Põhimõisted

Kõigepealt tuletagem meelde määratlust paaris-, paaritu- ja perioodilised funktsioonid.

2. definitsioon

Paarisfunktsioon on funktsioon, mis ei muuda oma väärtust sõltumatu muutuja märgi muutumisel:

3. definitsioon

Funktsioon, mis kordab oma väärtusi teatud kindla intervalliga:

T -- funktsiooni periood.

Paaris- ja paaritu trigonomeetrilised funktsioonid

Vaadake järgmist joonist (joonis 1):

Pilt 1.

Siin on $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ ja $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ ühikupikkused vektorid, mis on sümmeetrilised $Ox$ telje suhtes.

On ilmne, et nende vektorite koordinaadid on seotud järgmiste seostega:

Kuna siinuse ja koosinuse trigonomeetrilisi funktsioone saab määrata ühiktrigonomeetrilise ringi abil, saame, et siinusfunktsioon on paaritu ja koosinusfunktsioon paarisfunktsioon, see tähendab:

Trigonomeetriliste funktsioonide perioodilisus

Vaadake järgmist joonist (joonis 2).

Joonis 2.

Siin $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ on ühikupikkusega vektor.

Teeme täieliku revolutsiooni vektoriga $\overrightarrow(OA)$. See tähendab, et pöörame seda vektorit $2\pi $ radiaani võrra. Pärast seda naaseb vektor täielikult oma algasendisse.

Kuna siinuse ja koosinuse trigonomeetrilisi funktsioone saab määrata ühiktrigonomeetrilise ringi abil, saame

See tähendab, et siinus- ja koosinusfunktsioonid on perioodilised funktsioonid väikseima perioodiga $T=2\pi $.

Vaatleme nüüd puutuja ja kotangensi funktsioone. Kuna $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, siis

Kuna $сtgx=\frac(cosx)(sinx)$, siis

Näited probleemidest, mis kasutavad trigonomeetriliste funktsioonide paarsust, veidrust ja perioodilisust

Näide 1

Tõestage järgmisi väiteid:

a) $tg(385)^0=tg(25)^0$

c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$

a) $tg(385)^0=tg(25)^0$

Kuna puutuja on perioodiline funktsioon minimaalse perioodiga $(360)^0$, saame

b) $(cos \left(-13\pi \right)\ )=-1$

Kuna koosinus on ühtlane ja perioodiline funktsioon minimaalse perioodiga $2\pi $, saame

\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- 1\]

c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$

Kuna siinus on paaritu ja perioodiline funktsioon minimaalse perioodiga $(360)^0$, saame

ebavõrdsuse süsteemi rahuldamine:

b) Vaatleme arvurida, mis rahuldab võrratussüsteemi:

Leidke selle hulga moodustavate lõikude pikkuste summa.

§ 7. Lihtsamad valemid

Paragrahvis 3 kehtestasime teravnurkade α jaoks järgmise valemi:

Niisiis, ringjoone võrrandist tuleneb valem cos2 α + sin2 α = 1. Võib tunduda, et oleme sellega andnud sellele teravnurkade valemile uue tõestuse (võrreldes sellega, mis on näidatud punktis 3, kus kasutasime Pythagorase teoreemi). Erinevus on aga puhtalt väline: ringjoone võrrandi x2 + y2 = 1 tuletamisel kasutatakse sama Pythagorase teoreemi.

Teravnurkade jaoks saime näiteks ka teisi valemeid

Sümboli järgi on parem pool alati mittenegatiivne, vasak pool aga võib olla negatiivne. Selleks, et valem oleks kõigi α puhul tõene, tuleb see ruudus panna. Saadud võrdus on: cos2 α = 1/(1 + tan2 α). Tõestame, et see valem kehtib kõigi α:1 kohta

Probleem 7.1. Tuletage kõik alltoodud valemid definitsioonidest ja valemist sin2 α + cos2 α = 1 (mõned neist oleme juba tõestanud):

Need valemid võimaldavad, teades antud arvu ühe trigonomeetrilise funktsiooni väärtust, leida peaaegu kõik ülejäänud.

uus Olgu näiteks teada, et sin x = 1/2. Siis cos2 x =

1−sin2 x = 3/4, seega cos x on kas 3/2 või − 3/2. Et teada saada, milline neist kahest arvust cos x on võrdne, on vaja lisateavet.

Probleem 7.2. Näidake näidetega, et mõlemad ülaltoodud juhtumid on võimalikud.

Probleem 7.3. a) Olgu tan x = −1. Leia sin x. Kui palju vastuseid sellel probleemil on?

b) Olgu lisaks punkti a) tingimustele teada, et sin x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1 Mille jaoks on defineeritud tan α, st cos α 6 = 0.

Probleem 7.4. Olgu sin x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. Leia tg x.

Probleem 7.5. Olgu tan x = 3, cos x > sin x. Leia cos x, sin x.

Probleem 7.6. Olgu tg x = 3/5. Leidke sin x + 2 cos x. cos x − 3 sin x

Probleem 7.7. Tõesta identiteete:

Probleem 7.8. Lihtsustage väljendeid:

a) (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 ; b) (tg α + ctg α)2 + (tg α − ctg α)2 ;

c) sin α(2 + cot α)(2 cot α + 1) − 5 cos α.

§ 8. Trigonomeetriliste funktsioonide perioodid

Arvud x, x+2π, x−2π vastavad samale punktile trigonomeetrilisel ringil (kui kõnnite mööda trigonomeetrilist ringi lisaringi, jõuate tagasi sinna, kus olite). See viitab järgmistele identiteetidele, mida arutati juba §-s 5:

sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sin x; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cos x.

Nende identiteetidega seoses oleme juba kasutanud mõistet "periood". Anname nüüd täpsed määratlused.

Definitsioon. Arvu T 6= 0 nimetatakse funktsiooni f perioodiks, kui kõigi x puhul on tõesed võrrandid f(x − T) = f(x + T) = f(x) (eeldatakse, et x + T ja x − T kuuluvad funktsiooni definitsioonipiirkonda, kui see sisaldab x). Funktsiooni nimetatakse perioodiliseks, kui sellel on punkt (vähemalt üks).

Perioodilised funktsioonid tekivad loomulikult võnkeprotsesside kirjeldamisel. Ühte sellist protsessi on juba käsitletud §-s 5. Siin on veel näiteid:

1) Olgu ϕ = ϕ(t) kella kõikuva pendli kõrvalekalde nurk vertikaalist momendil t. Siis ϕ on t perioodiline funktsioon.

2) Pinge ("potentsiaalide erinevus", nagu füüsik ütleks) vahelduvvoolu pistikupesa kahe pistikupesa vahel,

kas seda käsitletakse aja funktsioonina, on perioodiline funktsioon1.

3) Kuulame muusikalist heli. Siis on õhurõhk antud punktis aja perioodiline funktsioon.

Kui funktsioonil on periood T, siis on selle funktsiooni perioodideks ka arvud −T, 2T, −2T. . . - ühesõnaga kõik arvud nT, kus n on täisarv, mis ei ole võrdne nulliga. Tõepoolest, kontrollime näiteks, et f(x + 2T) = f(x):

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

Definitsioon. Funktsiooni f väikseim positiivne periood on vastavalt sõnade otsesele tähendusele positiivne arv T nii, et T on f periood ja ükski positiivne arv, mis on väiksem kui T, ei ole periood f.

Perioodilisel funktsioonil ei pea olema väikseimat positiivset perioodi (näiteks konstantsel funktsioonil on suvalise arvu periood ja seetõttu pole tal ka väikseimat positiivset perioodi). Samuti võime tuua näiteid mittekonstantsetest perioodilistest funktsioonidest, millel ei ole kõige väiksemat positiivset perioodi. Sellegipoolest eksisteerib enamikul huvitavatel juhtudel perioodiliste funktsioonide väikseim positiivne periood.

1 Kui nad ütlevad "võrgu pinge on 220 volti", peavad nad silmas selle ruutkeskmist väärtust, millest räägime §-s 21. Pinge ise muutub kogu aeg.

Riis. 8.1. Tangensi ja kotangensi periood.

Eelkõige on nii siinuse kui ka koosinuse väikseim positiivne periood 2π. Tõestame seda näiteks funktsiooni y = sin x puhul. Olgu vastupidiselt meie väidetule siinusel periood T nii, et 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

Võnkumisi kirjeldava funktsiooni väikseimat positiivset perioodi (nagu meie näidetes 1–3) nimetatakse lihtsalt nende võnkumiste perioodiks.

Kuna 2π on siinuse ja koosinuse periood, on see ka puutuja ja kotangensi periood. Kuid nende funktsioonide puhul ei ole 2π väikseim periood: puutuja ja kotangensi väikseim positiivne periood on π. Tegelikult on trigonomeetrilisel ringil arvudele x ja x + π vastavad punktid diametraalselt vastupidised: punktist x punktini x + 2π tuleb läbida vahemaa π, mis on täpselt võrdne poole ringiga. Kui nüüd kasutada puutuja ja kotangensi definitsiooni puutujate ja kotangentide telgede abil, siis ilmnevad võrrandid tg(x + π) = tan x ja ctg(x + π) = ctg x (joonis 8.1). Lihtne on kontrollida (soovitame seda ülesannetes teha), et π on tõepoolest puutuja ja kotangensi väikseim positiivne periood.

Üks märkus terminoloogia kohta. Sõnu "funktsiooni periood" kasutatakse sageli "väikseima positiivse perioodi" tähenduses. Seega, kui teilt küsitakse eksamil: "Kas 100π on siinusfunktsiooni periood?", ärge kiirustage vastama, vaid tehke selgeks, kas peate silmas väikseimat positiivset perioodi või ainult ühte perioodidest.

Trigonomeetrilised funktsioonid on tüüpiline näide perioodilistest funktsioonidest: mis tahes "mitte väga halba" perioodilist funktsiooni saab mõnes mõttes väljendada trigonomeetriliste funktsioonidega.

Probleem 8.1. Leidke funktsioonide väikseimad positiivsed perioodid:

d) y = cos x + cos(1,01x).

Probleem 8.2. Pinge sõltuvus vahelduvvooluvõrgus ajast on antud valemiga U = U0 sin ωt (siin t on aeg, U on pinge, U0 ja ω on konstandid). Vahelduvvoolu sagedus on 50 hertsi (see tähendab, et pinge teeb 50 võnkumist sekundis).

a) Leidke ω, eeldades, et t mõõdetakse sekundites;

b) Leia U (väikseim positiivne) periood funktsioonina t.

Ülesanne 8.3. a) Tõesta, et koosinuse väikseim positiivne periood on 2π;

b) Tõesta, et puutuja väikseim positiivne periood on võrdne π-ga.

Ülesanne 8.4. Olgu funktsiooni f väikseim positiivne periood T. Tõesta, et selle kõik teised perioodid on mõne täisarvu n korral kujul nT.

Ülesanne 8.5. Tõesta, et järgmised funktsioonid ei ole perioodilised.

Eesmärk: võtta kokku ja süstematiseerida õpilaste teadmisi teemal "Funktsioonide perioodilisus"; kujundab perioodilisuse funktsiooni omaduste rakendamise, funktsiooni väikseima positiivse perioodi leidmise, perioodiliste funktsioonide graafikute koostamise oskusi; tõsta huvi matemaatika õppimise vastu; kasvatada tähelepanelikkust ja täpsust.

Varustus: arvuti, multimeediaprojektor, töökaardid, slaidid, kellad, kaunistuslauad, rahvakunsti elemendid

"Matemaatika on see, mida inimesed kasutavad looduse ja enda kontrollimiseks."
A.N. Kolmogorov

Tundide ajal

I. Organisatsioonietapp.

Õpilaste tunniks valmisoleku kontrollimine. Teatage tunni teemast ja eesmärkidest.

II. Kodutööde kontrollimine.

Kontrollime kodutöid näidiste abil ja arutame läbi kõige keerulisemad punktid.

III. Teadmiste üldistamine ja süstematiseerimine.

1. Suuline frontaaltöö.

Teooriaprobleemid.

1) Moodustage funktsiooni perioodi määratlus
2) Nimetage funktsioonide y=sin(x), y=cos(x) väikseim positiivne periood
3). Mis on funktsioonide y=tg(x), y=ctg(x) väikseim positiivne periood
4) Tõesta ringi abil seoste õigsust:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Kuidas joonistada perioodilist funktsiooni?

Suulised harjutused.

1) Tõesta järgmised seosed

a) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Tõesta, et nurk 540º on üks funktsiooni y= cos(2x) perioodidest.

3. Tõesta, et nurk 360º on üks funktsiooni y=tg(x) perioodidest.

4. Teisenda need avaldised nii, et neis sisalduvad nurgad ei ületaks absoluutväärtuses 90º.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos (-7363º)

5. Kust sa kohtasid sõnu PERIOOD, PERIOODISUUS?

Õpilane vastab: Periood muusikas on struktuur, milles esitatakse enam-vähem terviklik muusikaline mõte. Geoloogiline periood on osa ajastust ja jaguneb ajajärkudeks ajavahemikuga 35–90 miljonit aastat.

Radioaktiivse aine poolestusaeg. Perioodiline murd. Perioodika on trükitud väljaanded, mis ilmuvad rangelt kindlaksmääratud tähtaegadel. Mendelejevi perioodiline süsteem.

6. Joonistel on kujutatud perioodiliste funktsioonide graafikute osi. Määrake funktsiooni periood. Määrake funktsiooni periood.

Vastus: T=2; T = 2; T = 4; T=8.

7. Kus oma elus oled korduvate elementide konstrueerimisega kokku puutunud?

Õpilase vastus: Ornamendi elemendid, rahvakunst.

IV. Probleemide kollektiivne lahendamine.

(ülesannete lahendamine slaididel.)

Vaatleme ühte funktsiooni perioodilisuse uurimise viisidest.

See meetod väldib raskusi, mis on seotud tõestamisega, et konkreetne periood on väikseim, ning välistab ka vajaduse puudutada küsimusi perioodiliste funktsioonide aritmeetiliste toimingute ja keeruka funktsiooni perioodilisuse kohta. Põhjendus põhineb ainult perioodilise funktsiooni definitsioonil ja järgmisel faktil: kui T on funktsiooni periood, siis nT(n?0) on selle periood.

Ülesanne 1. Leia funktsiooni f(x)=1+3(x+q>5) väikseim positiivne periood

Lahendus: oletame, et selle funktsiooni T-periood. Siis f(x+T)=f(x) kõigi x € jaoks D(f), s.t.

1+3 (x+T+0,25)=1+3 (x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Paneme x=-0,25 saame

(T) = 0<=>T=n, n € Z

Saime, et kõik kõnealuse funktsiooni perioodid (kui need on olemas) on täisarvude hulgas. Valime nende arvude hulgast väikseima positiivse arvu. See 1 . Vaatame, kas see on tõesti periood 1 .

f(x+1) =3(x+1+0,25)+1

Kuna (T+1)=(T) mis tahes T korral, siis f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), st. 1 – periood f. Kuna 1 on kõigist positiivsetest täisarvudest väikseim, siis T=1.

Ülesanne 2. Näidake, et funktsioon f(x)=cos 2 (x) on perioodiline ja leidke selle põhiperiood.

Ülesanne 3. Leia funktsiooni põhiperiood

f(x)=sin(1,5x)+5cos (0,75x)

Oletame funktsiooni T-perioodi, siis mis tahes X suhe kehtib

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Kui x = 0, siis

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Kui x=-T, siis

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= – sin(1,5T)+5cos(0,75T)

Selle liitmisel saame:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Valime perioodi kõigist "kahtlastest" numbritest väikseima positiivse arvu ja kontrollime, kas see on periood f jaoks. See number

f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

See tähendab, et see on funktsiooni f põhiperiood.

Ülesanne 4. Kontrollime, kas funktsioon f(x)=sin(x) on perioodiline

Olgu T funktsiooni f periood. Siis mis tahes x jaoks

sin|x+Т|=sin|x|

Kui x=0, siis sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Oletame. Et mõne n puhul on arv π n periood

vaadeldav funktsioon π n>0. Siis sin|π n+x|=sin|x|

See tähendab, et n peab olema nii paaris kui ka paaritu arv, kuid see on võimatu. Seetõttu ei ole see funktsioon perioodiline.

Ülesanne 5. Kontrolli, kas funktsioon on perioodiline

f(x)=

Olgu T siis f periood

, seega sinT=0, Т=π n, n € Z. Oletame, et mõne n korral on arv π n tõepoolest selle funktsiooni periood. Siis on punkt 2π n

Kuna lugejad on võrdsed, on nende nimetajad seega võrdsed

See tähendab, et funktsioon f ei ole perioodiline.

Grupitöö.

Ülesanded 1. rühmale.

Ülesanded 2. rühmale.

Kontrollige, kas funktsioon f on perioodiline, ja leidke selle põhiperiood (kui see on olemas).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Ülesanded 3. rühmale.

Töö lõpus esitlevad rühmad oma lahendusi.

VI. Õppetunni kokkuvõte.

Peegeldus.

Õpetaja annab õpilastele joonistega kaardid ja palub neil värvida osa esimesest joonisest vastavalt sellele, mil määral nad arvavad, et nad on omandanud funktsiooni perioodilisuse uurimise meetodid, ja osa teisest joonisest vastavalt oma joonisele. panus tunnis tehtavasse töösse.

VII. Kodutöö

1). Kontrollige, kas funktsioon f on perioodiline ja leidke selle põhiperiood (kui see on olemas)

b). f(x)=x2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funktsioonil y=f(x) on periood T=2 ja f(x)=x 2 +2x x € jaoks [-2; 0]. Leidke avaldise -2f(-3)-4f(3,5) väärtus

Kirjandus/

1. Mordkovich A.G. Algebra ja analüüsi algus süvaõppega.
2. Matemaatika. Ettevalmistus ühtseks riigieksamiks. Ed. Lõssenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Šeremetjeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra ja algusanalüüs 10.-11. klassile.

Tsentreeritud punkti A.
α - radiaanides väljendatud nurk.

Definitsioon
Siinus (sin α) on trigonomeetriline funktsioon, mis sõltub täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja haru vahelisest nurgast α, mis on võrdne vastasharu pikkuse suhtega |BC| hüpotenuusi pikkuseni |AC|.

Koosinus (cos α) on trigonomeetriline funktsioon, mis sõltub täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja haru vahelisest nurgast α, mis on võrdne külgneva haru pikkuse suhtega |AB| hüpotenuusi pikkuseni |AC|.

Aktsepteeritud märkused

;
;
.

;
;
.

Siinusfunktsiooni graafik, y = sin x

Koosinusfunktsiooni graafik, y = cos x

Siinuse ja koosinuse omadused

Perioodilisus

Funktsioonid y = sin x ja y = cos x perioodiline perioodiga 2π.

Pariteet

Siinusfunktsioon on paaritu. Koosinusfunktsioon on paaris.

Määratluse ja väärtuste valdkond, äärmused, tõus, vähenemine

Siinus- ja koosinusfunktsioonid on pidevad oma definitsioonipiirkonnas, st kõigi x-ide puhul (vt pidevuse tõestust). Nende peamised omadused on toodud tabelis (n - täisarv).

Põhivalemid

Siinuse ja koosinuse ruutude summa

Siinuse ja koosinuse valemid summast ja vahest

;
;

Siinuse ja koosinuse korrutise valemid

Summa ja vahe valemid

Siinuse väljendamine koosinuse kaudu

;
;
;
.

Koosinuse väljendamine siinuse kaudu

;
;
;
.

Väljend tangensi kaudu

; .

Millal meil on:
; .

aadressil:
; .

Siinuste ja koosinuste, puutujate ja kotangentide tabel

See tabel näitab siinuste ja koosinuste väärtusi argumendi teatud väärtuste jaoks.

Avaldised keeruliste muutujate kaudu

;

Euleri valem

Avaldised hüperboolsete funktsioonide kaudu

;
;

Tuletised

; . Valemite tuletamine >>>

N-ndat järku tuletised:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, kosekant

Pöördfunktsioonid

Siinuse ja koosinuse pöördfunktsioonid on vastavalt arkosiinus ja arkosinus.

Arksiin, arcsin

Arccosine, arccos

Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, matemaatika käsiraamat inseneridele ja üliõpilastele, “Lan”, 2009.