Fakt 1.
\(\bullet\) Võtame mõne mittenegatiivse arvu \(a\) (st \(a\geqslant 0\) ). Siis (aritmeetika) ruutjuur arvust \(a\) nimetatakse sellist mittenegatiivset arvu \(b\) , ruudustamisel saame arvu \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(sama mis )\quad a=b^2\] Definitsioonist järeldub, et \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Need piirangud on ruutjuure olemasolu oluline tingimus ja neid tuleks meeles pidada!
Tuletage meelde, et iga arv ruudus annab mittenegatiivse tulemuse. See tähendab, \(100^2=10000\geqslant 0\) ja \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Millega on \(\sqrt(25)\) võrdne? Teame, et \(5^2=25\) ja \((-5)^2=25\) . Kuna definitsiooni järgi peame leidma mittenegatiivse arvu, siis \(-5\) ei sobi, seega \(\sqrt(25)=5\) (kuna \(25=5^2\) ).
\(\sqrt a\) väärtuse leidmist nimetatakse arvu \(a\) ruutjuure võtmiseks ja arvu \(a\) nimetatakse radikaalavaldiseks.
\(\bullet\) Definitsiooni alusel avaldis \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) jne. pole mõtet.

2. fakt.
Kiirete arvutuste jaoks on kasulik õppida naturaalarvude ruutude tabelit vahemikus \(1\) kuni \(20\): \[\begin(massiiv)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(massiiv)\]

3. fakt.
Milliseid toiminguid saab ruutjuurtega teha?
\(\bullet\) Ruutjuurte summa või erinevus EI OLE VÕRDNE summa või erinevuse ruutjuurega, see tähendab \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Seega, kui teil on vaja arvutada näiteks \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , peate esmalt leidma väärtused \(\sqrt(25)\) ja \(\ sqrt(49)\ ) ja seejärel voldi need kokku. Seega \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Kui \(\sqrt a\) või \(\sqrt b\) väärtusi \(\sqrt a+\sqrt b\) lisades ei leita, siis sellist avaldist edasi ei teisendata ja see jääb samaks. Näiteks summas \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) leiame, et \(\sqrt(49)\) on \(7\) , kuid \(\sqrt 2\) ei saa teisendada igatahes, sellepärast \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Kahjuks ei saa seda väljendit veelgi lihtsustada\(\bullet\) Ruutjuurte korrutis/jagatis võrdub korrutise/jagatise ruutjuurega, see tähendab \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (eeldusel, et võrdsuse mõlemad pooled on mõistlikud)
Näide: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Neid omadusi kasutades on mugav leida suurte arvude ruutjuuri neid faktoriseerides.
Vaatame näidet. Leiame \(\sqrt(44100)\) . Alates \(44100:100=441\) , siis \(44100=100\cdot 441\) . Jaguvuse kriteeriumi kohaselt jagub arv \(441\) arvuga \(9\) (kuna selle numbrite summa on 9 ja jagub 9-ga), seega \(441:9=49\), see tähendab \(441=9\ cdot 49\) .
Nii saime: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Vaatame teist näidet: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Näitame, kuidas sisestada ruutjuure märgi alla numbreid, kasutades avaldise \(5\sqrt2\) näidet (avaldise \(5\cdot \sqrt2\) lühike märge). Kuna \(5=\sqrt(25)\) , siis \ Pange tähele ka seda, et näiteks
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Miks nii? Selgitame näite 1 abil). Nagu te juba aru saate, ei saa me arvu \(\sqrt2\) kuidagi teisendada. Kujutagem ette, et \(\sqrt2\) on mingi arv \(a\) . Vastavalt sellele pole avaldis \(\sqrt2+3\sqrt2\) midagi muud kui \(a+3a\) (üks arv \(a\) pluss veel kolm sama arvu \(a\)). Ja me teame, et see on võrdne nelja sellise arvuga \(a\) , see tähendab \(4\sqrt2\) .

Fakt 4.
\(\bullet\) Sageli öeldakse "te ei saa juurt eraldada", kui te ei saa numbri väärtuse leidmisel vabaneda juure (radikaali) märgist \(\sqrt () \ \) . Näiteks võite võtta arvu \(16\) juure, sest \(16=4^2\) , seega \(\sqrt(16)=4\) . Kuid arvu \(3\) juurt on võimatu eraldada, st leida \(\sqrt3\), sest pole arvu, mis ruudus annaks \(3\) .
Sellised arvud (või selliste arvudega avaldised) on irratsionaalsed. Näiteks numbrid \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) ja nii edasi. on irratsionaalsed.
Irratsionaalsed on ka arvud \(\pi\) (arv "pi", ligikaudu võrdne \(3,14\)), \(e\) (seda arvu nimetatakse Euleri arvuks, see on ligikaudu võrdne \(2,7) \)) jne.
\(\bullet\) Pange tähele, et iga arv on kas ratsionaalne või irratsionaalne. Ja koos moodustavad kõik ratsionaalsed ja irratsionaalarvud hulga nimega reaalarvude komplekt. Seda komplekti tähistatakse tähega \(\mathbb(R)\) .
See tähendab, et kõiki numbreid, mida me praegu teame, nimetatakse reaalarvudeks.

Fakt 5.
\(\bullet\) Reaalarvu moodul \(a\) on mittenegatiivne arv \(|a|\), mis võrdub kaugusega punktist \(a\) kuni \(0\) päris rida. Näiteks \(|3|\) ja \(|-3|\) on 3, kuna kaugused punktidest \(3\) ja \(-3\) kuni \(0\) on sama ja võrdne \(3 \) .
\(\bullet\) Kui \(a\) on mittenegatiivne arv, siis \(|a|=a\) .
Näide: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Kui \(a\) on negatiivne arv, siis \(|a|=-a\) .
Näide: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Nad ütlevad, et negatiivsete arvude puhul "sööb" moodul miinuse, samas kui positiivsed arvud ja ka arv \(0\) jäävad mooduli poolt muutmata.
AGA See reegel kehtib ainult numbrite kohta. Kui teie mooduli märgi all on tundmatu \(x\) (või mõni muu tundmatu), näiteks \(|x|\) , mille kohta me ei tea, kas see on positiivne, null või negatiivne, siis vabanege moodulist me ei saa. Sel juhul jääb see avaldis samaks: \(|x|\) . \(\bullet\) Kehtivad järgmised valemid: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( tingimusel ) a\geqslant 0\] Väga sageli tehakse järgmine viga: öeldakse, et \(\sqrt(a^2)\) ja \((\sqrt a)^2\) on üks ja seesama. See kehtib ainult siis, kui \(a\) on positiivne arv või null. Aga kui \(a\) on negatiivne arv, siis on see vale. Piisab, kui vaadelda seda näidet. Võtame \(a\) asemel arvu \(-1\) . Siis \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , kuid avaldist \((\sqrt (-1))^2\) pole üldse olemas (lõppude lõpuks, on võimatu kasutada juurmärki pane negatiivseid numbreid!).
Seetõttu juhime teie tähelepanu asjaolule, et \(\sqrt(a^2)\) ei ole võrdne \((\sqrt a)^2\) ! Näide: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), sest \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Kuna \(\sqrt(a^2)=|a|\) , siis \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (avaldis \(2n\) tähistab paarisarvu)
See tähendab, et kui võtta juure arvust, mis on mingil määral, väheneb see aste poole võrra.
Näide:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (pange tähele, et kui moodulit ei tarnita, siis selgub, et arvu juur on võrdne \(-25\) ) ); kuid me peame meeles, et juure definitsiooni järgi seda juhtuda ei saa: juure eraldamisel peaksime alati saama positiivse arvu või nulli)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (kuna iga paarisastme arv ei ole negatiivne)

Fakt 6.
Kuidas võrrelda kahte ruutjuurt?
\(\bullet\) Ruutjuurte puhul on see tõene: kui \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aNäide:
1) võrrelge \(\sqrt(50)\) ja \(6\sqrt2\) . Esiteks teisendame teise avaldise järgmiseks \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Seega, kuna \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Milliste täisarvude vahel asub \(\sqrt(50)\)?
Alates \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) ja \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Võrdleme \(\sqrt 2-1\) ja \(0,5\) . Oletame, et \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(joondatud) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((lisage üks mõlemale poole))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((mõlemad pooled ruudus))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(joondatud)\] Näeme, et oleme saanud vale ebavõrdsuse. Seetõttu oli meie oletus vale ja \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Pange tähele, et teatud arvu lisamine ebavõrdsuse mõlemale poolele ei mõjuta selle märki. Võrratuse mõlema poole korrutamine/jagamine positiivse arvuga ei mõjuta samuti selle märki, kuid negatiivse arvuga korrutamine/jagamine muudab võrratuse märgi ümber!
Võrrandi/võrratuse mõlema külje saab ruutu panna AINULT KUI mõlemad küljed on mittenegatiivsed. Näiteks eelmise näite ebavõrdsuses saab ruudustada mõlemad pooled, ebavõrdsuses \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Seda tuleks meeles pidada \[\begin(joondatud) &\sqrt 2\umbes 1,4\\ &\sqrt 3\umbes 1,7 \end(joondatud)\] Nende numbrite ligikaudse tähenduse teadmine aitab numbrite võrdlemisel! \(\bullet\) Selleks et eraldada juur (kui seda saab välja võtta) mõnest suurest arvust, mida ruutude tabelis ei ole, tuleb kõigepealt kindlaks teha, milliste “sadade” vahel see asub, seejärel – milliste “ kümned” ja seejärel määrake selle arvu viimane number. Näitame näitega, kuidas see toimib.
Võtame \(\sqrt(28224)\) . Teame, et \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) jne. Pange tähele, et \(28224\) on vahemikus \(10\,000\) ja \(40\,000\) . Seetõttu on \(\sqrt(28224)\) vahemikus \(100\) ja \(200\) .
Nüüd teeme kindlaks, milliste "kümnete" vahel meie number asub (st näiteks \(120\) ja \(130\) vahel). Ka ruutude tabelist teame, et \(11^2=121\) , \(12^2=144\) jne, siis \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \) ) . Seega näeme, et \(28224\) on \(160^2\) ja \(170^2\) vahel. Seetõttu on arv \(\sqrt(28224)\) vahemikus \(160\) kuni \(170\) .
Proovime määrata viimase numbri. Meenutagem, millised ühekohalised arvud ruudustamisel annavad \(4\) lõppu? Need on \(2^2\) ja \(8^2\) . Seetõttu lõpeb \(\sqrt(28224)\) numbriga 2 või 8. Kontrollime seda. Leiame \(162^2\) ja \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Seetõttu \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Matemaatika ühtse riigieksami adekvaatseks lahendamiseks peate esmalt tutvuma teoreetiliste materjalidega, mis tutvustavad teile arvukalt teoreeme, valemeid, algoritme jne. Esmapilgul võib tunduda, et see on üsna lihtne. Siiski on allika leidmine, kus matemaatika ühtse riigieksami teooria esitataks lihtsalt ja arusaadavalt mis tahes haridustasemega õpilastele, on tegelikult üsna keeruline ülesanne. Kooliõpikuid ei saa alati käepärast hoida. Ja matemaatika ühtse riigieksami põhivalemite leidmine võib isegi Internetis olla keeruline.

Miks on nii oluline õppida matemaatika teooriat mitte ainult ühtse riigieksami sooritajate jaoks?

1. Sest see avardab teie silmaringi. Matemaatika teoreetilise materjali õppimine on kasulik kõigile, kes soovivad saada vastuseid paljudele küsimustele, mis on seotud ümbritseva maailma tundmisega. Looduses on kõik korrastatud ja selge loogikaga. Just see peegeldub ka teaduses, mille kaudu on võimalik maailma mõista.
2. Sest see arendab intelligentsust. Matemaatika ühtse riigieksami teatmematerjale õppides, aga ka erinevaid ülesandeid lahendades õpib inimene loogiliselt mõtlema ja arutlema, mõtteid asjatundlikult ja selgelt sõnastama. Ta arendab analüüsi-, üldistus- ja järelduste tegemise oskust.

Kutsume teid isiklikult hindama kõiki meie lähenemisviisi eeliseid õppematerjalide süstematiseerimisel ja esitamisel.

Juurevalemid. Ruutjuurte omadused.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")

Eelmises tunnis saime aru, mis on ruutjuur. On aeg välja mõelda, millised need on olemas juurte valemid mis on juurte omadused, ja mida selle kõigega teha saab.

Juurte valemid, juurte omadused ja juurtega töötamise reeglid- see on sisuliselt sama asi. Ruutjuurte valemeid on üllatavalt vähe. Mis teeb mind kindlasti õnnelikuks! Õigemini võib kirjutada palju erinevaid valemeid, aga praktiliseks ja enesekindlaks juurtega tööks piisab vaid kolmest. Kõik muu tuleneb neist kolmest. Kuigi paljud inimesed lähevad kolme juurvalemiga segadusse, jah...

Alustame kõige lihtsamast. Siin ta on:

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Radikaalne avaldis on algebraline avaldis, mis on juuremärgi all (ruut-, kuup- või kõrgemat järku). Mõnikord võivad erinevate väljendite tähendused olla samad, näiteks 1/(√2 - 1) = √2 + 1. Radikaalse avaldise lihtsustamine on mõeldud selle viimiseks mõnele kanoonilisele tähistusvormile. Kui kaks kanoonilisel kujul kirjutatud avaldist on endiselt erinevad, ei ole nende väärtused võrdsed. Matemaatikas arvatakse, et radikaalsete väljendite (nagu ka juurtega avaldiste) kirjutamise kanooniline vorm vastab järgmistele reeglitele:

• Võimalusel vabaneda juuremärgi all olevast murdosast
• Vabane murdosaastendajatega avaldistest
• Võimalusel vabanege nimetaja juurtest
• Vabanege juur-juure korrutamise operatsioonist
• Juuremärgi alla peate jätma ainult need terminid, millest pole võimalik täisarvu juurt eraldada

Neid reegleid saab rakendada testimisülesannete jaoks. Näiteks kui lahendasite ülesande, kuid tulemus ei vasta ühelegi antud vastusele, kirjutage tulemus kanoonilises vormis. Pidage meeles, et testülesannete vastused antakse kanoonilisel kujul, nii et kui kirjutate tulemuse samal kujul, saate hõlpsalt õige vastuse kindlaks teha. Kui probleem nõuab "vastuse lihtsustamist" või "radikaalsete väljendite lihtsustamist", tuleb tulemus kirjutada kanoonilises vormis. Veelgi enam, kanooniline vorm muudab võrrandite lahendamise lihtsamaks, kuigi mõnda võrrandit on lihtsam lahendada, kui kanooniline tähistus mõneks ajaks unustada.

Sammud

Täisruutudest ja täiskuubikutest vabanemine

Murdastendajaga avaldisest vabanemine

Teisenda murdosalise astendajaga avaldis radikaalavaldiseks. Või vajadusel teisendage radikaalavaldis murdosaliseks, kuid ärge kunagi segage selliseid avaldisi ühes võrrandis, näiteks nii: √5 + 5^(3/2). Oletame, et otsustate töötada juurtega; Tähistame n ruutjuurt kui √n ja kuupjuurt n kui kuupi√n.

Murdudest vabanemine juurmärgi all

Vastavalt kanoonilisele tähistusvormile tuleb murdosa juur esitada täisarvude juurte jaotusena.

Vaadake radikaalset väljendit. Kui see on murdosa, minge järgmise sammu juurde.

Asendage murdosa juur kahe juure suhtega vastavalt järgmisele identiteedile:√(a/b) = √a/√b.

• Ärge kasutage seda identiteeti, kui nimetaja on negatiivne või sisaldab muutujat, mis võib olla negatiivne. Sel juhul lihtsustage kõigepealt murdosa.

1. Lihtsustage täiuslikke ruute (kui teil neid on). Näiteks √(5/4) = √5/√4 = (√5)/2.

Juurte paljunemise operatsiooni kõrvaldamine

Vabanemine teguritest, mis on täiuslikud ruudud

Laota välja radikaalne arv teguriteks. Tegurid on mõned arvud, mille korrutamisel saadakse algne arv. Näiteks 5 ja 4 on arvu 20 kaks tegurit. Kui radikaalarvust ei saa eraldada täisarvu juurt, lisage arv selle võimalike tegurite hulka ja leidke nende hulgast täiuslik ruut.

• Näiteks kirjutage üles kõik tegurid 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 on koefitsient 45 (9 x 5 = 45) ja täiuslik ruut (9 = 3^2).

1. Võtke kordaja, mis on täiuslik ruut, juuremärgist kaugemale. 9 on täiuslik ruut, sest 3 x 3 = 9. Vabane juuremärgi all olevast 9-st ja kirjuta juuremärgi ette 3; juurmärgi all on 5. Kui panna juuremärgi alla arv 3, korrutatakse see iseendaga ja arvuga 5 ehk 3 x 3 x 5 = 9 x 5 = 45. Seega 3 √ 5 on tähise √45 lihtsustatud vorm.

   • √45 = √(9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

2. Leidke muutujaga radikaalavaldises täiuslik ruut. Pidage meeles: √(a^2) = |a|. Sellist avaldist saab lihtsustada tähega "a", kuid ainult siis, kui muutuja võtab positiivseid väärtusi. √(a^3) saab lagundada √a * √(a^2), sest identsete muutujate korrutamisel liidetakse nende eksponendid (a * a^2 = a^3).

   • Seega on avaldises a^3 täiuslik ruut a^2.

3. Võtke välja muutuja, mis on täiuslik ruut väljaspool juurmärki. Vabanege juurmärgi all olevast a^2-st ja kirjutage juurmärgi ette "a". Seega √(a^3) = a√a.

   Andke sarnased terminid ja lihtsustage kõiki ratsionaalseid väljendeid.

Nimetaja juurtest vabanemine (nimetaja ratsionaliseerimine)

Vastavalt kanoonilisele vormile nimetaja, kui võimalik, peaks sisaldama ainult täisarve (või muutuja olemasolul polünoomi).

• Kui nimetaja on radikaalmonoom, näiteks [lugeja]/√5, korrutage lugeja ja nimetaja selle juurega: ([lugeja] * √5)/(√5 * √5) = ([lugeja] * √5 )/5.
  • Kuupjuure või suurema juure korral korrutage lugeja ja nimetaja juurega radikaaliga sobiva astmeni, et nimetaja ratsionaliseerida. Kui nimetaja on näiteks kuup √5, korrutage lugeja ja nimetaja kuubikuga √(5^2).
• Kui nimetaja on ruutjuurte summa või erinevus, näiteks √2 + √6, korrutage lugeja ja nimetaja konjugaadiga, st avaldisega, mille liikmete vahel on vastupidine märk. Näiteks: [lugeja]/(√2 + √6) = ([lugeja] * (√2 - √6))/((√2 + √6) * (√2 - √6)). Seejärel kasutage nimetaja ratsionaliseerimiseks ruutude erinevuse valemit ((a + b)(a - b) = a^2 - b^2): (√2 + √6)(√2 - √6) = (√2 )^2 - (√6)^2 = 2 - 6 = -4.
  • Ruudude erinevuse valemit saab rakendada ka avaldisele kujul 5 + √3, sest iga täisarv on teise täisarvu ruutjuur. Näiteks: 1/(5 + √3) = (5 - √3)/((5 + √3)(5 - √3)) = (5 - √3)/(5^2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3)/(25 - 3) = (5 - √3)/22
  • Seda meetodit saab rakendada ruutjuurte summale, näiteks √5 - √6 + √7. Kui rühmitate selle avaldise kujul (√5 - √6) + √7 ja korrutate selle arvuga (√5 - √6) - √7, ei vabane te juurtest, vaid saate vormi avaldise a + b * √30, kus "a" ja "b" on juureta monomiaalid. Seejärel saab saadud avaldise juurtest vabanemiseks korrutada selle konjugaadiga: (a + b * √30)(a - b * √30). See tähendab, et kui konjugeeritud avaldist saab kasutada ühe korra, et vabaneda teatud arvust juurtest, siis saab seda kasutada nii mitu korda, kui on vaja kõigist juurtest vabanemiseks.
  • See meetod kehtib ka kõrgemate jõudude juurte kohta, näiteks väljend "4. juur 3-st pluss 7. juur 9-st". Sel juhul korrutage lugeja ja nimetaja nimetaja konjugeeritud avaldisega. Kuid siin on konjugaadi ekspressioon ülalkirjeldatust veidi erinev. Selle juhtumi kohta saate lugeda algebraõpikutest.

1. Pärast nimetaja juurte eemaldamist lihtsustage lugejat. Lugeja on algse avaldise ja konjugaatavaldise korrutis.

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ning eelseisvate sündmustega.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel - oma isikuandmeid avaldada. Võime teie kohta teavet avaldada ka juhul, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas halduslikke, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

On aeg see korda ajada juure ekstraheerimise meetodid. Need põhinevad juurte omadustel, eelkõige võrdusel, mis kehtib iga mittenegatiivse arvu b kohta.

Allpool vaatleme ükshaaval juurte ekstraheerimise peamisi meetodeid.

Alustame kõige lihtsamast juhtumist – naturaalarvudest juurte eraldamine ruutude tabeli, kuubitabeli jne abil.

Kui tabelid ruutudest, kuubikutest jne. Kui teil seda käepärast pole, on loogiline kasutada juure eraldamise meetodit, mis hõlmab radikaalarvu lagundamist algteguriteks.

Eraldi tasub mainida, mis on võimalik paaritute astendajatega juurte puhul.

Lõpuks vaatleme meetodit, mis võimaldab meil järjestikku leida juurväärtuse numbrid.

Alustame.

Kasutades ruutude tabelit, kuubikute tabelit jne.

Kõige lihtsamatel juhtudel võimaldavad ruutude, kuubikute jms tabelid juurte väljavõtmist. Mis need tabelid on?

Täisarvude ruutude tabel vahemikus 0 kuni 99 (näidatud allpool) koosneb kahest tsoonist. Tabeli esimene tsoon asub hallil taustal, konkreetse rea ja kindla veeru valimisega saab koostada arvu vahemikus 0 kuni 99. Näiteks valime rea 8 kümnest ja veeru 3 ühikust, sellega fikseerisime numbri 83. Teine tsoon hõivab ülejäänud tabeli. Iga lahter asub kindla rea ​​ja kindla veeru ristumiskohas ning sisaldab vastava arvu ruutu vahemikus 0 kuni 99. Meie valitud 8 kümnest koosneva rea ​​ja 3 üheliste veeru ristumiskohas on lahter numbriga 6889, mis on arvu 83 ruut.

Kuubikute tabelid, arvude 0 kuni 99 neljanda astme tabelid ja nii edasi on sarnased ruutude tabeliga, ainult et need sisaldavad teises tsoonis kuupe, neljandaid astmeid jne. vastavad numbrid.

Ruudude, kuubikute, neljandate astmete jne tabelid. võimaldab eraldada ruutjuuri, kuupjuuri, neljandaid juuri jne. vastavalt nendes tabelites toodud numbritest. Selgitame nende kasutamise põhimõtet juurte ekstraheerimisel.

Oletame, et peame eraldama arvu a n-nda juure, samas kui arv a sisaldub n-nda astme tabelis. Seda tabelit kasutades leiame arvu b nii, et a=b n. Siis , seega on arv b soovitud n-nda astme juur.

Näitena näitame, kuidas kasutada kuubitabelit kuupjuure 19 683 eraldamiseks. Kuubikute tabelist leiame numbri 19 683, sellest leiame, et see arv on numbri 27 kuup, seega .

On selge, et n-nda astme tabelid on juurte eraldamiseks väga mugavad. Sageli pole neid aga käepärast ja nende koostamine nõuab omajagu aega. Pealegi on sageli vaja välja võtta juured numbritest, mida vastavates tabelites pole. Sellistel juhtudel peate kasutama muid juure ekstraheerimise meetodeid.

Radikaalarvu arvutamine algteguriteks

Üsna mugav viis naturaalarvu juure eraldamiseks (juhul, kui juur on muidugi eraldatud), on radikaalarvu lagundamine algteguriteks. Tema point on selles: pärast seda on seda üsna lihtne esitada soovitud astendajaga astmena, mis võimaldab saada juure väärtuse. Teeme selle punkti selgeks.

Olgu naturaalarvu a n-s juur ja selle väärtus võrdub b. Sel juhul on võrdus a=b n tõene. Arvu b, nagu iga naturaalarvu, saab esitada kõigi selle algtegurite p 1 , p 2 , …, p m korrutisena kujul p 1 ·p 2 ·…·p m ja sel juhul radikaalarvu a on esitatud kui (p 1 · p 2 ·… · p m) n . Kuna arvu lagunemine algteguriteks on unikaalne, on radikaalarvu a lagundamine algteguriteks kujul (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, mis võimaldab arvutada juure väärtuse. nagu.

Pange tähele, et kui radikaalarvu a algteguriteks lagunemist ei saa esitada kujul (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, siis sellise arvu a n-ndat juurt ei eraldata täielikult.

Selgitame selle välja näidete lahendamisel.

Näide.

Võtke 144 ruutjuur.

Lahendus.

Kui vaatate eelmises lõigus toodud ruutude tabelit, näete selgelt, et 144 = 12 2, millest on selge, et 144 ruutjuur võrdub 12-ga.

Kuid selle punkti valguses huvitab meid, kuidas juur eraldatakse radikaalarvu 144 algteguriteks lagundamisel. Vaatame seda lahendust.

Laguneme 144 algteguriteks:

See tähendab, et 144=2·2·2·2·3·3. Saadud lagunemise põhjal saab läbi viia järgmised teisendused: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = (2 · 2) 2 · 3 2 = (2 · 2 · 3) 2 = 12 2. Seega .

Kasutades kraadi omadusi ja juurte omadusi, võiks lahuse formuleerida veidi teisiti: .

Vastus:

Materjali koondamiseks kaaluge veel kahe näite lahendusi.

Näide.

Arvutage juure väärtus.

Lahendus.

Radikaalarvu 243 algfaktorisatsioon on kujul 243=3 5 . Seega .

Vastus:

Näide.

Kas juurväärtus on täisarv?

Lahendus.

Sellele küsimusele vastamiseks jagame radikaalarvu algteguriteks ja vaatame, kas seda saab esitada täisarvu kuubina.

Meil on 285 768 = 2 3 · 3 6 · 7 2. Saadud laiendust ei saa esitada täisarvu kuubina, kuna algteguri 7 aste ei ole kolmekordne. Seetõttu ei saa kuupjuurt 285 768 täielikult eraldada.

Vastus:

Ei.

Murdarvudest juurte eraldamine

On aeg välja mõelda, kuidas eraldada murdarvu juur. Kirjutada murdosa radikaalarv kujul p/q. Jagatise juure omaduse järgi on tõene järgmine võrdsus. Sellest võrdsusest järeldub murru juure eraldamise reegel: Murru juur on võrdne lugeja juure jagatisega, mis on jagatud nimetaja juurega.

Vaatame näidet juure murdmisest.

Näide.

Mis on hariliku murru 25/169 ruutjuur?

Lahendus.

Kasutades ruutude tabelit, leiame, et algmurru lugeja ruutjuur võrdub 5-ga ja nimetaja ruutjuur on võrdne 13-ga. Siis . See lõpetab hariliku fraktsiooni 25/169 juure ekstraheerimise.

Vastus:

Kümnendmurru või segaarvu juur ekstraheeritakse pärast radikaalarvude asendamist tavaliste murdudega.

Näide.

Võtke kümnendmurru 474,552 kuupjuur.

Lahendus.

Kujutagem ette algset kümnendmurdu hariliku murruna: 474,552=474552/1000. Siis . Jääb välja võtta kuupjuured, mis on saadud murdosa lugejas ja nimetajas. Sest 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 = 78 3 ja 1 000 = 10 3, siis Ja . Jääb vaid arvutused lõpule viia .

Vastus:

.

Negatiivse arvu juure võtmine

Tasub peatuda negatiivsetest arvudest juurte eraldamisel. Juurte uurimisel ütlesime, et kui juureksponent on paaritu arv, siis juuremärgi all võib olla negatiivne arv. Andsime neile kirjetele järgmise tähenduse: negatiivse arvu −a ja juure 2 n−1 paaritu eksponendi korral, . See võrdsus annab reegel negatiivsetest arvudest paaritute juurte eraldamiseks: negatiivse arvu juure eraldamiseks peate võtma vastupidise positiivse arvu juure ja panema tulemuse ette miinusmärgi.

Vaatame näidislahendust.

Näide.

Leidke juure väärtus.

Lahendus.

Teisendame algse avaldise nii, et juurmärgi all oleks positiivne arv: . Nüüd asendage segaarv tavalise murruga: . Rakendame hariliku murru juure eraldamise reeglit: . Jääb välja arvutada saadud murdosa lugejas ja nimetajas olevad juured: .

Siin on lahenduse lühikokkuvõte: .

Vastus:

.

Juurväärtuse bitipõhine määramine

Üldjuhul on juure all arv, mida ülalkirjeldatud tehnikaid kasutades ei saa esitada ühegi arvu n-nda astmena. Kuid sel juhul on vaja teada antud juure tähendust, vähemalt kuni teatud märgini. Sel juhul saate juure ekstraheerimiseks kasutada algoritmi, mis võimaldab teil järjestikku hankida soovitud numbri piisav arv numbrilisi väärtusi.

Selle algoritmi esimene samm on välja selgitada, mis on juurväärtuse kõige olulisem bitt. Selleks tõstetakse arvud 0, 10, 100, ... järjestikku astmeni n, kuni saadakse hetk, mil arv ületab radikaalarvu. Seejärel näitab arv, mille tõstsime eelmises etapis astmeni n, vastavat kõige olulisemat numbrit.

Näiteks kaaluge seda algoritmi sammu viie ruutjuure eraldamisel. Võtke arvud 0, 10, 100, ... ja ruudustage need, kuni saame arvu, mis on suurem kui 5. Meil on 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, mis tähendab, et kõige olulisem number on üks number. Selle biti ja ka madalamate väärtuste leiate juurekstraktsiooni algoritmi järgmistest sammudest.

Algoritmi kõik järgnevad sammud on suunatud juure väärtuse järjestikusele selgitamisele, leides juure soovitud väärtuse järgmiste bittide väärtused, alustades kõrgeimast ja liikudes madalaimateni. Näiteks juure väärtus esimesel etapil osutub 2, teisel - 2,2, kolmandal - 2,23 ja nii edasi 2,236067977…. Kirjeldame, kuidas numbrite väärtused leitakse.

Numbrid leitakse nende võimalike väärtuste 0, 1, 2, ..., 9 kaudu. Sel juhul arvutatakse paralleelselt vastavate arvude n-ndad astmed ja neid võrreldakse radikaalarvuga. Kui mingil etapil ületab astme väärtus radikaalarvu, loetakse eelmisele väärtusele vastav numbri väärtus leituks ja toimub üleminek juure eraldamise algoritmi järgmisele sammule; kui seda ei juhtu, siis selle numbri väärtus on 9.

Selgitame neid punkte, kasutades sama näidet viie ruutjuure eraldamiseks.

Kõigepealt leiame ühikute numbri väärtuse. Me käime läbi väärtused 0, 1, 2, ..., 9, arvutades vastavalt 0 2, 1 2, ..., 9 2, kuni saame väärtuse, mis on suurem kui radikaalarv 5. Kõik need arvutused on mugav esitada tabeli kujul:

Seega on ühikute numbri väärtus 2 (alates 2 2<5 , а 2 3 >5). Liigume edasi kümnendike koha väärtuse leidmise juurde. Sel juhul paneme numbrid 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 ruutu, võrreldes saadud väärtusi radikaalarvuga 5:

Alates 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, siis kümnendiku koha väärtus on 2. Saate jätkata sajandikukoha väärtuse leidmist:

Nii leiti viie juure järgmine väärtus, see võrdub 2,23-ga. Ja nii saate jätkata väärtuste leidmist: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Materjali konsolideerimiseks analüüsime vaadeldava algoritmi abil juure eraldamist sajandiku täpsusega.

Kõigepealt määrame kindlaks kõige olulisema numbri. Selleks kuubime arvud 0, 10, 100 jne. kuni saame arvu, mis on suurem kui 2 151 186. Meil on 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151 186 , seega on kõige olulisem number kümnend.

Määrame selle väärtuse.

Alates 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, siis on kümnekoha väärtus 1. Liigume edasi üksuste juurde.

Seega on ühe numbri väärtus 2. Liigume kümnendike juurde.

Kuna isegi 12,9 3 on vähem kui radikaalarv 2 151,186, siis kümnendiku koha väärtus on 9. Jääb teha algoritmi viimane samm, see annab meile juure väärtuse vajaliku täpsusega.

Selles etapis leitakse juure väärtus sajandiku täpsusega: .

Selle artikli kokkuvõtteks tahaksin öelda, et juurte ekstraheerimiseks on palju muid viise. Kuid enamiku ülesannete jaoks piisab ülaltoodud ülesannetest.

Bibliograafia.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 8. klassile. õppeasutused.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. jt.Algebra ja analüüsi alged: Õpik üldharidusasutuste 10. - 11. klassile.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse astujatele).