Oxşar Sənədlər

Verilmiş təpəyə bitişiklik matrislərindən qrafiklərin bərpası. Kenarların bitişiklik matrisinin hər bir qrafiki üçün konstruksiya, rastgəlmə, əlçatanlıq, əks əlçatanlıq. Qrafiklərin tərkibini axtarın. Qrafik təpələrinin yerli dərəcələrinin təyini. Qrafiklərin əsasını axtarın.

laboratoriya işi, 01/09/2009 əlavə edildi


Verilmiş qrafikin V təpələri və X qövsləri, bitişiklik siyahıları, insidans və bitişiklik matrisi ilə təsviri. Müvafiq istiqamətləndirilməmiş qrafikin çəki matrisi. Dijkstra alqoritmindən istifadə edərək ən qısa yol ağacının təyini. Qrafikdə ağacların tapılması.

kurs işi, 30/09/2014 əlavə edildi


“Qrafik” anlayışı və onun matris təsviri. Qonşuluq və insidans matrislərinin xassələri. Marşrutların, zəncirlərin və dövrələrin xüsusiyyətləri. Qrafikin mərkəzi təpələrinin tapılması məsələsi, onun metrik xarakteristikası. Qrafik nəzəriyyəsinin elm və texnika sahələrində tətbiqi.

kurs işi, 05/09/2015 əlavə edildi


İstiqamətsiz qrafik üçün qrafik təsvirə keçid alqoritmi. İstiqamətsiz qrafikdə təpələrin sayı. Qonşuluq matrisindən oxumaq. Matrisdə təpələr arasındakı əlaqələr. Sektorların sayından asılı olaraq təpə koordinatlarının təyin edilməsi.

laboratoriya işi, 29/04/2011 əlavə edildi


Qrafiklərdən istifadə etməklə avtomatik idarəetmə sisteminin riyazi təsviri. Qrafikin tərtibi və onun çevrilməsi, diferensiallardan xilas olmaq. İstiqamətləndirilmiş və istiqamətsiz qrafiklərin optimallaşdırılması, bitişiklik və insidans matrislərinin tərtibi.

laboratoriya işi, 03/11/2012 əlavə edildi


İstiqamətləndirilmiş və yönləndirilməmiş qrafiklər: ümumi xarakteristikalar, xüsusi təpələr və kənarlar, təpələrin yarımdərəcələri, bitişiklik, insidensiya, əlçatanlıq, əlaqə matrisləri. Hər bir qrafikin ədədi xarakteristikaları, dərinlik və genişlik üzrə keçid, dövrlərin əsası.

kurs işi, 05/14/2012 əlavə edildi


Çoxluq cəbri və Eyler-Venn diaqramlarından istifadə edərək şəxsiyyətlərin və ya daxilolmaların etibarlılığının yoxlanılması. Reflektorluq, keçidlilik və antisimmetriya xassələrinə malik olan əlaqənin qrafiki və matrisinin təsviri. İstiqamətsiz qrafikin tədqiqi.

test, 05/05/2013 əlavə edildi


Çoxluq hansısa atributla birləşdirilən elementlər toplusudur. Çoxluqlar üzərində əməliyyatlar müəyyən edilir, onlar bir çox cəhətdən arifmetikaya bənzəyir. Çoxluqlar üzərində əməliyyatlar Eyler-Venn diaqramlarından istifadə etməklə həndəsi şəkildə şərh olunur.

mücərrəd, 02/03/2009 tarixində əlavə edildi


Psevdoqraf diaqramının, insidans matrisinin və vertex qonşuluq matrisinin qurulması. Prufer alqoritmindən istifadə edərək vektordan ağacın bərpası. Funksiya və mükəmməl konyunktiv və disyunktiv normal formalar üçün həqiqət cədvəlinin qurulması.

test, 25/09/2013 əlavə edildi


Diskret riyaziyyat məsələlərinin həlli üsulları. Floyd alqoritmindən istifadə edərək istiqamətləndirilmiş və istiqamətsiz qrafikdə bütün təpələrin cütləri arasında ən qısa yolun hesablanması. Problemin təhlili və onun həlli üsulları. Proqramın inkişafı və xüsusiyyətləri.

Çoxluqların vizual təsviri üçün Eyler-Venn diaqramlarından (riyaziyyatçılar Leonhard Euler (1707-1783) və Con Venn (1834-1923) adına verilmişdir) istifadə olunur. Çoxluqlar müstəvidə sahələrlə işarələnir və bu sahələr daxilində çoxluğun elementləri şərti olaraq yerləşdirilir. Çox vaxt diaqramdakı bütün dəstlər universal dəst olan düzbucaqlının içərisinə yerləşdirilir. Əgər element birdən çox çoxluğa aiddirsə, onda belə çoxluqlara uyğun olan sahələr üst-üstə düşməlidir ki, ümumi element eyni vaxtda müvafiq sahələrdə ola bilsin. Diaqramlarda çoxluqları təsvir edən sahələrin formasının seçimi ixtiyari ola bilər (dairələr, çoxbucaqlılar və s.).

Misal üçün, Eyler-Venn diaqramlarının köməyi ilə çoxluğun çoxluğun alt çoxluğu olduğunu göstərmək olar (şək. 3).

Çoxluqlar üzərində yuxarıda göstərilən əməliyyatları Eyler-Venn diaqramlarının köməyi ilə təsvir edək: a) çoxluqların birləşməsi və; b) müəyyən edilmiş kəsişmə; c) çoxluğun fərqi (olmadan); d) çoxluğun universal çoxluğa əlavə edilməsi (şək. 4, a, b, in, G).

Misal 1 Eyler-Venn diaqramlarından istifadə edərək şəxsiyyəti sübut edin.

Həll

Çoxluğun universal çoxluğun tamamlayıcısını quraq (şək. 5, a). Dəst kölgəli sahəyə uyğun gəlir (şək. 5, b). Beləliklə, Eyler-Venn diaqramlarında çoxluqların eyni şəkildə təsvir edildiyini görmək olar.

Misal 2 Onu göstər .

Həll

Verilmiş eyniliyin sol tərəfinə uyğun bir çoxluq quraq. Dəst Şəkildə kölgəli sahə ilə təmsil olunur. 6, a. Dəst Şəkildəki kölgəli sahəyə uyğundur. 6, b.

Dəst hər iki əvvəlki diaqramda kölgələnmiş sahəni təsvir edir, ona görə də Şek. 6, in daha qaranlıq sahə.

Verilmiş eyniliyin sağ tərəfinə uyğun bir çoxluq quraq.

Dəstlər və Şəkildə kölgəli sahə ilə təmsil olunur. 7, a və 7, b müvafiq olaraq.

Dəst Şəkildə kölgəli sahə ilə göstərilir. 7, in.

Şəklin müqayisəsi. 6, in və əncir. 7, in, biz Eyler-Venn diaqramlarının eyni şəkildə təsvir edildiyini görürük, buna görə də .

Müstəqil həll üçün suallar və tapşırıqlar

1. Eyler-Venn diaqramlarından istifadə edərək dəstləri çəkin:

2. Şəkildəki kölgəli hissələrə uyğun olan dəstləri təsvir edin. səkkiz, a, b, in, G Eyler-Venn diaqramlarından istifadə edərək:

3. Bunu göstərmək üçün Eyler-Venn diaqramlarından istifadə edin:

1.4. Çoxluq əməliyyatlarının xassələri

Yuxarıda təqdim edilən çoxluq əməliyyatları aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir.

1. - kommutativlik.

2. - Assosiativlik.

3. - paylanma.

4. - gücsüzlük.

5. - şəxsiyyət qanunları.

6. ,, bir-birini tamamlayan qanunlardır.

7. - De Morqanın qanunları.

8. - udulma qanunları.

9. - yapışdırma qanunları.

10. - Poretskinin qanunları.

Misal 1Çoxluqlar üzərində əməliyyatların xassələrinə əsaslanaraq ifadəni sadələşdirin.

Həll

= /de Morqan qanunu/ =

= = /paylanma qanunu/ =

= = /kommutativlik qanunu/ =

= = /paylanma qanunu/ =

/kommutativlik qanunu/ =

/əlavə qanunları/ =

= /kommutativlik və eynilik qanunları/ =

= = /simmetrik fərqin tərifi/ =.

Artıq qeyd edildiyi kimi, sonlu çoxluğun kardinallığı onun elementlərinin sayıdır. Aşağıdakı teorem iki çoxluğun birləşməsinin kardinallığını hesablamaq üçün sadə bir qayda verir.

Daxiletmə və istisnalar teoremi.İki çoxluğun birləşməsinin gücü bu çoxluqların güclərinin cəmi ilə onların kəsişməsinin gücü arasındakı fərqə bərabərdir, yəni.

Sübut

Təsdiqin sübutu ən rahat şəkildə qrafik şəkildə təsvir edilmişdir. Şəkildə göstərildiyi kimi. 9-da çoxluq ümumi elementləri olmayan alt çoxluqlardan ibarətdir: və. Buna görə də, və.

Qeydi təqdim edək:

Q.E.D.

Misal 2 Universitetdə informatika ixtisası üzrə təhsil alan 63 birinci kurs tələbəsinin hər biri əlavə mühazirələrdə iştirak edə bilər. Əgər onlardan 16-sı həm də mühasibat uçotu kursu, 37-si biznes kursu, 5-i isə bu fənlərin hər ikisini oxuyursa, qeyd olunan əlavə dərslərə ümumiyyətlə gəlməyən neçə tələbə var?

Həll

Qeydi təqdim edək:

Buna görə də əlavə kurslara getməyən tələbələrin sayı.

Qeyd 1. Daxiletmə və xaric etmə teoremi üç çoxluq halı üçün tərtib edilə bilər:

Misal 3 Kursda 42 tələbə var. Bunlardan 16-sı atletika, 24-ü futbol, ​​15-i şahmat, 11-i həm atletika, həm də futbol bölmələri ilə məşğul olur; 8 - həm atletika, həm də şahmat üzrə; 12 - həm futbolda, həm də şahmatda; və hər üç bölmədə 6. Qalan tələbələr isə turizmi sevirlər. Nə qədər tələbə turistdir?

Həll

Qeydi təqdim edək:

Məsələnin şərtindən: ,,,,,, və.

Haradan, yəni turizmlə məşğul olan tələbələrin sayı.

Qeyd 2. Yuxarıdakı məsələləri həll edərkən Eyler-Venn diaqramlarından istifadə etmək rahatdır.

Müstəqil həll üçün tapşırıqlar

Çoxluq əməliyyatlarının xassələrindən istifadə edərək şəxsiyyətləri sübut edin:

2. Nahar üçün yeməkxanaya 33 nəfər gəlmişdi. 10 nəfər şorba, 16 nəfər plov, 30 nəfər kompot, 7 nəfər hər üç yeməyi, 8 nəfər şorba və plov, 14 nəfər şorba və kompot sifariş verib. Neçə nəfər plov və kompot sifariş edib?

3. Tələbə qrupunda 12 nəfər ingilis, 13 nəfər alman, 16 nəfər fransız, 4 nəfər yalnız ingilis və alman, 3 nəfər yalnız ingilis və fransız, 5 nəfər hər üç dildə təhsil alır. Qrupda yalnız ingilis dilini bilən tələbələr yoxdur. İki nəfər yalnız alman dilini, altı nəfər isə yalnız fransız dilini öyrənir. Qrupdakı bir tələbə sadalanan dillərin heç birini öyrənmir. Qrupda neçə tələbə var?

İnsan təfəkkürü elə qurulmuşdur ki, dünya ayrı-ayrı "obyektlərdən" ibarət kimi təmsil olunur. Filosoflar çoxdan bilirdilər ki, dünya vahid ayrılmaz bir bütövdür və içindəki obyektlərin seçilməsi bizim təfəkkürümüzün ixtiyari hərəkətindən başqa bir şey deyil və bu, rasional təhlil üçün əlçatan bir mənzərə yaratmağa imkan verir. Ancaq nə olursa olsun, obyektlərin və onların dəstlərinin seçilməsi bizim təfəkkürümüzü təşkil etməyin təbii yoludur, ona görə də təəccüblü deyil ki, onun əsasında dəqiq biliyi təsvir etmək üçün əsas alət - riyaziyyat dayanır.

Çoxluq anlayışı riyaziyyatın əsas təyin olunmamış anlayışlarından biridir. Çoxluq haqqında məlum olan minimum şey onun elementlərdən ibarət olmasıdır. Müəyyənlik üçün aşağıdakı formulaları qəbul edirik.

Tərif. çoxluğun altında S biz vahid bütövlükdə təsəvvür edilən müəyyən və fərqləndirilən obyektlərin hər hansı bir toplusunu başa düşəcəyik. Bu obyektlərə çoxluğun elementləri deyilir. S.

Tərif. Çoxluq, formalaşdırdıqları çoxluğun elementləri adlanan müəyyən olduqca fərqli obyektlərin (obyektlərin) vahid bütövlüyünə birləşmə kimi başa düşülür.

Dəstlər adətən latın əlifbasının böyük hərfləri ilə işarələnir: A, B, C, …; və dəstlərin elementləri kiçik hərflərlə yazılır: a, b, c, … .

Əgər obyekt Xçoxluğun elementidir M, sonra belə deyirlər X məxsusdur M: hm. Əks halda belə deyirlər X aid deyil M: hm.

Alman riyaziyyatçısı Q.Kantora məxsus olan bu intuitiv tərifdə cisimlər toplusunun özünün bir obyekt kimi qəbul edilməsi, vahid bir bütöv kimi düşünülməsi mühüm əhəmiyyət kəsb edir. Komplektə daxil edilə bilən obyektlərin özlərinə gəlincə, onlarla bağlı kifayət qədər sərbəstlik var.

Misal 1

Bu, bir sıra universitet tələbələri, bir sıra əsaslar və s. ola bilər.

Tərif. Çoxlu AMMAçoxluğun alt çoxluğu adlanır AT, əgər hər hansı elementdən AMMA elementdir AT(ifadə olunur). Əgər a AMMA alt çoxluqdur AT və AT alt çoxluq deyil AMMA, sonra belə deyirlər AMMA ciddi (uyğun) alt çoxluqdur AT(ifadə olunur).

Tərif. Heç bir elementi olmayan çoxluğa boş deyilir (Æ ilə işarələnir), hər hansı çoxluğun alt çoxluğudur. Çoxlu U universal adlanır, yəni bütün hesab edilən çoxluqlar onun alt çoxluğudur.

Çoxluq bərabərliyinin iki tərifini nəzərdən keçirin.

Tərif. Dəstlər AMMA və AT eyni elementlərdən ibarət olduqda bərabər sayılırlar, yazın A=B, əks halda AMMA¹ AT.

Tərif. Dəstlər AMMA və AT olduqda bərabər hesab edilir

Aşağıdakılar var çoxluqların müəyyən edilməsi yolları :

1) elementlərin sadalanması: M = (a 1 , a 2 , …, a k} , yəni onun elementlərinin siyahısı;

2) xarakterik predikat: M = (x | P(x)} (onun elementlərinin malik olmalı olduğu xarakterik xüsusiyyətlərin təsviri);

yaratmaq proseduru: M = { x | x= f} , artıq qəbul edilmiş elementlərdən və ya digər obyektlərdən çoxluğun elementlərinin necə alınacağını təsvir edir. Bu halda çoxluğun elementləri ola biləcək bütün obyektlərdir

1) belə bir prosedurdan istifadə etməklə qurulur. Məsələn, ikinin dərəcəsi olan bütün tam ədədlər çoxluğu.

Şərh. Dəstləri sadalamaqla təyin edərkən, elementlərin təyinatları adətən qıvrımlı mötərizələrə alınır və vergüllə ayrılır. Sadalama yalnız sonlu çoxluqları təyin edə bilər (bir çoxluğun elementlərinin sayı sonludur, əks halda çoxluq sonsuz adlanır). Xarakterik predikat məntiqi qiymət qaytaran məntiqi ifadə və ya prosedur şəklində ifadə olunan şərtdir. Əgər verilmiş element üçün şərt yerinə yetirilirsə, o, müəyyən edilmiş çoxluğa aiddir, əks halda aidiyyəti yoxdur. Yaratma proseduru işə salındıqda müəyyən edilmiş çoxluğun elementləri olan bəzi obyektləri yaradan prosedurdur. Sonsuz çoxluqlar xarakterik bir predikat və ya yaratma proseduru ilə müəyyən edilir.

Misal 2

1) M = (1, 2, 3, 4)- çoxluğun elementlərinin sadalanması.

2) xarakterik bir predikatdır.

Tərif. Sonlu çoxluğun kardinallığı AMMA onun elementlərinin sayıdır.

Çoxluğun kardinallığı ilə işarələnir: | A|.

Misal 3

|| = 0; |{}| = 1.

Tərif. Dəstlərin kardinallıqları eyni olduqda ekvivalent olduğu deyilir.

Tərif. A çoxluğunun bütün alt çoxluqlarının çoxluğuna Boolean P(A) deyilir.

Məlumdur ki, əgər set AMMA ehtiva edir n elementlər, sonra çoxluq P(A) ehtiva edir 2 n elementləri. Bununla əlaqədar olaraq biz set-dərəcə çoxluğu qeydindən də istifadə edirik AMMA kimi 2 A.

Misal 4

A = (0, 1, 2),P(A) = { , {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}} .

Həndəsi olaraq çoxluqlar Eyler-Venn diaqramlarından istifadə etməklə təqdim edilə bilər. Diaqramın qurulması universal dəsti təmsil edən böyük bir düzbucaqlı şəklindən ibarətdir U, və onun içərisində - çoxluqları təmsil edən dairələr (və ya bəzi digər qapalı fiqurlar). Rəqəmlər problemdə tələb olunan ən ümumi halda kəsişməlidir və müvafiq olaraq etiketlənməlidir. Diaqramın müxtəlif sahələrinin içərisində yerləşən nöqtələr müvafiq çoxluqların elementləri hesab edilə bilər. Quraşdırılmış diaqramla yeni yaranan dəstləri göstərmək üçün müəyyən sahələri kölgə salmaq mümkündür.

Mövcud olanlardan yeni dəstlər əldə etmək üçün çoxluq əməliyyatları nəzərdə tutulur.

Tərif. Dəstlər birliyi AMMA və ATçoxluqlardan ən azı birinə aid olan bütün elementlərdən ibarət çoxluq adlanır AMMA,AT(Şəkil 1.1):

düyü. 1.1. Birləşmə üçün Eyler-Venn diaqramı

Tərif. Kəsişməni təyin edin AMMA və ATçoxluq kimi eyni vaxtda aid olan bütün və yalnız elementlərdən ibarət çoxluq adlanır AMMA, və bir çoxları AT(Şəkil 1.2):

düyü. 1.2. Kəsişmə üçün Eyler-Venn diaqramı

Tərif. fərq təyin edin AMMA və AT bütün bunların və yalnız həmin elementlərin məcmusudur AMMA, daxil olmayanlar AT(Şəkil 1.3):

düyü. 1.3. Fərq üçün Eyler-Venn diaqramı

Tərif. Simmetrik çoxluq fərqi AMMA və AT ya yalnız çoxluğa aid olan bu çoxluqların elementlərinin çoxluğudur AMMA, və ya yalnız dəst AT(Şəkil 1.4):

düyü. 1.4. Simmetrik fərq üçün Eyler-Venn diaqramı

Tərif. Dəstin mütləq tamamlayıcısı AMMAçoxluğa aid olmayan bütün elementlərin çoxluğudur AMMA(Şəkil 1.5):

düyü. 1.5. Mütləq tamamlama üçün Eyler-Venn diaqramı

Misal 5

Eyler-Venn diaqramlarından istifadə edərək şəxsiyyəti sübut edirik:

Əlaqənin sol tərəfini nəzərdən keçirin və hərəkətləri ardıcıllıqla yerinə yetirin:

1) çoxluqların kəsişməsini tapın AT və FROM() (Şəkil 1.6, a);

2) alınan çoxluğun çoxluqla birləşməsini tapın AMMA() (Şəkil 1.6, b).

Münasibətin sağ tərəfini nəzərdən keçirin :

1) çoxluqların birləşməsini tapın AMMA və AT(Şəkil 1.6, c);

2) çoxluqların birləşməsini tapın AMMA və FROM(düyü.

3) son iki çoxluğun kəsişməsini tapın və ( ) (Şəkil 6, e):

Hər iki halda (şəkil 1.6, b) və (şək. 1.6, e) bərabər çoxluqlar alırıq. Beləliklə, ilkin əlaqə etibarlıdır.

düyü. 1.6. Eyler-Venn diaqramlarından istifadə edərək şəxsiyyət sübutu

Çoxluqlar cəbrinin əsas eyniliklərini nəzərdən keçirin. İxtiyari dəstlər üçün AMMA,AT, və FROM aşağıdakı əlaqələr etibarlıdır (Cədvəl 1.11):

Cədvəl 1.11 Əsas çoxluq cəbr eynilikləri

Hekayə

Tərif 1

Leonhard Eulerə sual verildi: Koenigsberg ətrafında gəzərkən, heç birindən iki dəfə keçmədən şəhərin bütün körpülərindən yan keçmək mümkündürmü? Yeddi körpüdən ibarət şəhərin planı əlavə edildi.

Eyler tanıdığı bir italyan riyaziyyatçısına yazdığı məktubda Köniqsberq körpüləri probleminə qısa və gözəl bir həll verdi: belə bir tənzimləmə ilə problem həll olunmazdır. Eyni zamanda sualın ona maraqlı göründüyünü də göstərdi, çünki. “Onun həlli üçün nə həndəsə, nə də cəbr yetərli deyil...”.

L.Euler bir çox məsələləri həll edərkən çoxluqları çevrələrdən istifadə edərək təsvir edirdi, buna görə də onları çağırırdılar "Euler dairələri". Bu üsul daha əvvəl alman filosofu və riyaziyyatçısı Qotfrid Leybniz tərəfindən istifadə edilmiş, o, anlayışlar arasında məntiqi əlaqələri həndəsi izah etmək üçün istifadə etmiş, lakin daha çox xətti diaqramlardan istifadə etmişdir. Eyler isə metodu kifayət qədər əsaslı şəkildə inkişaf etdirdi. Qrafik üsullar xüsusilə Venn diaqramlarını təqdim edən ingilis məntiqçisi və filosofu Con Venn sayəsində məşhurlaşdı və oxşar sxemlər tez-tez adlanır. Eyler-Venn diaqramları. Onlar bir çox sahələrdə, məsələn, çoxluq nəzəriyyəsi, ehtimal nəzəriyyəsi, məntiq, statistika və kompüter elmlərində istifadə olunur.

Diaqramma prinsipi

İndiyədək Eyler-Venn diaqramlarından bir neçə çoxluğun bütün mümkün kəsişmələrini sxematik şəkildə təsvir etmək üçün geniş istifadə olunur. Diaqramlar n xassələrin bütün $2^n$ birləşmələrini göstərir. Məsələn, əgər $n=3$ olarsa, diaqramda mərkəzləri bərabərtərəfli üçbucağın təpələrində olan və eyni radiuslu üç dairə göstərilir ki, bu da təxminən üçbucağın tərəfinin uzunluğuna bərabərdir.

Məntiqi əməliyyatlar həqiqət cədvəllərini müəyyən edir. Diaqramda təmsil etdiyi çoxluğun adı olan dairə göstərilir, məsələn, $A$. $A$ dairəsinin ortasındakı sahə $A$ ifadəsinin doğruluğunu, dairədən kənarda isə yalanı göstərəcək. Məntiqi əməliyyatı göstərmək üçün yalnız $A$ və $B$ dəstləri üçün məntiqi əməliyyatın dəyərlərinin doğru olduğu sahələr kölgələnir.

Məsələn, iki çoxluq $A$ və $B$ birləşməsi yalnız hər iki çoxluq doğru olduqda doğrudur. Bu halda diaqramda $A$ və $B$ birləşməsinin nəticəsi eyni zamanda $A$ çoxluğuna və $B$ çoxluğuna (kəsişmə nöqtəsi) aid olan dairələrin ortasındakı sahə olacaqdır. dəstlərdən).

Şəkil 1. $A$ və $B$ çoxluqlarının birləşməsi

Məntiqi bərabərlikləri sübut etmək üçün Eyler-Venn diaqramlarından istifadə

Məntiqi bərabərlikləri sübut etmək üçün Eyler-Venn diaqramlarının qurulması metodundan necə istifadə olunduğunu nəzərdən keçirək.

Bərabərliklə təsvir olunan de Morqan qanununu sübut edək:

Sübut:

Şəkil 4. $A$ inversiya

Şəkil 5. $B$ inversiya

Şəkil 6. $A$ və $B$ inversiyalarının birləşməsi

Sol və sağ hissələri göstərmək üçün ərazini müqayisə etdikdən sonra onların bərabər olduğunu görürük. Buradan məntiqi bərabərliyin etibarlılığı çıxır. De Morqan qanunu Eyler-Venn diaqramlarından istifadə etməklə sübut edilir.

Eyler-Venn diaqramlarından istifadə etməklə internetdə məlumat axtarışı probleminin həlli

İnternetdə məlumat axtarmaq üçün rus dilinin "və", "və ya" birləşmələrinə məna baxımından oxşar məntiqi bağlayıcılarla axtarış sorğularından istifadə etmək rahatdır. Məntiqi bağlayıcıların mənası Eyler-Venn diaqramlarının köməyi ilə təsvir etsək daha aydın olar.

Misal 1

Cədvəl axtarış serverinə sorğuların nümunələrini göstərir. Hər sorğunun öz kodu var - $A$-dan $B$-a qədər hərf. Sorğu kodlarını hər bir sorğu üçün tapılan səhifələrin sayına görə azalan qaydada təşkil etməlisiniz.

Şəkil 7

Həll:

Hər bir sorğu üçün Eyler-Venn diaqramını quraq:

Şəkil 8

Cavab: BVA.

Eyler-Venn diaqramlarından istifadə edərək məntiqi mənalı məsələnin həlli

Misal 2

Qış tətilində 2$ sinifində oxuyan 36$-lıq tələbələrdən onlar kinoya, teatra və sirkə getmirdilər. 25$ adam kinoya, 11$ teatra, 17$ sirkə getdi; həm kinoda, həm də teatrda - $6$; kinoteatrda və sirkdə - 10$; teatra və sirkə - $4$.

Neçə insan kinoya, teatra və sirkə baş çəkib?

Həll:

Gəlin kinoya, teatra və sirkə getmiş oğlanların sayını qeyd edək - $x$.

Gəlin bir diaqram quraq və hər sahədəki oğlanların sayını öyrənək:

Şəkil 9

Nə teatrda, nə kinoda, nə də sirkdə - adambaşına 2 dollar.

Beləliklə, $36 - 2 = $34 adam. tədbirlərdə iştirak etmişdir.

6$ adam kinoya və teatra getdi, bu o deməkdir ki, yalnız ($6 - x)$ adam kinoya və teatra getdi.

10$-lıq insanlar kinoya və sirkə gedirdi, belə ki, yalnız kinoya və sirkə ($10 - x$) insanlar gedirdi.

4$ adam teatra və sirkə gedirdi, bu o deməkdir ki, yalnız teatr və sirk ($4 - x$) adamlar teatra və sirkə gedirdi.

25$-lıq adam kinoteatra getdi, bu o deməkdir ki, kinoya cəmi 25$ - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$ getdi.

Eynilə, teatra yalnız ($1+x$) adam gedirdi.

Sirkə yalnız ($3+x$) adam gedirdi.

Beləliklə, teatra, kinoya və sirkə getdik:

$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34$;

Bunlar. yalnız bir nəfər teatra, kinoya və sirkə gedirdi.

Hekayə

Tərif 1

Leonhard Eulerə sual verildi: Koenigsberg ətrafında gəzərkən, heç birindən iki dəfə keçmədən şəhərin bütün körpülərindən yan keçmək mümkündürmü? Yeddi körpüdən ibarət şəhərin planı əlavə edildi.

Eyler tanıdığı bir italyan riyaziyyatçısına yazdığı məktubda Köniqsberq körpüləri probleminə qısa və gözəl bir həll verdi: belə bir tənzimləmə ilə problem həll olunmazdır. Eyni zamanda sualın ona maraqlı göründüyünü də göstərdi, çünki. “Onun həlli üçün nə həndəsə, nə də cəbr yetərli deyil...”.

L.Euler bir çox məsələləri həll edərkən çoxluqları çevrələrdən istifadə edərək təsvir edirdi, buna görə də onları çağırırdılar "Euler dairələri". Bu üsul daha əvvəl alman filosofu və riyaziyyatçısı Qotfrid Leybniz tərəfindən istifadə edilmiş, o, anlayışlar arasında məntiqi əlaqələri həndəsi izah etmək üçün istifadə etmiş, lakin daha çox xətti diaqramlardan istifadə etmişdir. Eyler isə metodu kifayət qədər əsaslı şəkildə inkişaf etdirdi. Qrafik üsullar xüsusilə Venn diaqramlarını təqdim edən ingilis məntiqçisi və filosofu Con Venn sayəsində məşhurlaşdı və oxşar sxemlər tez-tez adlanır. Eyler-Venn diaqramları. Onlar bir çox sahələrdə, məsələn, çoxluq nəzəriyyəsi, ehtimal nəzəriyyəsi, məntiq, statistika və kompüter elmlərində istifadə olunur.

Diaqramma prinsipi

İndiyədək Eyler-Venn diaqramlarından bir neçə çoxluğun bütün mümkün kəsişmələrini sxematik şəkildə təsvir etmək üçün geniş istifadə olunur. Diaqramlar n xassələrin bütün $2^n$ birləşmələrini göstərir. Məsələn, əgər $n=3$ olarsa, diaqramda mərkəzləri bərabərtərəfli üçbucağın təpələrində olan və eyni radiuslu üç dairə göstərilir ki, bu da təxminən üçbucağın tərəfinin uzunluğuna bərabərdir.

Məntiqi əməliyyatlar həqiqət cədvəllərini müəyyən edir. Diaqramda təmsil etdiyi çoxluğun adı olan dairə göstərilir, məsələn, $A$. $A$ dairəsinin ortasındakı sahə $A$ ifadəsinin doğruluğunu, dairədən kənarda isə yalanı göstərəcək. Məntiqi əməliyyatı göstərmək üçün yalnız $A$ və $B$ dəstləri üçün məntiqi əməliyyatın dəyərlərinin doğru olduğu sahələr kölgələnir.

Məsələn, iki çoxluq $A$ və $B$ birləşməsi yalnız hər iki çoxluq doğru olduqda doğrudur. Bu halda diaqramda $A$ və $B$ birləşməsinin nəticəsi eyni zamanda $A$ çoxluğuna və $B$ çoxluğuna (kəsişmə nöqtəsi) aid olan dairələrin ortasındakı sahə olacaqdır. dəstlərdən).

Şəkil 1. $A$ və $B$ çoxluqlarının birləşməsi

Məntiqi bərabərlikləri sübut etmək üçün Eyler-Venn diaqramlarından istifadə

Məntiqi bərabərlikləri sübut etmək üçün Eyler-Venn diaqramlarının qurulması metodundan necə istifadə olunduğunu nəzərdən keçirək.

Bərabərliklə təsvir olunan de Morqan qanununu sübut edək:

Sübut:

Şəkil 4. $A$ inversiya

Şəkil 5. $B$ inversiya

Şəkil 6. $A$ və $B$ inversiyalarının birləşməsi

Sol və sağ hissələri göstərmək üçün ərazini müqayisə etdikdən sonra onların bərabər olduğunu görürük. Buradan məntiqi bərabərliyin etibarlılığı çıxır. De Morqan qanunu Eyler-Venn diaqramlarından istifadə etməklə sübut edilir.

Eyler-Venn diaqramlarından istifadə etməklə internetdə məlumat axtarışı probleminin həlli

İnternetdə məlumat axtarmaq üçün rus dilinin "və", "və ya" birləşmələrinə məna baxımından oxşar məntiqi bağlayıcılarla axtarış sorğularından istifadə etmək rahatdır. Məntiqi bağlayıcıların mənası Eyler-Venn diaqramlarının köməyi ilə təsvir etsək daha aydın olar.

Misal 1

Cədvəl axtarış serverinə sorğuların nümunələrini göstərir. Hər sorğunun öz kodu var - $A$-dan $B$-a qədər hərf. Sorğu kodlarını hər bir sorğu üçün tapılan səhifələrin sayına görə azalan qaydada təşkil etməlisiniz.

Şəkil 7

Həll:

Hər bir sorğu üçün Eyler-Venn diaqramını quraq:

Şəkil 8

Cavab: BVA.

Eyler-Venn diaqramlarından istifadə edərək məntiqi mənalı məsələnin həlli

Misal 2

Qış tətilində 2$ sinifində oxuyan 36$-lıq tələbələrdən onlar kinoya, teatra və sirkə getmirdilər. 25$ adam kinoya, 11$ teatra, 17$ sirkə getdi; həm kinoda, həm də teatrda - $6$; kinoteatrda və sirkdə - 10$; teatra və sirkə - $4$.

Neçə insan kinoya, teatra və sirkə baş çəkib?

Həll:

Gəlin kinoya, teatra və sirkə getmiş oğlanların sayını qeyd edək - $x$.

Gəlin bir diaqram quraq və hər sahədəki oğlanların sayını öyrənək:

Şəkil 9

Nə teatrda, nə kinoda, nə də sirkdə - adambaşına 2 dollar.

Beləliklə, $36 - 2 = $34 adam. tədbirlərdə iştirak etmişdir.

6$ adam kinoya və teatra getdi, bu o deməkdir ki, yalnız ($6 - x)$ adam kinoya və teatra getdi.

10$-lıq insanlar kinoya və sirkə gedirdi, belə ki, yalnız kinoya və sirkə ($10 - x$) insanlar gedirdi.

4$ adam teatra və sirkə gedirdi, bu o deməkdir ki, yalnız teatr və sirk ($4 - x$) adamlar teatra və sirkə gedirdi.

25$-lıq adam kinoteatra getdi, bu o deməkdir ki, kinoya cəmi 25$ - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$ getdi.

Eynilə, teatra yalnız ($1+x$) adam gedirdi.

Sirkə yalnız ($3+x$) adam gedirdi.

Beləliklə, teatra, kinoya və sirkə getdik:

$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34$;

Bunlar. yalnız bir nəfər teatra, kinoya və sirkə gedirdi.