Sissekirjutatud ja piiritletud hulktahukad kuulis. Sfääri sisse kirjutatud polühedra

Tunni tüüp: Sissejuhatus uue materjaliga.

Tunni eesmärgid:

Tutvustada hulktahukasse sisse kirjutatud kera mõistet; hulktahuka ümber piiratud sfäär.

Võrrelge piiritletud ringi ja piiritletud sfääri, sissekirjutatud ringi ja sissekirjutatud sfääri.

Analüüsige sissekirjutatud sfääri ja piiritletud sfääri olemasolu tingimusi.

Arendada probleemide lahendamise oskusi.

Õpilaste iseseisva töö oskuste arendamine.

Loogilise mõtlemise, algoritmilise kultuuri, ruumilise kujutlusvõime, matemaatilise mõtlemise ja intuitsiooni arendamine, loominguliste võimete arendamine tasemel, mis on vajalik täiendusõppeks ja iseseisvaks tööks matemaatika valdkonnas ja selle rakendamine edaspidises kutsetegevuses.

Lae alla:

Eelvaade:

piiritletud ring.

Definitsioon: Kui kõik hulknurga tipud asuvad ringil, nimetatakse ringjoontpiiritletud umbes hulknurgaja hulknurkringi sisse kirjutatud.

Teoreem. Iga kolmnurga lähedal on võimalik piirata ringi ja pealegi ainult ühte.

Erinevalt kolmnurgast ei ole alati võimalik nelinurka ümbritsevat ringi piirata. Näiteks: romb.

Teoreem. Igas sisse kirjutatud nelinurgas on vastasnurkade summa 180 0 .

Kui nelinurga vastasnurkade summa on 180 0 , siis saab selle ümber kirjeldada ringi.

Nelinurga ABCD kandmiseks on vajalik ja piisav, et oleks täidetud üks järgmistest tingimustest:

ABCD on kumer nelinurk ja ∟ABD=∟ACD;
Nelinurga kahe vastandnurga summa on 180 0 .

Ringjoone kese on igast selle tipust võrdsel kaugusel ja langeb seetõttu kokku hulknurga külgede keskristiklite lõikepunktiga ning raadius on võrdne kaugusega keskpunktist tippudeni.

Kolmnurga jaoks:Tavalise hulknurga jaoks:

Sisse kirjutatud ring.

Definitsioon: Kui hulknurga kõik küljed puutuvad ringi, nimetatakse ringjoontkirjutatud hulknurkaja hulknurk kirjeldatud ümber selle ringi.

Teoreem. Igasse kolmnurka saate kirjutada ringi ja pealegi ainult ühe.

Iga nelinurka ei saa kirjutada ringi. Näiteks: ristkülik, mis ei ole ruut.

Teoreem. Igas piiritletud nelinurgas on vastaskülgede pikkuste summad võrdsed.

Kui kumera nelinurga vastaskülgede pikkuste summad on võrdsed, saab sellesse kirjutada ringjoone.

Kumera nelinurga ABCD piiritlemiseks on vajalik ja piisav tingimus AB+DC=BC+AD täidetud (vastaskülgede pikkuste summad on võrdsed).

Ringjoone keskpunkt on hulknurga külgedest võrdsel kaugusel, mis tähendab, et see langeb kokku hulknurga nurkade poolitajate lõikepunktiga (nurgapoolitaja omadus). Raadius võrdub kaugusega ringi keskpunktist hulknurga külgedeni.

Kolmnurga jaoks:Paremale

Hulknurk:

Eelvaade:

sisse kirjutatud kera.

Definitsioon: Sfääri nimetatakse sisse kirjutatud hulktahukaks, kui see puudutab hulktahuka kõiki tahke. Sel juhul nimetatakse hulktahukat sfääri ümber kirjeldatud.

Sissekirjutatud sfääri keskpunkt on kõigi kahetahuliste nurkade poolitajatasandite lõikepunkt.

Sfääri kohta öeldakse, et see on kahetahulise nurga all, kui see puudutab selle tahke. Kahenurga nurga all oleva sfääri keskpunkt asub selle kahetahulise nurga poolitajatasandil. Sfääri kohta öeldakse, et see on kirjutatud hulktahuka nurga alla, kui see puudutab hulktahuka nurga kõiki tahke.

Iga hulktahukat ei saa kirjutada sfääri. Näiteks: sfääri ei saa kirjutada ristkülikukujulisse rööptahukasse, mis ei ole kuup.

Teoreem. Igale kolmnurksele püramiidile saab kirjutada kera ja pealegi ainult ühe.

Tõestus. Mõelge kolmnurksele püramiidile CABD. Joonistame selle kahetahuliste nurkade poolitajatasandid servadega AC ja BC. Need lõikuvad sirgjoonel, mis lõikab kahetahulise nurga poolitustasapinda servaga AB. Seega on kahetahuliste nurkade poolitustasanditel servadega AB, AC ja BC üks ühine punkt. Tähistame seda kui Q. Punkt Q asub püramiidi kõigist tahkudest võrdsel kaugusel. Seetõttu on püramiidi CABD sisse kirjutatud vastava raadiusega kera, mille keskpunkt on punktis Q.

Tõestame selle ainulaadsust. Püramiidi CABD-sse kantud sfääri keskpunkt on selle tahkudest võrdsel kaugusel, mis tähendab, et see kuulub kahetahuliste nurkade poolitajatasanditele. Seetõttu langeb sfääri keskpunkt kokku punktiga Q. Mida oli vaja tõestada.

Teoreem. Püramiidi, mille põhja saab kirjutada ringiga, mille keskpunkt on püramiidi kõrguse alus, saab kirjutada kera.

Tagajärg. Sfääri saab kirjutada igasse korrapärasesse püramiidi.

Tõesta, et korrapärasesse püramiidi sisse kirjutatud sfääri keskpunkt asub selle püramiidi kõrgusel (tõesta seda ise).

Korrapärasesse püramiidi sisse kirjutatud sfääri keskpunkt on püramiidi kõrguse lõikepunkt apoteemi ja selle alusele projektsiooni poolt moodustatud nurga poolitajaga.

Ülesanne. a , kõrgus on h.

Lahendage probleem.

Ülesanne. 0

Eelvaade:

Kirjeldatud piirkond.

Definitsioon. Sfääri nimetatakse piiritletuks hulktahuka lähedal, kui ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________. Hulktahukat nimetatakse ______________________________________.

Milline omadus on piiritletud sfääri keskpunktil?

Definitsioon. Teatud lõigu otstest võrdsel kaugusel asuvate punktide asukoht ruumis on _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

Tooge näide hulktahukast, mille ümber kera on võimatu kirjeldada: _________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________ .

Millise püramiidi lähedal saab sfääri kirjeldada?

Tõestus. Vaatleme kolmnurkset püramiidi ABCD. Ehitame vastavalt servadega AB, AC ja AD risti olevad tasapinnad, mis läbivad nende keskpunkte. Tähistame O-ga nende tasandite lõikepunkti. Selline punkt on olemas ja see on ainulaadne. Tõestame seda. Võtke kaks esimest lennukit. Need ristuvad, kuna on risti mitteparalleelsete joontega. Tähistame sirge, mida mööda kaks esimest tasandit ristuvad, kui l See rida l risti tasapinnaga ABC. AD-ga risti olev tasapind ei ole paralleelne l ja ei sisalda seda, kuna vastasel juhul on sirge AD risti l , st. asub tasapinnal ABC. Punkt O on võrdsel kaugusel punktidest A ja B, A ja C, A ja D, mis tähendab, et see on võrdsel kaugusel püramiidi ABCD kõigist tippudest, st kera, mille keskpunkt on vastava raadiusega O, on piiritletud sfäär püramiid.

Tõestame selle ainulaadsust. Püramiidi tippe läbiva mis tahes sfääri keskpunkt on nendest tippudest võrdsel kaugusel, mis tähendab, et see kuulub tasapindadele, mis on püramiidi servadega risti ja läbivad nende servade keskpunkte. Seetõttu langeb sellise sfääri keskpunkt kokku punktiga O. Teoreem on tõestatud.

Millise teise püramiidi lähedal saab sfääri kirjeldada?

Teoreem. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Püramiidi lähedal ümbritsetud sfääri keskpunkt ühtib püramiidi põhjaga risti oleva sirge lõikepunktiga, mis läbib aluse lähedalt ümbritsetud ringi keskpunkti ja tasandit, mis on risti mis tahes külgservaga, mis on tõmmatud läbi püramiidi keskosa. see serv.

Selleks, et sfääri saaks kirjeldada hulktahuka lähedal, on vaja ___________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________.

Sel juhul võib piiritletud sfääri keskpunkt asuda ______________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ ja projitseeritakse piiritletud sfääri keskpunkti ringi mis tahes külje lähedale; hulktahuka lähedalt piiritletud sfääri keskpunktist hulktahuka servani langenud risti poolitab selle serva.

Tagajärg. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ .

Kirjeldatud sfääri keskpunkt korrapärase püramiidi lähedal asub _________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________.

Analüüsige probleemi lahendust.

Ülesanne. Tavalises nelinurkses püramiidis on aluse külg võrdne a , kõrgus on h. Leidke püramiidiga ümbritsetud sfääri raadius.

Lahendage probleem.

Ülesanne. 0

Eelvaade:

Avatud tund teemal "Sissekirjutatud ja piiritletud hulktahukad"

Tunni teema: Püramiidi sisse kirjutatud kera. Püramiidi lähedalt piiritletud kera.

Tunni tüüp: Sissejuhatus uue materjaliga.

Tunni eesmärgid:

Õpilaste iseseisva töö oskuste arendamine.
Areng loogiline mõtlemine, algoritmiline kultuur, ruumiline kujutlusvõime, matemaatilise mõtlemise ja intuitsiooni arendamine, loomingulised võimed tasemel, mis on vajalik täiendusõppeks ning iseseisvaks tegevuseks matemaatika ja selle rakendamiseks edaspidises kutsetegevuses;

Varustus:

interaktiivne tahvel
Ettekanne "Sissekirjutatud ja piiritletud sfäär"
Probleemide tingimused tahvlil olevatel joonistel.
Jaotusmaterjalid (toetavad märkmed).

Planimeetria. Sissekirjutatud ja piiritletud ring.
Stereomeetria. sisse kirjutatud kera
Stereomeetria. Kirjeldatud sfäär

Tunni struktuur:

Tunni eesmärkide seadmine (2 minutit).
Ettevalmistus uue materjali õppimiseks kordamise teel (frontaalküsitlus) (6 minutit).
Uue materjali selgitamine (15 minutit)
Teema mõistmine iseseisval kokkuvõtte koostamisel teemal „Stereomeetria. Kirjeldatud sfäär” ja teema rakendamine ülesannete lahendamisel (15 minutit).
Tunni kokkuvõtte tegemine uuritavast teemast teadmiste ja arusaamise kontrollimise teel (frontaalküsitlus). Õpilaste vastuste hindamine (5 minutit).
Kodutöö seadmine (2 minutit).
Reserve ülesanded.

Tundide ajal

1. Tunni eesmärkide seadmine.

Tutvustada hulktahukasse sisse kirjutatud kera mõistet; hulktahuka ümber piiratud sfäär.
Võrrelge piiritletud ringi ja piiritletud sfääri, sissekirjutatud ringi ja sissekirjutatud sfääri.
Analüüsige sissekirjutatud sfääri ja piiritletud sfääri olemasolu tingimusi.
Arendada probleemide lahendamise oskusi.

2. Ettevalmistus uue materjali õppimiseks kordamise teel (frontaalküsitlus).

Hulknurga sisse kirjutatud ring.

Millist ringi nimetatakse hulknurga sisse kirjutatud?
Mis on hulknurga nimi, millesse ring on kantud?
Mis punkt on hulknurgale kirjutatud ringi keskpunkt?
Milline omadus on hulknurga sisse kirjutatud ringi keskpunktil?
Kus on hulknurga sisse kirjutatud ringi keskpunkt?
Millist hulknurka saab ringi ümber piirata ja millistel tingimustel?

Hulknurga ümber piiratud ring.

Millist ringi nimetatakse hulknurga ümber piiratuks?
Mis on hulknurga nimi, mille ümber ringjoon on piiritletud?
Milline punkt on hulknurga ümber piiratud ringi keskpunkt?
Milline omadus on hulknurga ümber piiratud ringi keskpunktil?
Kus võib paikneda ümber hulknurga ümbritsetud ringi keskpunkt?
Millist hulknurka saab ringi sisse kirjutada ja mis tingimustel?

3. Uue materjali selgitus.

AGA . Analoogia põhjal sõnastavad õpilased uued definitsioonid ja vastavad esitatud küsimustele.

Hulktahukasse sisse kirjutatud kera.

Sõnasta hulktahukasse kantud sfääri definitsioon.
Kuidas nimetatakse hulktahukat, millesse saab kirjutada kera?
Milline omadus on hulktahukasse kantud sfääri keskpunktil?
Mis on kahetahulise nurga tahkudest võrdsel kaugusel asuvate punktide hulk ruumis? (kolmnurkne nurk?)
Mis punkt on hulktahukasse kirjutatud sfääri keskpunkt?
Millisesse hulktahukasse saab kera kirjutada, millistel tingimustel?

AT . Õpilased tõestavad teoreemi.

Sfääri saab kirjutada mis tahes kolmnurksesse püramiidi.

Õpilased kasutavad tunnis töötamise käigus tugimärkmeid.

FROM. Õpilased analüüsivad probleemi lahendust.

Tavalises nelinurkses püramiidis on aluse külg võrdne a , kõrgus on h. Leia püramiidi sisse kirjutatud sfääri raadius.

D. Õpilased lahendavad ülesande.

Ülesanne. Tavalise kolmnurkse püramiidi korral on aluse külg 4, külgpinnad on aluse suhtes 60 nurga all kallutatud 0 . Leidke sellesse püramiidi kantud sfääri raadius.

4. Teema mõistmine konspekti ise koostamisel teemal "Hulktahuka ümber piiratud kera» ja rakendamine probleemide lahendamisel.

A. U õpilased täidavad iseseisvalt kokkuvõtte teemal “Hullytahuka lähedal kirjeldatud kera”. Vasta järgmistele küsimustele:

Sõnastage hulktahuka lähedalt piiritletud sfääri definitsioon.
Kuidas nimetatakse hulktahukat, mille ümber saab sfääri kirjeldada?
Milline omadus on polüeedri ümber piiratud sfääri keskpunktil?
Mis on kahest punktist võrdsel kaugusel asuvate punktide hulk ruumis?
Mis punkt on hulktahuka ümber piiratud sfääri keskpunkt?
Kus võib asuda püramiidi lähedal kirjeldatud sfääri keskpunkt? (polühedron?)
Millise hulktahuka kohta saab sfääri kirjeldada?

AT. Õpilased lahendavad probleemi ise.

Ülesanne. Tavalise kolmnurkse püramiidi puhul on aluse külg 3 ja külgmised servad on aluse suhtes 60 nurga all. 0 . Leia püramiidi lähedale piiritletud sfääri raadius.

FROM. Probleemi lahenduse konspekti kontrollimine ja analüüs.

5. Tunni kokkuvõtte tegemine uuritavast teemast teadmiste ja arusaamise kontrollimise teel (frontaalküsitlus). Õpilaste vastuste hindamine.

AGA. Õpilased teevad tunnist ise kokkuvõtte.

AT. Vastake lisaküsimustele.

Kas on võimalik kirjeldada kera ümber nelinurkse püramiidi, mille põhjas asub romb, mis ei ole ruut?
Kas on võimalik kirjeldada ristkülikukujulist rööptahukat ümbritsevat kera? Kui jah, siis kus on selle keskus?
Kus elus tunnis õpitud teooriat rakendatakse (arhitektuur, mobiiltelefon, geostatsionaarsed satelliidid, GPS-tuvastussüsteem).

6. Kodutöö väljavõte.

A. Tee kokkuvõte teemal “Prisma lähedal kirjeldatud kera. Prismasse kirjutatud kera. (Vaata ülesandeid õpikust: nr 632 637 638)

B. Lahenda õpikust ülesanne nr 640.

C. B.G. koolitusjuhendist. Ziv "Didaktilised materjalid geomeetria klass 10" ülesannete lahendamiseks: Valik nr 3 C12 (1), Variant nr 4 C12 (1).

D. Lisaülesanne: Variant #5 C12 (1).

7. Reserve ülesanded.

Koolitusjuhendist B.G. Ziv "Didaktilised materjalid geomeetriast klass 10" ülesannete lahendamiseks: Valik nr 3 C12 (1), Valik nr 4 C12 (1).

Õppe- ja metoodiline komplekt

Geomeetria, 10-11: Õpik haridusasutustele. Põhi- ja profiilitasemed / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev jt, Moskva: Haridus, 2010
B.G. Ziv "Didaktilised materjalid geomeetriast 10. klass", M.: Valgustus.
Kordus Hulknurga ümber piiratud ring Millist ringi nimetatakse hulknurga ümberpiiratuks? Mis on hulknurga ümber piiratud ringi keskpunkt? Milline omadus on hulknurga ümber piiratud ringi keskpunktil? Kus asub hulknurga ümber piiritletud ringi keskpunkt? Millist hulknurka saab ringi sisse kirjutada ja mis tingimustel?
Kordus Hulknurka kantud ring Millist ringi nimetatakse hulknurga sisse kantuks? Mis on hulknurga sisse kirjutatud ringi keskpunkt? Milline omadus on hulknurga sisse kirjutatud ringi keskpunktil? Kus on hulknurga sisse kirjutatud ringi keskpunkt? Millist hulknurka saab ringi ümber piirata ja millistel tingimustel?
Hulktahukasse kantud sfäär Sõnastage polüeedrisse kantud sfääri definitsioon. Mis on hulktahuka nimi? Milline omadus on sissekirjutatud sfääri keskpunktil? Kus asub kahetahulise nurga tahkudest võrdsel kaugusel asuvate ruumipunktide hulk? (kolmtahuka nurk)? Millisesse hulktahukasse saab kirjutada kera?
Püramiidi sisse kirjutatud kera
Hulktahuka lähedalt piiritletud sfäär Sõnastage hulktahuka lähedalt piiritletud sfääri definitsioon. Mis on hulktahuka nimi? Milline omadus on piiritletud sfääri keskpunktil? Kus asub ruumipunktide hulk, mis on kahest punktist võrdsel kaugusel? Kus asub püramiidi lähedal kirjeldatud sfääri keskpunkt? (hulktahukast?) Millise hulktahuka läheduses võib kera kirjeldada?
Püramiidi lähedal piiritletud kera
Õppetunni kokkuvõte. Kas on võimalik kirjeldada kera ümber nelinurkse püramiidi, mille põhjas asub romb, mis ei ole ruut? Kas on võimalik kirjeldada ristkülikukujulist rööptahukat ümbritsevat kera? Kui jah, siis kus on selle keskus?
Kodutöö. Tee kokkuvõte teemal “Prisma lähedal kirjeldatud kera. Prismasse kirjutatud kera. (Vaata ülesandeid õpikust: nr 632 637 638) Lahenda õpikust ülesanne nr 640. Lahenda ülesanded juhendist: Variant nr 3 C12 (1), variant nr 4 C12 (1).

Esitluse kirjeldus üksikutel slaididel:

1 slaid

Slaidi kirjeldus:
Munitsipaalautonoomne Üldharidusasutus Keskkool nr 45 Metoodiline juhend 11. klassi õpilastele Koostanud kõrgeima kategooria matemaatika õpetaja Gavinskaja Jelena Vjatšeslavovna. Kaliningrad 2016-2017 õppeaasta

2 slaidi

Slaidi kirjeldus:
Sfääri sisse kirjutatud polühedra. Teema on sarnane planimeetria kursuse teemaga, kus öeldi, et ringjooni saab kirjeldada ümber kolmnurkade ja korrapäraste n-nurkade. Ringjoone analoog ruumis on kera, hulknurk on hulktahukas. Sel juhul on kolmnurga analoogiks kolmnurkne prisma ja korrapäraste hulknurkade analoogiks korrapärane hulktahukas. Definitsioon. Polüeedrit nimetatakse sfääri sissekirjutatuks, kui kõik selle tipud kuuluvad sellesse sfääri. Kera ise on väidetavalt polüeedri lähedale sisse kirjutatud.

3 slaidi

Slaidi kirjeldus:
"Sfääri saab kirjeldada parempoolse prisma lähedal siis ja ainult siis, kui selle prisma aluse lähedal saab kirjeldada ringi." Tõestus Kui kera on ümbritsetud sirge prisma lähedal, siis kõik prisma aluse tipud kuuluvad sfääri ja seega ka ringjoone alla, mis on sfääri ja aluse tasandi lõikejoon. Ja vastupidi, olgu sirge prisma aluse lähedal ümbritsetud ringjoonega, mille keskpunkt on punktis O1 ja raadius r. Seejärel võib prisma teise aluse ümber kirjeldada ka ringi, mille keskpunkt on punkt O2 ja sama raadiusega. Olgu О1О2=d, О on O1O2 keskpunkt. Siis kera keskpunktiga O ja raadiusega R= on soovitud piiritletud sfäär. 1. teoreem.

4 slaidi

Slaidi kirjeldus:
"Iga kolmnurkse püramiidi lähedal saab kirjeldada sfääri ja ainult ühte." Tõestus. Pöördume tõestuse poole, sarnaselt planimeetria käiguga. Kõigepealt peate leidma kolmnurga kahest tipust võrdsel kaugusel asuvate punktide asukoha. Näiteks A ja B. Selline geomeetriline koht on lõiguga AB tõmmatud risti poolitaja. Seejärel leiame punktidest A ja C võrdsel kaugusel olevate punktide asukohad. See on risti poolitaja segmendiga AC. Nende keskperpendikulaaride lõikepunktiks on kolmnurka ABC ümbritseva ringjoone soovitud keskpunkt O. 2. teoreem.

5 slaidi

Slaidi kirjeldus:
Nüüd kaaluge ruumilist olukorda ja tehke sarnased konstruktsioonid. Olgu antud kolmnurkne püramiid DABC ning punktid A, B ja C määratlevad tasapinna α. Punktidest A, B ja C võrdsel kaugusel olevate punktide asukoht on sirge a, mis on risti tasapinnaga α ja läbib kolmnurga ABC ümber ümbritsetud ringi keskpunkti O1. Punktidest A ja D võrdsel kaugusel asuvate punktide asukoht on lõiguga AD risti asetsev tasapind β, mis läbib selle tippu – punkti E. Tasand β ja sirgjoon a ristuvad punktis O, mis on lõigu soovitud keskpunkt. kolmnurkse püramiidi DABC lähedale ümbritsetud kera. Tõepoolest, konstruktsiooni tõttu eemaldatakse punkt O võrdselt kõigist püramiidi DABC tippudest. Pealegi on selline punkt ainuke, kuna lõikuval sirgel ja tasapinnal on üks ühine punkt.

6 slaidi

Slaidi kirjeldus:
Tavalise püramiidi lähedale ümbritsetud pall. Palli saab kirjeldada mis tahes tavalise püramiidi lähedal. Kuuli kese asub sirgel, mis läbib püramiidi kõrgust ja langeb kokku võrdhaarse kolmnurga ümber oleva ringi keskpunktiga, mille külg on püramiidi külgserv ja kõrgus on kõrgus püramiidist. Sfääri raadius on võrdne selle ringi raadiusega. Kuuli R raadius, püramiidi kõrgus H ja püramiidi aluse lähedale piiritletud ringi raadius r on seotud seosega: R2=(H-R)2+r2 See seos kehtib ka juhul, kui H< R.

7 slaidi

Slaidi kirjeldus:
Probleem palliga, mis on ümbritsetud tavalise püramiidi lähedal. "Regulaarse püramiidi RABC lähedal kirjeldatakse sfääri, mille kese on punktis O ja mille raadius on 9√3m. Püramiidi kõrgust sisaldav sirgjoon RO läbib püramiidi põhja punktis H nii, et PH:OH=2:1. Leia püramiidi ruumala, kui selle iga külgserv moodustab aluse tasapinnaga 45-kraadise nurga.

8 slaidi

Slaidi kirjeldus:
Arvestades: RABC on tavaline püramiid; püramiidi lähedal on kirjeldatud kuuli (O;R=9√3 m); RO∩(ABC)=H; PH:OH = 2:1; ∟RAN=∟ RVN=∟ RSN=45о. Leia: Vpir. Lahendus: Kuna PH:OH=2:1 (tingimuse järgi), siis PH:OR=2:3 PH:9√3 =2:3 PH=6√3 (m) 2. PH _ (ABC) (kõrgusena püramiidist) => => RN _ AN (definitsiooni järgi) => RAS - ristkülikukujuline. 3. RAS-is:

9 slaidi

Slaidi kirjeldus:
4. Kuna tingimuse järgi on RABC korrapärane püramiid ja PH selle kõrgus, siis definitsiooni järgi on ABC õige; H on ABC ümber oleva ringijoone keskpunkt, mis tähendab 5. Vastus: 486 m3.

10 slaidi

Slaidi kirjeldus:
Prisma ümber piiratud kera. Kera saab prisma ümber piirata, kui see on sirge ja selle alused on ringi sisse kirjutatud hulknurgad. Kuuli kese asub prisma kõrguse keskel, mis ühendab prisma aluste lähedal kirjeldatud ringide keskpunkte. Kuuli R raadius, prisma H kõrgus ja prisma aluse lähedalt ümbritsetud ringi raadius r on seotud:

11 slaidi

Slaidi kirjeldus:
Ülesanne prisma lähedalt piiritletud sfääri kohta. “Kuuli sisse on kirjutatud õige prisma ABCDA1B1C1D1 kõrgusega 6 cm (nii; R = 5 cm). Leidke prisma ristlõikepindala tasapinnaga, mis on paralleelne aluse tasapindadega ja läbib punkti O - kuuli keskpunkti.

12 slaidi

Slaidi kirjeldus:
Arvestades: ABCDA1B1C1D1 on tavaline prisma; prisma lähedal on kirjeldatud kuul (O; R=5 cm); prisma h kõrgus on 6 cm; α║(ABC); O koos α-ga. Leia: Ssec α, Lahendus: Kuna tingimuse järgi on prisma kuuli sisse kirjutatud, siis (r on prisma aluse lähedalt ümbritsetud ringi raadius) Kuid tingimuse järgi on antud õige prisma, mis tähendab

13 slaidi

Slaidi kirjeldus:
a) (АВВ1) ║(СС1D1) (sirge prisma omaduse järgi) α ∩ (АВВ1)=КМ α ∩ (СС1D1)=РН => KM ║ HP (paralleelsete tasandite omaduse järgi) Ho (BCC1) ║ (ADD1) (sirge prisma omaduse järgi) => KM = HP (paralleelsete tasandite omaduse järgi). Seega on KMNR rööpkülik (tunnuse järgi) => MN=KR ja MN ║ KR b) α ║ (ABC) (konstruktsiooni järgi) α ∩ (ABB1)=KM (ABC) ∩ (ABB1)=AB => KM ║ AB (paralleelsete tasandite omaduse järgi) 2. 3. Kuna tingimuse järgi on ABCDA1B1C1D1 korrapärane prisma ja tasandi α äärne lõige on paralleelne alustega, on lõikest moodustatud kujund ruut. Tõestame seda: => => =>

14 slaidi

Slaidi kirjeldus:
KMH= ABC=90o (vastavalt kaassuunatud külgedega nurkadena) Seega on KMNR-i romb (definitsiooni järgi) ruut, mis tuli tõestada. Lisaks on ruudud KMNR ja ABCD võrdsed. Seetõttu on nende pindalad omaduste järgi võrdsed ja seega Ssec α.=SABCD=32 (cm2) Vastus: 32 cm2. c) KM ║ AB (tõestatud) (BCC1) ║(ADD1) (sirge prisma omaduse järgi) => KM=AB=4√2 cm (paralleelsete tasandite omaduse järgi). d) Samamoodi on tõestatud, et MH ║ BC ja MH=BC=4√2 cm Seega on MH=KM => rööpkülik MNRK (definitsiooni järgi) romb. e) MN ║ BC (tõestatud) KM ║ AB (tõestatud) => =>

15 slaidi

Slaidi kirjeldus:
Prisma lähedalt ümbritsetud silinder. Silindrit saab kirjeldada parempoolse prisma lähedal, kui selle alus on ringi sisse kirjutatud hulknurk. Silindri R raadius on võrdne selle ringi raadiusega. Silindri telg asub prisma kõrgusega H samal sirgel, ühendades prisma aluste lähedal kirjeldatud ringide keskpunkte. Nelinurkse prisma korral (kui alus on ristkülik) läbib silindri telg prisma aluste diagonaalide lõikepunkti.

16 slaidi

Slaidi kirjeldus:
Probleem prisma lähedalt ümbritsetud silindriga. Sirge prisma ABCD1B1C1D1, mille alus on ristkülik, on kantud silindrisse, mille generaator on 7 cm ja raadius on 3 cm. Leidke prisma külgpinna pindala, kui diagonaalid ABCD on 60 kraadi. OO1 on silindri telg.

17 slaidi

Slaidi kirjeldus:
Antud: ABCDA1B1C1D1 - sirge prisma; silindrit kirjeldatakse prisma lähedal; silindri generatriks AA1=7 cm; silindri aluse raadius on 3 cm; diagonaalide ABCD vaheline nurk on 60o; OO1 on silindri telg. Leia: Sside.prism. Lahendus: Kuna tingimuse järgi nelinurkne prisma, mille põhjas on kuuli sisse kirjutatud ristkülik, siis omaduse AC∩BD=O järgi. Seega AOB=60o ja AO=OB=3cm. 2. AOB-s koosinusteoreemiga.

"Palli helitugevus" – paraboolse segmendi helitugevus. Leidke korrapärasesse tetraeedrisse servaga 1 kantud kuuli ruumala. Kuul on kantud koonusesse, mille aluse raadius on 1 ja generatriks 2. Kuuli keskpunktist 8 cm kaugusel asuva tasapinna läbilõike raadius on 6 cm Kõrguse h sfäärilise segmendi ruumala, mis on ära lõigatud kuulist raadiusega R, väljendatakse järgmisega: valem.
"Ümbermõõduga sfääri pall" - ratas. Poisid, te kõik olete nüüd arvutuskeskuse liikmed. Selgitage analoogiliselt ringiga, mis on: a) raadius; b) akord; c) sfääri läbimõõt. Leidke 3 m raadiusega sfääri pindala. Läbimõõt. Palli keskpunkt (kera). Pall ja kera. Pall. Pidage meeles, kuidas ring määratletakse. Proovige määratleda sfäär, kasutades punktidevahelise kauguse mõisteid.
"Regulaarne hulktahukas" – ikosaeedri tasapindade nurkade summa igas tipus on 300?. Regulaarsed hulktahukad on kõige "soodsamad" kujundid. Kuubi tasapindade nurkade summa igas tipus on 270?. Regulaarne oktaeeder. Maa ikosaeedri-dodekaeedriline struktuur. Kuubik on figuuridest kõige stabiilsem. Õige dodekaeeder. Regulaarsed kumerad hulktahukad.
"Pall" – Uurimistegevus väljaspool kooliaega. Ülesanne number 1. Koonus. Teoreetiliste seisukohtade kordamine. Tavalisse nelinurksesse püramiidi on kantud kuul. Kera pinda nimetatakse sfääriks. Püramiid. Oma töös me: Uurimispraktika, teemaga töötamise protsess. Töö ringides, valikainetel.
"Sissekirjutatud ja piiritletud ring" - ARCHIMEDES (287-212 eKr) - Vana-Kreeka matemaatik ja mehaanik. piiritletud ja sisse kirjutatud ringid. Saame vastata probleemsetele küsimustele. Ring. Korrapärase hulknurga külgede arvu suurenedes suureneb hulknurga nurk. Muistsed matemaatikud ei teadnud matemaatilise analüüsi mõisteid.
"Sfäär ja pall" – palli keskpunkti läbiv lõik on suur ring. (läbimõõduga sektsioon). Taevalaotuse astronoomilised vaatlused tekitavad alati sfääri kujutluse. Ulatust on alati laialdaselt kasutatud erinevates teaduse ja tehnoloogia valdkondades. Sfääri puutujatasand. Üldmõisted. Sfääri pinnale antakse kolm punkti.

Avatud tund teemal "Sissekirjutatud ja piiritletud hulktahukad"

Tunni teema: Püramiidi sisse kirjutatud kera. Püramiidi lähedalt piiritletud kera.
Tunni tüüp: Sissejuhatus uue materjaliga. Tunni eesmärgid:
Varustus:
Tunni struktuur:
Tundide ajal 1. Tunni eesmärkide seadmine.
2. Ettevalmistus uue materjali õppimiseks kordamise teel (frontaalküsitlus).Hulknurga sisse kirjutatud ring.
Hulknurga ümber piiratud ring.
3. Uue materjali selgitus. AGA . Analoogia põhjal sõnastavad õpilased uued definitsioonid ja vastavad esitatud küsimustele.Hulktahukasse sisse kirjutatud kera.
AT . Õpilased tõestavad teoreemi. Kera saab kirjutada igasse kolmnurksesse püramiidi Tunnis töötamise käigus kasutavad õpilased viitemärkmeid. Õpilased analüüsivad probleemi lahendust.
Tavalises nelinurkses püramiidis on aluse külg võrdne a, kõrgus on h. Leia püramiidi sisse kirjutatud sfääri raadius.

D. Õpilased lahendavad ülesande.

Ülesanne. Tavalises kolmnurkses püramiidis on aluse külg 4, külgpinnad on aluse suhtes kallutatud 60 0 nurga all. Leidke sellesse püramiidi kantud sfääri raadius.

4. Teema mõistmine konspekti ise koostamisel teemal "Hulktahuka ümber piiratud kera» ja rakendamine probleemide lahendamisel.

A. U õpilased täidavad iseseisvalt kokkuvõtte teemal “Hullytahuka lähedal kirjeldatud kera”. Vasta järgmistele küsimustele:
AT. Õpilased lahendavad probleemi ise.

Ülesanne. Tavalises kolmnurkpüramiidis on aluse külg 3 ja külgservad on aluse suhtes 60 0 nurga all. Leia püramiidi lähedale piiritletud sfääri raadius.

FROM. Probleemi lahenduse konspekti kontrollimine ja analüüs.

5. Tunni kokkuvõtte tegemine uuritavast teemast teadmiste ja arusaamise kontrollimise teel (frontaalküsitlus). Õpilaste vastuste hindamine.

AGA. Õpilased teevad tunnist ise kokkuvõtte.

AT. Vastake lisaküsimustele.
6. Kodutöö väljavõte.

A. Tee kokkuvõte teemal “Prisma lähedal kirjeldatud kera. Prismasse kirjutatud kera. (Vaata ülesandeid õpikust: nr 632 637 638)

B. Lahenda õpikust ülesanne nr 640.

C. B.G. koolitusjuhendist. Ziv "Didaktilised materjalid geomeetria klass 10" ülesannete lahendamiseks: Valik nr 3 C12 (1), Variant nr 4 C12 (1).

D. Lisaülesanne: Variant #5 C12 (1).

7. Reserve ülesanded.

Koolitusjuhendist B.G. Ziv "Didaktilised materjalid geomeetriast klass 10" ülesannete lahendamiseks: Valik nr 3 C12 (1), Valik nr 4 C12 (1).

Õppe- ja metoodiline komplekt
Matemaatika õpetaja

GBOU lütseumi internaatkool "DPC"

Nižni Novgorod

Polüeedrit nimetatakse sfääri sissekirjutatuks, kui kõik selle tipud kuuluvad sellesse sfääri. Sfääri ennast nimetatakse hulktahuka lähedal piiritletuks.
Teoreem. Sfääri saab püramiidi lähedal piirata siis ja ainult siis, kui selle püramiidi aluse lähedal saab ümbritseda ringi.

Sfääri sisse kirjutatud polühedra
Teoreem. Sfääri saab piirata prisma lähedal siis ja ainult siis, kui selle prisma aluse lähedal saab ümbritseda ringjoont. Selle keskpunkt saab olema punkt O, mis on prisma aluste lähedal kirjeldatud ringide keskpunkte ühendava segmendi keskpunkt. Sfääri raadius R arvutatakse valemiga
kus h on prisma kõrgus, r on prisma aluse lähedale piiritletud ringi raadius.
Slaidirežiimis ilmuvad vastused ja lahendused pärast hiireklõpsu

1. harjutus
Kas on võimalik kirjeldada ristkülikukujulist rööptahukat ümbritsevat kera?
Vastus: Jah. Selle keskpunkt on diagonaalide lõikepunkt ja raadius võrdub poolega rööptahuka diagonaalist

2. harjutus
Kas on võimalik kirjeldada sfääri ümber kaldus rööptahuka, mille kõik näod on rombid?
Vastus: Ei.

3. harjutus
Kas on võimalik kirjeldada kaldprisma lähedal asuvat kera?
Vastus: Ei.

4. harjutus
Kas prisma lähedale piiritletud sfääri keskpunkt võib olla prismast väljaspool?
Vastus: Jah, kui prisma alus on nürinurkne kolmnurk.

5. harjutus
Kas püramiidi lähedale piiritletud sfääri keskpunkt võib olla väljaspool seda püramiidi?
Vastus: Jah.

Kuubi ümber piiritletud kera
Slaidirežiimis ilmuvad vastused ja lahendused pärast hiireklõpsu

1. harjutus
Leia ühikkuubi ümber piiritletud sfääri raadius.

2. harjutus
Leia ühikkera sisse kirjutatud kuubiku serv.

3. harjutus
Leidke ristkülikukujulise rööptahuka ümber piiratud sfääri raadius, mille ühest tipust väljuvad servad on võrdsed 1, 2, 3.

4. harjutus
Samast tipust väljuva risttahuka kaks serva on 1 ja 2. Piiratud sfääri raadius on 1,5 . Leia kolmas serv, mis väljub kasti samast tipust.

Kera, mis on ümbritsetud tetraeedriga
Slaidirežiimis ilmuvad vastused ja lahendused pärast hiireklõpsu

1. harjutus
Leia ühikulise tetraeedri ümber piiritletud sfääri raadius.
Lahendus. tetraeedris SABC meil on:
BE=SE=
Täisnurkses kolmnurgas OBE meil on:
R, leiame

2. harjutus
Leidke ühikkera sisse kirjutatud korrapärase tetraeedri serv.

3. harjutus
Püramiidi alus on korrapärane kolmnurk, mille külg on võrdne 3-ga. Üks külgservadest on võrdne 2-ga ja on risti aluse tasapinnaga. Leia piiritletud sfääri raadius.
Lahendus. Lase O on kirjeldatud sfääri keskpunkt, K on aluse lähedale piiritletud ringi keskpunkt, E- keskmine SC. nelinurkne CEOQ on ristkülik, milles CE= 1, CQ= Järelikult R=OC= 2.
Vastus: R = 2.

4. harjutus
Joonisel on kujutatud püramiidi SABC, mille jaoks serv SC võrdne 2-ga ja on risti aluse tasapinnaga ABC, nurk ACB võrdne umbes 90-ga, AC=BC = üks . Ehitage selle püramiidi ümber piiritletud sfääri keskpunkt ja leidke selle raadius.
Lahendus. läbi keskkoha D ribid AB tõmmake paralleelne joon SC. läbi keskkoha E ribid SC tõmmake paralleelne sirgjoon CD. Nende ristumispunkt O on piiritletud sfääri soovitud keskpunkt. Täisnurkses kolmnurgas OCD meil on:
OD=CD= Teoreemi järgi
Pythagoras, leiame

5. harjutus
Leidke sfääri raadius, mis on ümbritsetud korrapärase kolmnurkse püramiidi ümber, mille külgservad on 1 ja tasandi nurgad ülaosas on 90 kraadi.
Lahendus. tetraeedris SABC meil on:
AB=AE= SE =
Täisnurkses kolmnurgas OAE meil on:
Selle võrrandi lahendamine jaoks R, leiame

Kolmnurkse prisma ümber piiratud kera
Slaidirežiimis ilmuvad vastused ja lahendused pärast hiireklõpsu

1. harjutus
Leidke sfääri raadius, mis on ümbritsetud tavalise prismaga, mille kõik servad on 1.
Lahendus. Meil on:
AA 1 = 1, AD=OD=
Järelikult R=AO=

2. harjutus
Kera raadiusega 2 on piiritletud korrapärase kolmnurkse prisma lähedal, mille põhikülg on 1. Leidke prisma kõrgus.
Lahendus. Meil on: AO = 2, OD=
Järelikult h=AA 1 = 2 AO=

3. harjutus
Kera raadiusega 1 on piiritletud korrapärase kolmnurkse prisma lähedal, mille kõrgus on 1. Leidke prisma aluse külg.
Lahendus. Meil on: AO = 1 , OD=
Järelikult AD=
Tähendab, AB=

4. harjutus
Leidke täisnurkse kolmnurkse prisma ümber piiratud sfääri raadius, mille põhjas on täisnurkne kolmnurk, mille jalad on 1 ja prisma kõrgus on 2.
Lahendus. Kera raadius on pool diagonaalist A 1 C ristkülik ACC 1 A 1 .
Meil on: AA 1 = 2, AC=
Järelikult R=

Korrapärase kuusnurkse prisma ümber piiritletud kera
Slaidirežiimis ilmuvad vastused ja lahendused pärast hiireklõpsu

Harjutus
Leidke sfääri raadius, mis on ümbritsetud korrapärase kuusnurkse prisma ümber, mille kõik servad on võrdsed 1-ga.
Lahendus. Meil on AG= 1, OG=
Järelikult R=AO=

Korrapärase nelinurkse püramiidi ümber piiritletud kera
Slaidirežiimis ilmuvad vastused ja lahendused pärast hiireklõpsu

Harjutus
Leidke sfääri raadius, mis on ümbritsetud korrapärase nelinurkse püramiidi ümber, mille kõik servad on 1.

Korrapärase kuusnurkse püramiidi ümber piiritletud kera
Slaidirežiimis ilmuvad vastused ja lahendused pärast hiireklõpsu

Harjutus
Leidke sfääri raadius, mis on ümbritsetud korrapärase 6-tahulise püramiidi ümber, mille aluse servad on 1 ja külgservad on 2.
Lahendus. Kolmnurk KURB- võrdkülgne küljega 2. Raadius R piiritletud kera on võrdne ümber kolmnurga ümbritsetud ringi raadiusega KURB. Järelikult

Ümber oktaeedri ümbritsetud kera
Slaidirežiimis ilmuvad vastused ja lahendused pärast hiireklõpsu

Harjutus
Leidke ühikulise oktaeedri ümber piiritletud sfääri raadius.
Lahendus. Raadius R piiritletud kera on võrdne poolega ruudu diagonaalist ABCD küljega 1. Seetõttu

Ikosaeedri ümber piiritletud kera
Slaidirežiimis ilmuvad vastused ja lahendused pärast hiireklõpsu

Harjutus
Leia ühikulise ikosaeedri ümber piiritletud sfääri raadius.
Lahendus. ristkülikus ABCD AB=CD= 1, eKr ja AD – korrapäraste viisnurkade diagonaalid külgedega 1. Seetõttu
BC=AD=
Pythagorase teoreemi järgi AC=
Soovitud raadius võrdub poolega sellest diagonaalist, s.o.

Harjutus
Leia ühiku dodekaeedri ümber piiritletud sfääri raadius.
Lahendus. ABCDE on tavaline viisnurk küljega
ristkülikus ACGFAF=CG= 1, AC ja FG – viisnurga diagonaalid ABCDE ja seega AC=FG=
Pythagorase teoreemi järgi
FC= Soovitud raadius
on võrdne poolega sellest diagonaalist, s.o.

Harjutus
Joonisel on kujutatud kärbitud tetraeedrit, mis on saadud kolmnurksete püramiidide korrapärase tetraeedri nurkade lõikamisel, mille tahud on korrapärased kuus- ja kolmnurgad. Leidke 1-ga võrdsete servadega kärbitud tetraeedri ümber piiratud sfääri raadius.

Harjutus
Joonisel on kujutatud kärbitud kuup, mis on saadud kuubi nurkadest kolmnurksete püramiidide äralõikamisel, mille küljed on korrapärased kaheksa- ja kolmnurgad. Leidke kärbitud kuubi ümber piiratud sfääri raadius, mille servad on 1.

Harjutus
Joonisel on kujutatud kärbitud oktaeedrit, mis on saadud oktaeedri nurkadest kolmnurksete püramiidide äralõikamisel, mille küljed on korrapärased kuus- ja kolmnurgad. Leidke 1-ga võrdsete servadega kärbitud oktaeedri ümber piiritletud sfääri raadius.

Harjutus
Joonisel on kujutatud kärbitud ikosaeedrit, mis on saadud viisnurksete püramiidide lõikamisel ikosaeedri nurkadest, mille tahud on korrapärased kuus- ja viisnurgad. Leidke 1-ga võrdsete servadega kärbitud ikosaeedri ümber piiritletud sfääri raadius.

Harjutus
Joonisel on kujutatud kärbitud dodekaeedrit, mis on saadud dodekaeedri nurkadest kolmnurksete püramiidide äralõikamisel, mille tahud on korrapärased kümme- ja kolmnurgad. Leidke 1-ga võrdsete servadega kärbitud dodekaeedri ümber piiritletud sfääri raadius.

Harjutus
Leia ühikulise kuuboktaeedri ümber piiritletud sfääri raadius
Lahendus. Tuletame meelde, et kuubiktaeder saadakse kuubist, lõigates maha korrapärased kolmnurksed püramiidid, mille tipud on kuubi tippudes ja külgmised servad on võrdsed poole kuubi servaga. Kui oktaeedri serv on võrdne 1-ga, siis vastava kuubi serv on võrdne Piiratud sfääri raadius võrdub kaugusega kuubi keskpunktist selle serva keskkohani, s.o. võrdub 1.
Vastus: R = 1.
Loe ka teemal:

Sissekirjutatud ja piiritletud hulktahukad kuulis. Sfääri sisse kirjutatud polühedra

Lae alla:

Eelvaade:

Eelvaade:

Eelvaade:

Eelvaade:

Loe ka teemal: