2.2-nin tərifləri və ifadələri burada tapıla bilər .

Çoxhədlinin kökü ədəddir belə
.

Bezout teoremi. İstənilən funksiya üçün
və nömrələr
bərabərlik düzgündür:

harada
.

Nəticə. Nömrə kökdür, əgər və ancaq
bölünür
izsiz.

Formanın çoxhədlilərinə bölmək üçün əlverişlidir (
) Horner sxemidir. Cədvəl çəkirik, onun birinci sətirində bütün əmsalları yazırıq
(sıfır daxil olmaqla).

- bölmədən qismən bölünmə əmsalları
üstündə (
);- Bezout teoreminə görə bərabər olan bölmənin qalığı
. Əgər a = 0, onda biz bunu deyirik
bölünür (
) və - çoxhədli kök
.

Misal 33 Bölün
.

Həll. Hornerin sxemindən istifadə edək. Cədvəl çəkin və hesablamaları aparın.

Beləliklə, harada - natamam hissənin əmsalları. Nəticədə,.

Misal 34 Funksiya dəyərini tapın
nöqtədə

x = ‑2.

Həll. Hornerin sxemindən istifadə edərək ayırırıq
çoxhədliyə
. Cədvəli doldurarkən nəzərə alırıq ki, dördüncü və ikinci dərəcələrdəki əmsallar, eləcə də polinomdakı sərbəst termin 0-a bərabərdir.

Hesablamalar nəticəsində qalığı -8-ə bərabər aldıq. Bezout teoremi ilə qiymətə bərabərdir
nöqtədə x = ‑2.

Cavab: (-8).

2.1-də müzakirə olunan bölmə alqoritmi istənilən dərəcədə çoxhədli ilə bölməyə, Horner sxemi isə yalnız (-ə) bölməyə tətbiq edilir.
).

1. Qaytarılmayan çoxhədlilər

2.3 üçün təriflər və ifadələr burada tapıla bilər. Həqiqi əmsallı polinom
polinomlar yoxdursa, reduksiya edilə bilməz
və
daha kiçik dərəcəli real əmsallarla
, belə
. Yəni, reduksiya olunmayan çoxhədli aşağı dərəcəli çoxhədlilərin hasilinə parçalana bilməz.

Bəyanat. Həqiqi əmsallı reduksiya olunmayan çoxhədlilər mənfi diskriminantlı 1-ci və ya 2-ci dərəcəli çoxhədlərdir və yalnız onlar.

Çoxhədlinin faktorinqi onun reduksiya olunmayan çoxhədlərin hasili kimi təqdim edilməsidir.

Polinomların faktorinqi üçün əsas üsullar:

1. Mötərizədə ümumi amilin çıxarılması.

2. Qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə.

Misal 35
.

=. Parçalayarkən düsturdan istifadə etdik.

3. Qruplaşdırma üsulu.

Misal 36 Polinomu faktorlara ayırın
.

5 amilini ehtiva edən şərtləri qruplaşdırırıq:

=
=
=

= [ümumi amili mötərizənin içindən çıxarın] =

Misal 37 Polinomu faktorlara ayırın
.

Şərtləri birincidən başlayaraq qruplaşdırırıq:

Kvadrat trinomialın köklərini taparaq faktorlara ayırırıq:

. Nəhayət

4. Köklərin seçilməsi üsulu.

Bu üsul aşağıdakı ifadələrə əsaslanır:

Bəyanat 1. Əgər polinom üçün

nömrələri
köklərdir, onda bərabərlik doğrudur.

Bəyanat 2. Aparıcı əmsalı 1 olan çoxhədlinin tam kökləri yalnız sərbəst terminin bölənləri kimi ola bilər.

Misal 38Çoxhədlinin mümkün tam kökləri
rəqəmlər ola bilər
. Seçimlə bunu müəyyən etmək olar
və buna görə də 1 çoxhədlinin köküdür.

Misal 39 Polinomu faktorlara ayırın.

Həll. 2-ci bəyanata əsasən, polinomun mümkün tam kökləri yalnız -5-in bölənləri ola bilər. Bu rəqəmlərdir
. Nöqtədə çoxhədlinin qiymətini tapın x = ‑ 1:

Buna görə çoxhədlinin kökü
edir x = -bir. Polinomu bölün
üstündə ( x + 1). Bezout teoreminə görə,
bölünən olmalıdır ( x + 1) tam ədəd, yəni bölmənin qalan hissəsi sıfır olmalıdır. Bölmə üçün Horner sxemindən istifadə edirik.

Sonuncu sütunda alınan rəqəm hesablamaların düzgünlüyünü yoxlamağa imkan verir. Sıfır alınarsa, bütün hesablamalar düzgündür. Əgər sonuncu sütundakı rəqəm sıfırdan fərqlidirsə, o zaman ya kök səhv tapılıb, ya da Horner sxemi üzrə hesablamalar səhv aparılıb.

Belə ki: . Nəticə çoxhədli olduğundan
azaldılmaz deyil, onda faktorizasiya prosesi davam etdirilməlidir. Polinom üçün
mümkün köklər ədədlərdir
. Biz tapdıq:. Deməli, 1 çoxhədlinin köküdür
. onu bölək ( x - 1) Horner sxeminə görə.

Son sütun sıfırdır. Beləliklə, hesablamalar düzgündür.

Bizdə: . Polinomun olub olmadığını yoxlayaq
azalmaz. Onun köklərini standart düsturdan istifadə edərək tapırıq:

. Bu kvadrat trinomialın diskriminantı mənfi olduğundan, həqiqi ədədlər çoxluğunda o, azaldılmazdır.

Xüsusiyyətlər

Kökləri tapmaq

Xətti və kvadrat çoxhədlilərin köklərinin tapılması üsulu, yəni xətti və kvadrat tənliklərin həlli üsulu qədim dünyada məlum idi. Üçüncü dərəcəli ümumi tənliyin dəqiq həlli üçün bir düstur axtarışı uzun müddət (Ömər Xəyyamın təklif etdiyi metodu qeyd etmək lazımdır) davam etdi, ta ki, XVI əsrin birinci yarısında müvəffəqiyyətlə taclandılar. Scipio del Ferro, Niccolo Tartaglia və Gerolamo Cardano əsərləri. Kvadrat və kub tənliklərin kökləri üçün düsturlar dördüncü dərəcəli tənliyin kökləri üçün düsturları əldə etməyi nisbətən asanlaşdırdı.

Beşinci dərəcəli və yuxarıdakı ümumi tənliyin köklərinin rasional funksiyalardan və əmsallardan radikallardan istifadə etməklə ifadə edilməməsi faktını 1826-cı ildə Norveç riyaziyyatçısı Niels Abel sübut etmişdir. Bu heç də o demək deyil ki, belə bir tənliyin kökləri tapıla bilməz. Birincisi, xüsusi hallarda, əmsalların bəzi birləşmələri ilə tənliyin kökləri müəyyən bir ixtiraçılıqla müəyyən edilə bilər. İkincisi, 5-ci dərəcəli və daha yüksək tənliklərin kökləri üçün düsturlar var, lakin onlar xüsusi funksiyalardan istifadə edirlər - elliptik və ya hipergeometrik (bax, məsələn, kök gətirin).

Çoxhədlinin bütün əmsalları rasionaldırsa, onun köklərinin tapılması tam əmsallı çoxhədlinin köklərinin tapılmasına gətirib çıxarır. Bu cür çoxhədlilərin rasional kökləri üçün Horner sxemindən istifadə edərək sadalama yolu ilə namizədlərin tapılması alqoritmləri mövcuddur və tam kökləri taparkən, kökləri təmizləməklə sadalamağı xeyli azaltmaq olar. Həmçinin bu halda, çoxhədli LLL alqoritmindən istifadə edə bilərsiniz.

Həqiqi əmsallı çoxhədlinin həqiqi köklərini təxmin etmək üçün (istənilən dəqiqliklə) iterativ üsullardan istifadə olunur, məsələn, sekant üsulu, biseksiya üsulu, Nyuton üsulu. Çoxhədlinin intervaldakı həqiqi köklərinin sayını Şturm teoremindən istifadə etməklə hesablamaq olar.

həmçinin bax

Qeydlər

Wikimedia Fondu. 2010.

• Kanalizasiya
• Veksilologiya terminlərinin lüğəti

Digər lüğətlərdə "Polinom Kökünün" nə olduğuna baxın:

Cəbri tənliyin kökü

Tənliyin kökü- Çoxhədlinin k sahəsi üzərindəki kökü onu x-in yerinə qoyduqdan sonra tənliyi eyniliyə çevirən elementdir. Xüsusiyyətlər Əgər c p(x) polinomunun köküdürsə ... Vikipediya

Bringa Root- Məlumatı yoxlayın. Bu yazıda təqdim olunan faktların düzgünlüyünü və məlumatların etibarlılığını yoxlamaq lazımdır. Müzakirə səhifəsində izahatlar olmalıdır. Cəbrdə kök gətirin və ya ultraradikal analitik funksiyadır ki, ... ... Wikipedia

Kök (anlamsızlıq)- Kök: Vikilüğətdə "kök" üçün giriş var Kök (botanikada) bir bitkinin vegetativ eksenel yeraltı orqanı, sp ... Wikipedia

Kök (riyaziyyatda)- Riyaziyyatda kök, 1) K. a rəqəmindən n dərəcəsi ≈ x rəqəmi (işarə olunur), n-ci dərəcəsi a-ya bərabərdir (yəni xn \u003d a). K.-nin tapılması hərəkətinə kökün çıxarılması deyilir. ¹ 0 üçün K.-nin n fərqli dəyəri var (ümumiyyətlə desək, ... ...

Kök- I Kök (radix) yarpaqlı bitkilərin (mamırlar istisna olmaqla) əsas vegetativ orqanlarından biridir, substrata yapışmağa, ondan su və qida maddələrini mənimsəməyə, bir sıra udulmuş maddələrin ilkin çevrilməsinə, . .. ... Böyük Sovet Ensiklopediyası

KÖK- 1) a ədədindən n i dərəcə x n roqoya n dərəcə K. a bərabərdir. 2) K sahəsi üzərində cəbri tənliyin K. elementi k, onu x yerinə əvəz etdikdən sonra tənliyi eyniliyə çevirir. Bu tənliyin K. adlanır. həmçinin If polinomunun K. ... ... Riyaziyyat ensiklopediyası

çox kök- çoxhədli f (x) = a0xn + a1xn ​​1 +... + an, elə c ədədi ki, f (x) binomun ikinci və ya daha yüksək dərəcəsinə (x c) qalıqsız bölünə bilsin. Bu halda, f (x) (x c) k-ə bölünürsə, lakin ... ... deyilsə, c çoxluğun kökü adlanır. Böyük Sovet Ensiklopediyası

konjugat kök- Əgər halqa üzərində bəzi reduksiya olunmayan çoxhədli verilirsə və uzantıda onun kökünün bir hissəsi seçilirsə, o zaman verilmiş çoxhədli kök üçün qoşa kök istənilən çoxhədli kökdür ... Wikipedia

2-nin kvadrat kökü- ayaqlarının uzunluğu 1 olan düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzunun uzunluğuna bərabərdir. 2-nin kvadrat kökü müsbətdir ... Wikipedia

Əgər c ədədi f(x) polinomunun köküdürsə, bu çoxhədlinin x-c-ə bölündüyü məlumdur. Elə ola bilər ki, f (x) də x-c çoxhədlinin müəyyən gücünə bölünür, yəni. (x-c) k, k>1 üzərində. Bu halda c çox kök adlanır. Tərifi daha aydın ifadə edək.

Əgər çoxhəd (x-c) k-ə, k>1 (k natural ədəddir), lakin bu rəqəmə bölünmürsə, c ədədi f (x) çoxhədlinin k çoxluğunun kökü (k-qat kök) adlanır. (x-c) k+ bir. Əgər k=1 olarsa, onda c sadə kök, k>1 olarsa, f (x) çoxhədlinin qat kökü adlanır.

Bundan sonra, köklərin çoxluğunu təyin edərkən, aşağıdakı təklif bizim üçün faydalı olacaqdır.

Əgər f (x) çoxhədli f (x) = (x-c) mg (x) şəklində göstərilibsə, m natural ədəddirsə, o, (x-c) m + 1-ə bölünür, o halda ki, g (x) bölünür. xs-də. Həqiqətən, əgər g(x) x-c-ə bölünürsə, yəni. g (x) \u003d (x-c) s (x), sonra f (x) \u003d (x-c) m + 1s (x), yəni f (x) (x-c) m + 1-ə bölünür.

Əksinə, f (x) (x-c) m + 1-ə bölünürsə, f (x) \u003d (x-c) m + 1s (x) olur. Sonra (x-c) mg (x) = (x-c) m + 1s (x) və (x-c) m-ə endirdikdən sonra g (x) = (x-c) s (x) alırıq. Buradan belə çıxır ki, g(x) x-c-ə bölünür.

İndi kökün çoxluğu anlayışına qayıdaq. Məsələn, 2 ədədinin f (x) =x5-5x4+3x3+22x2-44x+24 çoxhədlinin kökü olub-olmadığını öyrənək və belədirsə, onun çoxluğunu tapaq. Birinci suala cavab vermək üçün Horner sxemindən istifadə edərək f(x)-in x-2-yə bölündüyünü yoxlayaq. bizdə:

Cədvəl 4

Biz əldə etdik ki, g (x) x-2-yə bölünür və g (x) = (x-2) (x3-x2-5x+6). Onda f (x) = (x-2) 2 (x3-x2-5x+6).

Deməli, f(x) (x-2)2-yə bölünür, indi biz f(x)-in (x-2)3-ə bölünüb-bölmədiyini öyrənməliyik.

Bunu etmək üçün h (x) \u003d x3-x2-5x + 6-nın x-2-yə bölündüyünü yoxlayın:

Cədvəl 6

Biz tapırıq ki, s (x)-i x-2-yə bölərkən qalıq 3-ə bərabərdir, yəni. s(x) x-2-yə bölünmür. Beləliklə, f(x) (x-2)4-ə bölünmür.

Beləliklə, f (x) (x-2) 3-ə bölünür, lakin (x-2) 4-ə deyil. Buna görə də 2 rəqəmi f (x) çoxhədlinin 3 çoxluğunun köküdür.

Adətən kökün çoxluq üçün yoxlanılması bir cədvəldə aparılır. Bu nümunə üçün bu cədvəl belə görünür:

Cədvəl 8

Başqa sözlə desək, Horner sxeminə görə f (x) çoxhədlini x-2-yə böldükdə ikinci sətirdə g (x) çoxhədlinin əmsallarını alırıq. Sonra bu ikinci sətri yeni Horner sisteminin birinci sətri hesab edirik və g (x)-i x-2-yə bölürük və s. Sıfırdan fərqli bir qalıq əldə edənə qədər hesablamağa davam edirik. Bu halda kökün çoxluğu əldə edilən sıfır qalıqların sayına bərabərdir. Sonuncu sıfırdan fərqli qalığı ehtiva edən sətir f (x)-i (x-2) 3-ə bölərkən bölmənin əmsallarını da ehtiva edir. İndi kökün çoxluğun yoxlanılması üçün sadəcə təklif olunan sxemdən istifadə edərək, aşağıdakı məsələni həll edəcəyik. . Nə üçün a və b çoxhədli f (x) =x4+2x3+ax2+ (a+b) x+2 çoxluğun kökü kimi - 2 sayına malikdir?

Kökün çoxluğu - 2 2-yə bərabər olmalıdır, onda təklif olunan sxemə uyğun olaraq x + 2-yə bölməni həyata keçirərək, qalanı iki dəfə 0, üçüncü dəfə isə sıfırdan başqa qalanı almalıyıq. Bizdə:

Cədvəl 9

Beləliklə, - 2 ədədi ilkin çoxhədlinin 2 çoxluğunun köküdür

Buradan alırıq: a=-7/2, b=-5/2.

Bucaq bölgüsü sxemi

Çoxhədlilərin bölünməsi

Qalan ilə bölmə. Teorem. Əgər P(x) və S(x) 0 iki çoxhədlidirsə, o zaman aşağıdakı əlaqələri ödəyən Q(x) və R(x) çoxhədlilərinin unikal cütü və üstəlik: 1) , 2) və ya dərəcələri mövcuddur. R(x) S(x) və ya R(x) = 0 dərəcəsindən kiçik və ya ona bərabərdir.

Q(x) hissə adlanır, R(x) isə qalıqdır.

Misal 1. , . P(x) polinomunu S(x)-ə böldükdən sonra əmsal və qalığı tapın.

Cavab verin: hissə, qalıq.

Misal 2. -a bölündükdə hissə və qalığı tapın.

Cavab verin: hissə bərabərdir; qalanı sıfırdır.

Teorem. P(x)-i S(x)-ə bölərkən qalıq sıfır olarsa, P(x) polinomu S(x) polinomuna bölünür..

Teoremdən belə nəticə çıxır ki, P(x) çoxhədlisinin S(x)-ə bölünüb-bölünmədiyini öyrənmək üçün bucaqla bölmək və qalığını tapmaq olar. Əgər qalıq sıfırdırsa, o zaman P(x) çoxhədli S(x) polinomuna bölünür.

Misal 3. Çoxhədlinin bölünə biləcəyini müəyyənləşdirin

polinom üçün?

P(x) polinomunu S(x)-ə “künc”lə bölürük. Nəticə olaraq əldə edirik ki, bölgü , qalıq isə sıfırdır. Deməli, P(x) çoxhədli S(x) polinomuna bölünür.

Qoy c hansısa həqiqi ədəd olsun (ümumiyyətlə, kompleks ədəd). Məna x = c üçün çoxhədli P(x) bu çoxhədlidə x yerinə əvəz etməklə və hərəkətləri yerinə yetirməklə əldə edilən ədəddir.

Əgər , onda bu çoxhədlinin x = c-dəki qiyməti P(c) ilə işarələnir: .

Misal 1. x = 2 üçün P(x) = polinomunun qiyməti:

x = 0-da, P(0) = -5; x = 1 üçün P(1) = 3 - 2 + 4 - 5 = 0.

Beləliklə, x = 0 üçün polinomun qiyməti sərbəst müddətə bərabərdir:

x = 1 üçün polinomun qiyməti onun əmsallarının cəminə bərabərdir:

Tərif. Çoxhədlinin qiyməti sıfıra bərabərdirsə, ona P(x) çoxhədlinin kökü deyilir.

Misal 1. Çoxhədli verilir. x = 2 üçün bu çoxhədlinin qiyməti sıfırdır, bu o deməkdir ki, x = 2 S(x) polinomunun köküdür.

X = 1-də çoxhədlinin qiymətinin onun əmsallarının cəminə bərabər olması tərs qaydada istifadə olunur: polinomun əmsallarının cəmi sıfırdırsa, x = 1 bu çoxhədlinin köküdür.

Tərif. Əgər tapşırıq f(x) polinomunun sıfıra bərabər olduğu x dəyişəninin bütün qiymətlərini tapmaqdırsa, o zaman deyirlər ki, f(x) = 0 tənliyini həll etmək lazımdır.

Biz bunu xüsusilə vurğulayırıq qərar ver tənlik tapmaq deməkdir hamısı onun kökləri.

Bu minvalla, cəbri tənlik f(x) = 0 tənliyi adlanır, burada f(x) bəzi çoxhədlidir. Əgər f(x) n-ci dərəcə çoxhədlidirsə, onda tənlik çağırılır n-ci dərəcəli cəbri tənlik .

Cəbri tənlikləri həll edərkən aşağıdakı teorem (Bezout teoremi adlanır) faydalıdır.

Teorem 1. f(x) çoxhədlinin x - a bölünməsindən qalan hissə f(a)-a bərabərdir (yəni bu çoxhədlinin x = a-dakı qiymətinə bərabərdir).

Sübut

f (x) çoxhədlinin qalığını x - a ilə bölək:

burada qalıq r(x), sıfıra bərabər deyilsə, dərəcəsi x - a böləninin dərəcəsindən kiçik olan çoxhədlidir, yəni sıfıra bərabərdir. Buna görə də r(x) = r-dir nömrə:

r ədədini tapmaq üçün bu bərabərliyə x = a qoyuruq. Sonra teoremi sübut edən f(a) = r alırıq.

Nəticə. Əgər a çoxhədli f(x) köküdürsə, bu çoxhədli bölünür.

Misal 1. Çoxhədli verilmişdir. 1-in bu çoxhədlinin kökü olduğunu görmək asandır, əslində: , bu o deməkdir ki, teoremin nəticəsi ilə çoxhədli x - 1-ə bölünməlidir.

"Küncü" çoxhədlini x - 1-ə bölün:

Qalan sıfırdır, yəni çoxhədli x - 1-ə bölünür.

Teorem 2. Çoxhədlinin bütün əmsalları olarsa

tam ədədlərdir, onda bu çoxhədlinin hər bir tam kökü sərbəst terminin bölənidir.

Sübut

c f(x) polinomunun tam kökü olsun, yəni.

Mötərizədə olan ədəd tam olduğundan (şərtə görə bütün əmsallar tam ədəd olduğu üçün) c-ə bölünür.

Sübut edilmiş teorem tam əmsallı çoxhədlilərin tam köklərinin axtarışını xeyli asanlaşdırır.

1 . Sərbəst terminin bütün bölənlərini (müsbət və mənfi) tapmaq və yazmaq lazımdır.

2 . Onlardan hansının verilmiş çoxhədlinin kökləri olduğunu yoxlayın (əvəz etməklə mümkündür).

3 . Sərbəst terminin heç bir bölməsi çoxhədlini sıfıra çevirmirsə, bu çoxhədlinin tam kökləri yoxdur.

Misal 1. Tənliyi həll edin.

1. Sərbəst 12 termininin bölənlərini tapın: .

2. Əgər tənliyin tam kökləri varsa, onlar bu bölənlər arasındadırsa, bunu yoxlayın. Tənliyin sol tərəfindəki çoxhədli f(x) ilə işarələnir.

f(1) = 24, ona görə də 1 tənliyin kökü deyil;

f(-1) = -24, deməli -1 tənliyin kökü deyil;

f(2) = 0, ona görə də 2 tənliyin köküdür.

3. Bezout teoreminə görə, f(x) çoxhədli x - 2-ə bölünür. Bölməni "künc"lə etməklə, tapırıq: .

Qalan kökləri tapmaq üçün tənliyi həll etməlisiniz

Əvvəlki prosesi yenidən təkrar edirik.

1. Sərbəst 6 termininin bölənlərini yazırıq: .

2. Biz onları yoxlayırıq. 1 və -1 rəqəmləri artıq yoxlanılıb. Gəlin digər bölənləri bir-bir çoxhəddə əvəz edərək yoxlayaq.

g(2) = -40, deməli 2 g(x) polinomunun kökü deyil;

g(-2) = 12, -2 kök deyil;

g(3) = -48, 3 kök deyil;

g(-3) = 0, deməli -3 g(x) polinomunun köküdür.

Bezout teoreminə görə x + 3-ə bölünür. Bölmə nəticəsində əldə edirik:

Başqa kökləri tapmaq üçün, əgər varsa, kvadrat tənliyi həll edirik.

Beləliklə, dördüncü dərəcəli ilkin tənliyin dörd kökü var.

Cavab verin: , , , .

Şərh. Bəzən çoxhədlinin ehtimal olunan köklərini yoxlamaq və ya onun dəyərini hesablamaq asan olmur, xüsusən də polinom yüksək dərəcədədirsə və yoxlanılan ədədlər böyükdürsə.

Bu prosesi asanlaşdırmaq üçün Horner sxemi mövcuddur.

Dərsin Məqsədləri:

• tələbələrə Horner sxemindən istifadə edərək daha yüksək dərəcəli tənlikləri həll etməyi öyrətmək;
• cütlərdə işləmək bacarığını inkişaf etdirmək;
• kursun əsas bölmələri ilə birlikdə tələbələrin qabiliyyətlərinin inkişafı üçün zəmin yaratmaq;
• tələbənin potensialını qiymətləndirməyə kömək etmək, riyaziyyata marağı, düşünmək, mövzu ətrafında danışmaq bacarığını inkişaf etdirmək.

Avadanlıq: qruplarda işləmək üçün kartlar, Horner sxemi ilə plakat.

Tədris metodu: mühazirə, hekayə, izahat, təlim tapşırıqlarının yerinə yetirilməsi.

Nəzarət forması: müstəqil həlli problemlərinin yoxlanılması, müstəqil iş.

Dərslər zamanı

1. Təşkilati məqam

2. Şagirdlərin biliklərinin aktuallaşdırılması

Hansı teorem ədədin verilmiş tənliyin kökü olub-olmadığını müəyyən etməyə imkan verir (teoremi tərtib etmək üçün)?

Bezout teoremi. P(x) çoxhədlinin x-c binomuna bölünməsindən qalan hissə P(c)-ə bərabərdir, P(c)=0 olarsa c ədədi P(x) çoxhədlinin kökü adlanır. Teorem bölmə əməliyyatını yerinə yetirmədən verilmiş ədədin çoxhədlinin kökü olub-olmadığını müəyyən etməyə imkan verir.

Hansı ifadələr kök tapmağı asanlaşdırır?

a) Çoxhədlinin aparıcı əmsalı birə bərabərdirsə, çoxhədlinin kökləri sərbəst müddətin bölənləri arasında axtarılmalıdır.

b) Çoxhədlinin əmsallarının cəmi 0 olarsa, köklərdən biri 1-dir.

c) Cüt yerlərdə olan əmsalların cəmi tək yerlərdəki əmsalların cəminə bərabərdirsə, köklərdən biri -1-ə bərabərdir.

d) Əgər bütün əmsallar müsbətdirsə, polinomun kökləri mənfi ədədlərdir.

e) Tək dərəcə çoxhədlinin ən azı bir həqiqi kökü var.

3. Yeni materialın öyrənilməsi

Bütün cəbri tənlikləri həll edərkən çoxhədlilərin köklərinin qiymətlərini tapmaq lazımdır. Hesablamalar Horner sxemi adlanan xüsusi alqoritm əsasında aparılarsa, bu əməliyyat xeyli sadələşdirilə bilər. Bu sxem ingilis alimi Uilyam Corc Hornerin adını daşıyır. Horner sxemi P(x) çoxhədlinin x-c-ə bölünməsinin əmsalını və qalığını hesablamaq üçün alqoritmdir. Qısaca, necə işləyir.

İxtiyari P(x)=a 0 x n + a 1 x n-1 + ...+ a n-1 x+ a n çoxhədli verilsin. Bu çoxhədlinin x-c-ə bölünməsi onun P(x)=(x-c)g(x) + r(x) şəklində təqdim edilməsidir. Şəxsi g (x) \u003d 0 x n-1 + at n x n-2 + ... + at n-2 x + at n-1, burada 0 \u003d a 0, n \u003d sv n- 1 + a n , n=1,2,3,…n-1. Qalan r (x) \u003d St n-1 + a n. Bu hesablama üsulu Horner sxemi adlanır. Alqoritmin adındakı “sxem” sözü onunla bağlıdır ki, adətən onun icrası aşağıdakı kimi rəsmiləşdirilir. Birinci çəkiliş cədvəli 2(n+2). Aşağı sol xanada c rəqəmi, yuxarı sətirdə isə P (x) polinomunun əmsalları yazılır. Bu halda yuxarı sol xana boş qalır.

Alqoritmin yerinə yetirilməsindən sonra sağ alt xanaya yazıldığı məlum olan ədəd P(x) çoxhədlisinin x-c-ə bölünməsindən qalan hissədir. Aşağı cərgənin 0 , 1 , 2 , …-dakı digər rəqəmlər bölmənin əmsallarıdır.

Məsələn: P (x) \u003d x 3 -2x + 3 polinomunu x-2-yə bölün.

Alırıq ki, x 3 -2x + 3 \u003d (x-2) (x 2 + 2x + 2) + 7.

4. Öyrənilən materialın konsolidasiyası

Misal 1: P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 polinomunu tam əmsallarla çarpazlara ayırın.

Sərbəst terminin bölənləri arasında tam köklər axtarırıq -1: 1; -bir. Gəlin bir cədvəl hazırlayaq:

X \u003d -1 - kök

P (x) \u003d (x + 1) (2x 3 -9x 2 + 6x -1)

1/2-ni yoxlayaq.

Buna görə də P(x) çoxhədlisi kimi təqdim edilə bilər

P (x) \u003d (x + 1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) \u003d (x + 1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Misal 2: 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0 tənliyini həll edin

Tənliyin sol tərəfində yazılan çoxhədlinin əmsallarının cəmi sıfıra bərabər olduğundan, köklərdən biri 1-dir. Horner sxemindən istifadə edək:

P (x) \u003d (x-1) (2x 3 -3x 2 \u003d 2x +2) alırıq. Sərbəst termin 2-nin bölənləri arasında kök axtaracağıq.

Artıq bütöv köklərin olmadığını öyrəndik. 1/2-ni yoxlayaq; -1/2.

Cavab: 1; -1/2.

Misal 3: 5x 4 - 3x 3 - 4x 2 -3x + 5 = 0 tənliyini həll edin.

Bu tənliyin köklərini 5 sərbəst termininin bölənləri arasında axtaracağıq: 1; -1; 5; -5. x=1 tənliyin köküdür, çünki əmsalların cəmi sıfırdır. Horner sxemindən istifadə edək:

tənliyi üç amilin məhsulu kimi təqdim edirik: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) \u003d 0. 5x 2 -7x+5=0 kvadrat tənliyini həll edərək D=49-100=-51 alırıq, kök yoxdur.

Kart 1

1. Çoxhədlini çarpanlayın: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Tənliyi həll edin: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Kart 2

1. Çoxhədlini çarpanlayın: x 4 -x 3 -7x 2 + 13x-6
2. Tənliyi həll edin: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Kart 3

1. Faktorlara ayırın: 2x 3 -21x 2 + 37x + 24
2. Tənliyi həll edin: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Kart 4

1. Faktorlara ayırın: 5x 3 -46x 2 + 79x-14
2. Tənliyi həll edin: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Xülasə

Cütlərdə həll edərkən biliyin yoxlanılması dərsdə hərəkət metodunu və cavabın adını tanımaqla həyata keçirilir.

Ev tapşırığı:

Tənlikləri həll edin:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x + 1 \u003d 0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 \u003d 4 x 2

d) x 4 + 2x 3 -x-2 \u003d 0

Ədəbiyyat

1. N.Ya. Vilenkin və başqaları, Cəbr və təhlilin başlanğıcı 10-cu sinif (riyaziyyatın dərindən öyrənilməsi): Enlightenment, 2005.
2. U.İ. Saxarçuk, L.S. Sagatelova, Yüksək dərəcəli tənliklərin həlli: Volqoqrad, 2007.
3. S.B. QaşkovNömrə sistemləri və onların tətbiqi.