Bu ehtimallar məşğul kanalların orta sayını ifadə edir

=P 1 + 2P 2 +…+n(P n +P n+ 1 +…+Ps) və ya

=P 1 + 2P 2 +…+(n- 1)Pn- 1 +n( 1-P 0 -P 1 -...-S n-1 ).

Sistemin mütləq bant genişliyini tapırıq:

eləcə də sistemdəki tətbiqlərin orta sayı

M=s- =s-.

Misal 1. Uğursuzluqları olan üç kanallı QS-nin girişi intensivliklə tətbiqlər axını alır \u003d dəqiqədə 4 sorğu, bir kanal tərəfindən tətbiqə xidmət vaxtı t xidmət =1/μ =0,5 dəq. QS ötürmə qabiliyyəti nöqteyi-nəzərindən hər üç kanalı birdən tətbiqlərə xidmət etməyə məcbur etmək sərfəlidirmi və orta xidmət müddəti üç dəfə azalır? Bu, ərizənin CMO-da keçirdiyi orta vaxta necə təsir edəcək?

Həll. Düsturla üç kanallı QS-nin dayanma ehtimalını tapırıq

ρ = /μ=4/2=2, n=3,

P 0 = = = 0,158.

Uğursuzluq ehtimalı düsturla müəyyən edilir:

P otk \u003d P n ==

P otk = 0,21.

Sistemin nisbi ötürmə qabiliyyəti:

P xidməti = 1-R otk 1-0,21=0,79.

Mütləq sistem bant genişliyi:

A= P xidməti 3,16.

Məşğul olan kanalların orta sayı düsturla müəyyən edilir:

1.58, xidmət tərəfindən tutulan kanalların payı,

q = 0,53.

QS-də ərizənin orta qalma müddəti ərizənin xidmət üçün qəbul edilməsi ehtimalının orta xidmət müddətinə vurulması kimi tapılır: t QS 0.395 dəq.

Hər üç kanalı bir yerə birləşdirərək, parametrləri olan bir kanallı sistem əldə edirik μ= 6, ρ= 2/3. Tək kanallı sistem üçün dayanma ehtimalı:

R 0 = = =0,6,

uğursuzluq ehtimalı:

P açıq =ρ P 0 = = 0,4,

nisbi məhsuldarlıq:

P xidməti = 1-R otk =0,6,

mütləq bant genişliyi:

A=P xidmət = 2.4.

t CMO = R xidməti= =0,1 dəq.

Kanalların birində birləşdirilməsi nəticəsində sistemin ötürmə qabiliyyəti azalıb, çünki uğursuzluq ehtimalı artıb. Sistemdə müraciətin orta qalma müddəti azalıb.

Misal 2. Limitsiz növbə ilə üç kanallı QS-nin girişi intensivliklə sorğu axını alır. =Saatda 4 sorğu, bir sorğu üçün orta xidmət müddəti t=1/μ=0,5 h.Sistemin iş göstəricilərini tapın.

Nəzərdə tutulan sistem üçün n =3, =4, μ=1/0,5=2, ρ= /µ=2, ρ/ n =2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:

P= .

P 0 = =1/9.

Növbədəki müraciətlərin orta sayı düsturla tapılır:

L =.

L = = .

Növbədə olan ərizə üçün orta gözləmə müddəti düsturla hesablanır:

t= = 0,22 saat.

Müraciətin sistemdə orta qalma müddəti:

T=t+ 0,22+0,5=0,72.

Misal 3. Bərbər salonunda 3 usta, gözləmə zalında 3 stul işləyir. Müştəri axını intensivliyə malikdir = Saatda 12 müştəri. Orta xidmət müddəti t xidmət = 20 dəq. Sistemin nisbi və mütləq ötürmə qabiliyyətini, tutulan oturacaqların orta sayını, növbənin orta uzunluğunu, müştərinin bərbərdə keçirdiyi orta vaxtı müəyyənləşdirin.

Bu vəzifə üçün n =3, m =3, =12, μ =3, ρ =4, ρ/n=4/3. İşdən çıxma ehtimalı düsturla müəyyən edilir:

R 0 =.

P 0 = 0,012.

Xidmətdən imtina ehtimalı düsturla müəyyən edilir

P otk \u003d P n + m \u003d .

P açıq =P n + m 0,307.

Sistemin nisbi ötürmə qabiliyyəti, yəni. Xidmət ehtimalı:

P xidməti =1-P açın 1-0,307=0,693.

Mütləq bant genişliyi:

A= P xidməti 12 .

Məşğul olan kanalların orta sayı:

.

Orta növbə uzunluğu düsturla müəyyən edilir:

L =

L= 1,56.

Növbədə xidmət üçün orta gözləmə müddəti:

t= h.

CMO-da tətbiqlərin orta sayı:

M=L + .

Müraciətin CMO-da orta qalma müddəti:

T=M/ 0,36 saat

Misal 4. İşçi 4 maşına qulluq edir. Hər bir maşın intensivliklə uğursuz olur = Saatda 0,5 uğursuzluq, təmir üçün orta vaxt t rem\u003d 1 / μ \u003d 0,8 saat Sistemin ötürmə qabiliyyətini təyin edin.

Bu problem qapalı QS hesab edir, μ =1,25, ρ=0,5/1,25=0,4. Bir işçinin işləməməsi ehtimalı düsturla müəyyən edilir:

R 0 =.

P 0 = .

İşçinin Məşğulluq Ehtimali R zan = 1-P 0 . A=( 1-P 0 )μ = saatda 0,85μ maşın.

Bir tapşırıq:

İki işçi dörd maşından ibarət bir qrupa xidmət edir. İşləyən maşının dayanması orta hesabla 30 dəqiqədən sonra baş verir. Orta quraşdırma vaxtı 15 dəqiqədir. Əməliyyat vaxtı və quraşdırma vaxtı eksponent olaraq paylanır.

Hər bir işçi üçün boş vaxtın orta payını və maşının işlədiyi orta vaxtı tapın.

Bir sistem üçün eyni xüsusiyyətləri tapın:

a) hər bir işçiyə iki maşın ayrılır;

b) iki işçi həmişə maşına birlikdə və ikiqat intensivliklə xidmət edir;

c) yeganə nasaz maşına hər iki işçi eyni anda xidmət göstərir (ikiqat intensivliklə) və ən azı daha bir nasaz maşın göründükdə, hər biri bir maşına xidmət edən ayrı-ayrılıqda işləməyə başlayırlar (əvvəlcə sistemi proseslər baxımından təsvir edin). ölüm və doğum).

Həll:

S sisteminin aşağıdakı halları mümkündür:

S 0 - bütün maşınlar işləyir;

S 1 - 1 maşın təmir olunur, qalanları işlək vəziyyətdədir;

S 2 - 2 maşın təmir olunur, qalanları qaydasındadır;

S 3 - 3 maşın təmir olunur, qalanları qaydasındadır;

S 4 - 4 maşın təmir olunur, qalanları qaydasındadır;

S 5 - (1, 2) maşınlar təmir olunur, qalanları qaydasındadır;

S 6 - (1, 3) maşınlar təmir olunur, qalanları qaydasındadır;

S 7 - (1, 4) maşınlar təmir olunur, qalanları qaydasındadır;

S 8 - (2, 3) maşınlar təmir olunur, qalanları qaydasındadır;

S 9 - (2, 4) maşınlar təmir olunur, qalanları qaydasındadır;

S 10 - (3, 4) maşınlar təmir olunur, qalanları qaydasındadır;

S 11 - (1, 2, 3) maşınlar təmir olunur, 4 maşın işlək vəziyyətdədir;

S 12 - (1, 2, 4) maşınlar təmir olunur, 3 maşın işlək vəziyyətdədir;

S 13 - (1, 3, 4) maşınlar təmir olunur, 2 maşın işlək vəziyyətdədir;

S 14 - (2, 3, 4) maşınlar təmir olunur, 1 dəzgah işlək vəziyyətdədir;

S 15 - bütün maşınlar təmirlidir.

Sistem vəziyyəti qrafiki...

Bu S sistemi qapalı sistemə misaldır, çünki hər bir maşın potensial tələbdir və pozulduğu anda real birinə çevrilir. Maşın işləyərkən gecikdirmə blokundadır və nasazlıq anından təmirin sonuna qədər sistemin özündədir. Hər bir işçi bir xidmət kanalıdır.

Əgər işçi məşğuldursa, o zaman vahidinə μ-maşınları, sistemin ötürmə qabiliyyətini təyin edir:

Cavab:

Hər bir işçi üçün boş vaxtın orta payı ≈ 0,09 təşkil edir.

Maşının orta işləmə müddəti ≈ 3,64.

a) Hər bir işçiyə iki maşın verilir.

Bir işçinin işləməməsi ehtimalı düsturla müəyyən edilir:

İşçinin İş Ehtimalları:

Əgər işçi məşğuldursa, o zaman vahidinə μ-maşınları, sistemin ötürmə qabiliyyətini təyin edir:

Cavab:

Hər bir işçi üçün orta boş vaxt payı ≈ 0,62 təşkil edir.

Maşının orta vaxtı ≈ 1,52.

b) İki işçi maşına həmişə birlikdə və ikiqat intensivliklə xidmət edir.

c) Yeganə nasaz maşına hər iki işçi eyni anda xidmət göstərir (ikiqat intensivliklə) və ən azı bir daha nasaz maşın görünəndə, hər biri bir maşına xidmət edən ayrı-ayrılıqda işləməyə başlayırlar (ilk növbədə, sistemi ölüm və doğuş prosesləri).

5 cavabın müqayisəsi:

Maşınlarda işçiləri təşkil etməyin ən təsirli yolu problemin ilkin versiyası olacaqdır.

Yuxarıda, ən sadə növbə sistemlərinin (QS) nümunələri nəzərdən keçirilmişdir. "Sadə" anlayışı "ibtidai" mənasını vermir. Bu sistemlərin riyazi modelləri tətbiq edilir və praktiki hesablamalarda uğurla istifadə olunur.

Növbə sistemlərində qərar nəzəriyyəsinin tətbiqi mümkünlüyü aşağıdakı amillərlə müəyyən edilir:

1. Sistemdəki tətbiqlərin sayı (bu QS hesab olunur) kifayət qədər böyük (kütləvi) olmalıdır.

2. QS girişinə daxil olan bütün proqramlar eyni tipdə olmalıdır.

3. Düsturlardan istifadə edərək hesablamalar üçün ərizələrin qəbulunu və onların işlənməsinin intensivliyini müəyyən edən qanunları bilmək lazımdır. Üstəlik, tətbiq axınları Poisson olmalıdır.

4. QS-nin strukturu, yəni. daxil olan tələblər toplusu və ərizəyə baxılma ardıcıllığı sərt şəkildə müəyyən edilməlidir.

5. Subyektləri sistemdən çıxarmaq və ya daimi emal intensivliyi olan tələblər kimi təsvir etmək lazımdır.

Yuxarıda sadalanan məhdudiyyətlərə riyazi modelin ölçüsünə və mürəkkəbliyinə güclü təsir göstərən daha birini əlavə etmək olar.

6. İstifadə olunan prioritetlərin sayı minimuma endirilməlidir. Tətbiq prioritetləri sabit olmalıdır, yəni. QS daxilində emal zamanı dəyişə bilməzlər.

İş zamanı əsas məqsədə nail olundu - akademik fənnin müəllimi tərəfindən qoyulmuş “Məhdud gözləmə vaxtı ilə QS” və “Qapalı QS” əsas materialı öyrənildi. Aldığımız biliklərin praktikada tətbiqi ilə də tanış olduq, yəni. əhatə olunan materialı birləşdirdi.

1) http://www.5ballov.ru.

2) http://www.studentport.ru.

3) http://vse5ki.ru.

4) http://inqilab..

5) Fomin G.P. Kommersiya fəaliyyətində riyazi üsullar və modellər. M: Maliyyə və statistika, 2001.

6) Gmurman V.E. Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika. M: Ali məktəb, 2001.

7) Sovetov B.A., Yakovlev S.A. Sistemlərin Modelləşdirilməsi. M: Ali məktəb, 1985.

8) Lifshits A.L. QS-nin statistik modelləşdirilməsi. M., 1978.

9) Wentzel E.S. Əməliyyat tədqiqatı. M: Nauka, 1980.

10) Wentzel E.S., Ovçarov L.A. Ehtimal nəzəriyyəsi və onun mühəndislik tətbiqləri. M: Nauka, 1988.

Əvvəlki mühazirələrdə biz təsadüfi hadisələrin başlanğıcını simulyasiya etməyi öyrəndik. Yəni oynaya bilərik - hansı mümkün hadisələrin gələcək və gələcək hansında kəmiyyət. Bunu müəyyən etmək üçün hadisələrin baş verməsinin statistik xüsusiyyətlərini bilmək lazımdır, məsələn, belə bir qiymət hadisənin baş vermə ehtimalı və ya müxtəlif hadisələrin ehtimal paylanması ola bilər, əgər bunların sonsuz sayda növləri varsa. hadisələr.

Ancaq çox vaxt bilmək vacibdir nə vaxt zamanla müəyyən hadisə baş verəcək.

Çoxlu hadisələr olanda və bir-birini izləyəndə əmələ gəlir axın. Qeyd edək ki, bu halda hadisələr bircinsli, yəni bir-birinə müəyyən mənada oxşar olmalıdır. Məsələn, yanacaqdoldurma məntəqələrində avtomobilinə yanacaq doldurmaq istəyən sürücülərin peyda olması. Yəni homojen hadisələr silsilə əmələ gətirir. Bu halda hesab edilir ki, bu hadisənin statistik xarakteristikası (hadisələrin axınının intensivliyi) verilir. Hadisələrin axınının intensivliyi nə qədər olduğunu göstərir orta bu kimi hadisələr zaman vahidində baş verir. Lakin hər bir konkret hadisənin dəqiq nə vaxt baş verəcəyi modelləşdirmə üsulları ilə müəyyən edilməlidir. Biz, məsələn, 200 saat ərzində 1000 hadisə yaratdıqda, onların sayının təxminən hadisələrin baş verməsinin orta intensivliyinə bərabər olması vacibdir 1000/200 = saatda 5 hadisə, bu axını xarakterizə edən statistik dəyərdir. bütünlüklə.

Axının intensivliyi müəyyən mənada zaman vahidinə düşən hadisələrin sayının riyazi gözləntisidir. Amma reallıqda belə çıxa bilər ki, bir saatda 4 hadisə, digərində isə 6 hadisə meydana çıxacaq, baxmayaraq ki, hər saatda orta hesabla 5 hadisə alınsa da, axını xarakterizə etmək üçün bir dəyər kifayət etmir. Riyazi gözləntilərə nisbətən hadisələrin yayılmasının nə qədər böyük olduğunu xarakterizə edən ikinci dəyər, əvvəlki kimi, dispersiyadır. Əslində, hadisənin baş verməsinin təsadüfiliyini, baş vermə anının zəif proqnozlaşdırıla bilməsini müəyyən edən bu dəyərdir. Bu dəyər haqqında növbəti mühazirəmizdə danışacağıq.

Hadisələr axını təsadüfi fasilələrlə bir-birinin ardınca baş verən homojen hadisələrin ardıcıllığıdır. Zaman oxunda bu hadisələr Şəkildə göstərildiyi kimi görünür. 28.1.

Hadisələrin cərəyanına misal olaraq təyyarələrin hava limanına gələn uçuş-enmə zolağına toxunduğu anların ardıcıllığını göstərmək olar.

Axın λ zaman vahidi başına hadisələrin orta sayıdır. Axın sürəti düsturdan istifadə edərək eksperimental olaraq hesablana bilər: λ = N/T n, harada N- müşahidə zamanı baş vermiş hadisələrin sayı T n .

Hadisələr arasındakı interval isə τ j sabitə bərabərdir və ya formada hansısa düsturla müəyyən edilir: t j = f(t j– 1), sonra axın deyilir deterministik. Əks halda, axın təsadüfi adlanır.

Təsadüfi axınlar bunlardır:

• adi: iki və ya daha çox hadisənin eyni vaxtda baş vermə ehtimalı sıfırdır;
• stasionar: hadisə tezliyi λ (t) = sabit ( t) ;
• sonra təsiri yoxdur: təsadüfi hadisənin baş vermə ehtimalı əvvəlki hadisələrin anından asılı deyil.

Poisson axını

Modelləşdirmədə axın standartı üçün Poisson axını götürmək adətdir.

Poisson axını heç bir sonrakı təsiri olmayan adi bir axındır.

Daha əvvəl qeyd edildiyi kimi, bir zaman aralığında olması ehtimalı (t 0 , t 0 + τ ) baş verir m hadisələr, Puasson qanunu ilə müəyyən edilir:

harada a Poisson parametridir.

Əgər a λ (t) = sabit ( t) , yəni stasionar Puasson axını(ən sadə). Bu halda a = λ · t . Əgər a λ =var( t), yəni qeyri-sabit Puasson axını.

Ən sadə axın üçün baş vermə ehtimalı m zamanla hadisələr τ bərabərdir:

Görünməmə ehtimalı (yəni heç biri, m= 0 ) zamanla hadisələr τ bərabərdir:

düyü. 28.2 asılılığı göstərir P vaxtdan 0. Aydındır ki, müşahidə müddəti nə qədər uzun olarsa, heç bir hadisənin baş verməməsi ehtimalı bir o qədər aşağı olar. Üstəlik, dəyər nə qədər yüksəkdir λ , qrafik nə qədər dik gedirsə, yəni ehtimal bir o qədər tez azalır. Bu ona uyğundur ki, əgər hadisələrin baş vermə intensivliyi yüksəkdirsə, onda müşahidə vaxtı ilə hadisənin baş verməməsi ehtimalı sürətlə azalır.

Ən azı bir hadisənin baş vermə ehtimalı ( P XB1S ) aşağıdakı kimi hesablanır:

çünki P HB1S + P 0 = 1 (Ya ən azı bir hadisə görünəcək, ya da heç biri görünməyəcək - digəri verilmir).

Şəkildəki qrafikdən. 28.3 görmək olar ki, ən azı bir hadisənin baş vermə ehtimalı zamanla birliyə meyllidir, yəni hadisənin uzunmüddətli müvafiq müşahidəsi ilə bu, şübhəsiz ki, gec-tez baş verəcəkdir. Hadisəni nə qədər uzun müşahidə etsək (bir o qədər çox t), hadisənin baş vermə ehtimalı nə qədər çox olarsa - funksiyanın qrafiki monoton şəkildə artır.

Hadisənin baş vermə intensivliyi nə qədər böyükdürsə (bir o qədər çox λ ), bu hadisə nə qədər tez baş verir və funksiya bir o qədər tez birliyə meyl edir. Qrafikdə parametr λ xəttin dikliyi (tangensin yamacı) ilə təmsil olunur.

Əgər artırsan λ , sonra hadisəni eyni vaxtda müşahidə edərkən τ , hadisənin baş vermə ehtimalı artır (bax. Şəkil 28.4). Aydındır ki, qrafik 0-dan başlayır, çünki müşahidə vaxtı sonsuz kiçikdirsə, o zaman hadisənin bu müddət ərzində baş vermə ehtimalı cüzidir. Və əksinə, əgər müşahidə müddəti sonsuz uzundursa, o zaman hadisə mütləq ən azı bir dəfə baş verəcək, yəni qrafik 1 ehtimal dəyərinə meyllidir.

Qanunu öyrənərək müəyyən etmək olar: m x = 1/λ , σ = 1/λ , yəni ən sadə axın üçün m x = σ . Riyazi gözləntinin standart sapmaya bərabərliyi bu axının sonrakı təsiri olmayan bir axın olduğunu bildirir. Belə bir axının dispersiyası (daha doğrusu, standart sapma) böyükdür. Fiziki olaraq, bu o deməkdir ki, hadisənin baş vermə vaxtı (hadisələr arasındakı məsafə) zəif proqnozlaşdırıla bilən, təsadüfi, intervaldadır m x – σ < τ j < m x + σ . Orta hesabla bunun təxminən bərabər olduğu aydın olsa da: τ j = m x = T n/ N . Hadisə istənilən an görünə bilər, lakin bu anın daxilində τ j nisbətən m x[- σ ; +σ ] (sonrakı təsirin dəyəri). Əncirdə. 28.5 verilmiş üçün zaman oxuna nisbətən 2-ci hadisənin mümkün mövqelərini göstərir σ . Bu halda deyirik ki, birinci hadisə ikinciyə təsir etmir, ikinci hadisə üçüncüyə təsir etmir və s., yəni heç bir sonrakı təsir yoxdur.

mənasında P bərabərdir r(bax mühazirə 23. Təsadüfi hadisənin modelləşdirilməsi. Uyğun olmayan hadisələrin tam qrupunun modelləşdirilməsi), buna görə də ifadə τ düsturdan (*) , nəhayət, iki təsadüfi hadisə arasındakı intervalları müəyyən etmək üçün bizdə:

τ = –1/ λ Ln( r) ,

harada r— RNG-dən alınan 0-dan 1-ə qədər təsadüfi ədədə bərabər paylanmış, τ — təsadüfi hadisələr arasında interval (təsadüfi dəyişən τ j ).

Nümunə 1. Texnoloji əməliyyata gələn məhsulların axınını nəzərdən keçirin. Məhsullar təsadüfi gəlir - gündə orta hesabla səkkiz ədəd (axın sürəti λ = 8/24 [vahid/saat]). Bu proses zamanı simulyasiya etmək lazımdır T h = 100 saat. m = 1/λ = 24/8 = 3 , yəni orta hesabla üç saatda bir detal. qeyd et ki σ = 3. Əncirdə. 28.6 təsadüfi hadisələr axını yaradan alqoritmi göstərir.

Əncirdə. 28.7 alqoritmin nəticəsini - detalların əməliyyata gəldiyi vaxt nöqtələrini göstərir. Göründüyü kimi, yalnız dövrdə T n = 100 istehsal node emal edilmişdir N= 33 məhsul. Alqoritmi yenidən işə salsaq, o zaman N məsələn, 34, 35 və ya 32-yə bərabər ola bilər. Amma orta hesabla, üçün K alqoritm işləyir N 33,33-ə bərabər olacaq ... Hadisələr arasındakı məsafələri hesablasaq t ilə i və zaman anları 3 kimi müəyyən edilir i, onda orta dəyər bərabər olacaq σ = 3 .

Qeyri-adi hadisə axınlarının modelləşdirilməsi

Axının adi olmadığı məlumdursa, o zaman hadisənin baş vermə anından əlavə, həmin anda meydana çıxa biləcək hadisələrin sayını da modelləşdirmək lazımdır. Məsələn, vaqonlar təsadüfi vaxtlarda (adi qatar axını) qatarın bir hissəsi kimi dəmir yolu stansiyasına gəlir. Ancaq eyni zamanda, qatarda fərqli (təsadüfi) sayda vaqon ola bilər. Bu halda vaqon axınından fövqəladə hadisələrin axını kimi danışılır.

Fərz edək ki M k = 10 , σ = 4 (yəni, orta hesabla, 100-dən 68-də qatara 6-dan 14-ə qədər vaqon gəlir) və onların sayı normal qanuna uyğun olaraq paylanır. Əvvəlki alqoritmdə (*) işarələnmiş yerə (şək. 28.6-a baxın) şəkildə göstərilən fraqmenti daxil etməlisiniz. 28.8.

Misal 2. Aşağıdakı problemin həlli istehsalda çox faydalıdır. Əgər qovşaq hər bir məhsulu təsadüfi hadisələrin axınının intensivliyi ilə müəyyən edilmiş təsadüfi vaxtda emal edirsə, texnoloji qovşağın avadanlığının orta gündəlik boş vaxtı nədir? λ 2? Eyni zamanda, eksperimental olaraq müəyyən edilmişdir ki, məhsullar da axının müəyyən etdiyi təsadüfi vaxtlarda emala gətirilir λ 8 ədəd partiyada 1 ədəd və partiyanın ölçüsü normal qanuna uyğun olaraq təsadüfi olaraq dəyişir. m = 8 , σ = 2 (mühazirə 25-ə baxın). Simulyasiyadan əvvəl T= 0 anbarda heç bir məhsul yox idi. Bu proses zamanı simulyasiya etmək lazımdır T h = 100 saat.

Əncirdə. 28.9, məhsul partiyalarının emal üçün gəlişi axını və təsadüfi hadisələrin axını - məhsul partiyalarının emaldan çıxarılmasını təsadüfi yaradan bir alqoritmi göstərir.

Əncirdə. 28.10 alqoritmin işinin nəticəsini - hissələrin əməliyyata gəldiyi vaxt nöqtələrini və hissələrin əməliyyatdan çıxdığı vaxt nöqtələrini göstərir. Üçüncü sətir müxtəlif vaxtlarda emal üçün növbədə neçə hissənin olduğunu (qovşağın anbarında yatdığını) göstərir.

Emal nodu üçün onun növbəti hissəni gözləyən boş qaldığı vaxtları qeyd etməklə (Şəkil 28.10-da qırmızı kölgəyə baxın), biz bütün müşahidə müddəti üçün qovşağın ümumi boş vaxtını hesablaya, sonra isə orta boş vaxtını hesablaya bilərik. gün ərzində vaxt. Bu həyata keçirmək üçün bu vaxt aşağıdakı kimi hesablanır:

T pr müq. = 24 ( t 1 pr. + t 2 pr.+ t 3 prospekt + t 4 pr. + … + t N s.)/ T n.

Məşq 1. Dəyərin dəyişdirilməsi σ , asılılığı quraşdırın T pr müq. ( σ ) . 100 avro/saat bir vahidin dayanması üçün dəyəri təyin edərək, tədarükçülərin işindəki nizamsızlıqdan müəssisənin illik itkilərini təyin edin. Müəssisə ilə təchizatçılar arasında bağlanmış müqavilənin “Məhsulun çatdırılmasını gecikdirməyə görə cərimənin məbləği” bəndinin redaksiyasını təklif edin.

Tapşırıq 2. Anbarın ilkin doldurulmasının dəyərini dəyişdirərək, müəssisədə qəbul edilmiş ehtiyatların dəyərindən asılı olaraq, müəssisənin illik itkilərinin təchizatçıların işindəki nizamsızlıqdan necə dəyişəcəyini müəyyənləşdirin.

Qeyri-stasionar hadisə axınlarının modelləşdirilməsi

Bəzi hallarda, axın sürəti zamanla dəyişə bilər. λ (t) . Belə bir axın qeyri-stasionar adlanır. Məsələn, böyük bir şəhərin əhalisinin zəngləri ilə stansiyadan saatda çıxan təcili yardım maşınlarının orta sayı gün ərzində dəyişə bilər. Məsələn, məlumdur ki, zənglərin ən çox sayı səhər saat 23:00-dan səhər saat 01:00-a qədər və səhər saat 05:00-dan səhər 07:00-a qədər olan intervallara düşür, digər saatlarda isə bu, iki dəfə çoxdur (bax. 28.11).

Bu vəziyyətdə paylama λ (t) qrafik, düstur və ya cədvəllə müəyyən edilə bilər. Və Şəkildə göstərilən alqoritmdə. 28.6, (**) ilə işarələnmiş yerə Şəkildə göstərilən fraqmenti daxil etməlisiniz. 28.12.

Markov prosesləri 1907-ci ildə alimlər tərəfindən hazırlanmışdır. O dövrün qabaqcıl riyaziyyatçıları bu nəzəriyyəni inkişaf etdirdilər, bəziləri hələ də təkmilləşdirirlər. Bu sistem digər elm sahələrini də əhatə edir. Praktiki Markov zəncirləri bir insanın gözləmə vəziyyətinə gəlməsi lazım olan müxtəlif sahələrdə istifadə olunur. Ancaq sistemi aydın başa düşmək üçün şərtlər və müddəaları bilmək lazımdır. Markov prosesini müəyyən edən əsas amil təsadüfilik hesab edilir. Düzdür, qeyri-müəyyənlik anlayışına bənzəmir. Onun müəyyən şərtləri və dəyişənləri var.

Təsadüfi faktorun xüsusiyyətləri

Bu şərt statik sabitliyə, daha dəqiq desək, qeyri-müəyyənlik zamanı nəzərə alınmayan qanunauyğunluqlarına tabedir. Öz növbəsində, bu meyar ehtimalların dinamikasını tədqiq edən alimin qeyd etdiyi kimi, Markov prosesləri nəzəriyyəsində riyazi metodlardan istifadə etməyə imkan verir. Onun yaratdığı əsər birbaşa olaraq bu dəyişənlərlə bağlı idi. Öz növbəsində, hal və keçid anlayışlarına malik olan, stoxastik və riyazi məsələlərdə də istifadə olunan tədqiq edilmiş və işlənmiş təsadüfi proses eyni zamanda bu modellərin işləməsini mümkün edir. Digər şeylərlə yanaşı, digər mühüm tətbiqi nəzəri və praktiki elmləri təkmilləşdirmək imkanı verir:

• diffuziya nəzəriyyəsi;
• növbə nəzəriyyəsi;
• etibarlılıq nəzəriyyəsi və başqa şeylər;
• kimya;
• fizika;
• Mexanika.

Planlaşdırılmamış amilin əsas xüsusiyyətləri

Bu Markov prosesi təsadüfi bir funksiya ilə idarə olunur, yəni arqumentin istənilən qiyməti verilmiş qiymət və ya əvvəlcədən hazırlanmış formanı alan dəyər hesab olunur. Nümunələr bunlardır:

• zəncirdə dalğalanmalar;
• hərəkət sürəti;
• müəyyən bir sahədə səthin pürüzlülüyü.

Həm də adətən təsadüfi bir funksiya faktının vaxt olduğuna inanılır, yəni indeksləşdirmə baş verir. Təsnifat dövlət və arqument formasına malikdir. Bu proses həm diskret, həm də davamlı vəziyyətlər və ya zamanla ola bilər. Üstəlik, hallar fərqlidir: hər şey ya bu və ya digər formada, ya da eyni vaxtda baş verir.

Təsadüfilik anlayışının ətraflı təhlili

Aydın analitik formada zəruri performans göstəriciləri ilə riyazi modeli qurmaq olduqca çətin idi. Gələcəkdə bu vəzifəni həyata keçirmək mümkün oldu, çünki Markov təsadüfi prosesi yarandı. Bu anlayışı ətraflı təhlil edərək müəyyən bir teorem çıxarmaq lazımdır. Markov prosesi əvvəlcədən proqramlaşdırılmamış mövqeyini və vəziyyətini dəyişmiş fiziki sistemdir. Beləliklə, məlum olur ki, onda təsadüfi bir proses baş verir. Məsələn: kosmik orbit və ona buraxılan gəmi. Nəticə yalnız müəyyən edilmiş rejim həyata keçirilməyən bəzi qeyri-dəqiqliklər və düzəlişlər səbəbindən əldə edildi. Davam edən proseslərin əksəriyyəti təsadüfiliyə, qeyri-müəyyənliyə xasdır.

Əslində, demək olar ki, nəzərdən keçirilə biləcək hər hansı bir variant bu amilə tabe olacaq. Təyyarə, texniki cihaz, yeməkxana, saat - bütün bunlar təsadüfi dəyişikliklərə məruz qalır. Üstəlik, bu funksiya real dünyada gedən hər hansı bir prosesə xasdır. Bununla belə, bu, ayrı-ayrılıqda tənzimlənən parametrlərə aid olmadığı müddətcə, baş verən pozğunluqlar deterministik olaraq qəbul edilir.

Markov stoxastik prosesinin konsepsiyası

İstənilən texniki və ya mexaniki cihazın, cihazın dizaynı yaradıcını müxtəlif amilləri, xüsusən də qeyri-müəyyənlikləri nəzərə almağa məcbur edir. Təsadüfi dalğalanmaların və təlaşların hesablanması şəxsi maraq anında, məsələn, avtopilotun həyata keçirilməsi zamanı yaranır. Fizika və mexanika kimi elmlərdə öyrənilən bəzi proseslər belədir.

Ancaq onlara diqqət yetirmək və ciddi araşdırma aparmaq birbaşa ehtiyac duyulduğu anda başlamalıdır. Markov təsadüfi prosesinin aşağıdakı tərifi var: gələcək formanın ehtimal xarakteristikası onun müəyyən bir zamanda olduğu vəziyyətdən asılıdır və sistemin necə göründüyü ilə heç bir əlaqəsi yoxdur. Deməli, bu konsepsiya onu göstərir ki, yalnız ehtimalı nəzərə alaraq və arxa planı unudaraq nəticəni proqnozlaşdırmaq olar.

Konsepsiyanın ətraflı təfsiri

Hazırda sistem müəyyən vəziyyətdədir, hərəkət edir və dəyişir, bundan sonra nələrin olacağını proqnozlaşdırmaq, əslində, mümkün deyil. Amma ehtimalı nəzərə alsaq, prosesin müəyyən formada tamamlanacağını və ya əvvəlkini saxlayacağını deyə bilərik. Yəni keçmişi unudaraq gələcək indidən yaranır. Sistem və ya proses yeni vəziyyətə daxil olduqda, tarix adətən buraxılır. Markov proseslərində ehtimal mühüm rol oynayır.

Məsələn, Geiger sayğacı müəyyən bir göstəricidən asılı olan hissəciklərin sayını göstərir, onun dəqiq hansı anda gəldiyindən deyil. Burada əsas meyar yuxarıdakılardır. Praktiki tətbiqdə yalnız Markov proseslərini deyil, eyni zamanda oxşar prosesləri də nəzərdən keçirmək olar, məsələn: təyyarələr sistemin döyüşündə iştirak edir, hər biri bəzi rənglərlə göstərilir. Bu halda yenə də əsas meyar ehtimaldır. Rəqəmlərdə üstünlük hansı nöqtədə baş verəcək və hansı rəng üçün bilinmir. Yəni bu amil təyyarələrin ölüm ardıcıllığından deyil, sistemin vəziyyətindən asılıdır.

Proseslərin struktur təhlili

Markov prosesi, ehtimala əsaslanan nəticəsi olmayan və tarixdən əvvəlki dövrlərdən asılı olmayaraq sistemin istənilən vəziyyətidir. Yəni gələcəyi indiki vaxta daxil etsəniz və keçmişi buraxsanız. Bu zamanın tarixdən əvvəlki ilə həddindən artıq doyması çoxölçülülüyə gətirib çıxaracaq və zəncirlərin mürəkkəb konstruksiyalarına gətirib çıxaracaq. Buna görə də, bu sistemləri minimal ədədi parametrlərə malik sadə sxemlərlə öyrənmək daha yaxşıdır. Nəticədə, bu dəyişənlər müəyyənedici hesab olunur və bəzi amillərlə şərtlənir.

Markov proseslərinə bir nümunə: o anda işləyən işləyən texniki cihaz. Bu vəziyyətdə maraqlı olan cihazın uzun müddət işləmə ehtimalıdır. Ancaq avadanlıqları sazlanmış kimi qəbul etsək, cihazın əvvəllər nə qədər işlədiyi və təmir edilib-edilmədiyi barədə məlumat olmadığı üçün bu seçim artıq nəzərdən keçirilən prosesə aid olmayacaq. Lakin bu iki zaman dəyişəni əlavə olunarsa və sistemə daxil edilirsə, onda onun vəziyyətini Markova aid etmək olar.

Diskret vəziyyətin və zamanın davamlılığının təsviri

Markov proses modelləri tarixdən əvvəlki dövrə laqeyd yanaşmaq lazım gəldiyi anda tətbiq olunur. Təcrübədə tədqiqat üçün diskret, davamlı vəziyyətlərə ən çox rast gəlinir. Belə bir vəziyyətə misal ola bilər: avadanlıqların strukturuna iş saatlarında uğursuz ola biləcək qovşaqlar daxildir və bu, planlaşdırılmamış, təsadüfi bir hərəkət kimi baş verir. Nəticədə, sistemin vəziyyəti bu və ya digər elementin təmirinə məruz qalır, bu anda onlardan biri yaxşı vəziyyətdə olacaq və ya hər ikisi sazlanacaq və ya əksinə, tam düzəldiləcəkdir.

Diskret Markov prosesi ehtimal nəzəriyyəsinə əsaslanır və eyni zamanda sistemin bir vəziyyətdən digərinə keçididir. Üstəlik, təsadüfən nasazlıqlar və təmir işləri baş versə belə, bu amil dərhal baş verir. Belə bir prosesi təhlil etmək üçün vəziyyət qrafiklərindən, yəni həndəsi diaqramlardan istifadə etmək daha yaxşıdır. Bu vəziyyətdə sistem vəziyyətləri müxtəlif formalarla göstərilir: üçbucaqlar, düzbucaqlılar, nöqtələr, oxlar.

Bu prosesin modelləşdirilməsi

Diskret vəziyyətli Markov prosesləri ani olaraq baş verən və nömrələnə bilən keçid nəticəsində sistemlərin mümkün modifikasiyasıdır. Məsələn, qovşaqlar üçün oxlardan vəziyyət qrafiki qura bilərsiniz, burada hər biri fərqli istiqamətlənmiş uğursuzluq amillərinin yolunu, iş vəziyyətini və s. göstərəcək. Gələcəkdə hər hansı bir sual yarana bilər: məsələn, bütün həndəsi elementlərin işarə etməməsi kimi düzgün istiqamətdə, çünki prosesdə hər bir node pisləşə bilər. İşləyərkən bağlanmaları nəzərə almaq vacibdir.

Davamlı vaxt Markov prosesi verilənlər əvvəlcədən təyin olunmadıqda baş verir, təsadüfən baş verir. Keçidlər əvvəllər planlaşdırılmayıb və istənilən vaxt atlamalarda baş verir. Bu zaman yenə əsas rolu ehtimal oynayır. Bununla belə, əgər mövcud vəziyyət yuxarıda göstərilənlərdən biridirsə, o zaman onu təsvir etmək üçün riyazi model tələb olunacaq, lakin imkanlar nəzəriyyəsini başa düşmək vacibdir.

Ehtimal nəzəriyyələri

Bu nəzəriyyələr təsadüfi nizam, hərəkət və amillər kimi xüsusiyyətlərə malik olan, deterministik deyil, indi və sonra müəyyən olan riyazi problemlərə malik olan ehtimalı hesab edir. İdarə olunan Markov prosesi imkan faktoruna malikdir və ona əsaslanır. Üstəlik, bu sistem müxtəlif şəraitlərdə və vaxt intervallarında anında istənilən vəziyyətə keçmək qabiliyyətinə malikdir.

Bu nəzəriyyəni praktikada tətbiq etmək üçün ehtimal və onun tətbiqi haqqında mühüm biliyə sahib olmaq lazımdır. Əksər hallarda insan gözlənti vəziyyətində olur ki, bu da ümumi mənada nəzərdən keçirilən nəzəriyyədir.

Ehtimal nəzəriyyəsinin nümunələri

Bu vəziyyətdə Markov proseslərinin nümunələri:

• Kafe;
• bilet kassaları;
• təmir sexləri;
• müxtəlif təyinatlı stansiyalar və s.

Bir qayda olaraq, insanlar gündəlik olaraq bu sistemlə qarşılaşırlar, bu gün buna növbə deyilir. Belə bir xidmətin mövcud olduğu obyektlərdə prosesdə təmin olunan müxtəlif tələblər tələb oluna bilər.

Gizli proses modelləri

Belə modellər statikdir və orijinal prosesin işini kopyalayır. Bu halda, əsas xüsusiyyət, açılmalı olan naməlum parametrlərin monitorinqi funksiyasıdır. Nəticədə, bu elementlər təhlildə, təcrübədə və ya müxtəlif obyektləri tanımaq üçün istifadə edilə bilər. Adi Markov prosesləri görünən keçidlərə və ehtimala əsaslanır, gizli modeldə yalnız dövlətin təsirinə məruz qalan naməlum dəyişənlər müşahidə olunur.

Gizli Markov modellərinin əsas açıqlanması

O, həmçinin digər dəyərlər arasında ehtimal paylanmasına malikdir, nəticədə tədqiqatçı simvolların və vəziyyətlərin ardıcıllığını görəcək. Hər bir hərəkətin digər dəyərlər arasında ehtimal paylanması var, buna görə də gizli model yaradılan ardıcıl vəziyyətlər haqqında məlumat verir. İlk qeydlər və onlara istinadlar keçən əsrin altmışıncı illərinin sonlarında ortaya çıxdı.

Sonra onlar nitqin tanınması və bioloji məlumatların analizatorları kimi istifadə olunmağa başladılar. Bundan əlavə, gizli modellər yazıda, hərəkətlərdə, kompüter elmlərində yayılmışdır. Həmçinin, bu elementlər əsas prosesin işini təqlid edir və statik olaraq qalır, lakin buna baxmayaraq, daha fərqli xüsusiyyətlər var. Xüsusilə, bu fakt birbaşa müşahidə və ardıcıllığın yaradılmasına aiddir.

Stasionar Markov prosesi

Bu şərt bircins keçid funksiyası üçün, eləcə də əsas və tərifinə görə təsadüfi hərəkət hesab edilən stasionar paylanma üçün mövcuddur. Bu proses üçün faza məkanı sonlu çoxluqdur, lakin bu vəziyyətdə ilkin diferensiallaşma həmişə mövcuddur. Bu prosesdə keçid ehtimalları zaman şərtləri və ya əlavə elementlər əsasında nəzərə alınır.

Markov modellərinin və proseslərinin ətraflı öyrənilməsi cəmiyyətin həyat və fəaliyyətinin müxtəlif sahələrində balansın təmin edilməsi məsələsini ortaya qoyur. Bu sənayenin elmə və kütləvi xidmətlərə təsir etdiyini nəzərə alsaq, eyni nasaz saat və ya avadanlığın hər hansı hadisə və ya hərəkətinin nəticəsini təhlil etmək və proqnozlaşdırmaqla vəziyyəti düzəltmək olar. Markov prosesinin imkanlarından tam istifadə etmək üçün onları ətraflı başa düşməyə dəyər. Axı, bu cihaz təkcə elmdə deyil, həm də oyunlarda geniş tətbiq tapdı. Bu sistem təmiz formada adətən nəzərə alınmır və istifadə olunursa, yalnız yuxarıda göstərilən modellər və sxemlər əsasında.

4. Markov təsadüfi proseslərin sxemi üzrə modelləşdirmə

Stokastik obyektləri xarakterizə edən ədədi parametrləri hesablamaq üçün onu müşayiət edən təsadüfi amilləri nəzərə alaraq fenomenin bəzi ehtimal modelini qurmaq lazımdır. Təsadüfi bir proses şəklində inkişaf edən bir çox hadisələrin riyazi təsviri üçün Markov təsadüfi prosesləri üçün ehtimal nəzəriyyəsində hazırlanmış riyazi aparat uğurla tətbiq edilə bilər. Bu anlayışı izah edək. Bir az fiziki sistem olsun S, vəziyyəti zamanla dəyişən (sistem altında S hər şeyi başa düşmək olar: texniki cihaz, təmir sexi, kompüter və s.). Əgər dövlət S zamanla təsadüfi olaraq dəyişir, sistemdə deyirlər S təsadüfi proses baş verir. Nümunələr: kompüterin işləmə prosesi (kompüter üçün sifarişlərin qəbulu, bu sifarişlərin növü, təsadüfi nasazlıqlar), idarə olunan raketin hədəfə yönəldilməsi prosesi (raket idarəetmə sistemində təsadüfi pozuntular (müdaxilə)), proses bərbərdə və ya təmir emalatxanasında müştərilərə xidmət göstərilməsi (müştərilərdən daxil olan müraciətlərin (tələblərin) təsadüfi axını).

Təsadüfi proses Markov prosesi (və ya “nəticələri olmayan proses”) adlanır, əgər hər dəfə t0 sistemin gələcəkdə hər hansı vəziyyətinin olma ehtimalı (at t> t0 ) yalnız indiki vəziyyətindən asılıdır (at t= t0 ) və sistemin bu vəziyyətə nə vaxt və necə gəldiyindən (yəni, prosesin keçmişdə necə inkişaf etdiyindən) asılı deyil. Qoy S müəyyən dərəcədə xarab olması ilə xarakterizə olunan texniki cihaz S. Biz bunun bundan sonra necə işləyəcəyi ilə maraqlanırıq. İlk təxmin olaraq, sistemin gələcəkdə performansı (nasazlıq dərəcəsi, təmir ehtiyacı) cihazın indiki vəziyyətindən asılıdır və cihazın indiki vəziyyətinə nə vaxt və necə çatdığından asılı deyil.

Markov təsadüfi proseslər nəzəriyyəsi geniş tətbiq sahəsi olan ehtimal nəzəriyyəsinin geniş bölməsidir (domna sobasında ərimə zamanı yükün yayılması və ya qarışması kimi fiziki hadisələr, növbə prosesləri).

4.1. Markov proseslərinin təsnifatı

Markov təsadüfi proseslər siniflərə bölünür. Birinci təsnifat xüsusiyyəti dövlətlərin spektrinin xarakteridir. Təsadüfi proses (SP) sistemin mümkün vəziyyətləri varsa, diskret vəziyyətləri olan bir proses adlanır S1,S2,S3… sadalamaq olar və prosesin özü ondan ibarətdir ki, zaman-zaman S sistemi bir vəziyyətdən digərinə sıçrayır (bir anda).

Misal. Texniki qurğu I və II iki qovşaqdan ibarətdir, hər biri uğursuz ola bilər. Dövlətlər: S1– hər iki qovşaq işləyir; S2- birinci node uğursuz oldu, ikinci işləyir; S 3 - ikinci node uğursuz oldu, birinci işləyir; S4 hər iki qovşaq uğursuz oldu.

Davamlı vəziyyətləri olan proseslər var (vəziyyətdən vəziyyətə hamar keçid), məsələn, işıqlandırma şəbəkəsində gərginliyin dəyişməsi. Yalnız diskret vəziyyətləri olan SP-ni nəzərdən keçirəcəyik. Bu zaman sistemin mümkün vəziyyətlərinin qovşaqlarla, mümkün keçidlərin isə qövslərlə işarələndiyi vəziyyət qrafikindən istifadə etmək rahatdır.

İkinci təsnifat xüsusiyyəti zamanla işləmə xarakteridir. Sistemin vəziyyətdən vəziyyətə keçidi yalnız ciddi şəkildə müəyyən edilmiş, əvvəlcədən müəyyən edilmiş vaxtlarda mümkündürsə, SP diskret vaxtlı bir proses adlanır: t1,t2…. Əgər sistemin vəziyyətdən vəziyyətə keçidi əvvəlcədən bilinməyən hər hansı bir təsadüfi anda mümkün olarsa, o zaman kəsilməz zamanlı SP-dən danışılır.

4.2. Diskret vaxt Markov zəncirinin hesablanması

S diskret dövlətlərlə S1,S2,...sn və diskret vaxt t1,t2, … ,tk, ...(addımlar, prosesin mərhələləri, SP arqumentin (addım nömrəsi) funksiyası kimi qəbul edilə bilər). Ümumi halda, SP keçidlərin olmasından ibarətdir S1® S1® S2® S3® S4® S1® … anlarda t1,t2,t3 ....

Biz bundan sonra olan hadisəni qeyd edəcəyik k– sistemin vəziyyətdə olduğu addımlar Si. İstənilən üçün k hadisələr https://pandia.ru/text/78/060/images/image004_39.gif" width="159" height="25 src=">.

Belə təsadüfi hadisələr ardıcıllığına Markov zənciri deyilir. Biz vəziyyət ehtimallarından istifadə edərək Markov zəncirini (MC) təsvir edəcəyik. Bundan sonra ehtimal olunsun k- sistemin vəziyyətdə olduğu addımlar Si. Bunu görmək asandır " k DIV_ADBLOCK389">

.

Yuxarıdakı hadisələrdən istifadə edirəm https://pandia.ru/text/78/060/images/image008_34.gif" width="119" height="27 src=">. Matrisin hər sətirindəki üzvlərin cəmi 1-ə bərabər olmalıdır. Bunun əvəzinə keçid ehtimalı matrisləri tez-tez etiketlənmiş vəziyyət qrafikindən istifadə edir (onlar qövslərdə sıfırdan fərqli keçid ehtimallarını ifadə edir, gecikmə ehtimalları tələb olunmur, çünki onlar asanlıqla hesablanır, məsələn, P11=1-(P12+P13)). Bizim ixtiyarımızda etiketli vəziyyət qrafiki (və ya keçid ehtimallarının matrisi) olduqda və sistemin ilkin vəziyyətini bilməklə vəziyyət ehtimallarını tapa bilərik. p1(k),p2(k),…pn(k)" k.

Sistemin ilkin vəziyyətinə icazə verin sm, sonra

p1(0)=0 p2(0)=0…pm(0)=1…pn(0)=0.

İlk addım:

p1(1)=Pm1, p2(1)=Pm2,…pm(1)=Pm,… ,pn(1)=Pmn.

İkinci addımdan sonra ümumi ehtimal düsturundan istifadə edərək əldə edirik:

p1(2)=p1(1)P11+p2(1)P21+…pn(1)Pn1,

pi(2)=p1(1)P1i+p2(1)P2i+…pn(1)Pni və yahttps://pandia.ru/text/78/060/images/image010_33.gif" eni="149" hündürlük="47"> (i=1,2,..n).

üçün heterojen MC keçid ehtimalları addım sayından asılıdır. k addımı üçün keçid ehtimallarını olaraq işarə edək .

Sonra vəziyyətlərin ehtimallarının hesablanması düsturu formasını alır:

.

4.3. Davamlı zamanla Markov zəncirləri

4.3.1. Kolmoqorovun tənlikləri

Təcrübədə, sistemin bir vəziyyətdən vəziyyətə keçməsi əvvəlcədən müəyyən edilə bilməyən təsadüfi vaxtlarda baş verdikdə daha çox rast gəlinir: məsələn, avadanlığın hər hansı elementinin sıradan çıxması, bu elementin təmirinin (bərpasının) sonu. . Belə prosesləri təsvir etmək üçün bir sıra hallarda diskret vəziyyətləri və fasiləsiz vaxtı olan Markov təsadüfi prosesinin, fasiləsiz Markov zəncirinin sxemini uğurla tətbiq etmək olar. Belə bir prosesin dövlət ehtimallarının necə ifadə olunduğunu göstərək. Qoy S=(S1,S2,…sn). ilə işarələyin pi(t)- bu anda ehtimal t sistemi S dövlətdə olacaq). Aydındır ki . Tapşırığı təyin edək - hər hansı biri üçün müəyyən etmək tpi(t). Keçid ehtimalları yerinə Pij keçid ehtimalının sıxlığını nəzərə alırıq

.

Əgər asılı deyilsə t, onlar homojen bir zəncir haqqında danışırlar, əks halda - qeyri-homogen bir zəncir haqqında. Bütün dövlət cütləri üçün bizə bildirin (vəziyyətlərin etiketli qrafiki verilir). Belə çıxır ki, etiketli vəziyyət qrafikini bilməklə müəyyən edə bilərsiniz p1(t),p2(t)..pn(t) zaman funksiyası kimi. Bu ehtimallar müəyyən növ diferensial tənlikləri ödəyir (Kolmoqorov tənlikləri).

Bu tənliklərin sistemin məlum ilkin vəziyyəti ilə inteqrasiyası zaman funksiyası kimi istənilən vəziyyət ehtimallarını verəcəkdir. qeyd et ki p1+p2+p3+p4=1 və biz üç tənlik ilə edə bilərik.

Kolmoqorovun tənliklərinin tərtibi qaydaları. Hər bir tənliyin sol tərəfində vəziyyətin ehtimalının törəməsi, sağ tərəfində isə verilmiş vəziyyətlə əlaqəli oxların sayı qədər termin var. Əgər ox dövlətdən kənara yönəldilibsə, müvafiq terminin mənfi işarəsi, vəziyyətə çevrildiyi təqdirdə isə artı işarəsi var. Hər bir müddət verilmiş oxa uyğun olan keçidin ehtimal sıxlığının okun yarandığı dövlətin ehtimalına vurulan hasilinə bərabərdir.

4.3.2. Hadisələrin axını. Ən sadə axın və onun xüsusiyyətləri

Diskret hallara və fasiləsiz vaxta malik sistemdə baş verən prosesləri nəzərdən keçirərkən, prosesin sistemin vəziyyətdən vəziyyətə keçidlərinin hər hansı bir hadisə axınının təsiri altında baş verdiyi kimi təsəvvür etmək çox vaxt rahatdır. Hadisələr axını zamanın bəzi, ümumiyyətlə desək, təsadüfi anlarında bir-birinin ardınca gələn homojen hadisələrin ardıcıllığıdır. (Telefon stansiyasındakı zənglərin axını; kompüterin nasazlıqlarının (nasiyyətlərinin) axını; stansiyaya gələn yük qatarlarının axını; ziyarətçilərin axını; hədəfə yönəlmiş atışların axını). Biz hadisələrin axınını zaman oxundakı nöqtələrin ardıcıllığı kimi təsvir edəcəyik ot. Oxdakı hər bir nöqtənin mövqeyi təsadüfidir. Hadisələrin axını deyilir müntəzəm , əgər hadisələr ciddi şəkildə müəyyən edilmiş zaman intervallarında bir-birinin ardınca gedirsə (praktikada nadir hallarda rast gəlinir). Xüsusi bir axın növünü nəzərdən keçirin, bunun üçün bir sıra təriflər təqdim edirik. 1. Hadisələrin axını adlanır stasionar , əgər zaman seqmentində bu və ya digər sayda hadisənin baş vermə ehtimalı yalnız seqmentin uzunluğundan asılıdırsa və bu seqmentin ot oxunun dəqiq harada yerləşməsindən asılı deyilsə (vaxt baxımından homojenlik) - belə hadisələrin ehtimal xüsusiyyətləri axın zamanla dəyişməməlidir. Xüsusilə, hadisələrin axınının intensivliyi (və ya sıxlığı) deyilən şey (vahid vaxtda hadisələrin orta sayı) sabitdir.

2. Hadisələrin axını adlanır nəticəsiz axır, hər hansı üst-üstə düşməyən zaman intervalları üçün onlardan birinə düşən hadisələrin sayı digərinə düşən hadisələrin sayından asılı deyilsə (və ya digərləri, əgər ikidən çox bölmə nəzərə alınarsa). Axında nəticənin olmaması axını meydana gətirən hadisələrin bir-birindən asılı olmayaraq zamanın ardıcıl nöqtələrində meydana çıxması deməkdir.

3. Hadisələrin axını adlanır adi siravi , əgər elementar seqmentə dəyən iki və ya daha çox hadisənin baş vermə ehtimalı bir hadisənin baş vermə ehtimalı ilə müqayisədə əhəmiyyətsiz dərəcədə kiçikdirsə (axındakı hadisələr cüt-cüt, üçqat və s. yox, tək baş verir).

Hər üç xüsusiyyətə malik olan hadisələr axını adlanır ən sadə (və ya stasionar Puasson). Qeyri-stasionar Puasson axını yalnız 2 və 3 xassələrə malikdir. Hadisələrin Puasson axını (həm stasionar, həm də qeyri-stasionar) məlum Puasson paylanması ilə sıx bağlıdır. Məhz, hər hansı bir seqmentə düşən axın hadisələrinin sayı Puasson qanununa uyğun olaraq paylanır. Bunu daha ətraflı izah edək.

Ox üzərində düşünün haqqındat, hadisələrin cərəyanının müşahidə olunduğu yerdə t uzunluğunun bəzi bölməsi, hazırda başlanır t0 və bu anda bitir t0 + t. Sübut etmək asandır (sübut ehtimal nəzəriyyəsinin bütün kurslarında verilir) bu bölməyə dəyən m hadisənin baş vermə ehtimalının aşağıdakı düsturla ifadə edilir:

(m=0,1…),

harada a t seqmentinə düşən hadisələrin orta sayıdır.

Stasionar (ən sadə) Puasson axını üçün a=lt, yəni oxun harada olmasından asılı deyil ot t sahəsi alınır. Qeyri-sabit Puasson axını üçün kəmiyyət a düsturu ilə ifadə edilir

və buna görə də hansı nöqtədən asılıdır t0 t seqmenti başlayır.

Ox üzərində düşünün ot sabit intensivliyə malik hadisələrin ən sadə axını l. Bu axındakı hadisələr arasında T vaxt intervalı ilə maraqlanacağıq. l axınının intensivliyi (1 dəfə başına hadisələrin orta sayı) olsun. Paylanma sıxlığı f(t) təsadüfi dəyişən T(axındakı bitişik hadisələr arasında vaxt intervalı) f(t)= le- lt (t> 0) . Belə sıxlığa malik paylanma qanununa eksponensial (eksponensial) deyilir. Təsadüfi dəyişənin ədədi dəyərlərini tapaq T: riyazi gözlənti (orta) və fərq sol">

Vaxt intervalı T qonşu hadisələr arasında ən sadə axın eksponensial qanuna görə paylanır; onun orta qiyməti və standart sapması , burada l axının intensivliyidir. Belə axın üçün ∆t elementar zaman intervalında məhz bir axın hadisəsinin baş vermə ehtimalı kimi ifadə edilir. Biz bu ehtimalı “hadisənin baş vermə ehtimalının elementi” adlandıracağıq.

Qeyri-stasionar Puasson axını üçün T intervalı üçün paylanma qanunu artıq eksponensial olmayacaq. Bu qanunun forması, ilk növbədə, oxun harada olmasından asılı olacaq ot hadisələrin birincisi, ikincisi, asılılığın növünə görə yerləşir. Bununla belə, əgər o, nisbətən yavaş dəyişirsə və iki hadisə arasında vaxt ərzində dəyişməsi kiçikdirsə, bu düsturda ərazidəki orta qiymətə bərabər olan dəyəri qəbul etməklə, hadisələr arasında vaxt intervalının paylanması qanunu təqribən göstərici hesab edilə bilər. bu bizi maraqlandırır.

4.3.3. Poisson hadisəsi axır və

davamlı Markov zəncirləri

Bəzi fiziki sistemi nəzərdən keçirin S=(S1,S2,…sn), bəzi təsadüfi hadisələrin (zənglər, uğursuzluqlar, atışlar) təsiri altında vəziyyətdən vəziyyətə keçir. Bunu elə təsəvvür edək ki, sanki sistemi ştatdan-ştata keçirən hadisələr bir növ hadisə axınıdır.

Sistem olsun S vaxtında t vəziyyətdədir Si və ondan dövlətə gedə bilər sj hadisələrin intensivliyi ilə bəzi Puasson axınının təsiri altında lij: bu mövzunun ilk hadisəsi baş verən kimi sistem dərhal ondan keçid edir Si in sj..gif" eni="582" hündürlük="290 src=">

4.3.4. Dövlətlərin ehtimallarını məhdudlaşdırın

Fiziki sistem olsun S=(S1,S2,…sn), burada fasiləsiz zaman (fasiləsiz Markov zənciri) olan Markov stoxastik prosesi baş verir. Belə iddia edək lij=const, yəni bütün hadisə axınları sadədir (stasionar Puasson). Vəziyyət ehtimalları üçün Kolmoqorov diferensial tənlikləri sistemini yazaraq və bu tənlikləri verilmiş ilkin şərtlərdə inteqral edərək əldə edirik. p1(t),p2(t),…pn(t), hər hansı bir üçün t. Biz bu sualı veririk: sistemlə nə olacaq S saat t® ¥. xüsusiyyətləri olacaq pi(t) bəzi məhdudiyyətlər üçün cəhd etmək? Bu məhdudiyyətlər, əgər varsa, dövlətlərin məhdudlaşdırıcı ehtimalları adlanır. Bir teoremi sübut etmək olar: əgər S hallarının sayı sonludursa və hər bir vəziyyətdən (bu və ya digər sayda addımlar üçün) bir-birinə keçmək mümkündürsə, o zaman vəziyyətlərin məhdudlaşdırıcı ehtimalları mövcuddur və onlardan asılı deyildir. sistemin ilkin vəziyyəti. Fərz edək ki, qeyd olunan şərt ödənilir və limit ehtimalları mövcuddur (i=1,2,…n), .

Beləliklə, at t® ¥ sistemdə S bəzi məhdudlaşdırıcı stasionar rejim qurulur. Bu ehtimalın mənası ondan ibarətdir ki, bu, sistemin müəyyən bir vəziyyətdə sərf etdiyi orta nisbi vaxtdan başqa bir şey deyil. Hesablamaq üçün pi halların ehtimallarını təsvir edən Kolmoqorov tənlikləri sistemində bütün sol tərəflər (törəmələr) 0-a bərabər qoyulmalıdır. Nəticə xətti cəbri tənliklər sistemi tənliklə birlikdə həll edilməlidir. .

4.3.5. Ölüm və çoxalma sxemi

Biz bilirik ki, etiketli vəziyyət qrafiki ilə vəziyyət ehtimalları üçün Kolmoqorov tənliklərini asanlıqla yaza bilərik, həmçinin son ehtimallar üçün cəbri tənlikləri yazıb həll edə bilərik. Bəzi hallarda son tənlikləri əvvəlcədən hərfi şəkildə həll etmək mümkündür. Xüsusilə, bu, sistemin dövlət qrafiki sözdə "ölüm və çoxalma sxemi" olarsa edilə bilər.

https://pandia.ru/text/78/060/images/image044_6.gif" eni="73" hündürlük="45 src="> (4.4)

İkincidən (4.4) nəzərə alınmaqla əldə edirik:

https://pandia.ru/text/78/060/images/image046_5.gif" eni="116" hündürlük="45 src="> (4.6)

və ümumiyyətlə, hər hansı k üçün (1-dən N-ə qədər):

https://pandia.ru/text/78/060/images/image048_4.gif" eni="267" hündürlük="48 src=">

deməli, biz p0 üçün ifadə alırıq.

(4. 8)

(iki mərtəbəli kəsrlər yazmamaq üçün mötərizəni -1 dərəcəsinə qaldırdıq). Bütün digər ehtimallar p0 ifadəsi ilə ifadə edilir (bax düsturlar (4.4) - (4.7)). Qeyd edək ki, onların hər birində p0-da olan əmsallar (4.8) düsturunda vəhdətdən sonra sıraların ardıcıl hədlərindən başqa bir şey deyildir. Deməli, p0-ı hesablamaqla biz artıq bütün bu əmsalları tapmışıq.

Alınan düsturlar növbə nəzəriyyəsinin ən sadə məsələlərinin həllində çox faydalıdır.