Mudel on selline materiaalne või vaimselt kujutatud objekt, mis tunnetusprotsessis (uuringus) asendab algse objekti, säilitades selle mõned tüüpilised tunnused, mis on käesoleva uurimuse jaoks olulised.

Matemaatiline mudel on mudel, milles matemaatilisi sümboleid kasutatakse objekti omaduste ja tüüpiliste tunnuste kirjeldamiseks.

Ostes poest erinevaid tooteid, teeme automaatselt kõige lihtsama matemaatilise modelleerimise. Olles pähe õppinud iga toote hinna, liidame (või kassapidaja) kokku abstraktsed numbrid, maksame summa ja seejärel saame iga tšeki eest (number tšekil) konkreetse toote.

Sama lihtsamat matemaatilise modelleerimise skeemi kasutasime algebra käigus tekstülesannete lahendamisel korduvalt. Tõlksime praktilise ülesande matemaatilisse keelde, lahendasime matemaatilise ülesande ja seejärel tõlgendasime matemaatilise tulemuse.

Matemaatilise modelleerimise protsess on matemaatilise mudeli koostamise protsess. See koosneb järgmistest sammudest:

Praktilise ülesande tõlkimine matemaatilisse keelde: võrrandite, võrratuste, võrrandi- ja võrratussüsteemide jms koostamine.

Matemaatilise ülesande lahendamine: võrrandid, võrratused, süsteemid jne.

Matemaatilise tulemuse tõlgendamine: üleminek leitud arvudelt (võrrandi juurtelt, võrratuste lahenditelt) nende praktilisele tähendusele antud ülesandes.

Tulemuse kontrollimine praktikaga.

Me kõik kasutasime tekstialgebraliste ülesannete lahendamisel kolme esimest etappi. Ja kui me ei teinud vigu, mida kontrollitakse otse kontrollides või õpikus antud vastuste järgi, siis loetakse, et probleem on õigesti lahendatud. Praktiliste ülesannete lahendamisel sellist vastust ei ole. Kujutage ette, et lennuki projekteerimise keeruline probleem on lahendatud või sama raske majanduslik probleem. Sellistel juhtudel on vaja matemaatilisi järeldusi katsega kontrollida.

Lennuki konstruktsiooni teoreetiliste järelduste testimiseks ehitatakse selle mudel – ainus (ja mitte seeriaviisiline) pärislennuk – ning seda kontrollitakse esmalt tuuletunnelis katsetades. Seejärel viiakse katsed läbi pärislennul. Testi käigus tuvastatakse puudused, täpsustatakse probleemi tingimusi, täpsustatakse ja kontrollitakse selle lahendamise kõiki kolme etappi. Seejärel uuesti katse ja nii edasi, kuni saavutatakse harjutamiseks hea tulemus.

Seega ilmneb järgmine matemaatilise modelleerimise skeem:

Kaaluge näidet.

Ülesanne. Kaks kunstnikku ostsid sama koguse värvi. Esimene neist ostis pool kogu värvist rubla eest tuub, teine ​​pool aga rubla eest. Teise poole kogu ostu rahast kulutasin rublatorudele ja teise poole rahast rublatorudele. Kes neist maksis ostu eest vähem?

Lahendus. I. Tutvustame tähistust:

S on iga artisti ostetud torude arv;

x rubla - esimese kunstniku ostule kulutatud summa;

y rubla - teise kunstniku ostule kulutatud summa.

Probleemi tingimuse järgi on meil:

S/2 + S/2 = x, (1)

ja/2 + ja/2 =S, (2)

Seega peame välja selgitama, kumb arvudest, x või y, on teisest väiksem, kui positiivsed arvud x, y, S rahuldavad võrdusi (1), (2). See matemaatiline probleem on selle praktilise probleemi matemaatiline mudel.

Toome välja mõned simulatsioonimeetodiga lahendatud probleemid

Reklaami probleem. Meedia annab reklaame, et kiirendada mõne müügil oleva toote müüki. Hilisem tooteinfo jagatakse klientidele üksteisega suhtlemise teel. Millise seaduse alusel levitatakse teadet selle toote saadavuse kohta?

Lahendus. Olgu N selle toote potentsiaalsete ostjate arv ja x (t) ostjat teavad selle saadavusest müügil ajal t. Kuigi tegelikult on ostjate arv täisarv, võime abstraktse matemaatilise mudeli puhul eeldada, et funktsioon x (t) võib võtta kõik väärtused vahemikus 0 kuni N.

Statistika näitab, et suure kindlusastmega on funktsiooni x (t) muutumise kiirus otseselt võrdeline nii nende arvuga, kes tootest teavad, kui ka nende arvuga, kes seda ei tea. Kui nõustume, et aega loetakse pärast kuulutusi, mil N / inimest said tootest teada, siis jõuame diferentsiaalvõrrandini

x (t) = kx (t) (N x (t)) (3)

algtingimustega x = N / at t = 0. Võrrandis (3) on koefitsient k positiivne proportsionaalsustegur, mis määratakse eksperimentaalselt ja sõltub reklaami intensiivsusest ja kuulujuttude leviku kiirusest.

Integreerides võrrandi (1), leiame selle

1 / N ln (x / (N x)) = kt + С.

Seadistades NC = C1, jõuame võrdsuseni

x / (N x) = AeNk t, kus A = eC1.

Kui x jaoks on lahendatud viimane võrrand, saame seose

x (t) = N Ae Nkt / AeNkt + 1 = N / 1 + Pe Nkt , (4)

kus P = 1/A.

Kui nüüd algtingimusi arvesse võtta, siis võrrand (4) kirjutatakse ümber kujul

x (t) = N / (1 + (1) Nkt

Ülesanne (keemia ja tootmistehnoloogia). Läbi liitrise mahuga anuma, mis on täidetud mõne soola vesilahusega, voolab pidevalt vedelik ja ajaühikus voolab sisse b liitrit puhast vett ja sama palju lahust.

Leia seadus, mille järgi soolasisaldus anumas muutub olenevalt ajast, mil vedelik anumast läbi voolab.

Lahendus: antud ajahetkel t on anumas teatud arv x kg soola ja b liitrit kg.

Kui ajaühiku jooksul, alates hetkest t, jäi lahuse kontsentratsioon muutumatuks, s.o. nagu see oli ajal t, siis selle ajaühiku soola kogus anumas väheneks kg võrra; see on soola koguse vähenemise kiirus anumas hetkel t.

Teisest küljest on tuletis võrdne soola koguse suurenemise kiirusega ajahetkel t; seega on soola koguse vähenemise kiirus ajahetkel t võrdne. Nii et meil on:

Eraldame muutujad: , kust või võimendav,

(5), kus on suvaline konstant.

Oletame kindluse huvides, et t=0 korral oli soola kogus anumas võrdne c kg.

Eeldades, et valemis (5) t=0, leiame selle, mille lõpuks saame, s.t. soola kogus väheneb aja jooksul vastavalt "eksponentsiaalsele" seadusele.

Ülesanne (bioloogia, kasvuprotsessid). Õllepärmi kultuuris on aktiivse ensüümi kasvukiirus võrdeline selle praeguse kogusega x. Ensüümi esialgne kogus oli a. Tunniga kahekordistus. Mitu korda see 3 tunni pärast suureneb?

Tingimuse järgi protsessi diferentsiaalvõrrand,

kus k on proportsionaalsustegur.

Eraldades muutujad, saame: .

Sellest ka üldine lahendus.

Leiame algtingimusest c: at t=0, x=a. Seega või c = a.

Asendades üldlahenduse, saame ülesande konkreetse lahenduse: .

Proportsionaalsuskoefitsient määratakse nendest lisatingimustest: t=1 tund; x=2a.

Siit:, või. Asendades konkreetse lahenduse, saame vaadeldava protsessi seaduse: .

Kell t = 3 tundi, x = 8a. Seetõttu suureneb ensüümi kogus kolme tunni pärast 8 korda.

Vastus: kolme tunniga suureneb ensüümi kogus 8 korda.

Objekti arengu dünaamikat, selle elementide suhete ja erinevate olekute sisemist olemust on projekteerimisprotsessis võimalik jälgida ainult dünaamilise analoogia põhimõtet kasutavate mudelite abil, s.o matemaatilise abiga. mudelid.

Matemaatiline mudel on matemaatiliste seoste süsteem, mis kirjeldab uuritavat protsessi või nähtust. Matemaatilise mudeli koostamiseks võite kasutada mis tahes matemaatilisi tööriistu - hulgateooriat, matemaatilist loogikat, diferentsiaal- või integraalvõrrandite keelt. Matemaatilise mudeli koostamise protsessi nimetatakse matemaatiline modelleerimine. Nagu muud tüüpi mudelid, esitab matemaatiline mudel ülesande lihtsustatud kujul ja kirjeldab ainult neid omadusi ja mustreid, mis on antud objekti või protsessi jaoks kõige olulisemad. Matemaatiline mudel võimaldab mitmepoolset kvantitatiivset analüüsi. Lähteandmeid, kriteeriume, piiranguid muutes on iga kord võimalik saada antud tingimuste jaoks optimaalne lahendus ja määrata edasine otsingusuund.

Matemaatiliste mudelite loomine eeldab nende arendajatelt lisaks formaalsete loogiliste meetodite tundmisele ka uuritava objekti põhjalikku analüüsi, et sõnastada rangelt peamised ideed ja reeglid, samuti tuvastada piisav hulk usaldusväärseid fakte, statistilised ja normatiivsed andmed.

Tuleb märkida, et kõik praegu kasutatavad matemaatilised mudelid viitavad ettekirjutavad. Ettekirjutavate mudelite väljatöötamise eesmärk on näidata lahenduse otsimise suunda, samas kui eesmärk on arendada kirjeldades mudelid – inimese mõtlemise tegelike protsesside peegeldus.

Üsna laialt levinud on seisukoht, et matemaatika abil on võimalik saada uuritava objekti või protsessi kohta vaid mõningaid arvandmeid. «Muidugi on paljud matemaatilised erialad suunatud numbrilise lõpptulemuse saamisele. Kuid matemaatiliste meetodite taandamine ainult arvu saamise probleemiks tähendab matemaatika lõputut vaesumist, selle võimsa relva võimaluse vaesumist, mis on tänapäeval teadlaste käes ...

Konkreetses keeles kirjutatud matemaatiline mudel (näiteks diferentsiaalvõrrandid) peegeldab tegelike füüsikaliste protsesside teatud omadusi. Matemaatiliste mudelite analüüsi tulemusena saame ennekõike kvalitatiivsed ideed uuritavate protsesside tunnuste kohta, kehtestame mustrid, mis määravad järjestikuste olekute dünaamilise jada, saame võimaluse prognoosida protsessi kulgu ja määrata selle kvantitatiivsed omadused.

Matemaatilised mudelid on kasutusel paljudes tuntud modelleerimismeetodites. Nende hulgas on objektide staatilist ja dünaamilist olekut kirjeldavate mudelite väljatöötamine, optimeerimismudelid.

Objekti staatilist ja dünaamilist olekut kirjeldavate matemaatiliste mudelite näiteks võivad olla traditsiooniliste struktuuriarvutuste erinevad meetodid. Arvutusprotsess, mis esitatakse matemaatiliste toimingute jadana (algoritm), võimaldab öelda, et teatud kavandi arvutamiseks on koostatud matemaatiline mudel.

AT optimeerimine Mudelil on kolm elementi:

Sihtfunktsioon, mis kajastab aktsepteeritud kvaliteedikriteeriumi;

Reguleeritavad parameetrid;

Kehtestatud piirangud.

Kõiki neid elemente tuleb kirjeldada matemaatiliselt võrrandite, loogiliste tingimuste jne kujul. Optimeerimisülesande lahendus on protsess, mille käigus leitakse sihtfunktsiooni minimaalne (maksimaalne) väärtus, mis sõltub määratud piirangutest. Lahendustulemust peetakse optimaalseks, kui eesmärgifunktsioon saavutab oma äärmise väärtuse.

Optimeerimismudeli näiteks on "sideme pikkuse" kriteeriumi matemaatiline kirjeldus tööstushoonete projekteerimisvariandi meetodis.

Sihtfunktsioon peegeldab kõigi funktsionaalsete suhete kaalutud kogupikkust, mis peaks olema minimaalne:

kus on elemendiga ühenduse kaalu väärtus;

– elementide ja vahelise ühenduse pikkus;

on paigutatud elementide koguarv.

Kuna kõigis kujunduslahenduse variantides on ruumide paigutatud elementide pindalad võrdsed, siis erinevad variandid üksteisest vaid elementide erineva kauguse ja nende paiknemise poolest üksteise suhtes. Seetõttu on juhitavad parameetrid antud juhul korruseplaanidele paigutatud elementide koordinaadid.

Kehtestatud piirangud elementide asukohale (plaani eelnevalt fikseeritud kohas, välisperimeetril, üksteise kohal jne) ja linkide pikkusele (elementide ja elementide vaheliste linkide pikkused on jäigalt paika pandud, väärtuste miinimum- või maksimumpiirid on seatud, muutuse piirid on seatud väärtused) on kirja pandud formaalselt.

Variant loetakse optimaalseks (selle kriteeriumi järgi), kui selle variandi jaoks arvutatud eesmärgifunktsiooni väärtus on minimaalne.

Erinevad matemaatilised mudelid - majanduslik ja matemaatiline mudel- on majanduslike omaduste ja süsteemi parameetrite vahelise seose mudel.

Majanduslike ja matemaatiliste mudelite näide on kulukriteeriumide matemaatiline kirjeldus ülalnimetatud tööstushoonete variantprojekteerimise meetodis. Matemaatilise statistika meetodite kasutamise põhjal saadud matemaatilised mudelid kajastavad ühe- ja mitmekorruseliste tööstushoonete karkassi, vundamentide, pinnasetööde maksumuse ning nende kõrguse, ava ja kandekonstruktsioonide kalde sõltuvust.

Juhuslike tegurite mõju arvestamise meetodi järgi otsustamisel jagatakse matemaatilised mudelid deterministlikuks ja tõenäosuslikuks. deterministlik mudel ei võta arvesse juhuslike tegurite mõju süsteemi toimimise protsessis ja põhineb toimimismustrite analüütilisel esitusel. Tõenäosuslik (stohhastiline) mudel võtab arvesse juhuslike tegurite mõju süsteemi tööprotsessis ja põhineb statistilisel, s.o. massinähtuste kvantitatiivne hindamine, võimaldades arvestada nende mittelineaarsust, dünaamikat, erinevate jaotusseadustega kirjeldatud juhuslikke häireid.

Eeltoodud näidete abil saame öelda, et "ühenduste pikkuse" kriteeriumi kirjeldav matemaatiline mudel on deterministlik ja "kulude" kriteeriumirühma kirjeldavad matemaatilised mudelid on tõenäosusmudelid.

Keelelised, semantilised ja infomudelid

Matemaatilistel mudelitel on ilmsed eelised, kuna ülesande aspektide kvantitatiivne hindamine annab selge ettekujutuse eesmärkide prioriteetidest. Oluline on, et spetsialist saaks alati põhjendada otsuse vastuvõtmist vastavate arvandmete esitamisega. Projekteerimistegevuse täielik matemaatiline kirjeldamine on aga võimatu, seetõttu on enamik arhitektuurse ja ehitusliku projekteerimise algstaadiumis lahendatud ülesandeid seotud poolstruktureeritud.

Poolstruktureeritud ülesannete üheks tunnuseks on nendes kasutatavate kriteeriumide sõnaline kirjeldamine. Loomulikus keeles kirjeldatud kriteeriumide kasutuselevõtt (sellisi kriteeriume nimetatakse keeleline), võimaldab optimaalsete disainilahenduste leidmiseks kasutada vähem keerulisi meetodeid. Selliste kriteeriumide olemasolul teeb disainer otsuse tuttavate, vaieldamatute eesmärkide väljenduste põhjal.

Probleemi kõigi aspektide sisukas kirjeldus tutvustab ühelt poolt süstematiseerimist selle lahendamise protsessi ja teiselt poolt hõlbustab oluliselt spetsialistide tööd, kes ilma matemaatika vastavaid sektsioone uurimata saavad oma probleeme ratsionaalsemalt lahendada. professionaalsed probleemid. Joonisel fig. 5.2 on antud keeleline mudel, mis kirjeldab loodusliku ventilatsiooni tingimuste loomise võimalusi pagariäri planeerimislahenduste erinevates variantides.

Muud sisukate probleemide kirjelduste eelised hõlmavad järgmist:

Oskus kirjeldada kõiki kriteeriume, mis määravad kujunduslahenduse efektiivsuse. Samas on oluline, et kirjeldusse saaks sisse tuua keerukad mõisted ning koos kvantitatiivsete, mõõdetavate teguritega satuvad spetsialisti vaatevälja ka kvalitatiivsed, mittemõõdetavad koos kvantitatiivsete, mõõdetavate teguritega. Seega kasutatakse otsuse tegemise ajal kogu subjektiivset ja objektiivset teavet;

Riis. 5.2 Kriteeriumi "ventilatsioon" sisu kirjeldus keelelise mudeli kujul

Võimalus üheselt hinnata eesmärgi saavutamise taset selle tunnuse valikutes ekspertide poolt vastuvõetud sõnastuse põhjal, mis tagab saadud teabe usaldusväärsuse;

Võimalus võtta arvesse ebakindlust, mis on seotud mittetäielike teadmistega tehtud otsuste kõigi tagajärgede kohta, samuti prognoositava teabega.

Semantilised mudelid kuuluvad ka mudelite hulka, mis kasutavad uuritava objekti kirjeldamiseks loomulikku keelt.

Semantiline mudel- on olemas selline objekti esitus, mis peegeldab objekti erinevate komponentide, aspektide, omaduste omavahelise seotuse (läheduse) astet. Seotuse all mõeldakse mitte suhtelist ruumilist asukohta, vaid seost tähenduses.

Seega esitatakse semantilises mõttes loomuliku valgustuse koefitsiendi ja läbipaistvate tarade valgusala vahelist seost lähemalt kui aknaavade ja nendega külgneva seina pimedate osade vahelist seost.

Seotuse seoste kogum näitab, mida iga objektis eristatud element ja objekt tervikuna esindavad. Samas peegeldab semantiline mudel lisaks erinevate aspektide seostumisastmele objektis ka mõistete sisu. Loomulikus keeles väljendatud mõisted on elementaarsed mudelid.

Semantiliste mudelite koostamisel lähtutakse põhimõtetest, mille kohaselt mõisted ja seosed ei muutu kogu mudeli kasutusaja jooksul; ühe mõiste sisu ei lähe üle teise; seostel kahe mõiste vahel on nende suhtes võrdne ja mitteorienteeritud interaktsioon.

Iga mudeli analüüsi eesmärk on valida mudeli elemendid, millel on ühine kindel kvaliteet. See annab aluse koostada algoritm, mis arvestab ainult otseseid seoseid. Mudeli teisendamine suunamata graafikuks otsib kahe elemendi vahelist teed, mis jälgib liikumist ühest elemendist teise, kasutades iga elementi ainult üks kord. Elementide järjestust nimetatakse nende kahe elemendi jadaks. Jadad võivad olla erineva pikkusega. Lühimaid neist nimetatakse elementide suheteks. Kahe elemendi jada eksisteerib ka siis, kui nende vahel on otsene seos, kuid sel juhul seos puudub.

Semantilise mudeli näitena kirjeldame korteri planeeringut koos sidelinkidega. Kontseptsiooniks on korteri ruumid. Otseühendus tähendab kahe ruumi funktsionaalset ühendamist näiteks uksega (vt tabel 5.1).

Mudeli teisendamine suunamata graafiku kujule võimaldab saada elementide jada (joon. 5.3).

Elemendi 2 (vannituba) ja elemendi 6 (sahver) vahel moodustatud järjestuse näited on toodud tabelis. 5.2. Nagu tabelist näha, tähistab jada 3 nende kahe elemendi suhet.

Tabel 5.1

Korteri planeeringu kirjeldus

Riis. 5.3 Planeeringu otsuse kirjeldus suunamata graafiku kujul

Arvutid on kindlalt meie ellu sisenenud ja sellist inimtegevuse valdkonda, kus arvuteid ei kasutataks, praktiliselt pole. Arvuteid kasutatakse nüüd laialdaselt uute masinate, uute tehnoloogiliste protsesside loomisel ja uurimisel ning nende optimaalsete võimaluste otsimisel; majandusprobleemide lahendamisel, tootmise planeerimise ja juhtimise erinevatel tasanditel probleemide lahendamisel. Suurte objektide loomine raketitehnikas, lennukiehituses, laevaehituses, aga ka tammide, sildade jms projekteerimises on üldjuhul võimatu ilma arvutite kasutamiseta.

Arvuti kasutamiseks rakendusülesannete lahendamisel tuleb ennekõike rakendusülesanne "tõlkida" formaalsesse matemaatilisse keelde, s.t. reaalse objekti, protsessi või süsteemi puhul selle matemaatiline mudel.

Sõna "mudel" pärineb ladinakeelsest sõnast modus (koopia, kujutis, kontuur). Modelleerimine on mõne objekti A asendamine teise objektiga B. Asendatud objekti A nimetatakse originaaliks või modelleerivaks objektiks ja asendusobjekti B mudeliks. Teisisõnu, mudel on originaalobjekti asendusobjekt, mis võimaldab uurida originaali mõningaid omadusi.

Simulatsiooni eesmärk on üksteisega ja väliskeskkonnaga suhtlevate objektide kohta teabe vastuvõtmine, töötlemine, esitamine ja kasutamine; ja mudel toimib siin vahendina objekti omaduste ja käitumismustrite tundmiseks.

Modelleerimist kasutatakse laialdaselt erinevates inimtegevuse valdkondades, eriti disaini ja juhtimise valdkondades, kus saadud teabe põhjal tõhusate otsuste tegemise protsessid on erilised.

Mudel ehitatakse alati kindlat eesmärki silmas pidades, mis mõjutab seda, millised objektiivse nähtuse omadused on olulised ja millised mitte. Mudel on justkui objektiivse reaalsuse projektsioon teatud vaatenurgast. Mõnikord võite sõltuvalt eesmärkidest saada mitmeid objektiivse reaalsuse projektsioone, mis lähevad vastuollu. See on reeglina tüüpiline keerukate süsteemide jaoks, kus iga projektsioon eristab ebaoluliste hulgast konkreetse eesmärgi jaoks olulise.

Modelleerimise teooria on teadusharu, mis uurib viise, kuidas uurida originaalobjektide omadusi, lähtudes nende asendamisest teiste mudelobjektidega. Sarnasuse teooria on modelleerimise teooria aluseks. Modelleerimisel absoluutset sarnasust ei toimu ja püütakse vaid selle poole, et mudel peegeldaks piisavalt hästi objekti toimimise uuritavat poolt. Absoluutne sarnasus saab toimuda ainult siis, kui üks objekt asendatakse teise täpselt samasugusega.

Kõik mudelid võib jagada kahte klassi:

1. tõeline,
2. ideaalne.

Reaalsed mudelid võib omakorda jagada järgmisteks osadeks:

1. loomulik,
2. füüsiline,
3. matemaatilised.

Ideaalsed mudelid võib jagada:

1. visuaalne,
2. ikooniline,
3. matemaatilised.

Tõelised täismahus mudelid on reaalsed objektid, protsessid ja süsteemid, millel tehakse teaduslikke, tehnilisi ja tööstuslikke katseid.

Tõelised füüsilised mudelid- need on mudelid, mudelid, mis reprodutseerivad originaalide füüsilisi omadusi (kinemaatilised, dünaamilised, hüdraulilised, termilised, elektrilised, kerged mudelid).

Tõelised matemaatilised on analoog-, struktuur-, geomeetrilised, graafilised, digitaalsed ja küberneetilised mudelid.

Ideaalsed visuaalsed mudelid on diagrammid, kaardid, joonised, graafikud, graafikud, analoogid, struktuursed ja geomeetrilised mustrid.

Ideaalsed märgimudelid on sümbolid, tähestik, programmeerimiskeeled, järjestatud tähistus, topoloogiline tähistus, võrgu esitus.

Ideaalne matemaatilised mudelid- need on analüütilised, funktsionaalsed, simulatsiooni- ja kombineeritud mudelid.

Ülaltoodud klassifikatsioonis on mõnel mudelil kahekordne tõlgendus (näiteks analoog). Kõik mudelid, välja arvatud täismahus mudelid, saab ühendada ühte vaimsete mudelite klassi, kuna need on inimese abstraktse mõtlemise produkt.

Peatugem ühel universaalsemal modelleerimise tüübil - matemaatilisel, mis seob simuleeritud füüsikalise protsessi matemaatiliste seoste süsteemiga, mille lahendamine võimaldab saada vastuse küsimusele objekti käitumise kohta ilma mudelit loomata. füüsiline mudel, mis sageli osutub kalliks ja ebaefektiivseks.

Matemaatika modelleerimine on vahend reaalse objekti, protsessi või süsteemi uurimiseks nende asendamise teel matemaatiline mudel, mugavam eksperimentaalseks uurimistööks arvuti abil.

Matemaatiline mudel on reaalsete objektide, protsesside või süsteemide ligikaudne esitus, mis on väljendatud matemaatiliselt ja säilitades originaali olulised tunnused. Matemaatilised mudelid kvantitatiivsel kujul kirjeldavad nad loogiliste ja matemaatiliste konstruktsioonide abil objekti, protsessi või süsteemi põhiomadusi, selle parameetreid, sise- ja välissuhteid.

Mis on matemaatiline mudel?

Matemaatilise mudeli kontseptsioon.

Matemaatiline mudel on väga lihtne mõiste. Ja väga oluline. Just matemaatilised mudelid ühendavad matemaatikat tegeliku eluga.

Lihtsamalt öeldes matemaatiline mudel on mis tahes olukorra matemaatiline kirjeldus. Ja see ongi kõik. Mudel võib olla primitiivne, see võib olla ülikeeruline. Milline on olukord, milline on mudel.)

Igal (ma kordan - ükskõik millises!) äri, kus on vaja midagi arvutada ja arvutada - tegeleme matemaatilise modelleerimisega. Isegi kui me seda ei tea.)

P \u003d 2 CB + 3 CB

Sellest rekordist saab meie ostude kulude matemaatiline mudel. Mudel ei võta arvesse pakendi värvi, kõlblikkusaega, kassapidajate viisakust jms. Sellepärast ta mudel, pole päris ost. Kuid kulud, st. mida me vajame- me saame kindlasti teada. Kui mudel on muidugi õige.

Kasulik on ette kujutada, mis on matemaatiline mudel, kuid sellest ei piisa. Kõige tähtsam on osata neid mudeleid ehitada.

Ülesande matemaatilise mudeli koostamine (konstrueerimine).

Matemaatilise mudeli koostamine tähendab ülesande tingimuste tõlkimist matemaatilisse vormi. Need. muuta sõnad võrrandiks, valemiks, võrratuseks jne. Veelgi enam, keerake see nii, et see matemaatika vastaks rangelt algtekstile. Vastasel juhul saame mõne muu meile tundmatu probleemi matemaatilise mudeli.)

Täpsemalt vajate

Maailmas on lõputult palju ülesandeid. Seetõttu pakkuda selgeid samm-sammult juhiseid matemaatilise mudeli koostamiseks ükskõik millineülesanded on võimatud.

Kuid on kolm peamist punkti, millele peate tähelepanu pöörama.

1. Kummalisel kombel on igas ülesandes tekst.) Sellel tekstil reeglina on selgesõnaline, avatud teave. Numbrid, väärtused jne.

2. Igas ülesandes on varjatud teave. See on tekst, mis eeldab täiendavate teadmiste olemasolu peas. Ilma nendeta - mitte midagi. Lisaks on matemaatiline teave sageli peidetud lihtsate sõnade taha ja ... libiseb tähelepanust mööda.

3. Igas ülesandes tuleb anda side andmete vahel. Selle seose võib anda selges tekstis (miski võrdub millegagi) ​​või peita lihtsate sõnade taha. Kuid lihtsad ja selged faktid jäävad sageli tähelepanuta. Ja mudelit ei koostata kuidagi.

Pean kohe ütlema, et nende kolme punkti rakendamiseks tuleb probleemi mitu korda (ja hoolikalt!) läbi lugeda. Tavaline asi.

Ja nüüd - näited.

Alustame lihtsa probleemiga:

Petrovitš naasis kalapüügilt ja esitles uhkusega oma saaki perele. Lähemal uurimisel selgus, et 8 kala on pärit põhjamerest, 20% kõigist kaladest on pärit lõunamerest ja mitte ühtegi kohalikust jõest, kus Petrovitš püüdis. Kui palju kala ostis Petrovitš mereandide poest?

Kõik need sõnad tuleb muuta mingiks võrrandiks. Selleks kordan, luua matemaatiline seos kõigi ülesande andmete vahel.

Kust alustada? Esiteks eraldame ülesandest kõik andmed. Alustame järjekorras:

Keskendume esimesele punktile.

Mis siin on selgesõnaline matemaatilist teavet? 8 kala ja 20%. Mitte palju, aga me ei vaja palju.)

Pöörame tähelepanu teisele punktile.

Otsivad varjatud teavet. Ta on siin. Need on sõnad: "20% kõigist kaladest". Siin peate aru saama, mis on protsendid ja kuidas neid arvutatakse. Muidu ülesannet ei lahendata. See on täpselt see lisainfo, mis peaks peas olema.

Siin on ka matemaatilised teave, mis on täiesti nähtamatu. seda ülesande küsimus: "Mitu kala sa ostsid... See on ka number. Ja ilma selleta ei koostata ühtegi mudelit. Seetõttu tähistagem seda numbrit tähega "X". Me ei tea veel, millega x on võrdne, kuid selline tähistus on meile väga kasulik. Lisateavet selle kohta, mida x jaoks võtta ja kuidas sellega käsitleda, leiate õppetunnist Kuidas lahendada matemaatikaülesandeid? Paneme selle kohe kirja:

x tükki - kalade koguarv.

Meie probleemis on lõunakalad antud protsentides. Peame need tükkideks tõlkima. Milleks? Mis siis sees on ükskõik milline mudeli ülesanne peaks olema samades kogustes. Tükid – nii et kõik on tükkideks. Kui meile antakse, oletame, et tunnid ja minutid, tõlgime kõik üheks asjaks – kas ainult tunnid või minutid. Vahet pole mida. Oluline on kõik väärtused olid samad.

Tagasi avalikustamise juurde. Kes ei tea, mis protsent on, see ei paljasta kunagi, jah... Ja kes teab, see ütleb kohe, et siin on antud protsendid kalade koguarvust. Me ei tea seda numbrit. Sellest ei tule midagi välja!

Kalade koguarv (tükkides!) pole kirjaga asjata "X" määratud. Lõunakalu tükkideks lugeda ei lähe, aga kas me saame selle kirja panna? Nagu nii:

0,2 x tükki - lõunamere kalade arv.

Nüüd oleme kogu ülesande teabe alla laadinud. Nii selgesõnaline kui varjatud.

Pöörame tähelepanu kolmandale punktile.

Otsivad matemaatiline seosülesande andmete vahel. See seos on nii lihtne, et paljud ei pane seda tähele... Seda juhtub sageli. Siin on kasulik kogutud andmed lihtsalt hunnikusse kirja panna ja vaadata, mis on mis.

Mis meil on? Seal on 8 tükki põhja kala, 0,2x tükki- lõuna kala ja x kala- kokku. Kas neid andmeid on võimalik kuidagi omavahel siduda? Jah Lihtne! kalade koguarv võrdub lõuna ja põhja summa! Noh, kes oleks arvanud ...) Nii et paneme kirja:

x = 8 + 0,2x

See on võrrand meie probleemi matemaatiline mudel.

Pange tähele, et selles probleemis meil ei paluta midagi voltida! Just meie ise, peast välja, saime aru, et lõuna- ja põhjakalade summa annab meile koguarvu. Asi on nii ilmne, et libiseb tähelepanu alt mööda. Kuid ilma nende tõenditeta ei saa matemaatilist mudelit koostada. Nagu nii.

Nüüd saate selle võrrandi lahendamiseks rakendada kogu matemaatika jõudu). Selleks oli matemaatiline mudel loodud. Lahendame selle lineaarvõrrandi ja saame vastuse.

Vastus: x=10

Teeme teise probleemi matemaatilise mudeli:

Petrovitšilt küsiti: "Kui palju teil raha on?" Petrovitš nuttis ja vastas: "Jah, ainult natuke. Kui ma kulutan poole kogu rahast ja poole ülejäänud rahast, siis jääb mul ainult üks kott raha ..." Kui palju raha Petrovitšil on?

Jällegi töötame punkt-punkti haaval.

1. Otsime selgesõnalist teavet. Te ei leia seda kohe! Selgesõnaline teave on üks rahakott. On mõned teised pooled... Noh, me lahendame selle teises lõigus.

2. Otsime peidetud infot. Need on pooled. Mida? Ei ole väga selge. Otsin lisa. On veel üks probleem: "Kui palju Petrovitšil raha on?" Tähistame rahasummat tähega "X":

X- kogu raha

Ja lugege probleemi uuesti läbi. Teades juba, et Petrovitš X rahast. Siin töötavad pooled! Kirjutame üles:

0,5 x- pool kogu rahast.

Ülejäänud jääb samuti pooleks, s.o. 0,5 x. Ja poole poole võib kirjutada nii:

0,5 0,5 x = 0,25 x- pool ülejäänud osast.

Nüüd on kogu peidetud teave paljastatud ja salvestatud.

3. Otsime seost salvestatud andmete vahel. Siin saate lihtsalt lugeda Petrovitši kannatusi ja kirjutada need matemaatiliselt üles:

Kui kulutan pool kogu rahast...

Paneme selle protsessi kirja. Kogu raha - X. Pool - 0,5 x. Kulutada tähendab ära võtta. Fraas muutub:

x - 0,5 x

ja pool ülejäänud...

Lahutage ülejäänud pool veel:

x – 0,5 x – 0,25 x

siis jääb mulle ainult üks kott raha ...

Ja seal on võrdsus! Pärast kõiki lahutamisi jääb alles üks kott raha:

x – 0,5 x – 0,25 x \u003d 1

Siin see on, matemaatiline mudel! See on jällegi lineaarne võrrand, me lahendame, saame:

Küsimus kaalumiseks. Neli on mis? Rubla, dollar, jüaan? Ja millistes ühikutes on meil matemaatilises mudelis raha? kottides! Nii et neli kott Petrovitši raha. See pole ka halb.)

Ülesanded on muidugi elementaarsed. See on mõeldud just matemaatilise mudeli koostamise olemuse tabamiseks. Mõnes ülesandes võib olla palju rohkem andmeid, milles on kerge segadusse sattuda. Seda juhtub sageli nn. kompetentsi ülesanded. Näidetega on näidatud, kuidas sõnade ja numbrite hunnikust matemaatilist sisu välja tõmmata

Veel üks märkus. Klassikalistes kooliprobleemides (torud täidavad basseini, paadid sõidavad kuskil jne) valitakse kõik andmed reeglina väga hoolikalt. On kaks reeglit:
- probleemis on selle lahendamiseks piisavalt teavet,
- ülesandes pole lisainfot.

See on vihje. Kui matemaatilises mudelis on mõni kasutamata väärtus, siis mõelge, kas selles on viga. Kui andmeid pole mingil viisil piisavalt, siis tõenäoliselt pole kogu peidetud teave avaldatud ja salvestatud.

Pädevuses ja muudes eluülesannetes neid reegleid täpselt ei järgita. Mul pole vihjet. Kuid selliseid probleeme saab ka lahendada. Kui muidugi ei harjuta klassikat.)

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine – huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

1. loeng

MODELLEERIMISE METOODILISED ALUSED

Süsteemi modelleerimise probleemi hetkeseis

Modelleerimise ja simulatsiooni kontseptsioonid

Modelleerimine võib käsitleda uuritava objekti (originaali) asendusena tema tingliku kujutise, kirjelduse või muu objektiga, nn. mudel ning teatud eelduste ja vastuvõetavate vigade piires originaalile lähedase käitumise pakkumine. Tavaliselt tehakse modelleerimist eesmärgiga teada originaali omadusi, uurides selle mudelit, mitte objekti ennast. Muidugi on modelleerimine õigustatud juhul, kui see on lihtsam kui originaali enda loomine või kui viimast on mingil põhjusel parem üldse mitte luua.

Under mudel mõistetakse füüsilist või abstraktset objekti, mille omadused on teatud mõttes sarnased uuritava objekti omadustega.Sellisel juhul määrab mudelile esitatavad nõuded lahendatava probleemi ja olemasolevate vahenditega. Mudelite jaoks on mitmeid üldisi nõudeid:

2) täielikkus - adressaadile kogu vajaliku teabe edastamine

objekti kohta;

3) paindlikkus - oskus reprodutseerida kõiges erinevaid olukordi

muutuvate tingimuste ja parameetrite ulatus;

4) arenduse keerukus peaks olema olemasoleva jaoks vastuvõetav

aega ja tarkvara.

Modelleerimine on protsess, mille käigus luuakse objektist mudel ja uuritakse selle omadusi mudelit uurides.

Seega hõlmab modelleerimine kahte peamist etappi:

1) mudeli väljatöötamine;

2) mudeli uurimine ja järelduste tegemine.

Samal ajal lahendatakse igas etapis erinevaid ülesandeid ja

olemuselt erinevad meetodid ja vahendid.

Praktikas kasutatakse erinevaid modelleerimismeetodeid. Sõltuvalt teostusmeetodist võib kõik mudelid jagada kahte suurde klassi: füüsikalised ja matemaatilised.

Matemaatika modelleerimine Seda on tavaks pidada protsesside või nähtuste uurimise vahendiks nende matemaatiliste mudelite abil.

Under füüsiline modelleerimine all mõistetakse objektide ja nähtuste uurimist füüsikalistel mudelitel, kui uuritavat protsessi reprodutseeritakse selle füüsikalise olemuse säilitamisega või kasutatakse mõnda muud uuritavaga sarnast füüsikalist nähtust. Kus füüsilised mudelid Reeglina eeldavad nad originaali nende füüsikaliste omaduste tegelikku teostust, mis on konkreetses olukorras hädavajalikud.Näiteks uue lennuki projekteerimisel luuakse selle mudel, millel on samad aerodünaamilised omadused; hoone planeerimisel teevad arhitektid paigutuse, mis peegeldab selle elementide ruumilist paigutust. Sellega seoses nimetatakse ka füüsilist modelleerimist prototüüpimine.

HIL modelleerimine on simulatsioonikomplekside juhitavate süsteemide uurimus koos tegelike seadmete kaasamisega mudelisse. Kinnisesse mudelisse kuuluvad koos reaalsete seadmetega löögi- ja interferentsisimulaatorid, väliskeskkonna ja protsesside matemaatilisi mudeleid, mille kohta pole piisavalt täpset matemaatilist kirjeldust teada. Reaalsete seadmete või reaalsete süsteemide kaasamine keeruliste protsesside modelleerimise ahelasse võimaldab vähendada a priori ebakindlust ja uurida protsesse, mille jaoks puudub täpne matemaatiline kirjeldus. Poolloodusliku simulatsiooni abil tehakse uuringuid, võttes arvesse reaalsele seadmele omaseid väikeseid ajakonstante ja mittelineaarsust. Mudelite uurimisel reaalse varustuse kaasamisega kasutatakse kontseptsiooni dünaamiline simulatsioon, keeruliste süsteemide ja nähtuste uurimisel - evolutsiooniline, imitatsioon ja küberneetiline simulatsioon.

Ilmselgelt saab modelleerimisest tegelikku kasu saada ainult siis, kui on täidetud kaks tingimust:

1) mudel annab omaduste õige (adekvaatse) kuva

originaal, uuritava operatsiooni seisukohalt oluline;

2) mudel võimaldab kõrvaldada ülalloetletud probleemid, mis on omased

reaalsete objektide uurimise läbiviimine.

2. Matemaatilise modelleerimise põhimõisted

Praktiliste ülesannete lahendamine matemaatiliste meetoditega toimub järjepidevalt ülesande formuleerimise (matemaatilise mudeli väljatöötamine), saadud matemaatilise mudeli uurimise meetodi valimise ja saadud matemaatilise tulemuse analüüsimise teel. Ülesande matemaatiline sõnastus esitatakse tavaliselt geomeetriliste kujutiste, funktsioonide, võrrandisüsteemide jne kujul. Objekti (nähtuse) kirjeldust saab esitada pidevate või diskreetsete, deterministlike või stohhastiliste jm matemaatilisi vorme kasutades.

Matemaatilise modelleerimise teooria tagab seaduspärasuste tuvastamise ümbritseva maailma erinevate nähtuste kulgemises või süsteemide ja seadmete töös nende matemaatilise kirjeldamise ja modelleerimisega ilma välikatsetusteta. Sel juhul kasutatakse matemaatika sätteid ja seadusi, mis kirjeldavad simuleeritud nähtusi, süsteeme või seadmeid nende idealiseerimise teatud tasemel.

Matemaatiline mudel (MM) on süsteemi (või operatsiooni) formaliseeritud kirjeldus mõnes abstraktses keeles, näiteks matemaatiliste seoste komplekti või algoritmskeemi kujul, s.o. e) selline matemaatiline kirjeldus, mis imiteerib süsteemide või seadmete tööd nende tegelikule käitumisele piisavalt lähedasel tasemel, mis on saadud süsteemide või seadmete täismahuliste katsete käigus.

Iga MM kirjeldab reaalset objekti, nähtust või protsessi teatud määral reaalsusele lähendades. MM-i tüüp sõltub nii reaalobjekti olemusest kui ka uuringu eesmärkidest.

Matemaatika modelleerimine sotsiaalsed, majanduslikud, bioloogilised ja füüsikalised nähtused, objektid, süsteemid ja erinevad seadmed on üks olulisemaid vahendeid looduse mõistmiseks ning väga erinevate süsteemide ja seadmete kujundamiseks. On teada näiteid modelleerimise efektiivsest kasutamisest tuumatehnoloogiate, lennunduse ja kosmosesüsteemide loomisel, atmosfääri- ja ookeaninähtuste, ilmastiku jms prognoosimisel.

Sellised tõsised modelleerimise valdkonnad nõuavad aga sageli superarvuteid ja suurte teadlaste rühmade aastatepikkust tööd, et koostada andmed modelleerimiseks ja selle silumiseks. Sellegipoolest ei säästa keeruliste süsteemide ja seadmete matemaatiline modelleerimine ka sel juhul mitte ainult raha uurimisele ja katsetamisele, vaid võib ka välistada keskkonnakatastroofe – näiteks võimaldab see loobuda tuuma- ja termotuumarelvade katsetamisest. nende matemaatiline modelleerimine või kosmosesüsteemide testimine enne reaalseid lende. Samal ajal on matemaatiline modelleerimine lihtsamate ülesannete lahendamise tasemel, näiteks mehaanika, elektrotehnika, elektroonika, raadiotehnika ja paljude teiste teaduse ja tehnoloogia valdkondades. on nüüd saadaval kaasaegsetes arvutites. Ja üldistatud mudelite kasutamisel on võimalik modelleerida üsna keerukaid süsteeme, näiteks telekommunikatsioonisüsteeme ja -võrke, radari- või raadionavigatsioonisüsteeme.

Matemaatilise modelleerimise eesmärk on reaalsete protsesside (looduses või tehnoloogias) analüüs matemaatiliste meetoditega. See omakorda eeldab uuritava MM-protsessi formaliseerimist Mudeliks võib olla matemaatiline avaldis, mis sisaldab muutujaid, mille käitumine on sarnane reaalse süsteemi käitumisega Mudel võib sisaldada juhuslikkuse elemente, mis arvestavad kahe või enama "mängija" võimalikud toimingud, mängud; või see võib esindada operatsioonisüsteemi omavahel ühendatud osade tegelikke muutujaid.

Matemaatilise modelleerimise süsteemide omaduste uurimiseks võib jagada analüütiliseks, simulatsiooniks ja kombineeritud modelleerimiseks. MM jaguneb omakorda simulatsiooniks ja analüütiliseks.

Analüütiline modelleerimine

Sest analüütiline modelleerimine on iseloomulik, et süsteemi toimimise protsessid on kirja pandud mingite funktsionaalsete seoste kujul (algebralised, diferentsiaal-, integraalvõrrandid). Analüütilist mudelit saab uurida järgmiste meetoditega:

1) analüütilised, kui nad püüavad saavutada süsteemide omadustele üldiselt selgeid sõltuvusi;

2) numbriline, kui võrranditele ei ole võimalik lahendust leida üldkujul ja need lahendatakse konkreetsete lähteandmete puhul;

3) kvalitatiivne, kui lahenduse puudumisel leitakse mõned selle omadused.

Analüütilisi mudeleid saab hankida ainult suhteliselt lihtsate süsteemide jaoks. Keeruliste süsteemide puhul tekivad sageli suured matemaatilised probleemid. Analüütilise meetodi rakendamiseks on vaja algset mudelit oluliselt lihtsustada. Lihtsustatud mudeli põhjal tehtud uuring aitab aga saada vaid soovituslikke tulemusi. Analüütilised mudelid kajastavad matemaatiliselt õigesti sisend- ja väljundmuutujate ning parameetrite vahelisi seoseid. Kuid nende struktuur ei peegelda objekti sisemist struktuuri.

Analüütilises modelleerimises esitatakse selle tulemused analüütiliste avaldiste kujul. Näiteks ühendades RC- ahel konstantse pingeallikaga E(R, C ja E on selle mudeli komponendid), saame teha pinge ajasõltuvuse analüütilise avaldise u(t) kondensaatoril C:

See on lineaarne diferentsiaalvõrrand (DE) ja on selle lihtsa lineaarahela analüütiline mudel. Selle analüütiline lahendus algtingimustes u(0) = 0, mis tähendab tühjenenud kondensaatorit C simulatsiooni alguses võimaldab teil leida vajaliku sõltuvuse - valemi kujul:

u(t) = E(1− ntlk(- t/RC)). (2)

Kuid isegi selle kõige lihtsama näite puhul tuleb diferentsiaalvõrrandi (1) lahendamiseks või rakendamiseks teha teatavaid jõupingutusi. arvutimatemaatika süsteemid(SCM) sümboolsete arvutustega – arvutialgebrasüsteemid. Selle üsna triviaalse juhtumi jaoks on lineaarse modelleerimise ülesande lahendus RC-ahel annab üsna üldisel kujul analüütilise avaldise (2) - sobib kirjeldama ahela tööd mis tahes komponendi nimiväärtuste korral R, C ja E ja kirjeldab kondensaatori eksponentsiaalset laengut C läbi takisti R pideva pinge allikast E.

Kahtlemata osutub analüütiliste lahenduste leidmine analüütilises modelleerimises ülimalt väärtuslikuks lihtsate lineaarsete ahelate, süsteemide ja seadmete üldiste teoreetiliste seaduspärasuste paljastamisel, kuid selle keerukus suureneb järsult, kui mõju mudelile muutub keerukamaks ning järjekord ja arv. olekuvõrrandid, mis kirjeldavad modelleeritud objekti, suurenevad. Teist-kolmandat järku objekte modelleerides võib saada enam-vähem nähtavaid tulemusi, kuid ka kõrgema järgu puhul muutuvad analüütilised väljendid ülemäära tülikaks, keeruliseks ja raskesti mõistetavaks. Näiteks sisaldab isegi lihtne elektrooniline võimendi sageli kümneid komponente. Kuid paljud kaasaegsed SCM-id, näiteks sümboolse matemaatika süsteemid Maple, Mathematica või kolmapäeval MATLAB on võimelised suurel määral automatiseerima keeruliste analüütilise modelleerimise probleemide lahendamist.

Üks modelleerimise tüüp on numbriline simulatsioon, mis seisneb vajalike kvantitatiivsete andmete hankimises süsteemide või seadmete käitumise kohta mis tahes sobiva numbrilise meetodi, näiteks Euleri või Runge-Kutta meetodi abil. Praktikas on mittelineaarsete süsteemide ja seadmete modelleerimine numbriliste meetodite abil palju tõhusam kui üksikute privaatsete lineaarahelate, süsteemide või seadmete analüütiline modelleerimine. Näiteks DE (1) või DE süsteemide lahendamiseks keerulisematel juhtudel ei saada analüütilisel kujul lahendust, kuid numbrilised simulatsiooniandmed võivad anda piisavalt täielikke andmeid simuleeritud süsteemide ja seadmete käitumise kohta, samuti graafikuid. graafikud, mis kirjeldavad seda sõltuvuste käitumist.

Simulatsioon

Kell imitatsioon Modelleerimisel reprodutseerib mudelit realiseeriv algoritm süsteemi toimimise protsessi ajas. Imiteeritakse protsessi moodustavaid elementaarnähtusi, säilitades nende loogilise ülesehituse ja ajas kulgemise järjestuse.

Simulatsioonimudelite peamine eelis võrreldes analüütiliste mudelitega on võime lahendada keerukamaid probleeme.

Simulatsioonimudelite abil on lihtne arvesse võtta diskreetsete või pidevate elementide olemasolu, mittelineaarseid karakteristikuid, juhuslikke efekte jne. Seetõttu kasutatakse seda meetodit laialdaselt keerukate süsteemide projekteerimisetapis. Peamiseks vahendiks simulatsioonimodelleerimise rakendamisel on arvuti, mis võimaldab süsteeme ja signaale digitaalselt modelleerida.

Sellega seoses määratleme fraasi " arvuti modelleerimine”, mida kirjanduses üha enam kasutatakse. Me eeldame seda arvuti modelleerimine- see on matemaatiline modelleerimine arvutitehnoloogia abil. Seega hõlmab arvutisimulatsiooni tehnoloogia järgmisi toiminguid:

1) modelleerimise eesmärgi määratlemine;

2) kontseptuaalse mudeli väljatöötamine;

3) mudeli vormistamine;

4) mudeli tarkvaraline juurutamine;

5) mudelkatsete planeerimine;

6) katseplaani elluviimine;

7) simulatsioonitulemuste analüüs ja tõlgendamine.

Kell simulatsiooni modelleerimine kasutatav MM reprodutseerib õigeaegselt uuritava süsteemi toimimise algoritmi (“loogikat”) süsteemi ja keskkonna parameetrite erinevate väärtuste kombinatsioonide jaoks.

Lihtsaima analüütilise mudeli näide on ühtlase sirgjoonelise liikumise võrrand. Sellist protsessi simulatsioonimudeli abil uurides tuleks realiseerida läbitud tee muutuse jälgimine ajas Ilmselgelt on mõnel juhul eelistatum analüütiline modelleerimine, mõnel juhul - simulatsioon (või nende kombinatsioon). Hea valiku tegemiseks tuleb vastata kahele küsimusele.

Mis on modelleerimise eesmärk?

Millisesse klassi saab simuleeritud nähtuse omistada?

Mõlemale küsimusele saab vastused modelleerimise kahe esimese etapi läbiviimisel.

Simulatsioonimudelid mitte ainult omadustelt, vaid ka struktuurilt vastavad modelleeritavale objektile. Sel juhul on mudelil saadud protsesside ja objektil toimuvate protsesside vahel ühemõtteline ja selge vastavus. Simulatsioonimodelleerimise puuduseks on see, et hea täpsuse saavutamiseks kulub ülesande lahendamine kaua aega.

Stohhastilise süsteemi töö simulatsioonimodelleerimise tulemused on juhuslike suuruste ehk protsesside realisatsioonid. Seetõttu on süsteemi omaduste leidmiseks vajalik mitmekordne kordamine ja sellele järgnev andmetöötlus. Kõige sagedamini kasutatakse sel juhul simulatsiooni tüüpi - statistiline

modelleerimine(või Monte Carlo meetod), st. reprodutseerimine juhuslike tegurite, sündmuste, suuruste, protsesside, väljade mudelites.

Statistilise modelleerimise tulemuste põhjal määratakse kontrollitava süsteemi toimimist ja efektiivsust iseloomustavate üldiste ja spetsiifiliste tõenäosuslike kvaliteedikriteeriumide hinnangud. Statistilist modelleerimist kasutatakse laialdaselt teaduslike ja rakenduslike probleemide lahendamiseks erinevates teaduse ja tehnoloogia valdkondades. Statistilise modelleerimise meetodeid kasutatakse laialdaselt keerukate dünaamiliste süsteemide uurimisel, nende toimimise ja efektiivsuse hindamisel.

Statistilise modelleerimise viimane etapp põhineb saadud tulemuste matemaatilisel töötlemisel. Siin kasutatakse matemaatilise statistika meetodeid (parameetriline ja mitteparameetriline hinnang, hüpoteeside testimine). Parameetrilise hindamise näiteks on tulemuslikkuse mõõdiku valimi keskmine. Mitteparameetriliste meetodite hulgas on kõige laialdasemalt kasutatav histogrammi meetod.

Vaadeldav skeem põhineb süsteemi mitmel statistilisel testimisel ja sõltumatute juhuslike suuruste statistika meetoditel, mis ei ole praktikas kaugeltki mitte alati loomulik ja kulude osas optimaalne. Süsteemi testimise aega saab vähendada täpsemate hindamismeetodite kasutamisega. Nagu matemaatilisest statistikast on teada, on efektiivsetel hinnangutel antud valimi suuruse puhul suurim täpsus. Optimaalne filtreerimine ja maksimaalse tõenäosuse meetod annavad üldmeetodi selliste hinnangute saamiseks Statistilise modelleerimise ülesannetes on juhuslike protsesside realisatsioonide töötlemine vajalik mitte ainult väljundprotsesside analüüsiks.

Samuti on väga oluline kontrollida sisend juhuslike efektide omadusi. Juhtimine seisneb kontrollimises, kas genereeritud protsesside jaotused vastavad etteantud jaotustele. See ülesanne on sageli sõnastatud järgmiselt hüpoteesi kontrollimise ülesanne.

Üldine trend keerukate juhitavate süsteemide arvutipõhises simulatsioonis on soov vähendada simulatsiooniaega, samuti viia läbi reaalajas uuringuid. Arvutusalgoritmid on mugavalt esitatud korduval kujul, mis võimaldab neid realiseerida jooksva teabe tempos.

SÜSTEEMLÄHENEMISE PÕHIMÕTTED MODELLEERIMISEL

Süsteemiteooria alused

Süsteemiteooria põhisätted tekkisid dünaamiliste süsteemide ja nende funktsionaalsete elementide uurimise käigus. Süsteemi mõistetakse omavahel seotud elementide rühmana, mis toimivad koos ettemääratud ülesande täitmiseks. Süsteemianalüüs võimaldab määrata kõige realistlikumad viisid ülesande täitmiseks, tagades nõuete maksimaalse rahuldamise.

Süsteemiteooria aluseks olevaid elemente ei looda hüpoteeside abil, vaid avastatakse eksperimentaalselt. Süsteemi ülesehitamise alustamiseks on vaja tehnoloogiliste protsesside üldisi omadusi. Sama kehtib ka matemaatiliselt sõnastatud kriteeriumide loomise põhimõtete kohta, millele protsess või selle teoreetiline kirjeldus peab vastama. Modelleerimine on üks olulisemaid teadusliku uurimise ja katsetamise meetodeid.

Objektide mudelite ehitamisel kasutatakse süstemaatilist lähenemist, mis on keerukate probleemide lahendamise metoodika, mis põhineb objekti käsitlemisel teatud keskkonnas toimiva süsteemina. Süsteemne lähenemine hõlmab objekti terviklikkuse avalikustamist, selle sisemise struktuuri tuvastamist ja uurimist, samuti seoseid väliskeskkonnaga. Sel juhul esitletakse objekti osana reaalsest maailmast, mida tuvastatakse ja uuritakse seoses lahendatava mudeli ehitamise probleemiga. Lisaks hõlmab süstemaatiline lähenemine järjepidevat üleminekut üldiselt konkreetsele, kui kaalumisel lähtutakse disainieesmärgist ja objekti vaadeldakse seoses keskkonnaga.

Kompleksse objekti saab jagada alamsüsteemideks, mis on objekti osad, mis vastavad järgmistele nõuetele:

1) allsüsteem on objekti funktsionaalselt iseseisev osa. See on seotud teiste alamsüsteemidega, vahetab nendega teavet ja energiat;

2) iga alamsüsteemi jaoks saab määratleda funktsioone või omadusi, mis ei lange kokku kogu süsteemi omadustega;

3) iga alamsüsteemi saab edasi jagada elementide tasemele.

Sel juhul mõistetakse elemendi all madalama tasandi alamsüsteemi, mille edasine jaotamine on lahendatava probleemi seisukohalt ebaotstarbekas.

Seega võib süsteemi määratleda kui objekti esitust alamsüsteemide, elementide ja suhete kogumi kujul selle loomise, uurimise või täiustamise eesmärgil. Samal ajal nimetatakse süsteemi suurendatud esitust, mis sisaldab peamisi alamsüsteeme ja nendevahelisi seoseid, makrostruktuuriks ning süsteemi sisestruktuuri üksikasjalikku avalikustamist elementide tasemele nimetatakse mikrostruktuuriks.

Koos süsteemiga on tavaliselt ka supersüsteem - kõrgema taseme süsteem, mis hõlmab vaadeldavat objekti ja mis tahes süsteemi funktsiooni saab määrata ainult supersüsteemi kaudu.

Eraldi on vaja välja tuua keskkonna mõiste kui välismaailma objektide kogum, mis oluliselt mõjutavad süsteemi efektiivsust, kuid ei ole osa süsteemist ja selle supersüsteemist.

Seoses süstemaatilise lähenemisega mudelite ehitamisele kasutatakse taristu mõistet, mis kirjeldab süsteemi suhet selle keskkonnaga (keskkonnaga), sel juhul objekti oluliste omaduste valik, kirjeldamine ja uurimine. konkreetse ülesande raames nimetatakse objekti kihistumist ja iga objekti mudelit on selle stratifitseeritud kirjeldus.

Süstemaatilise lähenemise jaoks on oluline kindlaks määrata süsteemi struktuur, s.o. seoste kogum süsteemi elementide vahel, mis peegeldab nende koostoimet. Selleks kaalume esmalt modelleerimise struktuurseid ja funktsionaalseid lähenemisviise.

Struktuurse lähenemisega selgub süsteemi valitud elementide koostis ja nendevahelised seosed. Elementide ja suhete kogum võimaldab hinnata süsteemi struktuuri. Struktuuri kõige üldisem kirjeldus on topoloogiline kirjeldus. See võimaldab graafikute abil määratleda süsteemi komponendid ja nende seosed. Vähem üldine on funktsionaalne kirjeldus, kui vaadeldakse üksikuid funktsioone, st süsteemi käitumise algoritme. Samal ajal rakendatakse funktsionaalset lähenemist, mis määrab funktsioonid, mida süsteem täidab.

Süstemaatilise lähenemise alusel saab välja pakkuda mudeli väljatöötamise jada, kus eristatakse kahte peamist projekteerimisetappi: makrodisain ja mikrodisain.

Makrodisaini etapis ehitatakse üles väliskeskkonna mudel, tuvastatakse ressursid ja piirangud, valitakse süsteemimudel ja kriteeriumid adekvaatsuse hindamiseks.

Mikrodisaini etapp sõltub suuresti valitud mudeli tüübist. Üldjuhul hõlmab see modelleerimissüsteemi teabe, matemaatilise, tehnilise ja tarkvaralise toe loomist. Selles etapis määratakse kindlaks loodud mudeli peamised tehnilised omadused, hinnatakse sellega töötamise aega ja ressursside maksumust mudeli kindlaksmääratud kvaliteedi saavutamiseks.

Sõltumata mudeli tüübist tuleb selle ehitamisel juhinduda mitmest süstemaatilise lähenemisviisi põhimõttest:

1) järjepidev edasiminek läbi mudeli loomise etappide;

2) teabe, ressursi, usaldusväärsuse ja muude tunnuste koordineerimine;

3) mudeliehituse erinevate tasemete õige vahekord;

4) mudeli kavandamise üksikute etappide terviklikkus.