täiesti erinevaks. Kuna reaalses füüsikalises eksperimendis on võimalik lähtetingimusi seada vaid lõpliku täpsusega, siis on kaootiliste süsteemide käitumist pikaks ajaks võimatu ennustada.

tuleviku ennustus

- Sellise väiksuse pärast! Liblika pärast! karjus Eckels.
Ta kukkus põrandale, graatsiline väike olend, kes suudab tasakaalu murda, väikesed doominoklotsid kukkusid... suured doominoklotsid... tohutud doominoklotsid, mis on ühendatud lugematute aastate ahelaga, mis moodustab aja.
R. Bradbury. Äikese heli

Kui organiseeritud on meie elu? Kas teatud sündmused on selles ette määratud? Mis on ennustatav paljudeks aastateks ja mida ei ennustata usaldusväärselt isegi lühikeste ajavahemike järel?

Inimene peab pidevalt tegelema erinevate dünaamiliste süsteemide tekitatud korrastatud ja korratute protsessidega. Me teame, et Päike tõuseb ja loojub iga 24 tunni järel ning jätkab seda kogu meie elu jooksul. Peale talve tuleb alati kevad ja vaevalt, et see kunagi vastupidi läheb. Meid valguse ja soojaga varustavad avalikud teenused, asutused ja kauplused, aga ka transpordisüsteemid (bussid, trollid, metroo, lennukid, rongid) toimivad enam-vähem korrapäraselt. Nende süsteemide rütmilise töö rikkumised põhjustavad kodanike õigustatud nördimust ja nördimust. Kui ebaõnnestumised esinevad korduvalt, räägivad nad kaosest, väljendades negatiivset suhtumist sellistesse nähtustesse.

Kuid samal ajal on protsesse, mis on hästi tuntud oma ettearvamatuse poolest. Näiteks mündi viskamisel ei tea me kunagi kindlalt, kas see kerkib pea või saba. Selline ettearvamatus ei ole murettekitav. Ruletti mängides võib see kaasa tuua palju dramaatilisemaid tagajärgi, kuid need, kellele meeldib saatust ahvatleda, võtavad selle riski teadlikult.

Miks on mõned protsessid oma tulemustes etteaimatavad, teised aga mitte? Võib-olla pole meil hea prognoosi jaoks piisavalt algandmeid? Vaja on teadmisi algtingimuste kohta täiendada – ja kõik saab korda, nii mündi kui ka ilmateate osas. Laplace ütles: andke mulle kogu universumi algtingimused ja ma arvutan selle tuleviku välja. Laplace eksis: tema ega ta kaasaegsed ei teadnud näiteid deterministlikest dünaamilistest süsteemidest, mille käitumist ei saa pikka aega ennustada. Alles 19. sajandi lõpus tundis prantsuse matemaatik Henri Poincaré esimest korda, et see on võimalik. Siiski möödus veel kolmveerand sajandit, enne kui algas deterministliku kaose kiire uurimise ajastu.

Dünaamilised süsteemid võib tinglikult jagada kahte tüüpi. Esimeste jaoks on liikumistrajektoorid stabiilsed ja neid ei saa väikeste häiretega oluliselt muuta. Sellised süsteemid on etteaimatavad – seepärast teame, et Päike tõuseb homme, aasta ja saja aasta pärast. Tuleviku määramiseks sel juhul piisab liikumisvõrrandite tundmisest ja algtingimuste seadmisest. Väiksed muutused viimaste väärtustes toovad prognoosis kaasa vaid ebaolulise vea.

Teine tüüp hõlmab dünaamilisi süsteeme, mille käitumine on ebastabiilne, nii et suvaliselt väikesed häired viivad kiiresti (sellele süsteemile iseloomuliku ajaskaala järgi) trajektoori kardinaalse muutumiseni. Nagu Poincaré oma teoses "Teadus ja meetod" (1908) märkis, põhjustab ebastabiilsetes süsteemides "täiesti tähtsusetu põhjus, mis jääb meist oma väiksuses kõrvale, olulise mõju, mida me ei oska ette näha. (...) Ennustamine muutub võimatuks, meie ees on juhuslik nähtus. Seega kaotab pikkade perioodide prognoosimine igasuguse mõtte.

Eespool käsitletud mittelineaarse võnkeahela näide näitab, et kaootilist käitumist ettearvamatu tulevikuga võib esineda isegi väga lihtsates süsteemides.

Mineviku rekonstrueerimine

Seetõttu pole tulevikku alati võimalik ennustada. Ja mis saab minevikust? Kas minevikku on alati võimalik rekonstrueerida ("ennustada", ühemõtteliselt tõlgendada)? Näib, et siin ei tohiks probleeme olla. Kuna edasiliikumisel liiguvad trajektoorid üksteisest eemale, siis tahapoole liikudes peavad nad koonduma. Nii nagu see on. Kuid suundi, mida mööda võib toimuda trajektooride lähenemine või lahknemine faasiruumis, ei ole üks, vaid mitu. Liikudes nii edasi kui ka tagasi, võivad trajektoorid koonduda mööda ühte osa suundadest, kuid lahkneda mööda teist.

Minevik pole "ennustatav"? See on mingi jama! Midagi on ju juba juhtunud. Kõik on teada... Aga mõelgem selle üle. Kui mineviku rekonstrueerimisega oli kõik nii lihtne, siis kuidas sai juhtuda, et mõne jaoks on Nikolai II endiselt verine, kuid mõne jaoks pühak? Ja kes üldse on Stalin: geenius või kaabakas? Heidame esialgu kõrvale probleemist, kui vabad nad teatud otsuseid langetama olid, mil määral olid need otsused olude poolt ette määratud ja millised võivad olla alternatiivsete otsuste tagajärjed. Vaatleme ajaloolist protsessi kui mingi hüpoteetilise kaootilise süsteemi dünaamikat. Siis, püüdes minevikku rekonstrueerida, kohtame kiiresti kasvavat hulka võimalusi (trajektoore), mis vastavad süsteemi hetkeseisule. Ainult üks neist vastab sündmuste tegelikule käigule. Kui valite mitte tema, vaid mõne teise, saate ajaloost juba moonutatud "versiooni". Mille alusel valitakse õige trajektoor ("versioon")? Teave, millele saame tugineda, on olemasolevate konkreetsete faktide kogum. Trajektoorid, mis nendega ei ühildu, jäetakse kõrvale. Selle tulemusena, kui on piisavalt usaldusväärseid fakte, on üks trajektoor, mis määrab ajaloo ainsa versiooni. Kuid isegi lähimineviku kohta võib trajektoore olla palju rohkem kui usaldusväärset teavet – siis ei saa ajalooprotsessist enam üheselt tõlgendada. Ja seda kõike kohusetundliku ja lugupidava suhtumisega ajalukku ja faktidesse. Nüüd lisage siia esmaste allikate eelistused, osa teabe kadumine aja jooksul, faktidega manipuleerimine tõlgendamise staadiumis (mõnede vaikimine, teiste välja kleepimine, võltsimine jne) - ja musta asendamine valgega ei ole selline. raske ülesanne. Ja mis kõige huvitavam on see, et vajadusel võivad samad tõlgid mõne aja pärast hõlpsasti vastupidist väita. Tuttav pilt?

Seega on mineviku "ennustamatuse" dünaamiline olemus sarnane tuleviku ettearvamatuse olemusega: dünaamilise süsteemi trajektooride ebastabiilsus ja võimalike valikute arvu kiire kasv, kui te eemaldute alguspunkt. Mineviku rekonstrueerimiseks on lisaks dünaamilisele süsteemile endale piisav kogus ja kvaliteedilt usaldusväärne teave sellest minevikust. Tuleb märkida, et ajalooprotsessi erinevates osades on selle kaose aste erinev ja võib langeda isegi nullini (olukord, kus kõik oluline on ette määratud). Loomulikult, mida vähem kaootiline on süsteem, seda lihtsam on oma minevikku rekonstrueerida.

Kas me suudame kaost kontrollida?

Kaos sünnitab sageli elu.
G. Adams

Esmapilgul muudab kaose olemus selle kontrollimise võimatuks. Tegelikkuses on asi vastupidi: kaootiliste süsteemide trajektooride ebastabiilsus muudab need kontrolli suhtes ülitundlikuks.

Olgu näiteks vajalik süsteemi üleviimine ühest olekust teise (trajektoori liigutamiseks faasiruumi ühest punktist teise). Vajaliku tulemuse võib etteantud aja jooksul saavutada süsteemi parameetrite ühe või mitme peene, ebaolulise häirega. Igaüks neist muudab trajektoori vaid veidi, kuid mõne aja pärast toob väikeste häirete kuhjumine ja eksponentsiaalne võimendamine kaasa liikumise olulise korrigeerimise. Sel juhul jääb trajektoor samale kaootilisele atraktorile. Seega näitavad kaosega süsteemid nii head juhitavust kui ka hämmastavat plastilisust: reageerides tundlikult välismõjudele, säilitavad nad liikumise tüübi.

Paljude teadlaste arvates on just nende kahe omaduse kombinatsioon põhjus, miks kaootiline dünaamika on omane paljude elusorganismide süsteemide käitumisele. Näiteks südamerütmi kaootiline olemus võimaldab paindlikult reageerida muutustele füüsilises ja emotsionaalses stressis, kohanedes nendega. On teada, et südame löögisageduse normaliseerumine viib mõne aja pärast surma. Üks põhjus on see, et südamel ei pruugi olla piisavalt "mehaanilist jõudu", et väliseid häireid kompenseerida. Tegelikult on olukord keerulisem. Südame töö järjestamine on näitaja kaose vähenemisest teistes seotud süsteemides. Regulaarsus viitab organismi vastupanuvõime vähenemisele juhuslikele keskkonnamõjudele, kui ta ei suuda enam muutusi adekvaatselt jälgida ja neile piisavalt paindlikult reageerida.

Ilmselgelt peaks iga muutuvas keskkonnas töötav keerukas süsteem olema selline plastilisus ja juhitavus. See on nende ohutuse ja eduka arengu tagatis.

Kaosest korrani

Kuidas tagatakse elusorganismide ja muude keeruliste süsteemide terviklikkus ja stabiilsus, kui nende üksikud osad käituvad kaootiliselt?

Selgub, et lisaks kaosele keerulistes mittelineaarsetes süsteemides on võimalik ka vastupidine nähtus, mida võiks nn. kaosevastane. Juhul, kui kaootilised alamsüsteemid on omavahel seotud, võib tekkida nende spontaanne järjestamine ("kristallisatsioon"), mille tulemusena omandavad nad ühtse terviku tunnused. Selle tellimise lihtsaim versioon on kaootiline sünkroniseerimine, kui kõik omavahel ühendatud alamsüsteemid liiguvad küll kaootiliselt, kuid võrdselt sünkroonselt. Protsessid kaootiline sünkroniseerimine võib esineda mitte ainult loomade ja inimeste kehas, vaid ka suuremates struktuurides – biotsenoosides, avalikes organisatsioonides, osariikides, transpordisüsteemides jne.

Mis määrab sünkroonimise võimaluse? Esiteks iga üksiku alamsüsteemi käitumine: mida kaootilisem, "iseseisvam" see on, seda keerulisem on panna seda "arvestama" ansambli teiste elementidega. Teiseks alamsüsteemidevahelise ühenduse kogutugevus: selle suurenemine surub alla tendentsi "iseseisvusele" ja võib põhimõtteliselt kaasa tuua korrastatuse. Oluline on, et ühendused oleksid globaalne, see tähendab, et need eksisteerisid mitte ainult naabruses asuvate, vaid ka üksteisest kaugel asuvate elementide vahel.

Reaalsetes süsteemides, mis hõlmavad suurt hulka alamsüsteeme, toimub side materjali- või infovoogude arvelt. Mida intensiivsemad need on, seda suurem on võimalus, et elemendid käituvad kooskõlastatult ja vastupidi. Näiteks osariigis mängib voogude ühendamise rolli transport, post, telefon jne. Seetõttu nõrgendab nende teenuste tariifide tõstmine, kui see toob kaasa vastavate voogude vähenemise, riigi terviklikkust. ja aitab kaasa selle hävitamisele.

Kaootilise sünkroniseerimise teooriast järeldub, et keeruka süsteemi üksikute osade koordineeritud toimimise võib tagada selle üks element, nn. südamestimulaatori rumm või "stimulaator". Olles ühepoolselt ühendatud kõigi süsteemi komponentidega, "juhib" nende liikumist, kehtestades oma rütmi. Kui teeme samal ajal nii, et üksikud alamsüsteemid pole omavahel ühendatud, vaid ainult südamestimulaatoriga, saame ülimalt tsentraliseeritud süsteemi juhtumi. Osariigis täidab näiteks "rütmijuhi" rolli keskvalitsus ja ... meedia, tegutsedes kogu riigi territooriumil või olulisel osal sellest. Tänapäeval kehtib see eriti elektroonilise meedia kohta, kuna need on mobiilsuse ja üldise infovoo poolest teistest tunduvalt paremad. Seda intuitiivselt mõistes püüab keskvõim hoida meediat kontrolli all ning piirab ka igaühe mõju individuaalselt. Vastasel juhul ei juhi ta enam riiki.

Siin puudutasime väga olulist teemat. Kuna ühenduste keskmine tugevus on summaarne parameeter, mis sisaldab nii materiaalseid kui ka informatsioonilisi seoseid, siis osade nõrgenemist saab kompenseerida teiste tugevnemisega. Lihtsaim näide on päriskaupade asendamine paber- või isegi elektroonilise rahaga. Sel juhul saab tarnija tegelikult materiaalse toote asemel teavet oma konto muudatuse kohta - ja selline vahetus sobib talle suurepäraselt. Samamoodi võidetakse või kaotatakse iga päev läbi börside tohutuid rahasummasid, mille keegi peab lõpuks reaalsete toodete või teenustega korvama.

Kuidas saab sünkroniseeritud olek hävida?

Oleme juba maininud ühte võimalust. See nõrgendab sidemeid. Teine põhjus on "stimulaatori" ebapiisav mõju ansamblile. Tõepoolest, kui südamestimulaatori dikteeritud "rütm" on liiga vastuolus süsteemi komponentide loomuliku käitumisega, siis isegi piisava ühenduse tugevuse korral ei suuda ta oma käitumisjoont ansamblile peale suruda. Samas ei säili ka eelmine käitumine. Selle tulemusena sünkroonimine hävib.

Fraktaalsus ja stabiilsus

Oleme juba näinud, et dünaamilise kaose teooriat saab rakendada paljudele süsteemidele, sealhulgas riigile ja ühiskonnale tervikuna. Ja millist rolli mängib selles kaose fraktaalstruktuur? Esineb ju faasiruumi kaose kujutis – kummaline atraktor – geomeetriliselt fraktaali. Hoolimata asjaolust, et iga üksik kaootiline trajektoor on äärmiselt tundlik vähimategi häirete suhtes, on kummaline atraktor (kõikide võimalike trajektooride kogum) väga stabiilne struktuur. Seega on dünaamiline kaos nagu kahepalgeline Janus: ühelt poolt avaldub see korratuse mudelina, teisalt aga stabiilsuse ja korrana erinevates mastaapides.

Kui järele mõelda, on lihtne mõista, et ühiskonnas, nagu ka looduses, on paljud süsteemid üles ehitatud fraktalide põhimõttel: mõned kompleksid moodustuvad väikestest elementidest, need omakorda toimivad suuremate komplekside elementidena, jne Kuidas on näiteks korraldatud elujõulised majandus- ja tootmisstruktuurid? Kaks äärmuslikku positsiooni: suured rahvusvahelised ettevõtted ja "väikeettevõte". Igaüks neist eraldi ei ole elujõuline. Suurettevõtted, millel on tohutu majanduslik jõud, on passiivsed ega suuda kiiresti reageerida ümbritseva majanduskeskkonna muutustele. "Väikeettevõtlus" ei suuda lahendada suuri probleeme, tagada infrastruktuuri arengut. Kus on kuldne keskmine? Keskmistes ettevõtetes? Üldse mitte. Stabiilse majandustaristu tagab (vajalike ressursside vajaliku pumpamisega) erineva mastaabiga (siin on tegu fraktaal!) püramiidi moodustavate majandusobjektide kogum. Selle aluses on palju väikeettevõtteid ja ettevõtteid, püramiidist kõrgemal ettevõtete suurus järk-järgult suureneb ja nende arv vastavalt väheneb ning lõpuks on tipus suurimad ettevõtted. Selline struktuur on tüüpiline näiteks USA majandusele. Samal ajal on väikeettevõtted kõige mobiilsemad: nad sünnivad ja surevad sageli, olles peamised uute ideede ja tehnoloogiate tarnijad. Piisava arengu saanud uuendused võimaldavad mitmel ettevõttel kasvada järgmisele tasemele või viia (müüa) kogunenud uuendused üle suurematele ettevõtetele. Piisava keskkonnatundlikkuse korral suudab selline mehhanism mõne aastaga luua uusi tööstusi ja majandusi. Mitte ilmaasjata on niinimetatud "uues majanduses" suurem osa isegi suurettevõtetest ettevõtted, mida 15-20 aastat tagasi kas ei eksisteerinud üldse või mis kuulusid väikeste hulka.

Veel üks näide. Perestroika ajal kirjutati ja räägiti palju NSV Liidu "valest" struktuurist, milles riigil oli keeruline hierarhiline struktuur, mis oli korraldatud nukkude pesitsemise põhimõttel. Mida selle asemel pakuti? Igal rahval on oma põline armee, oma keel, oma "eliit", oma hõimujuhid. See kõlab hästi. Ja nüüd vaadake, kuidas see idee paljudel endise NSV Liidu ja Jugoslaavia rahvastel välja kukkus... Stabiilsusteooria seisukohalt on Vene riigi homogeense struktuuri idee ideeks luuser. Miks? Pesanukuprintsiip on tegelikult fraktalprintsiip, tänu millele omandab kaootiline süsteem struktuuri ja stabiilsuse. NSV Liit ja Vene impeerium ehitati üles fraktaalsüsteemide põhimõttel ning see tagas nende stabiilsuse riikidena. Erinevatel tasanditel olid terviksüsteemi põimunud looduslikud, etnilised, territoriaalsed ja muud väljakujunenud sisemise toimimismehhanismiga moodustised, millel olid oma õigused ja kohustused.

Kaos loob teavet

Oleme juba kindlaks teinud, et kaootiliste süsteemide käitumist ei saa pikkade ajavahemike jooksul ennustada. Algtingimustest eemaldudes muutub trajektoori asend üha ebakindlamaks. Infoteooria seisukohalt tähendab see seda, et süsteem ise genereerib infot ja mida suurem on selle protsessi kiirus, seda suurem on kaose aste. Siit järgneb varem vaadeldud kaootilise sünkroniseerimise teooria kohaselt huvitav järeldus: mida intensiivsemalt süsteem informatsiooni genereerib, seda keerulisem on seda sünkroniseerida, kuidagi teisiti käituma panna.

Tundub, et see reegel kehtib kõigi teavet tootvate süsteemide kohta. Näiteks kui teatud loominguline meeskond genereerib piisava hulga ideid ja a töötab aktiivselt nende elluviimise viiside kallal, on tal raskem väljastpoolt peale suruda mõnda käitumisjoont, mis ei vasta tema enda seisukohtadele. Ja vastupidi, kui samade materiaalsete voogude ja ressursside olemasolul käitub meeskond informatsioonilises mõttes passiivselt, ei loo ideid või ei vii neid ellu – teisisõnu järgib põhimõtet "... soe ja niiske" - siis on seda väga lihtne allutada .

Kaootilised arvutid

Millest meil kaasaegsetes arvutites puudu jääb? Kui elusorganismil peavad muutuvas keskkonnas eksisteerimiseks olema kaootilise käitumise elemendid, siis võib eeldada, et tehissüsteemid, mis on võimelised muutuva keskkonnaga adekvaatselt suhtlema, peavad olema mingil määral kaootilised. Kaasaegsed arvutid ei ole. Need on suletud süsteemid, millel on väga suur, kuid piiratud arv olekuid. Võib-olla luuakse tulevikus dünaamilise kaose alusel uut tüüpi arvuteid - termodünaamilisest vaatepunktist avatud süsteeme, mis on võimelised kohanema keskkonnatingimustega.

Ent ka tänapäeval saab kaootilisi algoritme edukalt kasutada arvutitehnoloogiates teabe salvestamiseks, otsimiseks ja kaitsmiseks. Mõne probleemi lahendamisel osutuvad need tõhusamaks kui traditsioonilised meetodid. See kehtib eriti multimeediumandmetega töötamise kohta. Erinevalt tekstidest ja programmidest nõuab multimeediumteave teistsugust mälu korraldamise viisi. Kasutajate sinine unistus on võimalus otsida meloodiat, videoklippi või vajalikke fotosid mitte nende atribuutide (kataloogi ja faili nimi, loomise kuupäev jne), vaid sisu või seose järgi, nii et näiteks fragment meloodiat saab kasutada muusikateose leidmiseks ja esitamiseks. Selgub, et sellist assotsiatiivset otsingut saab läbi viia deterministlikul kaosel põhinevate tehnoloogiate abil. Kuidas?

Oleme juba arutanud teabe genereerimist kaootiliste süsteemide abil. Nüüd esitame endale küsimuse: kas trajektoori on võimalik sobitada konkreetsete andmetega, mis on kirjutatud teatud märgijada kujul? Siis oleks osa süsteemi trajektoore üks-ühele vastavuses meie infojadadega. Ja kuna iga trajektoor on süsteemi liikumisvõrrandite lahendus teatud algtingimustel, siis saaks neid võrrandeid lahendades taastada mistahes sümbolite jada, seades algtingimusteks sellest väikese killukese. Seega ilmneks assotsiatiivse infootsingu ehk sisupõhise otsingu võimalus.

Meie instituudi töötajate meeskond lõi matemaatilisi mudeleid teabe salvestamiseks, salvestamiseks ja otsimiseks, kasutades kaosega dünaamiliste süsteemide trajektoore. Kuigi algoritmid tundusid väga lihtsad, ületas nende potentsiaalne infomaht palju Internetis saadaoleva teabe hulka. Idee arendamine viis tehnoloogia loomiseni, mis võimaldab töödelda mis tahes tüüpi andmeid: pilte, teksti, digitaalset muusikat, kõnet, signaale jne (RF patent 2050072, USA patent 5774587, Kanada patent 2164417).

Tehnoloogia kasutamise näide on Forget-Me-Not tarkvarapakett, mis on loodud töötama struktureerimata teabe arhiividega nii personaalarvutites kui ka teabeserverites. "Forget-Me-Not" on rakendatud otsingumootorina, mis töötab tavalistes Interneti-brauserites, nagu Netscape ja Explorer. Kogu arhiivis olev teave salvestatakse ja salvestatakse kaootilise süsteemi trajektooridena. Vajalike dokumentide otsimiseks koostab kasutaja päringu, sisestades suvalises vormis mitu rida vajaliku dokumendi sisuga seotud teksti. Vastuseks väljastab süsteem soovitud dokumendi, kui sisestatud teave on selle ühemõtteliseks otsimiseks piisav või pakub valikuvõimalusi. Vajadusel saate leitud dokumendist saada faksiimile koopia. Vigade olemasolu päringus ei mõjuta oluliselt otsingu kvaliteeti.

Lisateavet Forget-Me-Not kompleksi ja programmi demoversiooni kohta leiate aadressilt http://www.cplire.ru.

Suhtlemine läbi kaose

Enamik tänapäevaseid sidesüsteeme kasutab teabekandjana harmoonilisi võnkumisi. Saatjas olev infosignaal moduleerib neid võnkumisi amplituudis, sageduses või faasis ning vastuvõtjas ekstraheeritakse info pöördoperatsiooni – demodulatsiooni – abil. Teabe pealesurumine kandjale toimub kas juba tekkinud harmooniliste võnkumiste moduleerimisega või generaatori parameetrite juhtimisega selle töö ajal.

Samamoodi on võimalik moduleerida kaootilist signaali. Siin on aga võimalused palju laiemad. Harmoonilistel signaalidel on ainult kolm juhitavat omadust (amplituud, faas ja sagedus). Kaootiliste võnkumiste korral põhjustavad kaoseallika ühe elemendi parameetri väärtuse väikesed kõikumised võnkumiste olemuse muutusi, mida on võimalik instrumentidega usaldusväärselt fikseerida. See tähendab, et muutuvate elementide parameetritega kaoseallikatel on potentsiaalselt suur hulk skeeme infosignaali sisestamiseks kaootilisele kandjale (modulatsiooniskeemid). Lisaks on kaosel põhimõtteliselt lai sagedusspekter, see tähendab, et see viitab lairibasignaalidele, mille huvi raadiotehnika vastu on traditsiooniliselt seotud nende suurema infomahuga võrreldes kitsaribavõnkudega. Lai kandja ribalaius võimaldab teil suurendada teabe edastamise kiirust, samuti suurendada süsteemi stabiilsust häirivate tegurite suhtes. Kaosepõhistel lairiba- ja ülilairiba sidesüsteemidel on potentsiaalsed eelised traditsiooniliste laia spektrisüsteemide ees selliste määratlevate parameetrite poolest nagu riistvara rakendamise lihtsus, energiatõhusus ja teabeedastuskiirus. Kaootilised signaalid võivad samuti maskeerida sidesüsteemi kaudu edastatavat teavet ilma spektri hajutamist kasutamata, st kui teabe ja edastatavate signaalide sagedusribad langevad kokku.

Nende tegurite kombinatsioon stimuleeris aktiivset kaootiliste sidesüsteemide uurimist. Praegu on juba pakutud välja mitmeid lähenemisviise infosignaalide spektri laiendamiseks, arhitektuurilt lihtsate saatjate ja vastuvõtjate ehitamiseks.

Üks viimaseid ideid selles suunas on nn otsesed kaootilised suhtlusskeemid. Otsese kaootilise kommunikatsiooni skeemi korral sisestatakse teave kaootilisse signaali, mis on genereeritud otse raadio või mikrolaine lainepikkuste vahemikus. Teave sisestatakse kas saatja parameetrite moduleerimise teel või pärast selle genereerimist kaootilisele kandjale peale surudes. Vastavalt sellele toimub kaootilisest infosignaali eraldamine ka kõrgete või ülikõrgete sageduste piirkonnas. Hinnangud näitavad, et lairiba ja ülilairiba otsesed kaootilised sidesüsteemid on võimelised andma teabeedastuskiirust kümnetest megabittidest sekundis kuni mitme gigabitini sekundis. Venemaa Teaduste Akadeemia Raadiotehnika ja elektroonika instituudis on juba tehtud katseid teabe otsesel kaootilisel edastamisel kiirusel kuni 70 Mbps.

Kaos ja arvutivõrgud

Suhtlusskeemides saab kaost kasutada infokandjana, dünaamilise protsessina, mis tagab informatsiooni muundumise uuele kujule, ja lõpuks mõlema kombinatsioonina. Nimetatakse seadet, mis muundab saatjas oleva signaali kaose abil ühest vormist teise kaootiline kodeerija. Selle abil saate teavet muuta nii, et see pole välisele vaatlejale ligipääsetav, kuid samal ajal saab selle spetsiaalse dünaamilise süsteemi abil hõlpsasti algsel kujul tagasi - kaootiline dekooder asub sidesüsteemi vastuvõtupoolel.

Millistes protsessides saab kasutada kaootilist kodeerimist?

Esiteks saab selle abil korraldada põhimõtteliselt uudsel viisil ühist inforuumi, luues sellesse suuri avatud kasutajagruppe - alamruume. Igas rühmas tutvustatakse oma suhtluskeelt – reegleid, protokolle ja muid selle "infosubkultuuri" märke, mis on ühised kõigile osalejatele. Neile, kes soovivad seda "keelt" õppida ja kogukonna liikmeks saada, on suhteliselt lihtne juurdepääs. Samas on välisvaatlejatel raske sellises vahetuses osaleda. Seega võib kaootiline kodeerimine olla vahend ühise inforuumi "populatsiooni" struktureerimiseks.

Teiseks saate sarnasel viisil korraldada mitme kasutaja juurdepääsu teabele. Globaalse Interneti ja peamiste teabevoogude (kiirteed) olemasolu eeldab ühiste protokollide olemasolu, mis tagavad teabe edastamise üksikute kanalite kaudu. Teatud osalejate rühmades (näiteks ettevõtete võrkudes) on aga tungiv vajadus edastada teavet konkreetsetele tarbijatele, võimaldamata juurdepääsu "välismaistele" osalejatele. Kaootilised kodeerimismeetodid on mugav vahend selliste virtuaalsete ettevõttevõrkude korraldamiseks. Lisaks saab neid kasutada otse teabe teatud konfidentsiaalsuse taseme tagamiseks, liikudes traditsioonilise krüptograafia valdkonda.

Lõpuks on kaootilise kodeerimise teine ​​funktsioon väga asjakohane seoses e-kaubanduse arengu ja autoriõiguse probleemi süvenemisega Internetis. Eelkõige puudutab see multimeediakaupade (muusika, video, digifotograafia jne) müüki võrgu kaudu. Deterministliku kaose alusel on võimalik pakkuda autoriõiguste ja intellektuaalomandi õiguste kaitseks sellist võimalust nagu üldjuurdepääsuga infotoote kvaliteedi langus. Näiteks kaosega kodeeritud muusikapalad levitatakse võrgus ilma piiranguteta, et iga kasutaja saaks neid kasutada. Ilma spetsiaalse dekoodriga kuulates on aga helikvaliteet kehv. Mis on sellise lähenemise mõte? Levitav teave jääb avatuks ja sellele ei kehti krüptokaitsemeetodite kasutamisest tulenevad piirangud. Lisaks on potentsiaalsel ostjal võimalus tootega tutvuda ja alles seejärel otsustada, kas osta selle kvaliteetne versioon.

Tuleb märkida, et ülaltoodud kaootilise kodeerimise funktsioonid ei ammenda kaugeltki selle potentsiaalseid rakendusvõimalusi tänapäevastes infotehnoloogiates. Selle probleemi edasise uurimise ja arendamise käigus võib ilmselt avaneda uusi tahke ja paljutõotavaid kasutusvaldkondi.

Seega ei ole dünaamilise kaose ja fraktaalide kasutamine infotehnoloogias eksootiline, nagu mõni aasta tagasi võis tunduda, vaid loomulik viis arendada uusi lähenemisi muutuvas keskkonnas efektiivselt toimivate süsteemide loomiseks.

KULDNE PROPORTSIOON, FRAKTALID JA KAOS

SEOSES MÕNTE MÕISTE MÕISTEGA KOHTA KÕIKSUMIST

Sokolchuk K.Yu., Ostapovitš V.V. (Teadus-tehniline keskus "Bulat NVR", Kiiev, Ukraina)

Definitsioon. Fraktaaliks nimetame struktuuri, mis koosneb osadest, mis on mõnes mõttes tervikuga sarnased. Mõiste "fraktal" ise tähendab "fraktsioonilist". Kui vaatate fraktaalkuju, näete sama struktuuri olenemata suurendusest. Sellist sarnasust võib näha looduses, kui arvestada erinevatel lähendustel mägesid, pilvi, rannajoont jne. Seda saab leida molekulide või galaktikate kuju uurimisel. Fraktaalsus on kiiresti muutumas üheks kõige mahukamaks metafooriks maailma seletamisel ja mõistmisel.

Siiski pole fraktalil absoluutselt täpset määratlust. Võib-olla kunagi see leitakse, kuid see ei pruugi juhtuda, kuna fraktaalgeomeetria on looduse geomeetria. Fraktaali definitsioon on võrdväärne looduse määratlusega.

Universumi ja selle üksikute elementide fraktaalsuse kontseptsioon tekkis 20. sajandi teisel poolel osana uuest teaduslikust paradigmast, mis ühendab sünergia, küberneetika, arvutiteaduse ja muud teooriad, millel on universaalne tähtsus mis tahes olemisnähtuste jaoks. Fraktaalhüpotees põhineb kaoseteooria ja mittelineaarsete dünaamiliste süsteemide kontseptsioonidel. Tänu sellele, aga ka mõnedele muudele omadustele (struktuurihierarhia, tagasiside, tundlikkus algtingimuste suhtes jne) on fraktaalobjektidel staatiliste süsteemidega võrreldes suurenenud stabiilsus ja kohanemisvõime välistingimustega.

Matemaatiline algoritm universumi fraktaalide konstrueerimiseks. Fraktaalide kui mittelineaarsete dünaamiliste süsteemide ehituse matemaatiliseks modelleerimiseks on tavaline kasutada rekursiivseid valemeid. Rekursiooni abil ehitatud objektidel on sisemine enesesarnasus ja vastupidavus vigadele (juhuslikud ja süstemaatilised). Lisaks, ja see näib olevat oluline, on rekursioon automaatselt loovate (st iseloovate) süsteemide vajalik omadus. Algoritmiks oleme valinud Fibonacci summeerimisrea, kuna erinevates loodusobjektides (peamiselt "elus") ilmneb see liiga sageli, et see oleks õnnetus.

Fraktaalsete Fibonacci objektide modelleerimise tulemused.

Järgides tööd prof. A. P. Stakhov, me üldistame Bineti valemi (genereerides Fibonacci seeria) kõigi reaalarvude hulka. Saadud funktsioon:

F(x) =(φ x -(-φ) -x)/√5( 1)

Nimetagem seda Fibonacci programmiks. Mis puutub Fibonacci seeriasse, siis reaalarvude komplekti kohta kehtivad järgmised seosed:

F(x+1) = F(x) + F(x-1)(2)

F(x+1)/F(x) → φat x→ +∞,φ = (1+√5)/2 = 1,6180… (3)

F(x+1)/F(x) → -1/φ punktis x → - ∞(4)

Funktsioon F(x) kuulub kompleksarvude piirkonda, sisenedes ainult teatud punktides reaalarvude piirkonda (for X täisarv). Fibonacci programmi faasiportree (üldjuhul) on spiraal ja summutatud sinusoid (joonis 1) piki X-telge (kompleksarvu reaalosa).

a) b)

Joonis 1. Üldistatud Fibonacci seeria faasiportree kompleksarvude tasapinnal (a) ja Fibonacci programmi spiraali asukoht ruumis (b).

Võrrand (2) algtingimuste funktsioonina x 0 , x 1 ja tsüklite arv X, esindavad kujul:

F(x+1, x 0 , x 1) = x 1 *F(x) + x 0 *F(x-1) (5)

Võrrand (5) kirjeldab teatud Fibonacci programmi järgi ehitatud diskreetsete objektide kogumit, mille struktuur on sarnane ja erinevus seisneb ainult mastaabis (algtingimuste valik x 0 ja x 1) ja (või) ajas (x) on tsüklite arv) parameetrid. Seega on meil tegemist programmiga (Bineti valemi üldistus), mis pakub korduvaid seoseid kompleksarvude valdkonnas. B. Mandelbroti väljatöötatud ideid järgides on see vajalik ja piisav fraktaalsete objektide tekkeks teatud piirkonnas (x, x 0, x 1). Arvestagem, et hierarhiliste struktuuride sarnasus, mida väljendatakse läbi kuldse lõike φ, läheneb ideaalsele suurenedes. X(tsüklite arv) ning üksteisest maksimaalselt (suurusjärkude järgi) erinevate algtingimuste valik suurendab tsüklite arvu vaid veidi, et saavutada hinnangu φ nõutav täpsus. Siis saab kogu aegruumi kontiinumi kujutada ühe fraktaalobjektina, mille üksikud elemendid on järgmise, madalama hierarhilise tasandi fraktaalide atraktoriteks.

Vaatleme üksikasjalikumalt selle struktuuri sisemise sarnasuse küsimust. Ajapühkimine (st х 0 ja х 1 – const) annab naaberhierarhiliste tasemete sarnasuse, väljendatuna φ-ga (mis on valemi (3) kohaselt ilmne). Samuti ei nõua see tõendamist, et tasandite x ja x-2 puhul väljendatakse sarnasust kui φ 2 . Üldiselt on tasandite x ja x-n puhul nende suhe φ n . Tsüklite x negatiivsete väärtuste piirkonnas on sarnasus üldjuhul kujul: 1/(-φ) n . Vaatleme ruumis pühkimist, kasutades x ja x 1 näidet - const ning muutuja on x 0. Kui x 0 = 0 või 2 ja x 1 = 1, on meil vastavalt triviaalne Fibonacci ja Lucase seeria. Nende suhe (mis tuleneb lihtsalt Binet' valemist) sama tsüklite arvuga x on √5 või, mis on sama: φ + 1/φ. Kui x 0 = 3 (st Luke'i järel järgnev rida), väljendatakse suhet φ 2 + 1 / φ 3 = 2,854 ... Edasi, pilt põhimõtteliselt ei muutu. Ruumilise skaneerimise sarnasust saab kirjutada ainult kahe numbri - 1 ja φ - abil, aga ka elementaarsete matemaatilisi tehteid nendega (+, -, *, :). Tõenäoliselt on võimalik tuletada üldvalem. Seega, kui "meie maailm" on üles ehitatud Fibonacci programmi järgi, peame kuidagi leidma "kuldse lõigu" - φ - kõigis selle arvukates ilmingutes. Tegelikkuses täheldatakse seda peamiselt materiaalsetes objektides, mida tavaliselt nimetatakse "elusaineks". Põhjus on meie arvates selles, et enamikul juhtudel käsitleme objekti arendamist jaotises, kus kõik kolm parameetrit on muutujad - x, x 0, x 1. Näiteks Mendelejevi perioodiline elementide süsteem. Kõik elemendid moodustati erinevatel Universumi arengu tsüklid (etapid) ja erinevates algtingimustes (suhteliselt öeldes temperatuur, mass, entroopia ja muud atraktorite omadused). Nende struktuuris mingi korrapärase sarnasuse otsimine, väljendatuna numbriliselt φ ja 1 kaudu, on mõttetu asi. Samamoodi ei saa "kuldse harmoonia" kaudu kirjeldada planeetide masse või nende raadiusi või tiirlemise orbiitide raadiusi, vaatamata arvukatele katsetele. Seevastu "elusaine" objektid, sealhulgas inimene, kui terviklikud objektid, millel on fikseeritud algtingimused ja võimalus neid jälgida kõigil arengutsüklitel, kannavad harmooniat oma morfoloogilises struktuuris ja toimimises, väljendatuna φ kaudu. (Me ei esita tegelikke andmeid, need on saidil "Kuldse harmoonia muuseum", mille on loonud prof. A.P. Stahhov).

Seega saab meie Universumi struktuuri ja topoloogiat kodeerida ainult kahe numbri - 1 ja φ abil, kirjeldades arendust kui Fibonacci programmi teostust. Ilmselgelt on need numbrid esmased, kuna programm kirjutatakse ja täidetakse kahe abil. Kuidas need tekkisid ajal, mil Looja alles “kirjutas” universumi konstrueerimise programmi? Kujutagem ette, et sümbolite kujul programm on kirjutatud, struktureeritud või pakitud (terminid võivad olla mis tahes) automaatse loomisena. objekt, milles iga järgnev tase on kahe eelmise funktsioon (Fibonacci programm). Valime kolm külgnevat hierarhilist taset. φ väärtus tuleneb lihtsalt lähimate tasemete suhtest. Kolme kõrvuti asetseva taseme suhe taandatakse tegelikult üldtuntud suhtele: φ 2 = φ + 1 või φ 2 - φ = 1. Seega genereerib programmi sisestus ise kaks esmast arvu φ ja 1. Nagu on näidanud prof. Stakhov A.P., numbrisüsteemidel ja teabe kodeerimisel φ abil on eelised teiste ees (kümnend, kahendsüsteem jne) vigade leidmise, nende eristamise ja parandamise osas. Arenguprogrammi korrektseks elluviimiseks on need omadused äärmiselt olulised.

Fibonacci programmi objektide ja nende diagrammi interaktsioon.

Aktsepteerides Universumi objektide globaalse interaktsiooni kontseptsiooni (või hüpoteesi), kasutasime uuringu praeguses etapis fraktalide interaktsiooni mehhanismidena algebralisi liitmise, korrutamise jne tehteid. Saadud struktuuride kuvamiseks kasutati 3-D arvutigraafikat. Arvestada tuleks sellega, et fraktalide interaktsiooni käigus tekkivad struktuurid on üldjuhul n-mõõtmelised, seega on tekkivad kujutised sisuliselt kolmemõõtmelised lõiked üksikute komponentide arengutsüklite “tasandis”.

A) Interakteeruvate objektide arengutsüklite loendurid on samad.

Joon.2aJoon.2b

Joonis 2 Objekti faasiportree (2a) ja vaade kolmemõõtmelises ruumis (2b), mis on saadud Fibonacci ja Lucase objektide suhtest (algtingimused vastavalt 0 ja 1 ; 2 ja 1). Tähised joonisel 2b - teljed X ja Y - objekti tegelik ja kujuteldav osa, Z-telg on tsükliloendur (üks Fibonacci ja Luke'i jaoks).

Objekti faasiportree (joonis 2a) on tervikuna väga sarnane Universumi printsiibi üldtuntud sümboolse kujutisega:

Ilmselgelt pole juhus, et mõnes teoses peetakse Fibonacci ja Luke'i seeriaid mehelikuks ja naiselikuks (Yin ja Yang). Joonise 2a muster ei ole ka meie maal elanud inimeste filosoofilistes ja kunstilistes ideedes viimasel kohal.

B) Juhul, kui interakteeruvate objektide tsüklite loendurid ei ühti, saame parameetriliste kõverate (joonis 1b ja 2b) asemel kolmemõõtmelised pinnad tsüklite (aja) lõikudena “tasapinna” järgi.

Joonis 3. Fibonacci ja Lucase fraktalide lisamine. Horisontaaltasandi koordinaatteljed on summa tegelikud ja mõttelised osad. Vertikaalne - tsükliloendur (vasakul - Fibonacci fraktali jaoks, paremal - Luke jaoks).

Joonis 4. Fibonacci ja Lucase fraktalide toode. Tähised – nagu joonisel 3

Joonistel 3 ja 4 kujutatud pilte on raske tõlgendada. Algtingimuste või sekantse ajatasandi muutmine viib samade spiraal-pöörisstruktuurideni, millel on mõned välised erinevused. Selles suunas on vaja täiendavaid uuringuid. Hüpoteetiliselt võib oletada, et vaadeldav mudel on seotud A.F. Bugajevi polüvorteksi teooriaga. või väändeväljad Shipov G.I. Sellega seoses tuleb arvesse võtta järgmist asjaolu. Keeruliste muutujate teooria raames saate välja mõelda palju funktsioone, mis genereerivad faasitasandil spiraalseid kujundeid. Selline on nende numbrite olemus. Meie mittelineaarse dünaamilise mudeli (Fibonacci programm) puhul ilmnevad kompleksarvud loomulikult Fibonacci seeria üldistuse ja Bineti valemi raames, mis kirjeldavad naturaalarvude mõningaid omadusi (1, 2, 3, 4, ... ). Juhtum on mõnes mõttes analoogne füüsika kvantmehaanilise teooriaga. Seal saadakse Schrödingeri lainevõrrandi lahendamisel tingimata keerukate muutujate funktsioonid. Imaginaarne komponent peegeldab mõnede esoteerikute (näiteks Shneiderman A.G.) sõnul universumi komponenti, mis meie ruumis ei avaldu.

Fibonacci ja kaose programmi fraktalid.

Keeruliste mittelineaarsete dünaamiliste süsteemide puhul sünergia raames on bifurkatsioonipunktide kontseptsioon väga oluline. Nähtuse olemus seisneb selles, et teatud algtingimustel kaotab süsteem pärast teatud arvu arengutsükleid deterministlikust seisundist stabiilsuse, variseb kokku ja läheb kaosesse. Meie mudeli jaoks on sellised algtingimused olemas. Selgus, et need olid kõige esimesed numbrid -φ ja 1. Sellistel algtingimustel on objekti areng näidatud joonisel 5.

Joonis 5. Fibonacci programmi järgi ehitatud objekti hargnemisüleminek. Y(x ) arvutati võrrandi järgi. (5) kasutades algtingimusi:

x 0 \u003d -φ ja x 1 \u003d 1.

Tsüklite arvu võimalikult suureks katmiseks (x-teljel) näidatakse objekti olekuväärtusi (y-teljel) logaritmilisel skaalal. On näha, et dünaamilise kaose olekusse ülemineku punkt on 39-40 tsükli väärtustel. Valemit (5) ja saadud tulemusi analüüsides selgus, et süsteemi käitumine ei muutu algtingimuste proportsionaalsel muutumisel, s.o. hargnemispunkti saamiseks üldjuhul: x 0 \u003d -aφ ja x 1 \u003d a (kus a on mis tahes reaalarv, välja arvatud muidugi triviaalne juhtum a \u003d 0). Seda illustreerib joonis 6, kus on üksikasjalikult näidatud bifurkatsioonisiirde lõik.

Joonis 6. Fibonacci programmi järgi ehitatud objektide bifurkatsioonisiirde ala.

Objekti oleku kriteeriumina kasutasime standardsel viisil arvutatud moodulit, nagu Fibonacci seeria puhul (valem (3)). Algtingimused on joonisel 5 kasutatud tingimuste kordsed ja erinevad üksteisest 10 15 võrra (punane värv - a = 10 7, sinine - a = 10 -8). On näha, et kuni 36. tsüklini arenevad objektid deterministlikult, moodul on mõlemal juhul 1/φ (0,61830….). Lisaks kasvab hävitamisprotsess laviinina ja pärast 39–40 tsüklit saabub dünaamiline kaos. Tundub, et objektid jagunevad ja arenevad samaaegselt mitmes olekus (moodulid - 2, 1, 1/φ, 0). Bifurkatsioonipunkti asend (39-40 tsüklit) on esoteeriliste teadmistega seoses ilmselt fundamentaalse tähtsusega. Pange tähele hargnemispunkti erakordset stabiilsust, kuna algtingimuste muutmine 15 suurusjärgu võrra ei nihutanud seda isegi ühe tsükli võrra. Joonistel 5 ja 6 esitatud arvutustulemused viitavad juhule a > 0. Kui a< 0 (например, х 0 = 1 и х 1 = -1/φ), то картина становится зеркальной и точка бифуркации смещается к отрицательным значениям циклов -39-40. Возможно, этот случай представляет модель обратного перехода: «динамический хаос → детерминированная структура».В заключение на рис.7 показан видбифуркационного перехода в динамический хаос с помощью 3-D графики для стороннего «далеко отстоящего» наблюдателя.

Joonis 7. Fibonacci programmi järgi ehitatud objekti üleminek "deterministlik struktuur - dünaamiline kaos",

Esoteeriliste ideede raames võib seda nimetada "ristpöördeks". See on eriti ilmne objekti faasiportree muutuste kujutamisel dünaamikas, kasutades Matcadi või Matlabi programmide animatsioonivõimalusi.

Järeldus.

1. "Fibonacci programmi" kontseptsioon on välja pakutud Bineti valemi üldistusena kõigi reaalarvude alale.
2. Fibonacci programmi kasutamine võimaldab rekursiivse valemi abil modelleerida mittelineaarseid dünaamilisi süsteeme – spiraalseid fraktaalobjekte kompleksarvude komplektil, mis kannavad oma struktuuris "kuldlõiget".
3. Universumi hüpoteetiline matemaatiline algoritm - Fibonacci programm võimaldab teil selgitada mõningaid esoteerilisi ideid.
4. On teatud algtingimused, mille korral Fibonacci programmi järgi loodud objekt hävib pärast 39-40 tsüklit ja läheb dünaamilise kaose seisundisse.
5. Inimest saab kujutada Universumi tervikliku fraktaalobjektina, mis on pidevas tsüklilises arengus ülemineku „materiaalne maailm (Yang) – vaimne või informatsiooniline seisund (Yin)“ raames.

Sissejuhatus

1. Kaoseteooria tekkimine ja ajalugu

2. Kord ja korratus

3. Rakendatud kaos

4. Kaose põhiprintsiibid (atraktorid ja fraktalid)

6. Kaos teistes teadustes

7. Kaose tagajärjed

1. Alates 1980. - 1990. aastate vahetusest ilmnes "kompleksiteadusega" (kompleksteadused) seotud metodoloogide diskussioonides uus suund. See on tavapärane nimetus uuele interdistsiplinaarsele uurimisvaldkonnale, mis keskendub mittelineaarse dünaamika, ebastabiilse käitumise, iseorganiseerumisefektide ja kaootiliste režiimide olemasoluga süsteemide uurimise probleemidele. Ühtset teadust keerukate süsteemide käitumisest, iseorganiseerumisest nimetatakse Saksamaal sünergiaks (G. Haken), prantsuse keelt kõnelevates maades - dissipatiivsete struktuuride teooriaks (I. Prigogine), USA-s - dünaamilise kaose teooriaks. (M. Feigenbaum). Kodumaises kirjanduses on valdavalt aktsepteeritud esimene termin, kõige ülevaatlikum ja mahukam.

KAOSE TEOORIA Matemaatika haru, mis uurib deterministlike dünaamiliste süsteemide näiliselt juhuslikku või väga keerulist käitumist. Dünaamiline süsteem on selline süsteem, mille olek muutub ajas vastavalt fikseeritud matemaatikareeglitele; viimased on tavaliselt antud võrranditega, mis seovad süsteemi tulevase oleku praeguse olekuga. Selline süsteem on deterministlik, kui need reeglid ei sisalda otseselt juhuslikkuse elementi.

Kaoseteooria ajalugu. Esimesed kaoseteooria elemendid ilmusid 19. sajandil, kuid see teooria sai tõelise teadusliku arengu 20. sajandi teisel poolel koos Edward Lorenzi töödega Massachusettsi Tehnoloogiainstituudist ja Prantsuse-Ameerika matemaatiku Benoit B. Mandelbrot. Edward Lorenz kaalus omal ajal, mis on ilma ennustamise raskus. Enne Lorentzi loomingut valitses teadusmaailmas lõpmatult pikka aega kaks arvamust täpse ilmaennustuse võimalikkusest.

Esimese lähenemisviisi sõnastas juba 1776. aastal prantsuse matemaatik Pierre Simon Laplace. Laplace väitis, et "... kui kujutame ette mõistust, mis sel hetkel mõistis kõiki universumi objektide vahelisi seoseid, siis suudab ta kindlaks teha kõigi nende objektide vastava asukoha, liikumise ja üldmõju igal ajal universumis. minevik või tulevik." See tema lähenemine oli väga sarnane Archimedese kuulsatele sõnadele: "Anna mulle tugipunkt, ja ma pööran kogu maailma tagurpidi."

Nii ütles Laplace ja tema toetajad, et ilma täpseks ennustamiseks on vaja vaid koguda rohkem infot kõigi universumis leiduvate osakeste, nende asukoha, kiiruse, massi, liikumissuuna, kiirenduse jms kohta. Laplace arvas, et mida rohkem inimene teab, seda täpsem on tema ennustus tuleviku kohta.

Teine lähenemine ilmaennustamise võimalusele oli esimene, mis sõnastas kõige selgemalt teise prantsuse matemaatiku Jules Henri Poincaré. Aastal 1903 ütles ta: " Kui me teaksime alghetkel täpselt loodusseadusi ja Universumi asukohta, saaksime järgmisel hetkel täpselt ennustada sama Universumi asukohta. Kuid isegi kui loodusseadused paljastaksid meile kõik oma saladused, saaksime algset seisukohta ka siis teada vaid ligikaudselt.

Kui see võimaldaks meil ennustada järgmise positsiooni sama lähendusega, oleks see kõik, mida me vajame, ja võiksime öelda, et nähtus oli ennustatud, et seda reguleerisid seadused. Kuid see ei ole alati nii; võib juhtuda, et väikesed erinevused algtingimustes põhjustavad lõppnähtuses väga suuri erinevusi. Väike viga esimeses toob kaasa suure vea teises.

Ennustamine muutub võimatuks ja me tegeleme nähtusega, mis areneb juhuslikult" .

Nendest Poincaré sõnadest leiame kaoseteooria postulaadi sõltuvuse kohta algtingimustest. Teaduse, eriti kvantmehaanika hilisem areng lükkas Laplace'i determinismi ümber. 1927. aastal avastas ja sõnastas määramatuse printsiibi saksa füüsik Werner Heisenberg. See põhimõte selgitab, miks mõned juhuslikud nähtused ei allu Laplacia determinismile.

Heisenberg demonstreeris määramatuse põhimõtet, kasutades näitena tuuma radioaktiivset lagunemist. Seega on tuuma väga väikese suuruse tõttu võimatu teada kõiki selle sees toimuvaid protsesse. Seetõttu, hoolimata sellest, kui palju me tuuma kohta teavet kogume, on võimatu täpselt ennustada, millal see tuum laguneb.

Aastatel 1926–1927 konstrueeris Hollandi insener B. Van der Pol elektroonikalülituse, mis vastab südame kokkutõmmete matemaatilisele mudelile. Ta leidis, et teatud tingimustel ei olnud ahelas esinevad võnked perioodilised, nagu normaalse südamelöögi korral, vaid ebaregulaarsed. Tema töö sai tõsise matemaatilise põhjenduse Teise maailmasõja ajal, kui J. Littlewood ja M. Cartwright uurisid radari põhimõtteid.

1950. aastal tegi J. von Neumann ettepaneku, et ilmastiku ebastabiilsus võib ühel päeval osutuda õnnistuseks, kuna ebastabiilsus tähendab, et soovitud efekti saab saavutada.

1960. aastate alguses püüdis Ameerika matemaatik S.Smale koostada ammendava klassifikatsiooni dünaamiliste süsteemide tüüpiliste käitumisviiside kohta. Algul eeldas ta, et erinevatest perioodiliste liigutuste kombinatsioonidest võib loobuda, kuid peagi mõistis, et võimalik on palju keerulisem käitumine. Eelkõige uuris ta üksikasjalikumalt keerukat liikumist, mille Poincaré avastas piiratud kolme keha probleemis, lihtsustades geomeetriat ja saades süsteemi, mida praegu tuntakse Smale hobuserauana. Ta tõestas, et sellisel süsteemil on hoolimata oma determinismist mõned juhusliku käitumise tunnused. Teisi näiteid sellistest nähtustest töötasid välja Ameerika ja Vene koolkonnad dünaamiliste süsteemide teoorias ning eriti oluliseks osutus V. I. Arnoldi panus. Nii hakkas tekkima üldine kaoseteooria.

Asjaolu, et tundlikkus esialgsete andmete suhtes viib kaoseni, mõistis – ja ka 1963. aastal – Ameerika meteoroloog. Edward Lorenz. Ta imestas, miks arvutite kiire täiustamine ei viinud meteoroloogide unistuse – usaldusväärse keskpika (2-3 nädalat ette) – ilmaprognoosi täitumiseni? Edward Lorenz pakkus välja kõige lihtsama õhukonvektsiooni kirjeldava mudeli (see mängib atmosfääri dünaamikas olulist rolli), arvutas selle arvutis välja ega kartnud tulemust tõsiselt võtta. See tulemus – dünaamiline kaos – on mitteperioodiline liikumine deterministlikes süsteemides (st neis, kus tuleviku määrab unikaalselt minevik), millel on piiratud prognoosihorisont.

Matemaatika seisukohalt võime eeldada, et iga dünaamiline süsteem, olenemata sellest, mida ta modelleerib, kirjeldab punkti liikumist ruumis, mida nimetatakse faasiks. Selle ruumi kõige olulisem tunnus on selle mõõde või lihtsamalt öeldes numbrite arv, mis tuleb süsteemi oleku määramiseks täpsustada. Matemaatika ja arvuti seisukohast polegi nii oluline, mis need numbrid on - ilveste ja jäneste arv teatud territooriumil, päikese aktiivsust või elektrokardiogrammi kirjeldavad muutujad või ikkagi presidenti toetavate valijate protsent. Kui eeldame, et faasiruumis liikuv punkt jätab jälje, siis trajektooride sasipundar vastab dünaamilisele kaosele. Siin on faasiruumi mõõde vaid 3. On tähelepanuväärne, et sellised hämmastavad objektid eksisteerivad isegi kolmemõõtmelises ruumis.

2. Kord ja korratus

Kaoseteooria on piisavalt üldine, et hõlmata väga paljusid nähtusi meie maailmas ja samal ajal ergutab lugejate kujutlusvõimet. Selgus ju, et kord tekib just kaosest, mitte kuskilt mujalt! Teisest küljest on tänapäevastes kaose teaduslikes ideedes palju punkte, mis nõuavad hoolikat tähelepanu ja põhjalikku uurimist. Võib-olla on küsimusi rohkem kui vastuseid.

Kord ja korratus

Allpool ehk selguvatel põhjustel pöördume esmalt kahe ülimalt olulise kaasaegse teaduse mõiste poole: "kord" ja "korratus". Tavaliselt meile tundub, et siin on kõik algusest peale selge ja arusaadav, kuid tegelikult pole see kaugeltki nii. Ja kaose mõiste muutub teatud määral huvitavaks ja oluliseks just seetõttu, et me ei saa hakkama ilma korra ja korratuseta.

Esiteks, mis on kord ja mis on korratus? Millises suhtes nad omavahel on? Ja kuidas üht teisest eristada? Selgub, et need küsimused pole sugugi triviaalsed, nagu varsti näeme.

Igapäevaelus on tavaks arvata, et korralagedus on korra puudumine. Sellised mõisted on üsna levinud, näiteks "külm". Kasutame seda igal sammul ja mõistame, mida selle all mõeldakse. Pealegi "mõõtme" seda isegi termomeetriga. Ja ometi pole külma kui sellist olemas. Seal on kuumus ja külm on tegelikult selle puudus. Kuid me ütleme "külm", nagu oleks see midagi tõelist (või, nagu filosoofid ütlevad, sisulist).

Kuid mõistega "häire" on kõik teatud mõttes vastupidine. Me kasutame seda sõna millegi puudumise (korra) tähistamiseks, mis on just see, mis iseenesest eksisteerib. Kuid tekib küsimus: kas see on nii?

Selgitagem asja olemust konkreetse näitega, mille jaoks kujutame ette ühe kindla professori töölauda. Vaadates seda, arvatavasti otsustame, et kõik, mis sellel on, visatakse korratu hunnikusse. Professor ise aga, vaatamata, käsi laiutades, leiab eksimatult vajaliku eseme. Ja vastupidi, kui koristaja laostab kõik korralikesse hunnikutesse, siis ei saa professor samamoodi tööd teha, nagu ei saanud Ray Bradbury romaanis Dandelion Wine vanaema süüa teha pärast tädi korraldatud üldkoristust köögis.

Võib-olla tuleks tunnistada, et see, mida oleme harjunud korrarikkumiseks nimetama, ei ole sugugi selle puudumine, mida tavaliselt nimetatakse korraks? Siiski on veel üks võimalus: jätta sõnale "häire" maha selle tavapärane tähendus ja võtta kasutusele teine ​​termin, tähistamaks seda, mida me sageli kõhklemata ka häireks nimetame, kuigi tegelikult peame silmas hoopis midagi muud.

Viimasel ajal pretendeerib sõna "kaos" üha enam sellise mõiste rolli.

Rangelt võttes tuleks vahet teha lihtsalt "kaosel" ja "deterministlikul kaosel". Mis see on - näeme allpool, kuid praegu märgime kahte punkti.

Esiteks, asjade loogika järgi peaks deterministlik kaos olema kaose erijuhtum ja selles mõttes tuleks kasutusele võtta kolm mõistet: kaose üldmõiste ning deterministlik ja mittedeterministlik kaos kui selle kaks erijuhtu. Siis võiks mittedeterministlik kaos olla samaväärne korratusega ja deterministlik kaos tähendas sellest kvalitatiivselt midagi erinevat (täpselt sellest, millest me räägime).

Teiseks, nagu süvaanalüüsist selgub, ei ole erinevus deterministliku ja mittedeterministliku kaose vahel tegelikult nii fundamentaalne, kui tavaliselt arvatakse, ja see on pigem metoodiline kui füüsiline. Seetõttu räägime väljapakutud märkmetes lihtsalt kaosest, selgitades arutluse teemat, kus see on tõesti vajalik. Lisaks on lihtsal, ülevaatlikul ja mahukal sõnal "kaos" teatud esteetiline veetlus, mida ei saa öelda range, kuid pika ja igava "deterministliku kaose" kohta. Lõppude lõpuks ütles Prigogine "Korra kaosest" ja mitte "Korra deterministlikust kaosest".

Vanas maailmas tähendas sõna "kaos" aine organiseerimata olekut, milles see oli enne universumit, ja selles mõttes võib seda hästi tajuda sõna "häire" sünonüümina. Kuid samas sisaldab selline arusaam midagi, mis tekitab muid tähendusi. Tõenäoliselt võiks kaost soovi korral nimetada ülikorraks, mis tähendab, et see sisaldab potentsiaalselt palju erinevaid kordi, millest igaüks saab teatud tingimustel aktualiseerida, luues oma maailma.

Aga tagasi korra ja korratuse kui sellise juurde. Kui vaatame asjade seisu eelarvamusteta, siis näeme, et järjekorra all ei pea me sageli silmas midagi muud kui ruumilist või ajalis-ruumilist seaduspärasust, mis põhineb sellel või teisel sümmeetrial. Seetõttu tahamegi kellegi teise lauda vaadates näha seal sümmeetriliselt paigutatud objekte (meie suhtumine enda lauda on tavaliselt mõnevõrra erinev).

Siin on vaja märkida äärmiselt oluline punkt. Regulaarse struktuuriga süsteemi käitumine on reeglina ennustatav (võib-olla tõenäosuslikul tasemel) ja seda just selles sisalduvate sümmeetriaelementide põhjal. Kui teame, et pliiatsid on tabeli paremas äärmises nurgas, ei leia me tõenäoliselt üht neist vasakult ühe lähedalt. Maailma korrastatus on just see, mis võimaldab meil selles navigeerida. Sellest vaatenurgast on süsteemi nii korratute kui ka kaootiliste olekute peamine ühine omadus see, et me ei saa ennustada selle käitumist. Sel juhul võib käitumisel olla nii ajaline kui ka ruumiline tõlgendus. Esimesel juhul tähendab see võimatust öelda, millises olekus süsteem antud ajahetkel on, ja teisel juhul, milline on selle ruumiline konfiguratsioon.

Võib-olla muudab korrastatud süsteemid atraktiivseks meie sisemine (ja mitte alati teadlik) soov elada ennustatavas maailmas. Ja asjaolu, et kaos on potentsiaalsete võimaluste poolest ilmselt võrreldamatult rikkam kui kord, ei muuda olukorda. Tahes või tahtmatult tajume seda kui midagi hirmutavat ja meie tavateadvusele võõrast.

Intellektuaalsel tasandil on meile enam-vähem selge, et süsteemi korrastatus, mis iganes see ka tegelikult on, on kuidagi seotud selle keerukusega. Maja ehitamine on raskem kui selle maha lammutamine. Loomine eeldab korrastamist, hävitamine aga korratust. Ehitatud majas on elemente, millel on teatud funktsionaalne roll, kuid killustikuhunnikul mitte.

Kuid kas keerukus on alati ilmne ja kas selle määrab alati sümmeetria? Meenutagem veel kord professori tabelit: esemete paigutus sellel on täiesti ebakorrapärane, kuid üsna keeruline. Kui te mind ei usu, proovige selgitada, kuidas professor õige eseme leiab.

Seega tuleb tunnistada, et on süsteeme, mille keerukus on kõrge, kuid millel puudub näiline korrapärasus. Meile tundub, et nende elementide vahel pole seoseid ja nad paiknevad juhuslikult, kuigi tegelikult on seoseid, kuid need on liiga keerulised, et me näeksime. Seetõttu pole viga öelda, et kord tavalises mõttes on korratuse ja kaose ristand. Korra võib soovi korral defineerida kui manifestse struktuuriga kaost, korratust aga struktuuri puudumisena (niipea, kui hakkame nägema seoseid süsteemi elementide vahel, muutub see meie jaoks korrastatuks). Seetõttu on kaos iseseisev ja isemajandav mõiste, sest millegi mitteavaldamine ei tähenda selle puudumist.

Häire ja kaos süsteemis on sarnased selle poolest, et me ei näe selle elementide paigutuses mustreid. Erinevus seisneb selles, et korratuse korral neid tõesti ei eksisteeri, kaose korral aga olemas, aga mitte elementide tegelikus paigutuses praegusel ajahetkel, vaid nendes sisemistes mehhanismides, mis seda genereerivad. kokkulepe. Pealegi (ja see on kõige tähelepanuväärsem) saab selliseid mehhanisme füüsiliselt rakendada ka väljaspool süsteemi, näiteks professori peas, kes teab, kus kõik tema laual on. Seetõttu näivad laual olevad esemed suvaliselt valetavat kõigile, välja arvatud professorile endale, kuna tema üksi teab nende paigutuse põhimõtet.

3. Rakendatud kaos

Tihti arutatakse küsimust: milleks on kaos?

Esiteks ei tohiks alahinnata selle kontseptsiooni kolossaalset ideoloogilist tähtsust. Meid ümbritsev maailm on täis mittelineaarseid nähtusi ja protsesse, mille õige mõistmine on mõeldamatu, mõistmata kaose võimalikkust, aga ka sellega kaasnevaid fundamentaalseid piiranguid keerukate süsteemide käitumise ennustatavusele. Näiteks muutub üsna ilmseks ajaloolise protsessi ühemõttelise määratluse õpetuse vastuolulisus.

Eelnev ei takista meid arutlemast kaose kasutamise võimaluse üle erineva iseloomuga süsteemides mis tahes konkreetsel praktilisel eesmärgil või arvestamast tagajärgedega, mida keerulise dünaamika tekkimine võib kaasa tuua.

Toome lihtsa näite – laeva või naftaplatvormi dünaamika probleem lainete juuresolekul. Teadaoleva lähenduse kohaselt on see välise perioodilise toimega mittelineaarne dünaamiline süsteem. Laeva normaalne töökorraldus vastab süsteemi ühele atraktorile, tagurpidi - teisele. Võib küsida, kuidas asub teise atraktori tõmbebassein ja kuidas see töötab. Kuidas see erutuse intensiivsusest sõltub? On selge, et teise atraktori külgetõmbebasseini kukkumine toob kaasa katastroofi! Rõhutame, et ainult mittelineaarne analüüs annab tervikliku ülevaate olukorrast, tingimuste kujunemisest ja soovitustest katastroofi vältimiseks.

Kaootiliste režiimide dünaamilise olemuse ja nende tundlikkuse tõttu väikeste häirete suhtes võimaldavad need tõhusat kontrolli välise kontrollitud tegevuse kaudu. Sellise mõju eesmärk võib olla perioodilise režiimi rakendamine süsteemis kaose või faasiruumi teatud piirkonda sattumise asemel. See idee, mille algselt esitas rühm Ameerika teadlasi Marylandi ülikoolist, näib olevat rakenduslikus mõttes väga paljulubav ja viljakas. Praeguseks on sellel teemal olemas laialdane kirjandus ning toimunud on palju rahvusvahelisi teaduskonverentse.

Edukad näited kaose juhtimisest on rakendatud mehaanilistes süsteemides, elektroonikaseadmetes, laserites. Näiteks on artikkel, mis käsitleb kaose juhtimise tehnikate rakendamist kosmoseaparaadi Kuule saatmiseks. Selgub, et väikeste kontrollitud toimingute abil saab probleemi lahendada väga olulise kütusesäästuga, seda aga lennukestuse pikenemise hinnaga.

Teine mittelineaarse dünaamika ideede ja meetodite rakendussuund on seotud signaalitöötluse probleemiga. Kujutage ette, et uuritakse kauget ja ligipääsmatut objekti, nii et meie võimalused piirduvad sellest tuleva signaali analüüsimisega. Viimastel aastatel on välja pakutud tehnikaid, et välja selgitada, kas signaali toodab dünaamiline süsteem, samuti saada teavet selle süsteemi omaduste ja omaduste kohta. Seega muutub mittelineaarse dünaamika aparaat uurimisvahendiks, mis võimaldab teha järeldusi või oletusi objekti struktuuri kohta, konstrueerida selle dünaamilist mudelit jne. Oluliseks valdkonnaks võib pidada signaalianalüüsi meetodite ja algoritmide väljatöötamist. mittelineaarsest dünaamikast, mis on otseselt seotud võimalike rakendustega.

Signaalianalüüsi ja -töötluse, mudeliehituse ja kaosekontrolli tehnikate kasutamise väljavaated seoses meditsiini ja bioloogia probleemidega on kõrgelt hinnatud.

Raadiotehnikas ja elektroonikas on teada mitmeid rakendusi, kus on vaja müralaadsete võnkumiste generaatoreid, milleks võivad olla erinevad dünaamilises kaoserežiimis töötavad seadmed. Näideteks on liikuval lainetorul viivitatud sidestusega ostsillaatorid.

Üks kaose võimalikke rakendusi on dünaamiliste süsteemide genereeritud kaootiliste signaalide kasutamine suhtluseesmärkidel. Signaalide kaootiline olemus avab uusi võimalusi raskesti tabatava teabe kodeerimiseks. Välja on pakutud mitmeid skeeme, mis pakuvad sidet kaootiliste signaalide kaudu, ja on tehtud näidiskatseid.

Mittelineaarses dünaamikas saadud tulemused avavad uusi mittetriviaalseid võimalusi tihendamiseks ja salvestamiseks, aga ka info töötlemiseks. Selliseks huvitavaks näiteks on Venemaa Teaduste Akadeemia Raadiotehnika ja elektroonika instituudis välja pakutud skeem teabe kodeerimiseks ja töötlemiseks ühemõõtmelise kaardistamise abil. Fraktaalgeomeetria ideede põhjal töötatakse välja tõhusad teabe tihendamise meetodid. Töötamisel on küsimus arvutusprotsesside rakendamisest süsteemides, mis erinevad traditsioonilisest arvutiarhitektuurist ja põhinevad mittelineaarse dünaamika nähtustel.

4.Põhiprintsiibid. Kaose uurimiseks kasutatakse üldmatemaatilisi põhimõtteid ja arvutimodelleerimist. Iga dünaamilise süsteemi põhiomadus on iteratsioon, st. sama matemaatilise reegli korduva (korduva) rakendamise tulemus mõnele valitud olekule. Olekut kirjeldatakse tavaliselt arvu või numbrite komplektiga, kuid see võib olla ka geomeetriline kujund või konfiguratsioon.

Kaoseteooria põhikontseptsioon on atraktorid ja fraktalid.

meelitaja

(inglise keelest meelitada - meelitada) - geomeetriline struktuur, mis iseloomustab käitumist faasiruumis pärast pikka aega. Siin on vaja defineerida faasiruumi mõiste.

Neli atraktorit moodustavad välismaailma põhistruktuuri, turu käitumise ja liikumise olemuse. Kaoseteooria on analüütilise teooriaga täielikus vastuolus. See annab meile uue metafüüsika. See keskendub hetkel toimuvale, mis on turgu analüüsides palju olulisem. Kaoseteooria annab terviklikuma pildi, hõlmates kogu jõeturu oma kulgemises koos kõigi ootamatute pöörete ja ootamatustega. Oskus märgata käimasolevaid muutusi voos on tõhusa turuanalüüsi ülesanne ja vastumürk dogmatismile, kauplejate saatuslikule “haigusele”. Turg näib sageli olevat sama kaootiline kui meie sisemaailm, meie teadvuse voog. Et sellest kaosest mingitki mõtet saada, peame avastama tegelikkuse ja turu aluseks oleva struktuuri – alusstruktuuri, mis paljastab kaose aluseks oleva korra.

Turg kui reaalse maailma nähtus on põhimõtteliselt korratu ja vaba. Kaos valitseb ennustatavuse üle. Lihtsad lineaarsed lähenemisviisid turul kauplemiseks ei tööta. Turg on lõputult keeruline. Kõrgem kord sünnib alati kaosest, kuid see kord tekib spontaanselt ja ettearvamatult. Sarnaselt ilmastikuga võivad aktsia- ja kaubaturud, aga ka muud kaootilised süsteemid tekitada ettearvamatuid tulemusi, kui koguste muutused kordavad neile reageeringust ebaolulisi muutusi. Praegu kasutavad aktsiamängijad investeerimisel ja kauplemisel mittelineaarseid meetodeid. Fraktalid on turu uued mänguasjad. Fraktalid on turgude iseorganiseerumise viis. Konkreetne fraktaalorganisatsioon luuakse mehhanismide abil, mida kaoseteaduses nimetatakse atraktoriteks.

Et kasutada mõtlemist nähtuste sorteerimiseks ja õppida mõistma toimuva tähendust, peame esmalt leidma tegelikkuse põhistruktuuri. Struktuur, mis paljastab kaose aluseks oleva korra. On neli mittelineaarset funktsiooni, mis aitavad meil seda järjestust meie enda meelest määratleda. Kaoseteadlased on avastanud, et pealtnäha kaootilised ja seadusetud protsessid järgivad tegelikult varjatud korda. Nende avastatud järjekord on neljakordne: kõik välisnähtused toimivad vastavalt sellele, mida nad nimetavad neljaks atraktoriks – jõududeks, mis tõmbavad korra välja korratusest. Neid nimetatakse punktiatraktoriks, tsükliliseks atraktoriks, Torase atraktoriks ja kummaliseks atraktoriks.

Punkti meelitaja on lihtsaim viis kaosesse korda tuua. Ta elab joone esimeses dimensioonis, mis koosneb lõpmatust arvust punktidest. Selle atraktori mõjul kogeb inimene kalduvust ühele tegevusele ja vastumeelsust teise vastu. See on esimese mõõtme atraktor ja seda saab kasutada turgudel kauplemiseks.

Tsüklilise atraktori tunnuseks on edasi-tagasi liikumine, nagu pendel või tsükliline magnet. See tõmbab, siis tõrjub, siis jälle tõmbab jne. Ta elab tasandi teises dimensioonis, mis koosneb lõpmatust arvust joontest. Seda iseloomustab koridori suletud turg, kus hind liigub teatud ajavahemiku jooksul teatud vahemikus üles-alla. See atraktor on keerulisem kui punktiatraktor ja on keerukama käitumise põhistruktuur. Üks tegevus viib korduva mustriga automaatselt teise juurde. Teraviljaturul on see nähtus iga-aastane.

Kolmas, keerulisem atraktoritüüp on tuntud kui Torase atraktor. See alustab keerulist vereringet, mis kordub edasi liikudes. Ta elab kolmandas dimensioonis, mis koosneb lõpmatust arvust tasanditest. Võrreldes tsükliliste ja punkt-atraktoritega on Torase atraktoril suurem häireaste ja selle mudelid on keerukamad. Sellel tasemel on ennustused täpsemad ja mudelid kipuvad tunduma terviklikumad. Graafiliselt näeb see välja nagu sõrmus või bagel. See moodustab mitmel erineval tasapinnal spiraalseid ringe ja mõnikord naaseb iseendasse, viies lõpule täieliku revolutsiooni. Selle peamine omadus on korduv tegevus. Sarnaseid nähtusi võib täheldada ka ülemaailmsete turvalisuse tagamise varade otsimisel. Kui riigivõlakirjade intressimäär tõuseb, meelitavad need ligi rohkem investoreid. Siis tõusevad nende hinnad, mis alandab intressimäära ja muudab nad vähem atraktiivseks jne.

Neljandast dimensioonist pärit kummaline ligitõmbaja on iseorganiseeruv. See on vabaduse ja turu tegeliku toimimise mõistmise sünnikoht. Sellel, mida pealiskaudne silm tajub absoluutse kaosena, milles korda pole märgata, on neljandast dimensioonist vaadeldes teatud kord, mis põhineb kummalisel atraktoril. Veel üks kummalise atraktori omadus on selle tundlikkus algtingimuste suhtes, mida mõnikord nimetatakse "liblikaefektiks". Väikseimgi kõrvalekalle algsetest tingimustest võib kaasa tuua tohutuid erinevusi tulemuses. Erinevused algtingimustes tehingute sõlmimisel võivad mõjutada kauplemissüsteemi kasumlikkust viis korda. Teisisõnu võib tundlikel algtingimustel tehingute tegemine kaasa tuua 500 protsendilise kasumi kasvu.

fraktalid

70ndate lõpus ilmunud fraktaalgeomeetria ja fraktaalgeomeetria kontseptsioonid on matemaatikute ja programmeerijate igapäevaellu kindlalt sisenenud alates 80ndate keskpaigast. Sõna fraktaal on tuletatud ladinakeelsest sõnast fractus ja tähendab fragmentaarne. Benoit Mandelbrot tegi 1975. aastal ettepaneku viidata tema uuritud ebakorrapärastele, kuid isesarnastele struktuuridele. Fraktaalgeomeetria sündi seostatakse tavaliselt Mandelbroti raamatu ilmumisega 1977. aastal "Looduse fraktaalgeomeetria". Tema töödes kasutati teiste aastatel 1875-1925 samal alal töötanud teadlaste (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff) teaduslikke tulemusi. Kuid ainult meie ajal oli võimalik nende tööd ühendada ühtseks süsteemiks.

Fraktaalide roll arvutigraafikas on tänapäeval üsna suur. Nad tulevad appi näiteks siis, kui on vaja mitme koefitsiendi abil määratleda väga keerulise kujuga jooni ja pindu. Arvutigraafika seisukohalt on fraktaalgeomeetria hädavajalik tehispilvede, mägede ja merepinna tekitamiseks. Tegelikult on leitud viis, kuidas hõlpsasti kujutada keerulisi mitteeukleidilisi objekte, mille kujutised on väga sarnased looduslikele.

Fraktalide üks peamisi omadusi on enesesarnasus. Lihtsamal juhul sisaldab väike osa fraktaalist teavet kogu fraktalist.

Mandelbroti antud fraktali definitsioon on järgmine: "Fraktal on struktuur, mis koosneb osadest, mis on mõnes mõttes sarnased tervikuga"

Fraktalid:

geomeetrilised fraktalid

Selle klassi fraktalid on kõige ilmsemad. Kahemõõtmelisel juhul saadakse need kasutades mingit polüliini (või ruumilisel juhul pinda) nn. generaator. Algoritmi ühes etapis asendatakse iga katkendjoone moodustav segment sobivas skaalas katkendjoone generaatoriga. Selle protseduuri lõputu kordamise tulemusena saadakse geomeetriline fraktal.

Joonis 1. Trioodi Kochi kõvera konstrueerimine.

Vaatleme ühte sellistest fraktaalobjektidest - triood Kochi kõverat. Kõvera konstrueerimine algab ühikupikkuse segmendiga (joonis 1) – see on Kochi kõvera 0. põlvkond. Lisaks asendatakse iga link (üks segment nullpõlvkonnas) lingiga generatrix, mis on joonisel fig 1 tähistatud kui n=1. Sellise asendamise tulemusena saadakse Kochi kõvera järgmine põlvkond. Esimeses põlvkonnas on see nelja sirge lüli kõver, millest igaüks on 1/3 pikk. 3. põlvkonna saamiseks tehakse samad toimingud - iga link asendatakse vähendatud moodustava elemendiga. Seega tuleb iga järgmise põlvkonna saamiseks kõik eelmise põlvkonna lingid asendada vähendatud moodustava elemendiga. Nimetatakse n-nda põlvkonna kõver iga lõpliku n jaoks prefraktaal. Joonisel 1 on kujutatud kõvera viit põlvkonda. Kuna n kaldub lõpmatuseni, muutub Kochi kõver fraktaalobjektiks

Arvutigraafikas on puude, põõsaste ja rannajoone kujutiste saamisel vajalik geomeetriliste fraktaalide kasutamine. Kahemõõtmelisi geomeetrilisi fraktaleid kasutatakse kolmemõõtmeliste tekstuuride (objekti pinnal olevad mustrid) loomiseks.

Algebralised fraktalid

See on suurim fraktalide rühm. Need saadakse mittelineaarsete protsesside abil n-mõõtmelistes ruumides. Enim uuritakse kahemõõtmelisi protsesse. Tõlgendades mittelineaarset iteratiivset protsessi diskreetse dünaamilise süsteemina, võib kasutada nende süsteemide teooria terminoloogiat: faasiportree, püsiseisund, meelitaja jne.

On teada, et mittelineaarsetel dünaamilistel süsteemidel on mitu stabiilset olekut. Olek, millesse dünaamiline süsteem pärast teatud arvu iteratsioone satub, sõltub selle algolekust. Seetõttu on igal stabiilsel olekul (või, nagu öeldakse, atraktoril) teatud algolekute ala, millest süsteem langeb tingimata vaadeldavatesse lõppolekutesse. Seega on süsteemi faasiruum jagatud tõmbepiirkonnad atraktorid. Kui faasiruum on kahemõõtmeline, saab tõmbepiirkondi erinevate värvidega värvides värvifaasi portree see süsteem (iteratiivne protsess). Värvivaliku algoritmi muutes saate keerukaid fraktaalmustreid koos uhkete mitmevärviliste mustritega. Üllatus matemaatikute jaoks oli võime luua primitiivsete algoritmide abil väga keerulisi mittetriviaalseid struktuure.

Joonis 3. Mandelbroti komplekt.

Vaatleme näiteks Mandelbroti komplekti (vt joonised 3 ja 4). Selle ehitamise algoritm on üsna lihtne ja põhineb lihtsal iteratiivsel avaldisel:

kus Zi ja C on kompleksmuutujad. Iteratsioonid viiakse läbi iga ristküliku- või ruudukujulise piirkonna – komplekstasandi alamhulga – lähtepunkti C jaoks. Iteratiivne protsess jätkub seni, kuni see väljub raadiusega 2 ringist, mille keskpunkt asub punktis (see tähendab, et dünaamilise süsteemi atraktor on lõpmatuses) või pärast piisavalt suurt arvu iteratsioone (näiteks 200 -500) see koondub mõnesse ringi mis tahes punkti. Sõltuvalt iteratsioonide arvust, mille jooksul see ringi sees püsis, saate määrata punkti C värvi (kui see jääb ringi sisse piisavalt suure arvu iteratsioonide jaoks, siis iteratsiooniprotsess peatub ja see rasterpunkt muutub mustaks).

Joonis 4. Osa Mandelbroti komplekti piirist, suurendatud 200 korda.

Ülaltoodud algoritm annab ligikaudse nn Mandelbroti hulgale. Mandelbroti komplekt sisaldab punkte, mis ajal lõputu iteratsioonide arv ei lähe lõpmatuseni (punktid on mustad). Hulga piirile kuuluvad punktid (siit tekivad keerulised struktuurid) lähevad lõpmatuseni lõpmatu arvu iteratsioonidega ja väljaspool hulka asuvad punktid pärast mitut iteratsiooni (valge taust).

Stohhastilised fraktalid

Teine tuntud fraktalide klass on stohhastilised fraktalid, mis saadakse siis, kui iteratiivse protsessi käigus muudetakse juhuslikult mõnda selle parameetrit. Selle tulemusel tekivad looduslikele väga sarnased objektid – asümmeetrilised puud, taandunud rannajooned jne. Maastiku ja merepinna modelleerimisel kasutatakse kahemõõtmelisi stohhastilisi fraktaale.

Fraktaalidel on ka teisi klassifikatsioone, näiteks fraktalide jaotus deterministlikeks (algebralisteks ja geomeetrilisteks) ja mittedeterministlikeks (stohhastilisteks).

5. Deterministlik kaos ja infotehnoloogia

Analoogia põhjal anti mõiste ebaregulaarse (kaootilise) liikumise nähtusele mittelineaarsetes süsteemides dünaamiline, või deterministlik ,kaos. Täheldatud kaootiline käitumine ei ole tingitud välistest müraallikatest, mitte suurest arvust vabadusastmetest ega ka kvantmehaanikaga seotud ebakindlusest. Selle genereerib mittelineaarse deterministliku süsteemi enda dünaamika. Süsteemi faasiruumis vastab see käitumine kummaline ligitõmbaja. meelitaja (meelitaja) inglise keelest tõlgituna tähendab "tõmbaja"; antud juhul on see faasiruumi trajektooride kogum, kuhu tõmmatakse kõik teised trajektoorid mingist atraktori naabruskonnast, mida nimetatakse ka tõmbebassein. Mõistet "kummaline" kasutatakse atraktori ebatavaliste omaduste rõhutamiseks, mis vastavad kaootilisele käitumisele. Ebakorrapärase käitumise põhjuseks on mittelineaarsete süsteemide omadus eraldada faasiruumi piiratud piirkonnas eksponentsiaalselt kiiresti algselt lähedasi trajektoore. Kaootiliste süsteemide trajektooride käitumist ei ole võimalik pikka aega ennustada, kuna tundlikkus algtingimuste suhtes on suur ning algtingimusi saab nii füüsilistes katsetes kui ka arvutisimulatsioonides määrata ainult lõpliku täpsusega.

Kaose kontroll

Esmapilgul muudab kaose olemus selle kontrollimise võimatuks. Tegelikkuses on aga olukord täpselt vastupidine: kaootiliste süsteemide trajektooride ebastabiilsus muudab need kontrolli suhtes ülitundlikuks.

Olgu näiteks mingi kummalise atraktoriga süsteem, mis nõuab faasitrajektoori ülekandmist atraktori ühest punktist teise. Kaootilistel trajektooridel on omadus aja jooksul naabrusse sattuda ükskõik milline atraktorile kuuluvad punktid. Kui see on vajalik aja pärast, mis ei ole suurem kui T, võib vajaliku tulemuse saada trajektoori ühe või mitme peene, ebaolulise häire tõttu. Kõik need häired muudavad trajektoori vaid veidi. Kuid mõne aja pärast viib väikeste häirete kuhjumine ja eksponentsiaalne võimendamine trajektoori üsna tugeva korrigeerimiseni. Häirete õige valiku korral võimaldab see probleemi lahendada ilma trajektoori kaootilisest atraktorist eemale nihutamata. Seega näitavad kaosega süsteemid nii head juhitavust kui ka hämmastavat plastilisust: süsteem on tundlik välismõjude suhtes, säilitades samal ajal liikumise tüübi. Kontrollitavuse ja plastilisuse kombinatsioon on paljude teadlaste arvates põhjus, miks kaootiline dünaamika on paljudele elusorganismide elutähtsatele allsüsteemidele iseloomulik käitumisviis. Näiteks südame löögisageduse kaootiline olemus võimaldab südamel paindlikult reageerida muutustele füüsilises ja emotsionaalses stressis, pakkudes dünaamilise jõu reservi.

Kaos, nii huvitav kui see ka pole, on vaid osa keerulisest käitumisest mittelineaarsed süsteemid. On ka mitteintuitiivne nähtus, mida võiks nimetada kaosevastane. See väljendub selles, et mõned väga korrastamata süsteemid "kristallistuvad" spontaanselt, omandades kõrge korra. Antichaos peaks mängima olulist rolli bioloogilises arengus ja evolutsioonis.

On mitmeid argumente selle kasuks, et dünaamiliste süsteemide kolme põhjalikult uuritud käitumistüübi – statsionaarsete olekute, perioodiliste ja kvaasiperioodiliste võnkumiste, aga ka kaose – kõrval eksisteerib ka neljas spetsiifiline käitumistüüp. korrapärase liikumise ja kaose piiril. On täheldatud, et sellel piiril, mida nimetatakse "kaose servaks", võivad toimuda evolutsiooni ja infotöötlusega sarnased protsessid.

Joonis 1. Näide kaootilisel dünaamikal põhineva assotsiatiivse mälu kasutamisest orienteerumise ja navigeerimise eesmärgil. Orienteerumisala kogupindalaga 576 km 2 on seatud geograafilise kaardi mõõtkavas M 1:20000. See on jagatud 16 fragmendiks, millest igaüks on 200x200 piksliga värviline graafiline kujutis 256-värvilises tähestikus. Kõik kujutised on esitatud piirtsüklina samas kahemõõtmelises tükipõhises lineaarses kaardistuses.

Asukoha määramiseks piisab, kui kasutaja esitab mis tahes tüki kaardifragmendist. Kui teose otsimine õnnestub (edu registreeriti palade esitamisel saatesse kuni 1 km kaugusel 2 , see tähendab kuni 0,2 protsenti algsest alast), ilmub ekraanile vastav kaardilõik.

Programm demonstreerib ka moonutatud tükkide järgi tuvastamise võimalust. Meie näites võib tuvastamiseks esitatud tüki moonutuste tase olla 70–80 protsenti.

Vastupidiselt dünaamilisele kaosele on kõnealune nähtus, mida mõnikord nimetatakse keerukus(keerukus) esineb süsteemides, mis koosnevad paljudest vastastikku mõjutavatest elementidest. Sellised süsteemid ei näita sageli mitte ainult neljandat tüüpi käitumist, vaid neil on ka adaptiivsed omadused, kui kohanemist mõistetakse dünaamika järsu lihtsustamisena. süsteemid võrreldes mitmemõõtmelise kaootilise dünaamikaga selle isoleeritud elementide kogum. Allpool toodud näited kajastavad mitmeid kaose piiril olevate süsteemide ühiseid omadusi.

Elumäng rakuautomaatides

Selle rakuautomaadi reeglistik (st süsteemi parameetrid) on selline, et selle käitumine on kitsas tsoonis stabiilsuse ja kaose piirkondade vahel. Süsteemi käitumine sarnaneb "päris" eluprotsessidega. Lisaks on selliste objektide nagu "plaandurid" ja "katapuldid" analüüsimisel matemaatiliselt tõestatud mängu "Elu" samaväärsus Turingi masinaga ja seeläbi tõestatud universaalsete arvutustega samaväärsete protsesside olemasolu selles.

bioloogiline evolutsioon

Alates Darwini ajast on bioloogid vaadelnud evolutsiooni kui loodusliku valiku protsessi. Siiski on võimalik, et bioloogiline kord peegeldab osaliselt spontaanset järjestamist, mille vastu loodusliku valiku mehhanism toimis. Teisisõnu, morfoloogiliste tunnuste ruumis toimuva evolutsiooni käigus ei saa realiseerida mitte kõiki kombinatsioone, vaid ainult mõnda valitud "atraktorite" komplekti. See tähendab, et on raske eeldada, et deformatsioonid on võimalikud. Lisaks kiirendab selline mehhanism oluliselt evolutsiooniprotsessi. See kitsendab järsult lubatud liikumistrajektooride kogumit ja seeläbi ka vajalikku arvu "iteratsioone" ühe või teise bioloogilise liigi ilmumiseks. Siin on asjakohane analoogia juhusliku ja gradiendi ekstreemumiotsingu meetodite lähenemiskiiruse vahel: esimesel juhul tehakse otsing kogu muutujate muutuste vahemikus ja teisel juhul ainult teatud trajektoori mööda.

Bioloogia seisukohalt polegi nii oluline, mis tüüpi atraktoreid morfoloogiliste võimaluste ruumis realiseeritakse. On oluline, et trajektooride voolud "langeksid" mõnele piiratud alale, tõstes seeläbi esile struktuuriliselt stabiilsete liikide saared morfoloogiliste tunnuste ruumis. Ja atraktorid ise võivad olla valamud, tsiklid, kummalised atraktorid jne.

Iseorganiseerunud kriitilisus

Suure hulga interakteeruvate elementidega süsteem areneb loomulikult kriitilisse olekusse, kus väike sündmus võib viia katastroofini. Kuigi liitsüsteemides on väiksemaid sündmusi rohkem kui katastroofe, on igas suuruses ahelreaktsioonid dünaamika lahutamatu osa. Nagu kriitilisuse teooriast järeldub, põhjustavad väikesed sündmused sama mehhanismi, mis suured. Pealegi ei jõua süsteemi koostisosad kunagi tasakaalu, vaid arenevad ühest metastabiilsest olekust teise.

Iseorganiseerunud kriitilisuse kontseptsioon viitab sellele, et globaalsed omadused, nagu suurte ja väikeste sündmuste suhteline arv, ei sõltu mikroskoopilistest mehhanismidest. Seetõttu ei saa süsteemi globaalseid omadusi mõista selle osi eraldi analüüsides.

Kuidas saab ette kujutada kohanemismehhanismi ühendatud dünaamilistes süsteemides? Evolutsioonilise tasakaalu mudel (kaose serv) tundub ahvatlev kui omamoodi kaootiline sünkroniseerimine. Tõepoolest, sünkroonimisprotsess lihtsustab oluliselt süsteemi dünaamikat, vähendades selle atraktori mõõtmeid. Selle määrab otseselt süsteemi seotusaste – kaose piirile liikumise "adaptiivne mehhanism" lülitub sisse ainult siis, kui on olemas piisavalt tugevad ühendused.

Teabe genereerimine kaootiliste süsteemide abil

Pöördugem tagasi kaose omaduste juurde madalamõõtmelistes süsteemides. Seega ei saa kaootiliste trajektooride käitumist ennustada suurte ajavahemike puhul. Liikumise ennustamine mööda trajektoore muutub algtingimustest eemaldudes üha ebakindlamaks. Infoteooria seisukohalt tähendab see seda, et süsteem ise genereerib infot ja mida suurem on info loomise kiirus, seda suurem on süsteemi kaootilisus. Kuna süsteem loob informatsiooni, siis sisaldavad seda ka süsteemi trajektoorid.

Riis. 2. Näide tehnoloogia kasutamisest teabe otsimiseks struktureerimata tekstiarhiividest. Arhiivina on kasutatud raamatu "Karupoeg Puhh ja kõik-kõik" teksti. Vastuseks Puhhi küsimusele "Miks mesilased mett teevad?" süsteem pakub tekstiosa, mis sisaldab fraasi: "Mee valmistamise ainus põhjus on see, et ma saaksin seda süüa."

Info salvestamine, salvestamine ja otsimine kaose abil

Nüüd esitame endale küsimuse: kas süsteemi trajektoori on võimalik võrrelda meile huvipakkuvate sümbolite jada kujul oleva informatsiooniga? Kui seda saaks teha, vastaksid osa trajektoore meie infojadadele ja neid saaks saada süsteemi dünaamikat määravate võrrandite lahendamisel. Kui võtta infojada suvaline (mitte liiga väike) fragment, saab selle abil taastada kogu antud trajektoorile vastava infojada. Erinevatele teabejadadele vastavad erinevad trajektoorid ja mis tahes neist on võimalik taastada ükskõik milline selle väikesest killust. Seega realiseerub assotsiatiivne juurdepääs (juurdepääs sisu kaudu) kogu süsteemi salvestatud teabele. Seega salvestatakse ja salvestatakse teavet dünaamilise süsteemi trajektooride kujul ja sellel on assotsiatiivsuse omadused.

See idee tekkis ja arendati välja, püüdes mõista, kuidas kaos võib olla kasulik elussüsteemide teabe töötlemisel. Ehitati matemaatilised mudelid, mis näitasid kaosega dünaamiliste süsteemide trajektoore kasutades teabe salvestamise, salvestamise ja otsimise põhivõimalust. Need mudelid tundusid väga lihtsad ja üks tunnustatud rahvusvahelise ajakirja ekspert kirjutas oma ülevaates: "Need on lihtsalt mänguasjamudelid ja nende põhjal ei saa luua tehnoloogiat, ei idas ega läänes." Peagi anti aga sellesuunaliste uuringute eest Hewlett-Packardi konkursil mustrituvastuse peaauhind. "Mänguasjade" areng on viinud selleni, et nende potentsiaalne infomaht on oluliselt ületanud kogu Internetis saadaoleva teabe (RF patent 2050072, USA patent US 5774587). Ja isegi tagasihoidlikul "pisishkil" sai võimalikuks sünteesida dünaamilisi süsteeme, mille salvestatud teabe hulk on võrdne teoste keskmise kogumiga.

Riis. 3. Kaose allikas, mis koosneb mittelineaarsetest ja lineaarsetest süsteemidest, mis on suletud tagasisideahelasse. Paremal: elektroonilise trükkplaadi välimus (ülemine) ja kaootilise atraktori faasiportree (all). Isegi väikesed muutused elektroonikalülituse elementide parameetrites toovad kaasa olulise muutuse kaootiliste võnkumiste olemuses.

Väljatöötatud tehnoloogia võimaldab salvestada, salvestada ja hankida mis tahes tüüpi andmeid: pilte, tekste, digitaalset muusikat ja kõnet, signaale jne. Tehnoloogia kasutamise näide on assotsiatiivse juurdepääsuga personaalne faksidokumentide haldussüsteem FacsData Wizard, mis annab võimaluse struktureerimata teabe arhiivide loomiseks koos kogu salvestatud teabe täieliku automaatse indekseerimisega.

Vajalike dokumentide otsimiseks teeb kasutaja päringu, sisestades suvalises vormis mitu rida vajaliku dokumendi sisuga seotud teksti. Vastuseks väljastab süsteem soovitud dokumendi, kui sisestatud teave on selle ühemõtteliseks otsimiseks piisav või pakub valikuvõimalusi. Vajadusel saate leitud dokumendist saada faksiimile koopia. Vigade esinemine päringus ja lähteteabe tekstiliseks teabeks teisendamisel ei mõjuta oluliselt otsingu kvaliteeti. Elektroonilise arhiivi loomine ei nõua täiendavat kettaruumi. Salvestatud dokumentide salvestusmaht võib isegi väheneda.

Teabe edastamine ja kaitse

Enamik tänapäevaseid sidesüsteeme kasutab teabekandjana harmoonilisi võnkumisi. Saatjas olev infosignaal moduleerib neid võnkumisi amplituudis, sageduses või faasis ning vastuvõtjas ekstraheeritakse info pöördoperatsiooni – demodulatsiooni – abil. Kandja modulatsiooni saab läbi viia kas juba tekkinud harmooniliste võnkumiste moduleerimisega või generaatori parameetrite juhtimisega võnke moodustumise protsessis.

Samamoodi on võimalik kaootilist signaali moduleerida infosignaaliga. Siin on aga võimalused palju laiemad. Tõepoolest, kui harmooniliste signaalide puhul on ainult kolm juhitavat karakteristikku (amplituud, faas ja sagedus), siis kaootiliste võnkumiste korral annab juba väike parameetri muutus kindlalt fikseeritud võnkumiste olemuse muutumine. See tähendab, et muutuvate parameetritega kaoseallikatel on lai valik skeeme infosignaali sisestamiseks kaootiliseks (st. kaootilise signaali moduleerimine teabe abil). Lisaks on kaootilised signaalid oma olemuselt lairibaühendused, mille vastu huvi raadiotehnika vastu on traditsiooniline ja on seotud suurema infomahuga. Sidesüsteemides kasutatakse laia kandesignaalide sagedusriba nii infoedastuskiiruse suurendamiseks kui ka süsteemide stabiilsuse tõstmiseks häirete korral.

Seoses satelliit-, mobiil-, mobiil- ja fiiberoptiliste mitme kasutajaga sidesüsteemide arendamisega on viimasel ajal palju tähelepanu pööratud hajaspektri signaalid, kus edastatava signaali ribalaius võib olla palju laiem kui infosignaali ribalaius.

Kaosepõhiste süsteemide müra ja isesünkroniseerimine annavad neile potentsiaalseid eeliseid võrreldes traditsiooniliste pseudojuhuslikel järjestustel põhinevate hajaspektrisüsteemidega. Lisaks võimaldavad need lihtsamat riistvararakendust suurema energiatõhususe ja suurema töökiirusega.

Riis. neli. Näide kaost kasutavast suhtlusskeemist. Saatja ja vastuvõtja sisaldavad samu mittelineaarseid ja lineaarseid süsteeme nagu allikas. Lisaks on saatjas lisatud liitja ja vastuvõtjasse lahutaja. Lisajas liidetakse allika kaootiline signaal ja infosignaal ning vastuvõtja lahutaja on ette nähtud infosignaali isoleerimiseks. Kanalis olev signaal on kaoselaadne ja ei sisalda nähtavaid märke edastatavast infost, mis võimaldab edastada konfidentsiaalset infot. Punkti signaalid AGA ja A", B ja B" paarikaupa võrdne. Seetõttu sisendinfosignaali olemasolul S saatja liitja sisendis eraldatakse sama signaal vastuvõtja lahutaja väljundis.

Kaootiliste signaalide ulatus ei piirdu hajaspektrisüsteemidega. Neid saab kasutada edastatava teabe varjamiseks ja ilma spektri laienemine, st kui teabe ja edastatavate signaalide sagedusribad langevad kokku.

Kõik see stimuleeris aktiivset kaootiliste sidesüsteemide uurimist. Tänaseks on kaosest lähtuvalt välja pakutud mitmeid lähenemisviise infosignaalide spektri laiendamiseks, isesünkroniseeruvate vastuvõtjate ehitamiseks ning lihtsate saatja ja vastuvõtja arhitektuuride arendamiseks. Enamiku pakutud lahenduste idee põhineb "põhisüsteemi" (saatja) poolt genereeritud esialgse häirimatu kaootilise signaali "orjasüsteemi" (vastuvõtja) sünkroniseerimisel. Selliseid sideskeeme kasutades saab nii analoog- kui ka digitaalset teavet edastada erineva andmevookiirusega ja erineva konfidentsiaalsusastmega. Kaost kasutavate sideskeemide teine ​​potentsiaalne eelis on võimalus rakendada uusi kanalite eraldamise meetodeid, mis on eriti oluline mitme kasutajaga sidesüsteemides.

Kui alles hiljuti probleem privaatsus teabe edastamine ja probleem laiemalt teabe kaitse kuulusid peamiselt sõjalistele ja erirakendustele, nüüd muutub tsiviilrakenduste turg üha olulisemaks. Näited on kaubandusliku teabe kaitse arvutites ja arvutivõrkudes, elektrooniliste maksete turvalisus, kaitse CD-ROM-ide, muusika- ja videoplaatide piraatkopeerimise eest, kaitse muusika, video ja muu arvutivõrkude kaudu levitatava teabe kopeerimise eest, Interneti-telefon jne.

Äriteabe kaitse nõuded erinevad oluliselt "klassikalistest". Eelkõige on tüüpiline nõue massilise kasutamise võimalus ja madal hind "teabetoodete" ühiku kohta. Lisaks võivad muutuda ka lähenemised kaitsele. Seega pole CD-plaatide muusika- ja videoteabe kaitsmiseks piraatluse eest vaja, et salvestatud teave oleks "sissetungijale" täiesti kättesaamatu: piisab, kui lihtsalt vähendada taasesituse kvaliteeti tarbija jaoks vastuvõetamatu tasemeni.

Selliste infoturbe "igapäevaste" probleemide lahendamisel saab edaspidi edukalt kasutada deterministlikul kaosel põhinevaid tööriistu.

Muidugi kajastavad artiklis toodud konkreetsed näited kaose kasutamisest info- ja kommunikatsioonitehnoloogiates eelkõige autori ja tema töörühma teaduslikke huve ja seisukohti. Siiski annavad nad ülevaate sellest, kuidas kaos konstruktiivseid probleeme saab lahendada.

6. Kaos teistes teadustes

Kaoseteooria leiab rakendusi paljudes teadustes. Üks varasemaid oli selle rakendamine vedelike turbulentsi analüüsimisel. Vedeliku liikumine on kas laminaarne (sujuv ja korrapärane) või turbulentne (keeruline ja ebaregulaarne). Enne kaoseteooria tulekut oli kaks konkureerivat turbulentsiteooriat. Esimene neist kujutas turbulentsi kui üha perioodilisemate liikumiste kuhjumist; teine ​​selgitas standardse füüsikalise mudeli rakendamatust sellega, et vedelikku ei ole võimalik kirjeldada molekulaarsel skaalal pideva keskkonnana. 1970. aastal pakkusid matemaatikud D. Ruelle ja F. Takens välja kolmanda versiooni: turbulents on kaos vedelikus. Nende oletust peeti algselt väga vastuoluliseks, kuid pärast seda on see mitmel juhul kinnitust leidnud, eriti kahe pöörleva silindri vahelise turbulentsi arengu varases staadiumis. Arenenud turbulents on endiselt salapärane nähtus, kuid tõenäoliselt ei õnnestu kaost üheski võimalikus seletuses vältida. (hüdroaeromehaanika)

Liikumine Päikesesüsteemis on samuti teatavasti kaootiline, kuid siin kulub kümneid miljoneid aastaid, enne kui muutused muutuvad ettearvamatuks. Kaos avaldub mitmel viisil. Näiteks Saturni kuu Hyperion tiirleb korrapärasel, ennustataval orbiidil ümber oma planeedi, kuid samal ajal teeb ta kaootiliselt saltot, muutes enda pöörlemistelje suunda. Kaoseteooria selgitab seda kukkumist Saturni tekitatud loodete jõudude kõrvalmõjuna. Kaoseteooria selgitab ka kehade jaotust Marsi ja Jupiteri vahelises asteroidivöös. See on ebaühtlane: mõnel kaugusel Päikesest on kobarad, teisal tühjad tühimikud. Nii kondensatsioonid kui ka nende heliotsentriliste orbiitide tühjad ruumid asuvad vahemaadel, mis moodustavad Jupiteriga "resonantse". Kaoseteooria näitab, et mõned resonantsid põhjustavad stabiilset käitumist (klombid), teised aga ebastabiilset käitumist (tühjad lüngad).

Kaos esineb ka bioloogias ja ökoloogias. 19. sajandi lõpul on leitud, et loomapopulatsioonid on harva stabiilsed; neile on iseloomulikud ebaregulaarselt vahelduvad kiire kasvu ja peaaegu täieliku väljasuremise perioodid. Kaoseteooria näitab, et rahvastiku muutumise lihtsad seadused võivad neid kõikumisi seletada ilma juhuslikke välismõjusid tekitamata. Kaoseteooria selgitab ka epideemiate dünaamikat, st. kõikuvad mikroorganismide populatsioonid inimorganismides.

Võib jääda mulje, et kaoseteoorial ei tohiks olla kasulikke rakendusi, kuna kaootilised süsteemid on ettearvamatud. See aga ei vasta tõele, esiteks seetõttu, et ainult mõned kaootiliste süsteemide aspektid on ettearvamatud, ja teiseks seetõttu, et teooria kasulikkus ei piirdu otsese ennustamisvõimega. Kaoseteooria kõige lootustandvamate rakenduste hulgas on "kaootiline kontroll". 1950. aastal pakkus J. von Neumann, et ilmastiku ebastabiilsus võib ühel päeval osutuda õnnistuseks, sest ebastabiilsus tähendab, et soovitud efekti on võimalik saavutada väga väikese häirega. 1990. aastal avaldasid S. Grebogi, E. Ott ja J. York teoreetilise skeemi seda tüüpi ebastabiilsuse kasutamiseks kaootiliste süsteemide juhtimiseks. Nende skeem on meetodi üldine vorm, mille abil NASA insenerid saatsid 1985. aastal kosmosesondi kohtuma Giacobini-Zinneri komeediga. Sond tiirles Kuu ümber viis korda, kasutades kolme keha vastasmõju juhuslikkust, mis võimaldab väikese kütusekuluga teha suuri trajektoorimuutusi. Sama meetodit kasutati laserite massiivi sünkroonimiseks; ebaregulaarsete südamelöökide kontrollimiseks, mis avab võimaluse luua "intelligentne" südame löögisageduse stimulaator; aju biovoolude kontrollimiseks, mis võib eelkõige aidata epilepsiahooge kontrolli all hoida; lõpuks turbulentse vedelikuvoolu laminariseerimiseks - meetod, mis võib vähendada lennuki kütusekulu.

Briti füüsikud on loonud süsteemi, mis toob korra kaosesse

Briti füüsikud Warwicki ülikoolist on välja töötanud meetodi, mis võimaldab ennustada korra tekkimist kaosest keerulistes süsteemides, mis koosnevad paljudest juhuslikult muutuvatest elementidest.

Robert Wicksi juhitud teadlased püüdsid oma uuringu ajal mõista, kuidas keerulised süsteemid, nagu plasma, inimhulgad või linnuparved, liiguvad ootamatult kaosest korrale ilma välise sekkumiseta.

Eksperdid väitsid, et iseorganiseerumise mustrid võivad erinevate keeruliste süsteemide puhul olla samad. Seetõttu, võttes aluseks teadaolevad andmed suurte looma- ja putukarühmade käitumise kohta, töötasid nad välja uue matemaatilise analüüsimeetodi, mida nimetatakse vastastikuse teabe meetodiks.

See uus meetod võimaldab väga väikese andmehulga põhjal määrata mustreid ja korrelatsioone. Oma meetodi testimiseks kasutasid teadlased lihtsat mudelit, mille 1990. aastatel töötas välja tuntud Ungari biofüüsik Tamás Víček, et kirjeldada bakterikolooniate, kuldnokklindude või jaanitirtsude käitumist.

Selle tulemusena selgus, et uus vastastikuse informatsiooni meetod on järjestatud oleku leidmisel neli korda täpsem kui traditsioonilised statistilised meetodid.

Teadlased viitavad sellele, et uus meetod on kasulik börsi uurimisel. Tõenäoliselt aitab see selgitada mõnikord ootamatuid seoseid, mis tekivad siis, kui ettevõtete aktsiad, millel pole nähtavaid seoseid, kogevad samu hinnakõikumisi.

Matemaatikud on välja arvutanud epideemiaga võitlemiseks optimaalse strateegia

Ameerika ja Iisraeli matemaatikud on välja arvutanud optimaalse strateegia epideemiaga võitlemiseks vaktsineerimise kaudu.

Traditsiooniliselt arvatakse, et parim viis haiguse vastu võitlemiseks on võimalikult paljude inimeste vaktsineerimine. Uues uuringus leidsid teadlased, et see pole nii. Kui epideemiat vaadelda kui dünaamilist protsessi, siis ei ole vaktsineerimise ajastus vähem oluline kui vaktsineeritud isikute arv.

Kasutades tõenäosuslikku mudelit nakkuse, uuesti nakatumise ja haiguse leviku kirjeldamiseks, suutsid teadlased kindlaks teha, et saadaoleva kindla koguse vaktsiini korral on parim strateegia läbi viia mitmeid intensiivseid vaktsineerimisüritusi. Selgus, et selline seeria toimib tõhusamalt kui üksainus massiivne vaktsineerimine.

Teadlaste hinnangul on strateegia tõhusus tingitud sellest, et pikka aega võib nakatunute arv meeskonnas püsida üsna stabiilsena. Järjestikune vaktsineerimine vähendab stabiilselt haigete arvu ja toob kaasa haigete arvu eksponentsiaalse vähenemise.

Teadlased rõhutavad, et nende mudel ei ole seotud ühegi konkreetse haigusega ja seda saab rakendada kõige üldisemal juhul. Peamiseks raskuseks jääb sel juhul vaktsineerimise perioodide arvutamine.

Sipelgate algoritmid töös

Pacific Northwest National Laboratory on leidnud uue lähenemisviisi arvutivõrkude turvalisuse analüüsimiseks. Pahavara vastu võitlemiseks tehakse ettepanek kasutada "sipelgate algoritme".

Programmi abil, mille algoritmid kopeerivad sipelgate käitumist, püüab labor leida "võrguanomaaliaid".

"Sipelgad ise ei ole intelligentsed," ütleb ebatavalist uuringut juhtiv Glenn Fink, "kuid nende koloonia võib ilmutada üllatavalt intelligentset käitumist."

Teadlaste sõnul kasutab nende programm arvutivõrkude kaudu jaotatud andureid, mis koguvad pidevalt andmeid. Nagu sipelgad, kes edastavad lõhnade kaudu teavet oma vendadele toidu või ohtude kohta, jagavad need andurid kogutavat teavet üksteisega. Seega suudab programm tuvastada omapäraseid võrguanomaaliaid, mis annavad märku võimalikust ohust, näiteks võrgu ulatuslikust nakatumisest.

Andureid on erinevaid – Finki sõnul suudavad ühed koguda andmeid arvutite liigse CPU kasutuse kohta, teised aga võrguliiklust kontrollida. Samuti on olemas "sentinellid" - spetsiaalsed programmiplokid, mis analüüsivad kõigilt sipelgaanduritelt saadud teavet.

Kuigi uuenduslik viirusetõrjekompleks on arendamise algstaadiumis, on see juba võimeline tuvastama mõningaid arvutiusse. Loojate sõnul on nende programmi tehisintellektil aga veel palju õppida.

Ennekõike on kaoseteooria teooria. See tähendab, et suuremat osa sellest kasutatakse rohkem teadusliku alusena kui vahetult rakendatava teadmisena. Kaoseteooria on väga hea viis vaadata maailmas toimuvaid sündmusi erinevalt traditsioonilisest rangelt deterministlikust vaatest, mis on valitsenud teaduses Newtoni ajast. Jurassic Parki vaadanud vaatajad kardavad kahtlemata, et kaoseteooria võib inimese maailmataju suuresti mõjutada ning tegelikult on kaoseteooria kasulik vahendina teadusandmete uudsel tõlgendamisel. Traditsiooniliste X-Y graafikute asemel saavad teadlased nüüd tõlgendada ruumifaasi diagramme, mis - selle asemel, et kirjeldada mis tahes muutuja täpset asukohta konkreetsel ajahetkel - esindavad süsteemi üldist käitumist. Selle asemel, et vaadata statistilistel andmetel põhinevaid täpseid võrdusi, saame nüüd vaadelda dünaamilisi süsteeme, mille käitumine on olemuselt sarnane staatiliste andmetega – s.t. süsteemid sarnaste atraktoritega. Kaoseteooria annab kindla raamistiku teaduslike teadmiste arendamiseks.

Eeltoodu järgi aga ei järeldu sellest, et kaoseteoorial poleks reaalses elus rakendusi.

Bioloogiliste süsteemide modelleerimiseks on kasutatud kaoseteooria tehnikaid, mis on kahtlemata ühed kõige kaootilisemad süsteemid, mida ette kujutada saab. Dünaamiliste võrrandite süsteeme on kasutatud kõige modelleerimiseks alates rahvastiku kasvust ja epideemiatest kuni ebaregulaarsete südamelöökideni.

Tegelikult saab modelleerida peaaegu iga kaootilist süsteemi – aktsiaturg genereerib kõveraid, mida saab hõlpsasti analüüsida kummaliste atraktoritega erinevalt täpsetest suhtarvudest; lekkivast kraanist tilkade langemise protsess tundub palja kõrvaga analüüsides juhuslik, kuid kui seda kujutada kummalise atraktorina, ilmneb üleloomulik kord, mida traditsiooniliste vahenditega ei ootaks.

Fraktalid on kõikjal, kõige paremini nähtavad graafikaprogrammides, näiteks üliedukas Fractal Design Painter tootesari. Fraktaalandmete tihendamise tehnikaid arendatakse endiselt, kuid need lubavad hämmastavaid tulemusi, näiteks 600:1 tihendussuhteid. Filmide eriefektide tööstuses oleks ilma fraktaalgraafika tehnoloogiata palju vähem realistlikke maastikuelemente (pilved, kivid ja varjud). Tänapäeval on teadlaste – peamiselt matemaatikute – otsimine suunatud igat tüüpi mittelineaarsete võrrandite tuvastamisele, mille lahendamine toob kaasa deterministliku kaose. Aktiivne huvi selle vastu tuleneb asjaolust, et selle samad mustrid võivad avalduda mitmesugustes loodusnähtustes ja tehnilistes protsessides: voogude turbulentsi, elektroonika- ja elektrivõrkude ebastabiilsuse, eluslooduse liikide koostoimega, keemiliste ainetega. reaktsioone ja isegi ilmselt inimühiskonnas. See viitab kaose fundamentaalsele tähtsusele – selle uurimine võib viia võimsa matemaatilise aparaadi loomiseni, millel on suur üldistus ja laialdased rakendusvõimalused. Kaoseteooria läheb oma, erilist teed juba algusest peale. Võib-olla on see uus, sõltumatu viis maailma universaalsuse mõistmiseks!

Ja loomulikult annab kaoseteooria inimestele üllatavalt huvitava võimaluse tekitada huvi matemaatika vastu, mis on tänapäeval üks kõige vähem populaarsemaid teadmisi.

Bibliograafia

1. Paytgen H. O., Richter P. H. “Fraktalide ilu”.

2. V. I. Kuvshinov, A. V. Kuzmin “Mõõteväljad ja deterministliku kaose teooria”

3. Schuster G. "Deterministlik kaos: sissejuhatus".

4. Ruel D. "Juhuslikkus ja kaos". - Iževsk: NITs, 2001, 192lk.

5. Kronover R.M. «Fraktalid ja kaos dünaamilistes süsteemides. Teooria alused.

6. N. A. Magnitski ja S. V. Sidorov, New Methods of Chaotic Dynamics. - M.: Juhtkiri URSS, 2004, 320 lk.

Sissejuhatus kaoseteooriasse

Mis on kaoseteooria?

Kaoseteooria on matemaatilistel kontseptsioonidel põhinevate pidevalt muutuvate keerukate süsteemide uurimine, kas siis rekursiivse protsessi või füüsikalist süsteemi modelleerivate diferentsiaalvõrrandite komplektina (rekursioon on elementide kordamise protsess isesarnasel viisil).

Valed arusaamad kaoseteooriast

Laiem avalikkus on kaoseteooriale tähelepanu juhtinud selliste filmide nagu Jurassic Park kaudu ja tänu neile on avalikkuses üha suurem hirm kaoseteooria ees. Kuid nagu kõigi meedias kajastatud asjadega, on kaoseteooria kohta olnud palju väärarusaamu.

On tõsi, et kaoseteooria väidab, et väikesed muutused võivad põhjustada tohutuid tagajärgi. Kuid üks teooria keskseid mõisteid on võimatus süsteemi seisundit täpselt ennustada. Üldiselt on süsteemi üldise käitumise modelleerimine üsna teostatav, isegi lihtne. Seega ei keskendu kaoseteooria süsteemi ebakorrapärasusele – süsteemi pärilikule ettearvamatusele – vaid sellega päritavale korrale – sarnaste süsteemide ühisele käitumisele.

Seega oleks vale väita, et kaoseteooria puudutab korralagedust. Selle illustreerimiseks näitega võtame Lorenzi atraktori. See põhineb kolmel diferentsiaalvõrrandil, kolmel konstandil ja kolmel algtingimusel.

Kaoseteooria häirete kohta

Atraktor esindab gaasi käitumist igal ajahetkel ja selle olek teatud ajahetkel sõltub selle olekust hetkedel, mis eelnevad antud hetkel. Kui sisendandmeid muudetakse isegi väga väikeste väärtuste võrra, näiteks on need väärtused piisavalt väikesed, et need on proportsionaalsed üksikute aatomite panusega Avogadro arvusse (mis on väga väike arv võrreldes järgu väärtustega 1024), atraktori oleku kontrollimine näitab täiesti erinevaid numbreid. Seda seetõttu, et rekursioon suurendab väikseid erinevusi.

Sellest hoolimata näeb atraktorigraafik üsna sarnane. Mõlemal süsteemil on igal ajahetkel täiesti erinevad väärtused, kuid atraktorigraafik jääb samaks, kuna see väljendab süsteemi üldist käitumist.

Kaoseteooria ütleb, et keerulised mittelineaarsed süsteemid on pärilikult ettearvamatud, kuid samal ajal väidab kaoseteooria, et viis selliste ettearvamatute süsteemide väljendamiseks osutub tõeseks mitte täpsetes võrdustes, vaid süsteemi käitumise esitustes - graafides. veidratest atraktoritest või fraktaalidest. Seega osutub kaoseteooria, mida paljud arvavad kui ettearvamatust, samal ajal ka kõige ebastabiilsemates süsteemides ennustatavuse teaduseks.

Kaoseteooria rakendamine reaalses maailmas

Kui uued teooriad välja tulevad, tahavad kõik teada, mis neis head on. Mis siis kaoseteoorias head on? Ennekõike on kaoseteooria teooria. See tähendab, et suuremat osa sellest kasutatakse rohkem teadusliku alusena kui vahetult rakendatava teadmisena. Kaoseteooria on väga hea viis vaadata maailmas toimuvaid sündmusi erinevalt traditsioonilisest rangelt deterministlikust vaatest, mis on valitsenud teaduses Newtoni ajast. Jurassic Parki vaadanud vaatajad kardavad kahtlemata, et kaoseteooria võib inimese maailmataju suuresti mõjutada ning tegelikult on kaoseteooria kasulik vahendina teadusandmete uudsel tõlgendamisel. Traditsiooniliste X-Y graafikute asemel saavad teadlased nüüd tõlgendada ruumifaasi diagramme, mis - selle asemel, et kirjeldada mis tahes muutuja täpset asukohta konkreetsel ajahetkel - esindavad süsteemi üldist käitumist. Selle asemel, et vaadata statistilistel andmetel põhinevaid täpseid võrdusi, saame nüüd vaadelda dünaamilisi süsteeme, mille käitumine on olemuselt sarnane staatiliste andmetega – s.t. süsteemid sarnaste atraktoritega. Kaoseteooria annab kindla raamistiku teaduslike teadmiste arendamiseks.

Eeltoodu järgi aga ei järeldu sellest, et kaoseteoorial poleks reaalses elus rakendusi.

Bioloogiliste süsteemide modelleerimiseks on kasutatud kaoseteooria tehnikaid, mis on kahtlemata ühed kõige kaootilisemad süsteemid, mida ette kujutada saab. Dünaamiliste võrrandite süsteeme on kasutatud kõige modelleerimiseks alates rahvastiku kasvust ja epideemiatest kuni ebaregulaarsete südamelöökideni.

Tegelikult saab modelleerida peaaegu iga kaootilist süsteemi – aktsiaturg genereerib kõveraid, mida saab hõlpsasti analüüsida kummaliste atraktoritega erinevalt täpsetest suhtarvudest; lekkivast kraanist tilkade langemise protsess tundub palja kõrvaga analüüsides juhuslik, kuid kui seda kujutada kummalise atraktorina, ilmneb üleloomulik kord, mida traditsiooniliste vahenditega ei ootaks.

Fraktalid on kõikjal, kõige paremini nähtavad graafikaprogrammides, näiteks üliedukas Fractal Design Painter tootesari. Fraktaalandmete tihendamise tehnikaid arendatakse endiselt, kuid need lubavad hämmastavaid tulemusi, näiteks 600:1 tihendussuhteid. Filmide eriefektide tööstuses oleks ilma fraktaalgraafika tehnoloogiata palju vähem realistlikke maastikuelemente (pilved, kivid ja varjud).

Füüsikas tekivad fraktaalid loomulikult mittelineaarsete protsesside modelleerimisel, nagu turbulentne vedelikuvool, keerulised difusioon-adsorptsiooniprotsessid, leegid, pilved jne. Fraktaale kasutatakse poorsete materjalide modelleerimisel, näiteks naftakeemias. Bioloogias kasutatakse neid populatsioonide modelleerimiseks ja siseorganite süsteemide (veresoonte süsteemi) kirjeldamiseks.

Ja loomulikult annab kaoseteooria inimestele üllatavalt huvitava võimaluse tekitada huvi matemaatika vastu, mis on tänapäeval üks kõige vähem populaarsemaid teadmisi.

FRAKTAALID JA KAOSETEOORIA

Ivan Tugoy

1. JAGU: ÜLDTEAVE

FRAKTALID JA MEIE ÜMBER MAAILM

Fraktalid on ainulaadsed objektid, mille tekitavad kaootilise maailma ettearvamatud liikumised. Neid leidub kohtades, mis on nii väikesed kui rakumembraan ja sama suured kui päikesesüsteem.

Hingetoru hargnemised, puude lehed, veenid käsivarres, jõgi vulisev ja kaarduv, aktsiaturg – need kõik on fraktalid. Alates iidsete tsivilisatsioonide esindajatest kuni Michael Jacksonini – teadlased, matemaatikud ja kunstnikud, nagu ka kõik ülejäänud selle planeedi elanikud, olid fraktaalidest lummatud ja kasutasid neid oma töös.

Programmeerijad ja arvutiteadlased on samuti fraktaalihullud, kuna lihtsate koduarvutite abil saab lihtsate valemitega genereerida lõpmatu keerukuse ja iluga fraktale. Fraktalide avastamine oli nii kunsti, teaduse ja matemaatika uue esteetika avastamine kui ka revolutsioon inimese maailmatunnetuses.

MIS FRAKTALID TEGELIKULT ON?

Sõna "fraktal" on midagi, millest tänapäeval räägivad paljud inimesed, füüsikutest keskkooliõpilasteni. See esineb paljude matemaatikaõpikute, teadusajakirjade ja arvutitarkvarakastide kaanel. Fraktaalide värvilisi pilte võib tänapäeval leida kõikjal: postkaartidest T-särkideni. Viimase kahe aastakümne jooksul on kuus toodetud fraktaalidega seotud ühikute arv kasvanud mõnekümnelt mitme tuhandeni!

Niisiis, mis on need värvilised kujundid, mida me kõikjal ümberringi näeme? Lihtsamalt öeldes on fraktaal geomeetriline kujund, mille teatud osa kordub aina uuesti ja uuesti, muutudes suuruselt. Sellest tuleneb enesesarnasuse põhimõte. Kõik fraktalid on iseendaga sarnased, see tähendab, et nad on sarnased kõigil tasanditel. Fraktaale on palju liike ja siin kirjeldatakse neist üsna suurt hulka.

Fraktaalid ei ole aga ainult arvutite loodud keerulised kujundid. Kõik, mis tundub juhuslik ja vale, võib olla fraktal. Teoreetiliselt võime öelda, et kõik, mis reaalses maailmas eksisteerib, on fraktal, olgu see siis pilv või väike hapnikumolekul.

KUI KAOOTILINE KAOS ON?

Fraktalid on alati seotud sõnaga kaos. Isiklikult defineeriksin fraktaale kui kaose osakesi. Fraktaalidel on kaootiline käitumine, mis muudab need nii kaootilisteks ja juhuslikeks. Kuid kui vaatate piisavalt lähedalt, näete fraktaalis palju enesesarnasuse aspekte. Näiteks vaadake puud, seejärel valige konkreetne oks ja uurige seda lähedalt. Nüüd valige hunnik mitut lehte. Fraktaaliteadlastele (mida mõnikord nimetatakse ka kaoloogideks) näivad kõik kolm objekti olevat identsed.

Sõna kaos paneb enamiku inimesi mõtlema millelegi kaootilisele ja ettearvamatule. Tegelikult pole see tõsi. Niisiis, kui kaootiline kaos on? Vastus on, et kaos on tegelikult üsna korrastatud ja järgib teatud seadusi. Probleem on selles, et nende seaduste leidmine võib olla väga keeruline. Kaose ja fraktaalide uurimise eesmärk on ennustada süsteemide mustreid, mis võivad tunduda ettearvamatud ja täiesti kaootilised.

Süsteem on asjade kogum või uurimisvaldkond ning mõned levinumad süsteemid, mida kaoloogidele meeldib uurida, hõlmavad pilvede moodustisi, ilmastikku, veevoolude liikumist, loomade rännet ja paljusid muid emakese looduse elu aspekte. Nii et lõppude lõpuks võib-olla on kogu meid ümbritsev maailm fraktal!

21. SAJANDI GEOMEETIA

Paljude kaoloogide jaoks pole kaose ja fraktaalide uurimine lihtsalt uus teadmiste valdkond, mis ühendab matemaatika, teoreetilise füüsika, kunsti ja arvutitehnoloogia – see on revolutsioon. See on uut tüüpi geomeetria avastamine, geomeetria, mis kirjeldab meid ümbritsevat maailma ja mida võib näha mitte ainult õpikutes, vaid ka looduses ja kõikjal piiritu universumis.

Selle uue teadmiste valdkonna teerajajaks, keda paljud nimetavad fraktaalide isaks, oli prantsuse-ameerika matemaatik professor Benoit B. Mandelbrot. 1960. aastate keskel, pärast aastakümneid kestnud uurimistööd, töötas Mandelbrot välja selle, mida ta nimetas fraktaalgeomeetriaks ehk looduse geomeetriaks (sellest kirjutas ta oma bestselleri The Fractal Geometry of Nature). Fraktaalgeomeetria eesmärk oli analüüsida purunenud, kortsus ja hägusaid kujundeid. Mandelbrot kasutas sõna fraktal, kuna see viitas nende vormide killustatusele ja kildkonnalisusele.

Tänapäeval üritavad Mandelbrot ja teised teadlased, nagu Clifford A. Pickover, James Gleick või H. O. Peitgen, laiendada fraktaalgeomeetria ulatust nii, et seda saaks rakendada peaaegu kõigele maailmas, alates väärtpaberituru hindade ennustamisest ja lõpetades uued avastused teoreetilises füüsikas.

FRAKTAALIDE PRAKTILISED RAKENDUSED

Fraktalid leiavad teaduses üha enam rakendusi. Selle peamiseks põhjuseks on see, et nad kirjeldavad tegelikku maailma mõnikord isegi paremini kui traditsiooniline füüsika või matemaatika. siin on mõned näidised:

ARVUTISÜSTEEMID

Fraktaalide kõige kasulikum kasutus arvutiteaduses on fraktaalandmete tihendamine. Seda tüüpi tihendamine põhineb tõsiasjal, et reaalset maailma kirjeldab hästi fraktaalgeomeetria. Samas tihendatakse pilte palju paremini, kui seda tehakse tavapäraste meetoditega (näiteks jpeg või gif). Fraktaalse tihendamise eeliseks on ka see, et pildi suurendamisel puudub piksliefekt (täppide suuruse suurendamine pilti moonutavate suurusteni). Fraktaalkompressiooniga näeb pilt peale suumimist sageli isegi parem välja kui varem.

VEDELIKMEHAANIKA

Voolude turbulentsi uurimine kohandub fraktaalidega väga hästi. Turbulentsed voolud on kaootilised ja seetõttu raske täpselt modelleerida. Ja siin aitab üleminek fraktaalkujutusele, mis hõlbustab oluliselt inseneride ja füüsikute tööd, võimaldades neil paremini mõista keeruliste voogude dünaamikat.

Leeke saab modelleerida ka fraktaalide abil.

Poorsed materjalid on fraktaalkujul hästi esindatud, kuna neil on väga keeruline geomeetria. Seda kasutatakse naftateaduses.

TELEKOMMUNIKATSIOON

Andmete edastamiseks vahemaa tagant kasutatakse fraktaalikujulisi antenne, mis vähendab oluliselt nende suurust ja kaalu.

PINDADE FÜÜSIKA

Fraktaale kasutatakse pindade kumeruse kirjeldamiseks. Ebatasast pinda iseloomustab kahe erineva fraktaali kombinatsioon.

MEDITSIIN

Biosensori interaktsioonid

südamelöögid

BIOLOOGIA

Kaootiliste protsesside modelleerimine eelkõige populatsioonimudelite kirjeldamisel.

FRAKTAALDIMENSIOON: VARJATUD MÕÕTMED

Üks ideedest, mis fraktaalgeomeetria avastamisest välja kasvas, oli idee ruumimõõtmete arvu mittetäisarvulistest väärtustest. Muidugi ei saa me 4D asjadega kursis olla, kuigi Lucky Tesseract tegutseb selles suunas aktiivselt. Mandelbrot nimetas mittetäisarvulisi mõõtmeid, näiteks 2,76 fraktaalmõõtmeid. Tavaline eukleidiline geomeetria väidab, et ruum on ühtlane ja tasane. Sellise ruumi ruumi omadused on määratletud punktide, joonte, nurkade, kolmnurkade, kuubikute, sfääride, tetraeedrite jne abil.

Mandelbrot uskus, et tegelik ruumimaastik pole ühtlane ja meie maailmas pole midagi, mis oleks täiesti tasane, ümmargune, see tähendab, et kõik on fraktaalne. Seetõttu on täpselt kolmemõõtmeline objekt võimatu. See on põhjus, miks oli vaja fraktaalmõõtme kontseptsiooni, et mõõta, kui ebaühtlased on asjad.

Näiteks vaadake palliks kortsutatud paberitükki (oletame, et see on kahemõõtmeline). Kas see on kahemõõtmeline? Ei, kuna sellel on pikkus, laius ja kõrgus. Kuid see ei saa olla ka kolmemõõtmeline, sest see on tehtud ühest lõpmata õhukesest lehest ja pealegi pole see täiesti ühtlane. Seega on selle fraktaalmõõde ligikaudu võrdne 2,5-ga. Kuid selle normaalne mõõde, mida nimetatakse ka eukleidiliseks mõõtmeks, on 3. Kõigil fraktaalidel, eriti fraktaalikõveratel, on fraktaalimõõtmed. Mandelbrot kasutas sageli näidet, et Inglismaa rannajoon on lõpmatu pikkusega.

Proovige Inglismaa rannajoonele atlasele niit panna. Seejärel tehke sama merekaardiga. Üllataval kombel on viimase mõõtmise väärtus palju suurem. Seejärel minge Inglismaale ja mõõtke selle rannajoon meetrise riiuliga. See pikkus on veelgi pikem. Jätkake seda protsessi, kuni teie käes on joonistusjoonlaud, millega saate mõõta rannajoont tükkhaaval, aatom aatomi haaval. Loomulikult on selle ebapraktilise eksperimendi idee selles, et kaugused peavad olema skaala, asukoha ja detailide osas proportsionaalsed. Mandelbrot tegi hiljem kindlaks, et Inglismaa rannajoone fraktaalmõõde on 1,25.

Paljud looduses olevad objektid (näiteks inimkeha) koosnevad paljudest omavahel segunenud fraktaalidest ning igal fraktalil on oma teistest erinev mõõde. Näiteks inimese veresoonkonna kahemõõtmeline pind paindub, hargneb, keerdub ja tõmbub kokku nii, et selle fraktaalmõõde on 3,0. Kuid kui see jagataks eraldi osadeks, oleks arterite fraktaalmõõde vaid 2,7, samas kui kopsude bronhiteede fraktaalmõõde oleks 1,07.

2. OSA: DETERMINISTLIKUD FRAKTALID

ÜLDOMADUSED

Esimesed avatud fraktalid olid nn. deterministlikud fraktalid. Nende eristavaks tunnuseks on enesesarnasuse omadus, mis tuleneb nende põlvkonna meetodi iseärasustest.

Mõned eelistavad nimetada neid fraktale klassikalisteks, geomeetrilisteks või lineaarseteks fraktaalideks. Need fraktaalid moodustatakse tavaliselt alustades initsiaatorist - mustrist, millele rakendatakse teatud põhimustrit. Kõigis deterministlikes fraktaalides avaldub enesesarnasus kõigil tasanditel. See tähendab, et olenemata sellest, kui palju te fraktaali sisse suumite, näete ikka sama mustrit. Keeruliste fraktaalide puhul, millest tuleb juttu hiljem, see nii ei ole. Deterministlikud fraktaalid moodustuvad iteratsiooni nimelise protsessi abil, mis rakendab põhimustri initsiaatorile, seejärel rakendab selle tulemusele jne. Enamik inimesi kordab deterministlikke fraktaleid 5–7 korda, et saada selge ja ilus pilt. Need fraktalid on lineaarsed, sest iga iteratsiooniga eemaldatakse või lisatakse midagi sirgjoonte kujul. Allpool on toodud näited mõnest tavalisest deterministlikust fraktalist, mis genereeritakse tavalises arvutis lihtsate BASIC programmidega.

SIERPINSKI RÕESTIK

See on üks fraktaalidest, millega Mandelbrot katsetas fraktaalimõõtmete ja iteratsioonide kontseptsioone. Suurema kolmnurga keskpunktide ühendamisel moodustatud kolmnurgad lõigatakse põhikolmnurgast välja, et moodustada kolmnurk, millel on rohkem auke. Sel juhul on initsiaatoriks suur kolmnurk ja malliks on operatsioon suuremaga sarnase kolmnurga lõikamiseks. Kolmnurgast saab ka 3D-versiooni, kasutades tavalist tetraeedrit ja lõigates välja väiksemad tetraeedrid. Sellise fraktaali mõõde on ln3/ln2 = 1,584962501.

Sierpinski vaiba saamiseks võtame ruudu, jagame selle üheksaks ruuduks ja lõikame välja keskmise. Teeme sama ka ülejäänud, väiksemate ruutudega. Lõpuks moodustub lame fraktaalvõre, millel puudub pindala, kuid millel on lõpmatu ühendus. Oma ruumilisel kujul on Sierpinski käsn muudetud läbivate vormide süsteemiks, milles iga läbiv element asendub pidevalt omalaadse vastu. See struktuur on väga sarnane luukoe lõiguga. Kunagi saavad sellised korduvad konstruktsioonid ehituskonstruktsioonide elemendiks. Nende staatika ja dünaamika väärivad Mandelbroti arvates põhjalikku uurimist.

Sierpinski fraktal

Ärge ajage seda fraktaali segamini Sierpinski võrega. Need on kaks täiesti erinevat objekti. Selles fraktaalis on initsiaator ja generaator samad. Iga iteratsiooniga lisatakse generaatori igasse nurka väiksem initsiaatori koopia jne. Kui selle fraktaali loomisel tehakse lõpmatu arv iteratsioone, hõivaks see kogu tasapinna, jätmata ainsatki auku. Seetõttu on selle fraktaalmõõde ln9/ln3 = 2,0

KOCH KÕVER

Kochi kõver on üks tüüpilisemaid deterministlikke fraktaale. Selle leiutas üheksateistkümnendal sajandil saksa matemaatik Helge von Koch, kes Georg Kontori ja Karl Weierstraße töid uurides sattus kummaliste ja ebatavalise käitumisega kõverate kirjeldustele. Algataja – otseliin. Generaatoriks on võrdkülgne kolmnurk, mille küljed on võrdsed kolmandikuga suurema segmendi pikkusest. Need kolmnurgad lisatakse ikka ja jälle iga segmendi keskele. Oma uurimistöös katsetas Mandelbrot palju Kochi kõveratega ja sai selliseid figuurid nagu Kochi saared, Kochi ristid, Kochi lumehelbed ja isegi Kochi kõvera kolmemõõtmelisi kujutisi, kasutades tetraeedrit ja lisades igale selle tahkule väiksema tetraeedri. Kochi kõvera mõõtmed on ln4/ln3 = 1,261859507.

Kochi rist on Mandelbroti leiutatud Kochi kõvera variant. Sirge lõigu asemel kasutas ta initsiaatorina ruutu või ristkülikut. Kuna see fraktal kasutab sama ideed kui algne Kochi kõver, on selle fraktaalmõõde sama: ln4/ln3 = 1,261859507.

Fraktal Mandelbrot

See EI OLE see Mandelbroti komplekt, mida näete üsna sageli. Mandelbroti komplekt põhineb mittelineaarsetel võrranditel ja on keeruline fraktal. See on ka Kochi kõvera variant, hoolimata asjaolust, et see objekt ei näe välja. Ka initsiaator ja generaator erinevad Kochi kõvera põhimõttel fraktaalide loomisel kasutatavatest, kuid idee jääb samaks. Selle asemel, et kõvera lõigu külge kinnitada võrdkülgseid kolmnurki, kinnitatakse ruudud ruudu külge. Kuna see fraktal hõivab igal iteratsioonil täpselt poole eraldatud ruumist, on selle lihtne fraktaali mõõde 3/2 = 1,5

FRAKTALID TÄHT JA LUMEHELVES

Mõlemad objektid ei ole klassikalised fraktalid ja neid ei leiutanud Mandelbrot ega ükski kuulus matemaatik. Ma lihtsalt lõin need fraktalid huvist ja programmeerimisega katsetamiseks. Nii initsiaator kui generaator on siin kujund, mis on moodustatud külgede keskpunktide ühendamisel vastaskülgede keskpunktidega korrapärases kuusnurgas. Pealegi võin ma ainult kahtlustada nende fraktalide mõõtmeid.

VORST MINKOWSKI

Selle fraktali autor on Hermann Minkowski, kelle järgi see ka nime sai. Minkowski ei pakkunud selle objekti nimeks välja terminit vorst. Sõna kõver või lihtsalt fraktal oleks võinud olla parem. Nii initsiaator kui ka generaator on üsna keerulised ja koosnevad mitmest täisnurkadest ja erineva pikkusega segmentidest. Initsiaatoril endal on 8 osa. Minkowski vorsti fraktaalmõõde on ln8/ln4 = 1,5

FRAKTAALLABÜRINT

Seda fraktaali nimetatakse mõnikord ka H-puuks. Nii initsiaator kui generaator on tähe H kujul. Siin näidatud näites ei ole H ise täidetud. Selle asemel täidetakse fraktaalist väljaspool olevad alad, mis muudab mustri ja mustri hõlpsamini tajutavaks. Selle konkreetse fraktaali fraktaalmõõde on üsna huvitav. Kuna H paksus iteratsioonide käigus väheneb, on tähe H otste mõõde täpselt 2,0, kuid tippude vahel olevad elemendid on erineva mõõtmega, varieerudes vahemikus 1,3333 kuni 1,6667.

DARERI PENTAGON

Fraktal näeb välja nagu hunnik kokku surutud viisnurki. Tegelikult moodustatakse see, kasutades initsiaatorina viisnurka ja generaatorina võrdkülgseid kolmnurki, mille suurima ja väikseima külje suhe on täpselt võrdne nn kuldse lõikega (1,618033989 või 1/(2cos72)). . Need kolmnurgad lõigatakse iga viisnurga keskelt, mille tulemuseks on kuju, mis näeb välja nagu 5 väikest viisnurka, mis on liimitud ühe suure külge.

Selle fraktaali teisendi võib saada, kasutades initsiaatorina kuusnurka. Seda fraktaali nimetatakse Taaveti täheks ja see on üsna sarnane Kochi lumehelbe kuusnurkse versiooniga. Dareri viisnurga fraktaalmõõde on ln6/ln(1+g), kus g on kolmnurga suurema külje pikkuse ja väiksema külje pikkuse suhe. Sel juhul on g kuldne suhe, seega on fraktaali mõõde ligikaudu 1,86171596. Taaveti tähe fraktaalmõõde on ln6/ln3 ehk 1,630929754.

DRAKONIKÕVER

Itaalia matemaatiku Giuseppe Peano leiutatud Dragon Curve ehk Dragon Sweep, nagu ta seda nimetas, on väga sarnane Minkowski vorstiga. Kasutatakse lihtsamat initsiaatorit, kuid generaator on sama. Mandelbrot nimetas seda fraktaali Double Dragon Riveriks. Selle fraktaalmõõde on ligikaudu võrdne 1,5236-ga.

HILBERTI KÕVER

See fraktal on väga sarnane labürindifraktaliga, välja arvatud asjaolu, et generaatoriks oleva U-tähe laius ei muutu iga iteratsiooniga. Kuid erinevalt labürindi fraktalist on Hilberti kõveral, mida nimetatakse ka Hilberti hotelliks, üks fraktalmõõde, mis on täpselt 2,0, kuna lõpmatu arvu iteratsioonidega hõivab see kogu tasandi.

FRAKTALIKASTI

See on väga lihtne deterministlik fraktal, mis moodustatakse ruutude lisamisel teiste ruutude tippudele. Nii initsiaator kui ka generaator on ruudud. Selle fraktaalmõõde on ln8/ln3 või 1,892789261.

3. JAGU: KOMPLEKSSED FRAKTALID

ÜLDOMADUSED

Enamik tänapäeval kohatud fraktaleid ei ole deterministlikud. Need ei ole lineaarsed ega ole kokku pandud korduvatest geomeetrilistest kujunditest. Selliseid fraktale nimetatakse kompleksideks.

Tegelikult, kui suumite sisse mis tahes keerulise fraktaali väikese ala ja seejärel teete sama selle ala väikese alaga, erinevad need kaks suurendust üksteisest oluliselt. Need kaks pilti on üksikasjalikult väga sarnased, kuid nad ei ole täiesti identsed.

Võrrelge näiteks siin näidatud Mandelbroti komplekti pilte, millest üks saadi teise pindala suurendamise teel. Nagu näete, pole need absoluutselt identsed, kuigi mõlemal näeme musta ringi, millest leegitsevad kombitsad lähevad eri suundades. Need elemendid korduvad Mandelbroti komplektis kahanevas proportsioonis lõputult.

Deterministlikud fraktaalid on lineaarsed, kompleksfraktalid aga mitte. Kuna need fraktalid on mittelineaarsed, genereeritakse need mittelineaarsete algebraliste võrrandite abil, mida Mandelbrot nimetas. Hea näide on protsess Zn+1=ZnІ + C, mis on võrrand, mida kasutatakse teise astme Mandelbroti ja Julia hulkade koostamiseks. Nende matemaatiliste võrrandite lahendamine hõlmab keerulisi ja kujuteldavaid numbreid. Kui võrrandit komplekstasandil graafiliselt tõlgendada, on tulemuseks kummaline kujund, kus sirged muutuvad kõverateks, erinevatel skaalatasanditel ilmnevad enesesarnasusefektid, kuigi mitte ilma deformatsioonideta. Samas on tervikpilt tervikuna ettearvamatu ja väga kaootiline.

Nagu pilte vaadates näha, on keerulised fraktaalid tõepoolest väga keerulised ja neid on võimatu ilma arvuti abita luua. Värviliste tulemuste saamiseks peab sellel arvutil olema võimas matemaatika kaasprotsessor ja kõrge eraldusvõimega monitor. Erinevalt deterministlikest fraktaalidest ei arvutata kompleksfraktaale 5-10 iteratsiooniga. Peaaegu iga täpp arvutiekraanil on nagu omaette fraktal. Matemaatilise töötlemise käigus käsitletakse iga punkti eraldi mustrina. Iga punkt vastab teatud väärtusele. Võrrand on iga punkti jaoks sisse ehitatud ja seda tehakse näiteks 1000 iteratsiooniga. Suhteliselt moonutamata pildi saamiseks koduarvutite jaoks vastuvõetava ajavahemiku jooksul on võimalik ühe punkti kohta läbi viia 250 iteratsiooni.

Enamik fraktaleid, mida me täna näeme, on kaunilt värvitud. Võib-olla on fraktaalipildid saanud nii suure esteetilise väärtuse just tänu oma värvilahendustele. Pärast võrrandi arvutamist analüüsib arvuti tulemusi. Kui tulemused jäävad stabiilseks või kõiguvad teatud väärtuse ümber, muutub punkt tavaliselt mustaks. Kui väärtus ühel või teisel sammul kipub lõpmatuseni, värvitakse punkt erinevat värvi, võib-olla sinise või punasega. Selle protsessi käigus määrab arvuti kõikidele liikumiskiirustele värvid.

Tavaliselt värvitakse kiiresti liikuvad punktid punaseks, aeglasemad aga kollaseks jne. Tumedad täpid on ilmselt kõige stabiilsemad.

Komplekssed fraktaalid erinevad deterministlikest fraktaalidest selle poolest, et need on lõpmatult keerulised, kuid neid saab genereerida väga lihtsa valemiga. Deterministlikud fraktalid ei vaja valemeid ega võrrandeid. Võtke lihtsalt joonistuspaber ja saate ilma raskusteta ehitada kuni 3 või 4 iteratsiooniga Sierpinski sõela. Proovige seda teha koos paljude Juliaga! Lihtsam on minna Inglismaa rannajoone pikkust mõõtma!

MANDERBROT KOMPLEKT

Mandelbroti ja Julia komplektid on ilmselt kaks kõige levinumat kompleksfraktaalide seas. Neid võib leida paljudest teadusajakirjadest, raamatukaantest, postkaartidest ja arvuti ekraanisäästjatest. Mandelbroti komplekt, mille ehitas Benoit Mandelbrot, on ilmselt esimene assotsiatsioon, mis inimestel tekib sõna fraktaal kuuldes. See helendava puu ja selle külge kinnitatud ringialadega kaarti meenutav fraktaal genereeritakse lihtsa valemiga Zn+1=Zna+C, kus Z ja C on kompleksarvud ning a on positiivne arv.

Kõige sagedamini nähtud Mandelbroti komplekt on 2. astme Mandelbroti komplekt, st a=2. Asjaolu, et Mandelbroti hulk ei ole ainult Zn+1=ZnІ+C, vaid fraktal, mille eksponendiks valemis võib olla mis tahes positiivne arv, eksitas paljusid inimesi. Sellel lehel näete Mandelbroti näidet eksponendi a erinevate väärtuste jaoks.

Populaarne on ka protsess Z=Z*tg(Z+C). Tänu puutuja funktsiooni kaasamisele saadakse Mandelbroti komplekt, mida ümbritseb õuna meenutav ala. Koosinusfunktsiooni kasutamisel saadakse õhumullide efektid. Lühidalt öeldes on Mandelbroti komplekti erinevate ilusate piltide tegemiseks lõpmatu arv viise.

MITME JUULIA

Üllataval kombel on Julia hulgad moodustatud sama valemi järgi nagu Mandelbroti hulk. Julia komplekti mõtles välja prantsuse matemaatik Gaston Julia, kelle järgi komplekt ka oma nime sai. Esimene küsimus, mis tekib pärast visuaalset tutvumist Mandelbroti ja Julia komplektidega, on "kui mõlemad fraktalid on genereeritud sama valemiga, siis miks nad on nii erinevad?" Kõigepealt vaadake pilte Julia komplektist. Kummalisel kombel on Julia komplekte erinevat tüüpi. Fraktali joonistamisel erinevaid lähtepunkte kasutades (iteratsiooniprotsessi alustamiseks) genereeritakse erinevad pildid. See kehtib ainult Julia komplekti kohta:

Kuigi seda pildil näha ei ole, on Mandelbroti fraktal tegelikult hunnik omavahel ühendatud Julia fraktale. Mandelbroti hulga iga punkt (või koordinaat) vastab Julia fraktalile. Julia komplekte saab genereerida, kasutades neid punkte algväärtustena võrrandis Z=ZI+C. Kuid see ei tähenda, et kui valite Mandelbroti fraktalil punkti ja suurendate seda, võite saada Julia fraktali. Need kaks punkti on identsed, kuid ainult matemaatilises mõttes. Kui me võtame selle punkti ja arvutame selle selle valemi järgi, saame Julia fraktali, mis vastab Mandelbroti fraktali teatud punktile.

4. OSA: KAOSETEOORIA

MIS ON KAOSETEOORIA?

Formaalselt määratletakse kaoseteooriat kui keeruliste mittelineaarsete dünaamiliste süsteemide doktriini. Seda tähendab mõiste kompleks ja termin mittelineaarne tähendab rekursiooni ja kõrgema matemaatika algoritme ning lõpuks dünaamiline tähendab mittekonstantset ja mitteperioodilist. Sellel viisil, kaose teooria on pidevalt muutuvate keeruliste süsteemide uurimine, mis põhinevad mittematemaatilistel rekursioonikontseptsioonidel, olgu siis rekursiivse protsessi või füüsikalist süsteemi modelleerivate diferentsiaalvõrrandite komplektina.

VÄÄRAUSED KAOSETEOORIA KOHTA

Laiem avalikkus on kaoseteooriale tähelepanu juhtinud selliste filmide nagu Jurassic Park kaudu ja tänu neile on avalikkuses üha suurem hirm kaoseteooria ees. Kuid nagu kõigi meedias kajastatud asjadega, on kaoseteooria kohta olnud palju väärarusaamu.

KAOSETEOORIA HÄIRESTUSE KOHTA

Kõige tavalisem vastuolu on see, et inimesed eeldavad, et kaoseteooria on teooria häirete kohta. Miski ei saa olla tõest nii kaugel! See ei ole determinismi ümberlükkamine ega väide, et korrastatud süsteemid on võimatud; see ei ole eksperimentaalsete tõendite eitamine ega väide keeruliste süsteemide mõttetuse kohta. Kaos kaoseteoorias on kord – ja isegi mitte lihtsalt kord, vaid korra olemus.

On tõsi, et kaoseteooria väidab, et väikesed muutused võivad põhjustada tohutuid tagajärgi. Kuid üks teooria keskseid mõisteid on võimatus süsteemi seisundit täpselt ennustada. Üldiselt on süsteemi üldise käitumise modelleerimine üsna teostatav, isegi lihtne. Seega ei keskendu kaoseteooria süsteemi ebakorrapärasusele – süsteemi pärilikule ettearvamatusele – vaid sellega päritavale korrale – sarnaste süsteemide ühisele käitumisele.

Seega oleks vale väita, et kaoseteooria puudutab korralagedust. Selle illustreerimiseks näitega võtame Lorenzi atraktori. See põhineb kolmel diferentsiaalvõrrandil, kolmel konstandil ja kolmel algtingimusel.

Atraktor esindab gaasi käitumist igal ajahetkel ja selle olek teatud ajahetkel sõltub selle olekust hetkedel, mis eelnevad antud hetkel. Kui algandmeid muudetakse isegi väga väikeste väärtustega, näiteks on need väärtused nii väikesed, et on proportsionaalsed Avogadro arvu kõikumisega (väga väike arv suurusjärgus 10 24), kontrollides atraktori olekut. näitab täiesti erinevaid numbreid. Seda seetõttu, et rekursioon suurendab väikseid erinevusi. Sellest hoolimata näeb atraktorigraafik üsna sarnane. Mõlemal süsteemil on igal ajahetkel täiesti erinevad väärtused, kuid atraktorigraafik jääb samaks, kuna see väljendab süsteemi üldist käitumist.

Kaoseteooria ütleb, et keerulised mittelineaarsed süsteemid on pärilikult ettearvamatud, kuid samal ajal väidab kaoseteooria, et viis selliste ettearvamatute süsteemide väljendamiseks osutub tõeseks mitte täpsetes võrdustes, vaid süsteemi käitumise esitustes - graafides. veidratest atraktoritest või fraktaalidest. Seega osutub kaoseteooria, mida paljud arvavad kui ettearvamatust, samal ajal ka kõige ebastabiilsemates süsteemides ennustatavuse teaduseks.

Eeltoodu järgi aga ei järeldu sellest, et kaoseteoorial poleks reaalses elus rakendusi.

KAOSETEOORIA RAKENDUSED REAALSES MAAILMAS

Kui uued teooriad välja tulevad, tahavad kõik teada, mis neis head on. Mis siis kaoseteoorias head on?

Ennekõike on kaoseteooria teooria. See tähendab, et suuremat osa sellest kasutatakse rohkem teadusliku alusena kui vahetult rakendatava teadmisena. Kaoseteooria on väga hea viis vaadata maailmas toimuvaid sündmusi erinevalt traditsioonilisest rangelt deterministlikust vaatest, mis on valitsenud teaduses Newtoni ajast. Jurassic Parki vaadanud vaatajad kardavad kahtlemata, et kaoseteooria võib inimese maailmataju suuresti mõjutada ning tegelikult on kaoseteooria kasulik vahendina teadusandmete uudsel tõlgendamisel. Traditsiooniliste X-Y graafikute asemel saavad teadlased nüüd tõlgendada ruumifaasi diagramme, mis - selle asemel, et kirjeldada mis tahes muutuja täpset asukohta konkreetsel ajahetkel - esindavad süsteemi üldist käitumist. Selle asemel, et vaadata statistilistel andmetel põhinevaid täpseid võrdusi, saame nüüd vaadelda dünaamilisi süsteeme, mille käitumine on olemuselt sarnane staatiliste andmetega – s.t. süsteemid sarnaste atraktoritega. Kaoseteooria annab kindla raamistiku teaduslike teadmiste arendamiseks.

Bioloogiliste süsteemide modelleerimiseks on kasutatud kaoseteooria tehnikaid, mis on kahtlemata ühed kõige kaootilisemad süsteemid, mida ette kujutada saab. Dünaamiliste võrrandite süsteeme on kasutatud kõige modelleerimiseks alates rahvastiku kasvust ja epideemiatest kuni ebaregulaarsete südamelöökideni.

Tegelikult saab modelleerida peaaegu iga kaootilist süsteemi – aktsiaturg genereerib kõveraid, mida saab hõlpsasti analüüsida kummaliste atraktoritega erinevalt täpsetest suhtarvudest; lekkivast kraanist tilkade langemise protsess tundub palja kõrvaga analüüsides juhuslik, kuid kui seda kujutada kummalise atraktorina, ilmneb üleloomulik kord, mida traditsiooniliste vahenditega ei ootaks.

Fraktalid on kõikjal, kõige paremini nähtavad graafikaprogrammides, näiteks üliedukas Fractal Design Painter tootesari. Fraktaalandmete tihendamise tehnikaid arendatakse endiselt, kuid need lubavad hämmastavaid tulemusi, näiteks 600:1 tihendussuhteid. Filmide eriefektide tööstuses oleks ilma fraktaalgraafika tehnoloogiata palju vähem realistlikke maastikuelemente (pilved, kivid ja varjud).

Ja loomulikult annab kaoseteooria inimestele üllatavalt huvitava võimaluse tekitada huvi matemaatika vastu, mis on tänapäeval üks kõige vähem populaarsemaid teadmisi.

BRUUNI LIIKUMINE JA SELLE RAKENDUSED

Browni liikumine on näiteks vees hõljuvate tolmuosakeste juhuslik ja kaootiline liikumine. Seda tüüpi liikumine on võib-olla kõige praktilisem fraktaalgeomeetria aspekt. Juhuslik Browni liikumine loob sagedusmustri, mida saab kasutada suurte andmemahtude ja statistikaga seotud asjade ennustamiseks. Hea näide on villahinnad, mida Mandelbrot ennustas Browni liikumise abil.

Browni numbritest joonistades loodud sagedusdiagramme saab ka muusikaks teisendada. Muidugi on seda tüüpi fraktalmuusika kõike muud kui muusikaline ja võib kuulajat tõesti väsitada. Browni numbreid juhuslikult joonistades saate sellise tolmufraktaali nagu siin näitena näidatud.

Lisaks Browni liikumise kasutamisele fraktaalidest fraktaalide loomiseks, saab seda kasutada ka maastike loomiseks. Paljud ulmefilmid, nagu Star Trek, on kasutanud Browni liikumistehnikat võõraste maastike, näiteks künkade ja kõrgete platoode topoloogiliste piltide loomiseks. Need tehnikad on väga tõhusad ja neid võib leida Mandelbroti raamatust The Fractal Geometry of Nature. Mandelbrot kasutas Browni jooni, et luua linnulennult vaade fraktaalide rannajoontele ja saarekaartidele (mis olid tegelikult lihtsalt juhuslikult joonistatud punktid).

PILLIPALLI LIIKUMINE

Kõik, kes on kunagi piljardikiid kätte saanud, teavad, et täpsus on mängu võti. Väikseimgi viga esialgse löögi nurgas võib juba mõne kokkupõrke järel kiiresti kaasa tuua tohutu vea palli asendis. See tundlikkus esialgsete tingimuste suhtes, mida nimetatakse kaoseks, kujutab endast ületamatut takistust kõigile, kes loodavad ennustada või kontrollida palli trajektoori pärast rohkem kui kuut või seitset kokkupõrget. Ja ärge arvake, et probleem peitub laua tolmus või ebakindlas käes. Tegelikult, kui kasutate arvutit piljardilaua mudeli ehitamiseks, millel pole hõõrdumist ega ebainimlikku kontrolli kii positsioneerimise täpsuse üle, ei suuda te ikkagi palli trajektoori piisavalt kaua ennustada!

Kui kaua? See sõltub osaliselt teie arvuti täpsusest, kuid rohkem laua kujust. Täiesti ümmarguse laua jaoks saab arvutada kuni umbes 500 kokkupõrkeasendit veaga umbes 0,1 protsenti. Aga laua kuju tasub muuta nii, et see muutuks vähemalt veidi ebakorrapäraseks (ovaalseks) ning trajektoori ettearvamatus võib juba 10 kokkupõrke järel ületada 90 kraadi! Ainus viis tühjalt laualt põrgatava piljardipalli üldisest käitumisest pildi saamiseks on joonistada igale tabamusele vastav tagasilöögi nurk ehk kaare pikkus. Siin on sellise faasi-ruumilise mustri kaks järjestikust suurendust.

Iga individuaalne silmus või hajumine tähistab palli käitumist, mis tuleneb ühest algtingimuste komplektist. Pildi pindala, mis kuvab konkreetse katse tulemusi, nimetatakse antud algtingimuste kogumi atraktoripiirkonnaks. Nagu näha, moodustab nendes katsetes kasutatud tabeli kuju põhiosa atraktoripiirkondadest, mida korratakse järjest kahanevas skaalas. Teoreetiliselt peaks selline enesesarnasus kestma igavesti ja joonistust aina enam suurendades saaksime kõik samad vormid. Seda nimetatakse tänapäeval väga populaarseks sõnaks fraktal.

DETERMINISTLISTE FRAKTAALIDE JA KAOSE INTEGRATSIOON

Ülaltoodud deterministlike fraktaalide näidetest on näha, et neil ei ole mingit kaootilist käitumist ja et need on tegelikult väga etteaimatavad. Teatavasti kasutab kaoseteooria fraktaali mustrite taasloomiseks või leidmiseks, et ennustada paljude looduses leiduvate süsteemide käitumist, näiteks lindude rändeprobleemi.

Nüüd vaatame, kuidas see tegelikult juhtub. Kasutades siin käsitlemata Pythagorase puu-nimelist fraktaali (mis muide pole Pythagorase leiutatud ja millel pole midagi pistmist Pythagorase teoreemiga) ja Browni liikumist (mis on kaootiline), proovime teha tõelise puu imitatsiooni. . Lehtede ja okste järjestamine puul on üsna keeruline ja juhuslik ning ilmselt mitte midagi piisavalt lihtsat, mida lühike 12-realine programm jäljendada suudaks.

Kõigepealt peate looma Pythagorase puu. Tulemus meenutab neid vanu lasteaia joonistusi. Nii et teeme pagasiruumi paksemaks. Selles etapis Browni liikumist ei kasutata. Selle asemel on iga joonelõik nüüd muutunud tüveks muutuva ristküliku ja väljaspool asuvate harude sümmeetriajooneks.

Kuid tulemus tundub siiski liiga ametlik ja korrapärane. Puu ei näe veel välja nagu elusolend. Proovime rakendada mõnda äsja omandatud teadmisi deterministlike fraktalide valdkonnas.

Nüüd saate Browni liikumist kasutada juhusliku juhuslikkuse loomiseks, mis muudab numbreid ümardades need kahekohaliseks. Originaalis kasutati 39-bitiseid kümnendnumbreid. Tulemus (vasakul) ei näe välja nagu puu. Selle asemel näeb see välja nagu nutikas õngekonks!

Võib-olla oli kahekohaliseks ümardamine liiga palju? Rakendage uuesti Browni liikumist, ümardades seekord 7 numbrini. Tulemus näeb endiselt välja nagu õng, kuid seekord logaritmilise spiraali kujul!

Kuna vasak pool (sisaldab kõiki paarituid numbreid) ei tekita konksuefekti, rakendatakse Browni liikumise tekitatud juhuslikkust kaks korda kõikidele vasakpoolsetele numbritele ja ainult üks kord parempoolsetele numbritele. Võib-olla piisab sellest logaritmilise spiraali mõju kõrvaldamiseks või vähendamiseks. Seega ümardatakse numbrid 24 numbrini. Seekord on tulemuseks kena välimusega arvutipõhine kaootiline emulatsioon tõelisest puust.

5. OSA: FEIGENBAUMI PUU

ÜLDINE INFORMATSIOON

Kaoseteooria leiab otsest rakendust rahvastiku kasvu modelleerimise probleemis ja seda vaadeldakse siin programmi LT Bifurcator abil koostatud Feigenbaumi diagrammi näitel.

BIFURKATSIOONID RAHVUSTUSE MUDELITES

Fraktaalgeomeetria ime on see, et sellistest lihtsatest genereerimisprotsessidest saab luua äärmiselt keerulisi kujundeid. Teine üllatus pärineb dünaamiliste süsteemide doktriinist: sellised lihtsad deterministlikud võrrandid võivad tekitada nii kaootilist käitumist, kus süsteem ei naase kunagi stabiilsesse olekusse ja seaduspärasust ei ilmne. Sageli käituvad sellised süsteemid üsna normaalselt kuni mõne võtmeparameetri teatud väärtuseni, seejärel kogevad nad üleminekut ja kus edasiarendamiseks on kaks võimalust, siis neli ja lõpuks kaootiline võimaluste kogum.

1786. aastal töötas Thomas Malthus välja rahvastiku kasvu matemaatilise mudeli ning selgus, et nii sellel kui ka teistel sarnast tüüpi mudelitel on ülalkirjeldatud omadus. Oletame, et meil on mudel, milles rahvastiku kasvutempo sõltub eelkõige rahvaarvu suurusest:

Uus rahvaarv = kasvutempo * vana rahvastik (1 – vana rahvastik)

Kus populatsioon normaliseeritakse nii, et see võtab väärtusi 0-st 1-ni. Loomulikult on selline mudel väga lihtsustatud ega suuda täpselt kirjeldada rahvastiku arengu dünaamikat. Kasvutempoga alla 200% on see mudel stabiilne, sest mis tahes algväärtuse korral kehtestatakse mitme põlvkonna järel populatsiooni suurus stabiilsel tasemel. Kui aga kasvutempo ületab 200%, siis võrrandit esindav kõver jaguneb või hargneb kaheks diskreetseks lahenduseks, seejärel neljaks, ja muutub peagi kaootiliseks.

FEIGENBAUM PUU

Logistiline võrrand on valem, mille kallal Mitchel Feigenbaum oma fraktaaliteooria loomisel põhiliselt töötas. See valem peaks kirjeldama rahvastiku arengu dünaamikat:

f(x) = (1 – x)rx

Lihtsaim mudel on arvu proportsionaalne suhe eelmise aastaga. Oletame, et eelmisel aastal oli meil x looma. Rx-loomi peaks sel aastal olema. Kuid seda ei tehta reaalsetes tingimustes. Parima vastavuse tegelikkusele saadakse, kui lisame teguri, mis sõltub sellest, milline on populatsiooni edasise arengu potentsiaal, ja olgu x täielikkuse koefitsient, mis varieerub vahemikus 0 kuni 1. Seejärel liidetakse tegur 1 - x, nii et territoorium on peaaegu täielikult täidetud, rahvaarv üle ülempiiri ei tõuse.

Logistilist väljendit laiendades saame:

f(x) \u003d ax - ax 2

Valem, mida LT Bifurcator programmis kasutatakse Feigenbaumi fraktali olemuse selgitamiseks - (1 + r)x - rx 2, ei erine palju ülaltoodud valemist. Põhimõtteliselt võiks teooria uurimiseks kasutada mis tahes valemit, näiteks seda tüüpi valemitest kõige lihtsamat - xІ - r. Ainsad erinevused on pildil olevate akende koordinaatide erinevused ja pildi veidi muudetud välimus.

MIKS SÜSTEEM ON ENNASTAMATU?

Sellele nähtusele pole lihtne seletust anda. Parameetri r iga punkti jaoks (piki x-telge) on funktsiooni x jaoks võimalikud järgmised valikud. Funktsioonil võib olla:

· perioodiline orbiit, s.o. see võtab perioodiliselt ühe või mitu väärtust, mis juhtub siin näidatud fraktaalidega segmendil 0< r < 2.57

· kaootiline orbiit, st. see omandab iteratiivse protsessi käigus nii suure hulga erinevaid väärtusi, et pole võimalik leida mingit seaduspärasust, nagu seda saaks teha esimesel juhul

· väärtused, mis ei ole absoluutväärtuses piiratud, ja see juhtub puu mõlemal küljel. Seetõttu pole siin enam võimalik punkte kuvada.

Esimesel juhul näeme funktsiooni, mis võtab perioodiliselt teatud väärtusi. Sel juhul on puul üks või mitu oksa. Funktsiooni väärtuste arvu nimetatakse iteratsiooniperioodiks. Funktsiooni periood võib olla ühest lõpmatuseni.

Kui parameeter on vahemikus 0 kuni 2, on funktsiooni periood üks. Sel juhul nimetatakse vastavat funktsiooni väärtust fikseeritud punktiks. See fikseeritud punkt osutub võrrandi lahenduseks

x = (1 + r)x - rx 2

1 + r)x – rx 2 – x = 0

Selle võrrandi lahendused:

Neid lahendeid graafiliselt kuvades näeme, et üks graafikutest (lugejas liikmete liitmise korral) vastab täpselt Feigenbaumi puu tüvele kuni parameetrini, mis on võrdne 2-ga. Võrrandi lahendusi nimetatakse fikseeritud punktideks. Kuna ainult üks lahendus langeb kokku Feigenbaumi puuga ja on iteratsioonide tulemus, annab teine ​​funktsioon ligitõmbavad fikseeritud punktid.

x=(1+r)x-rx2; r = 2,1; x0 = 0,8

Kui r = 2, siis fikseeritud punkt (st üks ülaltoodud võrrandi lahenditest) lakkab olemast atraktiivne fikseeritud punkt ja muutub tõrjuvaks. Sellest hetkest alates ei koondu funktsioon kunagi ühte punkti. Järgmisena algab funktsiooni perioodiline tsükkel ja algul võngub funktsioon kahe punkti vahel. Saadud tulemusi analüüsides võib aru saada, et neid väärtusi võib pidada lahendusteks, mis on saadud funktsiooni kahekordse itereerimisega. Vaatame, mis juhtub, kui kirjutame x järgmise funktsioonina

x = [(1 + r)x - rx 2] 2 + (1+r)x

Tulemuseks on neli lahendust, millest kaks esimest on algse avaldise lahendused. On üsna ilmne, et nad ilmuvad ka siin. Aga kolmas ja neljas väljend pakuvad huvi. Kui nendes asendada 2,1 (tabeli koostamisel kasutatud väärtus), saame vastavalt 1,128746121 ja 0,823648487, s.o. samad väärtused, mis tabelis. Mida tegelikult oligi oodata. Huvi pakub ka funktsiooni graafiline esitus. Tegelikult saame Fegenbaumi puu alguse. Kindlaks tehtud fakte saab kasutada bifurkatsioonipunktide arvutamiseks. Kolmandat ja neljandat võrrandit ei määratleta, kui parameetri väärtus on väiksem kui 2, st. kus joon hargneb.

AKNAD FEIGENBAUM PUUS

Raske on öelda, miks Feigenbaumi puusse aknad ilmuvad. Lihtsam on vastata küsimusele, kuidas need ilmuvad. Need on alad, mille nullid vastavad iteratiivsetele orbiitidele. Näiteks kui esimese iteratsiooni tulemus annab vastuses 0, on meil aken. Tegelikult tähendab see võrrandi lahendamist: 0 2 - r = 0

ATRAKTORI JA FEIGENBAUMI KONSTANT

FEIGENBAUM ATRAKTOR

Erinevalt Feigenbaumi konstandist ei ole see arv universaalne. Selle atraktori väärtus sõltub sellest, millist valemit kasutatakse. Lt Bifurcator x = (1 + r)x – rxІ kasutatud valemi jaoks võib graafiliselt leida väärtuse, mis on ligikaudu võrdne 2,56-ga.

Arv tähistab parameetri väärtust, mille juures graafik läbib esimest korda lõpmatu arvu bifurkatsioone. See tähendab, et Feigenbaumi atraktor on kaootiline atraktor, sest funktsioon ei läbi kunagi korduvat orbiiti.

Selle väärtuse arvutamiseks võite kasutada Feigenbaumi konstanti, kuid kuna see konstant ilmub paljudel bufurkatsioonidel ainult siis, kui vajate vastuvõetavat täpsust, praktikas on seda raske rakendada ja ma pole seda meetodit veel kasutada saanud.

Samuti tuleb märkida, et kõigi Feigenbaumi diagrammi akende jaoks on konstantne väärtus, mille juures funktsioon hargneb lõpmatu arv kordi.

FEIGENBAUM KONSTANT

Kui mult nõutaks lühikest vastust, ütleksin: see on ligikaudu 4,669211660910299067185320382047...

See aga ei rahuldaks kedagi. See arv on ilmselt selle fraktali kõige fantastilisem fakt. Selle puu tulemuseks on palju valemeid, kuid arv jääb kogu aeg samaks. On peaaegu legendaarne, et Mitchel Feigenbaum helistas oma emale koju, kui ta avastas universaalsuse ja ütles, et see teeb ta kuulsaks.

Kuulus konstant ilmneb siis, kui võrrelda ühe puuosa pikkust, s.o. osad hargnemisjoone vahel (vt joonist). Esimene osa on 0 kuni 2. Selle pikkus on 2. Järgmine osa on 2 kuni 2,448 ja selle pikkus on 0,448. Kahe pikkuse suhe on 2/0,448 = 4,4642. Üldiselt on see üsna lähedane Feigenbaumi konstandi väärtusele, kuid teooria kohaselt saab tulemust parandada, kui võtta lõigu pikkuse suhte n + 1 piir n-ga, kuna n kaldub lõpmatus (loomulikult piirab seda tendentsi Feigenbaumi atraktor).

Muidugi on see näide vaid näide ega pretendeeri mingile täpsusele, sest andmed saadi üsna kiiresti puhtalt graafilise meetodiga.

Oluline on meeles pidada, et iga bifurkatsiooniga tuleb täpse tulemuse saamiseks arvutada üha rohkem väärtusi, sest. funktsioon vajab stabiliseerimiseks rohkem iteratsioone. Kui proovite ehitada Feigenbaumi puud vaid mõnest punktist, tekivad hargnemised varem, kui nad tegelikult on. See muutub üha olulisemaks, mida puu aina lähemale jõuab. Tabelis toodud väärtuste jaoks kasutasin umbes 1000 iteratsiooni.

JUHUSLIKUTE ARVUDE PÕLVE

Vaata punktide jaotust kuskil Feigenbaumi puu paremas servas (Properties -> Interval -> Pseudo-chaos Segment programmis Lt Bifurcator) Vaata, need tunduvad väga juhuslikud. Nii et idee kasutada seda juhuslike arvude genereerimiseks tundub olevat mõttekas.

Piisab, kui käivitada valem x = (1 + r)x - rx 2 või midagi sellist ja kasutada viimati arvutatud väärtust iga kord, kui on vaja juhuslikku arvu. Jah, see töötab: saate orbiidi, mis kunagi ei kordu, sest valitseb kaos, kuid kahjuks kontrollisin punktide jaotust ja tulemus ei olnud ühtlane, st. ei pruugi olla kõigi intervallide puhul võrdsed.

Valemiga arvutatud arvud jäävad alati -2 ja 2 vahele. Seda on lihtne venitada üle vahemiku 0 kuni 9 ja muuta arvud täisarvudeks. Tegin seda ja lugesin kokku, mitu tabamust ma iga numbri kohta paljude tuhandete iteratsioonide jooksul sain. Siin on tulemus:

r = 1,99999, 50 000 iteratsiooni

keskmine x: 4,501

standardhälve x: 3,430

On lihtne näha, et see ei anna soovitud jaotust. Aga võib-olla võtta väärtused 3-le lähemal? Uus test:

r = 1,99999999999999, 50000 iteratsiooni

keskmine x: 4,489

standardhälve x: 3,425

Kahjuks annab see meile peaaegu sama jaotuskõvera.

Märge

Et anda aimu keskmisest ja standardhälbest: Kui meil oleks soovitud tulemus, oleks iga arvu sagedus vahemikus 0 kuni 9 5000, keskmine oleks 4,5 ja standardhälve 2,872.

Feigenbaumi puu ja Mandelbroti komplekt

Kui olete kunagi näinud Mandelbroti hulga z=z 2 + x valemit, võite märgata sarnasust selle valemi ja Feigenbaumi puu x 2 - r koostamise lihtsaima valemi vahel. Ja tõepoolest on. Sarnasus on olemas. Kuid Feigenbaumi puu kasvab teistpidi. Muutke Feigenbaumi valem x 2 + r-ks ja näete sarnasust. Mandelbroti komplekti puhul peate vaatama piki horisontaaltelge, kuna see on ainus asukoht, kus Mandelbroti arvu kompleksosa on null. Näete, et Mandelbroti kujundi põhiosa on see, kus Feigenbaumi puu funktsioon võtab ainult ühe väärtuse. Kui joone esimene eraldumine (bifurkatsioon) toimub, ilmub Mandelbroti joonisele uus keha jne. Pange tähele ka seda, et kui puus avatakse peaaken, ilmub Mandelbroti kujundile lapskeha.