Need tõenäosused väljendavad hõivatud kanalite keskmist arvu

=P 1 + 2P 2 +…+n(P n +P n+ 1 +…+Ps) või

=P 1 + 2P 2 +…+(n- 1)Pn- 1 +n( 1-P 0 -P 1 -…-P n-1 ).

Selle kaudu leiame süsteemi absoluutse ribalaiuse:

samuti keskmine rakenduste arv süsteemis

M=s- =s- .

Näide 1. Kolmekanalilise riketega QS-i sisend võtab vastu intensiivsusega rakenduste voo \u003d 4 päringut minutis, ühe kanali rakenduse teenindamiseks kuluv aeg t teenindus =1/μ =0,5 min. Kas QS-i läbilaskevõime seisukohalt on kasulik sundida kõiki kolme kanalit korraga rakendusi teenindama ja keskmine teenindusaeg väheneb kolm korda? Kuidas see mõjutab keskmist aega, mille taotlus veedab ühises turukorralduses?

Lahendus. Leiame kolme kanaliga QS-i seisaku tõenäosuse valemiga

ρ = /μ=4/2=2, n=3,

P 0 = = = 0,158.

Ebaõnnestumise tõenäosus määratakse järgmise valemiga:

P otk \u003d P n ==

P otk = 0,21.

Süsteemi suhteline läbilaskevõime:

P teenus = 1-R otk 1-0,21=0,79.

Süsteemi absoluutne ribalaius:

A= P teenus 3,16.

Hõivatud kanalite keskmine arv määratakse järgmise valemiga:

1,58, teenuse poolt hõivatud kanalite osakaal,

q = 0,53.

Taotluse keskmine viibimisaeg QS-is leitakse kui tõenäosus, et taotlus võetakse kätte, korrutatuna keskmise teenindusajaga: t QS 0,395 min.

Ühendades kõik kolm kanalit üheks, saame ühe kanaliga süsteemi koos parameetritega μ= 6, ρ= 2/3. Ühe kanaliga süsteemi puhul on seisaku tõenäosus:

R 0 = = =0,6,

ebaõnnestumise tõenäosus:

P avatud =ρ P 0 = = 0,4,

suhteline läbilaskevõime:

P teenus = 1-R otk =0,6,

absoluutne ribalaius:

A=P teenindus = 2,4.

t CMO = R-teenus= =0,1 min.

Kanalite üheks ühendamise tulemusena on süsteemi läbilaskevõime vähenenud, kuna rikke tõenäosus on suurenenud. Rakenduse keskmine viibimisaeg süsteemis on vähenenud.

Näide 2. Piiramatu järjekorraga kolme kanaliga QS-i sisend võtab vastu suure intensiivsusega päringute voo =4 päringut tunnis, keskmine teenindusaeg ühe päringu kohta t=1/μ=0,5 h Leidke süsteemi jõudlusnäitajad.

Vaadeldava süsteemi jaoks n =3, =4, μ=1/0,5=2, ρ= /µ=2, ρ/ n =2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:

P= .

P 0 = =1/9.

Järjekorras olevate rakenduste keskmine arv leitakse järgmise valemi abil:

L =.

L = = .

Taotluse keskmine ooteaeg järjekorras arvutatakse järgmise valemi abil:

t= = 0,22 h.

Rakenduse keskmine viibimisaeg süsteemis:

T=t+ 0,22+0,5=0,72.

Näide 3. Juuksurisalongis töötab 3 meistrit, ooteruumis 3 tooli. Klientide voog on intensiivne =12 klienti tunnis. Keskmine teenindusaeg t teenindus = 20 min. Määrake süsteemi suhteline ja absoluutne läbilaskevõime, keskmine hõivatud kohtade arv, keskmine järjekorra pikkus, keskmine aeg, mille klient juuksuris veedab.

Selle ülesande jaoks n =3, m =3, =12, μ =3, ρ =4, ρ/n=4/3. Seisaku tõenäosus määratakse järgmise valemiga:

R 0 =.

P 0 = 0,012.

Teenuse osutamisest keeldumise tõenäosus määratakse valemiga

P otk \u003d P n + m \u003d .

P avatud =P n + m 0,307.

Süsteemi suhteline läbilaskevõime, s.o. Teenuse tõenäosus:

P teenus =1-P avatud 1-0,307=0,693.

Absoluutne ribalaius:

A= P teenus 12 .

Keskmine hõivatud kanalite arv:

.

Järjekorra keskmine pikkus määratakse järgmise valemiga:

L =

L= 1,56.

Keskmine teenuse ooteaeg järjekorras:

t= h.

Keskmine taotluste arv ühises turukorralduses:

M = L + .

Taotluse keskmine viibimisaeg ühises turukorralduses:

T=M/ 0,36 h

Näide 4. Töötaja teenindab 4 masinat. Iga masin ebaõnnestub intensiivsusega =0,5 riket tunnis, keskmine remondiaeg t rem\u003d 1 / μ \u003d 0,8 h. Määrake süsteemi läbilaskevõime.

See probleem käsitleb suletud QS-i, μ =1,25, ρ = 0,5/1,25 = 0,4. Töötaja seisaku tõenäosus määratakse järgmise valemiga:

R 0 =.

P 0 = .

Töötaja tööhõive tõenäosus R zan = 1-P 0 . A=( 1-P 0 )μ =0,85 μ masinat tunnis.

Ülesanne:

Kaks töötajat teenindavad neljast masinast koosnevat rühma. Töötava masina seiskumine toimub keskmiselt 30 minuti pärast. Keskmine seadistamise aeg on 15 minutit. Tööaeg ja seadistusaeg jagunevad eksponentsiaalselt.

Leidke iga töötaja keskmine vaba aja osakaal ja masina keskmine tööaeg.

Leidke samad omadused süsteemi jaoks, kus:

a) igale töötajale määratakse kaks masinat;

b) kaks töötajat teenindavad masinat alati koos ja kahekordse intensiivsusega;

c) ainsat vigast masinat teenindavad mõlemad töötajad korraga (topelt intensiivsusega) ja kui ilmub veel vähemalt üks vigane masin, hakkavad nad tööle eraldi, kumbki teenindab ühte masinat (esmalt kirjeldage süsteemi protsesside kaudu surm ja sünd).

Lahendus:

Võimalikud on järgmised süsteemi S olekud:

S 0 - kõik masinad on töökorras;

S 1 - 1 masin on remondis, ülejäänud on töökorras;

S 2 - 2 masin on remondis, ülejäänud on heas korras;

S 3 - 3 masin on remondis, ülejäänud on heas korras;

S 4 - 4 masin on remondis, ülejäänud on heas korras;

S 5 - (1, 2) masinad on remondis, ülejäänud on korras;

S 6 - (1, 3) masinad on remondis, ülejäänud on korras;

S 7 - (1, 4) masinad on remondis, ülejäänud on korras;

S 8 - (2, 3) masinad on remondis, ülejäänud on korras;

S 9 - (2, 4) masinad on remondis, ülejäänud on korras;

S 10 - (3, 4) masinad on remondis, ülejäänud on korras;

S 11 - (1, 2, 3) masinad on remondis, 4 masin on töökorras;

S 12 - (1, 2, 4) masinad on remondis, 3 masin on töökorras;

S 13 - (1, 3, 4) masinad on remondis, 2 masin on töökorras;

S 14 - (2, 3, 4) masinad on remondis, 1 masin on töökorras;

S 15 - kõik masinad on remonditud.

Süsteemi oleku graafik…

See süsteem S on näide suletud süsteemist, kuna iga masin on potentsiaalne nõue, mis muutub rikke hetkel reaalseks. Kui masin töötab, on see viivitusplokis ja rikke hetkest kuni remondi lõpuni on see süsteemis endas. Iga töötaja on teeninduskanal.

Kui töötaja on hõivatud, seadistab ta μ-masinad ajaühiku kohta, süsteemi läbilaskevõime:

Vastus:

Keskmine vaba aja osakaal iga töötaja kohta on ≈ 0,09.

Masina keskmine tööaeg ≈ 3,64.

a) Igale töötajale on määratud kaks masinat.

Töötaja seisaku tõenäosus määratakse järgmise valemiga:

Töötaja töölevõtmise tõenäosus:

Kui töötaja on hõivatud, seadistab ta μ-masinad ajaühiku kohta, süsteemi läbilaskevõime:

Vastus:

Iga töötaja keskmine vaba aja osakaal on ≈ 0,62.

Masina keskmine tööaeg ≈ 1,52.

b) Kaks töötajat teenindavad masinat alati koos ja kahekordse intensiivsusega.

c) Ainsat vigast masinat teenindavad mõlemad töötajad korraga (topelt intensiivsusega) ja kui ilmub veel vähemalt üks vigane masin, hakkavad nad eraldi töötama, kumbki teenindab ühte masinat (esmalt kirjeldage süsteemi surma ja sünniprotsessid).

5 vastuse võrdlus:

Kõige tõhusam viis masinate juures töötajate organiseerimiseks on probleemi esialgne versioon.

Eespool käsitleti lihtsaimate järjekorrasüsteemide (QS) näiteid. Mõiste "lihtne" ei tähenda "elementaarset". Nende süsteemide matemaatilised mudelid on rakendatavad ja edukalt kasutatavad praktilistes arvutustes.

Otsusteooria rakendamise võimaluse järjekorrasüsteemides määravad järgmised tegurid:

1. Rakenduste arv süsteemis (mida peetakse QS-iks) peaks olema piisavalt suur (massiivselt).

2. Kõik QS-i sisendisse sisenevad rakendused peavad olema sama tüüpi.

3. Valemite abil arvutamiseks on vaja teada seadusi, mis määravad avalduste laekumise ja nende menetlemise intensiivsuse. Pealegi peavad rakendusvood olema Poisson.

4. QS-i struktuur, s.o. sissetulevate nõuete kogum ja taotluse menetlemise järjekord peavad olema jäigalt fikseeritud.

5. Õppeained on vaja süsteemist välja jätta või kirjeldada kui nõudeid, millel on pidev töötlemisintensiivsus.

Eespool loetletud piirangutele võib lisada veel ühe, millel on tugev mõju matemaatilise mudeli dimensioonile ja keerukusele.

6. Kasutatavate prioriteetide arv peaks olema minimaalne. Taotluste prioriteedid peavad olema püsivad, s.t. need ei saa QS-is töötlemise ajal muutuda.

Töö käigus saavutati põhieesmärk - tutvuti põhimaterjaliga “Piiratud ooteajaga QS” ja “Suletud QS”, mille seadis paika akadeemilise distsipliini õpetaja. Samuti tutvusime omandatud teadmiste rakendamisega praktikas, s.o. koondas kaetud materjali.

1) http://www.5ballov.ru.

2) http://www.studentport.ru.

3) http://vse5ki.ru.

4) http://revolution..

5) Fomin G.P. Matemaatilised meetodid ja mudelid äritegevuses. M: Rahandus ja statistika, 2001.

6) Gmurman V.E. Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika. M: Kõrgkool, 2001.

7) Sovetov B.A., Jakovlev S.A. Süsteemide modelleerimine. M: Kõrgkool, 1985.

8) Lifshits A.L. QS statistiline modelleerimine. M., 1978.

9) Wentzel E.S. Operatsiooniuuringud. M: Nauka, 1980.

10) Wentzel E.S., Ovcharov L.A. Tõenäosusteooria ja selle insenerirakendused. M: Nauka, 1988.

Eelmistes loengutes õppisime, kuidas simuleerida juhuslike sündmuste algust. See tähendab, et me saame mängida - mis võimalikest sündmustest tulevad ja milles kogus. Selle määramiseks on vaja teada sündmuste toimumise statistilisi karakteristikuid, näiteks võib selliseks väärtuseks olla sündmuse toimumise tõenäosus või erinevate sündmuste tõenäosusjaotus, kui neid on lõpmatult palju liike. sündmused.

Kuid sageli on oluline teada millal teatud sündmus toimub õigel ajal.

Kui sündmusi on palju ja need järgnevad üksteisele, siis need moodustuvad voolu. Pange tähele, et sündmused peavad sel juhul olema homogeensed, st mingil moel üksteisega sarnased. Näiteks juhtide ilmumine bensiinijaamadesse, kes soovivad oma autot tankida. See tähendab, et homogeensed sündmused moodustavad sarja. Sel juhul loetakse, et antud nähtuse statistiline tunnus (sündmuste voo intensiivsus) on antud. Sündmuste voo intensiivsus näitab, kui palju keskmine sellised sündmused toimuvad ajaühikus. Kuid millal iga konkreetne sündmus täpselt toimub, tuleb modelleerimismeetoditega kindlaks määrata. On oluline, et kui genereerime näiteks 1000 sündmust 200 tunni jooksul, oleks nende arv ligikaudu võrdne sündmuste esinemise keskmise intensiivsusega 1000/200 = 5 sündmust tunnis, mis on seda voolu iseloomustav statistiline väärtus. tervikuna.

Voo intensiivsus on teatud mõttes sündmuste arvu matemaatiline ootus ajaühikus. Kuid tegelikkuses võib selguda, et ühes tunnis ilmub 4 sündmust ja teises 6, kuigi keskmiselt saadakse 5 sündmust tunnis, seega ühest väärtusest voolu iseloomustamiseks ei piisa. Teine suurus, mis iseloomustab seda, kui suur on sündmuste levik matemaatilise ootuse suhtes, nagu varemgi, dispersioon. Tegelikult määrab see väärtus sündmuse toimumise juhuslikkuse, selle toimumise hetke nõrga prognoositavuse. Sellest väärtusest räägime järgmises loengus.

Sündmuste voog on juhuslike ajavahemike järel üksteise järel toimuvate homogeensete sündmuste jada. Ajateljel näevad need sündmused välja nagu näidatud joonisel fig. 28.1.

Sündmuste voo näiteks on hetkede jada, mil lennukid puudutavad lennujaama saabuvat rada.

Voolukiirus λ on sündmuste keskmine arv ajaühikus. Voolukiirust saab eksperimentaalselt arvutada järgmise valemi abil: λ = N/T n, kus N- vaatluse käigus toimunud sündmuste arv T n .

Kui sündmuste vaheline intervall τ j on võrdne konstandiga või defineeritud mõne valemiga kujul: t j = f(t j– 1), siis nimetatakse voolu deterministlik. Vastasel juhul nimetatakse voogu juhuslikuks.

Juhuslikud vood on:

• tavaline: kahe või enama sündmuse samaaegse toimumise tõenäosus on null;
• statsionaarne: sündmuste sagedus λ (t) = const( t) ;
• ei mingit järelmõju: juhusliku sündmuse toimumise tõenäosus ei sõltu eelnevate sündmuste hetkest.

Poissoni vool

Voolustandardi jaoks modelleerimisel on tavaks võtta Poissoni voog.

Poissoni vool on tavaline vool, millel pole järelmõju.

Nagu eelnevalt öeldud, on tõenäosus, et teatud aja jooksul (t 0 , t 0 + τ ) juhtuma m sündmused, määratakse kindlaks Poissoni seadusest:

kus a on Poissoni parameeter.

Kui a λ (t) = const( t) , see on statsionaarne Poissoni vool(kõige lihtsam). Sel juhul a = λ · t . Kui a λ =var( t) , see on ebakindel Poissoni vool.

Lihtsaima voolu korral esinemise tõenäosus m sündmused aja jooksul τ on võrdne:

mitteilmumise tõenäosus (st mitte ilmumise tõenäosus, m= 0 ) sündmused aja jooksul τ on võrdne:

Riis. 28.2 illustreerib sõltuvust P 0 ajast. On ilmne, et mida pikem on vaatlusaeg, seda väiksem on tõenäosus, et sündmust ei toimu. Pealegi, mida suurem on väärtus λ , mida järsemaks graafik läheb, st seda kiiremini tõenäosus väheneb. See vastab asjaolule, et kui sündmuste toimumise intensiivsus on suur, siis sündmuse mittetoimumise tõenäosus väheneb kiiresti koos vaatlusajaga.

Tõenäosus, et toimub vähemalt üks sündmus ( P XB1S ) arvutatakse järgmiselt:

sest P HB1S + P 0 = 1 (Kas ilmub vähemalt üks sündmus või ei ilmu ühtegi – teist ei anta).

Joonisel fig. 28.3 on näha, et vähemalt ühe sündmuse toimumise tõenäosus kipub ajas ühtlustuma, st sündmuse asjakohasel pikaajalisel vaatlusel juhtub see kindlasti varem või hiljem. Mida kauem me sündmust jälgime (seda rohkem t), seda suurem on sündmuse toimumise tõenäosus – funktsiooni graafik on monotoonselt kasvav.

Mida suurem on sündmuse toimumise intensiivsus (seda rohkem λ ), seda kiiremini see sündmus toimub ja seda kiiremini kipub funktsioon ühtlustuma. Graafikul parameeter λ mida kujutab joone järsus (puutuja kalle).

Kui suurendate λ , siis sündmust sama kaua jälgides τ , suureneb sündmuse toimumise tõenäosus (vt joonis 28.4). Ilmselgelt algab graafik nullist, sest kui vaatlusaeg on lõpmatult väike, siis tõenäosus, et sündmus selle aja jooksul aset leiab, on tühine. Ja vastupidi, kui vaatlusaeg on lõpmatult pikk, siis sündmus toimub kindlasti vähemalt korra, mis tähendab, et graafik kaldub tõenäosusväärtusele 1.

Õigust uurides saab kindlaks teha, et: m x = 1/λ , σ = 1/λ st kõige lihtsama voolu jaoks m x = σ . Matemaatilise ootuse võrdsus standardhälbega tähendab, et see voog on järelmõjuta voog. Sellise voolu dispersioon (täpsemalt standardhälve) on suur. Füüsiliselt tähendab see, et sündmuse toimumise aeg (sündmustevaheline kaugus) on halvasti ennustatav, juhuslik, jääb intervalli m x – σ < τ j < m x + σ . Kuigi on selge, et keskmiselt on see ligikaudu võrdne: τ j = m x = T n/ N . Sündmus võib ilmneda igal ajahetkel, kuid selle hetke ulatuses τ j suhteliselt m x peal [- σ ; +σ ] (järelmõju väärtus). Joonisel fig. 28.5 näitab sündmuse 2 võimalikke asukohti antud ajatelje suhtes σ . Sel juhul ütleme, et esimene sündmus ei mõjuta teist, teine ​​ei mõjuta kolmandat ja nii edasi, see tähendab, et järelmõju pole.

Selle tähenduses P võrdub r(vt loeng 23. Juhusliku sündmuse modelleerimine. Kokkusobimatute sündmuste täieliku rühma modelleerimine), seega väljendades τ valemist (*) Lõpuks, et määrata kahe juhusliku sündmuse vahelised intervallid, on meil:

τ = –1/ λ Ln( r) ,

kus r— ühtlaselt jaotatud 0 kuni 1 juhuslik arv, mis on võetud RNG-st, τ — intervall juhuslike sündmuste vahel (juhuslik muutuja τ j ).

Näide 1. Mõelge tehnoloogilisele operatsioonile tulevate toodete voogudele. Tooted saabuvad juhuslikult - keskmiselt kaheksa tükki päevas (voolukiirus λ = 8/24 [ühik/tund]). Seda protsessi on vaja ajal simuleerida T h = 100 tundi. m = 1/λ = 24/8 = 3 , see tähendab keskmiselt üks detail kolme tunni kohta. Märka seda σ = 3. Joonisel fig. 28.6 näitab algoritmi, mis genereerib juhuslike sündmuste voo.

Joonisel fig. 28.7 näitab algoritmi tulemust – ajahetke, mil detailid jõudsid toiminguni. Nagu näha, just sellel perioodil T n = 100 töödeldud tootmissõlme N= 33 toodet. Kui käivitame algoritmi uuesti, siis N võib olla võrdne näiteks 34, 35 või 32-ga. Keskmiselt aga K algoritm töötab N võrdub 33,33 ... Kui arvutame sündmuste vahemaad t Koos i ja ajahetked, mis on määratletud kui 3 i, siis on keskmine väärtus võrdne σ = 3 .

Ebatavaliste sündmuste voogude modelleerimine

Kui on teada, et voog ei ole tavaline, siis on vaja lisaks sündmuse toimumise hetkele modelleerida ka sündmuste arv, mis võiksid sel hetkel ilmneda. Näiteks saabuvad vagunid rongi osana raudteejaama juhuslikel kellaaegadel (tavaline rongivool). Kuid samal ajal võib rongis olla erinev (juhuslik) arv autosid. Sel juhul räägitakse vagunite voolust kui erakordsete sündmuste voolust.

Oletame, et M k = 10 , σ = 4 (see tähendab, et keskmiselt 68 juhul 100-st saabub rongi 6–14 vagunit) ja nende arv jaguneb tavaseaduse järgi. Eelmises algoritmis (vt joon. 28.6) tähistatud kohta (*) tuleb sisestada joonisel fig. 28.8.

Näide 2 . Tootmises väga kasulik on järgmise probleemi lahendus. Kui suur on tehnoloogilise sõlme seadmete keskmine päevane tühikäiguaeg, kui sõlm töötleb iga toodet juhusliku aja jooksul, mille määrab juhuslike sündmuste voo intensiivsus λ 2? Samas tehti katseliselt kindlaks, et tooteid tuuakse töötlemiseks ka juhuslikel voolu poolt määratud aegadel λ 1 partiidena 8 tükki ja partii suurus kõigub juhuslikult vastavalt tavaseadusele m = 8 , σ = 2 (vt loeng 25). Enne simulatsiooni T= 0 kaupa ei olnud laos. Seda protsessi on vaja ajal simuleerida T h = 100 tundi.

Joonisel fig. 28.9 näitab algoritmi, mis genereerib juhuslikult töötlemiseks saabuvate tootepartiide voo ja juhuslike sündmuste voo – töötlemisest saadud tootepartiide väljundi.

Joonisel fig. 28.10 näitab algoritmi töö tulemust - ajapunkte, millal osad jõudsid toimingule ja ajapunkte, millal osad toimingust lahkusid. Kolmas rida näitab, mitu osa oli erinevatel ajahetkedel töötlemise järjekorras (ladus sõlme laos).

Märkides töötlemissõlme jaoks üles ajad, mil see oli jõude, oodates järgmist osa (vt punast varjundit joonisel 28.10), saame arvutada sõlme kogu jõudeoleku kogu vaatlusaja kohta ja seejärel keskmise jõudeoleku. aega päeva jooksul. Selle teostuse jaoks arvutatakse see aeg järgmiselt:

T pr vrd. = 24 ( t 1 pr. + t 2 ave. + t 3 ave. + t 4 ave + … + t N jne.)/ T n.

1. harjutus. Väärtuse muutmine σ , installige sõltuvus T pr vrd. ( σ ) . Määrates ühiku seisaku maksumuseks 100 eurot / tund, määrake ettevõtte iga-aastane kahjum tarnijate töö ebakorrapärasusest. Pakkuda välja ettevõtte ja tarnijate vahelise lepingu punkti "Trahvi suurus toodete kohaletoimetamise viivitamise eest" sõnastus.

Ülesanne 2 . Lao esmase täiteväärtuse muutmisega tehke kindlaks, kuidas muutuvad ettevõtte iga-aastased kahjumid tarnijate töö ebakorrapärasusest sõltuvalt ettevõttes kasutusele võetud varude väärtusest.

Mittestatsionaarsete sündmuste voogude modelleerimine

Mõnel juhul võib voolukiirus aja jooksul muutuda. λ (t) . Sellist voolu nimetatakse mittestatsionaarseks. Näiteks suurlinna elanike väljakutsete peale jaamast väljuvate kiirabiautode keskmine arv tunnis võib päeva jooksul erineda. Näiteks on teada, et kõige rohkem kõnesid langeb ajavahemikule 23.00–01.00 ja 05.00–07.00, teistel tundidel aga poole vähem (vt joon. 28.11).

Sel juhul jaotus λ (t) saab määrata kas graafiku, valemi või tabeli abil. Ja joonisel fig. 28.6, peate (**) tähistatud kohta sisestama joonisel fig. 28.12.

Markovi protsessid töötasid teadlased välja 1907. aastal. Selle teooria töötasid välja tolleaegsed juhtivad matemaatikud, mõned neist täiustavad seda siiani. See süsteem laieneb ka teistele teadusvaldkondadele. Praktilisi Markovi kette kasutatakse erinevates valdkondades, kuhu inimene peab saabuma ootuspärases seisundis. Kuid süsteemi selgeks mõistmiseks peate teadma tingimusi ja sätteid. Peamiseks Markovi protsessi määravaks teguriks peetakse juhuslikkust. Tõsi, see ei sarnane ebakindluse mõistega. Sellel on teatud tingimused ja muutujad.

Juhusliku teguri tunnused

See tingimus allub staatilisele stabiilsusele, täpsemalt selle seaduspärasustele, mida määramatuse korral ei võeta arvesse. See kriteerium võimaldab omakorda kasutada Markovi protsesside teoorias matemaatilisi meetodeid, nagu märkis tõenäosuste dünaamikat uurinud teadlane. Tema loodud töö käsitles otseselt neid muutujaid. Omakorda võimaldab uuritud ja väljatöötatud juhuslik protsess, millel on oleku ja ülemineku mõisted ning mida kasutatakse ka stohhastilistes ja matemaatilistes ülesannetes, samal ajal nende mudelite toimimise. Muuhulgas annab see võimaluse täiendada teisi olulisi rakenduslikke teoreetilisi ja praktilisi teadusi:

• difusiooniteooria;
• järjekorra teooria;
• usaldusväärsuse teooria ja muud asjad;
• keemia;
• Füüsika;
• Mehaanika.

Planeerimata teguri olulised tunnused

Seda Markovi protsessi juhib juhuslik funktsioon, see tähendab, et argumendi mis tahes väärtust peetakse etteantud väärtuseks või väärtuseks, mis võtab eelnevalt ettevalmistatud kuju. Näited on järgmised:

• ahela kõikumised;
• liikumiskiirus;
• pinna karedus antud piirkonnas.

Samuti arvatakse tavaliselt, et juhusliku funktsiooni faktiks on aeg, see tähendab, et indekseerimine toimub. Klassifikatsioonil on oleku ja argumendi vorm. See protsess võib toimuda nii diskreetsete kui ka pidevate olekute või ajaga. Pealegi on juhtumeid erinevaid: kõik toimub kas ühel või teisel kujul või üheaegselt.

Juhuslikkuse mõiste üksikasjalik analüüs

Vajalike tulemusnäitajatega selgelt analüütilisel kujul matemaatilist mudelit oli üsna keeruline ehitada. Tulevikus sai see ülesanne võimalikuks, kuna tekkis Markovi juhuslik protsess. Seda mõistet üksikasjalikult analüüsides on vaja tuletada teatud teoreem. Markovi protsess on füüsiline süsteem, mis on muutnud oma asukohta ja olekut, mis ei olnud eelnevalt programmeeritud. Seega selgub, et selles toimub juhuslik protsess. Näiteks: kosmoseorbiit ja laev, mis sinna lennutatakse. Tulemus saavutati ainult mõningate ebatäpsuste ja kohanduste tõttu, ilma milleta määratud režiimi ei rakendata. Suurem osa käimasolevatest protsessidest on omane juhuslikkusele, ebakindlusele.

Tegelikult kehtib see tegur peaaegu igale võimalusele, mida saab kaaluda. Lennuk, tehniline seade, söökla, kell – kõik see võib juhuslikult muutuda. Pealegi on see funktsioon omane igale reaalses maailmas toimuvale protsessile. Kuid seni, kuni see ei kehti individuaalselt häälestatud parameetrite kohta, tajutakse tekkivaid häireid deterministlikena.

Markovi stohhastilise protsessi kontseptsioon

Mis tahes tehnilise või mehaanilise seadme, seadme disain sunnib loojat arvestama erinevate teguritega, eelkõige ebakindlusega. Juhuslike kõikumiste ja häiringute arvutamine tekib isikliku huvi hetkel, näiteks autopiloodi rakendamisel. Mõned teadustes, nagu füüsika ja mehaanika, uuritud protsessid on sellised.

Kuid neile tähelepanu pööramine ja rangete uuringute läbiviimine peaks algama hetkel, kui seda on otseselt vaja. Markovi juhuslikul protsessil on järgmine definitsioon: tulevikuvormile iseloomulik tõenäosus sõltub olekust, milles see antud ajahetkel on, ja sellel pole midagi pistmist süsteemi välimusega. Niisiis, see kontseptsioon näitab, et tulemust saab ennustada, võttes arvesse ainult tõenäosust ja unustades tausta.

Mõiste üksikasjalik tõlgendus

Hetkel on süsteem mingis seisus, liigub ja muutub, tegelikult on võimatu ennustada, mis edasi saab. Kuid tõenäosust arvestades võime öelda, et protsess viiakse teatud kujul lõpule või säilitab eelmise. See tähendab, et tulevik tekib olevikust, unustades mineviku. Kui süsteem või protsess läheb uude olekusse, jäetakse ajalugu tavaliselt välja. Tõenäosusel on Markovi protsessides oluline roll.

Näiteks Geigeri loendur näitab osakeste arvu, mis sõltub teatud indikaatorist, mitte aga sellest, mis hetkel see täpselt tuli. Siin on peamine kriteerium ülaltoodud. Praktilises rakenduses ei saa arvesse võtta ainult Markovi protsesse, vaid ka sarnaseid, näiteks: süsteemi lahingus osalevad lennukid, millest igaüks on tähistatud mõne värviga. Sel juhul on peamiseks kriteeriumiks jällegi tõenäosus. Millal arvudes ülekaal tekib ja mis värvi puhul, pole teada. See tähendab, et see tegur sõltub süsteemi olekust, mitte lennuki hukkumiste järjestusest.

Protsesside struktuurianalüüs

Markovi protsess on süsteemi mis tahes olek, millel puudub tõenäosuslik tagajärg ja ei arvestata eelajalugu. See tähendab, kui kaasate tuleviku olevikku ja jätate mineviku välja. Selle aja üleküllastumine eelajalooga toob kaasa mitmemõõtmelisuse ja keeruliste ahelate konstruktsioonide. Seetõttu on parem uurida neid süsteeme lihtsate ahelatega, millel on minimaalsed arvparameetrid. Selle tulemusena peetakse neid muutujaid määravateks ja teatud teguritest sõltuvad.

Markovi protsesside näide: töötav tehniline seade, mis sel hetkel töötab. Sellises olukorras on huvipakkuv tõenäosus, et seade töötab pikema aja jooksul. Aga kui me tajume seadmeid silutuna, siis see valik ei kuulu enam vaadeldavasse protsessi, kuna puudub teave selle kohta, kui kaua seade varem töötas ja kas remonti tehti. Kui aga neid kahte ajamuutujat täiendada ja süsteemi kaasata, võib selle oleku omistada Markovile.

Diskreetse oleku ja aja pidevuse kirjeldus

Markovi protsessimudeleid rakendatakse hetkel, kui on vaja eelajalugu tähelepanuta jätta. Praktilises uurimistöös kohtab kõige sagedamini diskreetseid pidevaid olekuid. Sellise olukorra näideteks on: seadmete struktuuris on sõlmed, mis võivad tööajal rikki minna ja see juhtub planeerimata juhusliku tegevusena. Selle tulemusel parandatakse süsteemi olekut ühte või teist elementi, sel hetkel on üks neist heas korras või silutakse mõlemat või vastupidi, need on täielikult reguleeritud.

Diskreetne Markovi protsess põhineb tõenäosusteoorial ja on ühtlasi ka süsteemi üleminek ühest olekust teise. Pealegi ilmneb see tegur koheselt isegi juhuslike rikete ja remonditööde korral. Sellise protsessi analüüsimiseks on parem kasutada olekugraafikuid, see tähendab geomeetrilisi diagramme. Süsteemi olekud on sel juhul tähistatud erinevate kujunditega: kolmnurgad, ristkülikud, punktid, nooled.

Selle protsessi modelleerimine

Diskreetse olekuga Markovi protsessid on süsteemide võimalikud modifikatsioonid hetkega toimuva ülemineku tulemusena, mida saab nummerdada. Näiteks saate sõlmede jaoks nooltest koostada olekugraafiku, kus igaüks näitab erinevalt suunatud rikketegurite teed, tööolekut jne. Edaspidi võib tekkida küsimusi, näiteks asjaolu, et kõik geomeetrilised elemendid ei osuta õiges suunas, sest selle käigus võib iga sõlm halveneda. Töötamisel on oluline arvestada sulgemistega.

Pideva ajaga Markovi protsess toimub siis, kui andmed ei ole eelnevalt fikseeritud, see juhtub juhuslikult. Üleminekuid ei olnud varem planeeritud ja need toimuvad hüppeliselt igal ajal. Sel juhul mängib taas peamist rolli tõenäosus. Kui aga praegune olukord on üks ülalmainitutest, siis on selle kirjeldamiseks vaja matemaatilist mudelit, kuid oluline on mõista võimalikkuse teooriat.

Tõenäosuslikud teooriad

Need teooriad käsitlevad tõenäosuslikke, millel on sellised omadused nagu juhuslik järjestus, liikumine ja tegurid, matemaatilised probleemid, mitte deterministlikud, mis on aeg-ajalt kindlad. Kontrollitud Markovi protsessil on ja põhineb võimalustegur. Lisaks on see süsteem võimeline lülituma koheselt mis tahes olekusse erinevates tingimustes ja ajavahemike järel.

Selle teooria praktikas rakendamiseks on vaja olulisi teadmisi tõenäosuse ja selle rakendamise kohta. Enamasti ollakse ootusseisundis, mis üldises mõttes on vaadeldav teooria.

Näited tõenäosusteooriast

Markovi protsesside näited selles olukorras on:

• kohvik;
• piletikassad;
• remonditöökojad;
• erineva otstarbega jaamad jne.

Reeglina puutuvad inimesed selle süsteemiga kokku igapäevaselt, tänapäeval nimetatakse seda järjekorraks. Objektides, kus selline teenus on olemas, on võimalus nõuda erinevaid taotlusi, mis protsessi käigus rahuldatakse.

Varjatud protsessi mudelid

Sellised mudelid on staatilised ja kopeerivad algse protsessi tööd. Sel juhul on põhifunktsiooniks tundmatute parameetrite jälgimise funktsioon, mis tuleb lahti harutada. Tänu sellele saab neid elemente kasutada analüüsimisel, praktikas või erinevate objektide äratundmiseks. Tavalised Markovi protsessid põhinevad nähtavatel üleminekutel ja tõenäosusel, varjatud mudelis vaadeldakse vaid tundmatuid muutujaid, mida olek mõjutab.

Varjatud Markovi mudelite oluline avalikustamine

Sellel on ka tõenäosusjaotus teiste väärtuste vahel, mille tulemusena näeb uurija märkide ja olekute jada. Igal toimingul on tõenäosusjaotus teiste väärtuste vahel, nii et varjatud mudel annab teavet genereeritud järjestikuste olekute kohta. Esimesed märkmed ja viited neile ilmusid eelmise sajandi kuuekümnendate lõpus.

Seejärel hakati neid kasutama kõnetuvastuseks ja bioloogiliste andmete analüsaatoritena. Lisaks on varjatud mudelid levinud kirjutamises, liigutustes, arvutiteaduses. Samuti jäljendavad need elemendid põhiprotsessi tööd ja jäävad staatiliseks, kuid vaatamata sellele on iseloomulikke jooni palju rohkem. Eelkõige puudutab see asjaolu otsest vaatlust ja järjestuste genereerimist.

Statsionaarne Markovi protsess

See tingimus on olemas nii homogeense üleminekufunktsiooni kui ka statsionaarse jaotuse korral, mida peetakse peamiseks ja definitsiooni järgi juhuslikuks tegevuseks. Selle protsessi faasiruum on lõplik hulk, kuid sellises olukorras on esialgne eristamine alati olemas. Üleminekutõenäosusi selles protsessis arvestatakse ajatingimustel või lisaelementidel.

Markovi mudelite ja protsesside üksikasjalik uurimine paljastab tasakaalu rahuldamise küsimuse ühiskonna erinevates elu- ja tegevusvaldkondades. Arvestades, et see tööstusharu mõjutab teadust ja massiteenuseid, saab olukorda parandada, analüüsides ja ennustades samade vigaste kellade või seadmete sündmuste või toimingute tulemusi. Markovi protsessi võimaluste täielikuks kasutamiseks tasub neid üksikasjalikult mõista. Lõppude lõpuks on see seade leidnud laialdast rakendust mitte ainult teaduses, vaid ka mängudes. Seda süsteemi puhtal kujul tavaliselt ei arvestata ja kui seda kasutatakse, siis ainult ülaltoodud mudelite ja skeemide alusel.

4. Modelleerimine Markovi juhuslike protsesside skeemi järgi

Stohhastilisi objekte iseloomustavate arvuliste parameetrite arvutamiseks on vaja ehitada nähtusest mingi tõenäosusmudel, võttes arvesse sellega kaasnevaid juhuslikke tegureid. Paljude juhusliku protsessina arenevate nähtuste matemaatiliseks kirjeldamiseks saab edukalt rakendada tõenäosusteoorias nn Markovi juhuslike protsesside jaoks välja töötatud matemaatilist aparaati. Selgitame seda kontseptsiooni. Olgu mingi füüsiline süsteem S, mille olek aja jooksul muutub (süsteemi all S millest võib aru saada: tehniline seade, remonditöökoda, arvuti jne). Kui riik S varieerub aja jooksul juhuslikult, ütlevad nad seda süsteemis S toimub juhuslik protsess. Näited: arvuti tööprotsess (arvuti tellimuste vastuvõtmine, nende käskude tüüp, juhuslikud tõrked), juhitava raketi sihtmärgile suunamise protsess (juhuslikud häired (interferents) raketijuhtimissüsteemis), protsess klientide teenindamisest juuksuris või remonditöökojas (juhuslik klientidelt saadud taotluste (nõuete) voog).

Juhuslikku protsessi nimetatakse Markovi protsessiks (või “tagajärgedeta protsessiks”), kui iga aja t0 korral on süsteemi mis tahes oleku tõenäosus tulevikus (at t> t0 ) sõltub ainult selle olekust olevikus (at t= t0 ) ja ei sõltu sellest, millal ja kuidas süsteem sellesse olekusse jõudis (st kuidas protsess minevikus arenes). Lase S tehniline seade, mida iseloomustab teatav riknemine S. Oleme huvitatud, kuidas see edasi töötab. Esimese ligikaudsusena võib öelda, et süsteemi jõudlus tulevikus (tõrgete määr, remondivajadus) sõltub seadme hetkeseisust ja ei sõltu sellest, millal ja kuidas seade oma praegusesse olekusse jõudis.

Markovi juhuslike protsesside teooria on ulatuslik tõenäosusteooria osa, millel on lai kasutusala (füüsikalised nähtused nagu laengu difusioon või segunemine kõrgahjus sulamisel, protsesside järjekord).

4.1. Markovi protsesside klassifikatsioon

Markovi juhuslikud protsessid on jagatud klassideks. Esimene klassifitseerimistunnus on olekute spektri olemus. Juhuslikku protsessi (SP) nimetatakse diskreetsete olekutega protsessiks, kui süsteemi võimalikud olekud S1,S2,S3… saab loetleda ja protsess ise seisneb selles, et aeg-ajalt süsteem S hüppab (hetkeliselt) ühest olekust teise.

Näide. Tehniline seade koosneb kahest sõlmest I ja II, millest igaüks võib ebaõnnestuda. Osariigid: S1– mõlemad sõlmed töötavad; S2- esimene sõlm ebaõnnestus, teine ​​töötab; S 3 - teine ​​sõlm ebaõnnestus, esimene töötab; S4 mõlemad sõlmed ebaõnnestusid.

On pidevate olekutega protsesse (sujuv üleminek olekust olekusse), näiteks pinge muutus valgustusvõrgus. Vaatleme ainult diskreetsete olekutega SP-d. Sel juhul on mugav kasutada olekugraafikut, kus süsteemi võimalikud olekud on tähistatud sõlmedega, võimalikud üleminekud aga kaaredega.

Teine klassifitseerimistunnus on ajas toimimise olemus. SP-d nimetatakse diskreetse ajaga protsessiks, kui süsteemi üleminekud olekust olekusse on võimalikud ainult rangelt määratletud, eelnevalt fikseeritud aegadel: t1,t2…. Kui süsteemi üleminek olekust olekusse on võimalik suvalisel juhuslikul, eelnevalt teadmata hetkel, siis räägitakse pideva aja SP-st.

4.2. Diskreetse aja Markovi ahela arvutamine

S diskreetsete olekutega S1,S2, ...sn ja diskreetne aeg t1,t2, … ,tk,...(sammud, protsessi etapid, SP-d võib pidada argumendi funktsiooniks (sammu number)). Üldjuhul seisneb SP selles, et on olemas üleminekud S1® S1® S2® S3® S4® S1® … hetkedel t1,t2,t3 ....

Tähistame sündmust, mis seisneb selles, et pärast k– sammud, kus süsteem on olekus Si. Iga k sündmused https://pandia.ru/text/78/060/images/image004_39.gif" width="159" height="25 src=">.

Sellist juhuslikku sündmuste jada nimetatakse Markovi ahelaks. Kirjeldame Markovi ahelat (MC) olekutõenäosuste abil. Olgu tõenäosus, et pärast k- sammud, kus süsteem on olekus Si. Seda on lihtne näha " k DIV_ADBLOCK389">

.

Kasutan ülaltoodud sündmusi https://pandia.ru/text/78/060/images/image008_34.gif" width="119" height="27 src=">. Maatriksi iga rea ​​liikmete summa peaks olema võrdne 1-ga. Selle asemel kasutavad üleminekutõenäosuste maatriksid sageli märgistatud olekugraafikut (need tähistavad nullist erinevat üleminekutõenäosust kaaredel, viivituse tõenäosusi pole vaja, kuna neid on näiteks lihtne arvutada P11=1-(P12+P13)). Omades meie käsutuses märgistatud olekute graafikut (või üleminekutõenäosuste maatriksit) ja teades süsteemi algolekut, saame leida olekute tõenäosused. p1(k),p2(k),…pn(k)" k.

Olgu süsteemi algseisund sm, siis

p1(0)=0 p2(0)=0…pm(0)=1…pn(0)=0.

Esimene samm:

p1(1)=Pm1, p2(1)=Pm2,…pm(1)=Pmm,… ,pn(1)=Pmn.

Pärast teist sammu, kasutades kogu tõenäosuse valemit, saame:

p1(2)=p1(1)P11+p2(1)P21+…pn(1)Pn1,

pi(2)=p1(1)P1i+p2(1)P2i+…pn(1)Pni võihttps://pandia.ru/text/78/060/images/image010_33.gif" width="149" height="47"> (i=1,2,..n).

Sest heterogeenne MC ülemineku tõenäosused sõltuvad sammu numbrist. Tähistame sammu k as üleminekutõenäosused .

Siis on olekute tõenäosuste arvutamise valem järgmine:

.

4.3. Markovi ketid pideva ajaga

4.3.1. Kolmogorovi võrrandid

Praktikas on palju sagedasemad olukorrad, kus süsteemi üleminek olekust olekusse toimub juhuslikel aegadel, mida ei saa eelnevalt kindlaks määrata: näiteks seadme mis tahes elemendi rike, selle elemendi remondi (taastamise) lõpp. . Selliste protsesside kirjeldamiseks saab paljudel juhtudel edukalt rakendada diskreetsete olekute ja pideva ajaga Markovi juhusliku protsessi skeemi, pidevat Markovi ahelat. Näitame, kuidas väljenduvad sellise protsessi olekutõenäosused. Lase S=(S1,S2,…sn). Tähistage pi(t)- tõenäosus, et hetkel t süsteem S on osariigis). Ilmselgelt. Seadke ülesandeks - määrata mis tahes jaoks tpi(t). Üleminekutõenäosuste asemel Pij võtame arvesse ülemineku tõenäosuse tihedust

.

Kui see ei sõltu t, räägivad nad homogeensest ahelast, muidu - ebahomogeensest. Andke meile teada kõigi olekupaaride kohta (antud on märgistatud olekute graafik). Selgub, et teades märgistatud olekugraafikut, saate määrata p1(t),p2(t)..pn(t) aja funktsioonina. Need tõenäosused rahuldavad teatud tüüpi diferentsiaalvõrrandeid (Kolmogorovi võrrandid).

Nende võrrandite integreerimine süsteemi teadaoleva algolekuga annab soovitud olekutõenäosused aja funktsioonina. Märka seda p1+p2+p3+p4=1 ja saame hakkama kolme võrrandiga.

Kolmogorovi võrrandite koostamise reeglid. Iga võrrandi vasak pool sisaldab oleku tõenäosuse tuletist ja parem pool nii palju termineid, kui on antud olekuga seotud nooli. Kui nool on suunatud olekust välja, on vastaval terminil miinusmärk, kui olekusse, siis plussmärk. Iga liige on võrdne antud noolele vastava ülemineku tõenäosustiheduse korrutisega, mis on korrutatud selle oleku tõenäosusega, millest nool pärineb.

4.3.2. Sündmuste voog. Lihtsaim vool ja selle omadused

Diskreetsete olekute ja pideva ajaga süsteemis toimuvate protsesside puhul on sageli mugav kujutada protsessi nii, nagu toimuksid süsteemi üleminekud olekust olekusse mingite sündmuste voogude mõjul. Sündmuste voog on homogeensete sündmuste jada, mis järgneb üksteisele teatud, üldiselt öeldes juhuslikel ajahetkedel. (Telefonikeskjaama kõnede voog; arvuti rikete (rikkete) voog; jaama saabuvate kaubarongide voog; külastajate voog; sihtmärki suunatud laskude voog). Kujutame sündmuste kulgu ajateljel olevate punktide jadana ot. Iga punkti asukoht teljel on juhuslik. Sündmuste voogu nimetatakse regulaarne , kui sündmused järgnevad üksteise järel rangelt määratletud ajavahemike järel (praktikas esineb seda harva). Mõelge voogude eritüübile, selleks tutvustame mitmeid määratlusi. 1. Sündmuste kulgu nimetatakse statsionaarne , kui tõenäosus tabada ühte või teist arvu sündmusi ajalõigul sõltub ainult lõigu pikkusest ja ei sõltu sellest, kus täpselt ot-teljel see segment asub (homogeensus ajas) - sellise tõenäosuslikud omadused vool ei tohiks aja jooksul muutuda. Eelkõige on konstantne sündmuste voo nn intensiivsus (või tihedus) (keskmine sündmuste arv ajaühikus).

2. Sündmuste kulgu nimetatakse vool ilma tagajärgedeta, kui mittekattuvate ajavahemike puhul ei sõltu ühele neist langevate sündmuste arv sellest, kui palju sündmusi teisele langes (või teisi, kui arvestada rohkem kui kahte jaotist). Tagajärje puudumine voos tähendab, et voogu moodustavad sündmused ilmuvad üksteisest sõltumatult järjestikustel ajahetkedel.

3. Sündmuste kulgu nimetatakse tavaline , kui tõenäosus, et kaks või enam sündmust tabavad elementaarsegmenti, on tühiselt väike võrreldes ühe sündmuse tabamise tõenäosusega (sündmused voos tulevad üksikult, mitte paarikaupa, kolmikutena jne).

Kutsutakse sündmuste voogu, millel on kõik kolm omadust kõige lihtsam (või statsionaarne Poisson). Mittestatsionaarsel Poissoni voolul on ainult omadused 2 ja 3. Poissoni sündmuste voog (nii statsionaarne kui ka mittestatsionaarne) on tihedalt seotud teadaoleva Poissoni jaotusega. Nimelt jaotub mis tahes lõigule langevate voolusündmuste arv Poissoni seaduse järgi. Selgitame seda üksikasjalikumalt.

Mõelge teljel umbest, kus vaadeldakse sündmuste kulgu, mingit lõiku pikkusega t, alates hetkest t0 ja lõppeb hetkel t0 + t. Lihtne on tõestada (tõestus on antud kõigis tõenäosusteooria kursustes), et selle lõigu tabamise tõenäosust täpselt m on väljendatud valemiga:

(m=0,1…),

kus a on sündmuste keskmine arv segmendis t.

Statsionaarse (lihtsaima) Poissoni voolu jaoks a=lt st ei sõltu sellest, kus teljel asub ot ala t võetakse. Ebastabiilse Poissoni voolu korral kogus a väljendatakse valemiga

ja seepärast sõltub sellest, millisel hetkel t0 alajagu t.

Mõelge teljel ot lihtsaim konstantse intensiivsusega sündmuste voog l. Meid huvitab ajavahemik T selle voo sündmuste vahel. Olgu l voo intensiivsus (keskmine sündmuste arv 1 korra kohta). Jaotustihedus f(t) juhuslik muutuja T(ajavahemik voo külgnevate sündmuste vahel) f(t)= le- lt (t> 0) . Sellise tihedusega jaotusseadust nimetatakse eksponentsiaalseks (eksponentsiaalseks). Leiame juhusliku suuruse arvväärtused T: matemaatiline ootus (keskmine) ja dispersioon vasakule>

Ajavahemik T naabersündmuste vahel jaotatakse kõige lihtsamas voos eksponentsiaalseaduse järgi; selle keskmine väärtus ja standardhälve on , kus l on voolu intensiivsus. Sellise voolu korral väljendatakse täpselt ühe voolusündmuse toimumise tõenäosust elementaarajavahemikus ∆t kui . Nimetame seda tõenäosust "sündmuse toimumise tõenäosuse elemendiks".

Mittestatsionaarse Poissoni voolu korral ei ole intervalli T jaotusseadus enam eksponentsiaalne. Selle seaduse vorm sõltub esiteks sellest, kus teljel asub ot esimene sündmustest paikneb ja teiseks sõltuvuse tüübist. Kui aga see muutub suhteliselt aeglaselt ja selle muutus kahe sündmuse vahelise aja jooksul on väike, siis võib sündmustevahelise ajaintervalli jaotuse seadust pidada ligikaudu indikatiivseks, eeldades selles valemis väärtust, mis on võrdne piirkonna keskmise väärtusega. mis meid huvitab.

4.3.3. Poisson sündmus voolab ja

pidevad Markovi ketid

Mõelge mõnele füüsilisele süsteemile S=(S1,S2,…sn), mis läheb olekust olekusse mingite juhuslike sündmuste (kõned, tõrked, kaadrid) mõjul. Kujutagem seda ette nii, nagu oleksid sündmused, mis kannavad süsteemi olekust olekusse, mingid sündmuste vood.

Las süsteem S sellel ajal t on olekus Si ja saab sellest osariiki minna sj mõne Poissoni sündmuste voolu mõjul intensiivsusega lij: niipea, kui selle lõime esimene sündmus toimub, lülitub süsteem koheselt üle Si sisse sj..gif" width="582" height="290 src=">

4.3.4. Olekute tõenäosuse piiramine

Olgu füüsiline süsteem S=(S1,S2,…sn), milles toimub pideva ajaga Markovi stohhastiline protsess (pidev Markovi ahel). Teeskleme seda lij=konst, st kõik sündmuste vood on lihtsad (statsionaarne Poisson). Olles kirjutanud Kolmogorovi diferentsiaalvõrrandite süsteemi olekutõenäosuste jaoks ja integreerides need võrrandid etteantud algtingimustel, saame p1(t),p2(t),…pn(t), mis tahes t. Esitame järgmise küsimuse: mis juhtub süsteemiga S juures t® ¥. Kas funktsioone pi(t) püüdlema mingite piiride poole? Neid piire, kui need on olemas, nimetatakse olekute piiravateks tõenäosusteks. Võimalik on tõestada teoreem: kui olekute arv S on lõplik ja igast olekust (ühe või teise arvu sammude korral) on võimalik üksteisele üle minna, siis olekute piiravad tõenäosused on olemas ja ei sõltu süsteemi algseisund. Oletame, et esitatud tingimus on täidetud ja piirtõenäosused on olemas (i=1,2,…n), .

Seega, kl t® ¥ süsteemis S kehtestatakse teatud piirav statsionaarne režiim. Selle tõenäosuse tähendus on see, et see pole midagi muud kui keskmine suhteline aeg, mille süsteem antud olekus veedab. Arvutada pi olekute tõenäosusi kirjeldavas Kolmogorovi võrrandite süsteemis tuleb kõik vasakpoolsed küljed (tuletised) määrata võrdseks 0-ga. Saadud lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem tuleb lahendada koos võrrandiga .

4.3.5. Surma ja paljunemise skeem

Teame, et märgistatud olekugraafikuga saame hõlpsasti kirjutada Kolmogorovi võrrandid olekutõenäosuste jaoks, samuti kirjutada ja lahendada lõplike tõenäosuste algebralisi võrrandeid. Mõnel juhul on võimalik lahendada viimased võrrandid ette, sõnasõnalises vormis. Eelkõige saab seda teha siis, kui süsteemi olekugraafik on nn "surma ja taastootmise skeem".

https://pandia.ru/text/78/060/images/image044_6.gif" width="73" height="45 src="> (4.4)

Teisest, võttes arvesse (4.4), saame:

https://pandia.ru/text/78/060/images/image046_5.gif" width="116" height="45 src="> (4.6)

ja üldiselt iga k jaoks (1 kuni N):

https://pandia.ru/text/78/060/images/image048_4.gif" width="267" height="48 src=">

seega saame p0 avaldise.

(4. 8)

(tõstsime sulgu astmeni -1, et mitte kirjutada kahekorruselisi murde). Kõik muud tõenäosused on väljendatud p0-ga (vt valemeid (4.4) - (4.7)). Pange tähele, et koefitsiendid p0 igas neist pole midagi muud kui järjestikused liikmed valemis (4.8) pärast ühtsust. Seega, arvutades p0, oleme kõik need koefitsiendid juba leidnud.

Saadud valemid on väga kasulikud järjekorrateooria lihtsamate ülesannete lahendamisel.