1.4. Diskreetsed ja pidevad süsteemid Süsteemi olek määratakse kõigi selle allsüsteemide olekute kogumi kaudu, see tähendab lõppkokkuvõttes elementaarsete alamsüsteemide kaudu. Elementaarseid alamsüsteeme on kahte tüüpi: lõpliku ja lõpmatu arvu võimalike olekutega. Alamsüsteemid

Jätkuvad murrud võttis 1572. aastal kasutusele Itaalia matemaatik Bombelli. Jätkuvate murdude tänapäevase tähise leidis Itaalia matemaatik Cataldi 1613. aastal. 18. sajandi suurim matemaatik Leonardo Euler oli esimene, kes selgitas jätkuvate murdude teooriat, tõstatas küsimuse nende kasutamisest diferentsiaalvõrrandite lahendamisel, rakendas neid funktsioonide laiendamisel, esitas lõpmatuid korrutisi ja andis olulise üldistuse. nendest.

Euleri tööd jätkuvate murdude teooria kallal jätkas M. Sofronov (1729-1760), akadeemik V.M. Viskovaty (1779-1819), D. Bernoulli (1700-1782) jne. Paljud selle teooria olulised tulemused kuuluvad prantsuse matemaatikule Lagrange'ile, kes leidis meetodi diferentsiaalvõrrandite ligikaudseks lahendamiseks, kasutades jätkuvaid murde.

Eukleidese algoritm võimaldab leida mis tahes ratsionaalarvu esituse (või lagunemise) jätkuva murdosa kujul. Jätkuva murru elementidena saadakse võrrandite süsteemis (1) järjestikuste jagamiste mittetäielikud jagatised, seetõttu nimetatakse jätkuva murru elemente ka mittetäisjagatisteks. Lisaks näitavad süsteemi (2) võrdsused, et jätkuvaks murdeks lagunemise protsess seisneb järjestikuses kogu osa eraldamises ja murdosa ümberpööramises.

Viimane seisukoht on üldisem kui esimene, kuna see on rakendatav mitte ainult ratsionaalarvu, vaid ka mis tahes reaalarvu murru jätkuval laiendamisel.

Ratsionaalarvu dekomponeerimisel on ilmselgelt piiratud arv elemente, kuna eukleidiline algoritm a järjestikuseks jagamiseks b-ga on lõplik.

On selge, et iga jätkuv murd esindab teatud ratsionaalarvu, see tähendab, et see on võrdne teatud ratsionaalarvuga. Kuid tekib küsimus: kas sama ratsionaalarvu jätkuva murdosa võrra on erinevaid esitusi? Selgub, et neid pole, kui nõuda, et oleks.

Jätkuvad murrud - jada, mille iga liige on harilik murd, genereerib jätkuva (või jätkuva) murru, kui selle teine ​​liige liidetakse esimesele ja iga kolmandast algav murdosa lisatakse eelmise nimetajale. murdosa. Näiteks jada 1, 1/2, 2/3, 3/4, ..., n/(n + 1), ... tekitab jätkuva murdosa, mille lõpus olev ellips näitab, et protsess jätkub lõputult. . Jätkuv murd omakorda tekitab teise fraktsioonide jada, mida nimetatakse sobivateks murdudeks. Meie näites on esimene, teine, kolmas ja neljas sobiv murd võrdsed ja neid saab konstrueerida lihtsa reegli abil mittetäielike jagatistest 1, 1/2, 2/3, 3/4, ... Esimene kõik, kirjutame välja esimese ja teise sobiva murru 1 /1 ja 3/2. Kolmas sobiv murd on võrdne (2?1 + 3?3)/(2?1 + 3?2) või 11/8, selle lugeja on võrdne esimese ja teise sobiva lugejate korrutiste summaga murrud, korrutatuna vastavalt kolmanda mittetäieliku jagatise lugeja ja nimetajaga ning nimetaja võrdub esimese ja teise mittetäieliku jagatise nimetajate korrutistega, korrutatuna vastavalt kolmanda mittetäieliku jagatise lugeja ja nimetajaga. Neljas sobiv fraktsioon saadakse sarnaselt neljandast osajagatisest 3/4 ning teine ​​ja kolmas sobiv murd: (3?3 + 4?11)/(3?2 + 4?8) või 53/38. Seda reeglit järgides leiame esimesed seitse sobivat murdu: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 ja 16687/11986. Kirjutame need kümnendmurdude kujul (kuue kümnendkohaga): 1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1,392247 ja 1,392208. Meie jätkuva murdosa väärtus on arv x, mille esimesed numbrid on 1,3922. Sobivad murrud on x-i parim ligikaudne väärtus. Pealegi osutuvad need vaheldumisi kas väiksemaks või suuremaks kui arv x (paaritud on suuremad kui x ja paaris väiksemad). Kahe positiivse täisarvu suhte esitamiseks lõpliku jätkuva murduna peate kasutama suurima ühisjagaja meetodit. Näiteks võtame suhte 50/11. Kuna 50 = 4?11 + 6 või 11/50 = 1/(4 + 6/11) ja sarnaselt, 6/11 = 1/(1 + 5/6) või 5/6 = 1/(1 + 1 /5), saame: Jätkuvaid murde kasutatakse irratsionaalsete arvude lähendamiseks ratsionaalsetele. Oletame, et x on irratsionaalne arv (st seda ei saa esitada kahe täisarvu suhtena). Siis, kui n0 on suurim täisarv, mis on väiksem kui x, siis x = n0 + (x - n0), kus x - n0 on positiivne arv, mis on väiksem kui 1, seega selle pöördarv x1 on suurem kui 1 ja x = n0 + 1/x1. Kui n1 on suurim täisarv, mis on väiksem kui x1, siis x1 = n1 + (x1 - n1), kus x1 - n1 on positiivne arv, mis on väiksem kui 1, seega selle pöördarv x2 on suurem kui 1 ja x1 = n1 + 1/x2 . Kui n2 on suurim täisarv, mis on väiksem kui x2, siis x2 = n2 + 1/x3, kus x3 on suurem kui 1 jne. Selle tulemusena leiame samm-sammult jätkuva murdosa mittetäielike jagatiste n0, 1/n1, 1/n2, ... jada, mis on x-i lähendused. Selgitame seda näitega. Oletame, et esimesed 6 sobivat murdosa on 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Kümnendkohtadena kirjutades annavad need järgmised ligikaudsed väärtused: 1000; 1500; 1400; 1,417; 1,4137; 1,41428. Jätkuv murd sisaldab osajagatisi 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1, .... Irratsionaalarv on täisarvuliste kordajatega ruutvõrrandi juur siis ja ainult siis, kui osaline selle osaline laienemine jätkuvateks fraktsioonideks on perioodiline. Jätkuvad murrud on tihedalt seotud paljude matemaatika harudega, nagu funktsiooniteooria, lahknevad jadad, momentide probleem, diferentsiaalvõrrandid ja lõpmatud maatriksid. Kui x on teravnurga radiaanmõõt, siis nurga x puutuja on võrdne jätkuva murru väärtusega osajagatistega 0, x/1, ?x2/3, ?x2/7, ?x2/9 , ... ja kui x on positiivne arv , siis naturaallogaritm 1 + x on võrdne jätkuva murru väärtusega osajagatistega 0, x/1, 12x/2, 12x/3, 22x/4 , 22x/5, 32x/6, …. Diferentsiaalvõrrandi x2dy/dx + y = 1 + x formaalne lahend astmerea kujul on lahknev astmerida 1 + x - 1!x2 + 2!x3 - 3!x4 + ... . Seda astmeseeriat saab teisendada jätkuvaks murdeks osajagatistega 1, x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1, ... ja seda omakorda kasutada lahendusdiferentsiaalvõrrandi x2dy/dx + y = 1 + x saamiseks.

Saada oma head tööd teadmistebaasi on lihtne. Kasutage allolevat vormi

Üliõpilased, magistrandid, noored teadlased, kes kasutavad teadmistebaasi oma õpingutes ja töös, on teile väga tänulikud.

postitatud http://allbest.ru

KEMEROVSKI PIIRKONNA HARIDUS- JA TEADUSTE OSAKOND

Riiklik keskeriõppe õppeasutus Tom-Usinsk Energiatranspordi Kolledž

distsipliinis matemaatika

Jätkuvad murded

Lõpetatud:

TRUC-1-14 rühma õpilane

Žuleva Daria

Kontrollitud:

matemaatika õpetaja

Kemerova S.I.

Sissejuhatus

1. Jätkuvate murdude ajalugu

2. Jätkuv fraktsiooni laiendamine

3. Reaalarvude lähendamine ratsionaalarvudele

4. Jätkuvate murdude rakendused

5. Kuldse lõike omadused

Bibliograafia

Sissejuhatus

Jätkuv murd (või jätkuv murd) on vormi matemaatiline avaldis

kus a0 on täisarv ja kõik muud an on naturaalarvud (positiivsed täisarvud). Mis tahes reaalarvu saab esitada jätkuva murdena (lõplik või lõpmatu). Arvu saab esitada lõpliku jätkuva murruna siis ja ainult siis, kui see on ratsionaalne. Arvu esitatakse perioodilise jätkuva murdena siis ja ainult siis, kui see on ruutkeskne irratsionaalsus.

1. Jätkuvate murdude ajalugu

Jätkuvad murrud võttis 1572. aastal kasutusele Itaalia matemaatik Bombelli. Jätkuvate murdude tänapäevase tähise leidis Itaalia matemaatik Cataldi 1613. aastal. 18. sajandi suurim matemaatik Leonardo Euler oli esimene, kes selgitas jätkuvate murdude teooriat, tõstatas küsimuse nende kasutamisest diferentsiaalvõrrandite lahendamisel, rakendas neid funktsioonide laiendamisel, esitas lõpmatuid korrutisi ja andis olulise üldistuse. nendest.

Euleri tööd jätkuvate murdude teooria kallal jätkas M. Sofronov (1729-1760), akadeemik V.M. Viskovaty (1779-1819), D. Bernoulli (1700-1782) jne. Paljud selle teooria olulised tulemused kuuluvad prantsuse matemaatikule Lagrange'ile, kes leidis meetodi diferentsiaalvõrrandite ligikaudseks lahendamiseks, kasutades jätkuvaid murde.

Eukleidese algoritm võimaldab leida mis tahes ratsionaalarvu esituse (või lagunemise) jätkuva murdosa kujul. Jätkuva murru elementidena saadakse võrdsuste süsteemi järjestikuste jagamiste mittetäielikud jagatised, seetõttu nimetatakse jätkuva murru elemente ka mittetäisjagatisteks. Lisaks näitavad süsteemi võrdsused, et jätkuvaks murdeks lagunemise protsess seisneb järjestikuses kogu osa eraldamises ja murdosa ümberpööramises.

2. Jätkuv fraktsiooni laiendamine

Viimane seisukoht on üldisem kui esimene, kuna see on rakendatav mitte ainult ratsionaalarvu, vaid ka mis tahes reaalarvu murru jätkuval laiendamisel.

Ratsionaalarvu dekomponeerimisel on ilmselgelt piiratud arv elemente, kuna eukleidiline algoritm a järjestikuseks jagamiseks b-ga on lõplik.

On selge, et iga jätkuv murd esindab teatud ratsionaalarvu, see tähendab, et see on võrdne teatud ratsionaalarvuga. Kuid tekib küsimus: kas sama ratsionaalarvu jätkuva murdosa võrra on erinevaid esitusi? Selgub, et neid pole, kui nõuda, et oleks.

Jätkuvad murrud - jada, mille iga liige on harilik murd, genereerib jätkuva (või jätkuva) murru, kui selle teine ​​liige liidetakse esimesele ja iga kolmandast algav murdosa lisatakse eelmise nimetajale. murdosa.

Iga reaalarvu saab esitada (lõpliku või lõpmatu, perioodilise või mitteperioodilise) jätkuva murdena

kus tähistab arvu täisarvulist osa.

Ratsionaalarvu puhul lõpeb see laienemine siis, kui mõne n puhul jõuab see nullini. Sel juhul tähistatakse seda lõpliku jätkuva murdena.

Irratsionaalsete jaoks on kõik kogused nullist erinevad ja laienemisprotsessi saab jätkata lõputult. Sel juhul näib see lõpmatu jätkuva murdena.

Ratsionaalarvude puhul saab murdosa jätkuva laienemise kiireks saamiseks kasutada eukleidilist algoritmi.

3. Sisse lähenemaslisanumbreidratsionaalseks

Jätkuvad murrud võimaldavad teil tõhusalt leida reaalarvudele häid ratsionaalseid lähendusi. Nimelt kui reaalarv lagundada jätkuvaks murdeks, siis tema sobivad murrud rahuldavad ebavõrdsust

Siit tuleneb eelkõige:

· sobiv murd on parim lähendus kõigi nende murdude hulgast, mille nimetaja ei ületa;

· ühegi irratsionaalarvu irratsionaalsuse mõõt ei ole väiksem kui 2.

4. Jätkuvate murdude rakendused

Kalendri teooria

Päikesekalendri väljatöötamisel on vaja leida ratsionaalne lähendus aasta päevade arvule, mis võrdub 365,2421988... Arvutame selle arvu murdosale sobivad murrud:

Esimene murdosa tähendab, et iga 4 aasta järel peate lisama ühe lisapäeva; See põhimõte oli Juliuse kalendri aluseks. Sel juhul koguneb 1-päevane viga 128 aasta jooksul. Teist väärtust (7/29) ei kasutatud kunagi. Kolmanda murdosa (8/33), st 8 liigaastat 33-aastase perioodi jooksul, pakkus Omar Khayyam välja 11. sajandil ja see pani aluse Pärsia kalendrile, milles viga päevas koguneb 4500 aasta jooksul. (gregooriuse keeles - üle 3280 aasta) . Väga täpset versiooni neljanda murdosaga (31/128, viga päevas koguneb vaid 100 000 aastat) propageeris saksa astronoom Johann von Medler (1864), kuid see ei äratanud erilist huvi.

Muud rakendused

· Arvude irratsionaalsuse tõestus. Näiteks tõestati Riemanni zeta funktsiooni irratsionaalsust jätkuvate murdude abil

Pelli võrrandi täisarvlahend

ja teised diofantiini analüüsi võrrandid

· Ilmselgelt transtsendentaalse arvu definitsioon (vt Liouville'i teoreem)

Faktoreerimisalgoritmid SQUFOF ja CFRAC

· Ortogonaalsete polünoomide tunnused

· Stabiilsete polünoomide tunnused

5. Kuldse lõike omadused

Huvitav tulemus, mis tuleneb tõsiasjast, et μ jätkuv murdosa avaldis ei kasuta täisarve, mis on suuremad kui 1, on see, et μ on üks "kõige raskemini" reaalarve, mida ratsionaalsete arvude abil ligikaudselt hinnata.

Hurwitzi teoreem ütleb, et mis tahes reaalarv k saab lähendada murdosa võrra m/n Niisiis

Kuigi peaaegu kõik reaalarvud k neil on lõputult palju lähendusi m/n, mis asuvad oluliselt väiksemal kaugusel k, kui see ülemine piir, jõuavad q lähendused (st arvud 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 jne) piiris selle piirini, hoides q-st peaaegu täpselt kaugust, seega mitte kunagi luues selliseid häid lähendusi nagu näiteks 355/113 lk. Võib näidata, et vormi ( a + b ts)/( c + d c), a,b, c Ja d on täisarvud ja

reklaam ? eKr= ±1,

neil on sama omadus kui kuldlõikel q; ja ka seda, et kõiki teisi reaalarve saab palju paremini lähendada.

murdosa matemaatilise arvu võrrand

KOOSkirjanduse loetelu

1. V.I. Arnold. Jätkuvad murded. - M.: MTsNMO, 2000. - T. 14. - 40 lk. -- (Raamatukogu “Matemaatikaharidus”).

2. N.M. Beskin Continued fractions // Quantum. -- 1970. -- T. 1. -- P. 16--26.62.

3. N.M. Beskin Infinite fraktsioonid // Quantum. -- 1970. -- T. 8. -- P. 10--20.

4. D.I. Bodnar Branching jätkas fraktsioonid. - K.: Teadus, 1986. - 174 lk.

5. A.A. Raamatupidamise peakorter. Arvuteooria. - M.: Haridus, 1966. - 384 lk.

6. I.M. Vinogradov. Arvuteooria alused. -- M.-L.: Seik. toim. tehniline ja teoreetiline kirjandus, 1952. - 180 lk.

7. S.N. Gladkovski. Tinglikult perioodiliste jätkumurdude analüüs, 1. osa. - Nezlobnaja, 2009. - 138 lk.

8. I.Ya. Depman. Aritmeetika ajalugu. Käsiraamat õpetajatele. -- Toim. teiseks. - M.: Haridus, 1965. - Lk 253--254.

9. G. Davenport. Kõrgem aritmeetika. - M.: Nauka, 1965.

10. S.V. Hall. Loengud arvuteooriast. -- Jekaterinburg: nime saanud Uurali Riiklik Ülikool. A. M. Gorki, 1999.

11. V. Skorobogatko. Jätkuvate murdude hargnemise teooria ja selle rakendamine arvutusmatemaatikas. - M.: Nauka, 1983. - 312 lk.

12. A.Ya. Khinchin. Jätkuvad murded. - M.: GIFML, 1960.

Postitatud saidile Allbest.ru

Sarnased dokumendid

Paljude sajandite jooksul nimetati katkist arvu rahvaste keeltes murdarvuks. Vajadus murdude järele tekkis inimese arengu varases staadiumis. Murdude tüübid. Murdude kirjutamine Egiptuses, Babülonis. Rooma murdude süsteem. Murrud vene keeles on "katkised arvud".

esitlus, lisatud 21.01.2011


Esimene murdosa, millega inimesed Egiptuses tuttavaks said. Murru lugeja ja nimetaja. Õiged ja valemurrud. Seganumber. Taandamine ühisele nimetajale. Mittetäielik jagatis. Täis- ja murdosad. Pöördmurrud. Murdude korrutamine ja jagamine.

esitlus, lisatud 11.10.2011


Kümnendkohtade ja harilike murdude ajaloost. Tehted kümnendmurdudega. Kümnendmurdude liitmine (lahutamine). Kümnendkohtade korrutamine. Kümnendkohtade jagamine.

abstraktne, lisatud 29.05.2006


Ülejäänud aritmeetika ajalugu. Jäägi mõiste, suurim ühine jagaja, laiendatud eukleidiline algoritm ja selle rakendamine lineaarsete diofantiini võrrandite lahendamiseks. Algebraline lähenemine rõngastega jagatavusele ja arvude jagamisele jätkuvateks murdudeks.

lõputöö, lisatud 23.08.2009


Naturaalrea esimese n arvu summa. Paraboolse segmendi pindala arvutamine. Sterni valemi tõestus. Naturaalarvude k-nda astme summa väljendamine determinandi kaudu ja Bernoulli arvude kasutamine. Astmete ja paaritute arvude summa.

kursusetöö, lisatud 14.09.2015


Sõna "fraktsioon" ilmumine vene keelde 8. sajandil. Murdude vanad nimetused: pool, neli, kolmas, pool, pool kolmandik. Vana-Rooma murdosasüsteemi tunnused. L. Pizansky on teadlane, kes hakkas kasutama ja levitama kaasaegset murdude tähistust.

esitlus, lisatud 18.11.2013


Ratsionaalsete funktsioonide klass. Integraalide lahendamise praktiline näide. Muutuja lineaarne muutus. Määramatute koefitsientide meetodi olemus ja peamised ülesanded. Tunnused, integrandi esitamise jada lihtmurdude summana.

esitlus, lisatud 18.09.2013


Kümnendmurdude märkimine erinevatel aegadel. Kümnendarvude süsteemi kasutamine Vana-Hiinas. Murdude kirjutamine ühele reale, kasutades kümnendsüsteemis numbreid ja nendega töötamise reegleid. Simon Stevin kui flaami teadlane, kümnendkohtade leiutaja.

esitlus, lisatud 22.04.2010


Teoreetilised ja metoodilised alused murdude matemaatilise mõiste kujunemiseks matemaatikatundides. Matemaatiliste mõistete moodustamise protsess ja nende tutvustamise metoodika. Praktiline õpe murdude matemaatilise mõiste kasutuselevõtust ja moodustamisest.

lõputöö, lisatud 23.02.2009


Vana- ja keskaegse Hiina matemaatika. Kahe vale positsiooni reegel. Paljude tundmatutega lineaarvõrrandisüsteemid. Trigonomeetria arengu algfaasid. Positsioonilise kümnendnumeratsiooni loomine. Naturaalarvude ja murdude aritmeetika.

Redutseerimine fraktsiooni jätkuva laiendamisega

Sobivad murded. Reaalarvude lähendamine

Kirjandus: 1. Vinogradov I.M. Kõrgema matemaatika elemendid.

Kolmas osa. Arvuteooria alused. Õpik ülikoolidele.

M.: Kõrgem. kool 1999. – lk. 335-340.

Gribanov V.U. Arvuteooria harjutuste kogumik.

– M.: Haridus, 1964.

Shneperman L.B. Algebra ja teooria ülesannete kogu

numbrid: Õpik. – Peterburi: kirjastus. “Lan”, 2008.- 224 lk.

Lühiteave teooriast

Kui- tavaline taandamatu murd, tavaline või vale, siis Eukleidilise algoritmi abil saab seda murda esitada järgmiselt:

a = bq 0 + a 1,

b = a 1 q 1 + a 2,

a 1 = a 2 q 2 + a 3 ,

…………….

a n-2 = a n-1 q n-1 + a n ,

a n-1 = a n q n .

Siin q 0, q 1, q 2, q 3,…, q n– mittetäielikud jagatised;

a 1 , a 2 , a 3 ,…., a n- ülejäägid.

Selle laienduse paremat külge saab kujutada järgmiselt:

= q 0 +

…………

+ ,

Paremale poole kirjutatud avaldist nimetatakse lõplikuks jätkuvaks või jätkuvaks murdeks.

Lühidalt kirjutatud võrdsuse saab kirjutada järgmiselt:

= (q 0, q 1, q 2, q 3,…, q n)

Murrud = , = q 0 + , = q 0 + ,…… nimetatakse sobivateks. Nende murdude lugeja ja nimetaja saab arvutada kordusvalemite abil:

P-2 = 0; Q-2 = 1: P -1 = 1; Q-1 = 0;

kui k≥0; P k = q k P k -1 + P k -2; Q k = q k Q k -1 + Q k -2 . (1)

Definitsiooni järgi P n = a, Q n = b.

Arvutusprotsessi saab mugavalt esitada tabeli kujul:

Sobivate murdude ja murdosa enda vahelised seosed on järgmised:

< < < ….. < < …… < < <

Et hinnata viga murdosa asendamisel sobiv murdosa , rakendame järgmist valemit:

‌‌‌ - .

Näide. Asenda murdosa = sobiv murru veaga 0,001.

Laiendame murdosa eukleidilise algoritmi abil:

Kui võtame asendamiseks murdosa, siis on asendamise viga

0,006, mis on suurem kui määratud 0,001, seega murdosa ei sobi.

Võtame murdosa, mille viga on 0,0003< 0,001.

Näide. Kui on antud lõplik jätkuv murd, leidke vastav harilik murd. Lase = (2; 1; 1; 3; 1; 2).

Lahendus. Vastavalt vastavatele väärtustele q k, kordusvalemite abil määrame sobivate murdude lugeja ja nimetaja vastavad väärtused P k , Q k . K=n korral saame P n = a, Q n = b .

k = 0; P 0 = q 0 P -1 + P -2 = 2 × 1 + 0 = 2; Q 0 = q 0 Q -1 + Q -2 = 2 × 0 + 1 = 1;

k = 1; P 1 = q 1 P 0 + P -1 = 1 × 2 + 1 = 3; Q 1 = q 1 Q 0 + Q -1 = 1 × 1 + 0 = 1;

k = 2; P 2 = q 2 P 1 + P 0 = 1 × 3 + 2 = 5; Q 2 = q 2 Q 1 + Q 0 = 1 × 1 + 1 = 2;

k = 3; P 3 = q 3 P 2 + P 1 = 3 × 5 + 3 = 18; Q 3 = q 3 Q 2 + Q 1 = 3 × 2 + 1 = 7;

k = 4; P 4 = q 4 P 3 + P 2 = 1 × 18 + 5 = 23; Q 4 = q 4 Q 3 + Q 2 = 1 × 7 + 2 = 9;

k = 5; P 5 = q 5 P 4 + P 3 = 2 × 23 + 18 = 64; Q 5 = q 5 Q 4 + Q 3 = 2 × 9 + 7 = 25.

Vastus: = .

Näide. Olgu antud murdosa . Kasutades Eukleidilise algoritmi fraktsioonide jätkuva laiendamise jaoks, vähendage seda murdosa.

Saime 525 = 231 2 +63;

231 = 63 + 42;

63 = 42 1 + 21;

42 = 21 2. Meil ​​on GCD (525; 231) = 21.

Saadud lagunemine võimaldab meil teha lühendatud märke

= (2; 3; 1; 2). Leiame valemite (1) abil selle laienduse jaoks sobivad murrud.