Tavaline diferentsiaalvõrrand nimetatakse võrrandiks, mis ühendab sõltumatu muutuja, selle muutuja tundmatu funktsiooni ja selle erinevat järku tuletisi (või diferentsiaale).

Diferentsiaalvõrrandi järjekord on selles sisalduva tuletise kõrgeima järg.

Lisaks tavalistele uuritakse ka osadiferentsiaalvõrrandeid. Need on võrrandid, mis seostavad sõltumatuid muutujaid, nende muutujate tundmatut funktsiooni ja selle osalisi tuletisi samade muutujate suhtes. Kuid me kaalume ainult tavalised diferentsiaalvõrrandid ja seetõttu jätame lühiduse mõttes sõna "tavaline".

Diferentsiaalvõrrandite näited:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Võrrand (1) on neljandat järku, võrrand (2) on kolmandat järku, võrrandid (3) ja (4) on teist järku, võrrand (5) on esimest järku.

Diferentsiaalvõrrand n järjestus ei pea selgesõnaliselt sisaldama funktsiooni, kõik selle tuletised algusest kuni n järgu ja sõltumatu muutuja. See ei pruugi selgesõnaliselt sisaldada mõne järgu tuletisi, funktsiooni, sõltumatut muutujat.

Näiteks võrrandis (1) puuduvad selgelt kolmanda ja teise järgu tuletised, samuti funktsioonid; võrrandis (2) - teist järku tuletis ja funktsioon; võrrandis (4) - sõltumatu muutuja; võrrandis (5) - funktsioonid. Ainult võrrand (3) sisaldab selgesõnaliselt kõiki tuletisi, funktsiooni ja sõltumatut muutujat.

Diferentsiaalvõrrandi lahendamisega kutsutakse mis tahes funktsiooni y = f(x), asendades selle võrrandiga, muutub see identiteediks.

Diferentsiaalvõrrandi lahenduse leidmise protsessi nimetatakse selle protsessiks integratsiooni.

Näide 1 Leia diferentsiaalvõrrandi lahendus.

Lahendus. Kirjutame selle võrrandi kujul . Lahendus on leida funktsioon selle tuletise järgi. Algfunktsioon, nagu on teada integraalarvutusest, on antiderivaat, s.o.

Seda see on antud diferentsiaalvõrrandi lahendus . muutumas selles C, saame erinevaid lahendusi. Saime teada, et esimest järku diferentsiaalvõrrandil on lõpmatu arv lahendusi.

Diferentsiaalvõrrandi üldlahend n järjekord on selle lahendus, mis on sõnaselgelt väljendatud tundmatu funktsiooni suhtes ja sisaldab n sõltumatud suvalised konstandid, st.

Diferentsiaalvõrrandi lahendus näites 1 on üldine.

Diferentsiaalvõrrandi osalahend nimetatakse selle lahendust, milles suvalistele konstantidele määratakse konkreetsed arvväärtused.

Näide 2 Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahend ja konkreetne lahendus .

Lahendus. Integreerime võrrandi mõlemad osad nii palju kordi, et diferentsiaalvõrrandi järjekord on võrdne.

,

.

Selle tulemusena saime üldise lahenduse -

antud kolmandat järku diferentsiaalvõrrand.

Nüüd leiame konkreetse lahenduse kindlaksmääratud tingimustel. Selleks asendame suvaliste koefitsientide asemel nende väärtused ja saame

.

Kui lisaks diferentsiaalvõrrandile on algtingimus antud kujul , siis sellist ülesannet nn. Cauchy probleem . Väärtused ja asendatakse võrrandi üldlahendusega ning leitakse suvalise konstandi väärtus C, ja seejärel leitud väärtuse võrrandi konkreetne lahendus C. See on Cauchy probleemi lahendus.

Näide 3 Lahendage Cauchy ülesanne näite 1 diferentsiaalvõrrandi jaoks tingimusel .

Lahendus. Asendame üldlahendusse algtingimuse väärtused y = 3, x= 1. Saame

Kirjutame Cauchy ülesande lahenduse antud esimest järku diferentsiaalvõrrandile:

Diferentsiaalvõrrandite, ka kõige lihtsamate, lahendamine eeldab häid oskusi integreerida ja tuletisi võtta, sealhulgas keerulisi funktsioone. Seda võib näha järgmises näites.

Näide 4 Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahend.

Lahendus. Võrrand on kirjutatud sellisel kujul, et mõlemad pooled saab kohe integreerida.

.

Rakendame integreerimise meetodit muutuja muutmise teel (asendamine). Lase siis.

Kohustuslik võtta dx ja nüüd - tähelepanu - teeme seda vastavalt kompleksfunktsiooni eristamise reeglitele, kuna x ja seal on keeruline funktsioon ("õun" - ruutjuure eraldamine või, mis on sama - astmeni "üks sekund" tõstmine ja "hakkliha" - väljend ise juure all):

Leiame integraali:

Tulles tagasi muutuja juurde x, saame:

.

See on selle esimese astme diferentsiaalvõrrandi üldlahendus.

Diferentsiaalvõrrandite lahendamisel pole vaja mitte ainult kõrgema matemaatika eelmiste osade oskusi, vaid ka alg- ehk koolimatemaatika oskusi. Nagu juba mainitud, ei pruugi mis tahes järku diferentsiaalvõrrandis olla sõltumatut muutujat, see tähendab muutujat x. Seda probleemi aitavad lahendada teadmised proportsioonide kohta, mis pole koolipingist ununenud (samas on kellelgi nii). See on järgmine näide.

Loetletakse peamised lahendatavate kõrgema järgu tavaliste diferentsiaalvõrrandite (DE) tüübid. Lühidalt kirjeldatakse nende lahendamise meetodeid. Siin on lingid lehekülgedele, kus on üksikasjalikult kirjeldatud lahendusmeetodeid ja näiteid.

Vaata ka: Esimest järku diferentsiaalvõrrandid
Esimest järku lineaarsed osadiferentsiaalvõrrandid

Kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandid, mis võimaldavad järgu vähendamist

Otsese integreerimisega lahendatavad võrrandid

Vaatleme järgmise kujuga diferentsiaalvõrrandit:
.
Integreerime n korda.
;
;
ja nii edasi. Võite kasutada ka valemit:
.
Vt Otselahendatud diferentsiaalvõrrandid integratsioon >>>

Võrrandid, mis ei sisalda otseselt sõltuvat muutujat y

Asendamine toob kaasa võrrandi järjekorra vähenemise ühe võrra. Siin on funktsioon.
Vaadake jaotist Kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandid, mis ei sisalda selgesõnalist funktsiooni > > >

Võrrandid, mis ei sisalda otseselt sõltumatut muutujat x

.
Eeldame, et see on funktsioon . Siis
.
Samamoodi ka teiste tuletisinstrumentide puhul. Selle tulemusena väheneb võrrandi järjekord ühe võrra.
Vaadake kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandid, mis ei sisalda selgesõnalist muutujat > > >

Võrrandid, mis on homogeensed y, y′, y′′, ...

Selle võrrandi lahendamiseks teeme asendused
,
kus on funktsioon . Siis
.
Samamoodi teisendame tuletised jne. Selle tulemusena väheneb võrrandi järjekord ühe võrra.
Vaata funktsiooni ja selle tuletisi suhtes homogeensed kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandid > > >

Kõrgema järgu lineaarsed diferentsiaalvõrrandid

Kaaluge n-ndat järku lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand:
(1) ,
kus on sõltumatu muutuja funktsioonid . Olgu sellel võrrandil n lineaarselt sõltumatut lahendit. Siis on võrrandi (1) üldlahend järgmisel kujul:
(2) ,
kus on suvalised konstandid. Funktsioonid ise moodustavad fundamentaalse lahenduste süsteemi.
Fundamentaalne otsustussüsteem n-ndat järku lineaarne homogeenne võrrand on selle võrrandi n lineaarselt sõltumatut lahendit.

Kaaluge n-ndat järku lineaarne mittehomogeenne diferentsiaalvõrrand:
.
Olgu selle võrrandi konkreetne (ükskõik milline) lahend. Siis näeb üldine lahendus välja järgmine:
,
kus on homogeense võrrandi (1) üldlahend.

Konstantsete koefitsientidega lineaarsed diferentsiaalvõrrandid ja nende taandumised

Konstantsete koefitsientidega lineaarsed homogeensed võrrandid

Need on võrrandid järgmisel kujul:
(3) .
Siin on reaalsed numbrid. Selle võrrandi üldlahenduse leidmiseks peame leidma n lineaarselt sõltumatut lahendit, mis moodustavad fundamentaalse lahenduste süsteemi. Seejärel määratakse üldlahend valemiga (2):
(2) .

Otsin lahendust vormis . Saame iseloomulik võrrand:
(4) .

Kui sellel võrrandil on mitmesugused juured, siis on põhilahenduste süsteem järgmine:
.

Kui see on olemas kompleksne juur
,
siis on olemas ka kompleksne konjugaatjuur . Need kaks juurt vastavad lahendustele ja , mille lisame komplekslahenduste ja asemel põhisüsteemi.

Mitu juurt kordsused vastavad lineaarselt sõltumatutele lahenditele: .

Mitu keerulist juurt kordused ja nende komplekssed konjugeeritud väärtused vastavad lineaarselt sõltumatutele lahendustele:
.

Lineaarsed ebahomogeensed võrrandid spetsiaalse ebahomogeense osaga

Vaatleme vormi võrrandit
,
kus on s-kraadide polünoomid 1 ja s 2 ; - püsiv.

Esiteks otsime homogeensele võrrandile (3) üldist lahendust. Kui tunnusvõrrand (4) ei sisalda juurt, siis otsime konkreetset lahendust kujul:
,
kus
;
;
s – suurim s-st 1 ja s 2 .

Kui tunnusvõrrand (4) on juur paljusus , siis otsime konkreetset lahendust kujul:
.

Pärast seda saame üldise lahenduse:
.

Konstantsete koefitsientidega lineaarsed mittehomogeensed võrrandid

Siin on kolm võimalikku lahendust.

1) Bernoulli meetod.
Esiteks leiame homogeense võrrandi mis tahes nullist erineva lahendi
.
Seejärel teeme asendus
,
kus on muutuja x funktsioon. Saame u jaoks diferentsiaalvõrrandi, mis sisaldab ainult u tuletisi x suhtes. Asendades saame võrrandi n - 1 - järjekorras.

2) Lineaarne asendusmeetod.
Teeme asendus
,
kus on üks tunnusvõrrandi (4) juurtest. Selle tulemusena saame lineaarse ebahomogeense võrrandi, millel on konstantsed järjekorrakoefitsiendid. Rakendades seda asendust järjestikku, taandame algse võrrandi esimest järku võrrandiks.

3) Lagrange'i konstantide muutmise meetod.
Selle meetodi puhul lahendame esmalt homogeense võrrandi (3). Tema lahendus näeb välja selline:
(2) .
Järgnevalt eeldame, et konstandid on muutuja x funktsioonid. Siis on algvõrrandi lahendus järgmine:
,
kus on tundmatud funktsioonid. Asendades algse võrrandi ja kehtestades mõned piirangud, saame võrrandid, millest leiame funktsioonide kuju .

Euleri võrrand

See taandatakse konstantsete koefitsientidega lineaarseks võrrandiks asendamise teel:
.
Euleri võrrandi lahendamiseks pole aga sellist asendust vaja teha. Homogeense võrrandi lahendust võib kohe otsida kujul
.
Selle tulemusena saame samad reeglid, mis konstantsete koefitsientidega võrrandi puhul, milles muutuja asemel tuleb asendada .

Viited:
V.V. Stepanov, Diferentsiaalvõrrandite kursus, LKI, 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Kõrgema matemaatika ülesannete kogu, Lan, 2003.

Kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandid

Kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandite põhiterminoloogia (DE VP).

Võrrand vormist , kus n >1 (2)

nimetatakse kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandiks, st. n- järjekorras.

Kaugjuhtimispuldi määratluse valdkond, n järjekorras on ala.

Sellel kursusel käsitletakse järgmist tüüpi õhuruumi kontrolli:

Cauchy probleem VP jaoks:

Olgu antud DU,
ja algtingimused n/a: numbrid .

On vaja leida pidev ja n korda diferentseeruv funktsioon
:

1)
on antud DE lahend kohta , st.
;

2) vastab antud lähtetingimustele: .

Teist järku DE puhul on ülesande lahenduse geomeetriline tõlgendus järgmine: otsitakse integraalkõverat, mis läbib punkti (x 0 , y 0 ) ja puutuja kaldega joont k = y 0 ́ .

Olemasolu ja kordumatuse teoreem(Cauchy probleemi lahendused DE jaoks (2)):

Kui 1)
pidev (kokku (n+1) argumendid) valdkonnas
; 2)
pidev (argumentide komplekti järgi
) aastal, siis ! Cauchy probleemi lahendus DE jaoks, mis vastab antud algtingimustele n/s: .

Piirkonda nimetatakse DE unikaalsuse piirkonnaks.

DP VP üldlahendus (2) – n - parameetriline funktsioon,
, kus
– suvalised konstandid, mis vastavad järgmistele nõuetele:

1)

– DE (2) lahendus ;

2) n/a unikaalsuse piirkonnast !
:
vastab etteantud algtingimustele.

kommenteerida.

Vaatamiste suhe
, mis määrab kaudselt DE (2) üldlahenduse on kutsutud ühine integraal DU.

Eraldi otsus DE (2) saadakse selle konkreetse väärtuse üldlahendusest .

DP VP integreerimine.

Kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandeid reeglina täpsete analüütiliste meetoditega ei lahendata.

Olgem eraldi välja toonud teatud tüüpi DEWP, mis lubab järjestuse vähendamist ja taandamist kvadratuurideks. Teeme seda tüüpi võrrandid ja viisid nende järjestuse vähendamiseks tabelis kokku.

DP VP, mis võimaldab tellimust vähendada

Homogeense funktsiooni määratlus:

Funktsioon
nimetatakse muutujates homogeenseks
, kui


funktsiooni ulatuse mis tahes punktis
;

on homogeensuse järjekord.

Näiteks on homogeenne funktsioon 2. järku suhtes
, st. .

Näide 1:

Leidke DE üldine lahendus
.

3. järgu DE, mittetäielik, ei sisalda sõnaselgelt
. Integreerige võrrand kolm korda järjest.

,

on DE üldine lahendus.

Näide 2:

Lahendage DE jaoks Cauchy probleem
juures

.

Teist järku DE, mittetäielik, ei sisalda selgesõnaliselt .

Asendamine
ja selle tuletis
alandab DE järjekorda ühe võrra.

. Sai esimest järku DE - Bernoulli võrrand. Selle võrrandi lahendamiseks rakendame Bernoulli asendust:

,

ja ühendage see võrrandisse.

Selles etapis lahendame võrrandi jaoks Cauchy ülesande
:
.

on eraldatavate muutujatega esimest järku võrrand.

Asendame algtingimused viimase võrdsusega:

Vastus:
on Cauchy probleemi lahendus, mis rahuldab algtingimusi.

Näide 3:

Lahendage DU.

– 2. järgu DE, mittetäielik, ei sisalda sõnaselgelt muutujat ja võimaldab seetõttu järjekorda ühe võrra alandada, kasutades asendust või
.

Saame võrrandi
(lase
).

– DE 1. järku eraldavate muutujatega. Jagame neid.

on DE üldine integraal.

Näide 4:

Lahendage DU.

Võrrand
on täpne tuletisvõrrand. Tõesti,
.

Integreerime vasak- ja parempoolsed osad suhtes, st.
või . Saadud eraldatavate muutujatega 1. järku DE, st.
on DE üldine integraal.

Näide5:

Lahendage Cauchy probleem
aadressil .

4. järgu DE, mittetäielik, ei sisalda sõnaselgelt
. Märkides, et see võrrand on täpsetes tuletistes, saame
või
,
. Asendame selle võrrandi algtingimused:
. Võtame kaugjuhtimispuldi
Esimese tüübi 3. järjekord (vt tabel). Integreerime seda kolm korda ja pärast iga integreerimist asendame võrrandi algtingimused:

Vastus:
- algse DE Cauchy probleemi lahendus.

Näide 6:

Lahenda võrrand.

– DE 2. järku, täielik, sisaldab ühtlust seoses
. Asendamine
alandab võrrandi järjekorda. Selleks taandame võrrandi vormile
, jagades algse võrrandi mõlemad pooled arvuga . Ja me eristame funktsiooni lk:

.

Asendaja
ja
DU-s:
. See on esimest järku eraldatav muutuja võrrand.

Arvestades seda
, saame DE või
on algse DE üldlahendus.

Kõrgemat järku lineaarsete diferentsiaalvõrrandite teooria.

Põhiterminoloogia.

– NLDU järjekord, kus on pidevad funktsioonid mingil intervallil .

Seda nimetatakse DE pidevuse intervalliks (3).

Tutvustame järgu (tingimuslikku) diferentsiaaloperaatorit

Kui see toimib funktsioonile , saame

See tähendab -ndat järku lineaarse DE vasak pool.

Selle tulemusena saab LDE kirjutada

Lineaarse operaatori omadused
:

1) - liiteomadus

2)
– arv – homogeensuse omadus

Omadusi on lihtne kontrollida, kuna nende funktsioonide tuletistel on sarnased omadused (tuletiste lõppsumma võrdub lõpliku arvu tuletisi summaga; konstantse teguri saab tuletise märgist välja võtta).

See.
on lineaaroperaator.

Mõelge küsimusele Cauchy probleemi lahenduse olemasolu ja ainulaadsus LDE jaoks
.

Lahendame LDE suhtes
: ,
, on järjepidevuse intervall.

Funktsioon on pidev domeenis , tuletised
piirkonnas pidev

Seetõttu unikaalsuse domeen , milles Cauchy ülesandel LDE (3) on ainulaadne lahendus ja see sõltub ainult punkti valikust
, kõik muud argumentide väärtused
funktsioonid
võib võtta suvaliselt.

OLDU üldteooria.

on järjepidevuse intervall.

OLDDE lahenduste peamised omadused:

1. Liituvusomadus

(
– OLDDE lahendus (4) sees )
(
on OLDDE (4) lahendus ).

Tõestus:

on lahendus OLDDE (4) kohta

on lahendus OLDDE (4) kohta

Siis

2. Homogeensuse omadus

( on OLDDE (4) lahendus ) (
(- numbriväli))

on OLDDE (4) lahendus .

Seda tõestatakse sarnaselt.

Aditiivsuse ja homogeensuse omadusi nimetatakse OLDE lineaarseteks omadusteks (4).

Tagajärg:

(
– OLDDE (4) lahendus peal )(

on OLDDE (4) lahendus ).

3. ( on OLDDE (4) kompleksväärtuslik lahendus )(
on OLDDE (4) reaalväärtuslikud lahendused ).

Tõestus:

Kui OLDDE (4) lahend on on , siis võrrandisse asendamisel muudab see identiteediks, s.t.
.

Operaatori lineaarsuse tõttu saab viimase võrrandi vasaku poole kirjutada järgmiselt:
.

See tähendab, et , st on OLDDE (4) reaalväärtuslikud lahendused .

Järgmised OLDDE lahenduste omadused on seotud mõistega " lineaarne sõltuvus”.

Lõpliku funktsioonisüsteemi lineaarse sõltuvuse määramine

Funktsioonide süsteemi nimetatakse lineaarselt sõltuvaks sellest, kas see on olemas mittetriviaalne numbrite komplekt
nii et lineaarne kombinatsioon
funktsioonid
nende arvudega on identselt võrdne nulliga, st.
.n , mis on vale. Teoreem on tõestatud.diferentsiaal võrrandidkõrgemalekorraldusi(4 tundi...

Selle võrrandi jaoks on meil:

; (5.22)

. (5.23)

Viimane determinant annab tingimuse a 3 > 0. Tingimust Δ 2 > 0, kui a 0 > 0, a 1 > 0 ja a 3 > 0, saab täita ainult siis, kui a 2 > 0.

Järelikult ei piisa kolmandat järku võrrandi puhul enam sellest, et kõik karakteristliku võrrandi koefitsiendid on positiivsed. Samuti on vaja täita teatud seos koefitsientide a 1 a 2 > a 0 a 3 vahel.

4. Neljandat järku võrrand

Sarnaselt ülaltoodule võib saada, et neljandat järku võrrandi jaoks peab lisaks kõigi koefitsientide positiivsusele olema täidetud järgmine tingimus

Algebraliste kriteeriumide, sealhulgas Hurwitzi kriteeriumide oluline puudus on ka see, et kõrget järku võrrandite puhul saate parimal juhul vastuse selle kohta, kas automaatjuhtimissüsteem on stabiilne või mitte. Samas ei anna kriteerium ebastabiilse süsteemi puhul vastust, kuidas tuleks süsteemi parameetreid muuta, et see oleks stabiilne. See asjaolu viis muude kriteeriumide otsimiseni, mis oleksid inseneripraktikas mugavamad.

5.3. Mihhailovi stabiilsuskriteerium

Vaatleme eraldi karakteristiku võrrandi (5.7) vasakut poolt, mis on karakteristlik polünoom

Asendame sellesse polünoomi puhtalt imaginaarse väärtuse p = j, kus  on iseloomuliku lahendi puhtimaginaarsele juurele vastavate võnkumiste nurksagedus. Sel juhul saame iseloomuliku kompleksi

kus reaalosa sisaldab paaris sagedusastmeid

ja imaginaarne – sageduse paaritu võimsus

E

Riis. 5.4. Mihhailovi hodograaf

Praktikas koostatakse Mihhailovi kõver punkthaaval ja määratakse sageduse  erinevad väärtused ning U() ja V() arvutatakse valemite (5.28), (5.29) abil. Arvutustulemused on kokku võetud tabelis. 5.1.

Tabel 5.1

Mihhailovi kõvera ehitamine

Selle tabeli järgi ehitatakse kõver ise (joon. 5.4).

Teeme kindlaks, millega peaks olema võrdne vektori D(j) pöördenurk , kui sagedus  muutub nullist lõpmatuseni. Selleks kirjutame iseloomuliku polünoomi tegurite korrutisena

kus  1 – n on tunnusvõrrandi juured.

Karaktervektorit saab seejärel esitada järgmisel kujul:

Iga sulg on kompleksarv. Seetõttu on D(j) n kompleksarvu korrutis. Korrutamisel liidetakse kompleksarvude argumendid. Seetõttu on vektori D(j) saadud pöördenurk võrdne üksikute tegurite (5.31) pöördenurkade summaga, kui sagedus  muutub nullist lõpmatuseni.

Defineerime iga termini (5.31) eraldi. Probleemi üldistamiseks kaaluge erinevat tüüpi juuri.

1. Olgu suvaline juur, näiteks  1 tõeline ja negatiivne , st  1 = – 1 . Selle juurega määratud tegur avaldises (5.31) näeb välja selline ( 1 + j). Ehitame selle vektori hodograafi komplekstasandil, kui sagedus  muutub nullist lõpmatuseni (joonis 5.5, a). Kui = 0, on reaalosa U= 1 ja mõtteline osa V= 0. See vastab punktile A, mis asub reaalteljel. Punktis 0 muutub vektor nii, et selle reaalosa on endiselt võrdne -ga ja imaginaarne V = (graafiku punkt B). Kui sagedus kasvab lõpmatuseni, läheb vektor lõpmatusse ja vektori ots jääb alati punkti A läbivale vertikaaljoonele ning vektor pöörleb vastupäeva.

Riis. 5.5. Päris juured

Saadud vektori pöördenurk  1 = +( / 2).

2. Nüüd olgu juur  1 tõeline ja positiivne , see on 1 = + 1. Siis näeb selle juurega määratud tegur (5.31) välja selline (- 1 + j). Sarnased konstruktsioonid (joon. 5.5, b) näitavad, et saadud pöördenurk on  1 = –( / 2). Miinusmärk näitab, et vektorit pööratakse päripäeva.

3. Olgu kaks konjugeeritud juurt, näiteks  2 ja  3 kompleks negatiivse reaalosaga , st  2;3 = –±j. Samamoodi on nende juurtega määratud tegurid avaldises (5.31) kujul (–j + j)( + j + j).

Kui = 0, määratakse kahe vektori algsed asukohad punktidega A 1 ja A 2 (joonis 5.6, a). Esimest vektorit pööratakse ümber reaaltelje päripäeva nurga võrra, mis võrdub arctg( / ), ja teist vektorit pööratakse sama nurga võrra vastupäeva.  järkjärgulise suurendamisega nullist lõpmatuseni tõusevad mõlema vektori otsad lõpmatuseni ja mõlemad vektorid ühinevad piirväärtuses oleva kujuteldava teljega.

Saadud esimese vektori pöördenurk  2 = ( / 2) + . Saadud teise vektori pöördenurk  3 = ( / 2) –. Korrutisele (–j + j)( + j + j) vastav vektor pöörleb läbi nurga 2 +  3 = 2 / 2 =.

Riis. 5.6. Komplekssed juured

4. Las sama keerulistel juurtel on positiivne reaalosa , st  2;3 = +±j.

Ehituse läbiviimine sarnaselt varem vaadeldud juhtumiga (joonis 5.6, b), saame saadud pöördenurga  2 +  3 = –2 / 2 = –.

Seega, kui karakteristikul võrrandil on positiivse reaalosaga f juur, siis olenemata sellest, millised need juured on (reaalsed või komplekssed), vastavad need pöördenurkade summale, mis on võrdne –f ( / 2). Kõik teised (n - f) iseloomuliku võrrandi juured, millel on negatiivsed reaalosad, vastavad pöördenurkade summale, mis on võrdne + (n - f) ( / 2). Selle tulemusena näeb vektori D(j) kogu pöördenurk, kui sagedus  muutub nullist lõpmatuseni vastavalt valemile (5.32)

 = (n - f)( / 2) -f( / 2) = n ( / 2) -f . (5.33)

See avaldis määrab soovitud seose Mihhailovi kõvera kuju ja iseloomuliku võrrandi juurte reaalosade märkide vahel. Aastal 1936 A.V. Mihhailov sõnastas mis tahes järku lineaarsete süsteemide jaoks järgmise stabiilsuskriteeriumi.

N-ndat järku süsteemi stabiilsuse tagamiseks on vajalik ja piisav, et vektor D(j  ), mis kirjeldab Mihhailovi kõverat muudatusega  nullist lõpmatuseni oli pöördenurk  = n (  / 2).

See sõnastus tuleneb otseselt punktist (5.33). Süsteemi stabiilsuse tagamiseks on vajalik, et kõik juured asuksid vasakpoolsel pooltasandil. Siit määratakse vektori vajalik pöördenurk.

Mihhailovi stabiilsuskriteerium on sõnastatud järgmiselt: lineaarse ACS-i stabiilsuse tagamiseks on vajalik ja piisav, et Mihhailovi hodograaf sageduse muutumisel nullist lõpmatusse, alustades positiivselt pooltasandilt ja mitte ületades alguspunkti, läbib järjestikku nii palju komplekstasandi kvadrante kui süsteemi tunnusvõrrandi polünoomi järjekord.

O

Riis. 5.7. Vastupidav ATS

Stabiilse süsteemi korral läbib Mihhailovi kõver komplekstasandist järjestikku n kvadranti.

Kõigi kolme tüübi stabiilsuspiiri olemasolu saab määrata Mihhailovi kõvera järgi järgmiselt.

Kui on stabiilsuspiir esimene tüüp (nulljuur) karakteristikul polünoomil a n = 0 vaba liiget ei ole ja Mihhailovi kõver jätab alguspunkti (joon. 5.9, kõver 1)

Stabiilsuse piiril teist tüüpi (võnkestabiilsuse piir) karakteristiku võrrandi vasak pool, st iseloomulik polünoomi, kaob, kui p = j 0 on asendatud

D(j 0) = X( 0) + Y( 0) = 0. (5,34)

Kust järgneb kaks võrdsust: X( 0) = 0; Y( 0) = 0. See tähendab, et Mihhailovi kõvera punkt  =  0 langeb lähtepunkti (joon. 5.9, kõver 2). Sel juhul on väärtus  0 süsteemi summutamata võnkumiste sagedus.

Stabiilsuse piiri jaoks kolmas tüüp (lõpmatu juur) visatakse Mihhailovi kõvera ots (joon. 5.9, kõver 3) ühest kvadrandist teise läbi lõpmatuse. Sel juhul läbib iseloomuliku polünoomi (5.7) koefitsient a 0 nullväärtust, muutes märgi plussist miinusesse.

Vaatleme homogeenset kolmandat järku diferentsiaalvõrrandite süsteemi

Siin on x(t), y(t), z(t) soovitud funktsioonid intervallil (a, b), a ij (i, j =1, 2, 3) on reaalarvud.

Algse süsteemi kirjutame maatriksi kujul
,
kus

Otsime algse süsteemi lahendust vormis
,
kus , C 1 , C 2 , C 3 on suvalised konstandid.

Lahenduste fundamentaalse süsteemi leidmiseks on vaja lahendada nn tunnusvõrrand

See võrrand on kolmandat järku algebraline võrrand, seega on sellel 3 juurt. Sel juhul on võimalikud järgmised juhtumid:

1. Juured (omaväärtused) on reaalsed ja eristatavad.

2. Juurte (omaväärtuste) hulgas on keerulised konjugaadid, olgu
- tõeline juur
=

3. Juured (omaväärtused) on päris. Üks juurtest on mitmekordne.

Et välja selgitada, kuidas kõigil neil juhtudel toimida, vajame:
1. teoreem.
Olgu maatriksi A paarikaupa erinevad omaväärtused ja neile vastavad omavektorid. Siis

moodustavad algse süsteemi lahenduste põhimõttelise süsteemi.

kommenteerida .
Olgu - maatriksi A tegelik omaväärtus (karakteristiku võrrandi reaaljuur), - vastav omavektor.
= - maatriksi A komplekssed omaväärtused, - vastav - omavektor. Siis

(Taas – pärisosa, im – kujuteldav)
moodustavad algse süsteemi lahenduste põhimõttelise süsteemi. (st ja = loetakse koos)

3. teoreem.
Olgu paljususvõrrandi 2 juur. Siis on algsüsteemis 2 lineaarselt sõltumatut vormi lahendust
,
kus , - vektori konstandid. Kui kordused on 3, siis on vormil 3 lineaarselt sõltumatut lahendit
.
Vektorid leitakse, asendades lahendused (*) ja (**) algsesse süsteemi.
Vormi (*) ja (**) lahenduste leidmise meetodi paremaks mõistmiseks vaadake allpool käsitletud tüüpilisi näiteid.

Vaatame nüüd kõiki ülaltoodud juhtumeid lähemalt.

1. Algoritm kolmandat järku diferentsiaalvõrrandi homogeensete süsteemide lahendamiseks karakteristiku võrrandi erinevate reaaljuurte korral.
Antud süsteem

1) Koostage tunnusvõrrand

on reaalsed ja erinevad omaväärtused (selle võrrandi juured).
2) Ehitame kuhu

3) Ehitame kuhu
- maatriksi A omavektor, mis vastab , s.o. - mis tahes süsteemne lahendus

4) Ehitame kuhu
- maatriksi A omavektor, mis vastab , s.o. - mis tahes süsteemne lahendus

5)

moodustavad põhilise otsuste süsteemi. Järgmiseks kirjutame vormile algse süsteemi üldlahenduse
,
siin C 1 , C 2 , C 3 on suvalised konstandid,
,
või koordinaatide kujul

Vaatame mõnda näidet:
Näide 1




2) Leia


3) Leia


4) Vektorfunktsioonid



või koordinaatide tähistuses

Näide 2

1) Koostame ja lahendame iseloomuliku võrrandi:

2) Leia


3) Leia


4) Leia


5) Vektorfunktsioonid

moodustavad põhisüsteemi. Üldlahendusel on vorm

või koordinaatide tähistuses

2. Algoritm kolmandat järku diferentsiaalvõrrandi homogeensete süsteemide lahendamiseks karakteristiku võrrandi keeruliste konjugaatjuurte korral.


- tõeline juur

2) Ehitame kuhu

3) Hoone

- maatriksi A omavektor, mis vastab , s.o. rahuldab süsteemi

Siin on Re tegelik osa
Mina olen kujuteldav osa
4) moodustavad põhilise lahenduste süsteemi. Järgmisena kirjutame algse süsteemi üldlahenduse:
, kus
С 1 , С 2 , С 3 on suvalised konstandid.

Näide 1

1) Koostame ja lahendame tunnusvõrrandi

2) Hoone

3) Hoone
, kus

Vähendame esimest võrrandit 2 võrra. Seejärel lisame esimese võrrandi, mis on korrutatud 2i-ga, ja lahutame kolmandast võrrandist 2-ga korrutatud pliiatsi.

Edasi

Järelikult

4) - fundamentaalne lahenduste süsteem. Kirjutame algse süsteemi üldlahenduse:

Näide 2

1) Koostame ja lahendame tunnusvõrrandi


2) Hoone

(st ja vaadeldakse koos), kus

Korrutage teine ​​võrrand (1-i) ja vähendage 2-ga.


Järelikult

3)
Algse süsteemi üldlahendus

või

2. Algoritm kolmandat järku diferentsiaalvõrrandi homogeensete süsteemide lahendamiseks karakteristikavõrrandi mitmejuure korral.
Koostage ja lahendage tunnusvõrrand

Võimalikud on kaks juhtumit:

Vaatleme juhtumit a) 1) , kus

- maatriksi A omavektor, mis vastab , st rahuldab süsteemi

2) Viidame teoreemile 3, millest järeldub, et on kaks lineaarselt sõltumatut vormi lahendit
,
kus , on konstantsed vektorid. Võtame nad.
3) - fundamentaalne lahenduste süsteem. Järgmisena kirjutame algse süsteemi üldlahenduse:

Kaaluge juhtumit b):
1) Viidame teoreemile 3, millest järeldub, et vormil on kolm lineaarselt sõltumatut lahendit
,
kus , , on konstantsed vektorid. Võtame nad.
2) - fundamentaalne lahenduste süsteem. Järgmisena paneme kirja algse süsteemi üldlahenduse.

Vormi (*) lahenduste paremaks mõistmiseks vaadake mõnda tüüpilist näidet.

Näide 1

Koostame ja lahendame tunnusvõrrandi:

Meil on juhtum a)
1) Hoone
, kus

Lahutage esimene võrrand teisest võrrandist:

? Kolmas rida sarnaneb teisega, kriipsutame selle välja. Lahutage esimesest võrrandist teine:

2) = 1 (kordsus 2)
T.3 järgi peab see juur vastama kahele lineaarselt sõltumatule lahendile kujul .
Proovime leida kõik lineaarselt sõltumatud lahendused, mille puhul s.t. vormi lahendused
.
Selline vektor on lahendus siis ja ainult siis, kui on =1-le vastav omavektor, st.
, või
, teine ​​ja kolmas rida on sarnased esimesega, viskame need välja.

Süsteem taandati üheks võrrandiks. Seetõttu on näiteks kaks vaba tundmatut ja . Esmalt anname neile väärtused 1, 0; siis väärtused 0, 1. Saame järgmised lahendused:
.
Järelikult .
3) - fundamentaalne lahenduste süsteem. Jääb üle kirjutada algse süsteemi üldine lahendus:
. .. Seega on selles süsteemis ainult üks lahendus kujul Asendaja X 3: tõmmake maha kolmas rida (see on sarnane teisele). Süsteem on järjepidev (sellel on lahendus) mis tahes s. Olgu c=1.
või