Juhusliku suuruse jaotust (üldrahvastiku jaotust) iseloomustavad tavaliselt mitmed numbrilised tunnused:

• normaaljaotuse korral on N(a, σ) matemaatiline ootus a ja standardhälve σ ;
• ühtlase jaotuse jaoks on R(a,b) selle juhusliku suuruse väärtuste jälgimise intervalli piirid.

Kui hinnang on määratletud ühe arvuga, nimetatakse seda punkthinnang. Punkthinnang valimi funktsioonina on juhuslik suurus ja varieerub katse kordamisel valimiti.
Punkthinnangutele kehtivad nõuded, millele nad peavad vastama, et olla mis tahes mõttes "head". See on erapooletus, tõhusust ja maksevõime.

Intervallide hinnangud on määratud kahe numbriga – hinnangulist parameetrit katva intervalli lõpud. Erinevalt punkthinnangutest, mis ei anna aimu, kui kaugel hinnanguline parameeter neist võib olla, võimaldavad intervallhinnangud määrata hinnangute täpsuse ja usaldusväärsuse.

Matemaatilise ootuse, dispersiooni ja standardhälbe punkthinnangutena kasutatakse valimi karakteristikuid, vastavalt valimi keskmist, valimi dispersiooni ja valimi standardhälvet.

Hinnangu erapooletu omadus.
Hindamisel soovitav nõue on süstemaatilise vea puudumine, s.t. korduval kasutamisel on selle hinnangu parameetri θ asemel lähendusvea keskmine väärtus null - see on erapooletu vara hindamine.

Definitsioon. Hinnangut nimetatakse erapooletuks, kui selle matemaatiline ootus on võrdne hinnangulise parameetri tegeliku väärtusega:

Valimi aritmeetiline keskmine on matemaatilise ootuse ja valimi dispersiooni erapooletu hinnang - üldise dispersiooni kallutatud hinnang D. Üldise dispersiooni erapooletu hinnang on hinnang

Hindamise järjepidevuse omadus.
Teine hinnangu nõue – selle järjepidevus – tähendab hinnangu paranemist koos valimi suuruse suurenemisega.

Definitsioon. Hinne nimetatakse konsistentseks, kui see koondub tõenäosuselt hinnangulisele parameetrile θ kui n→∞.

Tõhus hindamisomadus.
Kolmas nõue võimaldab valida ühe ja sama parameetri mitme hinnangu hulgast parima hinnangu.

Definitsioon. Erapooletu hindaja on tõhus, kui sellel on kõigi erapooletute hinnangute hulgas väikseim dispersioon.

See tähendab, et efektiivsel hinnangul on parameetri tegeliku väärtuse suhtes minimaalne hajumine. Pange tähele, et tõhusat hindajat ei ole alati olemas, kuid tavaliselt saab valida kahe hinnangu hulgast tõhusama hinnangu, st. väiksema dispersiooniga. Näiteks normaalse üldkogumi N(a,σ) tundmatu parameetri a korral võib erapooletuks hinnanguks võtta nii valimi aritmeetilise keskmise kui ka valimi mediaani. Kuid valimi mediaani dispersioon on ligikaudu 1,6 korda suurem kui aritmeetilise keskmise dispersioon. Seetõttu on tõhusam hinnang valimi aritmeetiline keskmine.

Näide nr 1. Leia ühe seadme (süstemaatiliste vigadeta) mingi juhusliku suuruse mõõtmiste dispersiooni erapooletu hinnang, mille mõõtmistulemused (mm): 13,15,17.
Otsus. Tabel näitajate arvutamiseks.

Näide nr 2. Leia erapooletu hinnang mõne juhusliku suuruse mõõtmiste matemaatilisele ootusele ühe seadmega (ilma süstemaatiliste vigadeta), mille mõõtmistulemused (mm): 4,5,8,9,11.
Otsus. m = (4+5+8+9+11)/5 = 7,4

Näide nr 3. Leidke korrigeeritud dispersioon S 2 valimi suuruse n=10 korral, kui valimi dispersioon on D = 180.
Otsus. S 2 \u003d n * D / (n-1) \u003d 10 * 180 / (10-1) \u003d 200

1. Üldkogumi parameetrite hindamise kontseptsioon. Hindamisomadused: erapooletus, järjepidevus, tõhusus.

Sõnastame parameetrite hindamise probleemi üldkujul . Olgu atribuudi X - üldkogumi - jaotus antud vertikaali funktsiooniga (diskreetse CV X korral) või verti tihedusega
(pideva SW X jaoks), mis sisaldab tundmatut parameetrit . Näiteks on see parameeter λ Poissoni jaotuses või parameetrid a ja
normaaljaotuse seaduse jaoks jne.

Parameetri arvutamiseks ei ole võimalik uurida üldkogumi kõiki elemente. Seetõttu parameetri kohta proovib hinnata valimi järgi, mis koosneb väärtustest (valikud)
. Neid väärtusi võib pidada n sõltumatu juhusliku muutuja privaatväärtusteks (realisatsioonideks).
millest igaühel on sama jaotusseadus nagu SV X-l endal.

Definitsioon . Tunnustust parameeter nimetage SV X-i (muidu - statistika) vaatlustulemuste mis tahes funktsiooni, mille abil nad otsustavad parameetri väärtust :

.

Niivõrd kui
on juhuslikud muutujad, siis hinnang (erinevalt hinnangulisest parameetrist - mittejuhuslik, deterministlik väärtus) on juhuslik suurus, mis sõltub SV X jaotusseadusest ja arvust n.

Hinnangu kvaliteeti ei tohiks hinnata selle üksikute väärtuste, vaid ainult väärtuste jaotuse järgi suur võrk testid, st. hinnangu valimijaotuse järgi.

Kui hindamine väärtustab koondunud parameetri tegeliku väärtuse ümber , st. põhiosa hinnangu valimijaotuse massist on koondunud hinnangulise parameetri väikesesse naabrusesse , siis suure tõenäosusega võime eeldada, et hinnang parameetrist erinev vaid vähesel määral. Seega selleks, et väärtus oli lähedal , tuleb ilmselt nõuda, et juhusliku suuruse hajumine suhteliselt , mida väljendatakse näiteks hinnangu ruudus kõrvalekaldumise matemaatilise ootusega hinnangulisest parameetrist
, oli võimalikult väike. See on põhitingimus, millele "parim" hinnang peab vastama.

Hindamisomadused.

Definitsioon . Hinne parameeter helistas erapooletu, kui selle paaritumisootus on võrdne hinnangulise parameetriga, st.
.

vastasel juhul nimetatakse hinnangut ümberasustatud.

Kui see võrdsus ei ole täidetud, siis hinnang , mis on saadud erinevatest proovidest, keskmise või ülehindab väärtust (kui
või alahinnata seda (kui
). Erapooletuse nõue tagab, et hinnangus ei esineks süstemaatilisi vigu.

Kui lõpliku valimi suuruse n korral
, st. hinnanguline eelarvamus
, aga
, siis selline hinnang helistas asümptootiliselt erapooletu.

Definitsioon . Hinne parameeter helistas jõukas, kui see rahuldab suurte arvude seadust, st. läheneb hinnangulisele parameetrile:

või .

Järjepidevate hinnangute kasutamise korral on valimi suuruse suurendamine õigustatud, kuna samal ajal muutuvad olulised vead hinnangutes ebatõenäoliseks. Seetõttu on praktiline tähendus ainult järjepidevatel hinnangutel. Kui hinnang on järjepidev, siis on peaaegu kindel, et piisavalt suure n korral
.

Kui skoor parameeter on erapooletu ja selle dispersioon
kui n → ∞, siis hinnang on ka rikas. See tuleneb otseselt Tšebõševi ebavõrdsusest:

.

Definitsioon . Erapooletu hindaja kutsutakse parameetrit tõhus kui sellel on väikseim dispersioon parameetri kõigi võimalike erapooletute hinnangute hulgas arvutatud sama suurusega proovidest n.

Sest erapooletu hindaja jaoks
on selle dispersioon , siis eff on otsustav vara, mis määrab hindamise kvaliteedi.

Hindamise tõhususe määrab suhe: .

kus ja - Vastab efektiivsete ja antud hinnangute dispersioonile. Mida lähemal e on 1-le, seda tõhusam on hinnang. Kui e → 1 kui n → ∞, siis nimetatakse sellist hinnangut asümptootiliselt efektiivseks.

Millist parameetri hinnangut nimetatakse järjekindlaks, erapooletuks, tõhusaks?

1) Järjepidev hindamine

Jõukas hinnang matemaatilises statistikas on punkthinnang, mis läheneb tõenäosuselt hinnangulisele parameetrile.

Definitsioonid

· Las olla-- valim jaotusest, mis sõltub parameetrist. Siis nimetatakse hinnangut järjepidevaks, kui

tõenäosuse poolest.

Vastasel juhul nimetatakse hinnangut kehtetuks.

Väidetavalt on hinnang tugevalt järjekindel, kui

peaaegu kindlasti kl.

Omadused

· Konvergentsi omadustest juhuslikud muutujad, on meil, et tugevalt järjekindel hinnang on alati järjepidev. Vastupidine ei ole üldiselt tõsi.

• · Valimi keskmine on matemaatilise ootuse X i järjepidev hinnang.
• · Perioodogramm on spektraaltiheduse erapooletu, kuid ebajärjekindel hinnang.
• 2) Erapooletu hinnang

Erapooletu hinnang matemaatilises statistikas on punkthinnang, mille matemaatiline ootus on võrdne hinnangulise parameetriga.

Definitsioon

Olgu valim jaotusest, mis sõltub parameetrist. Siis nimetatakse hinnangut erapooletuks, kui

Vastasel juhul nimetatakse hinnangut kallutatud ja juhuslikku muutujat selle nihkeks.

Näidiskeskmine

on X i ootuse erapooletu hinnang, kuna kui

· Olgu juhuslikel suurustel X i lõplik dispersioon DX i = ? 2. Koostame hinnanguid

valimi dispersioon,

Parandatud valimi dispersioon.

Kas siis parameetrite hinnangud on kallutatud ja S 2 kallutatud? 2.

3) Tõhus hindamine

Praegune versioon (ei ole testitud)

Definitsioon

Parameetri hinnangut nimetatakse klassis efektiivseks hinnanguks, kui mõni muu hinnang rahuldab mõne ebavõrdsuse.

Erapooletutel hinnangutel on matemaatilises statistikas eriline roll. Kui kallutamata hinnang on tõhus hindaja erapooletute klassis, siis nimetatakse sellist statistikat lihtsalt efektiivseks.

Efektiivne hinnang klassis, kus on mingi funktsioon, on olemas ja on unikaalne kuni kogumi väärtusteni, millesse sattumise tõenäosus on võrdne nulliga ().

Parameetri hinnangut peetakse efektiivseks, kui selle Cramer-Rao ebavõrdsus muutub võrduseks. Seega saab ebavõrdsusega tõestada, et antud hinnangu dispersioon on väikseim võimalik, st et see hinnang on mõnes mõttes parem kui kõik teised.

Matemaatilises statistikas on Cramemre-Ramo ebavõrdsus (Harald Crameri ja C.R. Rao auks) ebavõrdsus, mis teatud tingimustel statistilise mudeli korral annab tundmatu parameetri hinnangu dispersioonile madalama piiri, väljendades seda Fisheri teabe tingimused.

Hindajate koostamise üks peamisi nõudeid on hankida minimaalse dispersiooni või minimaalse hajuvusega hinnanguid (kui need on olemas). Sellega seoses võetakse matemaatilises statistikas kasutusele tõhusate hinnangute kontseptsioon,

Signaaliparameetri kallutatud hinnangute puhul nimetatakse hinnangut efektiivseks, kui hinnangu parameetri I tõelisest väärtusest hinnangulise kõrvalekalde ruudus keskmine väärtus ei ületa ühegi teise hinnangu y ruudu hälbe keskmist väärtust. st ebavõrdsus

Erapooletu hinnangu korral on hinnangu hajuvus sama, mis selle dispersioon, seega on efektiivne kallutamata hinnang defineeritud kui minimaalse dispersiooniga hindaja.

S. Rao ja Cramer leidsid sõltumatult avaldised tingimuslike dispersioonide ja hinnangute hajuvuse alumiste piiride jaoks, mis on efektiivsete hinnangute dispersioonid ja hajutused, eeldusel, et need on antud parameetrite jaoks olemas.

Esitame selle avaldise tuletuse, eeldades, et vajalikud eeldused kehtivad.

Esitame parameetri y hinnangut stenogrammides, kus X on mitmemõõtmeline valim ajaintervalli realisatsioonist

Võtame avaldise keskmise

üle kõikvõimalikud mitmemõõtmelise valimi X väärtused, mida kirjeldab tinglik tõenäosustihedus. Võttes arvesse naturaallogaritmi tuletise üldtuntud seost, saame pärast keskmistamist

Tõenäosuse tiheduse normaliseerimisomaduse tõttu on (1.3.3) viimane liige võrdne nulliga. Esimese liikme integraal tähistab hinnangu keskmist väärtust

Viimast arvesse võttes saab keskmise väärtuse kirjutada kujul

Selle avaldise vasak pool on kahe juhusliku muutuja korrutise keskmine väärtus kahe esimese hetke lõppväärtustega. Nendel tingimustel on juhuslike muutujate puhul tõene matemaatilisest statistikast tuntud Bunyakovsky-Schwarzi ebavõrdsus

mis muutub võrduseks, kui juhuslikud suurused on ühendatud deterministliku sõltuvusega . Võttes arvesse (1.3.6), võib avaldisest (1.3.5) saada

Erapooletute ja pideva kallutatud hinnangute puhul rahuldab hinnangu dispersioon Rao-Krameri ebavõrdsust

Tuleb märkida, et kõigis suhetes tehakse keskmistamine vaadeldavate andmete X mitmemõõtmelise valimi alusel (pideva töötlemisega - kõigi võimalike rakenduste puhul

tuletised võetakse hinnangulise parameetri tegeliku väärtuse punktis.

Avaldiste (1.3.7) ja (1-3.8) võrdusmärk saavutatakse ainult efektiivsete hinnangute korral.

Avaldise (1.3.7) puhul vaatleme tingimusi, mille korral ebavõrdsus muutub võrdsuseks, st parameetri hinnang on efektiivne kallutatud hinnang. Vastavalt (1.3.6) on selleks vajalik, et rist- korrelatsioonikordaja olla võrdne ühega st nii, et need juhuslikud funktsioonid on ühendatud deterministliku lineaarse sõltuvusega.

Tõepoolest, me esindame kujul tõenäosusfunktsiooni logaritmi tuletist

kus on funktsioon, mis ei sõltu hinnangust y ja vaadeldavate andmete valimist, kuid võib sõltuda hinnangulisest parameetrist Asendades (1.3.5) ja (1.3.9) võrratusega (1.3.7), saab sellest võrdsus. Tõenäosusfunktsiooni logaritmi tuletise esitamine kujul (1.3.9) on aga võimalik, kui hinnang y rahuldab piisavuse tingimust (1.2.9), millest järeldub, et

ja seega kui logaritmilise tõenäosuse suhte tuletis on lineaarselt sõltuv piisavast hindajast, siis on proportsionaalsustegur valimist sõltumatu

Seega, et kallutatud efektiivne hindaja eksisteeriks, peavad olema täidetud kaks tingimust: hindaja peab olema piisav (1.2.9) ja seos (1.3.9) peab olema täidetud. Sarnased piirangud on seatud efektiivsete erapooletute hinnangute olemasolule, mille korral avaldises (1.3.8) olev ebavõrdsusmärk muutub võrdsuseks.

Eelpool saadud avaldis kallutatud hinnangu dispersiooni alumise piiri kohta kehtib ka kallutatud hinnangu dispersiooni alumise piiri kohta, kuna s.o.

Viimane ebavõrdsus muutub võrdsuseks, kui lisaks hinnangu piisavuse tingimusele on seos

kus on sama tähendus mis avaldisel (1.3.9).

Valem (1.3.10) tuletatakse sarnaselt (1.3.7), kui algses avaldises (1.3.2) selle asemel, et arvestada

Tingimuste (1.2.9) ja (1.3.9) olemusest nähtub, et efektiivsed hinnangud eksisteerivad ainult väga spetsiifilistel juhtudel. Samuti tuleb märkida, et tõhus hindaja kuulub tingimata piisavate hinnangute klassi, samas kui piisav hindaja ei pruugi olla tõhus.

Efektiivse segahinnangu dispersiooni avaldise analüüs 1.3.7) näitab, et võib esineda kallutatud hinnanguid, mis annavad väiksema hinnangu dispersiooni kui erapooletud. Selleks on vajalik, et nihke tuletis oleks negatiivse väärtusega ja oleks parameetri tegeliku väärtuse punktis absoluutväärtuses ühtsuse lähedal.

Kuna enamikul juhtudel pakub huvi saadud hinnanguvea (dispersiooni) keskmine ruut, on mõttekas rääkida hinnanguvea keskmisest ruudust, mis on mis tahes hinnangu korral allpool piiratud:

Lisaks kasutatakse tõhusate hinnangute jaoks võrdusmärki.

On lihtne näidata, et seosed (1.3.10) ja (1.3.12) langevad kokku, kui on täidetud vastavalt tingimused (1.3.11) ja (1.3.9). Tõepoolest, asendades lugejas ja nimetajas (1.3.10) funktsioonides väljendatud väärtused, saame (1.3.12).

Kasutades ülaltoodud efektiivsete hinnangute omadusi, täpsustame nende määratlust. Nimetame y hinnangut efektiivseks, kui selle jaoks on täidetud kas tingimused (1.2.9) ja (1.3.11) või kui antud kõrvalekalde korral on sellel dispersioon

või hajumine

või nullnihke korral on sellel hinnangul dispersioon

Pange tähele, et efektiivse hinnangu (1.3.13) - (1.3.15) omadusi saab arvutada ka nende parameetrite jaoks, mille jaoks puudub efektiivne hinnang. Sel juhul määravad väärtused (1.3.13) - (1.3.15) vastavate hindamistunnuste alumise piiri (saamatu).

Reaalsete hinnangute võrdlemiseks efektiivsete hinnangutega võetakse matemaatilises statistikas kasutusele hinnangute suhtelise efektiivsuse kontseptsioon, mis on efektiivse hinnangu keskmise ruuthälbe suhe parameetri tegeliku väärtuse ja tegeliku väärtuse keskmise ruuthälbe suhe. hinnang parameetri tegeliku väärtuse suhtes:

Siin on y reaalne hinnang, mille efektiivsus on võrdne efektiivse hinnanguga.

Efektiivse hinnangu dispersiooni definitsioonist (1.3.1) on näha, et hinnangu suhteline efektiivsus varieerub piires

Lisaks efektiivsete hinnangute kontseptsioonile on olemas ka asümptootiliselt tõhusate hinnangute kontseptsioon. Eeldatakse, et piisavalt pika vaatlusaja või signaali-müra suhte piiramatu suurenemise korral on reaalhinnangu suhtelise efektiivsuse piirväärtus võrdne ühega. See tähendab, et asümptootiliselt tõhusa hinnangu korral määratakse antud kõrvalekalde hinnangu dispersioon avaldise (1.3.13) ja nihke puudumisel avaldise (1.3.15) abil.

Teema 7. Jaotusparameetrite statistilised hinnangud: punkt- ja intervallhinnangud

Statistiliste meetodite tähendus seisneb selles, et piiratud suurusega valimi põhjal, st mingi osa üldkogumi kohta, teha mõistlik hinnang selle omaduste kohta tervikuna.

Loomulikult tekitab populatsiooniuuringu asendamine näidisuuringuga mitmeid küsimusi:

1. Mil määral peegeldab valim üldkogumi omadusi, st kuivõrd on valim üldkogumi esinduslik?

2. Millist teavet üldkogumi parameetrite väärtuste kohta võivad anda valimi parameetrid?

3. Kas võib väita, et valimiga saadud statistilised tunnused (keskmised, dispersioon või mis tahes muud tuletatud väärtused) on võrdsed nende tunnustega, mida on võimalik saada üldkogumilt.

Kontroll näitab, et sama üldkogumi erinevate proovide jaoks saadud parameetrite väärtused tavaliselt ei ühti. Juhuslikult arvutatud valimiparameetrite arvväärtused on ainult ligikaudsed statistiline hindamine nende parameetrite väärtused üldpopulatsioonis. Statistiline hinnang võimaldab vaadeldavate nähtuste varieeruvuse tõttu saada nende ligikaudseid väärtusi.

Märge. Rangelt võttes on statistikas hinnang hinnangulise parameetri arvutamise reegel ja termin hindama, see tähendab hindama, tähendab ligikaudse väärtuse näitamist.

Eristage hinnanguid punkt ja intervallide hinnangud.

Jaotusparameetrite punkthindamine

Las olla x 1, x 2, …, x n– mahuproovide võtmine n jaotusfunktsiooniga üldpopulatsioonist F(x).

Selle valimi arvkarakteristikuid nimetatakse valikuline (empiiriline) numbrilised tunnused.

Pange tähele, et valimi numbrilised karakteristikud on antud valimi omadused, kuid ei ole üldkogumi jaotuse tunnused. Neid omadusi saab aga kasutada üldpopulatsiooni parameetrite hindamiseks.

täpiline nimetatakse statistiliseks hinnanguks, mis määratakse ühe arvuga.

Punkthinnangut iseloomustab omadused: erapooletus, elujõulisus ja tõhusus.

erapooletu nimetatakse punkthinnanguks, mille matemaatiline ootus on võrdne mis tahes valimi suuruse hinnangulise parameetriga.

Punktihinnangut nimetatakse jõukas , kui valimi suurus on piiramatult suurendatud ( n® ¥) läheneb tõenäosuselt parameetri tegelikule väärtusele, st kaldub üldkogumi hinnangulise parameetri tegelikule väärtusele.

tõhus nimetatakse punkthinnanguks, mis (antud valimi suuruse korral n) on väikseima võimaliku dispersiooniga, st tagab valimihinnangu väikseima kõrvalekalde üldkogumi samast hinnangust.

Matemaatiline statistika näitab, et üldise keskmise väärtuse a järjekindel ja erapooletu hinnang on valimi keskmine:

kus x i- proovivõtu võimalus, n i– sagedusvalikud x i, on valimi suurus.

Üldise dispersiooni erapooletu hinnang aitab korrigeerida valimi dispersiooni

,

Mugavam valem .

Hinne s 2 üldise dispersiooni jaoks on samuti järjekindel, kuid mitte efektiivne. Normaaljaotuse korral on see aga "asümptootiliselt efektiivne", ehk siis suurenemisega n selle dispersiooni suhe minimaalsesse võimalikku läheneb ühtsusele lõputult.

Niisiis, antud näidis jaotusest F(x) juhuslik suurus X teadmata ootusega a ja dispersioon s 2, siis on meil nende parameetrite väärtuste arvutamiseks õigus kasutada järgmisi ligikaudseid valemeid:

Punkthinnangute puuduseks on see, et väikese valimi korral võivad need hinnangulistest parameetritest oluliselt erineda. Seetõttu, et saada aimu parameetri ja selle hinnangu lähedusest, võetakse matemaatilises statistikas kasutusele nn intervallhinnangud.

Usaldusvahemik

Kui tulemuste statistilise töötlemise käigus on vaja leida mitte ainult tundmatu parameetri θ punkthinnang, vaid ka iseloomustada selle hinnangu täpsust, siis leitakse usaldusvahemik.

Usaldusvahemik on intervall, milles üldkogumi tundmatu parameeter leitakse etteantud usalduse tõenäosusega.

Usalduse tõenäosus on tõenäosus, millega teadmata populatsiooni parameeter kuulub usaldusvahemikku.

Usaldusvahemiku pikkus iseloomustab intervalli hinnangu täpsust ning sõltub valimi suurusest ja usaldusnivoodest. Valimi suuruse suurenemisega muutub pikkus konfi. intervall väheneb (täpsus suureneb) ja kui usalduse tõenäosus kipub olema 1, on pikkuseks usaldus. intervall suureneb (täpsus väheneb) Koos usaldusnivooga p kasutatakse praktikas sageli olulisusnivood α = 1 - p.

Tavaliselt võtke p = 0,95 või (harva) 0,99. Neid tõenäosusi peetakse piisavaks, et teadaolevate valiminäitajate põhjal teha üldparameetrite kohta kindel otsus.

Matemaatilise ootuse usaldusvahemik on: kus S - RMS, - Studenti jaotuse kriitiline väärtus (vt 7. teema LISA 1)