Punkti 2.2 definitsioonid ja väited leiate .

Polünoomi juur on arv selline, et
.

Bezouti teoreem. Iga funktsiooni jaoks
ja numbrid
võrdsus on õige:

kus
.

Tagajärg. Number on juur siis ja ainult siis
jagatuna
jäljetult.

Mugav jagamiseks polünoomidega vormis (
) on Horneri skeem. Joonistame tabeli, mille esimesele reale paneme kirja kõik koefitsiendid
(sh null).

- jagamise osajagatise koefitsiendid
kohta (
);- jaotuse jääk, mis Bezouti teoreemi kohaselt on võrdne
. Kui a = 0, siis me ütleme seda
jagatuna (
) ja - polünoomjuur
.

Näide 33 Jagage poolt
.

Lahendus. Kasutame Horneri skeemi. Joonistage tabel ja tehke arvutused.

Niisiis, kus - mittetäieliku jagatise koefitsiendid. Järelikult,.

Näide 34 Leia funktsiooni väärtus
punktis

x = ‑2.

Lahendus. Kasutades Horneri skeemi, eraldame
polünoomiks
. Tabeli täitmisel võtame arvesse, et neljanda ja teise astme koefitsiendid ning polünoomi vaba liige on võrdsed 0-ga.

Arvutuste tulemusena saime jäägiks -8. Bezouti teoreemi järgi on see võrdne väärtusega
punktis x = ‑2.

Vastus: (-8).

Punktis 2.1 käsitletud jagamisalgoritmi saab kasutada mis tahes astme polünoomiga jagamisel, samas kui Horneri skeem on rakendatav ainult jagamisel (-ga
).

1. Redutseerimata polünoomid

Määratlused ja väited 2.3 kohta leiate . Reaalkoefitsientidega polünoom
on taandamatu, kui polünoomid puuduvad
ja
väiksema astme reaalkoefitsientidega
, selline, et
. See tähendab, et taandamatut polünoomi ei saa lagundada madalama astme polünoomide korrutiseks.

avaldus. Reaalkoefitsientidega taandamatud polünoomid on negatiivse diskriminandiga 1. või 2. astme polünoomid ja ainult nemad.

Polünoomi faktoriseerimine on selle esitus taandamatute polünoomide korrutisena.

Põhimeetodid polünoomide faktoriseerimiseks:

1. Ühise teguri väljavõtmine sulgudest.

2. Lühendatud korrutamisvalemite kasutamine.

Näide 35
.

=. Lagundamisel kasutasime valemit.

3. Rühmitamise meetod.

Näide 36 Polünoomi faktoriseerimine
.

Rühmime tegurit 5 sisaldavad terminid kokku:

=
=
=

= [pange ühistegur sulgudest välja] =

Näide 37 Polünoomi faktoriseerimine
.

Rühmitame terminid, alustades esimesest:

Teguristame ruudukujulise trinoomi, leides selle juured:

. Lõpuks

4. Juurte valimise meetod.

See meetod põhineb järgmistel väidetel:

1. väide. Kui polünoomi jaoks

numbrid
on juured, siis on võrdsus tõsi.

2. väide. Polünoomil, mille juhtkoefitsient on 1, võivad täisarvu juured olla ainult vaba liikme jagajatena.

Näide 38 Polünoomi võimalikud täisarvu juured
võivad olla numbrid
. Valikuga saab kindlaks teha, et
ja seetõttu on 1 polünoomi juur.

Näide 39 Polünoomi faktoriseerimine.

Lahendus. Väite 2 kohaselt võivad polünoomi võimalikud täisarvjuured olla ainult jagajad -5. Need on numbrid
. Leia polünoomi väärtus punktis x = ‑ 1:

Seetõttu polünoomi juur
on x = - üks. Jagage polünoom
kohta ( x + 1). Bezouti teoreemi kohaselt
peaks olema jagatav ( x + 1) täisarv, st jagamise ülejäänud osa peab olema null. Jagamiseks kasutame Horneri skeemi.

Viimases veerus saadud arv võimaldab teil kontrollida arvutuste õigsust. Kui saadakse null, on kõik arvutused õiged. Kui viimases veerus olev arv erineb nullist, siis leiti juur valesti või tehti Horneri skeemi järgi tehtud arvutused valesti.

Niisiis: . Kuna saadud polünoom
ei ole taandamatu, siis tuleb faktoriseerimise protsessi jätkata. Polünoomi jaoks
võimalikud juured on arvud
. Leiame:. Seetõttu on 1 polünoomi juur
. Jagame selle ( x - 1) Horneri skeemi järgi.

Viimane veerg on null. Nii et arvutused on õiged.

Meil on: . Kontrollime, kas polünoom on
taandamatu. Leiame selle juured standardvalemi abil:

. Kuna selle ruuttrinoomi diskriminant on negatiivne, on see reaalarvude hulgal taandamatu.

Omadused

Juurte leidmine

Lineaar- ja ruutpolünoomide juurte leidmise meetod ehk lineaar- ja ruutvõrrandite lahendamise meetod oli tuntud juba antiikmaailmas. Kolmanda astme üldvõrrandi täpse lahenduse valemi otsimine jätkus pikka aega (märkida tuleb Omar Khayyami pakutud meetodit), kuni neid kroonis edu 16. sajandi esimesel poolel a. Scipio del Ferro, Niccolo Tartaglia ja Gerolamo Cardano teosed. Ruut- ja kuupvõrrandi juurte valemid muutsid neljanda astme võrrandi juurte valemite hankimise suhteliselt lihtsaks.

Seda, et viienda ja kõrgema astme üldvõrrandi juuri ei väljendata ratsionaalsete funktsioonide ja koefitsientide radikaalide abil, tõestas Norra matemaatik Niels Abel 1826. aastal. See ei tähenda sugugi, et sellise võrrandi juuri ei leiaks. Esiteks saab erijuhtudel teatud koefitsientide kombinatsioonidega teatud leidlikkusega määrata võrrandi juured. Teiseks on olemas valemid 5. astme ja kõrgemate võrrandite juurte jaoks, mis aga kasutavad erifunktsioone - elliptilisi või hüpergeomeetrilisi (vt näiteks Bringi juur).

Kui polünoomi kõik koefitsiendid on ratsionaalsed, siis selle juurte leidmine viib täisarvuliste kordajatega polünoomi juurte leidmiseni. Selliste polünoomide ratsionaalsete juurte jaoks on olemas algoritmid kandidaatide leidmiseks loendamise teel Horneri skeemi abil ja täisarvude juurte leidmisel saab loendust juurte puhastamisega oluliselt vähendada. Ka sel juhul saate kasutada polünoomilist LLL-algoritmi.

Polünoomi tegelike koefitsientide tegelike juurte lähendamiseks (mis tahes nõutava täpsusega) kasutatakse iteratiivseid meetodeid, näiteks sekantmeetodit, poolitusmeetodit, Newtoni meetodit. Polünoomi reaaljuurte arvu intervallis saab hinnata Sturmi teoreemi abil.

Vaata ka

Märkmed

Wikimedia sihtasutus. 2010 .

• Kanalisatsioon
• Veksilloloogia terminite sõnastik

Vaadake, mis on "polünoomijuur" teistes sõnaraamatutes:

Algebralise võrrandi juur

Võrrandi juur- Polünoomi juur välja k kohal on element, mis pärast selle asendamist x-ga muudab võrrandi identiteediks. Omadused Kui c on polünoomi p(x ... Wikipedia juur

Bringa Root- Kontrollige teavet. On vaja kontrollida faktide täpsust ja selles artiklis esitatud teabe usaldusväärsust. Jutulehel peaksid olema selgitused. Algebras on Bring root ehk ultraradikaal analüütiline funktsioon, mis võimaldab ... ... Wikipedia

Juur (täpsustus)- Juur: Vikisõnaraamatus on kirje "juur" Juur (botaanikas) on taime vegetatiivne aksiaalne maa-alune organ, millel on sp ... Wikipedia

Juur (matemaatikas)- Juur matemaatikas, 1) K. aste n arvust a ≈ arv x (tähistatud), mille n-s aste on võrdne a-ga (st xn \u003d a). K. leidmise tegevust nimetatakse juure ekstraheerimiseks. ¹ 0 korral on K.-l n erinevat väärtust (üldiselt ... ...

Juur- I juur (radiks) on lehttaimede (välja arvatud samblad) üks peamisi vegetatiivseid organeid, mille ülesandeks on substraadile kinnitumine, sealt vee ja toitainete omastamine, mitmete imendunud ainete esmane muundamine, . .. ... Suur Nõukogude entsüklopeedia

JUUR- 1) K. astmest n arvust a arvust n i aste x n kuni rogoni on võrdne a. 2) Algebralise võrrandi K. üle välja K, element k, pärast selle asendamist x asemel, muudab võrrandi identiteediks. Selle võrrandi K. nimetatakse. ka polünoomi If K. on ... ... Matemaatiline entsüklopeedia

mitu juurt- polünoom f (x) = a0xn + a1xn ​​1 +... + an, arv c, nii et f (x) jagub ilma jäägita binoom (x c) teise või suurema astmega. Sel juhul nimetatakse c-d paljususe juureks, kui f (x) jagub (x c) k-ga, kuid mitte ... ... Suur Nõukogude entsüklopeedia

konjugeeritud juur- Kui on antud mingi rõnga kohal olev taandamatu polünoom ja valitakse osa selle juurest laiendis, siis antud polünoomijuure konjugeeritud juur on mis tahes polünoomijuur ... Wikipedia

Ruutjuur 2-st- võrdub hüpotenuusi pikkusega täisnurkses kolmnurgas jalgade pikkusega 1. Ruutjuur 2-st on positiivne ... Wikipedia

Kui arv c on polünoomi f(x) juur, jagub see polünoom teadaolevalt x-c-ga. Võib juhtuda, et f (x) jagub ka polünoomi x-c mõne astmega, s.t. kohta (x-c) k, k>1. Sel juhul nimetatakse c-d mitmekordseks juureks. Sõnastagem definitsioon selgemalt.

Arvu c nimetatakse polünoomi f (x) kordsuse k juureks (k-kordne juur), kui polünoom jagub arvuga (x-c) k, k>1 (k on naturaalarv), kuid ei jagu arvuga (x-c) k. (x-c) k+ üks. Kui k=1, siis c nimetatakse lihtjuureks ja kui k>1, siis polünoomi f (x) mitmejuureks.

Järgnevalt on juurte paljususe määramisel meile kasulik järgmine väide.

Kui polünoom f (x) on esitatud kujul f (x) = (x-c) mg (x), m on naturaalarv, siis jagub see arvuga (x-c) m + 1 siis ja ainult siis, kui g (x) jagub xs-il. Tõepoolest, kui g(x) jagub x-c-ga, st. g (x) \u003d (x-c) s (x), siis f (x) \u003d (x-c) m + 1s (x), mis tähendab, et f (x) jagub arvuga (x-c) m + 1.

Ja vastupidi, kui f (x) jagub arvuga (x-c) m + 1, siis f (x) \u003d (x-c) m + 1s (x). Siis (x-c) mg (x) = (x-c) m + 1s (x) ja pärast (x-c) m võrra vähendamist saame g (x) = (x-c) s (x). Sellest järeldub, et g(x) jagub x-c-ga.

Tuleme nüüd tagasi juure paljususe mõiste juurde. Uurime näiteks, kas arv 2 on polünoomi f (x) =x5-5x4+3x3+22x2-44x+24 juur, ja kui on, siis leiame selle kordsuse. Esimesele küsimusele vastamiseks kontrollime Horneri skeemi abil, kas f(x) jagub x-2-ga. meil on:

Tabel 4

Saime, et g (x) jagub x-2-ga ja g (x) = (x-2) (x3-x2-5x+6). Siis f (x) = (x-2) 2 (x3-x2-5x+6).

Nii et f(x) jagub arvuga (x-2)2, nüüd peame välja selgitama, kas f(x) jagub arvuga (x-2)3.

Selleks kontrollige, kas h (x) \u003d x3-x2-5x + 6 jagub x-2-ga:

Tabel 6

Leiame, et jääk s (x) jagamisel x-2-ga on 3, s.o. s(x) ei jagu x-2-ga. Seega f(x) ei jagu (x-2)4-ga.

Seega jagub f (x) arvuga (x-2) 3, kuid mitte (x-2) 4-ga. Seetõttu on arv 2 polünoomi f (x) kordsuse 3 juur.

Tavaliselt kontrollitakse juure kordsust ühes tabelis. Selle näite puhul näeb see tabel välja selline:

Tabel 8

Ehk Horneri skeemi järgi jagades polünoomi f (x) x-2-ga, saame teisel real polünoomi g (x) koefitsiendid. Seejärel käsitleme seda teist rida uue Horneri süsteemi esimeseks reaks ja jagame g (x) x-2-ga jne. Jätkame arvutust, kuni saame nullist erineva jäägi. Sel juhul võrdub juure kordsus saadud nulljääkide arvuga. Rida, mis sisaldab viimast nullist erinevat jääki, sisaldab ka jagatise koefitsiente f (x) jagamisel (x-2) 3-ga. Nüüd, kasutades äsja pakutud skeemi juure kordsuse kontrollimiseks, lahendame järgmise ülesande . Millise a ja b korral on polünoomi f (x) =x4+2x3+ax2+ (a+b) x+2 kordsuse 2 juurena arv - 2?

Kuna juure kordsus - 2 peaks olema võrdne 2-ga, peaksime pakutud skeemi järgi x + 2-ga jagamisel saama jääk 0 kaks korda ja kolmandal korral - jääk, mis ei ole null. Meil on:

Tabel 9

Seega on arv - 2 algpolünoomi kordsuse 2 juur siis ja ainult siis

Siit saame: a=-7/2, b=-5/2.

Nurga jagamise skeem

Polünoomide jaotus

Jagage jäägiga. Teoreem. Kui P(x) ja S(x) 0 on kaks polünoomi, siis on olemas ja pealegi ainulaadne polünoomide paar Q(x) ja R(x), mis rahuldab seoseid: 1) , 2) või polünoomide astet. R(x) on väiksem või võrdne kraadiga S(x) või R(x) = 0.

Q(x) nimetatakse jagatiseks ja R(x) on jääk.

Näide 1. , . Leia jagatis ja jääk pärast polünoomi P(x) jagamist S(x-ga).

Vastus: jagatis , jääk .

Näide 2. Leia jagatis ja jääk, kui jagatakse .

Vastus: jagatis võrdub ; ülejäänud osa on null.

Teoreem. Polünoomi P(x) jagub polünoomiga S(x), kui jääk P(x) jagamisel S(x) on null.

Teoreemist järeldub, et selleks, et teada saada, kas polünoom P(x) jagub S(x-ga), võib teostada nurgaga jagamise ja leida jäägi. Kui jääk on null, siis polünoom P(x) jagub polünoomiga S(x).

Näide 3. Määrake, kas polünoom on jagatav

polünoomile?

Jagame polünoomi P(x) "nurgaga" S(x)-ks. Selle tulemusena saame, et jagatis on , ja jääk on null. Seega jagub polünoom P(x) polünoomiga S(x).

Olgu c mingi reaalarv (tavaliselt kompleksarv). Tähendus polünoom P(x) x = c jaoks on arv, mis saadakse selles polünoomi x asemel asendades ja toiminguid sooritades.

Kui , siis selle polünoomi väärtust x = c tähistab P(c): .

Näide 1. Polünoomi P(x) = väärtus x = 2 korral on:

kui x = 0, P(0) = -5; kui x = 1, P(1) = 3–2 + 4–5 = 0.

Seega, kui x = 0, on polünoomi väärtus võrdne vaba liikmega:

kui x = 1, on polünoomi väärtus võrdne selle koefitsientide summaga:

Definitsioon. Kui polünoomi väärtus on võrdne nulliga, siis nimetatakse seda polünoomi P(x) juureks.

Näide 1. Antakse polünoom. Kui x = 2, on selle polünoomi väärtus null, mis tähendab, et x = 2 on polünoomi S(x) juur.

Seda, et x = 1 korral on polünoomi väärtus võrdne tema kordajate summaga, kasutatakse vastupidises järjekorras: kui polünoomi kordajate summa on null, siis x = 1 on selle polünoomi juur.

Definitsioon. Kui ülesandeks on leida kõik muutuja x väärtused, mille polünoom f(x) on võrdne nulliga, siis öeldakse, et on vaja lahendada võrrand f(x) = 0.

Toome seda eriti esile otsustama võrrand tähendab leidmist kõik tema juured.

Sellel viisil, algebraline võrrand nimetatakse võrrandiks f(x) = 0, kus f(x) on mingi polünoom. Kui f(x) on n-nda astme polünoom, siis nimetatakse võrrandit n-nda astme algebraline võrrand .

Algebraliste võrrandite lahendamisel on kasulik järgmine teoreem (nimetatakse Bézouti teoreemiks).

1. teoreem. Ülejäänud osa polünoomi f(x) jagamisel x-ga on võrdne f(a)-ga (st võrdne selle polünoomi väärtusega x = a).

Tõestus

Jagame polünoomi f (x) ülejäänud osaga x - a:

kus jääk r(x), kui see ei võrdu nulliga, on polünoom, mille aste on väiksem kui jagaja x - a aste, see tähendab, et see on võrdne nulliga. Seetõttu r(x) = r on number:

Arvu r leidmiseks paneme sellesse võrdusesse x = a. Siis saame f(a) = r, mis tõestab teoreemi.

Tagajärg. Kui a on polünoomi f(x) juur, siis see polünoom jagub arvuga .

Näide 1. Antud polünoom. On lihtne mõista, et 1 on selle polünoomi juur, tegelikult: , mis tähendab, et teoreemi järelduvalt peab polünoom jaguma x - 1-ga.

Jagage "nurga" polünoom x - 1-ga:

Ülejäänud osa on null, mis tähendab, et polünoom jagub x - 1-ga.

2. teoreem. Kui kõik polünoomi koefitsiendid

on täisarvud, siis on selle polünoomi iga täisarvu juur vaba liikme jagaja.

Tõestus

Olgu c polünoomi f(x) täisarvjuur, st.

Kuna sulgudes olev arv on täisarv (kuna kõik koefitsiendid on tingimuse järgi täisarvud), jagub see c-ga.

Tõestatud teoreem lihtsustab oluliselt täisarvuliste koefitsientidega polünoomide täisarvude juurte otsimist.

1 . Tuleb leida ja välja kirjutada kõik vabaliikme jagajad (positiivne ja negatiivne).

2 . Kontrollige (võimalik asendada), millised neist on antud polünoomi juured.

3 . Kui ükski vaba liikme jagaja ei muuda polünoomi nulliks, siis sellel polünoomil pole täisarvujuuri.

Näide 1. Lahenda võrrand.

1. Leidke vaba liikme 12 jagajad: .

2. Kui võrrandil on täisarvu juured, siis need on nende jagajate hulgas, kontrolli seda. Võrrandi vasakul küljel olevat polünoomi tähistatakse f(x)-ga.

f(1) = 24, seega 1 ei ole võrrandi juur;

f(-1) = -24, seega -1 ei ole võrrandi juur;

f(2) = 0, seega 2 on võrrandi juur.

3. Bezouti teoreemi järgi jagub polünoom f(x) x-ga - 2. Tehes jagamise "nurgaga", leiame: .

Ülejäänud juurte leidmiseks peate võrrandi lahendama

Kordame eelmist protsessi uuesti.

1. Kirjutame välja vabaliikme 6 jagajad: .

2. Kontrollime neid. Numbrid 1 ja -1 on juba kontrollitud. Testime teisi jagajaid, asendades need ükshaaval polünoomiga .

g(2) = -40, seega 2 ei ole polünoomi g(x) juur;

g(-2) = 12, -2 ei ole juur;

g(3) = -48, 3 ei ole juur;

g(-3) = 0, seega -3 on polünoomi g(x) juur.

Bezouti teoreemi järgi jagub see x + 3-ga. Jagamise tulemusena saame:

Teiste juurte leidmiseks, kui need on olemas, lahendame ruutvõrrandi.

Seega on neljanda astme algsel võrrandil neli juurt.

Vastus: , , , .

kommenteerida. Mõnikord pole polünoomi oletatavate juurte kontrollimine ega selle väärtuse arvutamine lihtne, eriti kui polünoom on kõrge astmega ja testitavad arvud on suured.

Selle protsessi hõlbustamiseks on Horneri skeem.

Tunni eesmärgid:

• õpetada õpilasi Horneri skeemi abil lahendama kõrgema astme võrrandeid;
• arendada paaristöötamise oskust;
• luua koos kursuse põhiosadega alus õpilaste võimete arendamiseks;
• aidata õpilasel hinnata oma potentsiaali, arendada huvi matemaatika vastu, mõtlemisvõimet, kõneainet.

Varustus: kaardid rühmades töötamiseks, plakat Horneri skeemiga.

Õppemeetod: loeng, jutt, selgitus, treeningharjutuste sooritamine.

Kontrolli vorm: iseseisva lahenduse probleemide kontrollimine, iseseisev töö.

Tundide ajal

1. Organisatsioonimoment

2. Õpilaste teadmiste aktualiseerimine

Milline teoreem võimaldab teil määrata, kas arv on antud võrrandi juur (teoreemi formuleerimiseks)?

Bezouti teoreem. Polünoomi P(x) jagamise jääk binoomiga x-c võrdub P(c), arvu c nimetatakse polünoomi P(x) juureks, kui P(c)=0. Teoreem võimaldab ilma jagamisoperatsiooni tegemata määrata, kas antud arv on polünoomi juur.

Millised väited muudavad juurte leidmise lihtsamaks?

a) Kui polünoomi juhtkoefitsient on võrdne ühega, siis tuleks otsida polünoomi juured vaba liikme jagajate hulgast.

b) Kui polünoomi kordajate summa on 0, siis on üks juurtest 1.

c) Kui paariskohtade koefitsientide summa on võrdne paaritute kohtade koefitsientide summaga, siis on üks juurtest võrdne -1.

d) Kui kõik koefitsiendid on positiivsed, siis on polünoomi juured negatiivsed arvud.

e) Paaritu astmega polünoomil on vähemalt üks reaaljuur.

3. Uue materjali õppimine

Tervete algebraliste võrrandite lahendamisel tuleb leida polünoomide juurte väärtused. Seda toimingut saab oluliselt lihtsustada, kui arvutused tehakse spetsiaalse algoritmi, mida nimetatakse Horneri skeemiks, järgi. See skeem on oma nime saanud inglise teadlase William George Horneri järgi. Horneri skeem on algoritm polünoomi P(x) jagamise jagatise ja jäägi arvutamiseks x-c-ga. Lühidalt, kuidas see töötab.

Olgu antud suvaline polünoom P(x)=a 0 x n + a 1 x n-1 + ...+ a n-1 x+ a n. Selle polünoomi jagamine x-c-ga on selle esitus kujul P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Privaatne g (x) \u003d juures 0 x n-1 + juures n x n-2 + ... + juures n-2 x + juures n-1, kus 0 \u003d a 0, n \u003d sv n- 1 + an, n=1,2,3,…n-1. Ülejäänud osa r (x) \u003d St n-1 + a n. Seda arvutusmeetodit nimetatakse Horneri skeemiks. Algoritmi nimes sisalduv sõna "skeem" on tingitud sellest, et tavaliselt vormistatakse selle täitmine järgmiselt. Esimese loosi tabel 2(n+2). Arv c kirjutatakse alumisse vasakpoolsesse lahtrisse ja polünoomi P (x) koefitsiendid ülemisele reale. Sel juhul jäetakse ülemine vasak lahter tühjaks.

Arv, mis pärast algoritmi täitmist osutub kirjutatuks alumisse parempoolsesse lahtrisse, on jääk polünoomi P(x) jagamisel x-c-ga. Teised alumise rea arvud 0 , 1 , 2 ,… juures on jagatise koefitsiendid.

Näiteks: jagage polünoom P (x) \u003d x 3 -2x + 3 x-2-ga.

Saame, et x 3 -2x + 3 \u003d (x-2) (x 2 + 2x + 2) + 7.

4. Õpitud materjali koondamine

Näide 1: Teguristage polünoom P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 täisarvu koefitsientidega.

Otsime vaba liikme jagajate hulgast täisarvu -1: 1; - üks. Teeme tabeli:

X \u003d -1 - juur

P (x) \u003d (x + 1) (2x 3 -9x 2 + 6x -1)

Kontrollime 1/2.

Seetõttu saab polünoomi P(x) esitada kui

P (x) \u003d (x + 1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) \u003d (x + 1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Näide 2: Lahendage võrrand 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Kuna võrrandi vasakule küljele kirjutatud polünoomi kordajate summa on võrdne nulliga, siis on üks juurtest 1. Kasutame Horneri skeemi:

Saame P (x) \u003d (x-1) (2x 3 -3x 2 \u003d 2x +2). Otsime juuri vaba liikme 2 jagajate hulgast.

Saime teada, et terveid juuri enam pole. Kontrollime 1/2; -1/2.

Vastus: 1; -1/2.

Näide 3: Lahendage võrrand 5x 4 - 3x 3 - 4x 2 -3x + 5 = 0.

Otsime selle võrrandi juuri vaba liikme 5: 1; -1; 5; -5 jagajate hulgast. x=1 on võrrandi juur, kuna koefitsientide summa on null. Kasutame Horneri skeemi:

esindame võrrandit kolme teguri korrutisena: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) \u003d 0. Lahendades ruutvõrrandi 5x 2 -7x+5=0, saime D=49-100=-51, juured puuduvad.

Kaart 1

1. Polünoomi kordamine: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Lahendage võrrand: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

2. kaart

1. Polünoomi kordamine: x 4 -x 3 -7x 2 + 13x-6
2. Lahendage võrrand: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Kaart 3

1. Factorize: 2x 3 -21x 2 + 37x + 24
2. Lahendage võrrand: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Kaart 4

1. Factorize: 5x 3 -46x 2 + 79x-14
2. Lahendage võrrand: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Kokkuvõtete tegemine

Teadmiste kontrollimine paaris lahendamisel toimub tunnis tegevusviisi ja vastuse nimetuse äratundmisega.

Kodutöö:

Lahendage võrrandid:

a) x 4 – 3 x 3 + 4 x 2 – 3 x + 1 \u003d 0

b) 5x4 -36x3 +62x2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 \u003d 4 x 2

d) x 4 + 2x 3 -x-2 \u003d 0

Kirjandus

1. N.Ya. Vilenkin jt, Algebra ja analüüsi algus 10. klass (matemaatika süvaõpe): Valgustus, 2005.
2. U.I. Sahhartšuk, L.S. Sagatelova, Kõrgema astme võrrandite lahendus: Volgograd, 2007.
3. S.B. GashkovArvusüsteemid ja nende rakendamine.