Siz iki matrisanı çoxalda bilərsiniz, o halda ki, onlardan birincisi ikincinin cərgələrinin sayı ilə tam eyni sayda sütuna malikdir. Dəyərlərin özləri yalnız tam deyil, həm də fraksiyalı ola bilər. Bu problemin hesablanmasının stenoqramını aldıqdan sonra çarpmanın necə baş verdiyini başa düşə bilərsiniz. Bu, vaxtınıza qənaət edəcək və hesablamanın incəliklərini daha yaxşı başa düşməyə kömək edəcək.

Tutaq ki, iki matrisiniz var və siz onların məhsulunu tapmalısınız. Bu onlayn kalkulyator bunu tez və ən yüksək dəqiqliklə etməyə kömək edəcək. O, nəinki bir neçə dəqiqə ərzində çətinlik çəkmədən iki matrisi çoxaltacaq, həm də bu hesablamaların alqoritmini daha ətraflı başa düşməyə imkan verəcək. Beləliklə, onlayn kalkulyatordan istifadə nəzəri olaraq əhatə olunan materialı birləşdirməyə kömək edir. Siz həmçinin hesablamaları əvvəlcə əl ilə edə və sonra burada yoxlaya bilərsiniz, bu, əla beyin təlimidir.

Bu onlayn kalkulyatordan istifadə üçün təlimatlar çətin deyil. Matrisləri onlayn olaraq çoxaltmaq üçün əvvəlcə matrisin solunda və altındakı "+" və ya "-" işarələrinə klikləməklə birinci matrisin sütun və sətirlərinin sayını təyin edin. Sonra nömrələri daxil edin. İkinci matris üçün eyni əməliyyatları təkrarlayın. Sonra yalnız "Hesabla" düyməsini basmaq qalır - və istədiyiniz dəyər ətraflı hesablama alqoritmi ilə birlikdə qarşınızda açılacaqdır.

ibarət t xətlər və P sütunlara ölçü matrisi deyilir n× m. Nömrələri a 11 , a 12 , ..., a mn ona zəng etdi elementləri. Matrisi bildirən cədvəl mötərizədə yazılır və işarələnir A = (a ij ).

Bir matrisin sətirlərinin sayı onun sütunlarının sayına bərabərdirsə, matris adlanır. kvadrat, və onun sətirlərinin sayı, sütunların sayına bərabərdir, - qaydasında kvadrat matris.

Yuxarı sol küncü aşağı sağ tərəfə birləşdirən seqmentdə yerləşən kvadrat matrisin bütün elementlərinin çoxluğuna deyilir. əsas diaqonal və yuxarı sağ küncü aşağı sol künclə birləşdirən seqmentdə - yan diaqonal.

Kvadrat matrisa deyilir diaqonal, onun əsas diaqonalda olmayan bütün elementləri sıfıra bərabərdirsə. Əsas diaqonaldakı elementlərin birinə bərabər, qalanlarının isə sıfır olduğu kvadrat matrisə deyilir. subay və işarələnmişdir E.

İki matris və adlanır bərabər, onların sətir və sütunlarının sayı bərabər olduqda və bu matrislərin uyğun yerlərindəki elementlər bərabər olduqda.

Bütün elementlərinin sıfıra bərabər olduğu matris adlanır sıfır və ilə işarələnir H.

Tərifinə görə, bir matrisi çoxaltmaq AMMA r sayı ilə matrisin hər bir elementinə ehtiyacınız var AMMA r ilə çarpın.

Misal. Bir matris verilmişdir A =
, 3-cü matrisi tapın AMMA.

3 A = 3
=

matrislərin cəmi AMMA və AT elementləri matrislərin müvafiq elementlərinin cəminə bərabər olan C matrisi adlanır. AMMA və AT. Siz yalnız eyni sayda sətir və sütunlu matrislər əlavə edə bilərsiniz.

Misal. Matris məlumatları A =
və AT =
. Matrisi tapın C \u003d A + B.

C =

Matris əlavə xüsusiyyətləri:

A+B=B+A

(A+B)+ C \u003d A + (B + C)

AMMA + H = AMMA

Matris məhsulu AMMA matrisə AT yalnız matrisin sütunlarının sayı olduqda müəyyən edilir AMMA matrisin sıralarının sayına bərabərdir AT.Çarpma nəticəsində bir matris alınacaq AB, matrisdə olduğu qədər sıra olan AMMA, və matrisdə olduğu qədər sütun AT.

İki matrisin məhsulu AMMA (m× səh) və AT(səh× n) matris adlanır FROM (m× n), onun elementləri qayda ilə müəyyən edilir

FROM ij =

Şərh. İki matrisi çoxaltmaq üçün elementlərə ehtiyacınız var i-ilk matrisin elementlərinə vurulan sətir j ikinci matrisin ci sütunu və alınan məhsulları əlavə edin. Yeni matrisin elementini indekslə əldə edin ij.

Misal. a və b matrisləri verilmişdir. ;. Matrislərin hasilini tapın av.

AB=

=
=

Misal. Matris məlumatları AMMA və AT. AMMA=
və B = .

Həll: A =(2X3) AT= (3X2) => AB =(2X2)

AB=
 =
=

Matris vurma xüsusiyyətləri:

AB VA;

(AB)C=A(BC);

AE= EA= AMMA

(AB)k = (AB)k= A(Bk)

(A+B)C = AB+BC

A(B+C) = AB + AC/

Köçürülən matris A T Bir matris, sütunların yerinə sətirlərin, sətirlərin yerinə sütunların yazıldığı matris adlanır.

Misal. Matris olsun A=
, sonra

AMMA T =

Müəyyənedicilər.

ikinci dərəcəli determinant, matrisə uyğun gəlir AMMA =
, nömrəyə zəng etdi
=a 11 a 22 - a 12 a 21 .

Misal. İkinci dərəcəli determinantla hesablayın.

\u003d 1 (-3) - 2 4 \u003d -11.

üçüncü dərəcəli determinant, matrisə uyğun gəlir

AMMA =
, nömrəyə zəng etdi
=a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 13 a 22 a 31 - a 12 a 21 a 33 -a 11 a 23 a 32.

Bərabərliyin sağ tərəfindəki hansı məhsulların “+” işarəsi ilə, hansının isə “-” işarəsi ilə götürülməli olduğunu xatırlamaq üçün şəkildə göstərilən üçbucaq qaydası adlanan qaydadan istifadə etmək faydalıdır. bir.

« + » « - »

Şəkil 1.

Misal. Determinant hesablayın

Üçüncü dərəcəli determinantların hesablanmasının ikinci üsulu üçüncü dərəcəli determinantların hesablanması üsuludur, o, ilk iki sütunun əlavə edilməsindən, əsas diaqonal və ona paralellər və ikinci dərəcəli diaqonal və ona paralellər boyunca hasillərin tapılmasından ibarətdir.

= a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 13 a 22 a 31 - a 12 a 21 a 33 -a 11 a 23 a 32.

Kvalifikator xüsusiyyətləri:

Determinantda iki cərgə (sütun) bir-birini əvəz edərsə, onda onun işarəsi əksinə dəyişəcəkdir.

Əgər sətirlər və sütunlar determinantda dəyişdirilirsə, onda onun işarəsi və qiyməti dəyişməyəcək.

Əgər determinantda iki cərgə mütənasibdirsə (bərabərdir), onda sıfıra bərabərdir.

Əgər müəyyənedicidə hər hansı sətir (sütun) hansısa ədədə vurulub başqa sətirə (sütun) əlavə edilərsə, onda onun qiyməti dəyişməyəcək.

Əgər determinantda hər hansı sətrin (sütun) elementlərinin ümumi amili varsa, onu təyinedicinin işarəsindən çıxarmaq olar.

Əgər determinantda sıfır sətir və ya sütun varsa, o, sıfıra bərabərdir.

Kiçik M ij təyinedici element a ij silməklə orijinaldan alınan determinant adlanır i- oh xətt və j bu elementin yerləşdiyi sütun.

Cəbri tamamlayıcı A ij təyinedici element a ij(-1) ilə vurulan minor adlanır i + j .

Determinantların hesablanmasının üçüncü yolu genişlənmə teoreminin köməyi ilə həyata keçirilir.

Parçalanma teoremi: Determinant istənilən sətirin (sütun) elementlərinin hasillərinin və onların cəbri tamamlamalarının cəminə bərabərdir.

Misal. Üçüncü dərəcəli determinantı hesablayın , determinantın birinci cərgənin elementləri üzərində genişləndirilməsi.

= 5 (-1) 1+1 + 3 (-1) 1+2
+ 2 (-1) 1+3
= 68.

Eyni təyinedicini 4) xassəsindən istifadə etməklə hesablamaq və sonra parçalanma teoremini tətbiq etmək olar. Bizim nümunəmizdə birinci sütunda sıfırlar əmələ gətiririk. Bunun üçün birinci cərgənin elementlərinə 5-ə vurulan ikinci cərgənin elementlərini, üçüncü sıranın elementlərinə isə 7-yə vurulan ikinci cərgənin elementlərini əlavə edin.Və yaranan matrisi genişləndirin. birinci sütunun elementləri ilə.

=
= 0
- (-1)
+0
=
\u003d 13 34 - 17 22 \u003d 68.

Bir neçə saniyədən sonra server dəqiq həllini verəcək. Matris vurma online olacaq matris, hər bir elementi skalyar kimi qiymətləndirilir iş qaydaya uyğun olaraq birinci matrisin sətirləri ikinci matrisin müvafiq sütunlarına matrisin vurulması. At matrisin vurulması onlayn, nəticədə alınan matrisin hər bir elementi nəticə olacaqdır vurma qaydaya uyğun olaraq bir matrisin sətirlərini digər matrisin sütunlarına matris məhsulları. Tapın onlayn iş iki matrislər icazə verilən ölçülər tapılmaq üçün azaldılır matrislər onların müvafiq ölçüləri. Əməliyyat onlayn vurma iki matrislər NxK və KxM ölçüləri tapmaq üçün azaldılır matrislərölçülər MxN. Bunun elementləri matrislər skalyar düzəldin iş çarpılan matrislər, nəticə budur matrisin vurulması onlayn. Tapşırıq tapşırığı matris məhsulları onlayn və ya əməliyyat matrisin vurulması onlayn yatır vurma satırlardan sütunlara matrislər qaydaya görə matrisin vurulması. www.site tapır matris məhsulu rejimdə verilən ölçülər onlayn. Matris vurma online verilmiş ölçüsün elementləri skalyar olacaq matrisin müvafiq ölçüsünü tapmaqdır işləyir müvafiq sətirlər və sütunlar çarpılan matrislər. Tapmaq matris məhsulları onlayn nəzəri cəhətdən geniş yayılmışdır matrislər, eləcə də xətti cəbr. Matrislərin məhsulu onlayn-dən yaranan matrisi təyin etmək üçün istifadə olunur vurma verilmişdir matrislər. Hesablamaq üçün matris məhsulu və ya müəyyən edin matrisin vurulması onlayn, siz çox vaxt sərf etmək lazımdır, bizim server tapa isə matrislərin məhsulu onlayn-dan vurma iki verilir matrislər online. Bu vəziyyətdə cavab tapmaqla matris məhsulları rəqəmlər olsa belə düzgün və kifayət qədər dəqiqliklə olacaqdır matrisin vurulması onlayn irrasional olacaq. Saytda www.site elementlərdə simvol girişlərinə icazə verilir matrislər, yəni matrislərin məhsulu onlayn ilə ümumi simvolik formada təmsil oluna bilər matrisin vurulması onlayn. Problemi həll etməklə əldə edilən cavabı yoxlamaq faydalıdır matrisin vurulması onlayn saytdan istifadə etməklə www.site. Əməliyyat edərkən matrisin vurulması onlayn problemi həll edərkən diqqətli və son dərəcə diqqətli olmalısınız. Öz növbəsində saytımız mövzu ilə bağlı qərarınızı yoxlamaqda sizə kömək edəcək matrisin vurulması onlayn. Əgər həll olunan problemlərin uzun müddət yoxlanılmasına vaxtınız yoxdursa, o zaman www.siteşübhəsiz ki, yoxlamaq üçün əlverişli vasitə olacaqdır matrisin vurulması onlayn.

Əvvəla, üç matrisin vurulmasının nəticəsi NƏ olmalıdır? Pişik siçan doğurmaz. Əgər matrisin vurulması mümkün olarsa, nəticə də matris olacaq. Yaxşı, mənim cəbr müəllimim cəbri strukturun elementləri ilə bağlı qapalılığını necə izah etdiyimi görmür =)

Üç matrisin hasilini iki yolla hesablamaq olar:

1) tapıb "ce" matrisinə vuraq: ;

2) ya əvvəlcə tapın, sonra vurmağı yerinə yetirin.

Nəticələr mütləq üst-üstə düşəcək və nəzəri cəhətdən bu xassə matrisin vurulmasının assosiativliyi adlanır:

Misal 6

Matrisləri iki yolla çarpın

Alqoritm həllər iki addımlı: iki matrisin hasilini tapın, sonra yenidən iki matrisin hasilini tapın.

1) Düsturdan istifadə edin

Birinci hərəkət:

İkinci hərəkət:

2) Düsturdan istifadə edin

Birinci hərəkət:

İkinci hərəkət:

Cavab verin:

Daha tanış və standart, əlbəttə ki, həllin ilk yoludur, orada "sanki hər şey qaydasındadır". Yeri gəlmişkən, sifariş haqqında. Baxılan tapşırıqda tez-tez illüziya yaranır ki, biz matrislərin bir növ dəyişdirilməsindən danışırıq. Onlar burada deyil. Bunu bir daha xatırladıram ümumi halda MATRİKSLER DƏYİŞMƏLƏMƏLİDİR. Beləliklə, ikinci abzasda, ikinci addımda, çarpma yerinə yetiririk, lakin heç bir halda. Adi ədədlərlə belə bir ədəd keçərdi, matrislərlə yox.

Çarpmanın assosiativlik xüsusiyyəti yalnız kvadrat üçün deyil, həm də ixtiyari matrislər üçün etibarlıdır - əgər onlar vurulsa:

Misal 7

Üç matrisin hasilini tapın

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Nümunə həllində hesablamalar iki şəkildə aparılıb, hansı yolun daha sərfəli və daha qısa olduğunu təhlil edin.

Matris vurulmasının assosiativlik xassəsi daha çox amillər üçün baş verir.

İndi matrislərin səlahiyyətlərinə qayıtmağın vaxtıdır. Matrisin kvadratı ən başlanğıcda nəzərdən keçirilir və gündəmdədir.

Matrisin vurulması- matrislər üzərində əsas əməliyyatlardan biri. Vurma əməliyyatı nəticəsində yaranan matrisa deyilir matrislərin məhsulu.

işÖlçü matrisindəki ölçü matrisi ölçü matrisi adlanır, elementləri düsturla hesablanır.

İki matrisin vurulması əməliyyatı yalnız o halda mümkündür ki, birinci amildəki sütunların sayı ikincidəki sətirlərin sayına bərabər olsun; bu halda matrislərin formasını deyirik razılaşdı. Xüsusilə, hər iki amil eyni ardıcıllığın kvadrat matrisləri olduqda vurma həmişə mümkün olur.

Matrislərin məhsullarını tapın AB və BA, əgər

və

Həll yolu: Bizdə var

məzmuna qayıt

(38) 87. Hansı əməliyyatlar kommutativ adlanır? Matris vurulmasının kommutativ olmadığını misallarla göstərin.

Kommutativlik = Dəyişmə qabiliyyəti.

Adi ədədlər yenidən düzülə bilər: , və matrislər ümumiyyətlə dəyişmir: .

Hansı matrisləri çoxaltmaq olar?

Bir matrisin bir matrisə vurulması üçün, belə ki, matrisin sütunlarının sayımatrisin sıralarının sayına bərabər idi.

Misal: Bir matrisi matrisə vurmaq mümkündürmü?

Beləliklə, matrisin məlumatlarını çoxalda bilərsiniz.

Ancaq matrislər yenidən qurulursa, bu vəziyyətdə vurma artıq mümkün deyil!

Buna görə vurma mümkün deyil:

Tələbədən matrisləri çoxaltmaq istənildikdə, çoxalması açıq-aydın qeyri-mümkün olan bir hiylə ilə tapşırıqlar üçün qeyri-adi deyil.

Qeyd etmək lazımdır ki, bəzi hallarda matrisləri hər iki yolla çoxaltmaq mümkündür. Məsələn, matrislər üçün həm vurma, həm də vurma mümkündür

məzmuna qayıt

(39) 88. Eyni və tərs matrislər hansılardır? (Qauss) tərs matris necə qurulur?

a n düzənli kvadrat matrisa olsun. Tərs matris A -1 matrisidir ki, A -1 *A=E (burada A -1 və E eyni düzənli kvadrat matrislər, E isə eynilik matrisidir).

Bu tərif heç də hər hansı A matrisi üçün tərs matrisin mövcud olmasını nəzərdə tutmur.

(0 0) - bu cərgə ona gətirib çıxarır ki, bu matrisin hər hansı digəri ilə hasilinin birinci sırası yalnız sıfırlardan ibarətdir (identifikasiya matrisində belə deyil)

Qauss üsulu ilə tərs matrisin tapılması.