Kui õpilane läheb keskkooli, jaguneb matemaatika 2 õppeaineks: algebra ja geomeetria. Mõisteid tuleb aina juurde, ülesanded muutuvad raskemaks. Mõnel inimesel on raskusi murdude mõistmisega. Jätsin selle teema esimese tunni vahele ja voilaa. murrud? Küsimus, mis piinab kogu koolielu.

Algebralise murru mõiste

Alustame määratlusega. Under algebraline murd P/Q avaldised on arusaadavad, kus P on lugeja ja Q on nimetaja. Tähestikulise kirje alla saab peita numbri, numbriavaldise, numbrilis-tähestikulise avaldise.

Enne kui hakkate mõtlema, kuidas algebralisi murde lahendada, peate kõigepealt mõistma, et selline avaldis on osa tervikust.

Üldjuhul on tervik 1. Arv nimetajas näitab, mitmeks osaks ühik jagunes. Lugeja on vajalik selleks, et teada saada, kui palju elemente võetakse. Murruriba vastab jagamismärgile. Lubatud on murdavaldise salvestamine matemaatilise tehtena "Jagamine". Sel juhul on lugejaks dividend, nimetajaks jagajaks.

Harilike murdude põhireegel

Kui õpilased läbivad see teema koolis tuuakse neile kinnitamiseks näiteid. Nende õigeks lahendamiseks ja keerulistest olukordadest erinevate väljapääsude leidmiseks peate rakendama murdude põhiomadust.

See kõlab nii: kui korrutada nii lugeja kui ka nimetaja sama arvu või avaldisega (v.a null), siis hariliku murru väärtus ei muutu. Erijuhtum aastast see reegel on avaldise mõlema osa jagamine samaks arvuks või polünoomiks. Selliseid teisendusi nimetatakse identseteks võrdusteks.

Allpool vaatleme, kuidas lahendada algebraliste murdude liitmist ja lahutamist, teostada murdude korrutamist, jagamist ja vähendamist.

Matemaatilised tehted murdudega

Mõelge, kuidas lahendada algebralise murru põhiomadus, kuidas seda praktikas rakendada. Kui teil on vaja kahte murdu korrutada, liita, jagada üksteisega või lahutada, peate alati järgima reegleid.

Seega tuleks liitmise ja lahutamise operatsiooni jaoks leida lisategur, et viia avaldised ühisele nimetajale. Kui algselt on murrud antud samade avaldistega Q, siis tuleb see üksus välja jätta. Kui ühisosa on leitud, kuidas lahendada algebralisi murde? Lugejate liitmine või lahutamine. Aga! Tuleb meeles pidada, et kui murru ees on märk “-”, pööratakse kõik lugejas olevad märgid ümber. Mõnikord ei tohiks te mingeid asendusi ja matemaatilisi tehteid teha. Piisab murru ees oleva märgi muutmisest.

Seda terminit kasutatakse sageli kui fraktsiooni vähendamine. See tähendab järgmist: kui lugeja ja nimetaja jagada muu avaldisega kui ühtsus (mõlema osa puhul sama), siis saadakse uus murd. Dividend ja jagaja on varasemast väiksemad, kuid murdude põhireeglist tulenevalt jäävad need algse näitega võrdseks.

Selle toimingu eesmärk on saada uus taandamatu avaldis. Selle probleemi saab lahendada, kui taandada lugeja ja nimetaja suurima ühisjagaja võrra. Toimingu algoritm koosneb kahest punktist:

1. GCD leidmine murru mõlema osa jaoks.
2. Lugeja ja nimetaja jagamine leitud avaldisega ning eelmisega võrdse taandumatu murdosa saamine.

Allolev tabel näitab valemeid. Mugavuse huvides saate selle välja printida ja sülearvutis kaasas kanda. Et aga edaspidi kontrolltöö või eksami lahendamisel ei tekiks raskusi algebraliste murdude lahendamise küsimuses, tuleb need valemid pähe õppida.

Mõned näited lahendustega

Teoreetilisest vaatenurgast vaadeldakse küsimust, kuidas lahendada algebralisi murde. Artiklis toodud näited aitavad teil materjali paremini mõista.

1. Teisendage murrud ja viige need ühise nimetajani.

2. Teisendage murde ja viige need ühise nimetajani.

Pärast teoreetilise osa läbimist ja praktiliste küsimuste läbimõtlemist ei tohiks enam küsimusi tekkida.

Üks olulisemaid teadusi, mille rakendamist saab näha sellistes distsipliinides nagu keemia, füüsika ja isegi bioloogia, on matemaatika. Selle teaduse uurimine võimaldab teil arendada mõningaid vaimseid omadusi, parandada keskendumisvõimet. Üks teema, mis väärib kursuse „Matemaatika“ erilist tähelepanu, on murdude liitmine ja lahutamine. Paljudel õpilastel on raske õppida. Võib-olla aitab meie artikkel seda teemat paremini mõista.

Kuidas lahutada murde, mille nimetajad on samad

Murrud on samad arvud, millega saate toota erinevaid tegevusi. Nende erinevus täisarvudest seisneb nimetaja olemasolus. Sellepärast peate murdudega toimingute tegemisel uurima nende mõningaid omadusi ja reegleid. Lihtsaim juhtum on harilike murdude lahutamine, mille nimetajad on esitatud sama arvuna. Seda toimingut pole keeruline teha, kui teate lihtsat reeglit:

• Ühest murrust teise lahutamiseks on vaja taandatud murru lugejast lahutada lahutatava murru lugeja. Kirjutame selle numbri erinevuse lugejasse ja jätame nimetaja samaks: k / m - b / m = (k-b) / m.

Näited murdude lahutamisest, mille nimetajad on samad

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Vähendatud murru lugejast "7" lahutatakse lahutatud murru lugeja "3", saame "4". Kirjutame selle numbri vastuse lugejasse ja nimetajasse paneme sama numbri, mis oli esimese ja teise murru nimetajates - "19".

Alloleval pildil on veel mõned sellised näited.

Mõelge keerukamale näitele, kus samade nimetajatega murdarvud lahutatakse:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Vähendatud murru "29" lugejast lahutades omakorda kõigi järgnevate murdude lugejad - "3", "8", "2", "7". Selle tulemusena saame tulemuse "9", mille kirjutame vastuse lugejasse, ja nimetajasse kirjutame arvu, mis on kõigi nende murdude nimetajates - "47".

Sama nimetajaga murdude liitmine

Tavaliste murdude liitmine ja lahutamine toimub samal põhimõttel.

• Samade nimetajatega murdude liitmiseks tuleb lisada lugejad. Saadud arv on summa lugeja ja nimetaja jääb samaks: k/m + b/m = (k + b)/m.

Vaatame, kuidas see näites välja näeb:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Murru esimese liikme lugejale - "1" - lisame murdosa teise liikme lugeja - "2". Tulemus - "3" - kirjutatakse summa lugejasse ja nimetaja jäetakse samaks, mis oli murdudes - "4".

Erinevate nimetajatega murrud ja nende lahutamine

Oleme juba käsitlenud tegevust sama nimetajaga murdudega. Nagu näeme, teades lihtsad reeglid, on selliseid näiteid üsna lihtne lahendada. Aga mis siis, kui teil on vaja sooritada toiming murdudega, millel on erinevad nimetajad? Paljud gümnasistid on sellistest näidetest segaduses. Kuid isegi siin, kui teate lahenduse põhimõtet, pole näited teile enam rasked. Siin on ka reegel, ilma milleta on selliste murdude lahendamine lihtsalt võimatu.

Erinevate nimetajatega murdude lahutamiseks tuleb need taandada samale väikseimale nimetajale.



Sellest, kuidas seda teha, räägime üksikasjalikumalt.

Murdosa omadus

Selleks, et taandada mitu murdosa samale nimetajale, tuleb lahenduses kasutada murru põhiomadust: pärast lugeja ja nimetaja jagamist või korrutamist sama arvuga saad murru, mis on võrdne antud murruga.

Näiteks võib murdarvul 2/3 olla nimetajaid nagu "6", "9", "12" jne, see tähendab, et see võib välja näha nagu mis tahes arv, mis on "3" kordne. Pärast lugeja ja nimetaja korrutamist 2-ga saame murdosa 4/6. Pärast algmurru lugeja ja nimetaja korrutamist "3-ga" saame 6/9 ja kui sooritame sarnase toimingu arvuga "4", saame 8/12. Ühes võrrandis saab selle kirjutada järgmiselt:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Kuidas tuua mitu murdu samasse nimetajasse

Mõelge, kuidas taandada mitu murdosa samale nimetajale. Näiteks võtke murrud, mis on näidatud alloleval pildil. Kõigepealt peate kindlaks määrama, milline arv võib saada nende kõigi nimetajaks. Selle hõlbustamiseks jagame saadaolevad nimetajad teguriteks.

Murru 1/2 ja murdosa 2/3 nimetajat ei saa arvesse võtta. 7/9 nimetajal on kaks tegurit 7/9 = 7/(3 x 3), murdosa nimetaja 5/6 = 5/(2 x 3). Nüüd peate kindlaks määrama, millised tegurid on kõigi nende nelja fraktsiooni puhul väikseimad. Kuna esimese murru nimetajas on arv “2”, tähendab see, et see peab olema kõigis nimetajates, murdes 7/9 on kaks kolmikut, mis tähendab, et need peavad olema ka nimetajas. Arvestades ülaltoodut, teeme kindlaks, et nimetaja koosneb kolmest tegurist: 3, 2, 3 ja on võrdne 3 x 2 x 3 = 18.



Mõelge esimesele murdosale - 1/2. Selle nimetaja sisaldab "2", kuid pole ühtegi "3", vaid peaks olema kaks. Selleks korrutame nimetaja kahe kolmekordsega, kuid vastavalt murdosa omadusele peame lugeja korrutama kahe kolmekordsega:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Samamoodi teostame toiminguid ülejäänud murdudega.

• 2/3 - nimetajas puuduvad üks kolm ja üks kaks:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 või 7/(3 x 3) – nimetajast on puudu kaks:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 või 5/(2 x 3) – nimetajas puudub kolmik:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Kõik kokku näeb see välja selline:



Kuidas lahutada ja liita erinevate nimetajatega murde

Nagu eespool mainitud, tuleb erinevate nimetajatega murdude liitmiseks või lahutamiseks need taandada samale nimetajale ning seejärel kasutada sama nimetajaga murdude lahutamise reegleid, mida on juba kirjeldatud.

Mõelge sellele näitega: 4/18 - 3/15.

18 ja 15 kordajate leidmine:

• Arv 18 koosneb 3 x 2 x 3-st.
• Arv 15 koosneb 5 x 3-st.
• Ühiskordaja koosneb järgmistest teguritest 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Pärast nimetaja leidmist on vaja arvutada tegur, mis on iga murdosa jaoks erinev, see tähendab arv, millega on vaja korrutada mitte ainult nimetaja, vaid ka lugeja. Selleks jagame leitud arvu (ühiskordne) selle murdosa nimetajaga, mille jaoks on vaja määrata lisategureid.

• 90 jagatud 15-ga. Saadud arv "6" on 3/15 kordaja.
• 90 jagatud 18-ga. Saadud arv "5" on 4/18 kordaja.

Meie lahenduse järgmine samm on viia iga murd nimetajani "90".

Oleme juba arutanud, kuidas seda tehakse. Vaatame, kuidas see näites on kirjutatud:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Kui murrud on väikeste arvudega, saate määrata ühise nimetaja, nagu alloleval pildil näidatud näites.



Sarnaselt toodetud ja erinevate nimetajatega.

Lahutamine ja täisarvuliste osade omamine

Murdude lahutamist ja nende liitmist oleme juba üksikasjalikult analüüsinud. Aga kuidas lahutada, kui murd sisaldab täisarvu? Jällegi kasutame mõnda reeglit:

• Teisendage kõik täisarvuga murrud ebaõigeteks murdudeks. räägivad lihtsate sõnadega, eemaldage kogu osa. Selleks korrutatakse täisarvulise osa arv murdosa nimetajaga, saadud korrutis lisatakse lugejale. Arv, mis saadakse pärast neid toiminguid, on vale murru lugeja. Nimetaja jääb muutumatuks.
• Kui murdudel on erinevad nimetajad, tuleks need taandada samaks.
• Tehke liitmine või lahutamine samade nimetajatega.
• Vale murdu saamisel valige kogu osa.



Täisarvudega murdude liitmiseks ja lahutamiseks on veel üks viis. Selleks tehakse toimingud eraldi täisarvuliste osadega ja eraldi murdosadega ning tulemused salvestatakse koos.



Ülaltoodud näide koosneb murdosadest, millel on sama nimetaja. Kui nimetajad on erinevad, tuleb need taandada samadeks ja seejärel järgida näites näidatud samme.

Täisarvust murdude lahutamine

Veel üks murdosadega toimingute variantidest on juhtum, kui murdosa tuleb lahutada Esmapilgul selline näide tundub raskesti lahendatav. Siin on aga kõik üsna lihtne. Selle lahendamiseks on vaja täisarv teisendada murdarvuks ja sellise nimetajaga, mis on lahutatavas murrus. Järgmisena teostame samade nimetajatega lahutamisele sarnase lahutamise. Näiteks näeb see välja selline:

7 - 4/9 = (7 x 9) / 9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Selles artiklis antud murdude lahutamine (6. hinne) on aluseks rohkema lahendamiseks raskeid näiteid mida arutatakse hilisemates tundides. Selle teema teadmisi kasutatakse edaspidi funktsioonide, tuletiste jms lahendamiseks. Seetõttu on väga oluline mõista ja mõista ülalpool käsitletud toiminguid murdosadega.

Lugeja ja see, millega see jagatakse, on nimetaja.

Murru kirjutamiseks kirjutage esmalt selle lugeja, seejärel tõmmake selle numbri alla horisontaaljoon ja kirjutage nimetaja rea ​​alla. Lugejat ja nimetajat eraldavat horisontaaljoont nimetatakse murdvarbaks. Mõnikord on seda kujutatud kaldus "/" või "∕" kujul. Sel juhul kirjutatakse lugeja reast vasakule ja nimetaja paremale. Nii näiteks kirjutatakse murdosa "kaks kolmandikku" väärtuseks 2/3. Selguse huvides kirjutatakse lugeja tavaliselt rea ülaossa ja nimetaja alla, st 2/3 asemel leiate: ⅔.

Murdude korrutise arvutamiseks korrutage kõigepealt lugeja ühega fraktsioonid teisele lugejale. Kirjutage tulemus uue lugejasse fraktsioonid. Seejärel korruta ka nimetajad. Määrake lõplik väärtus uues fraktsioonid. Näiteks 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Ühe murdosa teisega jagamiseks korrutage esmalt esimese lugeja lugeja teise nimetajaga. Tehke sama teise murruga (jagaja). Või enne kõigi toimingute sooritamist "pöörake" jagaja esmalt ümber, kui see on teile mugavam: nimetaja peaks olema lugeja asemel. Seejärel korrutage dividendi nimetaja jagaja uue nimetajaga ja korrutage lugejad. Näiteks 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

Allikad:

• Põhiülesanded murdude jaoks

Murdarvud võimaldavad väljendada keeles erineval kujul täpne väärtus kogused. Murdudega saate teha samu matemaatilisi toiminguid nagu täisarvudega: lahutamine, liitmine, korrutamine ja jagamine. Et õppida, kuidas otsustada fraktsioonid, on vaja meeles pidada mõnda nende funktsiooni. Need sõltuvad tüübist fraktsioonid, täisarvulise osa olemasolu, ühisnimetaja. Mõned aritmeetilised toimingud nõuavad pärast täitmist tulemuse murdosa vähendamist.

Sa vajad

• - kalkulaator

Juhend

Vaadake numbreid hoolikalt. Kui murdude hulgas on kümnendmurrud ja ebaregulaarsed murrud, on mõnikord mugavam esmalt sooritada toimingud kümnendkohtadega ja seejärel teisendada need valele kujule. Kas saate tõlkida fraktsioonid sellisel kujul algselt, kirjutades lugejasse väärtuse pärast koma ja pannes nimetajasse 10. Vajadusel vähendage murdosa, jagades ülalt ja all olevad arvud ühe jagajaga. Murrud, milles paistab silma kogu osa, viivad vale vormini, korrutades selle nimetajaga ja lisades tulemusele lugeja. Sellest väärtusest saab uus lugeja fraktsioonid. Algselt ebaõigest kogu osa väljavõtmiseks fraktsioonid, jagage lugeja nimetajaga. Kirjutage kogu tulemus alates fraktsioonid. Ja jaotuse ülejäänud osast saab uus lugeja, nimetaja fraktsioonid samas ei muutu. Murdude jaoks koos terve osa toiminguid saab teha eraldi, esmalt täisarvu ja seejärel murdosa jaoks. Näiteks saab arvutada 1 2/3 ja 2 ¾ summa:
- Murdude teisendamine valesse vormi:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Terminite täis- ja murdosade summeerimine eraldi:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Kirjutage need ümber eraldaja ":" kaudu ja jätkake tavalist jagamist.

Lõpptulemuse saamiseks vähendage saadud murdosa, jagades lugeja ja nimetaja ühe täisarvuga, mis on antud juhul suurim võimalik. Sel juhul peavad rea kohal ja all olema täisarvud.

Märge

Ärge aritmeerige murdudega, millel on erinevad nimetajad. Valige selline arv, et kui iga murru lugeja ja nimetaja sellega korrutada, on mõlema murru nimetajad võrdsed.

Abistavad nõuanded

Murdarvude kirjutamisel kirjutatakse dividend rea kohale. Seda kogust nimetatakse murdosa lugejaks. Rea alla kirjutatakse murdosa jagaja ehk nimetaja. Näiteks kirjutatakse poolteist kilogrammi riisi murdosa kujul järgmisel viisil: 1 ½ kg riisi. Kui murdosa nimetaja on 10, nimetatakse seda kümnendmurruks. Sel juhul kirjutatakse kogu komaga eraldatud osast paremale lugeja (dividend): 1,5 kg riisi. Arvutuste mugavuse huvides võib sellise murdosa kirjutada alati valel kujul: 1 2/10 kg kartuleid. Lihtsustamise huvides saate lugeja ja nimetaja väärtusi vähendada, jagades need ühe täisarvuga. Selles näites on võimalik jagada 2. Tulemuseks on 1 1/5 kg kartuleid. Veenduge, et arvud, millega aritmeetikat teha, oleksid samal kujul.

See artikkel käsitleb tehteid murdarvudega. Moodustatakse ja põhjendatakse vormi A B murdude liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise või astendamise reeglid, kus A ja B võivad olla arvud, arvavaldised või muutujatega avaldised. Kokkuvõttes vaadeldakse üksikasjaliku kirjeldusega lahendusnäiteid.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Üldkuju numbrimurdudega tehtete sooritamise reeglid

Üldkuju numbrilistel murdudel on lugeja ja nimetaja, milles need on täisarvud või numbrilised avaldised. Kui võtta arvesse selliseid murde nagu 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2 ), 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 0 , 5 ln 3 , siis on selge, et lugejas ja nimetajas võivad olla mitte ainult arvud, vaid ka erineva plaani avaldised.

Definitsioon 1

On reeglid, mille järgi toiminguid tehakse harilikud murrud. See sobib ka üldvormi murdosadele:

• Samade nimetajatega murdude lahutamisel lisatakse ainult lugejad ja nimetaja jääb samaks, nimelt: a d ± c d \u003d a ± c d, väärtused a, c ja d ≠ 0 on mõned numbrid või arvavaldised.
• Erinevate nimetajatega murdude liitmisel või lahutamisel tuleb taandada ühiseks ning seejärel saadud murdude liitmine või lahutamine samade näitajatega. Sõna otseses mõttes näeb see välja selline: a b ± c d = a p ± c r s, kus väärtused a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 on reaalarvud ja b p = d r = s. Kui p = d ja r = b, siis a b ± c d = a d ± c d b d.
• Murdude korrutamisel sooritatakse toiming lugejatega, misjärel nimetajatega, siis saame a b c d \u003d a c b d, kus a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 toimivad reaalarvudena.
• Murru jagamisel murruga korrutame esimese teise pöördarvuga, st vahetame lugeja ja nimetaja: a b: c d \u003d a b d c.

Reeglite põhjendus

Siin on järgmised matemaatilised punktid, millele peaksite arvutamisel tuginema:

• murdvarras tähendab jagamismärki;
• arvuga jagamist käsitletakse kui pöördarvuga korrutamist;
• reaalarvudega toimingute omaduse rakendamine;
• murdu põhiomaduse ja arvuliste võrratuste rakendamine.

Nende abiga saate teha vormi teisendusi:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = ( a c ) ( b d ) - 1 = a c b d

Näited

Eelmises lõigus oli juttu murdarvudega toimingute kohta. Pärast seda tuleb murdosa lihtsustada. Seda teemat käsitleti üksikasjalikult fraktsioonide teisendamise jaotises.

Esiteks kaaluge sama nimetajaga murdude liitmise ja lahutamise näidet.

Näide 1

Antud murrud 8 2 , 7 ja 1 2 , 7 , siis reegli järgi on vaja lugeja liita ja nimetaja ümber kirjutada.

Otsus

Siis saame murdosa vormist 8 + 1 2 , 7 . Pärast liitmise sooritamist saame murdosa kujult 8 + 1 2 , 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 . Seega 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Vastus: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Lahenduseks on veel üks viis. Alustuseks tehakse üleminek hariliku murru kujule, mille järel teostame lihtsustamise. See näeb välja selline:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Näide 2

Lahutame 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 murrud vormist 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

Kuna on antud võrdsed nimetajad, tähendab see, et me arvutame sama nimetajaga murdosa. Me saame sellest aru

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Erinevate nimetajatega murdude arvutamise kohta on näiteid. Oluline punkt on taandamine ühisele nimetajale. Ilma selleta ei saa me murdarvudega edasisi toiminguid teha.

Protsess meenutab kaugeltki taandamist ühisele nimetajale. See tähendab, et otsitakse nimetajas kõige vähem ühist jagajat, misjärel lisatakse puuduvad tegurid murdudele.

Kui lisatud fraktsioonidel pole ühiseid tegureid, võib nende korrutis saada üheks.

Näide 3

Vaatleme näidet murdude 2 3 5 + 1 ja 1 2 liitmise kohta.

Otsus

Sel juhul on ühisnimetaja nimetajate korrutis. Siis saame, et 2 · 3 5 + 1 . Seejärel lisategurite määramisel saame, et esimesele murdosale on see võrdne 2 ja teisele 3 5 + 1. Pärast korrutamist taandatakse murrud kujule 4 2 3 5 + 1. Üldkoosseis 1 2 on 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Lisame saadud murdavaldised ja saame selle

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Vastus: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Kui tegemist on üldkuju murdudega, siis vähim ühisnimetaja tavaliselt nii ei ole. Lugejate korrutist nimetajaks võtta on kahjumlik. Kõigepealt peate kontrollima, kas on mõni number, mille väärtus on väiksem kui nende toode.

Näide 4

Vaatleme näidet 1 6 2 1 5 ja 1 4 2 3 5, kui nende korrutis on võrdne 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . Siis võtame ühiseks nimetajaks 12 · 2 3 5.

Vaatleme näiteid üldkuju murdude korrutamisest.

Näide 5

Selleks on vaja korrutada 2 + 1 6 ja 2 · 5 3 · 2 + 1.

Otsus

Reeglist järgides on vaja ümber kirjutada ja nimetajaks kirjutada lugejate korrutis. Saame, et 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Kui murdosa korrutatakse, saab selle lihtsustamiseks teha vähendamise. Siis 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Kasutades jagamiselt pöördarvuga korrutamisele ülemineku reeglit, saame antud pöördarvu. Selleks pööratakse lugeja ja nimetaja ümber. Vaatame näidet:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Pärast seda peavad nad korrutama ja saadud murdosa lihtsustama. Vajadusel vabane nimetaja irratsionaalsusest. Me saame sellest aru

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Vastus: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

See lõik on rakendatav, kui numbrit või arvulist avaldist saab esitada murruna, mille nimetaja on võrdne 1-ga, siis loetakse sellise murdosaga tehtust eraldi lõiguks. Näiteks avaldis 1 6 7 4 - 1 3 näitab, et 3 juure saab asendada teise 3 1 avaldisega. Siis näeb see kirje välja nagu vormi 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 kahe murru korrutis.

Toimingu sooritamine muutujaid sisaldavate murdudega

Esimeses artiklis käsitletud reeglid kehtivad muutujaid sisaldavate murdudega tehtetele. Mõelge lahutamise reeglile, kui nimetajad on samad.

On vaja tõestada, et A , C ja D (D ei võrdu nulliga) võivad olla mis tahes avaldised ja võrdus A D ± C D = A ± C D on samaväärne selle kehtivate väärtuste vahemikuga.

On vaja võtta ODZ muutujate komplekt. Siis peavad A, C, D võtma vastavad väärtused a 0 , c 0 ja d0. Kuju A D ± C D asendus annab tulemuseks vormi a 0 d 0 ± c 0 d 0 erinevuse, kus liitmisreegli järgi saame valemi kujul a 0 ± c 0 d 0. Kui asendada avaldis A ± C D , siis saame samasuguse murdosa kujul a 0 ± c 0 d 0 . Sellest järeldame, et valitud väärtust, mis rahuldab ODZ, A ± C D ja A D ± C D, loetakse võrdseks.

Muutujate mis tahes väärtuse korral on need avaldised võrdsed, see tähendab, et neid nimetatakse identselt võrdseteks. See tähendab, et seda avaldist peetakse tõestatavaks võrrandiks kujul A D ± C D = A ± C D .

Näited muutujatega murdude liitmisest ja lahutamisest

Kui nimetajad on samad, on vaja ainult lugejad liita või lahutada. Seda murdosa saab lihtsustada. Mõnikord peate töötama identselt võrdsete murdudega, kuid esmapilgul pole see märgatav, kuna tuleb teha mõned teisendused. Näiteks x 2 3 x 1 3 + 1 ja x 1 3 + 1 2 või 1 2 sin 2 α ja sin a cos a. Kõige sagedamini on samade nimetajate nägemiseks vaja algset avaldist lihtsustada.

Näide 6

Arvutage: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Otsus

1. Arvutamiseks peate lahutama murdu, millel on samad nimetajad. Siis saame, et x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Pärast seda saate avada sulud sarnaste terminite vähendamisega. Saame, et x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Kuna nimetajad on samad, jääb üle vaid lugejad liita, jättes nimetaja alles: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Lisamine on lõpetatud. On näha, et murdosa saab vähendada. Selle lugeja saab voltida summa ruudu valemiga, siis saame (l g x + 2) 2 lühendatud korrutusvalemitest. Siis me saame selle
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Antud murrud kujul x - 1 x - 1 + x x + 1 erinevate nimetajatega. Pärast ümberkujundamist võite jätkata lisamist.

Vaatleme kahepoolset lahendust.

Esimene meetod on see, et esimese murru nimetaja faktoriseeritakse ruutude abil ja koos selle järgneva vähendamisega. Saame vormi murdosa

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Seega x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Sel juhul on vaja vabaneda nimetaja irratsionaalsusest.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Teine võimalus on korrutada teise murru lugeja ja nimetaja x-1-ga. Seega vabaneme irratsionaalsusest ja jätkame sama nimetajaga murdosa liitmist. Siis

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Vastus: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

Viimases näites leidsime, et taandamine ühisele nimetajale on vältimatu. Selleks peate murde lihtsustama. Liitmiseks või lahutamiseks tuleb alati otsida ühisosa, mis näeb välja nagu nimetajate korrutis, millele on lugejatele lisandunud lisategurid.

Näide 7

Arvutage murdude väärtused: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Otsus

1. Nimetaja ei nõua keerulisi arvutusi, seega tuleb valida nende korrutis kujul 3 x 7 + 2 2, seejärel valitakse esimesele murdosale lisateguriks x 7 + 2 2 ja teiseks 3. Korrutamisel saame murdosa kujul x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. On näha, et nimetajad on esitatud tootena, mis tähendab, et täiendavad teisendused pole vajalikud. Ühisnimetaja on korrutis kujul x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Siit x 4 on esimese murru lisategur ja ln (x + 1) teisele. Seejärel lahutame ja saame:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4)
3. See näide on mõttekas, kui töötate murdude nimetajatega. On vaja rakendada ruutude ja summa ruudu erinevuse valemeid, kuna need võimaldavad üle minna avaldisele kujul 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . On näha, et murded taandatakse ühiseks nimetajaks. Saame, et cos x - x cos x + x 2 .

Siis me saame selle

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

Vastus:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Näited murdude korrutamisest muutujatega

Murdude korrutamisel korrutatakse lugeja lugejaga ja nimetaja nimetajaga. Seejärel saate rakendada vähendamise omadust.

Näide 8

Korrutage murrud x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 ja 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

Otsus

Peate tegema korrutamise. Me saame sellest aru

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Arv 3 kantakse arvutuste mugavuse huvides esimesse kohta ja saate murdosa vähendada x 2 võrra, siis saame vormi avaldise

3 x - 2 x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Vastus: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x) .

Jaoskond

Murdude jagamine sarnaneb korrutamisega, kuna esimene murd korrutatakse teise pöördarvuga. Kui võtame näiteks murdarvu x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 ja jagame 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, siis saab selle kirjutada järgmiselt.

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , seejärel asendage korrutisega kujul x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Astendamine

Vaatleme tegevust üldvormi murdosadega koos astendusega. Kui on naturaalindeksiga aste, loetakse tegevust identsete murdude korrutamiseks. Kuid soovitatav on kasutada üldist lähenemist, mis põhineb kraadide omadustel. Mis tahes avaldised A ja C, kus C ei ole identselt võrdne nulliga, ja mis tahes reaalne r ODZ-l vormiga A C r avaldise korral, on võrdus A C r = A r C r tõene. Tulemuseks on astmeni tõstetud murd. Näiteks kaaluge järgmist:

x 0, 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

Murdudega tehte järjekord

Toimingud murdosadega tehakse teatud reeglite järgi. Praktikas märkame, et avaldis võib sisaldada mitut murdosa või murdosa avaldist. Siis on vaja teha kõik toimingud ranges järjekorras: tõsta astmeni, korrutada, jagada, seejärel liita ja lahutada. Kui sulgudes on, tehakse esimene toiming nendes.

Näide 9

Arvutage 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Otsus

Kuna meil on sama nimetaja, siis 1 - x cos x ja 1 c o s x , aga reegli järgi lahutada ei saa, sooritatakse esmalt sulgudes olevad toimingud, misjärel korrutamine ja siis liitmine. Siis arvutamisel saame selle

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Avaldise asendamisel esialgsega saame, et 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Murdude korrutamisel saame: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Olles teinud kõik asendused, saame 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Nüüd peate töötama murdudega, millel on erinevad nimetajad. Saame:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

Vastus: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Õpilastele tutvustatakse murde 5. klassis. Varem peeti väga tarkadeks inimesi, kes teadsid, kuidas murdosadega toiminguid teha. Esimene murdosa oli 1/2 ehk pool, siis tekkis 1/3 jne. Näiteid peeti mitu sajandit liiga keerukaks. Nüüd on välja töötatud üksikasjalikud reeglid murdude teisendamiseks, liitmiseks, korrutamiseks ja muudeks toiminguteks. Piisab, kui materjalist veidi aru saada ja lahendus antakse lihtsalt.

Tavaline murd, mida nimetatakse lihtmurruks, kirjutatakse kahe arvu jagamisena: m ja n.

M on dividend, st murdosa lugeja, ja jagajat n nimetatakse nimetajaks.

Valige õiged murrud (m< n) а также неправильные (m >n).

Õige murdosa on väiksem kui üks (näiteks 5/6 - see tähendab, et ühest võetakse 5 osa; ühest võetakse 2/8 - 2 osa). Vale murd on võrdne või suurem kui 1 (8/7 - ühik on 7/7 ja plussiks võetakse veel üks osa).

Seega on ühik siis, kui lugeja ja nimetaja ühtivad (3/3, 12/12, 100/100 ja teised).

Tegevused harilike murrudega 6. klass

Lihtmurdudega saate teha järgmist.

• Laienda murdosa. Kui korrutate murdosa ülemise ja alumise osa mis tahes identse arvuga (kuid mitte nulliga), siis murdosa väärtus ei muutu (3/5 = 6/10 (lihtsalt korrutatuna 2-ga).
• Murdude vähendamine sarnaneb laiendamisega, kuid siin jagatakse need arvuga.
• Võrdlema. Kui kahel murdel on sama lugeja, siis väiksema nimetajaga murd on suurem. Kui nimetajad on samad, on suurima lugejaga murd suurem.
• Tehke liitmine ja lahutamine. Samade nimetajatega on seda lihtne teha (ülemised osad liidame kokku ja alumine osa ei muutu). Erinevate jaoks peate leidma ühise nimetaja ja lisategurid.
• Murrude korrutamine ja jagamine.

Allpool vaadeldakse näiteid murdudega tehtetest.

Vähendatud murrud 6. klass

Vähendada tähendab murdosa ülemise ja alumise osa jagamist mõne võrdse arvuga.

Joonisel on toodud lihtsad näited vähendamisest. Esimeses variandis võite kohe arvata, et lugeja ja nimetaja jaguvad 2-ga.

Märkusena! Kui arv on paaris, jagub see igal viisil 2-ga. Paarisarvud on 2, 4, 6 ... 32 8 (lõpeb paaris) jne.

Teisel juhul 6 jagades 18-ga on kohe selge, et arvud jaguvad 2-ga. Jagades saame 3/9. See murd jagub samuti 3-ga. Siis on vastus 1/3. Kui korrutada mõlemad jagajad: 2 3-ga, siis tuleb välja 6. Selgub, et murd jagati kuuega. Seda järkjärgulist jaotust nimetatakse murdosa järjestikune taandamine ühisjagajatega.

Keegi jagab kohe 6-ga, keegi vajab osadeks jagamist. Peaasi, et lõpus on murdosa, mida ei saa kuidagi vähendada.

Pange tähele, et kui arv koosneb numbritest, mille liitmisel saadakse 3-ga jaguv arv, siis saab ka originaali 3-ga vähendada. Näide: arv 341. Lisage numbrid: 3 + 4 + 1 = 8 ( 8 ei jagu 3-ga, seega ei saa arvu 341 ilma jäägita 3-ga vähendada). Teine näide: 264. Lisage: 2 + 6 + 4 = 12 (jagatud 3-ga). Saame: 264: 3 = 88. See lihtsustab suurte arvude vähendamist.

Lisaks murdosa järjestikuse taandamise meetodile ühiste jagajate abil on ka teisi viise.

GCD on arvu suurim jagaja. Olles leidnud nimetaja ja lugeja GCD, saate murdosa kohe soovitud arvu võrra vähendada. Otsing toimub iga numbri järkjärgulise jagamisega. Järgmisena vaadatakse, millised jagajad sobivad, kui neid on mitu (nagu alloleval pildil), siis tuleb korrutada.

Segafraktsioonid 6. klass

Kõik ebaõiged fraktsioonid saab muundada segafraktsioonideks, eraldades neis kogu osa. Täisarv kirjutatakse vasakule.

Sageli peate tegema valest murdosast seganumber. Teisendusprotsess allolevas näites: 22/4 = 22 jagatud 4-ga, saame 5 täisarvu (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. Saame 5 täisarvu ja 2/4 (nimetaja ei muutu). Kuna murdosa saab vähendada, jagame ülemise ja alumise osa 2-ga.

Segaarvu on lihtne valeks murdeks muuta (see on vajalik murdude jagamisel ja korrutamisel). Selleks: korrutage täisarv murru alumise osaga ja lisage sellele lugeja. Valmis. Nimetaja ei muutu.

Arvutused murdarvudega 6. klass

Võib lisada seganumbreid. Kui nimetajad on samad, siis on seda lihtne teha: liita täisarvulised osad ja lugejad kokku, nimetaja jääb paigale.

Erinevate nimetajatega arvude liitmisel on protsess keerulisem. Esiteks viime numbrid ühe väikseima nimetajani (NOD).

Allolevas näites on numbrite 9 ja 6 puhul nimetajaks 18. Pärast seda on vaja täiendavaid tegureid. Nende leidmiseks tuleks 18 jagada 9-ga, nii leitakse lisaarv - 2. Korrutame selle lugejaga 4, saame murdarvuks 8/18). Sama tehakse teise fraktsiooniga. Teisendatud murrud juba liidame (eraldi täisarvud ja lugejad, nimetajat me ei muuda). Näites tuli vastus teisendada õigeks murruks (esialgu osutus lugeja nimetajast suuremaks).

Pange tähele, et murdude erinevusega on toimingute algoritm sama.

Murdude korrutamisel on oluline asetada mõlemad sama rea ​​alla. Kui number on segatud, siis muudame selle lihtmurd. Järgmiseks korrutage ülemine ja alumine osa ning kirjutage vastus üles. Kui on selge, et murdosasid saab vähendada, siis vähendame kohe.

Selles näites ei pidanud me midagi lõikama, kirjutasime lihtsalt vastuse üles ja tõstsime esile kogu osa.

Selles näites pidin ühe rea all olevaid numbreid vähendama. Kuigi on võimalik vähendada ka valmisvastust.

Jagamisel on algoritm peaaegu sama. Esiteks muudame segamurru ebaõigeks, seejärel kirjutame arvud ühe rea alla, asendades jagamise korrutamisega. Ärge unustage vahetada teise murdosa ülemist ja alumist osa (see on murdude jagamise reegel).

Vajadusel vähendame numbreid (allolevas näites vähendasid nad seda viie ja kahe võrra). Teisendame vale murdu, tõstes esile täisarvu.

Põhiülesanded murdude jaoks 6. klass

Video näitab veel mõnda ülesannet. Selguse huvides kasutatakse murdude visualiseerimiseks lahenduste graafilisi pilte.

Murrukorrutamise näited 6. klass koos selgitustega

Korrutavad murrud kirjutatakse ühe rea alla. Pärast seda vähendatakse neid samade arvudega jagades (näiteks 15 nimetajas ja 5 lugejas saab jagada viiega).

Murdude võrdlus 6. klass

Murdude võrdlemiseks peate meeles pidama kahte lihtsat reeglit.

Reegel 1. Kui nimetajad on erinevad

Reegel 2. Kui nimetajad on samad

Võrdleme näiteks murde 7/12 ja 2/3.

1. Vaatame nimetajaid, need ei klapi. Nii et peate leidma ühise.
2. Murdude puhul on ühisnimetaja 12.
3. Jagame 12 kõigepealt esimese murru alumise osaga: 12: 12 = 1 (see on 1. murru lisategur).
4. Nüüd jagame 12 3-ga, saame 4 - lisame. 2. murru kordaja.
5. Murdude teisendamiseks korrutame saadud arvud lugejatega: 1 x 7 \u003d 7 (esimene murd: 7/12); 4 x 2 = 8 (teine ​​murd: 8/12).
6. Nüüd saame võrrelda: 7/12 ja 8/12. Selgus: 7/12< 8/12.

Murdude paremaks esitamiseks võib selguse huvides kasutada jooniseid, kus objekt on jagatud osadeks (näiteks kook). Kui soovid võrrelda 4/7 ja 2/3, siis esimesel juhul jagatakse kook 7 osaks ja neist valitakse 4. Teises jagatakse need 3 osaks ja võetakse 2. Palja silmaga on selge, et 2/3 on rohkem kui 4/7.

Näited murdudega hinne 6 koolituseks

Harjutusena saate täita järgmisi ülesandeid.

• Võrrelge murde

• tee korrutamine

Näpunäide: kui murdude väikseimat ühist nimetajat on raske leida (eriti kui nende väärtused on väikesed), saate esimese ja teise murdosa nimetaja korrutada. Näide: 2/8 ja 5/9. Nende nimetaja leidmine on lihtne: korrutage 8 9-ga, saate 72.

Murdudega võrrandite lahendamine 6. klass

Võrrandite lahendamisel peate meeles pidama toimingud murdudega: korrutamine, jagamine, lahutamine ja liitmine. Kui üks teguritest on teadmata, jagatakse korrutis (kogusumma) teadaoleva teguriga, see tähendab, et murded korrutatakse (teine ​​pööratakse ümber).

Kui dividend on teadmata, korrutatakse nimetaja jagajaga ja jagaja leidmiseks tuleb dividend jagada jagatisega.

Kujutage ette lihtsaid näiteid võrrandite lahendamine:

Siin on vaja luua ainult murdude erinevus, ilma et see tooks kaasa ühisnimetaja.

Vastus on vale murd. Seda saab teisendada 1 terveks ja 3/5-ks.

Teise meetodi korral korrutati lugeja ja nimetaja 4-ga, et lühendada nimetaja ümberpööramise asemel põhja.