Kommentaarid - 11

Ülesanne

Leidke kahe sirge lõikepunkt, mis on joonistatud kahest punktist, mille koordinaadid ja asimuutid on nendest punktidest teada.

Rakendus

Loomade käitumise uurimiseks kasutatakse sageli raadiotelemeetria meetodit: uuritav objekt märgistatakse raadiosaatjaga, mis kiirgab teatud sagedusega raadiosignaali ning seejärel jälgib uurija, kasutades vastuvõtjat ja vastuvõtuantenni, selle objekti liikumist. Üks võimalikke viise objekti täpse asukoha määramiseks on bigulatsiooni meetod. Selleks on uurijal vaja teadaolevate koordinaatidega punktidest võtta uuritavale objektile 2 asimuuti. Objekti asukoht vastab nende kahe asimuuti ristumispunktile. Punktide koordinaadid, millest asimuudid tuvastatakse, saab võtta satelliitnavigaatori (GPS) abil või asimuudid võetakse võrdluspunktidest, mille koordinaadid on ette teada. Asimuut on sel juhul suund saatja poolt märgitud objektilt tuleva tugevaima signaali allika poole, mida tavaliselt mõõdetakse kraadides.

Enne arvutusi on vaja GPS-i abil saadud punktid tõlkida projekteeritud koordinaatsüsteemiks, näiteks vastavaks UTM-i tsooniks, seda saab teha DNRGarmini abil.

Selleks, et uuritava objekti arvutuslik asukoht vastaks kõige täpsemalt tegelikule asukohale, tuleks arvesse võtta järgmist:

1) tuleb proovida hetke ära oodata, et viga navigaatoris koordinaatide määramisel oleks võimalikult väike.

2) nii, et asimuutide vaheline nurk kaldub 90 kraadini (vähemalt oli see üle 30 ja alla 150 kraadi).

Kaugus, millest asimuudi võtta, sõltub saatja ulatusest, samas kehtib rusikareegel, et asimuuti määramise viga suureneb 1 meetri võrra kaugusega uuritavast objektist iga 10 m kohta. kui võtta asimuuti kaugusega objektist 100 m, on viga 10 m. See reegel kehtib aga tasasel lagedal alal. Arvestada tuleb sellega, et ebatasane maastik ning puud ja põõsad varjavad ja peegeldavad signaali. Peaksite vältima viibimist uuritava objekti vahetus läheduses, sest. esiteks raskendab liiga tugev signaal täpse asimuudi määramist ja teiseks ei ole mõnel juhul võimalik ristumispunkti arvutada, kuna teine ​​asimuut möödub punktist, kus oli esimene asimuut. võetud. Asimuudipaari võtmise vaheline ajavahemik peaks olema minimaalne, kuid loomulikult sõltub see uuritava looma liikuvusest.

Otsus

Ülesanne lahendatakse kasutades kõige lihtsamat geomeetriat ja lahendades võrrandisüsteemi.
Alustuseks saame punktist ja asimuutist sirgjoone võrrandi selleks:

Üldvõrrandist:

ax + by + c = 0

tingimusel, et b<>0 saada

y = kx + d , kus k=-(a/b) , d=-(c/b)

seega saame

k = tan(a)
d=y-tan(a)*x
b = 1

k1x + d1 = y
k2x + d2 = y

Saame kahe sirge ühispunkti (lõikepunkti) X- ja Y-koordinaadid.

Võrrandis on vaja ette näha kaks erijuhtu, kui sirged on paralleelsed (k1=k2).

Kuna me ei tegele vektorite ega kiirtega, st joontel pole algust ja lõppu, on vaja ette näha ka väljaspool huvipiirkonda jäävate joonte ristumisjuhtumeid, nn. vale ristmik. Selle ülesande lahendus saavutatakse asimuuti mõõtmisega valepunktist a3 punkti 2, kui asimuut a3 = a2, siis ristumiskoht on vale, vastupidine asimuut saadud punktist tagasi esialgsesse 2 ei tohiks olla võrdne üks algsetest asimuutidest.

Nõutav protseduur Avenuel näeb välja järgmine:

1. Funktsioonide graafikute lõikepunkti koordinaatide leidmiseks tuleb mõlemad funktsioonid üksteisega võrdsustada, üle kanda vasak pool kõik liikmed, mis sisaldavad $ x $, ja ülejäänutest paremal ning leidke saadud võrrandi juured.
2. Teine võimalus on koostada võrrandisüsteem ja lahendada see, asendades ühe funktsiooni teisega
3. Kolmas meetod hõlmab funktsioonide graafilist konstrueerimist ja visuaalne määratlus ristumispunktid.

Kahe lineaarfunktsiooni juhtum

Vaatleme kahte lineaarfunktsiooni $ f(x) = k_1 x+m_1 $ ja $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Neid funktsioone nimetatakse otsesteks. Nende loomine on piisavalt lihtne, peate lihtsalt võtma kaks väärtust $x_1$ ja $x_2$ ning leidma $f(x_1)$ ja $(x_2)$. Seejärel korrake sama funktsiooniga $ g(x) $. Järgmiseks leidke visuaalselt funktsioonigraafikute lõikepunkti koordinaat.

Peaksite teadma, et lineaarfunktsioonidel on ainult üks lõikepunkt ja ainult siis, kui $ k_1 \neq k_2 $. Vastasel juhul on $ k_1=k_2 $ korral funktsioonid üksteisega paralleelsed, kuna $ k $ on kaldetegur. Kui $ k_1 \neq k_2 $, aga $ m_1=m_2 $, siis on lõikepunktiks $ M(0;m) $. Kiirendatud probleemide lahendamiseks on soovitav seda reeglit meeles pidada.

Kahe mittelineaarse funktsiooni juhtum

Perpendikulaarne joon

See ülesanne on kooliõpikutes ilmselt üks populaarsemaid ja nõutumaid. Sellel teemal põhinevad ülesanded on mitmesugused. See on kahe sirge lõikepunkti määratlus, see on sirge võrrandi definitsioon, mis läbib mingi nurga all algsel sirgel olevat punkti.

Me käsitleme seda teemat, kasutades oma arvutustes saadud andmeid

Seal käsitleti sirge üldvõrrandi teisendamist kaldega võrrandiks ja vastupidi ning sirge ülejäänud parameetrite määramist vastavalt etteantud tingimustele.

Millest meil puudu jääb, et lahendada probleeme, millele see leht on pühendatud?

1. Valemid kahe ristuva sirge vahelise ühe nurga arvutamiseks.

Kui meil on kaks sirget, mis on antud võrranditega:

siis arvutatakse üks nurkadest järgmiselt:

2. Antud punkti läbiva kaldega sirge võrrand

Valemist 1 näeme kahte piiririiki

a) kui siis ja seetõttu need kaks antud sirget on paralleelsed (või langevad kokku)

b) kui , siis , ja seetõttu on need sirged risti, st ristuvad täisnurga all.

Millised võivad olla selliste ülesannete lahendamise lähteandmed, välja arvatud etteantud sirge?

Punkt sirgel ja nurk, mille all teine ​​sirge seda lõikab

Sirge teine ​​võrrand

Milliseid ülesandeid saab robot lahendada?

1. On antud kaks sirget (eksplitsiitselt või kaudselt, näiteks kahe punktiga). Arvutage lõikepunkt ja nende ristumisnurgad.

2. Antud on üks sirge, punkt sirgel ja üks nurk. Määrake sirge võrrand, mis lõikub etteantud nurga all

Näited

Kaks sirget on antud võrranditega. Leidke nende sirgete lõikepunkt ja nende ristumisnurgad

rida_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Saame järgmise tulemuse

Esimese rea võrrand

y = 2,2 x + (1,2)

Teise rea võrrand

y = 0,4285714285714 x + (-5)

Kahe sirge lõikenurk (kraadides)

-42.357454705937

Kahe sirge lõikepunkt

x=-3,5

y = -6,5

Ärge unustage, et kahe rea parameetrid on eraldatud komaga ja iga rea ​​parameetrid semikooloniga.

Joon läbib kahte punkti (1:-4) ja (5:2) . Leidke sirge võrrand, mis läbib punkti (-2:-8) ja lõikub algse sirgega 30 kraadise nurga all.

Üks sirgjoon on meile teada, kuna on teada kaks punkti, mida see läbib.

Jääb kindlaks määrata teise sirge võrrand. Üks punkt on meile teada ja teise asemel on näidatud nurk, mille all esimene sirge lõikub teisega.

Tundub, et kõik on teada, kuid peamine on siin mitte eksida. Me räägime nurgast (30 kraadi) mitte x-telje ja joone vahel, vaid esimese ja teise joone vahel.

Selle jaoks postitame niimoodi. Määrame esimese rea parameetrid ja uurime, millise nurga all see lõikub x-teljega.

rida xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Üldvõrrand Ax+By+C = 0

Koefitsient A = -6

Tegur B = 4

Koefitsient C = 22

Koefitsient a= 3,6666666666667

Koefitsient b = -5,5

Koefitsient k = 1,5

Telje kaldenurk (kraadides) f = 56,309932474019

Koefitsient p = 3,0508510792386

Koefitsient q = 2,5535900500422

Punktide vaheline kaugus = 7,211102550928

Näeme, et esimene joon ületab telje nurga all 56,309932474019 kraadi.

Lähteandmed ei ütle täpselt, kuidas teine ​​joon esimesega lõikub. On ju võimalik tõmmata kaks tingimustele vastavat joont, millest esimene on pööratud 30 kraadi päripäeva ja teine ​​30 kraadi vastupäeva.

Loeme need kokku

Kui teist rida pööratakse 30 kraadi VASTUPÄEVA PÄEVAPÄEVA, siis on teisel real teatud lõikes x-teljega 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 kraadid

rida_p xa=-2;ya=-8;f=86,309932474019

Sirgjoone parameetrid vastavalt etteantud parameetritele

Üldvõrrand Ax+By+C = 0

Koefitsient A = 23,011106998916

Tegur B = -1,4840558255286

Koefitsient C = 34,149767393603

Lõikude sirgjoone võrrand x/a+y/b = 1

Koefitsient a= -1,4840558255286

Koefitsient b = 23,011106998916

Nurgakordajaga y = kx + b sirge võrrand

Koefitsient k = 15,505553499458

Telje kaldenurk (kraadides) f = 86,309932474019

sirge x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0 normaalvõrrand

Koefitsient p = -1,4809790664999

Koefitsient q = 3,0771888256405

Punktide vaheline kaugus = 23,058912962428

Kaugus punktist sirgeni li =

see tähendab, et meie teise rea võrrand on y= 15,505553499458x+ 23.011106998916

Õppetund sarjast "Geomeetrilised algoritmid"

Tere kallis lugeja!

Jätkame geomeetriliste algoritmidega tutvumist. Viimases tunnis leidsime kahe punkti koordinaatidest sirge võrrandi. Meil on järgmise vormi võrrand:

Täna kirjutame funktsiooni, mis kahe sirge võrrandi abil leiab nende lõikepunkti koordinaadid (kui neid on). Reaalarvude võrdsuse kontrollimiseks kasutame spetsiaalset funktsiooni RealEq().

Tasapinna punkte kirjeldatakse reaalarvude paariga. Reaaltüübi kasutamisel on parem korraldada võrdlustoimingud erifunktsioonidega.

Põhjus on teada: Pascali programmeerimissüsteemis puudub Real tüübil järjestusseos, mistõttu on parem mitte kasutada kirjeid kujul a = b, kus a ja b on reaalarvud.
Täna tutvustame funktsiooni RealEq(), et rakendada operatsiooni “=” (rangelt võrdne):

Funktsioon RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (rangelt võrdne) algus RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Ülesanne. Kahe sirge võrrandid on antud: ja . Leidke nende ristumispunkt.

Otsus. Ilmselge lahendus on joonte võrrandisüsteemi lahendamine: Kirjutame selle süsteemi veidi teistmoodi ümber:
(1)

Tutvustame tähistust: , , . Siin on D süsteemi determinant ja need on determinandid, mis saadakse vastava tundmatu koefitsientide veeru asendamisel vabade liikmete veeruga. Kui , siis süsteem (1) on kindel, see tähendab, et tal on kordumatu lahendus. Selle lahenduse saab leida järgmiste valemitega: , , mida nimetatakse Crameri valemid. Lubage mul teile meelde tuletada, kuidas arvutatakse teist järku determinant. Determinant eristab kahte diagonaali: peamist ja sekundaarset. Põhidiagonaal koosneb elementidest, mis on võetud determinandi ülemisest vasakust nurgast paremasse alumisse nurka. Külgdiagonaal - ülevalt paremalt alla vasakusse. Teist järku determinant on võrdne põhidiagonaali elementide korrutisega, millest on lahutatud sekundaarse diagonaali elementide korrutis.

Kood kasutab võrdsuse kontrollimiseks funktsiooni RealEq(). Reaalarvude arvutused tehakse täpsusega kuni _Eps=1e-7.

Programm geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(arvutuse täpsus) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Reaalne; Funktsioon RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (rangelt võrdne) algus RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Oleme koostanud programmi, mille abil saate sirgete võrrandeid teades leida nende lõikepunkti koordinaadid.

X-telje lõikepunktid peavad lahendama võrrandi y₁=y2, st k₁x+b₁=k₂x+b2.

Teisenda see võrratus, et saada k₁x-k₂x=b2-b1. Nüüd väljendage x: x=(b2-b1)/(k1-k2). Nii leiate graafikute lõikepunkti, mis asub piki OX-telge. Leia y-teljel lõikepunkt. Lihtsalt asendage mis tahes funktsioonis x väärtus, mille leidsite varem.

Eelmine valik sobib diagrammide jaoks. Kui funktsioon on , järgige järgmisi juhiseid. Samamoodi nagu lineaarfunktsiooni puhul, leidke x väärtus. Selleks lahendage ruutvõrrand. Võrrandist 2x² + 2x - 4=0 leia (võrrand on toodud näitena). Selleks kasutage valemit: D= b² - 4ac, kus b on väärtus enne X ja c on arvväärtus.

Arvväärtuste asendamisel saadakse avaldis nagu D= 4 + 4*4= 4+16= 20. Võrrandid sõltuvad diskriminandi väärtusest. Nüüd lisage või lahutage (kordatult) saadud diskriminandi juur muutuja b väärtusele "-" märgiga ja jagage koefitsiendi a kahekordse korrutisega. Nii leiate võrrandi juured, st ristumispunktide koordinaadid.

Funktsioonigraafikutel on funktsioon: OX-telg lõikub kaks korda, see tähendab, et leiate x-telje kaks koordinaati. Kui saate perioodilise X versus Y väärtuse, siis teadke, et graafik lõikub lõpmatu arvu punktidega x-teljega. Kontrollige, kas olete ristumispunktid leidnud. Selleks asendage X väärtused võrrandiga f(x)=0.

Allikad:

• Sirgete lõikepunktide leidmine

Kui tead a väärtust, siis võid öelda, et oled ruutvõrrandi lahendanud, sest selle juured leitakse väga lihtsalt.

Sa vajad

• -ruutvõrrandi diskriminandi valem;
• -Korrutustabeli tundmine

Juhend

Seotud videod

Abistavad nõuanded

Ruutvõrrandi diskriminant võib olla positiivne, negatiivne või võrdne nulliga.

Allikad:

• Ruutvõrrandite lahendamine
• diskrimineeriv on ühtlane

Vihje 3: kuidas leida funktsioonigraafiku lõikepunktide koordinaate

Funktsiooni y \u003d f (x) graafik on kõigi tasapinna punktide kogum, koordinaadid x, mille puhul need rahuldavad seost y \u003d f (x). Funktsioonigraafik illustreerib visuaalselt funktsiooni käitumist ja omadusi. Graafiku koostamiseks valitakse tavaliselt mitu argumendi x väärtust ja arvutatakse nende jaoks funktsiooni y=f(x) vastavad väärtused. Graafiku täpsemaks ja visuaalsemaks koostamiseks on kasulik leida selle lõikepunktid koordinaatide telgedega.

Juhend

X-telje (X-telje) ületamisel on funktsiooni väärtus 0, s.o. y=f(x)=0. x arvutamiseks tuleb lahendada võrrand f(x)=0. Funktsiooni puhul saame võrrandi ax+b=0 ja leiame x=-b/a.

Seega lõikub X-telg punktis (-b/a,0).

Keerulisematel juhtudel, näiteks y ruutsõltuvuse korral x-st, on võrrandil f (x) \u003d 0 kaks juurt, seetõttu lõikub x-telg kaks korda. y sõltuvuse korral x-st, näiteks y=sin(x), on lõpmatu arv lõikepunkte x-teljega.

Funktsiooni graafiku ja X-telje lõikepunktide koordinaatide leidmise õigsuse kontrollimiseks on vaja asendada leitud väärtused x f (x). Mis tahes arvutatud x-i avaldise väärtus peab olema võrdne 0-ga.

Juhend

Esiteks on vaja arutada ülesande lahendamiseks sobiva koordinaatsüsteemi valikut. Tavaliselt asetatakse seda tüüpi ülesannete puhul üks kolmnurkadest 0X teljele nii, et üks punkt langeb kokku lähtepunktiga. Seetõttu ei tohiks te kalduda kõrvale üldtunnustatud otsuse kaanonitest ja teha sama (vt joonis 1). Kolmnurga määramise meetod ise ei mängi põhirolli, kuna saate alati liikuda ühelt neist (mida näete hiljem).

Olgu soovitud kolmnurk antud selle külgede AC ja AB kahe vektoriga vastavalt a(x1, y1) ja b(x2, y2). Veelgi enam, konstruktsiooni järgi y1=0. BC kolmas külg vastab selle joonise kohaselt c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2). Punkt A asetatakse koordinaatide alguspunkti, see tähendab selle koordinaadid A(0, 0). Seda on ka lihtne näha koordinaadid B (x2, y2), a C (x1, 0). Sellest võime järeldada, et kolmnurga määratlus kahe vektori järgi langes automaatselt kokku selle definitsiooniga kolme punkti võrra.

Järgmisena peaksite lõpetama soovitud kolmnurga selle suurusele vastava rööpküliku ABDC. Pealegi, et hetkel ristmikud rööpküliku diagonaalid, on need jagatud nii, et AQ on kolmnurga ABC mediaan, laskub punktist A küljele BC. Diagonaalvektor s sisaldab seda ja on rööpkülikureegli järgi a ja b geomeetriline summa. Siis s = a + b ja selle koordinaadid s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Sama koordinaadid on samuti punktis D(x1+x2, y2).

Nüüd saate jätkata sirgjoone võrrandi koostamist, mis sisaldab s-i, mediaani AQ ja mis kõige tähtsam, soovitud punkti ristmikud mediaan H. Kuna vektor s ise on selle sirge juhis ja teada on ka tema juurde kuuluv punkt A (0, 0), siis kõige lihtsam on kasutada tasapinnalise sirge võrrandit kanoonilisel kujul: (x -x0) / m =(y-y0)/n. Siin (x0, y0) koordinaadid sirge suvaline punkt (punkt А(0, 0)) ja (m, n) – koordinaadid s (vektor (x1+x2, y2). Nii näeb soovitud rida l1 välja selline: x/(x1+x2)=y/ y2.

Selle leidmise viis on ristmik. Seetõttu tuleks leida veel üks sirgjoon, mis sisaldab nn. 1 teise rööpküliku АPBC konstruktsioon, mille diagonaal g=a+c =g(2x1-x2, -y2) sisaldab teist mediaani CW, langetatud C-st küljele AB. See diagonaal sisaldab punkti C(x1, 0), koordinaadid mis mängib rolli (x0, y0) ja suunavektor on siin g(m, n)=g(2x1-x2, -y2). Siit l2 saadakse võrrandiga: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).