Murdude ajalugu. Autorid: 5. klassi õpilased A. Tkatšov, M. Volkov, V. Matvejeva, S. Veršinin Probleemküsimus: Kuidas tekkisid murded? Uurimuse eesmärgid: Teha kokkuvõte ajaloolisest materjalist, millal ja kus murdusid esmakordselt mainiti. Määrake sõna "fraktsioon" päritolu. Koostage loend murdude salvestamise viisidest erinevatel ajastutel ja eri rahvaste seas. Korja üles vanad ülesanded lahendustega ja süstematiseeri need vastavalt aritmeetiliste tehtetele. Alates iidsetest aegadest tuli inimestel mitte ainult esemeid lugeda, vaid ka mõõta pikkust, aega, pindala ja maksta ostetud või müüdud kauba eest. Mõõtmistulemust või kauba maksumust ei olnud alati võimalik naturaalarvudes väljendada. Oli vaja arvestada osadega, mõõtu proportsioonidega. Nii sündisid murded. Vene keeles ilmus sõna "fraktsioon" alles VIII sajandil. Sõna "fraktsioon" tuleb sõnast "purustama, purustama, purustama tükkideks". Teiste rahvaste seas on murdosa nimetus seotud ka tegusõnadega "murdma", "murdma", "killustada". Esimestes õpikutes nimetati murde "katkenenud arvudeks". Vanadest ülestähendustest leiti järgmised murdnimetused: 1 2 1 4 1 3 1 8 1 6 Pool, pool veerand Kolmandik Pool kolmandik Pool kolmandik Esimene murru mõiste tekkis Vana-Egiptuses palju sajandeid tagasi. Esimene murdosa, millega inimesed kohtusid, oli pool. Järgmine murdosa oli kolmandik. Need on üksikmurrud. (½, ¼) Huvitav murdude süsteem oli Vana-Roomas. Roomlaste seas oli eesel nii massi mõõtmise kui ka rahaühikuna. Asse jagati 12 võrdseks untsiosaks. Näiteks võis roomlane öelda, et ta on kõndinud seitse untsi. See tähendas, et 7/12 teest oli läbitud. 1/288 assa - "scrupulus", "semis" half assa "sextans" - selle kuues osa, "semi unts" - pool untsi, st 1/24 assa, triens (1/3 assa), deemon (2/3 asse).Kreeka matemaatikaalastes kirjutistes murde ei leitud.Kreeka teadlased uskusid, et matemaatika peaks tegelema ainult täisarvudega. Murdudega tegelema jätsid nad kaupmehed ja käsitöölised. Suhtarvude ja murdude õpetust kasutati Kreeka muusikateoorias. Aastal Vana-Hiina kasutas joone asemel punkti: 1 3 1 3 Murdude tähistus, kasutades lugejat ja nimetajat, ilmus Vana-Kreeka , ainult kreeklased kirjutasid nimetaja ülalt ja lugeja alt. Murrud meile tuttaval kujul registreerisid hindud esmakordselt umbes 1500 aastat tagasi, kuid nad ei kasutanud lugeja ja nimetaja vahelist joont. Murru tunnus võeti üldkasutatavaks alles 16. sajandil. Ja araablased hakkasid kirjutama murde täpselt nii nagu praegu. Esimene Euroopa teadlane, kes hakkas kasutama ja levitama kaasaegset murdarvude arvestust, oli Itaalia kaupmees ja rändur, linnaametniku Fibonacci (Pisa Leonardo) poeg. Aastal 1202 ta võttis kasutusele sõna "murd". Algul murdjoont murdude märkimisel ei kasutatud. See ilmus murdarvude salvestamisel alles umbes 300 aastat tagasi. Araabia teadlane Al-Khalar oli esimene, kes kasutas murdjoont. Kuid nimetuse "lugeja" ja "nimetaja" võttis kasutusele kreeka munk, matemaatik Maxim Planud. Murdude kaasaegne tähistus: kaldkriipsu nimetatakse "solidus" ja horisontaalset - "vinculum" (inglise) Pikka aega peeti murde matemaatika kõige keerulisemaks osaks. Sakslastel oli isegi ütlus "fraktsioonidesse sattuma", mis tähendab sattuda raskesse olukorda. Vana probleem L. F. Magnitski “Aritmeetikast”: “Keegi küsis õpetajalt: Mitu õpilast teil klassis on, kuna ma tahan anda teile oma poja õpetama? Õpetaja vastas: “Kui tuleb sama palju õpilasi kui mul ja poole vähem ja neljas osa ja sinu poeg, siis on mul 100 õpilast. Mitu õpilast on õpetajal? India vanateadlased esitasid ülesanded salmis: On kadambalill, Viiendik mesilastest vajus alla Lähedal kasvas kohe Kõik õitses Simengda Ja sellele mahtus kolmas osa. Leiad nende erinevuse, voldi kolm korda kokku ja istuta need mesilased Kutaile. Ainult üks ei leidnud endale kuskil kohta Kõik lendas edasi-tagasi ja igal pool Nautis lillelõhna Räägi nüüd Oled oma mõtetes välja arvutanud Mitu mesilast on siia kogunenud? Antiikprobleem: Polykrates küsis kord ühel peol Pythagoraselt, mitu õpilast tal on. "Ma ütlen teile hea meelega, O Polycrates," vastas Pythagoras. Pooled minu õpilastest õpivad suurepärast matemaatikat. Veerand uurib igavese looduse saladusi. Seitsmes osa harjutab vaikselt vaimujõudu, hoides õpetust südames. Lisage neile kolm noormeest, kellest Theon ületab oma võimete poolest ülejäänud. Nii palju jüngreid juhatan igavese tõe sünnini! Mitu õpilast Pythagorasel oli? Muusade probleem. Nähes, et Eros nutab, küsib Cyprida temalt: "Mis sind nii häiris, vasta kohe!" "Ma kandsin Helikonist palju õunu," vastab Eros, "Muusad, ükskõik kuidas, ründasid magusat koormat. Kaheteistkümnenda osa sai hetkega enda valdusesse Euterpe, viienda osa Clio, kaheksanda osa Thalia. Melpomene lahkus osaga kahekümnendast. Veerand võttis Terpsichore. Seitsmenda osaga jooksis Erato minu eest ära, Kolmkümmend vilja vedas Polyhymnia minema. Urathia viis sada kakskümmend, Calliope viis ära kolmsada vilja. Naasen koju peaaegu tühjade kätega. Vaid viiskümmend puuvilja jätsid muusad mulle jagada. Mitu õuna kandis Eros enne muusadega kohtumist? Järeldused: Vana-Egiptuses ilmusid fraktsioonid täpsemaks loendamiseks. Sõna "fraktsioon" vene ja teistes keeltes pärineb sõnast "purustama", "murdma", "murdma tükkideks". Murdvarras (kaldus või horisontaalne) ilmus alles 300 aastat tagasi. Igas kultuuris on huvitavaid ülesandeid kõikideks aritmeetilisteks tehteteks murdudega. Paljud on kirjutatud värsivormis. Murrud olid praktiliste probleemide lahendamisel olulised kõigis riikides.

Murdude süsteem Vana-Egiptuses Murrud ilmusid iidsetel aegadel. Saagi jagamisel, koguste mõõtmisel ja muudel sarnastel juhtudel tekkis inimestel vajadus murdude sisseviimiseks. Juba muistsed egiptlased teadsid, kuidas jagada 2 objekti kolmeks, selle arvu -2/3- jaoks oli neil spetsiaalne ikoon. Muide, see oli Egiptuse kirjatundjate igapäevaelus ainuke murd, millel polnud lugejas ühikut – kindlasti oli kõigil teistel murdudel lugejas ühik (nn põhimurrud): 1/2; 1/3; 1/28;.... Kui egiptlasel oli vaja kasutada muid murde, esitas ta need põhimurdude summana. Näiteks 8/15 asemel kirjutasid nad 1/3+1/5.

Murdude süsteem Vana-Babülonis Muistses Babülonis eelistasid nad konstantset nimetajat, mis võrdub 60-ga. Kreeka ja Araabia matemaatikud ja astronoomid kasutasid Babülonist päritud seksagesimaalseid murde. Kuid selle kallal töötamine oli ebamugav naturaalarvud, kirjutatud kümnendsüsteemis, ja murdarvud, kirjutatud kuuekümnendsüsteemis. Ja tavaliste murdudega oli juba üsna raske töötada. Seetõttu soovitas Hollandi matemaatik Simon Stevin liikuda kümnendmurdudele.

Fraktsioonisüsteem sisse Vana-Rooma See põhines kaaluühiku jagamisel 12 osaks, mida kutsuti perse. Ässa kaheteistkümnendikku nimetati untsiks. Ja viisi, aega ja muid koguseid võrreldi visuaalse asjaga - kaaluga. Näiteks võis roomlane öelda, et kõndis seitse untsi teed või luges viis untsi raamatut. Samas polnud see muidugi ka raja või raamatu kaalumises. See tähendas, et läbiti 7/12 teest või loeti 5/12 raamatust. Ja murdude jaoks, mis saadi murdude taandamisel nimetajaga 12 või jagades kaheteistkümnendikud väiksemateks, olid spetsiaalsed nimetused.

Ristsõna horisontaalselt: 1. Jagage lugeja ja nimetaja sama arvuga. 2. Kahe arvu jagatis. 3. Murd, milles lugeja ja nimetaja on vastastikku algarvud. 4. Kui palju on murdosa 24/36 vähendatud? 5. Arvu sajas. Vertikaalne: 6. Murru nimi, mille lugeja on nimetajast suurem või sellega võrdne. 7. Kas ühise nimetaja leidmiseks tuleb leida GCD või LCM? 8. Tegevus. Mille abil on arvust murd.9. Kas murdosa vähendamiseks peate leidma GCD või LCM?

Selle saidi materjalide kasutamisel - ja bänneri paigutamine on KOHUSTUSLIK!!!

Materjalid saatis: Uspenski Igor

Esinemisloost harilikud murrud.

Fraktsioonid ilmusid iidsetel aegadel. Saagi jagamisel, koguste mõõtmisel ja muudel sarnastel juhtudel tekkis inimestel vajadus murdude sisseviimiseks.

Juba muistsed egiptlased teadsid, kuidas jagada 2 objekti kolmeks, selle arvu -2/3- jaoks oli neil spetsiaalne ikoon. Muide, see oli Egiptuse kirjatundjate igapäevaelus ainuke murd, millel polnud lugejas ühikut – kindlasti oli kõigil teistel murdudel lugejas ühik (nn põhimurrud): 1/2; 1/3; 1/28; ... . Kui egiptlasel oli vaja kasutada muid murde, esitas ta need põhimurdude summana. Näiteks 8/15 asemel kirjutasid nad 1/3+1/5. Mõnikord oli see mugav. Ahmese papüüruses on ülesanne:

"Et jagada 7 leiba 8 inimese vahel." Kui lõikate iga leiva 8 tükiks, peate tegema 49 lõiget.

Ja egiptuse keeles lahendati see probleem järgmiselt: Murd 7/8 kirjutati aktsiateks: 1/2+1/4+1/8. See tähendab, et igale inimesele tuleb anda pool pätsi, veerand pätsi ja kaheksandik pätsi; seepärast lõigati neli pätsi pooleks, kaks pätsi neljaks tükiks ja üks päts 8 tükiks, mille järel anti igaühele sellest osa.

Kuid selliste murdude lisamine oli ebamugav. Mõlemasse terminisse võivad ju samad osad siseneda ja siis lisamisel tekib murdosa kujult 2/n. Ja egiptlased ei lubanud selliseid murde. Seetõttu algab Ahmese papüürus tabeliga, milles kõik seda tüüpi murrud 2/5 kuni 2/99 on kirjutatud aktsiate summana.

Egiptlased oskasid ka murde korrutada ja jagada. Kuid korrutamiseks tuli korrutada murrud murdosadega ja siis võib-olla uuesti tabelit kasutada. Jagamine oli veelgi raskem.

Vana-Babülonis eelistati vastupidist – konstantset nimetajat, mis võrdub 60-ga. Kreeka ja Araabia matemaatikud ja astronoomid kasutasid Babülonist päritud seksagesimaalseid murde. Kuid oli ebamugav töötada kümnendsüsteemis kirjutatud naturaalarvude ja kuuekümnendsüsteemis kirjutatud murdude kallal. Ja tavaliste murdudega oli juba üsna raske töötada. Seetõttu soovitas Hollandi matemaatik Simon Stevin liikuda kümnendmurdudele.

Huvitav murdude süsteem oli Vana-Roomas. See põhines kaaluühiku jagamisel 12 osaks, mida kutsuti perse. Ässa kaheteistkümnendikku nimetati untsiks. Ja viisi, aega ja muid koguseid võrreldi visuaalse asjaga - kaaluga. Näiteks võis roomlane öelda, et kõndis seitse untsi teed või luges viis untsi raamatut. Samas polnud see muidugi ka raja või raamatu kaalumises. See tähendas, et läbiti 7/12 teest või loeti 5/12 raamatust. Ja murdude jaoks, mis saadi murdude taandamisel nimetajaga 12 või jagades kaheteistkümnendikud väiksemateks, olid spetsiaalsed nimetused.

Isegi praegu öeldakse mõnikord: "Ta uuris seda küsimust põhjalikult." See tähendab, et teemaga on lõpuni uuritud, et vähimatki ebaselgust pole jäänud. Kusjuures kummaline sõna "skrupuluslikult" pärineb roomakeelsest nimest 1/288 assa – "skrupulus". Kasutusel olid ka sellised nimed: "semis" - pool perset, "sextans" - selle kuues osa, "seven unts" - pool unts, s.o. 1/24 perse jne. Kokku kasutati 18 erinevat murdnimetust. Murdudega töötamiseks oli vaja meeles pidada nende murdude liitmistabelit ja korrutustabelit. Seetõttu teadsid Rooma kaupmehed kindlalt, et trieeni (1/3 perse) ja sekstanide liitmisel saadakse semis ja deemoni (2/3 perse) korrutamisel sescutsiooniga (2/3 untsi, st 1/ 8 perse), saadakse unts . Töö hõlbustamiseks koostati spetsiaalsed tabelid, millest osa on jõudnud meieni.

Kaasaegne lugeja ja nimetajaga murdude kirjutamise süsteem loodi Indias. Ainult sinna kirjutasid nad nimetaja ülalt ja lugeja altpoolt ega kirjutanud murdrida. Ja araablased hakkasid kirjutama murde täpselt nii nagu praegu.

«Muistidele on iseloomulik Päikese ja silma kujundi põimumine. Egiptuse mütoloogias mainitakse sageli jumal Horust, kes kehastab tiivulist päikest ja on üks levinumaid püha sümboleid. Võitluses Päikese vaenlastega, keda kehastab Set, saab Horus esmalt lüüa. Seth rebib välja Silma – imelise silma – ja rebib selle tükkideks. Thoth – õppimise, mõistuse ja õigluse jumal – voltis jällegi silma osad üheks, luues "Horuse terve silma". Lõhenenud silma osade kujutisi kasutati Vana-Egiptuses kirjalikult matemaatiliste murdude tähistamiseks.

Traditsioonilised metoodilised lähenemised teema "Tavalised murrud" uurimisele.

Meil kõigil oli koolis võimalus läbida murdude – nii tavaliste kui ka kümnendmurdude – uurimine. Mõne jaoks olid need lihtsamad, mõne jaoks raskemad, kuid üldiselt peavad paljud neid väga raskeks ülesandeks. Sakslastel on isegi selline ütlus - "saada murdosadesse", mis tähendab "saada raskesse olukorda". Kuid hoolimata keerukusest peate teadma murde - Mark Tullius Cicero rääkis sellest. See kuulus Vana-Rooma kõnemees väitis, et inimene, kes ei tunne murde, ei saa öelda, et ta oskab aritmeetikat üldse. Ja sellega ei saa muud kui nõustuda: murrud (või, nagu neid iidsetel aegadel nimetati, "katkised numbrid") tekkisid seetõttu, et toimingud täisarvudega ei anna paljudel juhtudel vajalikku täpsust.

Murrud leiame kõigepealt iidse Babüloni matemaatikast. Seal jagati üksus 60 osaks, kuna Babüloonia numbrisüsteem oli kaksteistkümnendsüsteem.

Ja Vana-Egiptuse matemaatikas peeti murde kõige raskemaks lõiguks. Tõsi, need ei näinud välja täpselt sellised, nagu me täna teame. Vanad egiptlased käsitlesid ainult murde, kus lugeja võrdne ühega(Selliseid fraktsioone nimetatakse alikvootideks.) Ainus erand oli murdosa 2/3. Küsite: mida nad tegid, kui oli vaja murda väljendada erineva lugejaga? Väga lihtne: nad kirjutasid selle üles murdude summana. Näiteks kui vajame murdosa 2/5, kirjutame 1/5+1/5 .

Sel viisil saab lahendada isegi väga keerulise probleemi, näiteks selle:"Jaga 7 leiba 8 inimese vahel". Egiptlased lahendasid selle järgmisel viisil: 1/2 + 1/4 + 1/8, st iga inimene saab poole leivast, veerand ja kaheksa, seega - neli pätsi tuleb lõigata kaheks, kaks neljaks ja üks kaheksaks osaks .

Tõsi, selline süsteem polnud eriti mugav: olid spetsiaalsed tabelid, kus kõik murrud olid antud osade summana ja need tabelid tuli ära õppida.

Muidugi kirjutati Vana-Egiptuses murde erinevalt - selleks oli spetsiaalne ovaalse kujuga märk.

Meie omaga sarnane murdude õigekiri ilmus Vana-Kreekas- selle tutvustas Vana-Kreeka matemaatik Diophantus, kuid ta kirjutas murde "vastupidi": rea kohal on nimetaja ja lugeja on rea all. Murru tänapäevane kirjapilt – lugeja peal, nimetaja all – tekkis alles 16. sajandil.

Kreeklased aga laenasid murdosadega tegude aluse babüloonlastelt, s.o. ta on kuuekümnendates. Sellisel kujul võttis selle kasutusele keskaegne Euroopa. Seda kasutasid peamiselt astronoomid ja see eksisteeris edukalt kuni 16. sajandini.

Kuid isegi XIV-XV sajandi vahetusel ilmusid kümnendmurrud. Neid tutvustas Jamshid ibn Mas'ud ibn Mahmud Giyas ad-Din al-Kashi, silmapaistev Pärsia teadlane, kes töötas koos Ulugbeki endaga Samarkandi observatooriumis. Need fraktsioonid “tungisid” Euroopasse juba 16. sajandil Hollandi kaupmehe Simon Stevini jõupingutustel. Kümnendkohad osutusid arvutuste jaoks võrreldamatult mugavamaks kui seksagesimaalne ja asendasid need kiiresti.

Mis puutub murdudesse, mida me nimetame tavalisteks, siis need tulid samuti idast. Tegevusi nendega kirjeldas esmakordselt India teadlane Bramagupta, Khorezmi Muhammad levitas need moslemimaades 9. sajandil ja neli sajandit hiljem tutvustas Itaalia matemaatik Leonardo Pisast, tuntud ka kui Fibonacci, Euroopat harilike murdude hulka.

Harilike murdude ajalugu

Murdude süsteem Vana-Egiptuses Murrud ilmusid iidsetel aegadel. Saagi jagamisel, koguste mõõtmisel ja muudel sarnastel juhtudel tekkis inimestel vajadus murdude sisseviimiseks. Juba muistsed egiptlased teadsid, kuidas jagada 2 objekti kolmeks, selle arvu -2/3- jaoks oli neil spetsiaalne ikoon. Muide, see oli Egiptuse kirjatundjate igapäevaelus ainuke murd, millel polnud lugejas ühikut – kindlasti oli kõigil teistel murdudel lugejas ühik (nn põhimurrud): 1/2; 1/3; 1/28; ... . Kui egiptlasel oli vaja kasutada muid murde, esitas ta need põhimurdude summana. Näiteks 8/15 asemel kirjutasid nad 1/3+1/5.

Murdude süsteem Vana-Babülonis Muistses Babülonis eelistasid nad konstantset nimetajat, mis võrdub 60-ga. Kreeka ja Araabia matemaatikud ja astronoomid kasutasid Babülonist päritud seksagesimaalseid murde. Kuid oli ebamugav töötada kümnendsüsteemis kirjutatud naturaalarvude ja kuuekümnendsüsteemis kirjutatud murdude kallal. Ja tavaliste murdudega oli juba üsna raske töötada. Seetõttu soovitas Hollandi matemaatik Simon Stevin liikuda kümnendmurdudele.

Murdude süsteem Vana-Roomas See põhines kaaluühiku jagamisel 12 osaks, mida nimetati perseiks. Ässa kaheteistkümnendikku nimetati untsiks. Ja viisi, aega ja muid koguseid võrreldi visuaalse asjaga - kaaluga. Näiteks võis roomlane öelda, et kõndis seitse untsi teed või luges viis untsi raamatut. Samas polnud see muidugi ka raja või raamatu kaalumises. See tähendas, et läbiti 7/12 teest või loeti 5/12 raamatust. Ja murdude jaoks, mis saadi murdude taandamisel nimetajaga 12 või jagades kaheteistkümnendikud väiksemateks, olid spetsiaalsed nimetused.

Murd Tavaline (või liht) murd on ratsionaalarvu kirje. Horisontaalne või kaldkriips tähistab jagamismärki, mille tulemuseks on jagatis. Dividendi nimetatakse murdosa lugejaks ja jagajat nimetajaks.

Aforism Inimene on nagu murdosa, lugeja on see, mis ta on, ja nimetaja on see, mida ta endast arvab. Mida suurem on nimetaja, seda väiksem on murd.

Ajalugu Esimest korda Euroopas kasutas seda terminit Pisa Leonardo (1202). Algul töötasid Euroopa matemaatikud ainult tavaliste murdudega ja astronoomias kuuekümnendmurdudega.

Täielik teooria 16. sajandil (Tartaglia, Clavius) välja töötatud harilike murdude ja nendega toimingute täielik teooria. Aastal 1585, Simon Stevini raamatu "Kümnes" ilmumisega, algab kümnendmurdude laialdane kasutamine.

Ristsõna horisontaalselt: 1. Jagage lugeja ja nimetaja sama arvuga. 2. Kahe arvu jagatis. 3. Murd, mille lugeja ja nimetaja on suhteliselt algarvud. 4. Kui palju on murdosa 24/36 vähendatud? 5. Arvu sajas. Vertikaalne: 6. Murru nimi, mille lugeja on nimetajast suurem või sellega võrdne. 7. Kas ühise nimetaja leidmiseks tuleb leida GCD või LCM? 8. Tegevus. Mille abil on arvust murd.9. Kas murdosa vähendamiseks peate leidma GCD või LCM?