Fizika-riyaziyyat elmləri doktoru A. DMITRIEV, Rusiya Elmlər Akademiyasının Radiotexnika və Elektronika İnstitutunun aparıcı elmi işçisi (Moskva).

Dinamik (deterministik) xaos və fraktallar dünyanın elmi mənzərəsinə nisbətən yaxınlarda, yalnız 20-ci əsrin son rübündə daxil olmuş anlayışlardır. O vaxtdan bəri onlara maraq təkcə mütəxəssislər - fiziklər, riyaziyyatçılar, bioloqlar və s. arasında deyil, elmdən uzaq insanlar arasında da sönməmişdir. Fraktallar və deterministik xaosla bağlı araşdırmalar ətrafımızdakı dünya haqqında adi fikirlərin çoxunu dəyişdirir. Həm də insan gözünün xüsusi avadanlıq olmadan gücsüz olduğu mikroobyektlər dünyası və kosmik miqyaslı hadisələr haqqında deyil, ən adi obyektlər: buludlar, çaylar, ağaclar, dağlar, otlar haqqında. Fraktallar bizi təbii və süni obyektlərin həndəsi xassələri ilə bağlı fikirlərimizi yenidən nəzərdən keçirməyə məcbur edir və dinamik xaos bu obyektlərin vaxtında necə davrana biləcəyini başa düşməkdə köklü dəyişikliklər gətirir. Bu konsepsiyalar əsasında hazırlanmış nəzəriyyələr müxtəlif bilik sahələrində, o cümlədən informasiya-kommunikasiya texnologiyalarında yeni imkanlar açır.

Elm və həyat // İllüstrasiyalar

Ağaclar, təbiətdəki bir çox başqa obyektlər kimi, fraktal quruluşa malikdir.

Elm və həyat // İllüstrasiyalar

Krım şamı (solda) və süni fraktal quruluş (sağda) olduqca oxşardır.

Salınım dövrəsinin xarici dövri siqnala reaksiyası: a - xətti dövrənin dövri reaksiyası, b - qeyri-xətti dövrənin xaotik reaksiyası. Qeyri-xətti tutumun rolu yarımkeçirici diodun p-n qovşağı tərəfindən yerinə yetirilir.

Dinamik sistemin hərəkətini faza müstəvisində trayektoriya ilə görmək olar, burada X və Y oxları hissəciyin ümumiləşdirilmiş koordinatı və impulsudur. a - sönümlənmiş sarkacın salınımları.

Xaos olan sistemlərin nümunələri.

Elm və həyat // İllüstrasiyalar

Xaotik sistemləri sinxronlaşdırmağın əsas yolları: a - qlobal əlaqələr vasitəsilə: hər bir sistem hər birinə təsir edir; b - kardiostimulyatorun və ya "kardiostimulyator"un köməyi ilə: sistemlərdən biri bütün digər elementlər üçün ritmi təyin edir.

Elm və həyat // İllüstrasiyalar

Deterministik xaosdan istifadə edərək məlumatların qeydə alınması nümunəsi.

Rusiya Elmlər Akademiyasının Radiotexnika və Elektronika İnstitutunun “İnformChaos” laboratoriyasının işçiləri A. İ. Panas və S. O. Starkov mikrodalğalı diapazonda yüksək sürətli birbaşa xaotik məlumatların ötürülməsi üzrə təcrübə aparırlar (yuxarıda).

Ənənəvi sistemlərlə müqayisədə məlumat ötürmə sürətini onlarla dəfə artırmağa imkan verən xaotik mikrodalğalı salınımlar belə görünür.

Fraktal nədir?

Fraktallar ətrafımızdakı hər yerdə, həm dağların konturlarında, həm də dəniz sahilinin dolama xəttindədir. Fraktalların bəziləri hərəkət edən buludlar və ya sayrışan alovlar kimi daim dəyişir, digərləri isə ağaclar və ya damar sistemlərimiz kimi təkamül quruluşunu saxlayır.
H. O. Peigen və P. H. Rixter.

Məktəbdə öyrəndiyimiz və gündəlik həyatda istifadə etdiyimiz həndəsə Evklidə (təxminən eramızdan əvvəl 300-cü il) gedib çıxır. Üçbucaqlar, kvadratlar, dairələr, paraleloqramlar, paralelepipedlər, piramidalar, toplar, prizmalar klassik həndəsə tərəfindən nəzərdən keçirilən tipik obyektlərdir. İnsan tərəfindən yaradılmış obyektlərə adətən bu fiqurlar və ya onların fraqmentləri daxildir. Ancaq təbiətdə onlar o qədər də yaygın deyil. Həqiqətən, məsələn, meşə gözəllikləri sadalanan əşyalardan hər hansı birinə və ya onların birləşməsinə bənzəyirmi? Evklidin formalarından fərqli olaraq təbii cisimlərin hamarlığının olmadığını, kənarlarının qırıq, kələ-kötür, səthlərinin kobud, çatlar, keçidlər və deşiklərlə korroziyaya uğradığını görmək asandır. "Niyə həndəsə tez-tez soyuq və quru adlanır? Bunun bir səbəbi onun bulud, dağ, ağac və ya dəniz sahilinin formasını təsvir edə bilməməsidir. Buludlar kürə deyil, dağlar konus deyil, sahil xətləri dairələr deyil və yer qabığı hamar deyil." , və ildırım düz xətt üzrə hərəkət etmir. Təbiət bizə yalnız daha yüksək dərəcəni deyil, tamamilə fərqli bir mürəkkəblik səviyyəsini göstərir, "- bu sözlər başlayır" Təbiətin Fraktal Həndəsəsi "Benoit Mandelbrot tərəfindən yazılmışdır. . Məhz o, 1975-ci ildə fraktal anlayışını ilk dəfə - latın fractus sözündən, sınıq daş, parçalanmış və nizamsız olaraq təqdim etmişdir. Belə çıxır ki, demək olar ki, bütün təbii formasiyalar fraktal quruluşa malikdir. Bunun mənası nədi? Fraktal obyektə bütövlükdə, sonra onun hissəsinə böyüdülmüş miqyasda, sonra bu hissənin bir hissəsinə və s.-yə baxsanız, onların eyni göründüyünü görmək asandır. Fraktallar öz-özünə bənzəyir - onların forması müxtəlif miqyaslarda əks olunur.

Fraktalların kəşfi təkcə həndəsə deyil, həm də fizika, kimya və biologiyada inqilab etdi. Fraktal alqoritmlər informasiya texnologiyalarında, məsələn, təbii landşaftların üçölçülü kompüter təsvirlərinin sintezi, verilənlərin sıxılması (sıxılması) üçün də tətbiq tapmışdır (bax “Elm və həyat” No 4, 1994; No 8, 12 , 1995; № 7, 1998). Bundan əlavə, fraktal anlayışının daha az maraqlı olmayan başqa bir fenomenlə - dinamik sistemlərdə xaosla sıx əlaqəli olduğunu görəcəyik.

Determinizm və xaos

XAOS (yunanca caos) - yunan mifologiyasında qeyri-məhdud ibtidai kütlə,
sonradan yaranmışdır
mövcud olan hər şey. Məcazi mənada - qarışıqlıq, qarışıqlıq.
Ensiklopediya
Kiril və Methodius

Müəyyən bir sistemin determinizmindən danışarkən, onun davranışının birmənalı səbəb əlaqəsi ilə xarakterizə olunduğunu nəzərdə tuturlar. Yəni sistemin ilkin şərtlərini və hərəkət qanununu bilməklə onun gələcəyini dəqiq proqnozlaşdırmaq olar. Klassik, Nyuton dinamikası üçün xarakterik olan bu Kainatdakı hərəkət ideyasıdır. Xaos, əksinə, hadisələrin gedişatını nə proqnozlaşdırmaq, nə də təkrar etmək mümkün olmayan xaotik, təsadüfi bir prosesi nəzərdə tutur. Determinist xaos - iki əks konsepsiyanın qeyri-mümkün görünən birliyi nədir?

Sadə bir təcrübə ilə başlayaq. Bir ipə asılmış bir top şaquli istiqamətdən əyilir və sərbəst buraxılır. Dəyişmələr var. Top bir qədər əyilmişsə, onun hərəkəti xətti tənliklərlə təsvir olunur. Əgər sapma kifayət qədər böyük olarsa, tənliklər artıq xətti olmayacaq. Bununla nə dəyişəcək? Birinci halda, salınım tezliyi (və müvafiq olaraq dövr) ilkin sapmanın dərəcəsindən asılı deyildir. İkincidə - belə asılılıq baş verir. Bir salınım sistemi kimi mexaniki sarkacın tam analoqu salınan dövrə və ya "elektrik sarkaçıdır". Ən sadə halda, bir induktor, bir kondansatör (kapasitans) və bir rezistordan (müqavimətdən) ibarətdir. Əgər bu elementlərin hər üçü xəttidirsə, onda dövrədəki rəqslər xətti sarkacın salınımlarına bərabərdir. Lakin, məsələn, tutum qeyri-xəttidirsə, salınma müddəti onların amplitudasından asılı olacaq.

Bir salınan dövrənin dinamikası iki dəyişən ilə müəyyən edilir, məsələn, dövrədəki cərəyan və tutumdakı gərginlik. Əgər bu kəmiyyətlər X və Y oxları boyunca çəkilirsə, onda sistemin hər bir vəziyyəti yaranan koordinat müstəvisində müəyyən bir nöqtəyə uyğun olacaq. Bu təyyarə deyilir faza. (Müvafiq olaraq, dinamik sistem müəyyən edilərsə n dəyişənlər, onda iki ölçülü bir faza müstəvisi yerinə, yazışmalara qoyula bilər n-ölçülü faza sahəsi.)

İndi xarici dövri siqnal ilə sarkaçlarımız üzərində hərəkət etməyə başlayaq. Xətti və qeyri-xətti sistemlərin reaksiyası fərqli olacaq. Birinci halda, müntəzəm dövri salınımlar tədricən hərəkət siqnalının tezliyi ilə eyni tezlikdə qurulacaqdır. Faza müstəvisində belə bir hərəkət adlanan qapalı əyriyə uyğundur cəlbedici(ingilis felindən cəlb etmək- cəlb), sabit prosesi xarakterizə edən traektoriyalar toplusudur. Qeyri-xətti sarkaç vəziyyətində, faza müstəvisində trayektoriya özbaşına uzun müddət ərzində bağlanmadıqda, mürəkkəb, qeyri-dövri rəqslər yarana bilər. Bu halda, deterministik sistemin davranışı zahirən tamamilə təsadüfi bir prosesə bənzəyəcək - bu fenomendir. dinamik və ya deterministik xaos. Faza məkanında xaos görüntüsü - xaotik cəlbedici- çox mürəkkəb quruluşa malikdir: fraktaldır. Qeyri-adi xüsusiyyətlərinə görə ona da deyilir qəribə cəlbedici .

Niyə dəqiq müəyyən edilmiş qanunlara görə inkişaf edən sistem xaotik davranır? Bu halda kənar səs-küy mənbələrinin təsirinin, eləcə də kvant ehtimalının bununla heç bir əlaqəsi yoxdur. Xaos qeyri-xətti sistemin daxili dinamikası ilə yaranır - onun özbaşına yaxın trayektoriyaları eksponensial sürətlə ayırmaq xüsusiyyəti. Nəticədə trayektoriyaların forması ilkin şərtlərdən çox asılıdır. Bunun nə demək olduğunu xarici dövri siqnalın təsiri altında olan qeyri-xətti salınım dövrəsinin nümunəsi ilə izah edək. Sistemimizə kiçik bir narahatlıq təqdim edirik - kondansatörün ilkin yükünü bir az dəyişdiririk. Sonra ilkin praktiki olaraq sinxron olan pozulmuş və pozulmamış sxemlərdə salınımlar çox tezliklə tamamilə fərqli olacaq. Həqiqi fiziki təcrübədə ilkin şərtləri yalnız sonlu dəqiqliklə təyin etmək mümkün olduğundan, xaotik sistemlərin davranışını uzun müddət proqnozlaşdırmaq mümkün deyil.

gələcək proqnoz

- Belə kiçikliyə görə! Kəpənək üzündən! Ekkels qışqırdı.
O, yerə yıxıldı, tarazlığı pozmağa qadir olan zərif balaca məxluq, kiçik dominolar yıxıldı... böyük dominolar... Zamanı təşkil edən saysız-hesabsız illərin zənciri ilə bağlı nəhəng dominolar.
R. Bredberi. Bir ildırım səsi

Həyatımız nə dərəcədə mütəşəkkildir? Onda müəyyən hadisələr əvvəlcədən müəyyən edilibmi? Gələcək uzun illər üçün proqnozlaşdırıla bilən nədir və hətta qısa zaman intervalları üçün də heç bir etibarlı proqnoza tabe olmayan nədir?

İnsan daima müxtəlif dinamik sistemlərin yaratdığı həm nizamlı, həm də nizamsız proseslərlə məşğul olmalıdır. Bilirik ki, Günəş hər 24 saatdan bir doğub batır və ömrümüz boyu belə davam edəcək. Qışdan sonra həmişə bahar gəlir və çətin ki, bunun əksi olsun. Bizi işıq və istiliklə təmin edən dövlət xidmətləri, müəssisə və mağazalar, eləcə də nəqliyyat sistemləri (avtobus, trolleybus, metro, təyyarə, qatarlar) az-çox müntəzəm fəaliyyət göstərir. Bu sistemlərin ritmik işinin pozulması vətəndaşların haqlı hiddətinə və hiddətinə səbəb olur. Uğursuzluqlar dəfələrlə baş verərsə, bu cür hadisələrə mənfi münasibət bildirərək xaosdan danışırlar.

Ancaq eyni zamanda, gözlənilməzliyi ilə məşhur olan proseslər də var. Məsələn, bir sikkə atarkən onun başı və ya quyruğuna çıxacağını heç vaxt dəqiq bilmirik. Belə gözlənilməzlik narahatedici deyil. Rulet oynayarkən daha dramatik nəticələrə səbəb ola bilər, lakin taleyi sınamağı sevənlər şüurlu şəkildə bu riski götürürlər.

Nə üçün bəzi proseslər öz nəticələrində proqnozlaşdırıla bilər, digərləri isə yox? Bəlkə yaxşı bir proqnoz üçün kifayət qədər ilkin məlumatımız yoxdur? İlkin şərtlər haqqında bilikləri təkmilləşdirmək lazımdır - həm sikkə, həm də hava proqnozu ilə hər şey qaydasında olacaq. Laplas dedi: Mənə bütün kainatın ilkin şərtlərini verin, mən onun gələcəyini hesablayacağam. Laplas səhv edirdi: o və onun müasirləri davranışını uzun müddət proqnozlaşdırmaq mümkün olmayan deterministik dinamik sistemlərin nümunələrini bilmirdilər. Yalnız 19-cu əsrin sonlarında fransız riyaziyyatçısı Henri Puankare bunun mümkün olduğunu ilk dəfə hiss etdi. Bununla belə, deterministik xaosun sürətli öyrənilməsi dövrü başlamazdan əvvəl daha bir əsrin dörddə üçü keçdi.

Dinamik sistemləri şərti olaraq iki növə bölmək olar. Birincisi üçün hərəkət trayektoriyaları sabitdir və kiçik təlaşlarla əhəmiyyətli dərəcədə dəyişdirilə bilməz. Belə sistemlər proqnozlaşdırıla bilər - buna görə də biz bilirik ki, Günəş sabah, bir ildən və yüz ildən sonra doğacaq. Bu halda gələcəyi müəyyən etmək üçün hərəkət tənliklərini bilmək və ilkin şərtləri təyin etmək kifayətdir. Sonuncunun dəyərlərindəki kiçik dəyişikliklər yalnız proqnozda əhəmiyyətsiz bir səhvə səbəb olacaqdır.

Başqa bir növə, davranışı qeyri-sabit olan dinamik sistemlər daxildir, belə ki, hər hansı bir ixtiyari kiçik pozğunluq tez bir zamanda (bu sistem üçün xarakterik olan zaman miqyasında) trayektoriyada kardinal dəyişikliyə səbəb olur. Puankare özünün “Elm və Metod” əsərində (1908) qeyd etdiyi kimi, qeyri-sabit sistemlərdə “kiçikliyi ilə bizdən qaçan tamamilə əhəmiyyətsiz bir səbəb bizim əvvəlcədən görə bilməyəcəyimiz əhəmiyyətli təsirə səbəb olur.(...) Proqnoz mümkünsüz olur, qarşımızda durur təsadüfi bir hadisə. Beləliklə, uzun müddətlər üçün proqnozlaşdırma bütün mənasını itirir.

Yuxarıda müzakirə edilən qeyri-xətti salınımlı dövrə nümunəsi onu göstərir ki, gözlənilməz gələcəyi olan xaotik davranış hətta çox sadə sistemlərdə də baş verə bilər.

Keçmişin yenidən qurulması

Beləliklə, gələcəyi proqnozlaşdırmaq həmişə mümkün deyil. Bəs keçmiş haqqında nə demək olar? Keçmişi yenidən qurmaq (“proqnozlaşdırmaq”, birmənalı şərh etmək) həmişə mümkündürmü? Belə görünür ki, burada heç bir problem olmamalıdır. İrəli gedərkən trayektoriyalar bir-birindən uzaqlaşdığı üçün geriyə doğru hərəkət edərkən birləşməlidir. Olduğu kimi. Bununla belə, faza fəzasında trayektoriyaların yaxınlaşması və ya divergensiyasının baş verə biləcəyi istiqamətlər bir deyil, bir neçədir. Həm irəli, həm də geriyə doğru hərəkət edərkən traektoriyalar istiqamətlərin bir hissəsi boyunca birləşə bilər, lakin digəri boyunca ayrıla bilər.

Keçmiş "proqnozlaşdırıla bilməz"? Bu cəfəngiyatdır! Axı nəsə artıq baş verib. Hər şey məlumdur... Amma gəlin düşünək. Əgər keçmişin yenidən qurulması ilə hər şey bu qədər sadə idisə, onda necə ola bilər ki, bəziləri üçün II Nikolay hələ də qanlı, bəziləri üçün isə müqəddəsdir? Və hər halda Stalin kimdir: dahi, yoxsa yaramaz? Onların müəyyən qərarlar qəbul etməkdə nə dərəcədə sərbəst olduqları, bu qərarların nə dərəcədə şərait tərəfindən əvvəlcədən müəyyən edildiyi və alternativ qərarların hansı nəticələrə səbəb ola biləcəyi problemindən hələlik kənara çıxaq. Tarixi prosesi hansısa hipotetik xaotik sistemin dinamikası kimi nəzərdən keçirək. Sonra, keçmişi yenidən qurmağa çalışarkən, sistemin hazırkı vəziyyətinə uyğun gələn sürətlə artan sayda variantlarla (trayektoriyalarla) qarşılaşacağıq. Onlardan yalnız biri hadisələrin real gedişatına uyğun gəlir. Onu yox, başqasını seçsəniz, tarixin onsuz da təhrif olunmuş “versiyasını” əldə edəcəksiniz. Düzgün trayektoriya (“versiya”) nəyə əsasən seçilir? Etibar edə biləcəyimiz məlumatlar mövcud konkret faktların məcmusudur. Onlarla uyğun olmayan traektoriyalar atılır. Nəticədə, kifayət qədər etibarlı faktlar varsa, tarixin yeganə versiyasını müəyyən edən bir trayektoriya olacaq. Bununla belə, hətta yaxın keçmiş üçün etibarlı məlumatdan daha çox trayektoriya ola bilər - o zaman tarixi prosesin birmənalı şərhi artıq edilə bilməz. Bütün bunlar isə tarixə və faktlara vicdanlı və hörmətli münasibətlə. İndi burada ilkin mənbələrin üstünlüklərini, zamanla bəzi məlumatların itirilməsini, şərh mərhələsində faktların manipulyasiyasını (bəzilərini susdurmaq, bəzilərini çıxarmaq, saxtalaşdırmaq və s.) əlavə edin - qaranın ağa əvəz edilməsi belə olmayacaq. çətin iş. Ən maraqlısı isə odur ki, lazım gələrsə, eyni tərcüməçilər bir müddət sonra bunun əksini rahatlıqla iddia edə bilirlər. Tanış bir şəkil?

Deməli, keçmişin “gözlənilməzliyi”nin dinamik təbiəti gələcəyin gözlənilməzliyinin təbiətinə bənzəyir: dinamik sistemin trayektoriyalarının qeyri-sabitliyi və tənzimləmədən uzaqlaşdıqca mümkün variantların sayının sürətlə artması. başlanqıc nöqtəsi. Keçmişi yenidən qurmaq üçün dinamik sistemin özündən əlavə, bu keçmişdən gələn məlumatlar kəmiyyətcə kifayət qədər, keyfiyyətcə etibarlıdır. Qeyd etmək lazımdır ki, tarixi prosesin müxtəlif hissələrində onun xaos dərəcəsi fərqlidir və hətta sıfıra enə bilər (əsas hər şeyin əvvəlcədən müəyyən edildiyi vəziyyət). Təbii ki, sistem nə qədər az xaotik olsa, onun keçmişini yenidən qurmaq bir o qədər asan olar.

Biz xaosa nəzarət edə bilərikmi?

Xaos çox vaxt həyatı doğurur.
G. Adams

İlk baxışdan xaosun təbiəti onu idarə etməyi qeyri-mümkün edir. Reallıqda isə bunun əksi doğrudur: xaotik sistemlərin trayektoriyalarının qeyri-sabitliyi onları idarə etmək üçün son dərəcə həssas edir.

Məsələn, sistemin bir vəziyyətdən digərinə köçürülməsi tələb olunsun (traektoriyanı faza məkanının bir nöqtəsindən digərinə köçürmək üçün). Tələb olunan nəticə bir və ya bir sıra sistem parametrlərinin incə, əhəmiyyətsiz pozulmaları ilə müəyyən bir müddət ərzində əldə edilə bilər. Onların hər biri yalnız traektoriyanı bir qədər dəyişdirəcək, lakin bir müddət sonra kiçik təlaşların yığılması və eksponensial gücləndirilməsi hərəkətin əhəmiyyətli dərəcədə korreksiyasına səbəb olacaqdır. Bu halda trayektoriya eyni xaotik cəlbedicidə qalacaq. Beləliklə, xaoslu sistemlər həm yaxşı idarəolunma qabiliyyəti, həm də heyrətamiz plastiklik nümayiş etdirir: xarici təsirlərə həssaslıqla reaksiya verərək, hərəkət növünü saxlayırlar.

Bir çox tədqiqatçıların fikrincə, xaotik dinamikanın canlı orqanizmlərin bir çox sistemlərinin davranışı üçün xarakterik olmasının səbəbi məhz bu iki xüsusiyyətin birləşməsidir. Məsələn, ürək ritminin xaotik təbiəti ona fiziki və emosional stressdəki dəyişikliklərə çevik cavab verməyə, onlara uyğunlaşmağa imkan verir. Məlumdur ki, ürək dərəcəsinin nizamlanması bir müddət sonra ölümə səbəb olur. Səbəblərdən biri odur ki, ürəyin xarici pozğunluqları kompensasiya etmək üçün kifayət qədər “mexaniki gücü” olmaya bilər. Əslində vəziyyət daha mürəkkəbdir. Ürəyin işinin nizamlanması digər əlaqəli sistemlərdə xaosun azalmasının göstəricisi kimi xidmət edir. Müntəzəmlik, dəyişiklikləri adekvat şəkildə izləmək və onlara kifayət qədər çevik reaksiya vermək iqtidarında olmadıqda, bədənin təsadüfi ətraf mühit təsirlərinə qarşı müqavimətinin azaldığını göstərir.

Aydındır ki, dəyişən mühitdə işləyən hər hansı mürəkkəb sistemlər belə plastikliyə və idarə oluna bilənliyə malik olmalıdır. Bu, onların təhlükəsizliyinin və uğurlu təkamülünün təminatıdır.

Xaosdan nizama qədər

Canlı orqanizmlərin və digər mürəkkəb sistemlərin ayrı-ayrı hissələri xaotik davranarsa, onların bütövlüyü və sabitliyi necə təmin edilir?

Belə çıxır ki, mürəkkəb qeyri-xətti sistemlərdə xaosla yanaşı, əks hadisə də mümkündür ki, bu da adlandırıla bilər. xaos əleyhinə. Xaotik alt sistemlər bir-biri ilə əlaqəli olduqda, onların kortəbii sıralanması (“kristallaşma”) baş verə bilər ki, bunun nəticəsində onlar vahid bir bütövlük xüsusiyyətlərini əldə edəcəklər. Bu sifarişin ən sadə versiyası xaotik sinxronizasiya, bir-biri ilə əlaqəli bütün alt sistemlər xaotik olsa da, eyni zamanda, sinxron hərəkət etdikdə. Proseslər xaotik sinxronizasiya təkcə heyvanların və insanların orqanizmində deyil, həm də daha böyük strukturlarda - biosenozlarda, ictimai təşkilatlarda, dövlətlərdə, nəqliyyat sistemlərində və s.

Sinxronizasiya imkanını nə müəyyənləşdirir? Birincisi, hər bir fərdi alt sistemin davranışı: nə qədər xaotik, "müstəqil" olsa, onu ansamblın digər elementləri ilə "hesablaşmaq" bir o qədər çətindir. İkincisi, alt sistemlər arasında əlaqənin ümumi gücü: onun artması "müstəqillik" meylini boğur və prinsipcə, sifarişə səbəb ola bilər. Əlaqələrin olması vacibdir qlobal, yəni onlar təkcə qonşular arasında deyil, həm də bir-birindən uzaq olan elementlər arasında mövcud olmuşdur.

Çoxlu sayda alt sistemləri özündə birləşdirən real sistemlərdə rabitə material və ya informasiya axınları hesabına həyata keçirilir. Onlar nə qədər sıx olsalar, elementlərin koordinasiyalı şəkildə davranma şansı bir o qədər çox olar və əksinə. Məsələn, dövlətdə axınları birləşdirən rolu nəqliyyat, poçt, telefon və s. oynayır. Buna görə də, bu xidmətlər üçün tariflərin artırılması, müvafiq axınların azalmasına səbəb olduqda, bütövlüyü zəiflədir. dövlətin məhvinə kömək edir.

Xaotik sinxronizasiya nəzəriyyəsindən belə nəticə çıxır ki, mürəkkəb sistemin ayrı-ayrı hissələrinin əlaqələndirilmiş işləməsi onun elementlərindən biri ilə təmin edilə bilər. kardiostimulyator rom, və ya "kardiostimulyator". Sistemin bütün komponentləri ilə birtərəfli şəkildə bağlanaraq, öz ritmini tətbiq edərək, onların hərəkətini "idarə edir". Eyni zamanda, fərdi alt sistemlərin bir-birinə deyil, yalnız kardiostimulyatora qoşulmasını təmin etsək, son dərəcə mərkəzləşdirilmiş bir sistem halını alacağıq. Dövlətdə, məsələn, "ritm lideri" rolunu mərkəzi hökumət və ... ölkə ərazisinin bütün və ya əhəmiyyətli bir hissəsində fəaliyyət göstərən media yerinə yetirir. Bu gün bu xüsusilə elektron mediaya aiddir, çünki onlar mobillik və ümumi məlumat axını baxımından digərlərindən xeyli üstündürlər. Bunu intuitiv olaraq dərk edən mərkəzi hakimiyyət medianı nəzarətdə saxlamağa çalışır, həm də onların hər birinin təsirini ayrı-ayrılıqda məhdudlaşdırır. Əks halda o, artıq dövləti idarə etməyəcək.

Burada çox mühüm bir məsələyə toxunduq. Əlaqələrin orta gücü həm maddi, həm də informasiya əlaqələrini özündə birləşdirən ümumi parametr olduğundan, bu o deməkdir ki, bəzilərinin zəifləməsi digərlərinin güclənməsi ilə kompensasiya edilə bilər. Ən sadə nümunə, real malların kağız və ya hətta elektron pullarla əvəz edilməsidir. Bu halda, təchizatçı, əslində, maddi məhsul əvəzinə, hesabında dəyişiklik haqqında məlumat alır - və belə bir mübadilə ona mükəmməl uyğun gəlir. Eyni şəkildə, birjalar vasitəsilə hər gün nəhəng pullar qazanılır və ya itirilir ki, bu da sonda kiminsə real məhsul və ya xidmətlərdə əvəzini çıxmalıdır.

Sinxronlaşdırılmış vəziyyətin məhv edilməsi necə baş verə bilər?

Artıq bir ehtimalı qeyd etdik. Əlaqələri zəiflədir. Digər səbəb isə “ritm rəhbəri”nin ansambla yetərincə təsir etməməsidir. Həqiqətən, kardiostimulyatorun diktə etdiyi "ritm" sistemin komponentlərinin təbii davranışına çox ziddirsə, o zaman əlaqənin kifayət qədər gücü olsa belə, o, öz davranış xəttini ansambla tətbiq edə bilməyəcək. Bununla belə, əvvəlki davranış da qorunmayacaq. Nəticədə sinxronizasiya pozulacaq.

Fraktallıq və sabitlik

Biz artıq gördük ki, dinamik xaos nəzəriyyəsi bir çox sistemlərə, o cümlədən dövlətə və bütövlükdə cəmiyyətə tətbiq oluna bilər. Bəs xaosun fraktal strukturu bunda hansı rol oynayır? Axı, faza məkanında xaosun təsviri - qəribə bir cəlbedici - həndəsi olaraq fraktal təmsil edir. Hər bir fərdi xaotik trayektoriyanın ən kiçik təlaşlara son dərəcə həssas olmasına baxmayaraq, qəribə cəlbedici (bütün mümkün trayektoriyaların cəmi) çox sabit bir quruluşdur. Beləliklə, dinamik xaos ikiüzlü Yanus kimidir: bir tərəfdən pozğunluq modeli, digər tərəfdən isə müxtəlif miqyaslarda sabitlik və nizam kimi özünü göstərir.

Fikir versəniz, asanlıqla görmək olar ki, cəmiyyətdə, təbiətdə olduğu kimi, bir çox sistemlər fraktallar prinsipi ilə qurulur: bəzi komplekslər kiçik elementlərdən əmələ gəlir, onlar da öz növbəsində daha böyük komplekslər üçün element kimi xidmət edir, Məsələn, həyat qabiliyyətli iqtisadi və istehsal strukturları necə təşkil olunur? İki ifrat mövqe: böyük transmilli şirkətlər və “kiçik biznes”. Onların hər biri ayrı-ayrılıqda həyat qabiliyyətli deyil. Nəhəng iqtisadi gücə malik olan iri şirkətlər fəaliyyətsizdirlər və ətrafdakı iqtisadi mühitdəki dəyişikliklərə tez reaksiya verə bilmirlər. “Kiçik biznes” böyük problemləri həll etmək, infrastrukturun inkişafını təmin etmək iqtidarında deyil. Qızıl orta haradadır? Orta müəssisələrdə? Dəyməz. Piramida təşkil edən müxtəlif miqyaslı (burada fraktaldır!) İqtisadi obyektlərin dəsti ilə sabit iqtisadi infrastruktur (lazımi resursların lazımi nəqli ilə) təmin edilir. Onun aşağısında piramidada daha yüksək olan bir çox kiçik şirkətlər və firmalar yerləşir, müəssisələrin həcmi getdikcə artır, onların sayı isə müvafiq olaraq azalır və nəhayət, yuxarıda ən böyük şirkətlər dayanır. Belə struktur, məsələn, ABŞ iqtisadiyyatı üçün xarakterikdir. Eyni zamanda, kiçik müəssisələr ən mobildir: onlar tez-tez doğulur və ölür, yeni ideyaların və texnologiyaların əsas təchizatçılarıdır. Kifayət qədər inkişaf əldə etmiş innovasiyalar bir sıra müəssisələrə növbəti səviyyəyə yüksəlməyə və ya yığılmış innovasiyaları daha böyük şirkətlərə ötürməyə (satmağa) imkan verir. Ətraf mühitin kifayət qədər həssaslığı ilə belə bir mexanizm bir neçə ildən sonra yeni sənayelər və iqtisadiyyatlar yaratmağa qadirdir. Səbəbsiz deyil ki, “yeni iqtisadiyyat” adlanan sistemdə hətta iri müəssisələrin də əksəriyyəti 15-20 il əvvəl ya ümumiyyətlə mövcud olmayan, ya da kiçik müəssisələr kateqoriyasında olan şirkətlərdir.

Başqa bir misal. Yenidənqurma zamanı SSRİ-nin "yanlış" quruluşu haqqında çox şey yazılıb və deyilib. Bunun əvəzinə nə təklif edildi? Hər bir xalqın öz doğma ordusu, öz dili, öz “elitarı”, tayfa başçıları var. Bu yaxşı səslənir. İndi görün bu ideya keçmiş SSRİ və Yuqoslaviyanın bir çox xalqları üçün necə baş verdi... Sabitlik nəzəriyyəsi baxımından Rusiya dövlətinin homojen quruluşu ideyası uduzan. Niyə? Yuva quran kukla prinsipi əslində fraktal prinsipdir, onun sayəsində xaotik sistem struktur və sabitlik əldə edir. SSRİ və Rusiya imperiyası fraktal sistemlər prinsipi əsasında qurulmuşdu və bu, onların dövlət kimi sabitliyini təmin edirdi. Müxtəlif səviyyələrdə daxili fəaliyyət mexanizmləri yaxşı qurulmuş, öz hüquq və vəzifələri olan təbii dövlət, etnik, ərazi və digər formasiyalar ümumi sistemdə səpələnmişdir.

Xaos məlumat doğurur

Biz artıq müəyyən etdik ki, xaotik sistemlərin davranışını uzun zaman intervallarında proqnozlaşdırmaq mümkün deyil. İlkin şərtlərdən uzaqlaşdıqca trayektoriyanın mövqeyi getdikcə qeyri-müəyyənləşir. İnformasiya nəzəriyyəsi nöqteyi-nəzərindən bu o deməkdir ki, sistemin özü məlumat yaradır və bu prosesin sürəti nə qədər yüksəkdirsə, xaos dərəcəsi də bir o qədər yüksəkdir. Beləliklə, əvvəllər nəzərdən keçirilən xaotik sinxronizasiya nəzəriyyəsinə görə, maraqlı bir nəticə çıxır: sistem məlumatı nə qədər intensiv şəkildə yaradırsa, onu sinxronlaşdırmaq, başqa cür davranmağa məcbur etmək bir o qədər çətindir.

Bu qayda informasiya istehsal edən istənilən sistemlər üçün doğru görünür. Məsələn, müəyyən bir yaradıcı komanda kifayət qədər sayda ideya yaradırsa və a onların həyata keçirilməsi yolları üzərində fəal işləyir, onun öz baxışlarına qeyri-adekvat olan hansısa davranış xəttini kənardan tətbiq etmək daha çətindir. Və əksinə, əgər eyni maddi axınların və resursların mövcudluğunda komanda informasiya mənasında passiv davranırsa, ideya yaratmır və ya onları həyata keçirmirsə – başqa sözlə, “... isti” prinsipinə əməl edir. və nəm" - onda onu tabe etmək çox asandır.

Xaotik kompüterlər

Müasir kompüterlərdə bizə nə çatışmır? Əgər canlı orqanizm dəyişən mühitdə mövcud olmaq üçün xaotik davranış elementlərinə malik olmalıdırsa, o zaman güman etmək olar ki, dəyişən mühitlə adekvat qarşılıqlı əlaqədə ola bilən süni sistemlər müəyyən dərəcədə xaotik olmalıdır. Müasir kompüterlər belə deyil. Onlar çox böyük, lakin məhdud sayda dövlətlərə malik qapalı sistemlərdir. Ola bilsin ki, gələcəkdə dinamik xaos əsasında yeni tipli kompüterlər - termodinamik nöqteyi-nəzərdən açıq, ətraf mühit şəraitinə uyğunlaşa bilən sistemlər yaradılacaq.

Bununla belə, bu gün də xaotik alqoritmlər məlumatın saxlanması, axtarışı və qorunması üçün kompüter texnologiyalarında uğurla istifadə edilə bilər. Bəzi problemləri həll edərkən, onlar ənənəvi üsullardan daha təsirli olurlar. Bu, xüsusilə multimedia məlumatları ilə işləməyə aiddir. Mətnlərdən və proqramlardan fərqli olaraq, multimedia məlumatı yaddaşın təşkilinin fərqli üsulunu tələb edir. İstifadəçilərin mavi xəyalı melodiya, videoklip və ya lazımi fotoşəkilləri atributlarına (kataloq və fayl adı, yaradılma tarixi və s.) görə deyil, məzmuna və ya assosiasiyaya görə axtarmaq bacarığıdır ki, məsələn, fraqment olsun. bir melodiya musiqi əsərini tapmaq və ifa etmək üçün istifadə edilə bilər. Belə çıxır ki, belə bir assosiativ axtarış deterministik xaosa əsaslanan texnologiyalardan istifadə etməklə həyata keçirilə bilər. Necə?

Biz artıq xaotik sistemlər tərəfindən məlumatların yaradılmasını müzakirə etdik. İndi özümüzə bir sual verək: trayektoriyanı müəyyən simvol ardıcıllığı şəklində yazılmış xüsusi məlumatlarla uyğunlaşdırmaq mümkündürmü? O zaman sistemin trayektoriyalarının bir hissəsi bizim informasiya ardıcıllığımızla təkbətək uyğunluqda olardı. Və hər bir trayektoriya müəyyən ilkin şərtlər altında sistemin hərəkət tənliklərinin həlli olduğundan, bu tənlikləri həll etməklə, onun kiçik bir hissəsini ilkin şərtlər kimi təyin etməklə istənilən simvol ardıcıllığını bərpa etmək olar. Beləliklə, informasiyanın assosiativ axtarışı, yəni məzmun üzrə axtarış imkanı yaranardı.

İnstitutumuzun əməkdaşlarından ibarət komanda xaoslu dinamik sistemlərin trayektoriyalarından istifadə etməklə məlumatların qeydə alınması, saxlanması və əldə edilməsi üçün riyazi modellər yaratmışdır. Alqoritmlər çox sadə görünsə də, onların potensial informasiya tutumu İnternetdə mövcud olan məlumatların həcmini xeyli üstələyirdi. İdeyanın inkişafı istənilən növ məlumatların emalına imkan verən texnologiyanın yaradılmasına gətirib çıxardı: şəkillər, mətn, rəqəmsal musiqi, nitq, siqnallar və s. (RF Patenti 2050072, ABŞ Patenti 5774587, Kanada Patenti 2164417).

Texnologiyadan istifadəyə misal olaraq həm fərdi kompüterlərdə, həm də informasiya serverlərində strukturlaşdırılmamış məlumatların arxivləri ilə işləmək üçün nəzərdə tutulmuş “Unut-Məni Not” proqram paketini göstərmək olar. "Unutma" Netscape və Explorer kimi standart internet brauzerləri altında işləyən axtarış sistemi kimi həyata keçirilir. Arxivdəki bütün məlumatlar xaotik sistemin trayektoriyası kimi qeydə alınır və saxlanılır. Lazımi sənədləri axtarmaq üçün istifadəçi tələb olunan sənədin məzmunu ilə bağlı bir neçə sətir mətni ixtiyari formada yazaraq sorğu tərtib edir. Cavab olaraq, daxil edilmiş məlumat birmənalı axtarış üçün kifayətdirsə, sistem istədiyiniz sənədi verəcək və ya bir sıra seçimlər təklif edəcəkdir. Lazım gələrsə, tapılan sənədin faks surətini əldə edə bilərsiniz. Sorğuda səhvlərin olması axtarışın keyfiyyətinə ciddi təsir göstərmir.

Forget-Me-Not kompleksi haqqında əlavə məlumatı, həmçinin proqramın demo versiyasını http://www.cplire.ru saytından əldə etmək olar.

Xaos vasitəsilə ünsiyyət

Müasir rabitə sistemlərinin əksəriyyəti informasiya daşıyıcısı kimi harmonik rəqslərdən istifadə edir. Ötürücüdəki məlumat siqnalı bu rəqsləri amplituda, tezlik və ya fazada modullaşdırır və qəbuledicidə məlumat tərs əməliyyatdan - demodulyasiyadan istifadə edərək çıxarılır. Daşıyıcıya məlumatın qoyulması ya artıq formalaşmış harmonik salınımları modulyasiya etməklə, ya da generatorun işləməsi zamanı parametrlərinə nəzarət etməklə həyata keçirilir.

Eynilə, xaotik siqnalı modulyasiya etmək mümkündür. Lakin burada imkanlar daha genişdir. Harmonik siqnallar yalnız üç idarə edilə bilən xüsusiyyətlərə malikdir (amplituda, faza və tezlik). Xaotik rəqslər zamanı xaos mənbəyinin elementlərindən birinin parametrinin qiymətində hətta kiçik dəyişikliklər belə rəqslərin xarakterinin dəyişməsinə gətirib çıxarır ki, bu da alətlər tərəfindən etibarlı şəkildə qeydə alına bilər. Bu o deməkdir ki, dəyişən element parametrləri olan xaos mənbələri informasiya siqnalının xaotik daşıyıcıya daxil edilməsi üçün potensial olaraq çoxlu sxemlərə malikdir (modulyasiya sxemləri). Bundan əlavə, xaos əsaslı şəkildə geniş tezlik spektrinə malikdir, yəni genişzolaqlı siqnallara aiddir, radiotexnikaya marağı ənənəvi olaraq dar zolaqlı salınımlarla müqayisədə daha böyük məlumat tutumu ilə əlaqələndirilir. Geniş daşıyıcı bant genişliyi məlumat ötürmə sürətini artırmağa, həmçinin sistemin narahatedici amillərə qarşı dayanıqlığını artırmağa imkan verir. Xaosa əsaslanan genişzolaqlı və ultra genişzolaqlı rabitə sistemləri aparatın tətbiqi asanlığı, enerji səmərəliliyi və məlumat ötürmə sürəti kimi müəyyənedici parametrlərə görə ənənəvi geniş spektrli sistemlərdən potensial üstünlüklərə malikdir. Xaotik siqnallar həmçinin spektrin yayılmasından istifadə etmədən, yəni informasiyanın tezlik diapazonları ilə ötürülən siqnalların üst-üstə düşdüyü zaman rabitə sistemi üzərindən ötürülən məlumatı maskalamaq üçün xidmət edə bilər.

Bu amillərin birləşməsi xaotik kommunikasiya sistemləri üzrə fəal tədqiqatları stimullaşdırdı. Hazırda informasiya siqnallarının spektrinin genişləndirilməsi, arxitekturasında sadə olan ötürücü və qəbuledicilərin qurulması üçün artıq bir neçə yanaşma təklif edilmişdir.

Bu istiqamətdə ən son ideyalardan biri də birbaşa xaotik ünsiyyət sxemləri adlanır. Birbaşa xaotik rabitə sxemində məlumat birbaşa radio və ya mikrodalğalı dalğa uzunluğu diapazonunda yaradılan xaotik siqnala daxil edilir. Məlumat ya ötürücünün parametrlərini modulyasiya etməklə, ya da yaradıldıqdan sonra onu xaotik daşıyıcıya tətbiq etməklə təqdim olunur. Müvafiq olaraq, məlumat siqnalının xaotik siqnaldan çıxarılması yüksək və ya ultra yüksək tezliklər bölgəsində də həyata keçirilir. Hesablamalar göstərir ki, genişzolaqlı və ultra genişzolaqlı birbaşa xaotik rabitə sistemləri saniyədə onlarla meqabitdən bir neçə giqabitə qədər məlumat ötürmə sürətini təmin etməyə qadirdir. Rusiya Elmlər Akademiyasının Radiotexnika və Elektronika İnstitutunda artıq 70 Mbit/s sürətlə informasiyanın birbaşa xaotik ötürülməsi üzrə təcrübələr aparılıb.

Xaos və kompüter şəbəkələri

Kommunikasiya sxemlərində xaos informasiya daşıyıcısı kimi, informasiyanın yeni formaya çevrilməsini təmin edən dinamik proses kimi və nəhayət, hər ikisinin kombinasiyası kimi istifadə oluna bilər. Transmitterdəki siqnalı xaosun köməyi ilə bir formadan digərinə çevirən qurğu deyilir xaotik kodlayıcı. Onun köməyi ilə siz məlumatı elə dəyişdirə bilərsiniz ki, o, kənar müşahidəçi üçün əlçatmaz olsun, lakin eyni zamanda xüsusi dinamik sistem vasitəsilə asanlıqla orijinal formasına qaytarılsın - xaotik dekoder rabitə sisteminin qəbuledici tərəfində yerləşir.

Xaotik kodlaşdırma hansı proseslərdə istifadə edilə bilər?

Birincisi, ondan ümumi informasiya məkanını əsaslı şəkildə yeni şəkildə təşkil etmək, orada böyük açıq istifadəçi qrupları - alt fəzalar yaratmaq üçün istifadə edilə bilər. Hər bir qrup daxilində özünəməxsus ünsiyyət "dili" tətbiq olunur - qaydalar, protokollar və bütün iştirakçılar üçün ümumi olan bu "informasiya subkulturasının" digər əlamətləri. Bu “dili” öyrənmək və cəmiyyətin üzvü olmaq istəyənlər üçün nisbətən asan çıxış vasitələri var. Eyni zamanda kənar müşahidəçilərin belə mübadilədə iştirak etməsi çətin olacaq. Beləliklə, xaotik kodlaşdırma ümumi informasiya məkanının “əhali”nin strukturlaşdırılması vasitəsi kimi çıxış edə bilər.

İkincisi, oxşar şəkildə siz çox istifadəçinin məlumatlara çıxışını təşkil edə bilərsiniz. Qlobal İnternetin və əsas məlumat axınlarının (Magistral yolların) olması informasiyanın vahid kanallar vasitəsilə ötürülməsini təmin edən ümumi protokolların mövcudluğunu nəzərdə tutur. Bununla belə, müəyyən iştirakçı qrupları daxilində (məsələn, korporativ şəbəkələr daxilində) “xarici” iştirakçılara çıxışa icazə vermədən məlumatın konkret istehlakçılara çatdırılmasına təcili ehtiyac var. Xaotik kodlaşdırma üsulları bu cür virtual korporativ şəbəkələrin təşkili üçün əlverişli vasitədir. Bundan əlavə, onlar ənənəvi kriptoqrafiya sahəsinə keçərək məlumatın müəyyən bir məxfiliyini təmin etmək üçün birbaşa istifadə edilə bilər.

Nəhayət, e-ticarətin inkişafı və internetdə müəllif hüquqları probleminin kəskinləşməsi ilə əlaqədar olaraq xaotik kodlaşdırmanın başqa bir funksiyası çox aktualdır. Xüsusilə, bu, şəbəkə vasitəsilə multimedia mallarının (musiqi, video, rəqəmsal foto və s.) satışına aiddir. Deterministik xaos əsasında ümumi çıxışı olan informasiya məhsulunun keyfiyyətinin aşağı düşməsi kimi müəllif hüquqları və əqli mülkiyyət hüquqlarının qorunmasının belə bir yolunu təmin etmək mümkündür. Məsələn, xaosla kodlanmış musiqi parçaları heç bir məhdudiyyət olmadan şəbəkədə paylanacaq ki, hər bir istifadəçi onlardan istifadə edə bilsin. Bununla belə, xüsusi dekoder olmadan dinləyərkən səs keyfiyyəti zəif olacaq. Belə bir yanaşmanın mənası nədir? Yayılan məlumat açıq qalır və kriptoqrafik mühafizə üsullarının istifadəsi ilə qoyulan məhdudiyyətlərə məruz qalmır. Bundan əlavə, potensial alıcının məhsulla tanış olmaq imkanı var və yalnız bundan sonra onun yüksək keyfiyyətli versiyasını alıb-almayacağına qərar verə bilər.

Qeyd etmək lazımdır ki, xaotik kodlaşdırmanın yuxarıdakı funksiyaları onun müasir informasiya texnologiyalarında tətbiqinin potensial imkanlarını tükəndirməkdən uzaqdır. Bu problemin daha da öyrənilməsi və inkişafı zamanı, görünür, yeni aspektlər və perspektivli istifadə sahələri açıla bilər.

Beləliklə, informasiya texnologiyalarında dinamik xaos və fraktalların istifadəsi bir neçə il əvvəl göründüyü kimi ekzotik deyil, dəyişən mühitdə səmərəli işləyən sistemlərin yaradılması üçün yeni yanaşmaların işlənib hazırlanmasının təbii yoludur.

QIZIL NİSAS, FRAKTALLAR VƏ XAOS

KAİNAT HAQQINDA BƏZİ ANLAYIŞLARLA ƏLAQƏLİ OLARAQ

Sokolçuk K.Yu., Ostapoviç V.V. ("Bulat NVR" elmi-texniki mərkəzi, Kiyev, Ukrayna)

Tərif. Müəyyən mənada bütünə bənzəyən hissələrdən ibarət quruluşa fraktal deyəcəyik. "Fraktal" termininin özü "kəsir" deməkdir. Fraktal formaya nəzər saldıqda, böyüdülməsindən asılı olmayaraq eyni quruluşu görürsünüz. Dağları, buludları, sahil xətlərini və s. nəzərə alınmaqla, müxtəlif təxminlərdə belə bir oxşarlıq təbiətdə görünə bilər. Bu, molekulların və ya qalaktikaların formalarını tədqiq etməklə tapıla bilər. Fraktallıq sürətlə dünyanı izah etmək və anlamaq üçün ən tutumlu metaforalardan birinə çevrilir.

Ancaq fraktalın tam dəqiq tərifi yoxdur. Bəlkə nə vaxtsa tapılacaq, amma fraktal həndəsə təbiətin həndəsəsi olduğuna görə bu baş verməyə bilər. Fraktalın tərifi təbiətin tərifi ilə eyni səviyyədədir.

Kainatın fraktallığı və onun ayrı-ayrı elementləri konsepsiyası 20-ci əsrin ikinci yarısında sinergetika, kibernetika, informatika və varlığın hər hansı bir hadisəsi üçün universal əhəmiyyət kəsb edən digər nəzəriyyələri birləşdirən yeni elmi paradiqmanın bir hissəsi kimi yaranmışdır. Fraktal fərziyyə xaos nəzəriyyəsi və qeyri-xətti dinamik sistemlər anlayışlarına əsaslanır. Buna görə də bəzi digər xüsusiyyətlər (struktur iyerarxiyası, əks əlaqə, ilkin şərtlərə həssaslıq və s.) Fraktal obyektlər statik sistemlərlə müqayisədə sabitliyi və xarici şəraitə uyğunlaşma qabiliyyətini artırmışdır.

Kainatın fraktallarının qurulması üçün riyazi alqoritm. Fraktalların qurulmasının riyazi modelləşdirilməsi üçün qeyri-xətti dinamik sistemlər kimi rekursiv düsturlardan istifadə etmək adi haldır. Rekursiyadan istifadə etməklə qurulan obyektlər daxili öz-özünə oxşarlığa və səhvlərə qarşı müqavimətə malikdir (təsadüfi və sistematik). Bundan əlavə və bu vacib görünür, rekursiya avtokreasiya (yəni, özünü qurma) sistemlərinin zəruri xüsusiyyətidir. Biz alqoritm olaraq Fibonaççi toplama seriyasını seçmişik, çünki təbiətin müxtəlif obyektlərində (ilk növbədə, "yaşayan") təsadüfən çox tez-tez görünür.

Fraktal Fibonaççi obyektlərinin modelləşdirilməsinin nəticələri.

İşinin ardınca prof. A.P.Staxov, Binet düsturunu (Fibonaççi seriyasını yaradan) bütün həqiqi ədədlər çoxluğuna ümumiləşdiririk. Nəticə funksiyası:

F(x) =(φ x -(-φ) -x)/√5( 1)

Gəlin buna Fibonacci proqramı deyək. Fibonaççi seriyasına gəldikdə, həqiqi ədədlər çoxluğunda onun üçün aşağıdakı əlaqələr mövcuddur:

F(x+1) = F(x) + F(x-1)(2)

F(x+1)/F(x) → φat x→ +∞,φ = (1+√5)/2 = 1,6180… (3)

F(x+1)/F(x) → -1/φ at x→ - ∞(4)

Funksiya F(x) mürəkkəb ədədlər bölgəsinə aiddir, yalnız müəyyən nöqtələrdə həqiqi ədədlər bölgəsinə daxil olur (üçün X tam). Fibonaççi proqramının faza portreti (ümumi halda) X oxu boyunca (kompleks ədədin real hissəsi) spiral və sönümlənmiş sinusoiddir (şəkil 1).

a) b)

Şəkil 1. Kompleks ədədlər müstəvisində ümumiləşdirilmiş Fibonaççi seriyasının faza portreti (a) və Fibonaççi proqram spiralinin fəzada mövqeyi (b).

Tənlik (2) ilkin şərtlərin funksiyası kimi x 0 , x 1 və dövrlərin sayı X, şəklində təmsil edin:

F(x+1, x 0 , x 1) = x 1 *F(x) + x 0 *F(x-1) (5)

Tənlik (5) Fibonaççi proqramına uyğun olaraq qurulmuş müəyyən diskret obyektlər toplusunu təsvir edir, onların strukturu oxşardır və fərq yalnız miqyasda (ilkin şərtlərin seçimi x 0 və x 1) və (və ya) vaxtda (x) olur. dövrlərin sayıdır) parametrləri. Beləliklə, biz kompleks ədədlər sahəsində təkrarlanan əlaqələri təmin edən proqramla (Bine düsturunun ümumiləşdirilməsi) məşğul oluruq. B. Mandelbrotun işləyib hazırladığı konsepsiyalardan sonra bu, müəyyən ərazidə (x, x 0, x 1) fraktal obyektlərin əmələ gəlməsi üçün zəruri və kifayətdir. Nəzərə alaq ki, iyerarxik strukturların qızıl nisbəti ilə ifadə olunan oxşarlığı φ , artan nisbətdə ideala yaxınlaşır. X(dövrlərin sayı) və bir-birindən maksimum dərəcədə fərqlənən ilkin şərtlərin seçilməsi (böyüklük sıraları ilə) təxmin edilən φ-nin tələb olunan dəqiqliyinə nail olmaq üçün dövrlərin sayını cüzi dərəcədə artırır. Sonra bütün fəza-zaman kontinuumu tək fraktal obyekt kimi təqdim oluna bilər, onun ayrı-ayrı elementləri növbəti, aşağı iyerarxik səviyyəli fraktalların cəlbediciləridir.

Bu quruluşun daxili oxşarlığı məsələsini daha ətraflı nəzərdən keçirək. Zamanın süpürülməsi (yəni х 0 və х 1 – const) φ kimi ifadə olunan bitişik iyerarxik səviyyələrin oxşarlığını təmin edir (bu, (3) düsturuna uyğun olaraq aydındır). O, həmçinin x və x-2 səviyyələri üçün oxşarlığın φ 2 kimi ifadə olunmasının sübutunu tələb etmir. Ümumiyyətlə, x və x-n səviyyələri üçün onların nisbəti φ n-dir. X dövrlərinin mənfi dəyərləri sahəsində ümumi vəziyyətdə oxşarlıq aşağıdakı formaya malikdir: 1/(-φ) n . Biz x və x 1 - const misalından istifadə edərək fəzada süpürməni nəzərdən keçirəcəyik və dəyişən x 0 olacaqdır. x 0 = 0 və ya 2 və x 1 = 1 üçün, müvafiq olaraq, əhəmiyyətsiz Fibonaççi və Lukas seriyasına sahibik. Onların nisbəti (sadəcə Binet düsturundan irəli gəlir) eyni sayda x dövrü ilə √5 və ya eynidir: φ + 1/φ. X 0 = 3 (yəni, Lukadan sonrakı sətir) vəziyyətində nisbət φ 2 + 1 / φ 3 = 2.854 kimi ifadə edilir ... Bundan əlavə, şəkil əsaslı şəkildə dəyişmir. Məkan skanerində oxşarlıq yalnız iki rəqəmdən - 1 və φ-dan, həmçinin onlarla elementar riyazi əməliyyatlardan (+, -, *, :) istifadə etməklə yazıla bilər. Yəqin ki, ümumi düstur çıxarmaq olar. Beləliklə, əgər “dünyamız” Fibonaççi proqramına uyğun qurulubsa, onun bütün çoxsaylı təzahürlərində birtəhər “qızıl bölmə” - φ tapmalıyıq. Reallıqda bu, əsasən, adətən “canlı” materiya adlanan maddi obyektlərdə müşahidə olunur. Səbəb, fikrimizcə, əksər hallarda obyektin inkişafını hər üç parametrin - x, x 0, x 1 - dəyişən olduğu bölmədə nəzərdən keçirməyimizdədir. Məsələn, Mendeleyevin elementlərinin dövri sistemi. Bütün elementlər müxtəlif üzərində formalaşmışdır Kainatın inkişafının dövrləri (mərhələləri) və müxtəlif ilkin şərtlər (nisbətən desək, temperatur, kütlə, entropiya və cəlbedicilərin digər xüsusiyyətləri). Onların strukturunda φ və 1 ilə ədədi olaraq ifadə edilən bəzi müntəzəm oxşarlıq axtarmaq mənasız bir şeydir. Eynilə, planetlərin kütlələri və ya onların radiusları və ya fırlanma orbitlərinin radiusları çoxsaylı cəhdlərə baxmayaraq, "qızıl harmoniya" ilə təsvir edilə bilməz. Digər tərəfdən, "canlı" maddənin obyektləri, o cümlədən insan, sabit ilkin şərtlərə və onları bütün inkişaf dövrlərində müşahidə etmək imkanına malik ayrılmaz obyektlər kimi, φ ilə ifadə olunan morfoloji quruluşunda və fəaliyyətində harmoniya daşıyır. (Biz faktiki məlumat vermirik, onlar prof. A.P. Staxov tərəfindən yaradılmış "Qızıl Harmoniya Muzeyi" saytındadır).

Beləliklə, Kainatımızın strukturu və topologiyası Fibonaççi proqramının icrası kimi inkişafın təsviri çərçivəsində yalnız iki rəqəmin - 1 və φ rəqəmlərinin köməyi ilə kodlaşdırıla bilər. Aydındır ki, bu nömrələr ilkindir, çünki proqram ikinin köməyi ilə yazılır və icra olunur. Yaradanın yalnız Kainatı qurmaq üçün proqram “yazdığı” bir vaxtda onlar necə ortaya çıxdılar?Təsəvvür edək ki, simvollar şəklində olan proqram avtomatik yaradılış kimi yazılır, strukturlaşdırılır və ya paketlənir (terminlər istənilən ola bilər) hər bir sonrakı səviyyə əvvəlki iki (Fibonacci proqramı) funksiyası olan obyekt. Biz üç bitişik iyerarxik səviyyəni seçirik. φ dəyəri sadəcə ən yaxın səviyyələrin nisbətindən irəli gəlir. Üç bitişik səviyyənin nisbəti əslində məlum nisbətə endirilir: φ 2 = φ + 1 və ya φ 2 - φ = 1. Beləliklə, proqram girişinin özü iki əsas ədəd φ və 1 yaradır. Prof. Staxov A.P., say sistemləri və φ-dan istifadə etməklə informasiyanın kodlaşdırılması xətaların tapılması, onların differensiallaşdırılması və korreksiyası baxımından digərlərindən (onluq, ikilik və s.) üstünlüklərə malikdir. İnkişaf proqramının düzgün həyata keçirilməsi üçün bu xüsusiyyətlər son dərəcə vacibdir.

Fibonaççi proqramının obyektlərinin qarşılıqlı əlaqəsi və onların qrafiki.

Kainatın obyektlərinin qlobal qarşılıqlı təsiri konsepsiyasını (və ya fərziyyəsini) qəbul edərək, tədqiqatın indiki mərhələsində fraktalların qarşılıqlı təsir mexanizmləri kimi elementar cəbri toplama, vurma və s. əməliyyatlarından istifadə etdik. Yaranan strukturların nümayişi üçün 3 ölçülü kompüter qrafikasından istifadə edilmişdir. Nəzərə almaq lazımdır ki, fraktalların qarşılıqlı təsiri zamanı yaranan strukturlar ümumiyyətlə n-ölçülüdür, buna görə də yaranan təsvirlər mahiyyətcə ayrı-ayrı komponentlərin inkişaf dövrlərinin “müstəvisində” üçölçülü hissələrdir.

A) Qarşılıqlı təsir göstərən obyektlərin inkişaf dövrlərinin sayğacları eynidir.

Şəkil.2aŞəkil.2b

Şəkil 2 Fibonaççi və Lukas obyektlərinin nisbətindən əldə edilən obyektin faza portreti (2a) və üçölçülü fəzada görünüşü (2b) (ilkin şərtlər müvafiq olaraq 0 və 1; 2 və 1) Şəkil 2b-dəki təyinatlar - X və Y oxları - obyektin real və xəyali hissələri, Z oxu dövrü sayğacdır (bir Fibonaççi və Luka üçün).

Obyektin faza portreti (şək. 2a) bütövlükdə Kainat prinsipinin məşhur simvolik təsvirinə çox bənzəyir:

Açığı, təsadüfi deyil ki, bəzi əsərlərdə Fibonaççi və Luka silsiləsi kişi və qadın (Yin və Yang) kimi qəbul edilir. 2a fiqurunun nümunəsi də torpaqlarımızda yaşamış insanların fəlsəfi və bədii fikirlərində sonuncu yeri tutmur.

B) Qarşılıqlı təsir göstərən obyektlərin dövrlərinin sayğacları uyğun gəlmədiyi halda, parametrik əyrilər əvəzinə (şək. 1b və 2b) “müstəvi” ilə dövrlərin (zaman) kəsikləri kimi üçölçülü səthləri alırıq.

şək.3. Fibonaççi və Lukas fraktallarının əlavə edilməsi. Üfüqi müstəvidəki koordinat oxları cəminin həqiqi və xəyali hissələridir. Şaquli - dövr sayğacı (solda - Fibonacci fraktal üçün, sağda - Luka üçün).

Şəkil 4. Fibonaççi və Lukas fraktallarının məhsulu. Təyinatlar - şək. 3-də olduğu kimi

Şəkil 3 və 4-də təqdim olunan şəkilləri şərh etmək çətindir. İlkin şərtlərin və ya sekant zaman müstəvisinin dəyişdirilməsi bəzi xarici fərqlərlə eyni spiral-vorteks strukturlarına gətirib çıxarır. Bu istiqamətdə əlavə tədqiqatlara ehtiyac var. Hipotetik olaraq güman etmək olar ki, nəzərdən keçirilən model A.F.Buqayevin polivorteks nəzəriyyəsi ilə bağlıdır. və ya Shipov G.I-nin burulma sahələri. Bu baxımdan aşağıdakı hal nəzərə alınmalıdır. Mürəkkəb dəyişənlər nəzəriyyəsi çərçivəsində siz faza müstəvisində spiral formalar yaradan bir çox funksiya ilə çıxış edə bilərsiniz. Bu rəqəmlərin təbiəti belədir. Qeyri-xətti dinamik modelimizdə (Fibonaççi proqramı) mürəkkəb ədədlər təbii olaraq Fibonaççi sıralarının ümumiləşdirilməsi və natural ədədlərin bəzi xassələrini (1, 2, 3, 4, ... ). İş müəyyən mənada fizikadakı kvant mexaniki nəzəriyyəsinə bənzəyir. Orada Şrödinger dalğa tənliyini həll edərkən kompleks dəyişənlərin funksiyaları mütləq alınır. Xəyali komponent, bəzi ezoteriklərin fikrincə (məsələn, Şneyderman A.G.) kainatın bizim məkanda təzahür etməyən komponentini əks etdirir.

Fibonaççi və Xaos proqramının fraktalları.

Sinergetika çərçivəsində mürəkkəb qeyri-xətti dinamik sistemlər üçün bifurkasiya nöqtələri anlayışı böyük əhəmiyyət kəsb edir. Bu fenomenin mahiyyəti ondan ibarətdir ki, müəyyən ilkin şərtlər altında müəyyən sayda inkişaf dövrlərindən sonra deterministik vəziyyətdən sistem sabitliyini itirir, dağılır və xaos vəziyyətinə keçir. Modelimiz üçün belə ilkin şərtlər var. İlk rəqəmlər -φ və 1 olduğu ortaya çıxdı. Belə ilkin şəraitdə obyektin inkişafı Fig.5-də göstərilmişdir.

Şəkil 5. Fibonaççi proqramına uyğun qurulmuş obyektin bifurkasiya keçidi. Y(x ) tənliyinə uyğun olaraq hesablanmışdır. (5) ilkin şərtlərdən istifadə etməklə:

x 0 \u003d -φ və x 1 \u003d 1.

Dövrlərin sayını mümkün qədər əhatə etmək üçün (x oxunda) obyektin dövlət dəyərləri (y oxunda) loqarifmik miqyasda göstərilir. Görünür ki, dinamik xaos vəziyyətinə keçid nöqtəsi 39-40 dövrə dəyərlərindədir. Düstur (5) və alınan nəticələri təhlil edərkən, sistemin davranışının ilkin şərtlərdə mütənasib dəyişikliklə dəyişilmədiyi aşkar edilmişdir, yəni. ümumi vəziyyətdə bifurkasiya nöqtəsi əldə etmək üçün: x 0 \u003d -aφ və x 1 \u003d a (burada a hər hansı bir real ədəddir, əlbəttə ki, əhəmiyyətsiz hal a \u003d 0 istisna olmaqla). Bu, bifurkasiya keçidinin bölməsinin ətraflı şəkildə göstərildiyi Şəkil 6-da təsvir edilmişdir.

Şəkil 6. Fibonaççi proqramına uyğun olaraq tikilmiş obyektlərin bifurkasiya keçid sahəsi.

Obyektin vəziyyətinin meyarı kimi biz Fibonaççi seriyası (formula (3)) kimi standart üsulla hesablanmış moduldan istifadə etdik. İlkin şərtlər Şəkil 5-də istifadə olunanların qatıdır və bir-birindən 10 15 (qırmızı rəng - a = 10 7, mavi - a = 10 -8) ilə fərqlənir. Görünür ki, 36-cı dövrəyə qədər cisimlər deterministik şəkildə inkişaf edir, hər iki halda modul 1/φ (0,61830….) təşkil edir. Bundan əlavə, məhvetmə prosesi uçqun kimi böyüyür və 39-40 dövrədən sonra dinamik xaos vəziyyəti yaranır. Obyektlər bir neçə vəziyyətdə eyni vaxtda bölünür və inkişaf edir (modullar - 2, 1, 1/φ, 0). Bifurkasiya nöqtəsinin mövqeyi (39-40 dövr) yəqin ki, ezoterik biliklərlə əlaqədar fundamental əhəmiyyət kəsb edir. Bifurkasiya nöqtəsinin müstəsna sabitliyinə diqqət yetirin, çünki ilkin şərtləri 15 miqyasda dəyişmək onu bir dövrə belə dəyişmədi. Şəkil 5 və 6-da təqdim olunan hesablama nəticələri a > 0 vəziyyətinə aiddir.< 0 (например, х 0 = 1 и х 1 = -1/φ), то картина становится зеркальной и точка бифуркации смещается к отрицательным значениям циклов -39-40. Возможно, этот случай представляет модель обратного перехода: «динамический хаос → детерминированная структура».В заключение на рис.7 показан видбифуркационного перехода в динамический хаос с помощью 3-D графики для стороннего «далеко отстоящего» наблюдателя.

Şəkil 7. Fibonacci proqramına uyğun olaraq qurulmuş bir obyekt üçün "deterministik quruluş - dinamik xaos" keçidi,

Ezoterik ideyalar çərçivəsində bunu “çarpaz dönüş” adlandırmaq olar. Bu, Matcad və ya Matlab proqramlarının animasiya imkanlarından istifadə etməklə dinamikada obyektin faza portretindəki dəyişiklikləri təsvir edərkən xüsusilə aydın görünür.

Nəticə.

1. "Fibonaççi proqramı" konsepsiyası Binet düsturunun bütün həqiqi ədədlərin sahəsinə ümumiləşdirilməsi kimi təklif edilmişdir.
2. Fibonaççi proqramının istifadəsi qeyri-xətti dinamik sistemləri - strukturunda "qızıl kəsik" daşıyan kompleks ədədlər toplusunda spiral fraktal obyektləri modelləşdirmək üçün rekursiv düsturdan istifadə etməyə imkan verir.
3. Kainatın hipotetik riyazi alqoritmi - Fibonaççi proqramı bəzi ezoterik fikirləri izah etməyə imkan verir.
4. Fibonaççi proqramına əsasən yaradılmış obyektin 39-40 dövrədən sonra məhv olması və dinamik xaos vəziyyətinə keçməsi üçün müəyyən ilkin şərtlər var.
5. Bir şəxs "maddi dünya (Yang) - mənəvi və ya informasiya vəziyyəti (Yin)" keçidi çərçivəsində davamlı tsiklik inkişafda olan Kainatın ayrılmaz fraktal obyekti kimi təqdim edilə bilər.

Giriş

1. Xaos nəzəriyyəsinin yaranması və tarixi

2. Nizam və nizamsızlıq

3. Tətbiq olunan xaos

4. Xaosun əsas prinsipləri (atraktorlar və fraktallar)

6. Başqa elmlərdə xaos

7. Xaosun nəticələri

1. 1980-1990-cı illərin əvvəllərindən başlayaraq metodistlərin “kompleks elmi” (mürəkkəblik elmləri) ilə bağlı müzakirələrində yeni bir istiqamət meydana çıxdı. Bu, qeyri-xətti dinamikası, qeyri-sabit davranışı, özünütəşkilat effektləri və xaotik rejimlərin mövcudluğu ilə sistemlərin öyrənilməsi problemlərinə diqqət yetirən yeni fənlərarası tədqiqat sahəsi üçün adətdir. Mürəkkəb sistemlərin davranışı, özünütəşkili haqqında vahid elm Almaniyada sinergetika (Q.Haken), fransızdilli ölkələrdə dissipativ strukturlar nəzəriyyəsi (İ.Priqojine), ABŞ-da dinamik xaos nəzəriyyəsi adlanır. (M. Feigenbaum). Yerli ədəbiyyatda birinci termin üstünlük təşkil edir, ən qısa və genişdir.

XAOS NƏZƏRİYYƏSİ Deterministik dinamik sistemlərin təsadüfi və ya çox mürəkkəb görünən davranışını öyrənən riyaziyyatın bir qolu. Dinamik sistem elə sistemdir ki, onun vəziyyəti sabit riyazi qaydalara uyğun olaraq zamanla dəyişir; sonuncular adətən sistemin gələcək vəziyyətini cari vəziyyətlə əlaqələndirən tənliklərlə verilir. Bu qaydalar açıq şəkildə təsadüfilik elementini ehtiva etmirsə, belə bir sistem deterministikdir.

Xaos nəzəriyyəsinin tarixi. Xaos nəzəriyyəsinin ilk elementləri 19-cu əsrdə ortaya çıxdı, lakin bu nəzəriyyə 20-ci əsrin ikinci yarısında Massaçusets Texnologiya İnstitutundan Edvard Lorenz və fransız-amerikalı riyaziyyatçı Benua B.-nin işi ilə birlikdə həqiqi elmi inkişaf aldı. Mandelbrot. Edvard Lorenz bir vaxtlar hava proqnozunun nə qədər çətin olduğunu düşünürdü. Lorenzin işinə qədər elm dünyasında sonsuz uzun müddətə dəqiq hava proqnozunun mümkünlüyü ilə bağlı iki fikir üstünlük təşkil edirdi.

İlk yanaşma 1776-cı ildə fransız riyaziyyatçısı Pierre Simon Laplace tərəfindən tərtib edilmişdir. Laplas qeyd edirdi ki, “... əgər biz bu anda kainatdakı cisimlər arasındakı bütün əlaqələri dərk edən bir zehni təsəvvür etsək, o zaman bütün bu cisimlərin müvafiq mövqeyini, hərəkətlərini və ümumi təsirlərini dünyanın istənilən vaxtında müəyyən edə biləcəkdir. keçmişdə və ya gələcəkdə." Onun bu yanaşması Arximedin məşhur kəlamına çox bənzəyirdi: “Mənə dayaq nöqtəsi verin, mən bütün dünyanı alt-üst edərəm”.

Belə ki, Laplas və tərəfdarları bildiriblər ki, havanı dəqiq proqnozlaşdırmaq üçün sadəcə kainatdakı bütün hissəciklər, onların yeri, sürəti, kütləsi, hərəkət istiqaməti, sürətlənmə və s. haqqında daha çox məlumat toplamaq lazımdır. Laplas düşünürdü ki, insan nə qədər çox bilsə, gələcəklə bağlı proqnozu da bir o qədər doğru olar.

Hava proqnozunun mümkünlüyünə ikinci yanaşma, başqa bir fransız riyaziyyatçısı Jül Anri Puankare tərəfindən ən aydın şəkildə ifadə edilən ilk yanaşma idi. 1903-cü ildə dedi: " Təbiət qanunlarını və Kainatın vəziyyətini ilkin anda dəqiq bilsəydik, növbəti anda eyni Kainatın mövqeyini dəqiq proqnozlaşdıra bilərdik. Ancaq təbiət qanunları bütün sirlərini bizə açsa belə, biz ilkin mövqeyi yalnız təxminən bilə bilərdik.

Əgər bu, sonrakı mövqeyi eyni yaxınlaşma ilə proqnozlaşdırmağa imkan versəydi, bu, bizə lazım olan tək şey olardı və deyə bilərdik ki, bu fenomen proqnozlaşdırılıb, qanunlarla idarə olunurdu. Amma həmişə belə olmur; baş verə bilər ki, ilkin şərtlərdəki kiçik fərqlər son hadisədə çox böyük fərqlərə səbəb olur. Birincidəki kiçik bir səhv, ikincisində böyük bir səhvə səbəb olacaqdır.

Proqnoz etmək qeyri-mümkün olur və biz təsadüfən inkişaf edən bir fenomenlə qarşılaşırıq" .

Puankarenin bu sözlərində biz ilkin şərtlərdən asılılıq haqqında xaos nəzəriyyəsinin postulatını tapırıq. Elmin, xüsusən də kvant mexanikasının sonrakı inkişafı Laplasın determinizmini təkzib etdi. 1927-ci ildə alman fiziki Verner Heyzenberq qeyri-müəyyənlik prinsipini kəşf etdi və formalaşdırdı. Bu prinsip bəzi təsadüfi hadisələrin niyə Laplas determinizminə tabe olmadığını izah edir.

Heyzenberq nüvənin radioaktiv parçalanmasını nümunə kimi istifadə edərək qeyri-müəyyənlik prinsipini nümayiş etdirdi. Deməli, nüvənin ölçüsü çox kiçik olduğu üçün onun daxilində baş verən bütün prosesləri bilmək mümkün deyil. Buna görə də nüvə haqqında nə qədər məlumat toplasaq da, bu nüvənin nə vaxt çürüyəcəyini dəqiq söyləmək mümkün deyil.

1926-1927-ci illərdə holland mühəndis B. Van der Pol ürəyin daralmalarının riyazi modelinə uyğun gələn elektron sxem hazırladı. O, müəyyən şərtlər altında dövrədə baş verən rəqslərin normal ürək döyüntüsündə olduğu kimi dövri deyil, nizamsız olduğunu müəyyən etdi. Onun işi İkinci Dünya Müharibəsi illərində C.Littlewood və M.Kartwright radar prinsiplərini tədqiq edərkən ciddi riyazi əsaslandırma aldı.

1950-ci ildə J. von Neumann təklif etdi ki, havanın qeyri-sabitliyi bir gün nemətə çevrilə bilər, çünki qeyri-sabitlik istənilən effekti verə bilər.

1960-cı illərin əvvəllərində Amerika riyaziyyatçısı S.Smale dinamik sistemlərin tipik davranış növlərinin tam təsnifatını qurmağa cəhd etdi. Əvvəlcə o, dövri hərəkətlərin müxtəlif kombinasiyalarından imtina edilə biləcəyini güman edirdi, lakin tezliklə daha mürəkkəb davranışın mümkün olduğunu başa düşdü. Xüsusilə, o, həndəsəni sadələşdirərək və hazırda Smale at nalı kimi tanınan sistemi əldə edərək, məhdud üç cisim problemində Puankare tərəfindən aşkar edilən mürəkkəb hərəkəti daha ətraflı öyrəndi. O, belə bir sistemin determinizminə baxmayaraq, təsadüfi davranışın bəzi xüsusiyyətlərini nümayiş etdirdiyini sübut etdi. Bu cür hadisələrin digər nümunələri Amerika və Rusiya məktəbləri tərəfindən dinamik sistemlər nəzəriyyəsində işlənib hazırlanmışdır və V.I.Arnoldun töhfəsi xüsusilə vacib olmuşdur. Ümumi xaos nəzəriyyəsi belə yaranmağa başladı.

İlkin məlumatlara həssaslığın xaosa səbəb olması faktı - həm də 1963-cü ildə - Amerikalı meteoroloq tərəfindən həyata keçirildi. Edvard Lorenz. O, maraqlandı ki, kompüterlərin sürətli təkmilləşməsi niyə meteoroloqların arzusunu - etibarlı orta müddətli (2-3 həftə qabaqda) hava proqnozunu həyata keçirmədi? Edvard Lorenz hava konveksiyasını (atmosferin dinamikasında mühüm rol oynayır) təsvir edən ən sadə modeli təklif etdi, onu kompüterdə hesabladı və nəticəni ciddi qəbul etməkdən çəkinmədi. Bu nəticə - dinamik xaos - deterministik sistemlərdə (yəni gələcəyin keçmiş tərəfindən unikal şəkildə müəyyən edildiyi sistemlərdə) sonlu proqnoz üfüqü olan qeyri-dövri hərəkətdir.

Riyaziyyat nöqteyi-nəzərindən güman edə bilərik ki, istənilən dinamik sistem, hansı modelləşdirməsindən asılı olmayaraq, faza deyilən fəzada nöqtənin hərəkətini təsvir edir. Bu məkanın ən mühüm xarakteristikası onun ölçüsüdür və ya sadə desək, sistemin vəziyyətini müəyyən etmək üçün müəyyən edilməli olan nömrələrin sayıdır. Riyazi və kompüter nöqteyi-nəzərindən bu rəqəmlərin nə olduğu o qədər də vacib deyil - müəyyən ərazidə vaşaqların və dovşanların sayı, günəş aktivliyini və ya elektrokardioqramı təsvir edən dəyişənlər və ya hələ də prezidenti dəstəkləyən seçicilərin faizi. Əgər fərz etsək ki, faza fəzasında hərəkət edən bir nöqtə iz buraxır, onda trayektoriyaların dolaşıqlığı dinamik xaosa uyğun olacaq. Burada faza fəzasının ölçüsü cəmi 3-dür. Maraqlıdır ki, belə heyrətamiz obyektlər hətta üçölçülü fəzada da mövcuddur.

2. Nizam və nizamsızlıq

Xaos nəzəriyyəsi dünyamızdakı hadisələrin geniş spektrini əhatə edəcək qədər ümumidir və eyni zamanda oxucuların təxəyyülünü həyəcanlandırır. Axı, məlum oldu ki, nizam başqa yerdən deyil, məhz xaosdan yaranır! Digər tərəfdən, xaos haqqında müasir elmi fikirlərdə çox diqqət və dərindən öyrənilmə tələb edən məqamlar var. Bəlkə də cavablardan daha çox suallar var.

Nizam və nizamsızlıq

Aşağıda yəqin ki, aydınlaşacaq səbəblərə görə, ilk növbədə müasir elmin iki son dərəcə əhəmiyyətli anlayışına müraciət edəcəyik: “Nizam” və “nizamsızlıq”. Adətən bizə elə gəlir ki, burada hər şey əvvəldən aydın və anlaşılandır, amma əslində bu, belə olmaqdan uzaqdır. Xaos anlayışı isə müəyyən dərəcədə maraqlı və vacib olur, ona görə ki, nizamsızlıq və nizamsızlıq olmadan edə bilmərik.

Əvvəla, nizam-intizam nədir və nizamsızlıq nədir? Onların bir-biri ilə hansı əlaqəsi var? Və birini digərindən necə ayırd etmək olar? Bu suallar, belə çıxır ki, tezliklə görəcəyimiz kimi, heç də əhəmiyyətsiz deyil.

Gündəlik həyatda pozğunluğun nizamın olmaması olduğuna inanmaq adətdir. Bu cür anlayışlar olduqca yaygındır, məsələn, "soyuq". Biz ondan hər addımda istifadə edirik və nə demək olduğunu başa düşürük. Üstəlik, hətta termometrlə də “ölçürük”. Bununla belə, soyuqluq mövcud deyil. İstilik var, soyuq isə əslində onun dezavantajıdır. Amma biz “soyuq” deyirik, sanki real bir şeydir (yaxud filosofların dediyi kimi, substantiv).

Ancaq "narahatlıq" anlayışı ilə hər şey, müəyyən mənada, əksinədir. Biz bu sözü bir şeyin (sifarişin) yoxluğu üçün təyinat kimi istifadə edirik ki, bu da məhz özündə mövcud olandır. Ancaq sual yaranır: belədirmi?

Məsələnin mahiyyətini konkret bir misalla izah edək, bunun üçün hansısa professorun iş masasını təsəvvür edək. Ona baxanda yəqin ki, qərara gələrik ki, üzərində olan hər şey səliqəsiz bir yığın halına atılıb. Lakin professorun özü də baxmadan, əlini uzadaraq, şübhəsiz ki, ehtiyac duyduğu obyekti tapır. Əksinə, əgər təmizlikçi xanım hər şeyi səliqəli qalaqla düzürsə, o zaman professor Rey Bredberinin “Zənbil şərabı” romanındakı nənə xalası tərəfindən mətbəxdə təşkil edilən ümumi təmizlikdən sonra yemək bişirə bilmədiyi kimi işləyə bilməyəcək.

Bəlkə etiraf etmək lazımdır ki, bizim nizamsızlıq adlandırmağa adət etdiyimiz şey, ümumiyyətlə nizam deyilən şeyin yoxluğu deyil? Bununla belə, başqa bir yol da var: “pozğunluq” sözünün adi mənasını arxada qoyub, tez-tez tərəddüd etmədən pozğunluq dediyimiz şeyi ifadə etmək üçün başqa bir termin təqdim etmək, baxmayaraq ki, əslində tamamilə fərqli bir şeyi nəzərdə tuturuq.

Son zamanlar “xaos” sözü getdikcə belə bir anlayışın roluna iddia edir.

Düzünü desək, sadəcə olaraq “xaos” və “deterministik xaos”u ayırmaq lazımdır. Bu nədir - aşağıda görəcəyik, amma hələlik iki məqamı qeyd edirik.

Birincisi, şeylərin məntiqinə görə, deterministik xaos xaosun xüsusi halı olmalıdır və bu mənada üç termin təqdim edilməlidir: ümumi xaos anlayışı və onun iki xüsusi halı kimi deterministik və qeyri-deterministik xaos. Onda qeyri-deterministik xaos pozğunluğun ekvivalenti ola bilər və deterministik xaos ondan keyfiyyətcə fərqli bir şey demək idi (dəqiq danışacağımız şey).

İkincisi, dərin təhlildən göründüyü kimi, deterministik və qeyri-deterministik xaos arasındakı fərq əslində ümumi hesab edildiyi kimi əsas deyil və fiziki deyil, daha metodikdir. Ona görə də təklif olunan qeydlərdə biz sadəcə olaraq xaosdan danışacağıq, həqiqətən lazım olan yerdə müzakirə predmetini aydınlaşdıracağıq. Bundan əlavə, sadə, qısa və tutumlu "xaos" sözünün müəyyən bir estetik cəlbediciliyi var, onu sərt, lakin uzun və darıxdırıcı "deterministik xaos" haqqında söyləmək mümkün deyil. Axı Priqojin “Determinist xaosdan nizam” deyil, “Xaosdan nizam” demişdi.

Qədim dünyada “xaos” sözü materiyanın kainatdan əvvəl olduğu qeyri-mütəşəkkil vəziyyətini ifadə edirdi və bu mənada onu “narahatlıq” sözünün sinonimi kimi də qəbul etmək olar. Lakin, eyni zamanda, belə bir anlayış başqa mənalar yaradan bir şeyi ehtiva edir. Yəqin ki, arzu olunarsa, xaosu superorder adlandırmaq olar, yəni o, potensial olaraq çoxlu müxtəlif sifarişləri ehtiva edir, hər biri müəyyən şərtlər altında öz dünyasını yaradaraq aktuallaşdırıla bilər.

Ancaq qaydaya və nizamsızlığa qayıt. Əgər əşyaların vəziyyətinə qərəzsiz nəzər salsaq, görərik ki, sifariş dedikdə çox vaxt bu və ya digər simmetriyaya əsaslanan məkan və ya məkan-zaman qanunauyğunluğundan başqa heç nə nəzərdə tutmuruq. Buna görə də, başqasının masasına baxaraq, orada simmetrik şəkildə düzülmüş əşyaları görmək istəyirik (öz masamıza münasibətimiz adətən bir qədər fərqlidir).

Burada son dərəcə vacib bir məqamı qeyd etmək lazımdır. Müntəzəm quruluşa malik sistemin davranışı, bir qayda olaraq, (bəlkə də ehtimal səviyyəsində) və dəqiq olaraq orada mövcud olan simmetriya elementləri əsasında proqnozlaşdırıla bilər. Qələmlərin masanın ən sağ küncündə olduğunu bilsək, çətin ki, onlardan birini solda, birinin yanında tapa bilək. Dünyanın nizam-intizamı bizə orada hərəkət etməyə imkan verən şeydir. Bu nöqteyi-nəzərdən sistemin həm nizamsız, həm də xaotik vəziyyətlərinin əsas ümumi xüsusiyyəti onun davranışını təxmin edə bilməməyimizdir. Bu halda davranış həm zaman, həm də məkan şərhinə malik ola bilər. Birinci halda, bu, sistemin müəyyən bir zaman anında hansı vəziyyətdə olacağını, ikincidə isə onun məkan konfiqurasiyasının necə olacağını söyləməyin mümkünsüzlüyü deməkdir.

Bəlkə də nizamlı sistemləri cəlbedici edən, proqnozlaşdırıla bilən dünyada yaşamaq bizim daxili (və həmişə şüurlu olmayan) istəyimizdir. Və xaosun, görünür, potensial imkanlar baxımından nizamdan misilsiz dərəcədə zəngin olması vəziyyəti dəyişmir. İstər-istəməz biz onu qorxulu və adi şüurumuza yad bir şey kimi qəbul edirik.

İntellektual səviyyədə bizə az-çox aydındır ki, sistemin nizamlılığı, əslində nə olursa olsun, onun mürəkkəbliyi ilə əlaqəsi var. Ev tikmək onu sökməkdən daha çətindir. Yaradılmaq nizamı, məhv etmək isə nizamsızlığı nəzərdə tutur. Quraşdırılmış bir evdə müəyyən funksional rolları olan elementlər var, lakin söküntü yığını yoxdur.

Bəs mürəkkəblik həmişə göz qabağındadırmı və həmişə simmetriya ilə müəyyən edilirmi? Professor masasını bir daha xatırlayaq: onun üzərindəki əşyaların düzülüşü tamamilə qeyri-müntəzəmdir, lakin kifayət qədər mürəkkəbdir. Mənə inanmırsınızsa, professorun düzgün elementi necə tapdığını izah etməyə çalışın.

Beləliklə, yüksək mürəkkəblik səviyyəsinə malik, lakin eyni zamanda görünən qanunauyğunluqdan məhrum olan sistemlərin mövcud olduğunu qəbul etmək lazımdır. Bizə elə gəlir ki, onların elementləri arasında heç bir əlaqə yoxdur və onlar təsadüfi şəkildə yerləşirlər, əslində isə əlaqələr mövcuddur, lakin onlar bizim görmək üçün çox mürəkkəbdir. Odur ki, nizam-intizamın adi mənada nizamsızlıq və xaos arasında kəsişmə olduğunu söyləmək səhv olmaz. Arzu edilərsə, nizam açıq quruluşlu xaos, nizamsızlıq isə quruluşun olmaması kimi müəyyən edilə bilər (sistemin elementləri arasındakı əlaqələri görməyə başlayan kimi o, bizim üçün nizamlanır). Məhz buna görə də xaos müstəqil və özünü təmin edən anlayışdır, çünki bir şeyin təzahür etməməsi onun yoxluğu demək deyil.

Sistemdəki nizamsızlıq və xaos bir-birinə bənzəyir ki, biz onun elementlərinin düzülüşündə nümunələri görmürük. Fərq ondadır ki, nizamsızlıq vəziyyətində onlar həqiqətən mövcud deyillər, lakin xaos vəziyyətində onlar mövcuddur, lakin indiki anda elementlərin faktiki düzülüşündə deyil, bunu yaradan daxili mexanizmlərdədir. tənzimləmə. Üstəlik (və bu, ən diqqətçəkən şeydir), bu cür mexanizmlər fiziki olaraq sistemdən kənarda, məsələn, hər şeyin stolunun harada olduğunu bilən bir professorun şüurunda həyata keçirilə bilər. Məhz buna görə də stolun üstündəki əşyalar professorun özündən başqa hamıya təsadüfən yalan danışır, çünki onların yerləşdirilməsi prinsipini təkcə o bilir.

3. Tətbiq olunan xaos

Sual tez-tez müzakirə olunur: xaos nə üçündür?

Əvvəla, bu konsepsiyanın nəhəng ideoloji əhəmiyyətini qiymətləndirməmək olmaz. Ətrafımızdakı dünya qeyri-xətti hadisələr və proseslərlə doludur, onların düzgün başa düşülməsi xaosun mümkünlüyünü, habelə mürəkkəb sistemlərin davranışının proqnozlaşdırıla bilməsi ilə əlaqəli əsas məhdudiyyətləri dərk etmədən ağlasığmazdır. Məsələn, tarixi prosesin birmənalı müəyyənliyi doktrinasının uyğunsuzluğu kifayət qədər aydın olur.

Yuxarıda qeyd olunanlar müxtəlif xarakterli sistemlərdə xaosdan hər hansı konkret praktiki məqsədlər üçün istifadə imkanlarını müzakirə etməyə və ya mürəkkəb dinamikanın yaranmasının gətirə biləcəyi nəticələri nəzərə almağa mane olmur.

Sadə bir misal verək - dalğaların mövcudluğunda gəmi və ya neft platformasının dinamikası problemi. Məlum bir yaxınlaşmada bu, xarici dövri hərəkətə malik qeyri-xətti dinamik sistemdir. Gəminin normal, iş tənzimləməsi sistemin bir cəlbedicisinə, ters çevrilmiş digərinə uyğundur. İkinci atraktorun cazibə hövzəsinin necə yerləşdiyi və necə işlədiyi ilə maraqlana bilərsiniz. Bu, həyəcanın intensivliyindən necə asılıdır? Aydındır ki, ikinci atraktorun cazibə hovuzuna düşmək fəlakətə gətirib çıxarır! Biz vurğulayırıq ki, yalnız qeyri-xətti təhlil vəziyyətin hərtərəfli başa düşülməsini, fəlakətin qarşısını almaq üçün şərtlərin və tövsiyələrin işlənib hazırlanmasını təmin edir.

Xaotik rejimlərin dinamik xarakterinə və kiçik təlaşlara qarşı həssaslığına görə, onlar kənardan idarə olunan hərəkət vasitəsilə effektiv nəzarətə imkan verir. Belə bir təsirin məqsədi xaos əvəzinə sistemdə dövri rejimin həyata keçirilməsi və ya faza məkanının müəyyən bir bölgəsinə daxil olmaq ola bilər. Əvvəlcə Merilend Universitetindən bir qrup amerikalı tədqiqatçı tərəfindən irəli sürülən bu ideya, tətbiq baxımından çox perspektivli və məhsuldar görünür. Bu günə qədər bu mövzuda geniş ədəbiyyat mövcuddur, bir çox beynəlxalq elmi konfranslar keçirilmişdir.

Xaosun idarə edilməsinin uğurlu nümunələri mexaniki sistemlərdə, elektron cihazlarda, lazerlərdə həyata keçirilir. Məsələn, Aya kosmik gəmi göndərmək üçün xaosa nəzarət üsullarının tətbiqindən bəhs edən bir məqalə. Məlum olub ki, kiçik idarə olunan hərəkətlərin köməyi ilə problem uçuş müddətini artırmaq bahasına çox əhəmiyyətli yanacaq qənaəti ilə həll edilə bilər.

Qeyri-xətti dinamikanın ideya və üsullarının tətbiqinin digər istiqaməti siqnalın işlənməsi problemi ilə bağlıdır. Təsəvvür edin ki, uzaq və əlçatmaz bir obyekt araşdırılır ki, bizim imkanlarımız ondan gələn siqnalı təhlil etməklə məhdudlaşsın. Son illərdə siqnalın dinamik sistem tərəfindən istehsal edilib-edilmədiyini öyrənmək, həmçinin bu sistemin xassələri və xüsusiyyətləri haqqında məlumat əldə etmək üçün üsullar təklif edilmişdir. Beləliklə, qeyri-xətti dinamika aparatı obyektin strukturu haqqında nəticə və ya fərziyyə çıxarmağa, onun dinamik modelini qurmağa və s. imkan verən tədqiqat alətinə çevrilir.Siqnalların təhlili üçün metod və alqoritmlərin işlənməsi mühüm sahə hesab oluna bilər. mümkün tətbiqlərlə birbaşa əlaqəli qeyri-xətti dinamikanın.

Tibb və biologiya problemlərinə münasibətdə siqnal təhlili və emalı, modelin qurulması və xaosa nəzarət üsullarının istifadəsi perspektivləri yüksək qiymətləndirilir.

Radiotexnika və elektronikada, dinamik xaos rejimində işləyən müxtəlif qurğular ola bilən səs-küyə bənzər salınımların generatorlarının lazım olduğu bir sıra tətbiqlər məlumdur. Nümunələr, hərəkət edən dalğa borusu üzərində gecikmiş birləşmə ilə osilatorlardır.

Xaosun mümkün tətbiqlərindən biri kommunikasiya məqsədləri üçün dinamik sistemlər tərəfindən yaradılan xaotik siqnalların istifadəsidir. Siqnalların xaotik təbiəti ələ keçirilməsi çətinləşən məlumatların kodlaşdırılması üçün yeni imkanlar açır. Xaotik siqnallar üzərində rabitəni təmin edən bir sıra sxemlər təklif edilmiş, nümayiş etdirmə təcrübələri aparılmışdır.

Qeyri-xətti dinamikada əldə edilən nəticələr sıxılma və saxlanma, həmçinin informasiyanın emalı üçün yeni qeyri-trivial imkanlar açır. Bu cür maraqlı bir nümunə Rusiya Elmlər Akademiyasının Radiotexnika və Elektronika İnstitutunda birölçülü xəritələrdən istifadə edərək məlumatların kodlaşdırılması və emalı üçün təklif olunan sxemdir. Fraktal həndəsə ideyaları əsasında informasiyanın sıxılmasının səmərəli üsulları işlənib hazırlanmışdır. Ənənəvi kompüter arxitekturasından fərqli və qeyri-xətti dinamika hadisələrinə əsaslanan sistemlərdə hesablama proseslərinin həyata keçirilməsi məsələsi üzərində iş aparılır.

4.Əsas prinsiplər. Xaosu öyrənmək üçün ümumi riyazi prinsiplərdən və kompüter modelləşdirməsindən istifadə olunur. Hər hansı bir dinamik sistemin əsas xüsusiyyəti iterasiyadır, yəni. eyni riyazi qaydanın bəzi seçilmiş vəziyyətə təkrar (təkrar) tətbiqinin nəticəsi. Dövlət adətən bir sıra və ya ədədlər dəsti ilə təsvir olunur, lakin o, həndəsi fiqur və ya konfiqurasiya da ola bilər.

Xaos nəzəriyyəsinin əsas anlayışı atraktorlar və fraktallardır.

cəlbedici

(ingilis dilindən cəlb etmək - cəlb etmək) - uzun müddətdən sonra faza məkanında davranışı xarakterizə edən həndəsi quruluş. Burada faza məkanı anlayışını müəyyən etmək lazım gəlir.

Dörd cəlbedici xarici dünyanın əsas strukturunu, bazarın davranışının və hərəkətinin xarakterini təşkil edir. Xaos nəzəriyyəsi analitik nəzəriyyə ilə tamamilə ziddiyyət təşkil edir. Bu, bizə yeni bir metafizika verir. O, hazırda baş verənlərə diqqət yetirir ki, bu da bazarı təhlil edərkən daha vacibdir. Xaos nəzəriyyəsi bütün gözlənilməz dönüşlər və sürprizlərlə bütün çay bazarını əhatə edən daha dolğun mənzərə yaradır. Axında davam edən dəyişiklikləri fərq etmək bacarığı effektiv bazar təhlili vəzifəsi və treyderlərin ölümcül "xəstəliyi" olan dogmatizmə qarşı antidotdur. Bazar çox vaxt bizim daxili dünyamız, şüur ​​axınımız kimi xaotik görünür. Bu xaosdan hər hansı məna kəsb etmək üçün reallıq və bazar üçün əsas strukturu - xaosun altında yatan nizamı ortaya qoyan əsas strukturu kəşf etməliyik.

Bazar, real dünyanın bir fenomeni olaraq, əsaslı şəkildə nizamsız və sərbəstdir. Xaos proqnozlaşdırıla bilənliyə hökm edir. Bazarda ticarətə sadə xətti yanaşmalar işləmir. Bazar sonsuz mürəkkəbdir. Daha yüksək nizam həmişə xaosdan yaranır, lakin bu nizam kortəbii və gözlənilmədən yaranır. Hava şəraiti kimi, səhm və əmtəə bazarları, eləcə də digər xaotik sistemlər, onlara cavabdan çox miqdarda cüzi dəyişikliklər üçün gözlənilməz nəticələr yarada bilər. Hazırda birja oyunçuları investisiya və ticarətdə qeyri-xətti üsullardan istifadə edirlər. Fraktallar bazarın yeni oyuncaqlarıdır. Fraktallar bazarların özünü təşkil etmə üsuludur. Xaos elmində cəlbedici adlanan mexanizmlərin köməyi ilə konkret fraktal təşkilat yaradılır.

Təfəkkürdən hadisələri çeşidləmək və baş verənlərin mənasını anlamağı öyrənmək üçün ilk növbədə reallığın əsas strukturunu tapmalıyıq. Xaosun altında yatan nizamı ortaya qoyan struktur. Bu sıranı öz zehnimizdə müəyyən etməyə kömək edən dörd qeyri-xətti funksiya var. Xaos alimləri aşkar ediblər ki, xaotik görünən, qanunsuz proseslər əslində gizli bir nizama əməl edir. Onların kəşf etdikləri nizam dörddür: bütün xarici hadisələr dörd cəlbedici adlandırdıqları şeyə - nizamsızlıqdan nizam çıxaran qüvvələrə uyğun hərəkət edir. Onlara nöqtə cəlbedicisi, siklik atraktor, Toras cəlbedicisi və qəribə cəlbedici deyilir.

Nöqtə cəlbedicisi xaosa nizam gətirməyin ən sadə yoludur. O, sonsuz sayda nöqtələrdən ibarət olan xəttin birinci ölçüsündə yaşayır. Bu cəlbedicinin təsiri altında insan bir fəaliyyətə meyl, digərinə isə ikrah hissi yaşayır. Bu, birinci ölçünün cəlbedicisidir və bazarlarda ticarət üçün istifadə edilə bilər.

Tsiklik cəlbedicinin xarakterik xüsusiyyəti sarkaç və ya siklik maqnit kimi irəli və geri hərəkətdir. O, cəlb edir, sonra dəf edir, sonra yenidən cəlb edir və s. O, təyyarənin sonsuz sayda xətlərdən ibarət ikinci ölçüsündə yaşayır. O, qiymətin müəyyən müddət ərzində müəyyən diapazonda yuxarı və aşağı hərəkət etdiyi dəhlizə qapalı bazar ilə xarakterizə olunur. Bu cəlbedici nöqtə atraktorundan daha mürəkkəbdir və daha mürəkkəb davranış üçün əsas strukturdur. Bir fəaliyyət avtomatik olaraq təkrarlanan bir şəkildə digərinə aparır. Taxıl bazarında bu hadisə illikdir.

Üçüncü, daha mürəkkəb cəlbedici növü Toras cəlbedicisi kimi tanınır. O, irəlilədikcə təkrarlanan mürəkkəb dövriyyəyə başlayır. O, sonsuz sayda təyyarədən ibarət üçüncü ölçüdə yaşayır. Dövrlü və nöqtə atraktorları ilə müqayisədə, Toras cəlbedicisi daha çox pozğunluq yaradır və onun modelləri daha mürəkkəbdir. Bu səviyyədə proqnozlar daha dəqiq olur və modellər daha dolğun görünür. Qrafik olaraq, üzük və ya simit kimi görünür. O, bir sıra müxtəlif müstəvilərdə spiralvari dairələr əmələ gətirir və bəzən tam bir inqilabı tamamlayaraq özünə qayıdır. Onun əsas xüsusiyyəti təkrarlanan hərəkətdir. Oxşar hadisələri təhlükəsizlik üçün qlobal aktivlərin axtarışında da müşahidə etmək olar. Əgər dövlət istiqrazları üzrə faiz artırsa, onlar daha çox investor cəlb edirlər. Sonra onların qiymətləri qalxır, bu da faiz dərəcəsini aşağı salır və onları daha az cəlbedici edir və s.

Dördüncü ölçüdən qəribə cəlbedici özünü təşkil edir. Bu, azadlığın və bazarın həqiqətən necə işlədiyini başa düşməyin vətənidir. Səthi gözün mütləq xaos kimi qəbul etdiyi, heç bir nizamın nəzərə çarpmadığı, dördüncü ölçüdən müşahidə edildikdə qəribə bir cəlbediciyə əsaslanan müəyyən bir nizama malikdir. Qəribə bir cəlbedicinin başqa bir xüsusiyyəti, bəzən "kəpənək effekti" olaraq adlandırılan ilkin şərtlərə həssaslığıdır. Orijinal şərtlərdən ən kiçik sapma nəticədə böyük fərqlərə səbəb ola bilər. Əməliyyatların bağlanması zamanı ilkin şərtlərdəki fərqlər ticarət sisteminin gəlirliliyinə beş dəfə təsir göstərə bilər. Başqa sözlə, həssas ilkin şərtlər altında ticarət etmək mənfəətin 500 faiz artmasına səbəb ola bilər.

fraktallar

70-ci illərin sonlarında meydana çıxan fraktal və fraktal həndəsə anlayışları 80-ci illərin ortalarından etibarən riyaziyyatçıların və proqramçıların gündəlik həyatında möhkəm yer tutdu. Fraktal sözü latın fractus sözündən olub və mənasını verir parça-parça. 1975-ci ildə Benoit Mandelbrot tərəfindən tədqiq etdiyi nizamsız, lakin özünə bənzəyən strukturlara istinad etmək təklif edilmişdir. Fraktal həndəsənin doğulması adətən 1977-ci ildə Mandelbrotun kitabının nəşri ilə əlaqələndirilir. "Təbiətin Fraktal Həndəsəsi". Onun əsərlərində 1875-1925-ci illərdə eyni sahədə çalışmış digər alimlərin (Puankare, Fatou, Culiya, Kantor, Hausdorf) elmi nəticələrindən istifadə edilmişdir. Amma yalnız bizim dövrümüzdə onların işini vahid sistemdə birləşdirmək mümkün idi.

Bu gün kompüter qrafikasında fraktalların rolu kifayət qədər böyükdür. Onlar, məsələn, çox mürəkkəb formanın xətlərini və səthlərini müəyyən etmək üçün bir neçə əmsalın köməyi ilə tələb olunduqda köməyə gəlirlər. Kompüter qrafikası nöqteyi-nəzərindən fraktal həndəsə süni buludların, dağların və dəniz səthinin yaranması üçün əvəzolunmazdır. Əslində, təsvirləri təbii olanlara çox bənzəyən mürəkkəb qeyri-Evklid obyektlərini asanlıqla təmsil etməyin bir yolu tapıldı.

Fraktalların əsas xüsusiyyətlərindən biri özünə bənzəməsidir. Ən sadə halda fraktalın kiçik bir hissəsi bütün fraktal haqqında məlumat ehtiva edir.

Mandelbrot tərəfindən fraktalın tərifi aşağıdakı kimidir: “Fraktal müəyyən mənada bütövə bənzəyən hissələrdən ibarət strukturdur”

Fraktallar:

həndəsi fraktallar

Bu sinfin fraktalları ən barizdir. İkiölçülü vəziyyətdə, onlar bir neçə polyline (və ya üçölçülü halda səth) istifadə edərək əldə edilir. generator. Alqoritmin bir addımında qırıq xətti təşkil edən seqmentlərin hər biri uyğun miqyasda qırıq xətt generatoru ilə əvəz olunur. Bu prosedurun sonsuz təkrarı nəticəsində həndəsi fraktal alınır.

Şəkil 1. Triod Kox əyrisinin qurulması.

Belə fraktal obyektlərdən birini - triod Koch əyrisini nəzərdən keçirək. Döngənin qurulması vahid uzunluğun bir seqmentindən başlayır (şəkil 1) - bu, Koch əyrisinin 0-cı nəslidir. Bundan əlavə, hər bir keçid (sıfır nəsildə bir seqment) ilə əvəz olunur generatrix, Şəkil 1-də n=1 ilə işarələnmişdir. Belə bir əvəzləmə nəticəsində Koch əyrisinin növbəti nəsli əldə edilir. 1-ci nəsildə bu, hər biri 1/3 uzunluğunda olan dörd düz keçiddən ibarət əyridir. 3-cü nəsil əldə etmək üçün eyni hərəkətlər yerinə yetirilir - hər bir əlaqə azaldılmış formalaşdırma elementi ilə əvəz olunur. Beləliklə, hər bir sonrakı nəsli əldə etmək üçün əvvəlki nəslin bütün əlaqələri azaldılmış formalaşdırma elementi ilə əvəz edilməlidir. İstənilən sonlu n üçün n-ci nəsil əyrisi adlanır prefraktal. Şəkil 1 əyrinin beş nəslini göstərir. n sonsuzluğa meyl etdiyi üçün Kox əyrisi fraktal obyektə çevrilir

Kompüter qrafikasında ağacların, kolların və sahil xəttinin şəkillərini əldə edərkən həndəsi fraktallardan istifadə etmək lazımdır. İki ölçülü həndəsi fraktallar üçölçülü fakturalar (obyektin səthindəki naxışlar) yaratmaq üçün istifadə olunur.

Cəbri fraktallar

Bu fraktalların ən böyük qrupudur. Onlar n ölçülü fəzalarda qeyri-xətti proseslərdən istifadə etməklə əldə edilir. İki ölçülü proseslər ən çox öyrənilənlərdir. Qeyri-xətti iterativ prosesi diskret dinamik sistem kimi şərh edərkən bu sistemlərin nəzəriyyəsinin terminologiyasından istifadə etmək olar: faza portreti, sabit vəziyyət, cəlbedici və s.

Məlumdur ki, qeyri-xətti dinamik sistemlər bir neçə sabit vəziyyətə malikdir. Müəyyən sayda iterasiyadan sonra dinamik sistemin özünü tapdığı vəziyyət onun ilkin vəziyyətindən asılıdır. Buna görə də, hər bir sabit vəziyyətin (və ya necə deyərlər, bir cəlbedicinin) müəyyən bir başlanğıc vəziyyətləri sahəsi var, sistem mütləq nəzərə alınan son vəziyyətlərə düşəcəkdir. Beləliklə, sistemin faza məkanı bölünür cazibə sahələri cəlbedicilər. Əgər faza sahəsi iki ölçülüdürsə, cazibə bölgələrini müxtəlif rənglərlə rəngləməklə əldə etmək olar rəng mərhələsi portreti bu sistem (iterativ proses). Rəng seçimi alqoritmini dəyişdirərək, çox rəngli naxışlarla mürəkkəb fraktal naxışlar əldə edə bilərsiniz. Riyaziyyatçılar üçün sürpriz, primitiv alqoritmlərdən istifadə edərək çox mürəkkəb qeyri-trivial strukturlar yaratmaq bacarığı idi.

Şəkil 3. Mandelbrot dəsti.

Nümunə olaraq Mandelbrot dəstini nəzərdən keçirək (Şəkil 3 və 4-ə baxın). Onun qurulması alqoritmi olduqca sadədir və sadə iterativ ifadəyə əsaslanır:

burada Zi və C mürəkkəb dəyişənlərdir. Düzbucaqlı və ya kvadrat bölgənin hər bir başlanğıc nöqtəsi C üçün təkrarlamalar həyata keçirilir - kompleks müstəvinin alt çoxluğu. İterativ proses mərkəzi nöqtədə olan radius 2 dairəsindən kənara çıxana qədər (bu o deməkdir ki, dinamik sistemin atraktoru sonsuzdur) və ya kifayət qədər çox sayda təkrarlamadan sonra (məsələn, 200) davam edir. -500) çevrənin istənilən nöqtəsinə yaxınlaşır. Dairənin içərisində qaldığı təkrarlamaların sayından asılı olaraq, C nöqtəsinin rəngini təyin edə bilərsiniz (əgər o, kifayət qədər çox sayda təkrarlama üçün dairənin içərisində qalsa, iterasiya prosesi dayanır və bu rastr nöqtəsi qara rəngə çevrilir).

Şəkil 4. 200 dəfə böyüdülmüş Mandelbrot dəstinin haşiyəsinin bir hissəsi.

Yuxarıdakı alqoritm Mandelbrot çoxluğuna yaxınlaşma verir. Mandelbrot dəsti zamanı olan nöqtələri ehtiva edir sonsuz iterasiyaların sayı sonsuzluğa getmir (nöqtələr qaradır). Çoxluğun sərhədinə aid olan nöqtələr (mürəkkəb strukturların yarandığı yerdir) sonlu sayda təkrarlamada sonsuzluğa, çoxluqdan kənarda yerləşən nöqtələr isə bir neçə təkrarlamadan sonra sonsuzluğa gedir (ağ fon).

Stokastik fraktallar

Fraktalların digər tanınmış sinfi stoxastik fraktallardır ki, onun parametrlərindən hər hansı biri təkrarlanan prosesdə təsadüfi dəyişdirildikdə əldə edilir. Bunun nəticəsində təbii obyektlərə çox oxşar obyektlər - asimmetrik ağaclar, girintili sahil xətləri və s. İki ölçülü stoxastik fraktallar relyef və dəniz səthinin modelləşdirilməsində istifadə olunur.

Fraktalların başqa təsnifatları da var, məsələn, fraktalların deterministik (cəbri və həndəsi) və qeyri-deterministik (stokastik) bölünməsi.

5. Determinist xaos və informasiya texnologiyaları

Analoji olaraq, qeyri-xətti sistemlərdə nizamsız (xaotik) hərəkət fenomeni termini verilmişdir. dinamik, və ya deterministik ,xaos. Müşahidə olunan xaotik davranış xarici səs-küy mənbələri, çoxlu sayda sərbəstlik dərəcəsi və kvant mexanikası ilə əlaqəli qeyri-müəyyənlik səbəbindən deyil. O, qeyri-xətti deterministik sistemin öz dinamikası ilə yaradılır. Sistemin faza məkanında bu davranış uyğun gəlir qəribə cəlbedici. cəlbedici (cəlbedici) ingilis dilindən tərcümədə "cəlb edən" deməkdir; bu halda, bu, faza məkanında bütün digər trayektoriyaların cəlbedicinin hansısa qonşuluğundan cəlb olunduğu trayektoriyalar toplusudur. cazibə hövzəsi. "Qəribə" termini xaotik davranışa uyğun gələn cəlbedicinin qeyri-adi xüsusiyyətlərini vurğulamaq üçün istifadə olunur. Düzensiz davranışın səbəbi qeyri-xətti sistemlərin faza məkanının məhdud bir bölgəsində ilkin yaxın trayektoriyaları eksponensial sürətlə ayırmaq xüsusiyyətidir. Xaotik sistemlərin trayektoriyalarının davranışını uzun müddət proqnozlaşdırmaq mümkün deyil, çünki ilkin şərtlərə həssaslıq yüksəkdir və həm fiziki təcrübələrdə, həm də kompüter simulyasiyalarında ilkin şərtlər yalnız sonlu dəqiqliklə təyin edilə bilər.

Xaos nəzarəti

İlk baxışdan xaosun təbiəti onu idarə etməyi qeyri-mümkün edir. Reallıqda isə vəziyyət tam əksinədir: xaotik sistemlərin trayektoriyalarının qeyri-sabitliyi onları nəzarətə son dərəcə həssas edir.

Məsələn, qəribə bir cəlbedici olan bir sistem var və faza trayektoriyasını cəlbedicinin bir nöqtəsindən digərinə köçürmək tələb olunur. Xaotik trayektoriyalar zaman keçdikcə qonşuluğa düşmək xüsusiyyətinə malikdir hər hansı cəlbediciyə aid olan nöqtələr. Bunun T-dən çox olmayan bir müddətdən sonra baş verməsi zəruri olarsa, trayektoriyanın bir və ya bir sıra incə, əhəmiyyətsiz pozulmaları hesabına tələb olunan nəticə əldə edilə bilər. Bu təlaşların hər biri trayektoriyanı bir qədər dəyişir. Ancaq bir müddət sonra kiçik təlaşların yığılması və eksponensial gücləndirilməsi traektoriyanın kifayət qədər güclü korreksiyasına gətirib çıxarır. Təhlükələrin düzgün seçilməsi ilə bu, trayektoriyanı xaotik cəlbedicidən uzaqlaşdırmadan qoyulan problemi həll etməyə imkan verir. Beləliklə, xaoslu sistemlər həm yaxşı idarəolunan, həm də heyrətamiz plastiklik nümayiş etdirir: sistem hərəkət növünü saxlamaqla xarici təsirlərə həssasdır. Bir çox tədqiqatçının fikrincə, idarə oluna bilənlik və plastikliyin birləşməsi xaotik dinamikanın canlı orqanizmlərin bir çox həyati alt sistemləri üçün xarakterik davranış növü olmasının səbəbidir. Məsələn, ürək dərəcəsinin xaotik təbiəti ürəyin fiziki və emosional stressdəki dəyişikliklərə çevik reaksiya verməsini təmin edir, dinamik güc ehtiyatını təmin edir.

Xaos, nə qədər maraqlı olsa da, kompleks davranışın yalnız bir hissəsidir qeyri-xətti sistemlər. Intuitiv olmayan bir fenomen də var ki, onu da adlandırmaq olar xaos əleyhinə. Bəzi çox nizamsız sistemlərin kortəbii olaraq yüksək nizam əldə edərək "kristallaşması" ilə ifadə edilir. Antixaosun bioloji inkişaf və təkamüldə mühüm rol oynadığı güman edilir.

Dinamik sistemlərin yaxşı öyrənilmiş üç davranış növü ilə - stasionar vəziyyətlər, dövri və kvazi dövri rəqslər, habelə xaosla yanaşı, dördüncü, spesifik davranış tipinin də olmasının lehinə bir sıra arqumentlər mövcuddur. müntəzəm hərəkət və xaos arasındakı sərhəddə. “Xaosun kənarı” adlandırılan bu sərhəddə təkamül və informasiyanın işlənməsi proseslərinə bənzər proseslərin baş verə biləcəyi müşahidə edilmişdir.

Şəkil 1. Orientasiya və naviqasiya məqsədləri üçün xaotik dinamikaya əsaslanan assosiativ yaddaşdan istifadə nümunəsi. Ümumi sahəsi 576 km olan oriyentasiya sahəsi 2 M 1:20000 miqyaslı coğrafi xəritə ilə müəyyən edilir. O, hər biri 256 rəngli əlifbada 200x200 piksel ölçülü rəngli qrafik təsvir olan 16 fraqmentə bölünüb. Şəkillərin hər biri eyni ikiölçülü parça-xətti xəritələşdirmədə limit dövrü kimi təmsil olunur.

Yeri müəyyən etmək üçün istifadəçinin xəritə fraqmentinin istənilən hissəsini təqdim etməsi kifayətdir. Parçanın axtarışı uğurlu olarsa (uğur 1 km-ə qədər olan parçalar proqrama təqdim edildikdə qeydə alınıb) 2 , yəni orijinal ərazinin 0,2 faizinə qədər), xəritənin müvafiq bölməsi ekranda görünəcək.

Proqram həmçinin təhrif olunmuş parçalarla identifikasiyanın mümkünlüyünü nümayiş etdirir. Bizim nümunəmizdə identifikasiya üçün təqdim olunan parçada təhrif səviyyəsi 70-80 faiz ola bilər.

Dinamik xaosdan fərqli olaraq, söz mövzusu fenomen bəzən olaraq adlandırılır mürəkkəblik(mürəkkəblik) çoxlu qarşılıqlı təsir göstərən elementlərdən ibarət sistemlərdə baş verir. Uyğunlaşma dinamikanın kəskin sadələşdirilməsi kimi başa düşülürsə, belə sistemlər çox vaxt yalnız dördüncü davranış növünü nümayiş etdirmir, həm də uyğunlaşma xüsusiyyətlərinə malikdir. sistemləriçoxölçülü xaotik dinamika ilə müqayisədə onun təcrid olunmuş elementlərinin məcmusu. Aşağıdakı nümunələr xaosun kənarında olan sistemlərin bir sıra ümumi xüsusiyyətlərini əks etdirir.

Hüceyrə avtomatlarında Həyat Oyunu

Bu mobil avtomatın qaydalar toplusu (yəni sistemin parametrləri) belədir ki, onun davranışı sabitlik və xaos sahələri arasında dar bir zonadadır. Sistem "real" həyat proseslərinə oxşar davranış nümayiş etdirir. Bundan əlavə, “planer” və “katapult” kimi obyektlərin təhlili zamanı “Həyat” oyununun Tyurinq maşınına ekvivalentliyi riyazi şəkildə sübuta yetirilir və bununla da orada universal hesablamalara bərabər proseslərin olması sübuta yetirilir.

bioloji təkamül

Darvinin dövründən bəri bioloqlar təkamülü təbii seçmə prosesi kimi nəzərdən keçirirlər. Bununla belə, ola bilər ki, bioloji nizam qismən təbii seçmə mexanizminin fəaliyyət göstərdiyi kortəbii nizamı əks etdirir. Başqa sözlə desək, morfoloji əlamətlər məkanında təkamül prosesində bütün birləşmələr deyil, yalnız bəzi seçilmiş “cəlbedicilər” toplusu reallaşa bilər. Yəni hər hansı deformasiyanın mümkünlüyünü gözləmək çətindir. Bundan əlavə, belə bir mexanizm təkamül prosesini əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirir. O, icazə verilən hərəkət trayektoriyalarının toplusunu və bununla da bu və ya digər bioloji növlərin meydana çıxması üçün lazımi sayda “iterasiyaları” kəskin şəkildə daraldır. Burada təsadüfi və gradient ekstremum axtarış metodlarının yaxınlaşma dərəcəsi arasında analogiya uyğundur: birinci halda, axtarış dəyişən dəyişikliklərin bütün diapazonunda, ikincidə isə yalnız müəyyən traektoriya boyunca aparılır.

Biologiya nöqteyi-nəzərindən morfoloji imkanlar məkanında hansı növ atraktorların reallaşması o qədər də vacib deyil. Trayektoriyaların axınlarının bəzi məhdud ərazilərə "düşməsi" və bununla da morfoloji xüsusiyyətlər məkanında struktur cəhətdən sabit növlərin adalarını vurğulaması vacibdir. Və cəlbedicilərin özləri lavabolar, dövrələr, qəribə cəlbedicilər və s.

Öz-özünə təşkil edilmiş tənqidilik

Çox sayda qarşılıqlı təsir göstərən elementləri olan sistem təbii olaraq kiçik bir hadisənin fəlakətə səbəb ola biləcəyi kritik bir vəziyyətə çevrilir. Kompozit sistemlərdə fəlakətlərdən daha çox kiçik hadisələr olsa da, bütün ölçülərdə zəncirvari reaksiyalar dinamikanın tərkib hissəsidir. Tənqidilik nəzəriyyəsindən göründüyü kimi, kiçik hadisələr də böyük hadisələrlə eyni mexanizmdən qaynaqlanır. Üstəlik, sistemin tərkib hissələri heç vaxt tarazlığa çatmır, əksinə bir metastabil vəziyyətdən digərinə çevrilir.

Öz-özünə təşkil edilmiş tənqidilik konsepsiyası böyük və kiçik hadisələrin nisbi sayı kimi qlobal xüsusiyyətlərin mikroskopik mexanizmlərdən asılı olmadığını göstərir. Məhz buna görə də sistemin qlobal xüsusiyyətlərini onun hissələrini ayrıca təhlil etməklə başa düşmək olmaz.

Birləşdirilmiş dinamik sistemlərdə uyğunlaşma mexanizmini necə təsəvvür etmək olar? Təkamül tarazlığı modeli (xaosun kənarı) bir növ xaotik sinxronizasiya kimi cazibədar görünür. Həqiqətən, sinxronizasiya prosesi onun cəlbedicisinin ölçüsünü azaltmaqla sistemin dinamikasını kəskin şəkildə asanlaşdırır. Bu, birbaşa sistemin əlaqə dərəcəsi ilə müəyyən edilir - xaosun kənarına hərəkətin "adaptiv mexanizmi" yalnız kifayət qədər güclü əlaqələr olduqda işə salınır.

Xaotik sistemlərlə informasiyanın yaradılması

Aşağı ölçülü sistemlərdə xaosun xüsusiyyətlərinə qayıdaq. Beləliklə, xaotik trayektoriyaların davranışını böyük zaman intervalları üçün proqnozlaşdırmaq mümkün deyil. İlkin şərtlərdən uzaqlaşdıqca trayektoriyalar üzrə hərəkətin proqnozu getdikcə qeyri-müəyyən olur. İnformasiya nəzəriyyəsi nöqteyi-nəzərindən bu o deməkdir ki, sistemin özü məlumat yaradır və informasiyanın yaranma sürəti nə qədər yüksəkdirsə, sistemin xaotikliyi də bir o qədər çox olur. Sistem informasiya yaratdığından sistemin trayektoriyaları da onu ehtiva edir.

düyü. 2. Strukturlaşdırılmamış mətn arxivlərində məlumat axtarmaq üçün texnologiyadan istifadə nümunəsi. Arxiv kimi “Winnie the Pooh and All-All-All” kitabının mətnindən istifadə olunur. Poohun “Niyə arılar bal hazırlayır?” sualına cavab olaraq. sistem "Bal etmək üçün yeganə səbəb onu yeyə bilməyimdir" ifadəsini ehtiva edən bir mətn təklif edir.

Xaosdan istifadə edərək məlumatın qeydə alınması, saxlanması və axtarışı

İndi özümüzə bir sual verək: sistemin trayektoriyasını bizim üçün maraqlı olan simvollar ardıcıllığı şəklində informasiya ilə müqayisə etmək olarmı? Əgər bunu etmək mümkün olsaydı, bəzi trayektoriyalar bizim informasiya ardıcıllığımıza uyğun olardı və onlar sistemin dinamikasını təyin edən tənliklərin həlli ilə əldə edilə bilərdi. İnformasiya ardıcıllığının hər hansı (çox kiçik olmayan) fraqmentini götürsək, ondan verilmiş trayektoriyaya uyğun gələn bütün informasiya ardıcıllığını bərpa etmək üçün istifadə etmək olar. Müxtəlif məlumat ardıcıllığına müxtəlif traektoriyalar uyğun gəlir və onların hər hansı birini onun hər hansı kiçik fraqmentindən bərpa etmək mümkün olur. Beləliklə, sistemdə qeydə alınan bütün məlumatlara assosiativ giriş (məzmun üzrə giriş) həyata keçirilir. Deməli, informasiya dinamik sistemin trayektoriyaları şəklində saxlanılır və saxlanılır və assosiativlik xassələrinə malikdir.

Bu fikir canlı sistemlər tərəfindən məlumatların emalında xaosun necə faydalı ola biləcəyini anlamaq cəhdlərində yaranıb və inkişaf etdirilib. Xaosla dinamik sistemlərin trayektoriyalarından istifadə edərək məlumatın qeydə alınması, saxlanması və əldə edilməsinin fundamental imkanlarını nümayiş etdirən riyazi modellər qurulmuşdur. Bu modellər çox sadə görünürdü və mötəbər beynəlxalq jurnalın eksperti öz rəyində yazırdı: “Bunlar sadəcə oyuncaq modellərdir və onların əsasında nə Şərqdə, nə də Qərbdə heç bir texnologiya yaradıla bilməz”. Bununla belə, tezliklə bu istiqamətdə araşdırmaya görə, nümunənin tanınması üçün Hewlett-Packard müsabiqəsində Böyük Mükafat verildi. “Oyuncaqların” inkişafı ona gətirib çıxardı ki, onların potensial informasiya tutumu İnternetdə mövcud olan bütün məlumatların həcmini əhəmiyyətli dərəcədə üstələyib (RF patenti 2050072, ABŞ patenti ABŞ 5774587). Və hətta təvazökar "pisişki" də orta əsər kolleksiyasına ekvivalent qeydə alınan məlumatların miqdarı ilə dinamik sistemləri sintez etmək mümkün oldu.

düyü. 3. Qeyri-xətti və xətti sistemlərdən ibarət xaos mənbəyi geribildirim döngəsində bağlandı. Sağda: elektron lövhənin görünüşü (yuxarı) və xaotik cəlbedicinin faza portreti (aşağıda). Elektron dövrə elementlərinin parametrlərindəki kiçik dəyişikliklər belə xaotik salınımların təbiətində əhəmiyyətli bir dəyişikliyə səbəb olur.

İnkişaf etdirilmiş texnologiya istənilən növ məlumatı yazmağa, saxlamağa və əldə etməyə imkan verir: şəkillər, mətnlər, rəqəmsal musiqi və nitq, siqnallar və s. Texnologiyadan istifadəyə misal olaraq, assosiativ çıxışı olan FacsData Wizard-a malik şəxsi faks sənəd idarəetmə sistemini göstərmək olar. bütün saxlanılan məlumatların tam avtomatik indeksləşdirilməsi ilə strukturlaşdırılmamış məlumatların arxivlərini yaratmaq.

Lazımi sənədləri axtarmaq üçün istifadəçi tələb olunan sənədin məzmunu ilə bağlı bir neçə sətir mətni ixtiyari formada yazaraq sorğu verir. Cavab olaraq, daxil edilmiş məlumat birmənalı axtarış üçün kifayətdirsə, sistem istədiyiniz sənədi verəcək və ya bir sıra seçimlər təklif edəcəkdir. Lazım gələrsə, tapılan sənədin faks surətini əldə edə bilərsiniz. Sorğuda və mənbə məlumatını mətn məlumatına çevirərkən səhvlərin olması axtarışın keyfiyyətinə ciddi təsir göstərmir. Elektron arxivin yaradılması əlavə disk sahəsi tələb etmir. Qeydə alınmış sənədlərin saxlama qabiliyyəti hətta azala bilər.

Məlumatın ötürülməsi və qorunması

Müasir rabitə sistemlərinin əksəriyyəti informasiya daşıyıcısı kimi harmonik rəqslərdən istifadə edir. Ötürücüdəki məlumat siqnalı bu rəqsləri amplituda, tezlik və ya fazada modullaşdırır və qəbuledicidə məlumat tərs əməliyyatdan - demodulyasiyadan istifadə edərək çıxarılır. Daşıyıcının modulyasiyası ya artıq formalaşmış harmonik rəqslərin modulyasiyası ilə, ya da salınımın formalaşması prosesində generator parametrlərinə nəzarət etməklə həyata keçirilə bilər.

Eynilə, xaotik siqnalı informasiya siqnalı ilə modulyasiya etmək mümkündür. Lakin burada imkanlar daha genişdir. Həqiqətən, harmonik siqnallar vəziyyətində yalnız üç idarə olunan xüsusiyyət (amplituda, faza və tezlik) varsa, xaotik rəqslər vəziyyətində parametrdə kiçik bir dəyişiklik belə verir. etibarlı şəkildə sabitlənmişdir salınımların təbiətinin dəyişməsi. Bu o deməkdir ki, dəyişən parametrləri olan xaos mənbələri informasiya siqnalının xaotik siqnala daxil edilməsi üçün geniş sxemlərə malikdir (yəni, informasiya ilə xaotik siqnalın modulyasiyası). Bundan əlavə, xaotik siqnallar əsasən genişzolaqlıdır, radiotexnikaya maraq ənənəvidir və daha böyük məlumat tutumu ilə əlaqələndirilir. Rabitə sistemlərində həm məlumat ötürmə sürətini artırmaq, həm də pozuntular olduqda sistemlərin dayanıqlığını artırmaq üçün daşıyıcı siqnalların geniş tezlik diapazonundan istifadə olunur.

Son zamanlar peyk, mobil, mobil və fiber-optik çoxistifadəçili rabitə sistemlərinin inkişafı ilə əlaqədar spektr siqnallarının yayılması, burada ötürülən siqnalın bant genişliyi informasiya siqnalının bant genişliyindən çox daha geniş ola bilər.

Xaosa əsaslanan sistemlərin səs-küylü olması və öz-özünə sinxronizasiyası onlara psevdo-təsadüfi ardıcıllığa əsaslanan ənənəvi yayılmış spektrli sistemlərlə müqayisədə potensial üstünlüklər verir. Bundan əlavə, onlar daha çox enerji səmərəliliyi və əməliyyatların daha yüksək sürəti ilə daha sadə aparat tətbiqinə imkan verir.

düyü. dörd. Xaosdan istifadə edən rabitə sxeminin nümunəsi. Ötürücü və qəbulediciyə mənbə kimi eyni qeyri-xətti və xətti sistemlər daxildir. Bundan əlavə, bir toplayıcı ötürücüyə, bir çıxarıcı isə qəbulediciyə daxildir. Toplayıcıda mənbənin xaotik siqnalı və informasiya siqnalı əlavə edilir və qəbuledicinin çıxarıcısı informasiya siqnalını təcrid etmək üçün nəzərdə tutulub. Kanaldakı siqnal xaosa bənzəyir və ötürülən məlumatın görünən əlamətlərini ehtiva etmir, bu da məxfi məlumatların ötürülməsinə imkan verir. Nöqtə siqnalları AMMA və A", B və B" qoşa bərabərdir. Buna görə, bir giriş məlumat siqnalının mövcudluğunda S vericinin toplayıcısının girişində eyni siqnal qəbuledicinin çıxarıcısının çıxışında ayrılacaqdır.

Xaotik siqnalların əhatə dairəsi yayılmış spektr sistemləri ilə məhdudlaşmır. Onlar ötürülən məlumatları maskalamaq üçün istifadə edilə bilər və olmadan spektrin genişlənməsi, yəni məlumatın və ötürülən siqnalların tezlik zolaqları üst-üstə düşdüyü zaman.

Bütün bunlar xaotik kommunikasiya sistemləri üzrə fəal tədqiqatları stimullaşdırdı. Bu günə qədər, xaosa əsaslanaraq, informasiya siqnallarının spektrinin genişləndirilməsi, özünü sinxronlaşdıran qəbuledicilərin qurulması, sadə ötürücü və qəbuledici arxitekturalarının işlənib hazırlanması üçün bir neçə yanaşma təklif edilmişdir. Təklif olunan həllərin əksəriyyətinin ideyası "master sistem" (ötürücü) tərəfindən yaradılan ilkin pozulmamış xaotik siqnalın "qul sistemi" (qəbuledici) ilə sinxronizasiyasına əsaslanır. Belə rabitə sxemlərindən istifadə etməklə həm analoq, həm də rəqəmsal məlumat müxtəlif məlumat axını sürətləri və müxtəlif məxfilik dərəcələri ilə ötürülə bilər. Xaosdan istifadə edən rabitə sxemlərinin digər potensial üstünlüyü, çoxistifadəçili rabitə sistemlərində xüsusilə vacib olan kanalların ayrılması üçün yeni üsulların həyata keçirilməsinin mümkünlüyüdür.

Əgər yaxın vaxtlara qədər problem məxfilik informasiyanın ötürülməsi və daha geniş problem məlumatın qorunmasıəsasən hərbi və xüsusi tətbiqlərə aid idi, indi mülki tətbiqlər bazarı getdikcə daha çox əhəmiyyət kəsb edir. Nümunə olaraq kompüterlərdə və kompüter şəbəkələrində kommersiya məlumatlarının mühafizəsi, elektron ödənişlərin təhlükəsizliyi, CD-ROM-ların, musiqi və video disklərin pirat surətinin çıxarılmasından mühafizə, kompüter şəbəkələri vasitəsilə yayılan musiqi, video və digər məlumatların surətinin çıxarılmasından mühafizə, İnternet telefoniya və s.

Kommersiya məlumatlarının mühafizəsi tələbləri "klassik" olanlardan əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənir. Xüsusilə, tipik tələb kütləvi tətbiqetmə imkanı və "məlumat" məhsullarının vahidinə aşağı qiymətdir. Bundan əlavə, mühafizəyə yanaşmalar da dəyişə bilər. Beləliklə, CD-lərdəki musiqi və video məlumatlarını pirat surətdən qorumaq üçün qeydə alınmış məlumatın "təxribatçı" üçün tamamilə əlçatmaz olmasına ehtiyac yoxdur: sadəcə olaraq, oxutma keyfiyyətini istehlakçı üçün qəbuledilməz səviyyəyə endirmək kifayətdir.

İnformasiya təhlükəsizliyinin bu cür "gündəlik" problemlərini həll edərkən, gələcəkdə deterministik xaosa əsaslanan vasitələrdən uğurla istifadə edilə bilər.

Təbii ki, məqalədə verilən informasiya-kommunikasiya texnologiyalarında xaosdan istifadəyə dair konkret nümunələr ilk növbədə müəllifin və onun çalışdığı kollektivin elmi maraqlarını və baxışlarını əks etdirir. Bununla belə, onlar necə bir fikir verirlər xaos konstruktiv problemləri həll etmək olar.

6. Başqa elmlərdə xaos

Xaos nəzəriyyəsi elmlərin geniş spektrində tətbiq tapır. Ən erkənlərdən biri onun mayelərdə turbulentliyin təhlilinə tətbiqi idi. Mayenin hərəkəti ya laminar (hamar və nizamlı) və ya turbulent (mürəkkəb və nizamsız) olur. Xaos nəzəriyyəsi ortaya çıxmazdan əvvəl iki rəqabətli turbulentlik nəzəriyyəsi var idi. Onlardan birincisi turbulentliyi getdikcə daha çox dövri hərəkətlərin yığılması kimi təmsil edirdi; ikincisi isə standart fiziki modelin tətbiq olunmamasını molekulyar miqyasda mayeni davamlı mühit kimi təsvir etməyin mümkünsüzlüyü ilə izah edirdi. 1970-ci ildə riyaziyyatçılar D. Ruelle və F. Takens üçüncü versiyanı təklif etdilər: turbulentlik mayedə xaosdur. Onların fərziyyələri əvvəlcə olduqca mübahisəli hesab olunurdu, lakin o vaxtdan bir neçə halda, xüsusən də iki fırlanan silindr arasında turbulentliyin inkişafının ilkin mərhələləri üçün təsdiqləndi. İnkişaf etmiş turbulentlik hələ də sirli bir fenomendir, lakin hər hansı bir izahatda xaosun qarşısını almaq mümkün deyil. (hidroaeromexanika)

Günəş sistemindəki hərəkətin də xaotik olduğu bilinir, lakin burada hər hansı bir dəyişikliyin gözlənilməz hala gəlməsi on milyonlarla il çəkir. Xaos bir çox cəhətdən özünü göstərir. Məsələn, Saturnun peyki Hyperion öz planeti ətrafında müntəzəm, proqnozlaşdırıla bilən orbitdə fırlanır, lakin eyni zamanda öz fırlanma oxunun istiqamətini dəyişdirərək xaotik şəkildə sallanır. Xaos nəzəriyyəsi bu uçuruma Saturnun yaratdığı gelgit qüvvələrinin yan təsiri kimi izah edir. Xaos nəzəriyyəsi Mars və Yupiter arasında asteroid qurşağındakı cisimlərin paylanmasını da izah edir. Qeyri-bərabərdir: Günəşdən bəzi məsafələrdə çoxluqlar, digərlərində isə boş boşluqlar var. Onların heliosentrik orbitlərinin həm kondensasiyaları, həm də boş yerləri Yupiterlə “rezonanslar” yaradan məsafələrdə yerləşir. Xaos nəzəriyyəsi göstərir ki, bəzi rezonanslar sabit davranışa (toplamalar), digərləri isə qeyri-sabit davranışa (boş boşluqlar) səbəb olur.

Xaos biologiya və ekologiyada da baş verir. 19-cu əsrin sonlarında heyvan populyasiyalarının nadir hallarda sabit olduğu aşkar edilmişdir; onlar qeyri-müntəzəm olaraq bir-birini əvəz edən sürətli böyümə dövrləri və demək olar ki, tamamilə yox olması ilə xarakterizə olunur. Xaos nəzəriyyəsi göstərir ki, əhalinin dəyişməsinin sadə qanunları təsadüfi xarici təsirlər təqdim etmədən bu dalğalanmaları izah edə bilər. Xaos nəzəriyyəsi həm də epidemiyaların dinamikasını izah edir, yəni. insan orqanizmlərində mikroorqanizmlərin populyasiyalarının dəyişməsi.

Təəssürat yarana bilər ki, xaos nəzəriyyəsinin heç bir faydalı tətbiqi olmamalıdır, çünki xaotik sistemlər gözlənilməzdir. Lakin bu, doğru deyil, birincisi, ona görə ki, xaotik sistemlərin yalnız bəzi aspektləri gözlənilməzdir, ikincisi, nəzəriyyənin faydalılığı birbaşa proqnozlaşdırma qabiliyyəti ilə məhdudlaşmır. Xaos nəzəriyyəsinin ən perspektivli tətbiqləri arasında “xaotik nəzarət” var. 1950-ci ildə J. von Neumann təklif etdi ki, havanın qeyri-sabitliyi bir gün nemətə çevrilə bilər, çünki qeyri-sabitlik istənilən effekti çox kiçik bir pozğunluqla əldə etmək deməkdir. 1990-cı ildə S. Qreboqi, E. Ott və J. York xaotik sistemləri idarə etmək üçün bu tip qeyri-sabitlikdən istifadənin nəzəri sxemini dərc etdilər. Onların sxemi 1985-ci ildə NASA mühəndislərinin Giacobini-Zinner kometini qarşılamaq üçün kosmik zond göndərdiyi metodun ümumi formasıdır. Zond üç cismin qarşılıqlı təsirinin təsadüfiliyindən istifadə edərək Ayı beş dəfə dövrə vurdu ki, bu da aşağı yanacaq sərfiyyatı ilə trayektoriyada böyük dəyişikliklər etməyə imkan verir. Lazer massivinin sinxronizasiyası üçün də eyni üsul tətbiq edilmişdir; "ağıllı" ürək dərəcəsi stimulatoru yaratmaq imkanını açan qeyri-müntəzəm ürək döyüntülərini idarə etmək; xüsusilə epileptik nöbetləri idarə etməyə kömək edə bilən beynin bio cərəyanlarını idarə etmək; nəhayət, turbulent maye axınının laminarlaşdırılması üçün - təyyarənin yanacaq sərfiyyatını azalda bilən bir üsul.

Britaniyalı fiziklər xaosa nizam gətirən sistem yaradıblar

Uorvik Universitetinin britaniyalı fizikləri bir çox təsadüfi dəyişən elementlərdən ibarət mürəkkəb sistemlərdə xaosdan nizamın yaranmasını proqnozlaşdırmağa imkan verən metod hazırlayıblar.

Robert Uiksin rəhbərlik etdiyi elm adamları tədqiqatları zamanı plazma, insan izdihamı və ya quş sürüləri kimi mürəkkəb sistemlərin xaosdan kənar müdaxilə olmadan qəfildən necə nizama keçdiyini anlamağa çalışıblar.

Mütəxəssislər təklif etdilər ki, özünütəşkiletmə nümunələri müxtəlif mürəkkəb sistemlər üçün eyni ola bilər. Buna görə də, böyük heyvan və həşərat qruplarının davranışı haqqında məlum məlumatları əsas götürərək, qarşılıqlı məlumat metodu adlanan yeni riyazi analiz metodunu işləyib hazırladılar.

Bu yeni üsul çox az miqdarda məlumat əsasında nümunələri və korrelyasiyaları müəyyən etməyə imkan verir. Tədqiqatçılar öz metodlarını sınaqdan keçirmək üçün 1990-cı illərdə tanınmış macar biofiziki Tamaş Víçek tərəfindən bakteriya koloniyalarının, sığırğa sürülərinin və ya çəyirtkələrin davranışını təsvir etmək üçün hazırlanmış sadə modeldən istifadə ediblər.

Nəticədə məlum oldu ki, qarşılıqlı məlumatın yeni metodu ənənəvi statistik üsullarla müqayisədə nizamlı vəziyyəti tapmaqda dörd dəfə daha dəqiqdir.

Alimlər yeni metodun birjanın öyrənilməsində faydalı olacağını təklif edirlər. Görünən əlaqələri olmayan şirkətlərin səhmləri eyni qiymət dəyişmələri ilə qarşılaşdıqda baş verən bəzən gözlənilməz korrelyasiyaları izah etməyə kömək edə bilər.

Riyaziyyatçılar epidemiya ilə mübarizənin optimal strategiyasını hesablayıblar

Amerika və İsrail riyaziyyatçıları peyvənd vasitəsilə epidemiya ilə mübarizənin optimal strategiyasını hesablayıblar.

Ənənəvi olaraq, xəstəliyə qarşı mübarizənin ən yaxşı yolunun mümkün qədər çox insanı peyvənd etmək olduğuna inanılır. Alimlər yeni araşdırmada bunun belə olmadığını müəyyən ediblər. Əgər epidemiya dinamik bir proses kimi nəzərdən keçirilirsə, o zaman peyvəndin vaxtı peyvənd edilmiş şəxslərin sayından az əhəmiyyət kəsb etmir.

Xəstəliyin yoluxma, təkrar yoluxma və yayılması proseslərini təsvir etmək üçün ehtimal modelindən istifadə edərək elm adamları müəyyən edə bildilər ki, mövcud peyvəndin sabit miqdarı ilə ən yaxşı strategiya bir sıra intensiv peyvənd tədbirləri keçirməkdir. Məlum oldu ki, belə bir seriya tək bir kütləvi peyvənddən daha səmərəli işləyir.

Alimlərin fikrincə, strategiyanın effektivliyi onunla bağlıdır ki, uzun müddət komandada yoluxmuş insanların sayı kifayət qədər sabit qala bilər. Ardıcıl peyvənd xəstə insanların sabit sayını azaldır və xəstə insanların sayının eksponensial azalmasına səbəb olur.

Alimlər vurğulayırlar ki, onların modeli heç bir xüsusi xəstəliyə bağlı deyil və ən ümumi halda tətbiq oluna bilər. Bu vəziyyətdə əsas çətinlik peyvəndin aparılması üçün lazım olan dövrlərin hesablanmasıdır.

Qarışqa alqoritmləri fəaliyyətdədir

Sakit Okeanın Şimal-Qərb Milli Laboratoriyası kompüter şəbəkələrinin təhlükəsizliyini təhlil etmək üçün yeni yanaşma tapıb. Zərərli proqram təminatı ilə mübarizə üçün “qarışqa alqoritmləri”ndən istifadə etmək təklif edilir.

Alqoritmləri qarışqaların davranışını kopyalayan proqramın köməyi ilə laboratoriya "şəbəkə anomaliyaları"nı tapmağa çalışır.

Qeyri-adi araşdırmaya rəhbərlik edən Glenn Fink, "Qarışqaların özləri ağıllı deyillər, lakin onların koloniyası təəccüblü dərəcədə ağıllı davranış nümayiş etdirə bilər" deyir.

Alimlərin fikrincə, onların proqramı kompüter şəbəkələri üzərində paylanmış və davamlı olaraq məlumat toplayan sensorlardan istifadə edir. Qarışqalar qoxular vasitəsilə qida və ya təhlükə haqqında məlumatı qardaşlarına ötürdüyü kimi, bu sensorlar da toplanmış məlumatları bir-biri ilə paylaşır. Beləliklə, proqram mümkün təhlükəni, məsələn, şəbəkənin geniş miqyaslı infeksiyasını siqnal edən özünəməxsus şəbəkə anomaliyalarını müəyyən edə bilər.

Sensorlar müxtəlif yollarla gəlir - Fink-ə görə, bəziləri kompüterlərin CPU-nun həddindən artıq istifadəsi haqqında məlumat toplaya bilər, digərləri isə şəbəkə trafikini yoxlaya bilər. Bütün qarışqa sensorlarından alınan məlumatları təhlil edən xüsusi proqram blokları - "sentinels" də var.

İnnovativ antivirus kompleksi inkişafın ilkin mərhələsində olsa da, o, artıq bəzi kompüter qurdlarını aşkar etməyə qadirdir. Bununla belə, yaradıcıların fikrincə, onların proqramının süni intellektinin öyrənməli olduğu hələ çox şey var.

Hər şeydən əvvəl xaos nəzəriyyəsi bir nəzəriyyədir. Bu o deməkdir ki, onun əksəriyyəti birbaşa tətbiq olunan bilik kimi deyil, daha çox elmi əsas kimi istifadə olunur. Xaos nəzəriyyəsi dünyada baş verən hadisələrə Nyuton dövründən bəri elmə hakim olan daha ənənəvi ciddi determinist baxışdan fərqli baxmaq üçün çox yaxşı bir üsuldur. Jurassic Park-a baxan tamaşaçılar, şübhəsiz ki, xaos nəzəriyyəsinin insanların dünyanı qavramasına böyük təsir göstərə biləcəyindən qorxurlar və əslində, xaos nəzəriyyəsi elmi məlumatları yeni şəkildə şərh etmək vasitəsi kimi faydalıdır. Ənənəvi X-Y süjetləri əvəzinə, elm adamları indi müəyyən bir zaman nöqtəsində hər hansı bir dəyişənin dəqiq mövqeyini təsvir etmək əvəzinə, sistemin ümumi davranışını təmsil edən kosmik faza diaqramlarını şərh edə bilərlər. Statistik məlumatlara əsaslanan dəqiq bərabərliklərə baxmaq əvəzinə, indi biz statik məlumatlara təbiətcə oxşar davranışa malik dinamik sistemlərə baxa bilərik - yəni. oxşar cəlbedicilərə malik sistemlər. Xaos nəzəriyyəsi elmi biliklərin inkişafı üçün möhkəm çərçivə təmin edir.

Lakin yuxarıda deyilənlərə əsasən, xaos nəzəriyyəsinin real həyatda tətbiqi olmadığı qənaətinə gəlmək olmaz.

Bioloji sistemləri modelləşdirmək üçün xaos nəzəriyyəsi üsullarından istifadə edilmişdir ki, bu da şübhəsiz ki, təsəvvür edilən ən xaotik sistemlərdən biridir. Əhali artımı və epidemiyalardan tutmuş nizamsız ürək döyüntülərinə qədər hər şeyi modelləşdirmək üçün dinamik tənliklər sistemlərindən istifadə edilmişdir.

Əslində, demək olar ki, hər hansı bir xaotik sistem modelləşdirilə bilər - birja dəqiq nisbətlərdən fərqli olaraq qəribə cəlbedicilərlə asanlıqla təhlil edilə bilən əyrilər yaradır; sızan krandan damcıların düşmə prosesi çılpaq qulağa təhlil edildikdə təsadüfi görünür, lakin qəribə bir cəlbedici kimi təsvir edilərsə, ənənəvi vasitələrdən gözləmədiyi fövqəltəbii bir nizam ortaya çıxır.

Fraktallar hər yerdədir, ən çox uğurlu Fractal Design Painter məhsul xətti kimi qrafik proqramlarda görünür. Fraktal məlumatların sıxılma üsulları hələ də inkişaf etdirilir, lakin 600:1 sıxılma nisbətləri kimi heyrətamiz nəticələr vəd edir. Filmlərdəki xüsusi effektlər sənayesi fraktal qrafika texnologiyası olmadan daha az real mənzərə elementlərinə (buludlar, qayalar və kölgələr) malik olardı. Bu gün tədqiqatçıların - əsasən riyaziyyatçıların axtarışı, həlli deterministik xaosa səbəb olan bütün növ qeyri-xətti tənlikləri müəyyən etməyə yönəldilmişdir. Ona fəal maraq onunla bağlıdır ki, onun eyni nümunələri müxtəlif təbiət hadisələri və texniki proseslərdə özünü göstərə bilər: axınlarda turbulentlik, elektron və elektrik şəbəkələrinin qeyri-sabitliyi, canlılar aləmində növlərin qarşılıqlı təsiri, kimyəvi maddələrlə. reaksiyalar və hətta zahirən insan cəmiyyətində. Bu, xaosun fundamental əhəmiyyətini nəzərdə tutur - onun öyrənilməsi böyük ümumiliyə və tətbiqlər üçün geniş imkanlara malik güclü riyazi aparatın yaradılmasına gətirib çıxara bilər. Xaos nəzəriyyəsi təməlindən özünəməxsus şəkildə gedir. Bəlkə də bu, dünyanın universallığını anlamaq üçün yeni, müstəqil bir yoldur!

Və təbii ki, xaos nəzəriyyəsi insanlara bu gün ən populyar olmayan bilik sahələrindən biri olan riyaziyyatla maraqlanmaq üçün təəccüblü maraqlı bir yol verir.

Biblioqrafiya

1. Paytgen H. O., Rixter P. H. “Fraktalların gözəlliyi”.

2. V. İ. Kuvşinov, A. V. Kuzmin “Ölçmə sahələri və deterministik xaos nəzəriyyəsi”

3. Şuster Q. “Deterministik xaos: giriş”.

4. Ruel D. "Təsadüfilik və xaos". - İjevsk: NITs, 2001, 192s.

5. Kronover R.M. «Dinamik sistemlərdə fraktallar və xaos. Nəzəriyyənin əsasları.

6. N. A. Maqnitski və S. V. Sidorov, Xaotik Dinamikanın Yeni Metodları. - M.: Redaksiya URSS, 2004, 320 s.

Xaos nəzəriyyəsinə giriş

Xaos nəzəriyyəsi nədir?

Xaos nəzəriyyəsi, istər rekursiv proses şəklində, istərsə də fiziki sistemi modelləşdirən diferensial tənliklər toplusu şəklində (rekursiya elementlərin öz-özünə oxşar şəkildə təkrarlanması prosesidir) riyazi anlayışlara əsaslanan daim dəyişən mürəkkəb sistemlərin tədqiqidir.

Xaos nəzəriyyəsi haqqında yanlış təsəvvürlər

Geniş ictimaiyyət Jurassic Park kimi filmlər vasitəsilə xaos nəzəriyyəsinə diqqət çəkdi və onların sayəsində xaos nəzəriyyəsinə qarşı getdikcə artan ictimai qorxu var. Bununla belə, mediada işıqlandırılan hər şeydə olduğu kimi, xaos nəzəriyyəsi haqqında da çoxlu yanlış fikirlər var.

Düzdür, xaos nəzəriyyəsi kiçik dəyişikliklərin böyük nəticələrə səbəb ola biləcəyini iddia edir. Lakin nəzəriyyədə mərkəzi anlayışlardan biri sistemin vəziyyətini dəqiq proqnozlaşdırmağın mümkünsüzlüyüdür. Ümumiyyətlə, sistemin ümumi davranışının modelləşdirilməsi vəzifəsi olduqca mümkündür, hətta sadədir. Beləliklə, xaos nəzəriyyəsi sistemin pozğunluğuna - sistemin irsi gözlənilməzliyinə deyil, onun miras qoyduğu nizama - oxşar sistemlərin ümumi davranışına diqqət yetirir.

Beləliklə, xaos nəzəriyyəsinin nizamsızlıqla bağlı olduğunu söyləmək düzgün olmazdı. Bunu misalla göstərmək üçün Lorenz attraksionunu götürək. Üç diferensial tənliyə, üç sabitə və üç ilkin şərtə əsaslanır.

Bozukluq haqqında xaos nəzəriyyəsi

Attraksion hər hansı bir zamanda qazın davranışını təmsil edir və onun müəyyən bir andakı vəziyyəti, veriləndən əvvəlki dövrlərdəki vəziyyətindən asılıdır. Giriş məlumatları hətta çox kiçik qiymətlərlə dəyişdirilərsə, məsələn, bu dəyərlər kifayət qədər kiçikdir ki, onlar Avogadro nömrəsinə fərdi atomların töhfəsinə uyğundur (bu, sifarişin dəyərlərinə nisbətən çox kiçik bir rəqəmdir). 1024), cəlbedicinin vəziyyətini yoxlamaq tamamilə fərqli rəqəmləri göstərəcəkdir. Bunun səbəbi, kiçik fərqlərin rekursiya ilə böyüdülməsidir.

Bununla belə, buna baxmayaraq, cəlbedici qrafik olduqca oxşar görünəcəkdir. Hər iki sistem istənilən vaxt tamamilə fərqli dəyərlərə sahib olacaq, lakin cəlbedici qrafik eyni qalacaq, çünki sistemin ümumi davranışını ifadə edir.

Xaos nəzəriyyəsi deyir ki, mürəkkəb qeyri-xətti sistemlər irsi olaraq gözlənilməzdir, lakin eyni zamanda, xaos nəzəriyyəsi iddia edir ki, belə gözlənilməz sistemləri ifadə etmək yolu dəqiq bərabərliklərdə deyil, sistemin davranışının təsvirlərində - qrafiklərdə doğru olur. qəribə cəlbedicilərin və ya fraktalların. Beləliklə, çoxlarının gözlənilməzlik kimi düşündüyü xaos nəzəriyyəsi, eyni zamanda, hətta ən qeyri-sabit sistemlərdə belə proqnozlaşdırıla bilənlik elminə çevrilir.

Xaos nəzəriyyəsinin real dünyaya tətbiqi

Yeni nəzəriyyələr ortaya çıxanda hər kəs onların nəyin yaxşı olduğunu bilmək istəyir. Bəs xaos nəzəriyyəsinin yaxşı tərəfi nədir? Hər şeydən əvvəl xaos nəzəriyyəsi bir nəzəriyyədir. Bu o deməkdir ki, onun əksəriyyəti birbaşa tətbiq olunan bilik kimi deyil, daha çox elmi əsas kimi istifadə olunur. Xaos nəzəriyyəsi dünyada baş verən hadisələrə Nyuton dövründən bəri elmə hakim olan daha ənənəvi ciddi determinist baxışdan fərqli baxmaq üçün çox yaxşı bir üsuldur. Jurassic Park-a baxan tamaşaçılar, şübhəsiz ki, xaos nəzəriyyəsinin insanların dünyanı qavramasına böyük təsir göstərə biləcəyindən qorxurlar və əslində, xaos nəzəriyyəsi elmi məlumatları yeni şəkildə şərh etmək vasitəsi kimi faydalıdır. Ənənəvi X-Y süjetləri əvəzinə, elm adamları indi müəyyən bir zaman nöqtəsində hər hansı bir dəyişənin dəqiq mövqeyini təsvir etmək əvəzinə, sistemin ümumi davranışını təmsil edən kosmik faza diaqramlarını şərh edə bilərlər. Statistik məlumatlara əsaslanan dəqiq bərabərliklərə baxmaq əvəzinə, indi biz statik məlumatlara təbiətcə oxşar davranışa malik dinamik sistemlərə baxa bilərik - yəni. oxşar cəlbedicilərə malik sistemlər. Xaos nəzəriyyəsi elmi biliklərin inkişafı üçün möhkəm çərçivə təmin edir.

Lakin yuxarıda deyilənlərə əsasən, xaos nəzəriyyəsinin real həyatda tətbiqi olmadığı qənaətinə gəlmək olmaz.

Bioloji sistemləri modelləşdirmək üçün xaos nəzəriyyəsi üsullarından istifadə edilmişdir ki, bu da şübhəsiz ki, təsəvvür edilən ən xaotik sistemlərdən biridir. Əhali artımı və epidemiyalardan tutmuş nizamsız ürək döyüntülərinə qədər hər şeyi modelləşdirmək üçün dinamik tənliklər sistemlərindən istifadə edilmişdir.

Əslində, demək olar ki, hər hansı bir xaotik sistem modelləşdirilə bilər - birja dəqiq nisbətlərdən fərqli olaraq qəribə cəlbedicilərlə asanlıqla təhlil edilə bilən əyrilər yaradır; sızan krandan damcıların düşmə prosesi çılpaq qulağa təhlil edildikdə təsadüfi görünür, lakin qəribə bir cəlbedici kimi təsvir edilərsə, ənənəvi vasitələrdən gözləmədiyi fövqəltəbii bir nizam ortaya çıxır.

Fraktallar hər yerdədir, ən çox uğurlu Fractal Design Painter məhsul xətti kimi qrafik proqramlarda görünür. Fraktal məlumatların sıxılma üsulları hələ də inkişaf etdirilir, lakin 600:1 sıxılma nisbətləri kimi heyrətamiz nəticələr vəd edir. Filmlərdəki xüsusi effektlər sənayesi fraktal qrafika texnologiyası olmadan daha az real mənzərə elementlərinə (buludlar, qayalar və kölgələr) malik olardı.

Fizikada fraktallar təbii olaraq qeyri-xətti proseslərin modelləşdirilməsi zamanı yaranır, məsələn, turbulent maye axını, mürəkkəb diffuziya-adsorbsiya prosesləri, alovlar, buludlar və s. Fraktallar məsaməli materialların modelləşdirilməsi zamanı, məsələn, neft kimyasında istifadə olunur. Biologiyada onlar populyasiyaları modelləşdirmək və daxili orqanların sistemlərini (qan damarları sistemi) təsvir etmək üçün istifadə olunur.

Və təbii ki, xaos nəzəriyyəsi insanlara bu gün ən populyar olmayan bilik sahələrindən biri olan riyaziyyatla maraqlanmaq üçün təəccüblü maraqlı bir yol verir.

FRAKTALLAR VƏ XAOS NƏZƏRİYYƏSİ

İvan Tuqoy

BÖLMƏ 1: ÜMUMİ MƏLUMAT

FRAKTALLAR VƏ ƏTRAFIMIZDAKİ DÜNYA

Fraktallar xaotik dünyanın gözlənilməz hərəkətləri nəticəsində yaranan unikal obyektlərdir. Onlar hüceyrə membranı qədər kiçik və günəş sistemi qədər böyük yerlərdə olur.

Traxeya borularının, ağacların yarpaqlarının, qoldakı damarların, çayın çalkalanması və əyilməsi, birja - bunların hamısı fraktallardır. Qədim sivilizasiyaların nümayəndələrindən tutmuş Maykl Ceksona qədər elm adamları, riyaziyyatçılar və rəssamlar bu planetin bütün digər sakinləri kimi fraktallara heyran olmuş və öz işlərində onlardan istifadə etmişlər.

Proqramçılar və kompüter alimləri də fraktallara dəli olurlar, çünki sadə ev kompüterlərində sadə düsturlarla sonsuz mürəkkəblik və gözəllik fraktalları yaradıla bilər. Fraktalların kəşfi incəsənətin, elmin və riyaziyyatın yeni estetikasının kəşfi, eləcə də insanın dünyanı qavrayışında inqilab idi.

FRAKTALLAR NƏDİR?

"Fraktal" sözü bu günlərdə fiziklərdən tutmuş orta məktəb şagirdlərinə qədər bir çox insanın danışdığı bir şeydir. Bir çox riyaziyyat dərsliklərinin, elmi jurnalların və kompüter proqram qutularının üz qabığında görünür. Fraktalların rəngli şəkillərinə bu gün hər yerdə rast gəlmək olar: açıqcalardan tutmuş köynəklərə qədər. Son iki onillikdə ayda istehsal olunan fraktalla əlaqəli vahidlərin sayı bir neçə onlarla ədəddən minlərlə artıb!

Yaxşı, ətrafda gördüyümüz bu rəngli fiqurlar hansılardır? Sadə dillə desək, fraktal həndəsi fiqurdur, onun müəyyən hissəsi dəfələrlə təkrarlanır, ölçüsü dəyişir. Buradan özünəbənzərlik prinsipi irəli gəlir. Bütün fraktallar özlərinə bənzəyir, yəni bütün səviyyələrdə oxşardırlar. Fraktalların bir çox növləri var və onların kifayət qədər çoxu burada təsvir edilmişdir.

Bununla belə, fraktallar təkcə kompüterlər tərəfindən yaradılan mürəkkəb formalar deyil. Təsadüfi və yanlış görünən hər şey fraktal ola bilər. Nəzəri olaraq deyə bilərik ki, real dünyada mövcud olan hər şey, istər bulud olsun, istərsə də kiçik oksigen molekulu olsun, fraktaldır.

XAOS NECƏ XAOTİKDİR?

Fraktallar həmişə xaos sözü ilə əlaqələndirilir. Şəxsən mən fraktalları xaos hissəcikləri kimi təyin edərdim. Fraktallar xaotik davranış nümayiş etdirirlər ki, bu da onları çox xaotik və təsadüfi göstərir. Ancaq kifayət qədər yaxından baxsanız, fraktalda özünə bənzərliyin bir çox aspektlərini görə bilərsiniz. Məsələn, bir ağaca baxın, sonra müəyyən bir budaq seçin və onu yaxından öyrənin. İndi bir neçə yarpaqdan bir dəstə seçin. Fraktal alimlərə (bəzən xaoloqlar da deyirlər) bu obyektlərin hər üçü eyni görünür.

Xaos sözü insanların çoxunu xaotik və gözlənilməz bir şey haqqında düşünməyə vadar edir. Əslində bu doğru deyil. Beləliklə, xaos nə qədər xaotikdir? Cavab budur ki, xaos əslində kifayət qədər nizamlıdır və müəyyən qanunlara tabedir. Problem ondadır ki, bu qanunları tapmaq çox çətin ola bilər. Xaos və fraktalların öyrənilməsinin məqsədi sistemlərdə gözlənilməz və tamamilə xaotik görünə bilən nümunələri proqnozlaşdırmaqdır.

Sistem şeylər toplusudur və ya tədqiqat sahəsidir və xaoloqların öyrənməyi xoşladıqları bəzi ümumi sistemlərə bulud birləşmələri, hava şəraiti, su axınlarının hərəkəti, heyvanların miqrasiyaları və Ana Təbiətin həyatının bir çox digər aspektləri daxildir. Beləliklə, bəlkə də ətrafımızdakı bütün dünya fraktaldır!

21-ci ƏSRİN HƏNDƏSİ

Bir çox xaoloqlar üçün xaos və fraktalların öyrənilməsi təkcə riyaziyyatı, nəzəri fizikanı, incəsənəti və kompüter texnologiyasını birləşdirən yeni bilik sahəsi deyil - bu, inqilabdır. Bu, həndəsənin yeni bir növünün, bizi əhatə edən dünyanı təsvir edən və təkcə dərsliklərdə deyil, həm də təbiətdə və sonsuz kainatın hər yerində görünə bilən həndəsənin kəşfidir.

Çoxlarının fraktalların atası adlandırdığı bu yeni bilik sahəsində qabaqcıl fransız-amerikalı riyaziyyatçı professor Benoit B. Mandelbrot olmuşdur. 1960-cı illərin ortalarında, onilliklər boyu araşdırma və araşdırmalardan sonra Mandelbrot fraktal həndəsə və ya təbiətin həndəsəsi adlandırdığı şeyi inkişaf etdirdi (o, bu barədə özünün bestseller olan "Təbiətin fraktal həndəsəsi"ni yazdı). Fraktal həndəsənin məqsədi qırıq, qırışmış və qeyri-səlis formaları təhlil etmək idi. Mandelbrot fraktal sözündən istifadə etdi, çünki bu formaların parçalanmasını və qruplaşmasını təklif edirdi.

Bu gün Mandelbrot və Clifford A. Pickover, James Gleick və ya H.O. Peitgen kimi digər elm adamları fraktal həndəsənin əhatə dairəsini genişləndirməyə çalışırlar ki, o, dünyada demək olar ki, hər şeyə tətbiq olunsun. nəzəri fizikada yeni kəşflər.

FRAKTALLARIN PRAKTİK TƏTBİQİ

Fraktallar elmdə getdikcə daha çox tətbiq tapır. Bunun əsas səbəbi onların real dünyanı bəzən ənənəvi fizika və ya riyaziyyatdan daha yaxşı təsvir etmələridir. Budur bəzi nümunələr:

KOMPUTER SİSTEMLERİ

Kompüter elmində fraktalların ən faydalı istifadəsi fraktal məlumatların sıxılmasıdır. Bu sıxılma növü real dünyanın fraktal həndəsə ilə yaxşı təsvir edilməsinə əsaslanır. Eyni zamanda, şəkillər adi üsullarla (jpeg və ya gif kimi) edildiyindən daha yaxşı sıxılır. Fraktal sıxılmanın digər üstünlüyü ondan ibarətdir ki, şəkil böyüdüldükdə pikselləşmə effekti yoxdur (nöqtələrin ölçüsünü təsviri təhrif edən ölçülərə qədər artırmaq). Fraktal sıxılma ilə, böyüdükdən sonra şəkil tez-tez əvvəlkindən daha yaxşı görünür.

MAYE MEXANİKASI

Axınlarda turbulentliyin öyrənilməsi fraktallara çox yaxşı uyğunlaşır. Turbulent axınlar xaotikdir və buna görə də dəqiq modelləşdirmək çətindir. Və burada fraktal təmsilə keçid kömək edir ki, bu da mühəndislərin və fiziklərin işini xeyli asanlaşdırır, mürəkkəb axınların dinamikasını daha yaxşı başa düşməyə imkan verir.

Fraktallardan istifadə etməklə alovlar da modelləşdirilə bilər.

Məsaməli materiallar çox mürəkkəb həndəsə malik olduqlarına görə fraktal formada yaxşı təmsil olunurlar. Neft elmində istifadə olunur.

TELEKOMUNİKALAR

Məsafələrə məlumat ötürmək üçün fraktal formalı antenalardan istifadə olunur ki, bu da onların ölçüsünü və çəkisini xeyli azaldır.

Səthlərin FİZİKASI

Fraktallar səthlərin əyriliyini təsvir etmək üçün istifadə olunur. Qeyri-bərabər bir səth iki fərqli fraktalın birləşməsi ilə xarakterizə olunur.

DƏRMAN

Biosensorların qarşılıqlı əlaqəsi

ürək döyüntüsü

BİOLOGİYA

Xaotik proseslərin modelləşdirilməsi, xüsusən də populyasiya modellərinin təsvirində.

FRAKTAL ÖLÇÜ: GİZLİ ÖLÇÜLƏR

Fraktal həndəsənin kəşfindən yaranan fikirlərdən biri kosmosdakı ölçülərin sayı üçün tam olmayan dəyərlər ideyası idi. Əlbəttə ki, biz 4D şeylərdən xəbərdar ola bilmərik, baxmayaraq ki, Lucky Tesseract bu istiqamətdə fəal işləyir. Mandelbrot 2.76 fraktal ölçülər kimi tam olmayan ölçüləri adlandırdı. Adi Evklid həndəsəsi fəzanın düz və düz olduğunu bildirir. Belə bir məkanın belə bir məkanının xüsusiyyətləri nöqtələr, xətlər, bucaqlar, üçbucaqlar, kublar, kürələr, tetraedrlər və s.

Mandelbrot hesab edirdi ki, kosmosun faktiki mənzərəsi düz deyil və bizim dünyamızda tamamilə düz, dairəvi, yəni hər şey fraktal olacaq heç bir şey yoxdur. Deməli, tam olaraq 3 ölçüsü olan bir cismin olması qeyri-mümkündür. Buna görə də fraktal ölçü anlayışı şeylərin nə qədər qeyri-bərabər olduğunu ölçmək üçün lazım idi.

Məsələn, topa büzülmüş bir kağız parçasına (tutaq ki, iki ölçülüdür) baxın. İki ölçülüdür? Xeyr, çünki uzunluğu, eni və hündürlüyü var. Amma o, üçölçülü də ola bilməz, çünki o, bir sonsuz nazik təbəqədən hazırlanıb və bundan əlavə, tamamilə vahid deyil. Beləliklə, onun fraktal ölçüsü təxminən 2,5-ə bərabərdir. Lakin onun Evklid ölçüsü də adlandırılan normal ölçüsü 3 olacaq. Bütün fraktalların, xüsusən də fraktal əyrilərin fraktal ölçüləri var. Mandelbrot tez-tez İngiltərənin sahil xəttinin uzunluğunun sonsuz olduğunu misal çəkirdi.

Atlasda İngiltərənin sahil zolağına bir ip çəkməyə çalışın. Sonra dəniz xəritəsi ilə eyni şeyi edin. Təəccüblüdür ki, son ölçmənin dəyəri daha böyük olacaqdır. Sonra İngiltərəyə gedin və onun sahil xəttini metrlik şelflə ölçün. Bu uzunluq daha da uzun olacaq. Əlinizdə sahil xəttini parça-parça, atom-atom ölçə biləcəyiniz bir rəsm hökmdarı olana qədər bu prosesi davam etdirin. Əlbəttə ki, bu praktiki təcrübənin arxasında duran fikir ondan ibarətdir ki, məsafələr miqyas, mövqe və təfərrüat baxımından mütənasib olmalıdır. Daha sonra Mandelbrot müəyyən etdi ki, İngiltərənin sahil xəttinin fraktal ölçüsü 1,25-dir.

Təbiətdəki bir çox cisim (məsələn, insan bədəni) bir-biri ilə qarışmış çoxlu fraktallardan ibarətdir və hər fraktalın digərlərindən fərqli öz ölçüsü var. Məsələn, insanın damar sisteminin ikiölçülü səthi elə əyilir, budaqlanır, bükülür və büzülür ki, onun fraktal ölçüsü 3,0-dır. Ancaq ayrı-ayrı hissələrə bölünsəydi, arteriyaların fraktal ölçüsü cəmi 2,7, ağciyərlərdə bronxial yolların isə 1,07 fraktal ölçüsü olardı.

BÖLMƏ 2: DETERMINİST FRAKTALLAR

ÜMUMİ XÜSUSİYYƏTLƏR

İlk açıq fraktallar sözdə idi. deterministik fraktallar. Onların fərqləndirici xüsusiyyəti, onların nəslinin metodunun xüsusiyyətlərinə görə öz-özünə oxşarlıq xüsusiyyətidir.

Bəziləri bu fraktalları klassik, həndəsi fraktallar və ya xətti fraktallar adlandırmağa üstünlük verirlər. Bu fraktallar adətən təşəbbüskardan - müəyyən bir əsas nümunənin tətbiq olunduğu nümunədən başlayaraq formalaşır. Bütün deterministik fraktallarda özünəbənzərlik bütün səviyyələrdə özünü göstərir. Bu o deməkdir ki, fraktalı nə qədər böyütsəniz də, yenə də eyni nümunəni görəcəksiniz. Daha sonra müzakirə ediləcək mürəkkəb fraktallar üçün bu belə deyil. Deterministik fraktallar iterasiya adlanan prosesdə əmələ gəlir ki, bu proses əsas nümunəni inisiatora tətbiq edir, sonra onu nəticəyə tətbiq edir və s. Əksər insanlar aydın, gözəl bir şəkil əldə etmək üçün deterministik fraktalları 5-7 dəfə təkrarlayırlar. Bu fraktallar xəttidir, çünki hər təkrarlama ilə düz xətlər şəklində bir şey çıxarılır və ya əlavə olunur. Aşağıda sadə BASIC proqramları ilə adi kompüterdə yaradılan bəzi ümumi deterministik fraktalların nümunələri verilmişdir.

SIERPINSKI GRID

Bu, Mandelbrotun fraktal ölçülər və iterasiya anlayışlarını inkişaf etdirərkən sınaqdan keçirdiyi fraktallardan biridir. Daha böyük üçbucağın orta nöqtələrini birləşdirərək əmələ gələn üçbucaqlar əsas üçbucaqdan kəsilir və daha çox deşiklərlə üçbucaq əmələ gəlir. Bu halda, təşəbbüskar böyük üçbucaqdır və şablon daha böyük olana bənzər üçbucaqları kəsmək üçün bir əməliyyatdır. Siz həmçinin adi tetraedrdən istifadə etməklə və daha kiçik tetraedri kəsməklə üçbucağın 3D versiyasını əldə edə bilərsiniz. Belə fraktalın ölçüsü ln3/ln2 = 1,584962501-dir.

Sierpinski xalçasını almaq üçün bir kvadrat götürürük, onu doqquz kvadrata bölürük və ortasını kəsirik. Qalanları, daha kiçik kvadratlarla eyni şeyi edəcəyik. Sonda sahəsi olmayan, lakin sonsuz əlaqələri olan düz fraktal şəbəkə əmələ gəlir. Məkan şəklində, Sierpinski süngəri, hər bir keçid elementinin daim öz növü ilə əvəz olunduğu formalar sisteminə çevrilir. Bu quruluş sümük toxumasının bir hissəsinə çox bənzəyir. Nə vaxtsa belə təkrarlanan strukturlar tikinti strukturlarının elementinə çevriləcək. Mandelbrot hesab edir ki, onların statikası və dinamikası yaxından öyrənilməyə layiqdir.

Sierpinski fraktal

Bu fraktalı Sierpinski qəfəsi ilə qarışdırmayın. Bunlar tamamilə fərqli iki obyektdir. Bu fraktalda təşəbbüskar və generator eynidir. Hər bir iterasiya ilə generatorun hər küncünə təşəbbüskarın daha kiçik bir nüsxəsi əlavə olunur və s. Əgər bu fraktal yaratarkən sonsuz sayda təkrarlamalar aparılsaydı, o, bir dənə də olsun deşik qoymadan bütün müstəvini tutacaqdı. Buna görə də onun fraktal ölçüsü ln9/ln3 = 2.0-dır

KOCH ƏYRISI

Koch əyrisi ən tipik deterministik fraktallardan biridir. On doqquzuncu əsrdə Helge von Koch adlı bir alman riyaziyyatçısı tərəfindən icad edilmişdir, o, Georg Kontor və Karl Weierstraße-nin işlərini öyrənərkən qeyri-adi davranışları olan bəzi qəribə əyrilərin təsvirlərinə rast gəldi. Təşəbbüskar - birbaşa xətt. Generator bərabərtərəfli üçbucaqdır, tərəfləri daha böyük seqmentin uzunluğunun üçdə birinə bərabərdir. Bu üçbucaqlar hər seqmentin ortasına təkrar-təkrar əlavə edilir. Mandelbrot öz tədqiqatında Kox əyriləri ilə çoxlu təcrübələr aparmış və tetraedrondan istifadə edərək və onun hər üzünə daha kiçik tetraedrlər əlavə etməklə Kox adaları, Kox xaçları, Kox qar dənələri kimi fiqurları və hətta Kox əyrisinin üçölçülü təsvirlərini əldə etmişdir. Koch əyrisi ln4/ln3 = 1,261859507 ölçüsünə malikdir.

Koch xaç Mandelbrot tərəfindən icad edilən Koch əyrisinin bir variantıdır. Düz xətt seqmenti əvəzinə o, təşəbbüskar kimi kvadrat və ya düzbucaqlıdan istifadə etdi. Bu fraktal orijinal Koch əyrisi ilə eyni ideyadan istifadə etdiyi üçün onun fraktal ölçüsü eynidir: ln4/ln3 = 1,261859507.

Fraktal Mandelbrot

Bu, tez-tez gördüyünüz Mandelbrot dəsti DEYİL. Mandelbrot çoxluğu qeyri-xətti tənliklərə əsaslanır və mürəkkəb fraktaldır. Bu obyektin ona bənzəməməsinə baxmayaraq, bu da Koch əyrisinin bir variantıdır. Təşəbbüskar və generator da Koch əyrisi prinsipi əsasında fraktallar yaratmaq üçün istifadə edilənlərdən fərqlidir, lakin ideya eyni qalır. Əyri seqmentə bərabərtərəfli üçbucaqlar əlavə etmək əvəzinə kvadratlar kvadrata yapışdırılır. Bu fraktal hər iterasiyada ayrılmış yerin tam yarısını tutduğuna görə, 3/2 = 1,5 sadə fraktal ölçüsünə malikdir.

FRAKTALLAR ULDUZ VƏ QAR DƏNƏCƏSİ

Bu obyektlərin hər ikisi klassik fraktallar deyil və onlar Mandelbrot və ya məşhur riyaziyyatçıların heç biri tərəfindən icad edilməmişdir. Mən sadəcə olaraq bu fraktalları maraq və proqramlaşdırma ilə təcrübə üçün yaratdım. Burada həm təşəbbüskar, həm də generator müntəzəm altıbucaqlıda tərəflərin orta nöqtələrini əks tərəflərin orta nöqtələri ilə birləşdirərək əmələ gələn fiqurdur. Üstəlik, mən yalnız bu fraktalların ölçüsündən şübhə edə bilərəm.

Kolbasa MİNKOWSKI

Bu fraktalın müəllifi onun adını daşıyan Hermann Minkovskidir. Minkowski bu obyektin adı üçün kolbasa termini təklif etməyib. Əyri və ya sadəcə fraktal sözü daha yaxşı ola bilərdi. Həm təşəbbüskar, həm də generator kifayət qədər mürəkkəbdir və bir sıra düz bucaqlardan və müxtəlif uzunluqlu seqmentlərdən ibarətdir. Təşəbbüskarın özü 8 hissədən ibarətdir. Minkowski kolbasasının fraktal ölçüsü ln8/ln4 = 1,5-dir.

FRAKTAL LABİRİNT

Bu fraktala bəzən H-ağacı da deyilir. Həm təşəbbüskar, həm də generator H hərfi şəklindədir. Burada göstərilən nümunədə H özü doldurulmur. Əvəzində fraktalın xaricindəki sahələr doldurulur ki, bu da naxış və naxışın qavranılmasını asanlaşdırır. Bu fraktalın fraktal ölçüsü olduqca maraqlıdır. İterasiyalar zamanı H qalınlığı azaldığından, H hərfinin uclarının ölçüsü tam olaraq 2,0-dır, lakin uclar arasındakı elementlər 1,3333 ilə 1,6667 arasında dəyişən fərqli bir ölçüyə malikdir.

DARER PENTAGON

Fraktal bir-birinə sıxılmış beşbucaqlı dəstə kimi görünür. Əslində, o, təşəbbüskar kimi beşbucaqlı və ikitərəfli üçbucaqlardan istifadə etməklə əmələ gəlir, ən böyük tərəfin ən kiçiyinə nisbəti generator kimi qızıl nisbət adlanana (1,618033989 və ya 1/(2cos72)) tam olaraq bərabərdir. . Bu üçbucaqlar hər beşbucaqlının ortasından kəsilir, nəticədə bir böyükə yapışdırılmış 5 kiçik beşbucaq kimi görünən bir forma əldə edilir.

Bu fraktalın bir variantı altıbucaqlıdan təşəbbüskar kimi istifadə etməklə əldə edilə bilər. Bu fraktal Davud Ulduzu adlanır və Koch's Snowflake-in altıbucaqlı versiyasına olduqca bənzəyir. Darer beşbucağının fraktal ölçüsü ln6/ln(1+g), burada g üçbucağın böyük tərəfinin uzunluğunun kiçik tərəfin uzunluğuna nisbətidir. Bu halda, g Qızıl Nisbətdir, ona görə də fraktal ölçü təxminən 1,86171596-dır. Davud Ulduzunun fraktal ölçüsü ln6/ln3 və ya 1,630929754-dür.

Əjdaha Əyrisi

İtalyan riyaziyyatçısı Cüzeppe Peano tərəfindən icad edilən Əjdaha Əyrisi və ya Əjdaha Süpürgəsi Minkovski kolbasasına çox bənzəyir. Daha sadə bir təşəbbüskar istifadə olunur, lakin generator eynidır. Mandelbrot bu fraktalı Qoşa Əjdaha çayı adlandırdı. Onun fraktal ölçüsü təxminən 1,5236-a bərabərdir.

HİLBERT ƏYRISI

Generator olan U hərfinin eninin hər təkrarlama ilə dəyişməməsi istisna olmaqla, bu fraktal Labirint Fraktalına çox bənzəyir. Bununla belə, Labirint Fraktalından fərqli olaraq, Hilbert Oteli də adlandırılan Hilbert Əyrisi, sonsuz sayda iterasiya ilə bütün müstəvini tutacağı üçün tam olaraq 2.0 olan bir fraktal ölçüsünə malikdir.

FRAKTAL QUTU

Bu, digər kvadratların təpələrinə kvadratlar əlavə etməklə əmələ gələn çox sadə deterministik fraktaldır. Həm təşəbbüskar, həm də generator kvadratlardır. Onun fraktal ölçüsü ln8/ln3 və ya 1,892789261-dir.

BÖLMƏ 3: KOMPLEKS FRAKTALLAR

ÜMUMİ XÜSUSİYYƏTLƏR

Bu gün rast gəlinən fraktalların əksəriyyəti deterministik deyil. Onlar xətti deyil və təkrarlanan həndəsi formalardan yığılmırlar. Belə fraktallara kompleks deyilir.

Əslində, hər hansı bir mürəkkəb fraktalın kiçik bir sahəsini böyütsəniz və sonra həmin sahənin kiçik bir sahəsində eyni şeyi etsəniz, iki böyütmə bir-birindən əhəmiyyətli dərəcədə fərqli olacaqdır. İki şəkil təfərrüat baxımından çox oxşar olacaq, lakin onlar tamamilə eyni olmayacaq.

Məsələn, burada göstərilən Mandelbrot dəstinin şəkillərini müqayisə edin, onlardan biri digərinin bəzi sahəsini artırmaqla əldə edilmişdir. Gördüyünüz kimi, onlar tamamilə eyni deyillər, baxmayaraq ki, hər ikisində alovlu çadırların müxtəlif istiqamətlərə getdiyi qara dairəni görürük. Bu elementlər azalan nisbətdə Mandelbrot dəstində qeyri-müəyyən müddətə təkrarlanır.

Deterministik fraktallar xətti, mürəkkəb fraktallar isə xəttidir. Qeyri-xətti olduğundan, bu fraktallar Mandelbrotun qeyri-xətti cəbri tənliklər adlandırdıqları ilə yaradılır. Yaxşı bir nümunə, ikinci dərəcəli Mandelbrot və Julia çoxluqlarını qurmaq üçün istifadə olunan tənlik olan Zn+1=ZnІ + C prosesidir. Bu riyazi tənliklərin həlli mürəkkəb və xəyali ədədləri əhatə edir. Tənlik mürəkkəb müstəvidə qrafik şəkildə şərh edildikdə, nəticədə düz xətlərin əyrilərə çevrildiyi qəribə bir fiqur yaranır, deformasiyalar olmadan olmasa da, müxtəlif miqyas səviyyələrində özünəbənzərlik effektləri görünür. Eyni zamanda, bütövlükdə bütün mənzərə gözlənilməz və çox xaotikdir.

Şəkillərə baxaraq gördüyünüz kimi mürəkkəb fraktallar həqiqətən çox mürəkkəbdir və kompüterin köməyi olmadan yaratmaq mümkün deyil. Rəngarəng nəticələr əldə etmək üçün bu kompüterdə güclü riyaziyyat koprosessoru və yüksək keyfiyyətli monitor olmalıdır. Deterministik fraktallardan fərqli olaraq mürəkkəb fraktallar 5-10 iterasiyada hesablanmır. Kompüter ekranındakı demək olar ki, hər bir nöqtə ayrı bir fraktal kimidir. Riyazi emal zamanı hər bir nöqtəyə ayrıca nümunə kimi baxılır. Hər bir nöqtə müəyyən bir dəyərə uyğundur. Tənlik hər bir nöqtə üçün qurulur və məsələn, 1000 iterasiya yerinə yetirilir. Ev kompüterləri üçün məqbul olan vaxt intervalında nisbətən təhrif edilməmiş bir görüntü əldə etmək üçün bir nöqtə üçün 250 iterasiya etmək mümkündür.

Bu gün gördüyümüz fraktalların əksəriyyəti gözəl rəngdədir. Bəlkə də fraktal təsvirlər məhz rəng sxemlərinə görə belə böyük estetik dəyər qazanıblar. Tənlik hesablandıqdan sonra kompüter nəticələri təhlil edir. Nəticələr sabit qalırsa və ya müəyyən bir dəyər ətrafında dəyişirsə, nöqtə adətən qara olur. Bu və ya digər addımdakı dəyər sonsuzluğa meyllidirsə, nöqtə fərqli bir rəngə, bəlkə də mavi və ya qırmızıya boyanır. Bu proses zamanı kompüter bütün hərəkət sürətlərinə rənglər təyin edir.

Adətən, sürətli hərəkət edən nöqtələr qırmızı, daha yavaş olanlar isə sarı rəngə boyanır və s. Qara nöqtələr, ehtimal ki, ən sabitdir.

Mürəkkəb fraktallar deterministik fraktallardan sonsuz mürəkkəb olması ilə fərqlənir, lakin çox sadə düsturla yaradıla bilirlər. Deterministik fraktalların düsturlara və ya tənliklərə ehtiyacı yoxdur. Sadəcə bir az rəsm kağızı götürün və heç bir çətinlik çəkmədən 3 və ya 4 iterasiyaya qədər Sierpinski ələk qura bilərsiniz. Bunu çoxlu Julia ilə etməyə çalışın! İngiltərənin sahil xəttinin uzunluğunu ölçmək daha asandır!

MANDERBROT DƏSTİ

Mandelbrot və Julia dəstləri, ehtimal ki, mürəkkəb fraktallar arasında ən çox yayılmış ikisidir. Onlara bir çox elmi jurnallarda, kitab üzlüklərində, açıqcalarda və kompüter ekran qoruyucularında rast gəlmək olar. Benoit Mandelbrot tərəfindən qurulan Mandelbrot dəsti, yəqin ki, insanların fraktal sözünü eşidəndə əldə etdikləri ilk birləşmədir. Parıldayan ağac və dairə sahələri olan karta bənzəyən bu fraktal sadə Zn+1=Zna+C düsturu ilə əmələ gəlir, burada Z və C kompleks ədədlər, a isə müsbət ədəddir.

Ən çox görülən Mandelbrot dəsti 2-ci dərəcəli Mandelbrot dəstidir, yəni a=2. Mandelbrot çoxluğunun təkcə Zn+1=ZnІ+C deyil, düsturdakı eksponenti istənilən müsbət ədəd ola bilən fraktal olması bir çox insanı çaşdırıb. Bu səhifədə a eksponentinin müxtəlif dəyərləri üçün Mandelbrot dəstinin nümunəsini görürsünüz.

Z=Z*tg(Z+C) prosesi də məşhurdur. Tangens funksiyasının daxil edilməsi sayəsində almaya bənzəyən sahə ilə əhatə olunmuş Mandelbrot çoxluğu əldə edilir. Kosinus funksiyasından istifadə edərkən hava qabarcığı effektləri əldə edilir. Qısacası, müxtəlif gözəl şəkillər yaratmaq üçün Mandelbrot dəstini düzəltməyin sonsuz sayda yolu var.

ÇOXLU CULİYA

Təəccüblüdür ki, Julia dəstləri Mandelbrot dəsti ilə eyni düstura görə formalaşır. Julia dəstini fransız riyaziyyatçısı Qaston Julia icad edib və dəsti onun şərəfinə adlandırıb. Mandelbrot və Julia dəstləri ilə vizual tanışlıqdan sonra yaranan ilk sual “əgər hər iki fraktal eyni düsturla əmələ gəlirsə, niyə onlar bu qədər fərqlidirlər?” Əvvəlcə Julia dəstinin şəkillərinə baxın. Qəribədir ki, Julia dəstlərinin müxtəlif növləri var. Fərqli başlanğıc nöqtələrindən istifadə edərək fraktal çəkərkən (iterasiya prosesinə başlamaq üçün) müxtəlif şəkillər yaranır. Bu yalnız Julia dəstinə aiddir:

Şəkildə görünməsə də, Mandelbrot fraktalı əslində bir-birinə bağlı Julia fraktallarının bir dəstəsidir. Mandelbrot dəstinin hər bir nöqtəsi (və ya koordinatı) Julia fraktalına uyğundur. Julia dəstləri Z=ZI+C tənliyində ilkin qiymətlər kimi bu nöqtələrdən istifadə etməklə yaradıla bilər. Ancaq bu o demək deyil ki, Mandelbrot fraktalında bir nöqtə seçib onu artırsanız, Julia fraktalını əldə edə bilərsiniz. Bu iki nöqtə eynidir, lakin yalnız riyazi mənada. Bu nöqtəni götürüb bu düsturla hesablasaq, Mandelbrot fraktalının müəyyən nöqtəsinə uyğun gələn Julia fraktalını ala bilərik.

BÖLMƏ 4: XAOS NƏZƏRİYYƏSİ

XAOS NƏZƏRİYYƏSİ NƏDİR?

Formal olaraq xaos nəzəriyyəsi mürəkkəb qeyri-xətti dinamik sistemlərin doktrinası kimi müəyyən edilir. Kompleks termini dedikdə məhz budur nəzərdə tutulur və qeyri-xətti termini ali riyaziyyatdan rekursiya və alqoritmlər, nəhayət, dinamik qeyri-sabit və qeyri-dövri deməkdir. Bu minvalla, xaos nəzəriyyəsi istər rekursiv proses şəklində, istərsə də fiziki sistemi modelləşdirən diferensial tənliklər toplusu şəklində rekursiyanın qeyri-riyazi anlayışlarına əsaslanan daim dəyişən mürəkkəb sistemlərin tədqiqidir.

XAOS NƏZƏRİYYƏSİ HAQQINDA YANLIŞ DÜŞÜNCƏLƏR

Geniş ictimaiyyət Jurassic Park kimi filmlər vasitəsilə xaos nəzəriyyəsinə diqqət çəkdi və onların sayəsində xaos nəzəriyyəsinə qarşı getdikcə artan ictimai qorxu var. Bununla belə, mediada işıqlandırılan hər şeydə olduğu kimi, xaos nəzəriyyəsi haqqında da çoxlu yanlış fikirlər var.

POZUNLUQ HAQQINDA XAOS NƏZƏRİYYƏSİ

Ən çox rast gəlinən uyğunsuzluq insanların xaos nəzəriyyəsinin nizamsızlıq haqqında bir nəzəriyyə olduğunu düşünmələridir. Heç bir şey həqiqətdən bu qədər uzaq ola bilməz! Bu, determinizmin təkzibi deyil, nizamlı sistemlərin qeyri-mümkün olduğunu ifadə etmək deyil; bu, eksperimental sübutların inkarı və ya mürəkkəb sistemlərin faydasızlığı haqqında bəyanat deyil. Xaos nəzəriyyəsində xaos nizamdır - hətta sadəcə nizam deyil, nizamın mahiyyəti.

Düzdür, xaos nəzəriyyəsi kiçik dəyişikliklərin böyük nəticələrə səbəb ola biləcəyini iddia edir. Lakin nəzəriyyədə mərkəzi anlayışlardan biri sistemin vəziyyətini dəqiq proqnozlaşdırmağın mümkünsüzlüyüdür. Ümumiyyətlə, sistemin ümumi davranışının modelləşdirilməsi vəzifəsi olduqca mümkündür, hətta sadədir. Beləliklə, xaos nəzəriyyəsi sistemin pozğunluğuna - sistemin irsi gözlənilməzliyinə deyil, onun miras qoyduğu nizama - oxşar sistemlərin ümumi davranışına diqqət yetirir.

Beləliklə, xaos nəzəriyyəsinin nizamsızlıqla bağlı olduğunu söyləmək düzgün olmazdı. Bunu misalla göstərmək üçün Lorenz attraksionunu götürək. Üç diferensial tənliyə, üç sabitə və üç ilkin şərtə əsaslanır.

Attraksion hər hansı bir zamanda qazın davranışını təmsil edir və onun müəyyən bir andakı vəziyyəti, veriləndən əvvəlki dövrlərdəki vəziyyətindən asılıdır. İlkin məlumatlar hətta çox kiçik dəyərlərlə dəyişdirilərsə, deyək ki, bu dəyərlər o qədər kiçikdir ki, onlar Avogadro nömrəsindəki dalğalanmalara (10 24 sırasının çox kiçik bir sayı) uyğundur, cəlbedicinin vəziyyətini yoxlayır. tamamilə fərqli rəqəmlər göstərəcək. Bunun səbəbi, kiçik fərqlərin rekursiya ilə böyüdülməsidir. Bununla belə, buna baxmayaraq, cəlbedici qrafik olduqca oxşar görünəcəkdir. Hər iki sistem istənilən vaxt tamamilə fərqli dəyərlərə sahib olacaq, lakin cəlbedici qrafik eyni qalacaq, çünki sistemin ümumi davranışını ifadə edir.

Xaos nəzəriyyəsi deyir ki, mürəkkəb qeyri-xətti sistemlər irsi olaraq gözlənilməzdir, lakin eyni zamanda, xaos nəzəriyyəsi iddia edir ki, belə gözlənilməz sistemləri ifadə etmək yolu dəqiq bərabərliklərdə deyil, sistemin davranışının təsvirlərində - qrafiklərdə doğru olur. qəribə cəlbedicilərin və ya fraktalların. Beləliklə, çoxlarının gözlənilməzlik kimi düşündüyü xaos nəzəriyyəsi, eyni zamanda, hətta ən qeyri-sabit sistemlərdə belə proqnozlaşdırıla bilənlik elminə çevrilir.

Lakin yuxarıda deyilənlərə əsasən, xaos nəzəriyyəsinin real həyatda tətbiqi olmadığı qənaətinə gəlmək olmaz.

XAOS NƏZƏRİYYƏSİNİN REAL DÜNYADA TƏTBİQİ

Yeni nəzəriyyələr ortaya çıxanda hər kəs onların nəyin yaxşı olduğunu bilmək istəyir. Bəs xaos nəzəriyyəsinin yaxşı tərəfi nədir?

Hər şeydən əvvəl xaos nəzəriyyəsi bir nəzəriyyədir. Bu o deməkdir ki, onun əksəriyyəti birbaşa tətbiq olunan bilik kimi deyil, daha çox elmi əsas kimi istifadə olunur. Xaos nəzəriyyəsi dünyada baş verən hadisələrə Nyuton dövründən bəri elmə hakim olan daha ənənəvi ciddi determinist baxışdan fərqli baxmaq üçün çox yaxşı bir üsuldur. Jurassic Park-a baxan tamaşaçılar, şübhəsiz ki, xaos nəzəriyyəsinin insanların dünyanı qavramasına böyük təsir göstərə biləcəyindən qorxurlar və əslində, xaos nəzəriyyəsi elmi məlumatları yeni şəkildə şərh etmək vasitəsi kimi faydalıdır. Ənənəvi X-Y süjetləri əvəzinə, elm adamları indi müəyyən bir zaman nöqtəsində hər hansı bir dəyişənin dəqiq mövqeyini təsvir etmək əvəzinə, sistemin ümumi davranışını təmsil edən kosmik faza diaqramlarını şərh edə bilərlər. Statistik məlumatlara əsaslanan dəqiq bərabərliklərə baxmaq əvəzinə, indi biz statik məlumatlara təbiətcə oxşar davranışa malik dinamik sistemlərə baxa bilərik - yəni. oxşar cəlbedicilərə malik sistemlər. Xaos nəzəriyyəsi elmi biliklərin inkişafı üçün möhkəm çərçivə təmin edir.

Bioloji sistemləri modelləşdirmək üçün xaos nəzəriyyəsi üsullarından istifadə edilmişdir ki, bu da şübhəsiz ki, təsəvvür edilən ən xaotik sistemlərdən biridir. Əhali artımı və epidemiyalardan tutmuş nizamsız ürək döyüntülərinə qədər hər şeyi modelləşdirmək üçün dinamik tənliklər sistemlərindən istifadə edilmişdir.

Əslində, demək olar ki, hər hansı bir xaotik sistem modelləşdirilə bilər - birja dəqiq nisbətlərdən fərqli olaraq qəribə cəlbedicilərlə asanlıqla təhlil edilə bilən əyrilər yaradır; sızan krandan damcıların düşmə prosesi çılpaq qulağa təhlil edildikdə təsadüfi görünür, lakin qəribə bir cəlbedici kimi təsvir edilərsə, ənənəvi vasitələrdən gözləmədiyi fövqəltəbii bir nizam ortaya çıxır.

Fraktallar hər yerdədir, ən çox uğurlu Fractal Design Painter məhsul xətti kimi qrafik proqramlarda görünür. Fraktal məlumatların sıxılma üsulları hələ də inkişaf etdirilir, lakin 600:1 sıxılma nisbətləri kimi heyrətamiz nəticələr vəd edir. Filmlərdəki xüsusi effektlər sənayesi fraktal qrafika texnologiyası olmadan daha az real mənzərə elementlərinə (buludlar, qayalar və kölgələr) malik olardı.

Və təbii ki, xaos nəzəriyyəsi insanlara bu gün ən populyar olmayan bilik sahələrindən biri olan riyaziyyatla maraqlanmaq üçün təəccüblü maraqlı bir yol verir.

BROWN HƏRƏKATI VƏ ONUN TƏTBİQİ

Braun hərəkəti, məsələn, suda asılı olan toz hissəciklərinin təsadüfi və xaotik hərəkətidir. Bu cür hərəkət fraktal həndəsənin bəlkə də ən praktik tərəfidir. Təsadüfi Brownian hərəkəti, böyük miqdarda məlumat və statistika ilə əlaqəli şeyləri proqnozlaşdırmaq üçün istifadə edilə bilən bir tezlik nümunəsi yaradır. Yaxşı bir nümunə, Mandelbrotun Brownian hərəkətindən istifadə edərək proqnozlaşdırdığı yun qiymətləridir.

Broun nömrələrindən tərtib etməklə yaradılmış tezlik diaqramları da musiqiyə çevrilə bilər. Əlbəttə ki, bu fraktal musiqi növü musiqidən başqa bir şey deyil və dinləyicini həqiqətən yorur. Brown nömrələrini təsadüfi şəkildə tərtib etməklə, burada nümunə olaraq göstərilən kimi Toz Fraktalı əldə edə bilərsiniz.

Fraktallardan fraktallar yaratmaq üçün Brown hərəkətindən istifadə etməklə yanaşı, landşaft yaratmaq üçün də istifadə edilə bilər. Ulduz yolu kimi bir çox elmi-fantastik filmlər təpələr və yüksək yaylaların topoloji şəkilləri kimi yad landşaftlar yaratmaq üçün Brown hərəkət texnikasından istifadə etmişdir. Bu üsullar çox təsirlidir və onları Mandelbrotun “Təbiətin fraktal həndəsəsi” kitabında tapmaq olar. Mandelbrot, fraktal sahil xətlərinin və ada xəritələrinin (həqiqətən təsadüfi çəkilmiş nöqtələr) quş baxışı görünüşünü yaratmaq üçün Brown xətlərindən istifadə etdi.

BİLYARD TOPUNUN HƏRƏKƏTİ

Nə vaxtsa hovuz işarəsi götürmüş hər kəs bilir ki, oyunun açarı dəqiqlikdir. İlkin zərbə bucağındakı ən kiçik səhv, yalnız bir neçə toqquşmadan sonra topun mövqeyində tez bir zamanda böyük bir səhvə səbəb ola bilər. Xaos adlanan ilkin şərtlərə qarşı həssaslıq, altı və ya yeddi toqquşmadan sonra topun trayektoriyasını proqnozlaşdırmağa və ya idarə etməyə ümid edən hər kəs üçün keçilməz bir maneə yaradır. Problemin stolun üstündəki tozda və ya sabit olmayan əlində olduğunu düşünməyin. Əslində, kompüterinizdə heç bir sürtünmə, replika yerləşdirmə dəqiqliyinə qeyri-insani nəzarəti olmayan bilyard masası olan bir model qurmaq üçün istifadə etsəniz, yenə də topun trayektoriyasını kifayət qədər uzun müddət proqnozlaşdıra bilməyəcəksiniz!

Nə qədər? Bu, qismən kompüterinizin düzgünlüyündən asılıdır, lakin daha çox masanın formasından asılıdır. Mükəmməl dəyirmi masa üçün təxminən 0,1 faiz səhvlə təxminən 500-ə qədər toqquşma mövqeyi hesablana bilər. Ancaq masanın formasını dəyişdirməyə dəyər ki, ən azı bir az qeyri-müntəzəm (oval) olsun və traektoriyanın gözlənilməzliyi cəmi 10 toqquşmadan sonra 90 dərəcəni keçə bilər! Boş masadan sıçrayan bilyard topunun ümumi davranışının şəklini əldə etməyin yeganə yolu, hər vuruşa uyğun geri dönüş bucağını və ya qövsün uzunluğunu çəkməkdir. Budur, belə bir faza-məkan nümunəsinin iki ardıcıl böyüdülməsi.

Hər bir fərdi döngə və ya səpələnmə, ilkin şərtlərin bir dəsti nəticəsində topun davranışını təmsil edir. Müəyyən bir təcrübənin nəticələrini göstərən şəkil sahəsi verilmiş ilkin şərtlər toplusu üçün cəlbedici sahə adlanır. Göründüyü kimi, bu təcrübələr üçün istifadə olunan cədvəlin forması azalan miqyasda ardıcıl olaraq təkrarlanan cəlbedici bölgələrin əsas hissəsini təşkil edir. Nəzəri olaraq, bu cür özünəbənzərlik əbədi olaraq davam etməlidir və biz rəsmləri getdikcə artırsaq, hamısı eyni formaları əldə edərdik. Bu gün çox məşhur fraktal sözü adlanır.

DETERMINİST FRAKTALLARIN VƏ XAOSUN İNTEQRASİYASİ

Yuxarıdakı deterministik fraktal nümunələrindən görünür ki, onlar heç bir xaotik davranış nümayiş etdirmirlər və əslində çox proqnozlaşdırıla bilirlər. Bildiyiniz kimi, xaos nəzəriyyəsi təbiətdəki bir çox sistemin davranışını, məsələn, quşların miqrasiyası problemini proqnozlaşdırmaq üçün nümunələri yenidən yaratmaq və ya tapmaq üçün fraktaldan istifadə edir.

İndi gəlin bunun əslində necə baş verdiyinə baxaq. Burada müzakirə olunmayan Pifaqor ağacı adlı fraktaldan (yeri gəlmişkən, Pifaqor tərəfindən icad olunmayıb və Pifaqor teoremi ilə heç bir əlaqəsi yoxdur) və Broun hərəkətindən (xaotik olan) istifadə edərək, gəlin əsl ağacı təqlid etməyə çalışaq. . Ağacda yarpaqların və budaqların düzülüşü olduqca mürəkkəb və təsadüfidir və yəqin ki, 12 sətirlik qısa bir proqramın təqlid edə biləcəyi qədər sadə bir şey deyil.

Əvvəlcə bir Pifaqor ağacı yaratmalısınız. Nəticə həmin köhnə uşaq bağçası rəsmlərini xatırladır. Beləliklə, gövdəni daha qalın edək. Bu mərhələdə Brown hərəkətindən istifadə edilmir. Bunun əvəzinə, hər bir xətt seqmenti gövdəyə çevrilən düzbucaqlı və kənardakı budaqlar üçün simmetriya xəttinə çevrildi.

Ancaq nəticə hələ də çox rəsmi və nizamlı görünür. Ağac hələ canlıya bənzəmir. Gəlin indicə əldə etdiyimiz deterministik fraktallar sahəsində bəzi bilikləri tətbiq etməyə çalışaq.

İndi siz iki rəqəmə qədər yuvarlaqlaşdırmaqla nömrələri dəyişdirən bəzi təsadüfi təsadüfi yaratmaq üçün Brown hərəkətindən istifadə edə bilərsiniz. Orijinalda 39 bitlik onluq ədədlərdən istifadə edilmişdir. Nəticə (solda) ağac kimi görünmür. Əvəzində o, ağıllı balıq ovu kimi görünür!

Bəlkə 2 rəqəmə yuvarlaqlaşdırma çox idi? Brownian hərəkətini yenidən tətbiq edin, bu dəfə 7 rəqəmə yuvarlaqlaşdırılın. Nəticə hələ də çəngəl kimi görünür, lakin bu dəfə loqarifmik spiral şəklində!

Sol tərəf (bütün tək ədədləri ehtiva edən) qarmaq effekti yaratmadığından, Brownian hərəkəti ilə yaranan təsadüfi təsadüfilik sol tərəfdəki bütün nömrələrə iki dəfə və sağdakı nömrələrə yalnız bir dəfə tətbiq olunur. Bəlkə də bu, loqarifmik spiralın təsirini aradan qaldırmaq və ya azaltmaq üçün kifayət edəcək. Beləliklə, rəqəmlər 24 rəqəmə qədər yuvarlaqlaşdırılır. Bu dəfə nəticə əsl ağacın gözəl görünən kompüterləşdirilmiş xaotik emulyasiyasıdır.

BÖLMƏ 5: FEYQENBAUM AĞACI

ÜMUMİ MƏLUMAT

Xaos nəzəriyyəsi əhalinin artımının modelləşdirilməsi problemində birbaşa tətbiq tapır və burada LT Bifurcator proqramından istifadə etməklə qurulmuş Feigenbaum diaqramının nümunəsindən istifadə etməklə nəzərdən keçirilir.

ƏHALİ MODELLERİNDƏ BİFURKASİYALAR

Fraktal həndəsənin möcüzəsi ondan ibarətdir ki, belə sadə nəsil proseslərindən son dərəcə mürəkkəb formalar yaradıla bilər. Başqa bir sürpriz dinamik sistemlər doktrinasından gəlir: belə sadə, deterministik tənliklər elə xaotik davranışlar yarada bilər ki, sistem heç vaxt sabit vəziyyətə qayıtmır və qanunauyğunluq yaranmır. Çox vaxt bu cür sistemlər əsas parametrin müəyyən bir dəyərinə qədər olduqca normal davranır, sonra onlar bir keçid yaşayırlar və burada sonrakı inkişaf üçün iki, daha sonra dörd və nəhayət, xaotik bir sıra imkanlar var.

1786-cı ildə Tomas Maltus əhali artımının riyazi modelini işləyib hazırladı və məlum oldu ki, bu və ona oxşar tipli digər modellər yuxarıda təsvir edilən xassələrə malikdir. Tutaq ki, əhalinin artım tempinin, xüsusən də əhalinin sayının bir funksiyası olduğu bir modelimiz var:

Yeni əhali = artım sürəti * köhnə əhali (1 - yaşlı əhali)

Əhali 0-dan 1-ə qədər dəyərlər alacaq şəkildə normallaşdırıldıqda. Təbii ki, belə bir model olduqca sadələşdirilmişdir və əhalinin inkişaf dinamikasını dəqiq təsvir edə bilməz. 200%-dən az artım tempində bu model stabildir, çünki hər hansı ilkin dəyər üçün bir neçə nəsildən sonra əhalinin sayı sabit səviyyədə qurulur. Lakin artım tempi 200%-dən çox olarsa, tənliyi təmsil edən əyri iki diskret həllə, sonra dördə bölünür və ya ikiyə bölünür və tezliklə xaotik olur.

FEIGENBAUM AĞACI

Logistik tənlik, Mitchel Feigenbaumun fraktallar nəzəriyyəsini yaratarkən əsasən üzərində işlədiyi düsturdur. Bu düstur əhalinin inkişaf dinamikasını təsvir etməlidir:

f(x) = (1 – x)rx

Ən sadə model rəqəmin əvvəlki ilə mütənasib nisbətidir. Deyək ki, keçən il x heyvanımız oldu. Bu il rx heyvanlar olmalıdır. Amma bu real şəraitdə edilmir. Əhalinin gələcək inkişafı üçün hansı potensiala malik olmasından asılı olaraq bir əmsal əlavə etsək reallıqla ən yaxşı uyğunluq əldə olunacaq və qoy tamlıq əmsalı x olsun, 0-dan 1-ə qədər dəyişir. Sonra 1 - x əmsalı əlavə edilir ki, ərazi demək olar ki, tam doludur, əhali yuxarı həddən yuxarı qalxmayacaq.

Logistik ifadəni genişləndirərək, əldə edirik:

f(x) \u003d balta - balta 2

Feygenbaum fraktalının mahiyyətini izah etmək üçün LT Bifurcator proqramında istifadə olunan düstur - (1 + r)x - rx 2 yuxarıda verilmiş düsturdan çox da fərqlənmir. Prinsipcə, nəzəriyyəni öyrənmək üçün hər hansı bir düsturdan istifadə edilə bilər, məsələn, bu tip düsturların ən sadəsi - xІ - r. Yeganə fərq, şəkildəki pəncərələrin koordinatlarındakı fərqlər və şəklin bir qədər dəyişdirilmiş görünüşüdür.

SİSTEM NİYƏ GÖRÜNMƏZ OLUR?

Bu fenomenin izahını vermək asan deyil. r parametrinin hər bir nöqtəsi üçün (x oxu boyunca) x funksiyası üçün aşağıdakı variantlar mümkündür. Bir funksiya ola bilər:

· dövri orbit, yəni. o, vaxtaşırı bir və ya bir neçə dəyər alır ki, bu da burada 0 seqmentində təsvir kimi göstərilən fraktalla baş verir< r < 2.57

· xaotik orbit, yəni. iterativ proses zamanı o qədər çox sayda müxtəlif dəyərlər qəbul edir ki, birinci halda mümkün olduğu kimi hər hansı qanunauyğunluq tapmaq mümkün deyil.

· mütləq dəyərlə məhdudlaşmayan dəyərlər və bu ağacın hər iki tərəfində olur. Buna görə də burada xalları göstərmək artıq mümkün deyil.

Birinci halda biz vaxtaşırı müəyyən qiymətlər alan funksiya görürük. Bu vəziyyətdə ağacın bir və ya daha çox budaqları var. Bir funksiyanın qəbul etdiyi dəyərlərin sayı iterasiya dövrü adlanır. Funksiya birdən sonsuza qədər bir dövrə malik ola bilər.

Parametr 0-dan 2-yə qədər olduqda, funksiyanın müddəti birdir. Bu halda uyğun funksiya dəyəri sabit nöqtə adlanır. Bu sabit nöqtə tənliyin həlli olur

x = (1 + r)x - rx 2

1 + r)x – rx 2 – x = 0

Bu tənliyin həlli yolları:

Bu həlləri qrafik şəkildə göstərdikdə görürük ki, qrafiklərdən biri (numeratorda terminlər əlavə edildiyi halda) 2-yə bərabər parametrə qədər Feygenbaum ağacının gövdəsinə tam uyğun gəlir. Tənliyin həlləri sabit nöqtələr adlanır. Həlllərdən yalnız biri Feigenbaum ağacı ilə üst-üstə düşdüyündən və iterasiyaların nəticəsi olduğundan, ikinci funksiya cəlbedici sabit nöqtələri verir.

x=(1+r)x - rx 2 ; r=2,1; x0=0,8

r = 2 üçün sabit nöqtə (yəni yuxarıdakı tənliyin həllərindən biri) cəlbedici sabit nöqtə olmaqdan çıxır və itələyici nöqtəyə çevrilir. Bu andan etibarən funksiya heç vaxt tək bir nöqtəyə yaxınlaşmır. Sonra funksiya üçün dövri dövr başlayır və əvvəlcə funksiya iki nöqtə arasında salınır. Əldə edilmiş nəticələri təhlil edərək, bu dəyərlərin funksiyanı iki dəfə təkrarlamaqla əldə edilən həllər kimi qəbul edilə biləcəyini başa düşmək olar. Gəlin görək x-i aşağıdakı funksiya kimi yazsaq nə olacaq

x = [(1 + r)x - rx 2 ] 2 + (1+r)x

Nəticə dörd həlldir, ilk ikisi orijinal ifadənin həllidir. Onların burada da göründüyü aydındır. Amma üçüncü və dördüncü ifadələr maraq doğurur. Onlarda 2.1-i əvəz etsək (cədvəlin tərtibində istifadə olunan dəyər), müvafiq olaraq 1.128746121 və 0.823648487 alırıq, yəni. cədvəldəki kimi eyni dəyərlər. Hansı ki, əslində, gözlənilən idi. Funksiyanın qrafik təsviri də maraq doğurur. Əslində, Fegenbaum ağacının başlanğıcını alırıq. Müəyyən edilmiş faktlar bifurkasiya nöqtələrini hesablamaq üçün istifadə edilə bilər. Parametrin dəyəri 2-dən az olduqda üçüncü və dördüncü tənliklər müəyyən edilmir, yəni. xəttin çəngəl olduğu yerdə.

FEYQENBAUM AĞACINDA PƏNCƏRƏLƏR

Feigenbaum ağacında pəncərələrin niyə göründüyünü söyləmək çətindir. Onların necə göründüyü sualına cavab vermək daha asandır. Bu, sıfırların iterativ orbitlərə uyğun olduğu sahələrdir. Məsələn, əgər birinci təkrarlamanın nəticəsi cavabda 0 verirsə, bizim pəncərəmiz var. Əslində bu, tənliyin həlli deməkdir: 0 2 - r = 0

ATTRAKTOR VƏ FEYQENBAUM DAİMİ

FEIGENBAUM ATRAKTÖRÜ

Feygenbaum sabitindən fərqli olaraq, bu rəqəm universal deyil. Bu cəlbedicinin dəyəri hansı formulun istifadə olunduğundan asılıdır. Lt Bifurcator x = (1 + r)x – rxІ-də istifadə olunan düstur üçün qrafik olaraq təxminən 2.56-a bərabər qiymət tapmaq olar.

Rəqəm qrafikin ilk dəfə sonsuz sayda bifurkasiyadan keçdiyi parametrin qiymətini ifadə edir. Bu o deməkdir ki, Feygenbaum cəlbedicisi xaotik bir cəlbedicidir, çünki funksiya heç vaxt təkrarlanan orbitdən keçmir.

Bu dəyəri hesablamaq üçün Feigenbaum sabitindən istifadə edə bilərsiniz, lakin o vaxtdan bəri bu sabit yalnız məqbul dəqiqliyə ehtiyacınız olduqda bir çox bufurkasiyalarda görünür, praktikada bunu həyata keçirmək çətindir və mən hələ bu metoddan istifadə edə bilməmişəm.

Onu da qeyd etmək lazımdır ki, Feygenbaum diaqramındakı bütün pəncərələr üçün funksiyanın sonsuz sayda bifurkasiya etdiyi sabit qiymət var.

FEIGENBAUM DAİMİ

Əgər məndən qısa cavab tələb edilsəydi, deyərdim: Bu təxminən 4,669211660910299067185320382047...

Lakin bu, heç kimi qane etməyəcəkdi. Bu rəqəm, yəqin ki, bu fraktalın ən fantastik faktıdır. Bu ağacla nəticələnən bir çox düstur var, lakin rəqəm həmişə eyni qalır. Mitchel Feigenbaum universallığı kəşf edəndə evdə anasını çağırması və bunun onu məşhurlaşdıracağını söyləməsi az qala əfsanəvidir.

Məşhur sabit ağacın bir hissəsinin uzunluğunu müqayisə edərkən görünür, yəni. bifurkasiya xətti arasındakı hissələr (şəkli bax). Birinci hissə 0-dan 2-ə qədərdir. Uzunluğu 2-dir. Sonrakı hissə 2-dən 2.448-ə qədər, uzunluğu isə 0.448-dir. İki uzunluq arasındakı nisbət 2/0,448 = 4,4642-dir. Ümumiyyətlə, bu, Feygenbaum sabitinin dəyərinə kifayət qədər yaxındır, lakin nəzəriyyəyə görə, n-ə meyl etdiyi üçün seqment uzunluğunun n + 1 nisbətinin həddini n-ə götürsək nəticə yaxşılaşdırıla bilər. sonsuzluq (əlbəttə ki, bu tendensiya Feigenbaum cəlbedicisi tərəfindən məhdudlaşdırılır).

Təbii ki, bu misal sadəcə bir nümunədir və heç bir dəqiqlik iddia etmir, çünki məlumatlar sırf qrafik üsulla kifayət qədər tez əldə edilmişdir.

Hər bifurkasiya ilə dəqiq nəticə əldə etmək üçün getdikcə daha çox dəyərin hesablanması lazım olduğunu xatırlamaq vacibdir, çünki. funksiyanın sabitləşməsi üçün daha çox iterasiya lazımdır. Yalnız bir neçə nöqtədən Feigenbaum ağacını qurmağa çalışırsınızsa, bifurkasiyalar həqiqətən olduğundan daha tez gələcək. Ağac yaxınlaşdıqca bu, getdikcə daha vacib olur. Cədvəldə verilən dəyərlər üçün təxminən 1000 iterasiyadan istifadə etdim.

Təsadüfi NÖMRƏLƏRİN YARALMASI

Feygenbaum ağacının sağ kənarında bir yerdə nöqtələrin paylanmasına baxın (Xüsusiyyətlər -> İnterval -> Lt Bifurcator proqramında Pseudo-xaos Seqmenti) Baxın, çox təsadüfi görünürlər. Beləliklə, təsadüfi ədədlər yaratmaq üçün bundan istifadə etmək fikri məntiqli görünür.

Bunun üçün lazım olan hər şey x = (1 + r)x - rx 2 və ya buna bənzər düsturları işlətmək və hər dəfə təsadüfi ədəd lazım olduqda sonuncu hesablanmış dəyərdən istifadə etməkdir. Bəli, işləyəcək: heç vaxt təkrarlanmayan bir orbit alacaqsınız, çünki xaos var, amma təəssüf ki, xalların paylanmasını yoxladım və nəticə vahid deyildi, yəni. ola bilsin ki, bütün intervallar üçün bərabər deyil.

Düsturla hesablanan ədədlər həmişə -2 ilə 2 arasında olur. Onu 0-dan 9-a qədər intervalda uzatmaq və ədədləri tam ədəd etmək asandır. Mən bunu etdim və minlərlə iterasiya üzərindən hər nömrə üçün nə qədər hit aldığımı saydım. Nəticə budur:

r=1,99999, 50000 iterasiya

orta x: 4.501

standart sapma x: 3.430

Bunun istənilən paylanmanı vermədiyini görmək asandır. Ancaq bəlkə dəyərləri 3-ə yaxınlaşdırın? Yeni test:

r=1,99999999999999, 50000 təkrar

orta x: 4.489

standart sapma x: 3.425

Təəssüf ki, bu bizə demək olar ki, eyni paylama əyrisini verir.

Qeyd

Orta və standart sapma haqqında bir az fikir vermək üçün: İstədiyimiz nəticə əldə etsəydik, 0 ilə 9 arasında olan hər ədədin tezliyi 5000, orta 4,5 və standart yayınma 2,872 olardı.

Feigenbaum ağacı və Mandelbrot dəsti

Əgər siz Mandelbrot dəsti z=z 2 + x üçün düsturla tanış olmusunuzsa, bu düsturla Feigenbaum ağacı x 2 - r qurmaq üçün ən sadə düstur arasında oxşarlıq görə bilərsiniz. Və həqiqətən də belədir. Oxşarlıq mövcuddur. Ancaq Feigenbaum ağacı başqa şəkildə böyüyür. Feigenbaum düsturunu x 2 + r olaraq dəyişdirin və oxşarlığı görəcəksiniz. Mandelbrot dəstinə gəldikdə, üfüqi ox boyunca baxmaq lazımdır, çünki bu, Mandelbrot ədədinin mürəkkəb hissəsinin sıfır olduğu yeganə mövqedir. Görəcəksiniz ki, Mandelbrot fiqurunun əsas gövdəsi Feigenbaum ağacındakı funksiyanın yalnız bir dəyər aldığı yerdir. Xəttin ilk ayrılması (bifurkasiya) baş verdikdə Mandelbrot fiqurunda yeni cisim görünür və s. Onu da nəzərə alın ki, ağacda əsas pəncərə açılanda Mandelbrot fiqurunda uşaq bədəni görünür.