Juhtub, et arvutuste mugavuse huvides on vaja tõlkida harilik murd kümnendkohani ja vastupidi. Sellest, kuidas seda teha, räägime selles artiklis. Analüüsime tavaliste murdude kümnendkohtadeks teisendamise reegleid ja vastupidi ning toome ka näiteid.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vaatleme tavaliste murdude teisendamist kümnendkohtadeks, järgides teatud järjestust. Esiteks, mõelge, kuidas teisendatakse tavalised murded, mille nimetaja on 10-kordne: 10, 100, 1000 jne. Sellise nimetajaga murrud on tegelikult kümnendmurdude kohmakam märkimine.

Järgmisena vaatame, kuidas tõlkida keelde kümnendkohad tavalised murrud mis tahes, mitte ainult 10-kordse nimetajaga. Pange tähele, et tavaliste murdude kümnendmurrudeks teisendamisel saadakse mitte ainult lõplikud kümnendmurrud, vaid ka lõpmatud perioodilised kümnendmurrud.

Alustame!

Harilike murdude tõlkimine nimetajatega 10, 100, 1000 jne. kümnendkohtadeni

Esiteks oletame, et mõned murrud vajavad enne kümnendvormingusse teisendamist ettevalmistamist. Mis see on? Enne lugejas olevat numbrit on vaja lisada nii palju nulle, et numbrite arv lugejas võrduks nimetaja nullide arvuga. Näiteks murdarvu 3100 puhul tuleb number 0 lisada lugejas 3-st vasakule üks kord. Fraktsioon 610, vastavalt ülaltoodud reeglile, ei vaja täiustamist.

Mõelge veel ühele näitele, mille järel sõnastame reegli, mida on alguses eriti mugav kasutada, samas kui murdude käsitlemise kogemus puudub. Seega näeb murdosa 1610000 pärast nullide lisamist lugejasse välja nagu 001510000.

Kuidas tõlkida harilikku murru nimetajaga 10, 100, 1000 jne. kümnendkohani?

Reegel tavaliste pärismurdude kümnendkohtadeks teisendamiseks

1. Kirjutage 0 ja pange selle järele koma.
2. Lugejast kirjutame üles numbri, mis selgus pärast nullide lisamist.

Liigume nüüd näidete juurde.

Näide 1. Tavaliste murdude teisendamine kümnendkohtadeks

Teisendage harilik murd 39100 kümnendkohaks.

Esiteks vaatame murdosa ja näeme, et mingeid ettevalmistavaid toiminguid pole vaja – numbrite arv lugejas ühtib nimetaja nullide arvuga.

Järgides reeglit, kirjuta 0 üles, pane selle järele koma ja kirjutage number lugejast üles. Saame kümnendmurru 0, 39.

Analüüsime veel ühe selleteemalise näite lahendust.

Näide 2. Tavaliste murdude teisendamine kümnendkohtadeks

Kirjutame murdarvu 105 10000000 kümnendmurruna.

Nullide arv nimetajas on 7 ja lugejas on ainult kolm numbrit. Lisame lugejas oleva arvu ette veel 4 nulli:

0000105 10000000

Nüüd kirjutame 0 , paneme selle järele koma ja kirjutame numbri lugejast. Saame kümnendmurru 0 , 0000105 .

Kõikides näidetes käsitletavad murded on tavalised õiged murded. Aga kuidas teisendada vale harilik murd kümnendkohaks? Ütleme kohe ära, et selliste murdude jaoks pole nullide lisamisega ettevalmistust vaja. Sõnastame reegli.

Reegel tavaliste ebaõigete murdude kümnendkohtadeks teisendamiseks

1. Kirjutame üles numbri, mis on lugejas.
2. Komaga eraldame paremalt nii palju numbreid, kui palju on algse hariliku murru nimetajas nulle.

Allpool on näide selle reegli kasutamisest.

Näide 3. Tavaliste murdude teisendamine kümnendkohtadeks

Teisendame murdarvu 56888038009 100000 tavalisest ebakorrapärasest kümnendkohaks.

Esmalt kirjutage lugejast number:

Nüüd eraldame paremal viis numbrit kümnendkohaga (nullide arv nimetajas on viis). Saame:

Järgmine loomulikult kerkib küsimus, kuidas teisendada kümnendmurruks seganumber, kui selle murdosa nimetajaks on arv 10, 100, 1000 jne. Sellise arvu kümnendmurruks teisendamiseks võite kasutada järgmist reeglit.

Segaarvude kümnendkohtadeks teisendamise reegel

1. Vajadusel valmistame ette arvu murdosa.
2. Kirjutame üles algse arvu täisarvu ja paneme selle järele koma.
3. Kirjutame arvu murdosa lugejast koos lisatud nullidega.

Vaatame näidet.

Näide 4. Segaarvude teisendamine kümnendkohtadeks

Teisendage segaarv 23 17 10000 kümnendkohaks.

Murdosas on meil avaldis 17 10000. Valmistame selle ette ja lisame lugejast vasakule veel kaks nulli. Saame: 0017 10000 .

Nüüd kirjutame üles arvu täisarvulise osa ja paneme selle järele koma: 23,. .

Koma järele kirjutame numbri lugejast koos nullidega. Saame tulemuse:

23 17 10000 = 23 , 0017

Harilike murdude teisendamine lõplikeks ja lõpmatuteks perioodilisteks murdudeks

Muidugi saate teisendada kümnendmurrudeks ja tavalisteks murdudeks, mille nimetaja ei ole 10, 100, 1000 jne.

Sageli saab murdosa hõlpsasti taandada uueks nimetajaks ja seejärel kasutada selle artikli esimeses lõigus kirjeldatud reeglit. Näiteks piisab, kui korrutada murdarvu 25 lugeja ja nimetaja 2-ga ning saame murdarvu 410, mis on kergesti taandatav kümnendkohani 0,4.

Seda tavamurru kümnendkohaks teisendamise meetodit ei saa aga alati kasutada. Allpool kaalume, mida teha, kui vaadeldavat meetodit pole võimalik rakendada.

Põhimõtteliselt uus viis hariliku murru teisendamine kümnendkohaks taandatakse lugeja jagamisele nimetajaga veeruga. See tehe on väga sarnane naturaalarvude jagamisele veeruga, kuid sellel on oma omadused.

Lugeja jagamises on esitatud kümnendmurruna - paremal viimane number lugeja pane koma ja lisa nullid. Saadud jagatis asetatakse koma siis, kui lugeja täisarvu osa jagamine lõpeb. Kuidas see meetod täpselt töötab, selgub pärast näidete kaalumist.

Näide 5. Tavaliste murdude teisendamine kümnendkohtadeks

Tõlgime hariliku murdarvu 621 4 kümnendvormingusse.

Esitame arvu 621 lugejast kümnendmurruna, lisades pärast koma paar nulli. 621 = 621 00

Nüüd jagame veeru 621, 00 4-ga. Esimesed kolm jagamise sammu on samad, mis naturaalarvude jagamisel ja saame.

Kui oleme jõudnud dividendi koma ja jääk on nullist erinev, paneme jagatisesse koma ja jätkame jagamist, pööramata enam tähelepanu komale dividendis.

Selle tulemusena saame kümnendmurru 155 , 25 , mis on hariliku murru 621 4 inversiooni tulemus.

621 4 = 155 , 25

Kaaluge mõne muu näite lahendamist materjali kinnitamiseks.

Näide 6. Tavaliste murdude teisendamine kümnendkohtadeks

Pöörame hariliku murru 21 800 ümber.

Selleks jagage murdosa 21 000 800-ga veergu. Täisarvulise osa jagamine lõpeb esimese sammuga, nii et kohe pärast seda paneme jagatisesse koma ja jätkame jagamist, jättes dividendi koma tähelepanuta, kuni saame jäägi võrdseks nulliga.

Selle tulemusena saime: 21 800 = 0 . 02625 .

Aga mis siis, kui jagamisel ei saa me kunagi jääki 0. Sellistel juhtudel võib jagamist jätkata lõputult. Kuid alates teatud sammust korduvad jäägid perioodiliselt. Vastavalt sellele korratakse ka jagatis olevaid numbreid. See tähendab, et tavaline murd tõlgitakse kümnendmurruks lõpmatuks perioodiliseks murdeks. Illustreerime öeldut näitega.

Näide 7. Tavaliste murdude teisendamine kümnendkohtadeks

Muudame hariliku murru 1944 kümnendkohaks. Selleks teostame veeruga jagamise.

Näeme, et jagamisel korratakse jääke 8 ja 36. Samal ajal korduvad jagatis numbrid 1 ja 8. See periood on kümnendkohana. Kirjutamisel võetakse need numbrid sulgudesse.

Seega tõlgitakse algne harilik murd lõpmatuks perioodiliseks kümnendmurruks.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Olgu meil taandamatu harilik murd. Mis vormi see võtab? Millised harilikud murrud teisendatakse lõplikeks kümnendkohtadeks ja millised lõpmatuteks perioodilisteks?

Esiteks oletame, et kui murdosa saab taandada ühele nimetajatest 10, 100, 1000 .., siis näeb see välja nagu viimane kümnendmurd. Murru taandamiseks ühele neist nimetajatest peab selle nimetaja olema vähemalt ühe arvu 10, 100, 1000 jne jagaja. Arvude algteguriteks faktooringu reeglitest järeldub, et arvude jagaja 10, 100, 1000 jne. peaks algteguriteks jaotatuna sisaldama ainult numbreid 2 ja 5.

Võtame öeldu kokku:

1. Tavalise murru saab taandada lõplikuks kümnendmurruks, kui selle nimetaja saab lagundada algteguriteks 2 ja 5.
2. Kui nimetaja laienduses on lisaks numbritele 2 ja 5 ka teisi algarvud, taandatakse murd lõpmatu perioodiliseks kümnendmurruks.

Võtame näite.

Näide 8. Tavaliste murdude teisendamine kümnendkohtadeks

Milline antud murrudest 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 teisendatakse lõplikuks kümnendmurruks ja milline - ainult perioodiliseks. Anname sellele küsimusele vastuse ilma tavalist murru kümnendkohaks teisendamata.

Murd 47 20, nagu näete kergesti, taandatakse lugeja ja nimetaja 5-ga korrutamisel uueks nimetajaks 100 .

4720 = 235100. Sellest järeldame, et see murd tõlgitakse lõplikuks kümnendmurruks.

Murru 7 12 nimetaja faktoriseerimine annab 12 = 2 2 3 . Kuna lihttegur 3 erineb 2-st ja 5-st, ei saa seda murdu esitada lõpliku kümnendmurruna, vaid sellel on lõpmatu perioodiline murd.

Fraktsioon 21 56, esiteks peate vähendama. Pärast 7-ga taandamist saame taandamatu murdosa 3 8 , mille nimetaja laiendamine teguriteks annab 8 = 2 · 2 · 2 . Seetõttu on see lõpetav kümnendkoht.

Murru 31 17 puhul on nimetaja faktoriseerimine algarv 17 ise. Sellest lähtuvalt saab selle murdosa teisendada lõpmatuks perioodiliseks kümnendmurruks.

Tavalist murdu ei saa teisendada lõpmatuks ja mittekorduvaks kümnendmurruks

Eespool rääkisime ainult lõplikest ja lõpmatutest perioodilistest murdudest. Kuid kas mis tahes harilikku murru saab teisendada lõpmatuks mitteperioodiliseks murdeks?

Vastame: ei!

Tähtis!

Kui teisendate lõpmatu murru kümnendmurruks, saate kas lõpliku kümnendmurru või lõpmatu perioodilise kümnendmurru.

Jaotuse ülejäänud osa on alati väiksem kui jagaja. Ehk siis jaguvuse teoreemi järgi, kui jagame mõned naturaalarv arvu q võrra, siis jagamise jääk ei tohi mingil juhul olla suurem kui q-1. Pärast jaotuse lõppu on võimalik üks järgmistest olukordadest:

1. Saame jäägi 0 ja sellega jagamine lõpeb.
2. Saame jäägi, mis kordub järgneval jagamisel, mille tulemusena saame lõpmatu perioodilise murdosa.

Tavamurru kümnendkohaks teisendamisel ei saa olla muid võimalusi. Ütleme ka, et perioodi pikkus (numbrite arv) lõpmatus perioodilises murrus on alati väiksem kui vastava hariliku murru nimetaja numbrite arv.

Teisenda kümnendkohad harilikeks murdudeks

Nüüd on aeg kaaluda kümnendmurru tavaliseks teisendamiseks vastupidist protsessi. Sõnastame tõlkereegli, mis sisaldab kolme etappi. Kuidas teisendada kümnendmurruks?

Kümnendmurdude harilikeks murdudeks teisendamise reegel

1. Lugejasse kirjutame arvu algsest kümnendmurdust, jättes kõrvale koma ja kõik vasakul olevad nullid, kui neid on.
2. Nimetajasse kirjutame ühe ja selle järele nii palju nulle, kui palju on pärast koma esialgses kümnendmurrus numbreid.
3. Vajadusel vähendage saadud harilikku fraktsiooni.

Kaaluge rakendust see reegel näidete peal.

Näide 8. Kümnendkohtade teisendamine tavaliseks

Esitame arvu 3 025 hariliku murruna.

1. Lugejasse kirjutame kümnendmurru enda, jättes koma ära: 3025.
2. Nimetajasse kirjutame ühe ja selle järele kolm nulli - see tähendab, mitu numbrit sisaldab pärast koma algses murrus: 3025 1000.
3. Saadud murdosa 3025 1000 saab vähendada 25 võrra, mille tulemusena saame: 3025 1000 = 121 40 .

Näide 9. Kümnendkohtade teisendamine tavaliseks

Teisendame murdarvu 0, 0017 kümnendarvust tavaliseks.

1. Lugejasse kirjutame murdosa 0, 0017, jättes kõrvale vasakul olevad koma ja nullid. Hankige 17.
2. Nimetajasse kirjutame ühe ja selle järele neli nulli: 17 10000. See murdosa on taandamatu.

Kui kümnendkoht sisaldab terve osa, siis saab sellise murru kohe teisendada segaarvuks. Kuidas seda teha?

Sõnastame veel ühe reegli.

Reegel kümnendmurdude teisendamiseks segaarvudeks.

1. Arv kuni kümnendkohani kirjutatakse segaarvu täisarvuna.
2. Lugejasse kirjutame arvu, mis asub pärast koma, jättes kõrvale vasakul olevad nullid, kui neid on.
3. Murdosa nimetajasse liidame ühe ja nii palju nulle, kui palju on pärast koma murdosas numbreid.

Vaatame näidet

Näide 10: kümnendkoha teisendamine segaarvuks

Esitame murdarvu 155, 06005 segaarvuna.

1. Arvu 155 kirjutame täisarvulise osana.
2. Lugejas kirjutame numbrid pärast koma, jättes nulli kõrvale.
3. Nimetajasse kirjutame ühe ja viis nulli

Seganumbri õpetamine: 155 6005 100 000

Murdosa saab vähendada 5 võrra. Vähendame ja saame lõpptulemuse:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Lõpmatu arvu korduvate kümnendkohtade teisendamine harilikeks murdudeks

Vaatame näiteid, kuidas tõlkida perioodilisi kümnendmurde tavalisteks. Enne alustamist teeme selgeks: iga perioodilise kümnendmurru saab teisendada tavaliseks.

Lihtsaim juhtum on see, et murdosa periood on null. Perioodiline nullpunktiga murd asendatakse lõpliku kümnendmurruga ja sellise murru ümberpööramise protsess taandatakse lõpliku kümnendmurru ümberpööramiseks.

Näide 11. Perioodilise kümnendkoha teisendamine harilikuks murruks

Inverteerime perioodilise murru 3, 75 (0) .

Kujutades paremale nullid, saame lõpliku kümnendmurru 3, 75.

Muutes selle murdosa eelmistes lõikudes käsitletud algoritmi järgi tavaliseks, saame:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Mis siis, kui murdosa periood on nullist erinev? Perioodilist osa tuleks käsitleda geomeetrilise progressiooni liikmete summana, mis on kahanev. Selgitame seda näitega:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Lõpmatu kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa jaoks on olemas valem. Kui progressiooni esimene liige on b ja q nimetaja on selline, et 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Vaatame selle valemi abil mõnda näidet.

Näide 12. Perioodilise kümnendkoha teisendamine harilikuks murruks

Oletame, et meil on perioodiline murd 0, (8) ja me peame teisendama selle tavaliseks.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Siin on lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon, mille esimene liige on 0, 8 ja nimetaja 0, 1.

Rakendame valemit:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

See on soovitud harilik murd.

Materjali konsolideerimiseks kaaluge teist näidet.

Näide 13. Perioodilise kümnendkoha teisendamine tavaliseks

Pöörake murdosa 0 , 43 (18) .

Esiteks kirjutame murdosa lõpmatu summana:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Mõelge sulgudes olevatele terminitele. Seda geomeetrilist progressiooni saab esitada järgmiselt:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Lisame saadud murdosa lõplikule murdarvule 0, 43 \u003d 43 100 ja saame tulemuse:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Pärast nende murdude lisamist ja vähendamist saame lõpliku vastuse:

0 , 43 (18) = 19 44

Selle artikli lõpus ütleme, et mitteperioodilisi lõpmatuid kümnendmurde ei saa teisendada tavalisteks murdudeks.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Siin näib, et kümnendmurru tõlkimine ühiseks on elementaarne teema, kuid paljud õpilased ei saa sellest aru! Seetõttu vaatame täna lähemalt mitut algoritmi korraga, mille abil saad mistahes murdudega hakkama vaid sekundiga.

Lubage mul teile meelde tuletada, et sama murru kirjutamiseks on vähemalt kaks vormi: tavaline ja kümnendmurd. Kümnendmurrud on igasugused konstruktsioonid nagu 0,75; 1,33; ja isegi -7,41. Ja siin on näited tavalistest murdudest, mis väljendavad samu numbreid:

Nüüd mõtleme välja: kuidas lülituda kümnendarvult tavalisele? Ja mis kõige tähtsam: kuidas seda võimalikult kiiresti teha?

Põhialgoritm

Tegelikult on vähemalt kaks algoritmi. Ja me vaatame nüüd mõlemat. Alustame esimesest – kõige lihtsamast ja arusaadavamast.

Kümnendarvu teisendamiseks harilikuks murruks peate järgima kolme sammu:

Oluline märkus negatiivsete arvude kohta. Kui algses näites on kümnendmurdu ees miinusmärk, siis väljundis peaks olema ka miinusmärk enne tavalist murru. Siin on veel mõned näited:

Tahaksin pöörata erilist tähelepanu viimasele näitele. Nagu näete, on murdarvus 0,0025 pärast koma palju nulle. Selle tõttu tuleb lugeja ja nimetaja koguni neli korda korrutada 10. Kas sellisel juhul on võimalik algoritmi kuidagi lihtsustada?

Muidugi sa suudad. Ja nüüd kaalume alternatiivset algoritmi - seda on veidi keerulisem mõista, kuid pärast väikest harjutamist töötab see palju kiiremini kui tavaline.

Kiirem viis

Sellel algoritmil on samuti 3 sammu. Kümnendarvust hariliku murru saamiseks peate tegema järgmist.

1. Arvutage, mitu numbrit on pärast koma. Näiteks murdarvul 1,75 on kaks sellist numbrit ja 0,0025-l on neli. Tähistame seda kogust tähega $n$.
2. Kirjutage algne arv ümber murduna kujul $\frac(a)(((10)^(n)))$, kus $a$ on kõik algse murru numbrid (ilma "algavate" nullideta vasakul , kui see on olemas) ja $n$ on sama palju numbreid pärast koma, mille loendasime esimeses etapis. Teisisõnu on vaja jagada algse murru numbrid ühega $n$ nullidega.
3. Võimalusel vähendage saadud fraktsiooni.

See on kõik! Esmapilgul on see skeem keerulisem kui eelmine. Kuid tegelikult on see nii lihtsam kui ka kiirem. Otsustage ise:

Nagu näete, on murdarvus 0,64 pärast koma kaks numbrit - 6 ja 4. Seega $n=2$. Kui eemaldame vasakult koma ja nullid (antud juhul ainult ühe nulli), saame numbri 64. Minge teise sammu juurde: $((10)^(n))=((10)^( 2))=100$, seega on nimetaja täpselt sada. Noh, siis jääb üle ainult lugeja ja nimetaja vähendada. :)

Veel üks näide:

Siin on kõik veidi keerulisem. Esiteks on pärast koma juba 3 numbrit, st. $n=3$, seega tuleb jagada $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. Teiseks, kui eemaldada koma kümnendmärgistusest, saame järgmise: 0,004 → 0004. Tuletame meelde, et vasakult nullid tuleb eemaldada, nii et tegelikult on meil arv 4. Siis on kõik lihtne: jaga, vähenda ja saada vastus.

Lõpuks viimane näide:

Selle murdosa eripära on täisarvu osa olemasolu. Seetõttu saame väljundis vale murdosa 47/25. Muidugi võite proovida jagada 47 jäägiga 25-ga ja seega kogu osa uuesti eraldada. Aga miks teha oma elu keeruliseks, kui seda saab teha isegi ümberkujundamise etapis? Noh, mõtleme välja.

Mida teha kogu osaga

Tegelikult on kõik väga lihtne: kui tahame saada õiget murdu, siis peame teisenduse ajaks sellest täisarvu eemaldama ja siis, kui saame tulemuse, lisame selle uuesti paremale ette. murdosa ribast.

Näiteks kaaluge sama numbrit: 1,88. Hindame ühega (terve osa) ja vaatame murdosa 0,88. Seda on lihtne teisendada:

Seejärel meenutame "kadunud" ühikut ja lisame selle ette:

\[\frac(22)(25)\kuni 1\frac(22)(25)\]

See on kõik! Vastus osutus samaks, mis eelmisel korral kogu osa valimise järel. Paar näidet veel:

\[\begin(align)& 2,15\to 0,15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13,8\kuni 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\kuni 13\frac(4)(5). \\\lõpp(joonda)\]

See on matemaatika ilu: olenemata sellest, mis suunas sa lähed, kui kõik arvutused on õigesti tehtud, on vastus alati sama. :)

Kokkuvõtteks tahaksin kaaluda teist tehnikat, mis aitab paljusid.

Teisendused kõrva järgi

Mõelgem, mis on koma. Täpsemalt, kuidas me seda loeme. Näiteks arv 0,64 – me loeme seda "null täisarv, 64 sajandikku", eks? No või lihtsalt "64 sajandikku". Võtmesõnaks on siinkohal "sajandikud", st. number 100.

Aga 0,004? See on "nullpunkt, 4 tuhandikku" või lihtsalt "neli tuhandikku". Nii või teisiti on märksõnaks "tuhandik", st. 1000.

No mis sellel viga on? Ja tõsiasi, et need numbrid lõpuks "hüppavad" nimetajates algoritmi teises etapis. Need. 0,004 on "neli tuhandikku" või "4 jagatud 1000-ga":

Proovige ennast koolitada – see on väga lihtne. Peaasi on algset murdu õigesti lugeda. Näiteks 2,5 on "2 täisarvu, 5 kümnendikku", nii et

Ja mingi 1,125 on "1 terve, 125 tuhandikku", nii et

Viimases näites vaidleb keegi muidugi vastu, et igale õpilasele pole ilmne, et 1000 jagub 125-ga. Kuid siin peate meeles pidama, et 1000 \u003d 10 3 ja 10 \u003d 2 ∙ 5, seega

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(joonda)\]

Seega jaotatakse iga kümne aste ainult teguriteks 2 ja 5 – just neid tegureid tuleb lugejast otsida, et lõpuks kõik väheneks.

See õppetund on läbi. Liigume edasi keerukama pöördtehte juurde – vt "

Murru saab teisendada täis- või kümnendarvuks. Vale murd, mille lugeja on nimetajast suurem ja jagub sellega ilma jäägita, teisendatakse täisarvuks, näiteks: 20/5. Jagage 20 5-ga ja saage arv 4. Kui murd on õige, see tähendab, et lugeja on nimetajast väiksem, siis teisendage see arvuks (kümnendmurruks). Murdude kohta saate lisateavet meie jaotisest -.

Murru arvuks teisendamise viisid

• Esimene viis murdu arvuks teisendamiseks sobib murdarvuks, mille saab teisendada kümnendmurruks. Kõigepealt uurime, kas antud murd on võimalik teisendada kümnendmurruks. Selleks pöörake tähelepanu nimetajale (arv, mis asub joone all või kaldjoonest paremal). Kui nimetaja saab lagundada teguriteks (meie näites - 2 ja 5), ​​mida saab korrata, siis saab selle murdosa tõesti teisendada lõplikuks kümnendmurruks. Näiteks: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). See harilik murd teisendatakse arvuks (kümnendmurruks), mille kümnendkohtade arv on piiratud. Kuid murd 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) tõlgitakse arvuks, mille kümnendkohtade arv on lõpmatu. See tähendab, et arvväärtuse täpsel arvutamisel on pärast koma lõplikku märki üsna raske määrata, kuna selliseid märke on lõpmatu arv. Seetõttu tuleb probleemide lahendamiseks tavaliselt väärtus ümardada sajandikuteks või tuhandikuteks. Lisaks on vaja nii lugeja kui ka nimetaja korrutada sellise arvuga, et nimetaja saaks arvud 10, 100, 1000 jne. Näiteks: 11/40 = (11∙25)/(40∙25) =275/1000 = 0,275
• Teine viis murdu arvuks teisendamiseks on lihtsam: peate lugeja jagama nimetajaga. Selle meetodi rakendamiseks teostame lihtsalt jagamise ja tulemuseks on soovitud kümnendmurd. Näiteks peate teisendama murdosa 2/15 arvuks. Me jagame 2 15-ga. Saame 0, 1333 ... - lõpmatu murd. Kirjutame selle üles järgmiselt: 0,13(3). Kui murd on vale, see tähendab, et lugeja on nimetajast suurem (näiteks 345/100), siis selle arvuks teisendamise tulemusena saadakse täisarvuline arvväärtus või kümnendmurd täisarvulise murdosaga saada. Meie näites on see 3,45. Segamurru (nt 3 2/7) arvuks teisendamiseks peate esmalt teisendama selle valeks murruks: (3∙7+2)/7 =23/7. Järgmisena jagame 23 7-ga ja saame arvu 3,2857143, mille vähendame 3,29-ni.

Lihtsaim viis murdosa arvuks teisendamiseks on kasutada kalkulaatorit või muud arvutusseadet. Esmalt märgime murdosa lugeja, seejärel vajutame "jaga" ikooniga nuppu ja sisestame nimetaja. Pärast klahvi "=" vajutamist saame soovitud numbri.

Murru teisendamine kümnendkohaks

Oletame, et tahame teisendada hariliku murru 11/4 kümnendkohaks. Lihtsaim viis seda teha on järgmine:

See meil õnnestus, sest antud juhul koosneb nimetaja faktoriseerimine algteguriteks ainult kahest. Täiendasime seda laiendust veel kahe viiega, kasutasime ära asjaolu, et 10 = 2∙5, ja saime kümnendmurru. Selline protseduur on ilmselgelt võimalik siis ja ainult siis, kui nimetaja faktoriseerimine algteguriteks ei sisalda midagi peale kahe ja viite. Kui nimetaja laiendis esineb mõni muu algarv, siis sellist murdu ei saa teisendada kümnendkohaks. Sellegipoolest proovime seda teha, kuid ainult erineval viisil, millega tutvume sama murru 11/4 näitel. Jagame 11 "nurga" 4-ga:

Vastuse real saime täisarvu osa ( 2 ) ja meil on ka jääk ( 3 ). Varem lõpetasime selle jaotuse, kuid nüüd teame, et paremal pool olevale dividendile ( 11 ) võib omistada koma ja mitu nulli, mida me nüüd mõttes ka teeme. Pärast koma tuleb kümnes koht. Null, mis tähistab selle kategooria dividende, omistame saadud jäägile ( 3 ):

Nüüd saab jagamine jätkuda, nagu poleks midagi juhtunud. Peate lihtsalt meeles pidama, et vastusereale täisarvu järele tuleb koma panna:

Nüüd omistame jäägile ( 2 ) nulli, mis on dividendi sajandiku kohal, ja viime jagamise lõppu:

Selle tulemusena saame, nagu varem,

Proovime nüüd täpselt samamoodi arvutada, millega on võrdne murd 27/11:

Vastuse reale saime numbri 2.45 ja ülejäänud reale numbri 5. Aga sellist jäänukit oleme me varemgi näinud. Seetõttu võime kohe öelda, et kui jätkame jagamist “nurgaga”, siis on vastusereal järgmine number 4, siis läheb number 5, siis jälle 4 ja uuesti 5 jne, lõpmatuseni. :

27 / 11 = 2,454545454545...

Oleme saanud nö perioodiline kümnendmurd punktiga 45. Selliste murdude puhul kasutatakse kompaktsemat tähistust, kus punkt kirjutatakse välja ainult üks kord, kuid samal ajal on see sulgudes:

2,454545454545... = 2,(45).

Üldiselt võib öelda, et kui jagame ühe naturaalarvu “nurgaga”, kirjutades vastuse kümnendmurruna, siis on võimalik ainult kaks tulemust: (1) kas varem või hiljem saame ülejäänud reale nulli, (2) või tekib selline jääk, millega oleme juba varem kokku puutunud (võimalike jääkide hulk on piiratud, kuna need kõik on ilmselgelt väiksemad kui jagaja). Esimesel juhul on jagamise tulemuseks lõplik kümnendmurd, teisel juhul perioodiline murd.

Perioodilise kümnendkoha teisendamine harilikuks murruks

Olgu meile antud positiivne perioodiline kümnendmurd null täisarvuga, näiteks:

a = 0,2(45).

Kuidas ma saan selle murdosa tagasi harilikuks murdeks teisendada?

Korrutame selle 10-ga k, kus k on numbrite arv koma ja algussulu vahel, mis näitab perioodi algust. Sel juhul k= 1 ja 10 k = 10:

a∙ 10 k = 2,(45).

Korrutage tulemus 10-ga n, kus n- perioodi "pikkus", see tähendab sulgudes olevate numbrite arv. Sel juhul n= 2 ja 10 n = 100:

a∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).

Nüüd arvutame erinevuse

a∙ 10 k ∙ 10 n − a∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).

Kuna minuendi ja alajaotuse murdosad on samad, siis erinevuse murdosa on null ja saame lihtsa võrrandi a:

a∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.

See võrrand lahendatakse järgmiste teisenduste abil:

a∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

a∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

Me ei vii sihilikult veel arvutusi lõpuni, et oleks selgelt näha, kuidas selle tulemuse saab kohe välja kirjutada, jättes vahele vahepealsed argumendid. Lugeja ( 245 ) kahanemine on arvu murdosa

a = 0,2(45)

kui kustutate tema kirjest sulud. Alamjaotus lugejas ( 2 ) on arvu mitteperioodiline osa a, mis asub koma ja avasulu vahel. Nimetaja ( 10 ) esimene tegur on üks, millele omistatakse nii palju nulle, kui palju on mitteperioodilises osas numbreid ( k). Teine tegur nimetajas ( 99 ) on sama palju üheksat kui on numbrit perioodis ( n).

Nüüd saab meie arvutused lõpule viia:

Siin on lugejas punkt ja nimetajas sama palju üheksaid, kui on perioodis numbreid. Pärast 9 võrra vähendamist on saadud murdosa võrdne

Samamoodi,