Definitsioon. Maatriks on arvude kogum, mis moodustab ristkülikukujulise tabeli, mis koosneb m reast ja n veerust

Lühidalt, maatriks on tähistatud järgmiselt:

kus selle maatriksi elemendid, i on rea number, j on veeru number.

Kui maatriksi ridade arv on võrdne veergude arvuga ( m = n), siis nimetatakse maatriksit ruut n- järjekord, muidu ristkülikukujuline.

Kui a m= 1 ja n > 1, siis saame üherealise maatriksi

mida nimetatakse rea vektor , kui m>1 ja n=1, siis saame üheveerulise maatriksi

mida nimetatakse veeru vektor .

Ruutmaatriksit, milles kõik elemendid, välja arvatud põhidiagonaali elemendid, on võrdsed nulliga, nimetatakse diagonaal.

Kutsutakse diagonaalmaatriksit, mille kirjed põhidiagonaalil on võrdsed ühega üksikult, tähistatud E.

Nimetatakse maatriksit, mis saadakse antud antud rea asendamisel sama numbriga veeruga üle võetud sellele. Määratud.

Kaks maatriksit on võrdsed, kui samades kohtades olevad elemendid on võrdsed, st kui

kõigi jaoks i ja j(antud juhul maatriksite ridade (veergude) arv A ja B peaks olema sama).

1°. Kahe maatriksi summa A=(a ij) ja B=(b ij) sama summaga m read ja n veerge nimetatakse maatriksiks C=(c ij), mille elemendid on määratud võrdsusega

Maatriksite summa on tähistatud C=A+B.

Näide.

20 . Matrix toode A=(a ij) numbri kohta λ nimetatakse maatriksit, milles iga element on võrdne maatriksi vastava elemendi korrutisega A numbri kohta λ :

λA=λ (a ij)=(λa ij), (i=1,2…,m; j=1,2…,n).

Näide.

kolmkümmend . Matrix toode A=(a ij), millel on m read ja k veerud maatriksi kohta B=(b ij), millel on k read ja n veerud, mida nimetatakse maatriksiks C=(c ij), millel on m read ja n veerud, mille element c ij on võrdne elementide korrutiste summaga i maatriksi rida A ja j-maatriksi veerg B, st

Sel juhul maatriksi veergude arv A peab olema võrdne maatriksi ridade arvuga B. Vastasel juhul on toode määratlemata. Maatriksite korrutis on tähistatud A*B=C.

Näide.

Maatriksite korrutis ei rahulda maatriksite vahelist võrdsust A* B ja B* AÜldjuhul ei pruugi üks neist olla määratletud.

Mis tahes järjestust ruutmaatriksi korrutamine vastava identiteedimaatriksiga ei muuda maatriksit.

Näide. Olgu siis maatrikskorrutamise reegli kohaselt meil

,

kust me selle järeldame

Determinandid ja nende omadused.

Olgu antud kolmandat järku ruutmaatriks:

Definitsioon. Maatriksile (1) vastav kolmandat järku determinant on sümboliga tähistatud arv

ja määratletud võrdsusega

Et meeles pidada, millised võrdsuse (2) paremal poolel olevad tooted on võetud märgiga "+" ja millised "-" märgiga, on kasulik kasutada järgmist kolmnurkade reeglit.

Näide.

Sõnastagem kolmandat järku determinantide peamised omadused, kuigi need on omased mis tahes järgu determinantidele.

1. Determinandi väärtus ei muutu, kui selle ridu ja veerge vahetada, st.

2. Determinandi kahe veeru või kahe rea vahetamine võrdub selle korrutamisega -1-ga.

3. Kui determinandil on kaks identset veergu või kaks identset rida, siis on see võrdne nulliga.

4. Korrutage ühe veeru või determinandi rea kõik elemendid mis tahes arvuga λ võrdub determinandi korrutamisega selle arvuga λ .

5. Kui determinandi mõne veeru või mõne rea kõik elemendid on võrdsed nulliga, siis on determinant ise võrdne nulliga.

6. Kui determinandi kahe veeru või kahe rea elemendid on võrdelised, on determinant null.

7. Kui iga element n- veerg ( n rida) on kahe liikme summa, siis saab determinandi esitada kahe determinandi summana, millest üks n- veerg ( n rida) sisaldab esimest ülaltoodud terminit ja teine ​​- teist; elemendid ülejäänud kohtades on kõigi kolme determinandi puhul samad.

Näiteks,

80. Kui liita determinandi teatud veeru (rea) elementidele teise veeru (rea) vastavad elemendid korrutatuna mis tahes ühisteguriga, siis determinandi väärtus ei muutu.

Näiteks,

Alaealine mõnda determinandi elementi nimetatakse determinandiks, mis saadakse antud determinandist, kustutades rea ja veeru, mille ristumiskohas see element asub.

Näiteks elemendi moll a 1 determinant Δ on 2. järku determinant

Determinandi mõne elemendi algebraline komplement on selle elemendi moll, korrutatuna (-1) lk, kus R- nende rea- ja veerunumbrite summa, mille ristumiskohas see element asub.

Kui näiteks element a 2 on 1. veeru ja 2. rea ristumiskohas, siis tema jaoks R=1+2=3 ja algebraline komplement on

90. Determinant on võrdne mis tahes veeru või rea elementide ja nende algebraliste täiendite korrutistega.

100 . Determinandi mis tahes veeru või rea elementide ja mõne teise veeru või mõne muu rea vastavate elementide algebraliste täiendite korrutiste summa on võrdne nulliga.

Tekib küsimus, kas ruutmaatriksi puhul on see võimalik AGA vali mõni maatriks nii, et korrutades maatriksi sellega AGA selle tulemusena hankige identiteedimaatriks E, nimetatakse sellist maatriksit maatriksi pöördväärtuseks AGA.

Definitsioon. Maatriksit nimetatakse pöördruutmaatriksiks A, kui.

Definitsioon. Ruutmaatriksit nimetatakse mitteainsuseks, kui selle determinant on nullist erinev. Vastasel juhul nimetatakse ruutmaatriksit degenereerunud.

Igal mittedegenereerunud maatriksil on pöördväärtus.

Maatriksite elementaarteisendused on:

maatriksi kahe paralleelse rea permutatsioon;

kõigi maatriksi elementide korrutamine nullist erineva arvuga;

paralleelrea vastavate elementide maatriksi rea kõikide elementide liitmine sama arvuga.

Maatriks AT saadud maatriksist AGA elementaarteisendusi kasutades, nimetatakse samaväärne maatriks.

Mittedegenereerunud ruutmaatriksi jaoks

kolmandat järku pöördmaatriks AGA-1 saab arvutada järgmise valemi abil

siin Δ on maatriksi determinant AGA,A ij – elementide algebralised täiendid a ij maatriksid AGA.

Maatriksirea elementi nimetatakse äärmuslik kui see on nullist erinev ja kõik sellest vasakul oleva stringi elemendid on võrdsed nulliga. Maatriksit nimetatakse astus kui iga rea ​​viimane element asub eelmise rea viimasest elemendist paremal. Näiteks:

Ei astunud; - astus.

Maatriksi lisamine:

Maatriksi lahutamine ja liitmine taandatakse vastavatele toimingutele nende elementidega. Maatriksi liitmise operatsioon sisestatud ainult jaoks maatriksid sama suurusega, st jaoks maatriksid, millel on vastavalt sama arv ridu ja veerge. maatriksite summa A ja B kutsutakse maatriks C, mille elemendid on võrdsed vastavate elementide summaga. C \u003d A + B c ij \u003d a ij + b ij maatriksi erinevus.

Maatriksi korrutamine arvuga:

Maatriksi korrutamise (jagamise) tehe mis tahes suurusega suvalise arvuga taandatakse iga elemendi korrutamiseks (jagamiseks). maatriksid selle numbri jaoks. Matrix toode Ja numbrit k kutsutakse maatriks B, selline

b ij = k × a ij . B \u003d k × A b ij \u003d k × a ij. Maatriks- A \u003d (-1) × A nimetatakse vastupidiseks maatriks AGA.

Maatriksi liitmise ja maatriksi korrutamise omadused:

Maatriksi liitmise operatsioonid ja maatrikskorrutised arvul on järgmised omadused: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A \u003d 0; 5. 1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βА) = (αβ) × А; , kus A, B ja C on maatriksid, α ja β on arvud.

Maatrikskorrutis (maatrikskorrutis):

Kahe maatriksi korrutamise operatsioon sisestatakse ainult juhul, kui veergude arv on esimene maatriksid võrdub teise ridade arvuga maatriksid. Matrix toode Ja m × n edasi maatriks In n × p , nimetatakse maatriksС m×p selline, et с ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , st leida i-nda rea ​​elementide korrutiste summa maatriksid Ja j -nda veeru vastavatel elementidel maatriksid B. Kui maatriksid A ja B on ühesuurused ruudud, siis on korrutised AB ja BA alati olemas. Lihtne on näidata, et A × E = E × A = A, kus A on ruut maatriks, E - vallaline maatriks sama suur.

Maatriksi korrutamise omadused:

Maatrikskorrutis mitte kommutatiivne, st. AB ≠ BA, isegi kui mõlemad tooted on määratletud. Siiski, kui mõne maatriksid seos AB = BA on täidetud, siis selline maatriksid nimetatakse permutatsioonideks. Kõige tüüpilisem näide on singel maatriks, mis on muudetav mis tahes muuga maatriks sama suur. Permutatsioon saab olla ainult ruut maatriksid samas järjekorras. A × E = E × A = A

Maatrikskorrutis on järgmised omadused: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T B T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;

2. 2. ja 3. järgu määrajad. Determinantide omadused.

maatriksi determinant teist järku või determinant teist järku, mida nimetatakse numbriks, mis arvutatakse järgmise valemiga:

maatriksi determinant kolmas järjekord või determinant kolmas järk, mida nimetatakse numbriks, mis arvutatakse järgmise valemiga:

See arv tähistab kuuest liikmest koosnevat algebralist summat. Iga termin sisaldab täpselt ühte elementi igast reast ja igast veerust maatriksid. Iga termin koosneb kolme teguri korrutisest.

Märgid, millega liikmed maatriksi determinant sisalduvad valemis maatriksi determinandi leidmine kolmandat järku saab määrata ülaltoodud skeemi abil, mida nimetatakse kolmnurkade reegliks või Sarruse reegliks. Esimesed kolm terminit võetakse plussmärgiga ja määratakse vasakpoolse joonise järgi ning järgmised kolm mõistet võetakse miinusmärgiga ja määratakse parempoolse joonise järgi.

Määrake otsitavate terminite arv maatriksi determinant, algebralises summas saate arvutada faktoriaali: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 x 2 x 3 = 6

Maatriksi määraja omadused

Maatriksi determinantide omadused:

Atribuut nr 1:

Maatriksi determinant ei muutu, kui selle read asendatakse veergudega, iga rida sama numbriga veeruga ja vastupidi (Ülekandmine). |A| = |A| T

Tagajärg:

Veerud ja read maatriksi determinant on võrdsed, seetõttu rakendatakse ridadele omaseid omadusi ka veergude jaoks.

Atribuut nr 2:

2 rea või veeru vahetamisel maatriksi determinant muudab märgi vastupidiseks, säilitades absoluutväärtuse, st:

Atribuut nr 3:

Maatriksi determinant, millel on kaks identset rida, on võrdne nulliga.

Atribuut nr 4:

Mis tahes seeria elementide ühine tegur maatriksi determinant saab märgist välja võtta determinant.

Omaduste #3 ja #4 tagajärjed:

Kui teatud rea (rea või veeru) kõik elemendid on võrdelised paralleelseeria vastavate elementidega, siis sellised maatriksi determinant võrdub nulliga.

Atribuut nr 5:

maatriksi determinant on siis võrdsed nulliga maatriksi determinant võrdub nulliga.

Atribuut nr 6:

Kui mis tahes rea või veeru kõik elemendid determinant esitatakse 2 termini summana, siis determinant maatriksid saab esitada 2 summana määrajad valemi järgi:

Atribuut nr 7:

Kui mis tahes reale (või veergu) determinant lisage teise rea (või veeru) vastavad elemendid korrutatuna sama arvuga, siis maatriksi determinant ei muuda selle väärtust.

Näide omaduste rakendamisest arvutusse maatriksi determinant:

Niisiis analüüsisime eelmises tunnis maatriksite liitmise ja lahutamise reegleid. See on nii lihtsad toimingud et enamik õpilasi mõistab neid sõna otseses mõttes otsekohe.

Siiski rõõmustate varakult. Tasuta pakkumine on läbi – liigume edasi korrutamise juurde. Hoiatan teid kohe: kahe maatriksi korrutamine ei tähenda sugugi samade koordinaatidega lahtrite arvude korrutamist, nagu võite arvata. Siin on kõik palju lõbusam. Ja alustada tuleb esialgsetest määratlustest.

Järjepidevad maatriksid

Üks neist kõige olulisemad omadused maatriks on selle suurus. Oleme sellest juba sada korda rääkinud: $A=\left[ m\times n \right]$ tähendab, et maatriksis on täpselt $m$ rida ja $n$ veergu. Oleme juba arutanud, kuidas ridu veergudega mitte segi ajada. Nüüd on oluline midagi muud.

Definitsioon. Maatriksid kujul $A=\left[ m\times n \right]$ ja $B=\left[ n\times k \right]$, milles veergude arv esimeses maatriksis on sama kui ridade arvu teises, nimetatakse järjepidevaks.

Veel kord: esimese maatriksi veergude arv on võrdne teise maatriksi ridade arvuga! Sellest saame korraga kaks järeldust:

1. Me hoolime maatriksite järjestusest. Näiteks maatriksid $A=\left[ 3\x 2 \right]$ ja $B=\left[ 2\times 5 \right]$ on järjepidevad (esimeses maatriksis 2 veergu ja teises 2 rida) , kuid vastupidi — maatriksid $B=\left[ 2\x 5 \right]$ ja $A=\left[ 3\x 2 \right]$ ei ole enam järjepidevad (esimeses maatriksis on 5 veergu, nagu see oli, mitte 3 rida teises ).
2. Järjepidevust on lihtne kontrollida, kui kõik mõõdud üksteise järel välja kirjutada. Kasutades eelmise lõigu näidet: "3 2 2 5" - samad arvud on keskel, nii et maatriksid on järjepidevad. Aga “2 5 3 2” pole kokku lepitud, sest keskel on erinevad numbrid.

Pealegi näib kapten vihjavat, et sama suurusega ruutmaatriksid $\left[ n\times n \right]$ on alati järjepidevad.

Matemaatikas, kui objektide loendamise järjekord on oluline (näiteks eespool käsitletud definitsioonis on oluline maatriksite järjekord), räägitakse sageli järjestatud paaridest. Kohtasime neid koolis: ma arvan, et see on mõttetu, et koordinaadid $\left(1;0 \right)$ ja $\left(0;1 \right)$ määravad tasapinnal erinevad punktid.

Niisiis: koordinaadid on ka järjestatud paarid, mis koosnevad numbritest. Kuid miski ei takista teil sellist maatriksipaari koostada. Siis on võimalik öelda: "Järjestatud maatriksipaar $\left(A;B \right)$ on järjekindel, kui esimese maatriksi veergude arv on sama kui teise maatriksi ridade arv. "

No mis siis?

Korrutamise definitsioon

Vaatleme kahte järjepidevat maatriksit: $A=\left[ m\times n \right]$ ja $B=\left[ n\times k \right]$. Ja me määratleme nende jaoks korrutamise operatsiooni.

Definitsioon. Kahe järjekindla maatriksi $A=\left[ m\times n \right]$ ja $B=\left[ n\times k \right]$ korrutis on uus maatriks $C=\left[ m\times k \ paremal] $, mille elemendid arvutatakse järgmise valemi järgi:

\[\begin(joona) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(joonda)\]

Sellist toodet tähistatakse standardsel viisil: $C=A\cdot B$.

Neile, kes näevad seda määratlust esimest korda, kerkivad kohe kaks küsimust:

1. Mis metsloom see selline on?
2. Miks see nii raske on?

Noh, esimesed asjad kõigepealt. Alustame esimese küsimusega. Mida kõik need indeksid tähendavad? Ja kuidas mitte teha vigu reaalsete maatriksitega töötades?

Kõigepealt paneme tähele, et pikk rida $((c)_(i;j))$ arvutamiseks (pange indeksite vahele spetsiaalselt semikoolon, et mitte segadusse sattuda, kuid te ei pea neid sisestama üldine - ma ise tüdinesin valemi definitsiooni tippimisest) taandub tõesti lihtsale reeglile:

1. Võtame esimese maatriksi $i$-nda rea;
2. Võtame teise maatriksi $j$-nda veeru;
3. Saame kaks numbrijada. Korrutame nende jadade elemendid samade arvudega ja seejärel lisame saadud korrutised.

Seda protsessi on pildilt lihtne mõista:

Veelkord: fikseerime esimeses maatriksis rea $i$, teises maatriksis veeru $j$, korrutame elemendid samade arvudega ja seejärel liidame saadud korrutised - saame $((c)_(ij ))$. Ja nii kõigi $1\le i\le m$ ja $1\le j\le k$ eest. Need. selliseid "perversioone" tuleb kokku $m\x k$.

Tegelikult oleme juba kohanud maatrikskorrutamist kooli õppekava, ainult palju vähendatud kujul. Olgu vektorid antud:

\[\begin(joona) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \end(joonda)\]

Siis on nende skalaarkorrutis täpselt paariskorrutite summa:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y) )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

Tegelikult korrutasime neil kaugetel aastatel, kui puud olid rohelisemad ja taevas heledam, reavektori $\overrightarrow(a)$ lihtsalt veeruvektoriga $\overrightarrow(b)$.

Tänaseks pole midagi muutunud. Lihtsalt nüüd on neid ridade ja veergude vektoreid rohkem.

Aga piisavalt teooriat! Vaatame tõelisi näiteid. Ja alustame kõige lihtsamast juhtumist – ruutmaatriksitest.

Ruutmaatriksite korrutamine

Ülesanne 1. Soorita korrutamine:

\[\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(massiivi) \right]\cdot \left[ \begin(massiivi)(* (35) (r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(massiivi) \right]\]

Otsus. Seega on meil kaks maatriksit: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ ja $B=\left[ 2\times 2 \right]$. On selge, et need on järjepidevad (sama suurusega ruutmaatriksid on alati järjepidevad). Seega teeme korrutamise:

\[\begin(joona) & \left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(massiivi) \right]\cdot \left[ \ algus(massiiv)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(massiivi) \right]=\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(massiivi) \right]= \\ & =\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ end(massiivi)\right]. \end(joonda)\]

See on kõik!

Vastus: $\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(massiivi) \right]$.

Ülesanne 2. Soorita korrutamine:

\[\left[ \begin(maatriks) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(maatriks) \right]\cdot \left[ \begin(massiivi)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(massiivi) \right]\]

Otsus. Jällegi järjekindlad maatriksid, nii et teeme järgmised toimingud:\[\]

\[\begin(joona) & \left[ \begin(maatriks) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(maatriks) \right]\cdot \left[ \begin(massiivi)(*(35)( r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(massiivi) \right]=\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ vasak (-3 \parem) & 1\cpunkt 6+3\cpunkt \vasak(-2 \parem) \\ 2\cpunkt 9+6\cpunkt \vasak(-3 \parem) & 2\cpunkt 6+6\ cdot \left(-2 \right) \\\end(massiivi) \right]= \\ & =\left[ \begin(maatriks) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(maatriks) \parem] . \end(joonda)\]

Nagu näete, on tulemuseks nullidega täidetud maatriks

Vastus: $\left[ \begin(maatriks) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(maatriks) \right]$.

Ülaltoodud näidetest on ilmne, et maatrikskorrutamine polegi nii keeruline tehe. Vähemalt 2 x 2 ruutmaatriksite jaoks.

Arvutuste käigus koostasime vahemaatriksi, kuhu joonistasime otse, millised arvud konkreetses lahtris sisalduvad. Täpselt nii tulebki teha tegelike probleemide lahendamisel.

Maatriksprodukti põhiomadused

Ühesõnaga. Maatriksi korrutamine:

1. Mittekommutatiivne: $A\cdot B\ne B\cdot A$ üldiselt. Muidugi on olemas spetsiaalsed maatriksid, mille puhul on võrdus $A\cdot B=B\cdot A$ (näiteks kui $B=E$ on identiteedimaatriks), kuid enamikul juhtudel see ei tööta ;
2. Assotsiatiivne: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Siin pole valikuid: kõrvutiasetsevaid maatrikseid saab korrutada, muretsemata selle pärast, mis jääb nendest kahest maatriksist vasakule ja paremale.
3. Jaotuvalt: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ ja $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $

Ja nüüd - kõik sama, kuid üksikasjalikumalt.

Maatrikskorrutamine sarnaneb paljuski klassikalise arvude korrutamisega. Kuid on erinevusi, millest kõige olulisem on see maatrikskorrutis on üldiselt mittekommutatiivne.

Mõelge uuesti ülesande 1 maatriksitele. Me juba teame nende otsest korrutist:

\[\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(massiivi) \right]\cdot \left[ \begin(massiivi)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(massiivi) \right]=\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(massiivi) \right]\]

Kuid kui me vahetame maatriksid, saame täiesti erineva tulemuse:

\[\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(massiivi) \right]\cdot \left[ \begin(massiivi)(* (35) (r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(massiivi) \right]=\left[ \begin(maatriks) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(maatriks )\right]\]

Selgub, et $A\cdot B\ne B\cdot A$. Samuti on korrutustehte defineeritud ainult järjekindlate maatriksite $A=\left[ m\times n \right]$ ja $B=\left[ n\times k \right]$ jaoks, kuid keegi ei garanteeri, et need jäävad püsima järjepidevad, kui need vahetatakse. Näiteks maatriksid $\left[ 2\x 3 \right]$ ja $\left[ 3\times 5 \right]$ on selles järjestuses üsna järjepidevad, kuid samad maatriksid $\left[ 3\x 5 \ parem] $ ja $\left[ 2\times 3 \right]$, mis on kirjutatud vastupidises järjekorras, ei ühti enam. Kurbus :(

Antud suurusega $n$ ruutmaatriksite hulgas on alati selliseid, mis annavad sama tulemuse nii otseses kui ka vastupidises järjekorras korrutatuna. Kuidas kõiki selliseid maatrikseid (ja kui palju neid üldse) kirjeldada, on eraldi õppetunni teema. Täna me sellest ei räägi. :)

Maatriksi korrutamine on aga assotsiatiivne:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

Seega, kui on vaja korrutada mitu maatriksit järjest, ei ole seda üldse vaja enne tähtaega teha: on täiesti võimalik, et mõni külgnev maatriks annab korrutamisel huvitava tulemuse. Näiteks nullmaatriks, nagu eespool käsitletud ülesandes 2.

Reaalsetes ülesannetes tuleb enamasti korrutada ruutmaatriksid suurusega $\left[ n\times n \right]$. Kõigi selliste maatriksite hulk on tähistatud $((M)^(n))$ (st kirjed $A=\left[ n\times n \right]$ ja \ tähendavad sama asja) ja see sisaldavad kindlasti maatriksit $E$, mida nimetatakse identiteedimaatriksiks.

Definitsioon. Identiteedimaatriks suurusega $n$ on maatriks $E$, nii et iga ruutmaatriksi $A=\left[ n\times n \right]$ korral kehtib võrdsus:

Selline maatriks näeb alati välja ühesugune: selle põhidiagonaalil on ühikud ja kõigis teistes lahtrites nullid.

\[\begin(joonda) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cpunkt B+A\cpunkt C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(joonda)\]

Teisisõnu, kui teil on vaja korrutada üks maatriks kahe teise maatriksi summaga, saate selle korrutada kõigi nende "teise kahega" ja seejärel lisada tulemused. Praktikas tuleb enamasti sooritada pöördtehte: märkame sama maatriksit, võtame selle sulgudest välja, teeme liitmise ja sellega lihtsustame oma elu. :)

Pange tähele, et distributiivsuse kirjeldamiseks tuli kirjutada kaks valemit: kus summa on teises teguris ja kus summa on esimeses. Seda just tänu sellele, et maatrikskorrutis on mittekommutatiivne (ja üleüldse on mittekommutatiivses algebras palju igasuguseid nalju, mis tavaarvudega töötades pähegi ei tule). Ja kui sul on näiteks eksamil vaja see omadus kirja panna, siis pane kindlasti mõlemad valemid kirja, muidu võib õpetaja veidi pahaseks saada.

Olgu, need olid kõik muinasjutud ruutmaatriksitest. Aga ristkülikud?

Ristkülikukujuliste maatriksite juhtum

Aga ei midagi – kõik on nagu kandilistega.

Ülesanne 3. Soorita korrutamine:

\[\left[ \begin(maatriks) \begin(maatriks) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(maatriks) & \begin(maatriks) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(maatriks) \ \\end(maatriks) \right]\cdot \left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(massiivi) \right]\]

Otsus. Meil on kaks maatriksit: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ ja $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Kirjutame suurusi tähistavad numbrid ritta:

Nagu näete, on kaks keskmist numbrit samad. See tähendab, et maatriksid on järjepidevad ja neid saab korrutada. Ja väljundis saame maatriksi $C=\left[ 3\times 2 \right]$:

\[\begin(joona) & \left[ \begin(maatriks) \begin(maatriks) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(maatriks) & \begin(maatriks) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(maatriks) \\\end(maatriks) \right]\cdot \left[ \begin(massiiv)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(massiiv) \right]=\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(massiiv) \right]= \\ & =\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\end(massiivi)\right]. \end(joonda)\]

Kõik on selge: lõplikus maatriksis on 3 rida ja 2 veergu. Üsna $=\left[ 3\times 2 \right]$.

Vastus: $\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) \begin(massiivi)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(massiivi) & \begin(maatriks) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(maatriks) \\\end(massiivi) \right]$.

Nüüd kaaluge ühte parimat treeningülesannet neile, kes alles alustavad maatriksitega töötamist. Selles ei pea te lihtsalt korrutama mõnda kahte tabletti, vaid kõigepealt kindlaks tegema: kas selline korrutamine on lubatud?

Ülesanne 4. Leidke maatriksite kõik võimalikud paariskorrutised:

\\]; $B=\left[ \begin(maatriks) \begin(maatriks) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(maatriks) & \begin(maatriks) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(maatriks) \\\end(maatriks) \right]$; $C=\left[ \begin(maatriks)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(maatriks) \right]$.

Otsus. Kõigepealt paneme kirja maatriksite mõõtmed:

\;\ B=\vasak[ 4\ korda 2 \paremale];\ C=\vasak[ 2\ korda 2 \parem]\]

Saame, et maatriksit $A$ saab sobitada ainult maatriksiga $B$, kuna $A$ veergude arv on 4 ja ainult $B$ on see arv ridu. Seega leiame toote:

\\cdot \left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(massiivi) \right]=\ vasak[ \begin(massiivi)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(massiivi) \right]\]

Vahesammud soovitan lugejal iseseisvalt sooritada. Märgin ainult, et parem on saadud maatriksi suurus eelnevalt kindlaks määrata, isegi enne arvutusi:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

Teisisõnu eemaldame lihtsalt "ülemineku" koefitsiendid, mis tagasid maatriksite järjepidevuse.

Millised muud variandid on võimalikud? Kindlasti on võimalik leida $B\cdot A$, kuna $B=\left[ 4\x 2 \right]$, $A=\left[ 2\x 4 \right]$, seega järjestatud paar $\ left(B ;A \right)$ on ühtlane ja toote mõõde on järgmine:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

Lühidalt, väljundiks on maatriks $\left[ 4\times 4 \right]$, mille koefitsiente on lihtne arvutada:

\\cdot \left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(massiivi) \right]=\ left[ \begin(massiivi)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 ja -8 \\\end(massiivi) \right]\]

Ilmselgelt saate vastendada ka $C\cdot A$ ja $B\cdot C$ ning kõik. Seetõttu kirjutame lihtsalt saadud tooted:

See oli lihtne. :)

Vastus: $AB=\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(massiivi) \right]$; $BA=\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(massiiv) \right]$; $CA=\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(massiivi) \right]$; $BC=\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(massiivi) \right]$.

Üldiselt soovitan seda ülesannet ise teha. Ja veel üks sarnane ülesanne, mis on käes kodutöö. Need pealtnäha lihtsad mõtted aitavad teil maatrikskorrutamise kõiki põhietappe välja mõelda.

Kuid lugu sellega ei lõpe. Liigume edasi korrutamise erijuhtude juurde. :)

Reavektorid ja veeruvektorid

Üks levinumaid maatriksoperatsioone on korrutamine maatriksiga, millel on üks rida või üks veerg.

Definitsioon. Veeruvektor on $\left[ m\times 1 \right]$ maatriks, st. koosneb mitmest reast ja ainult ühest veerust.

Reavektor on maatriks suurusega $\left[ 1\times n \right]$, st. mis koosneb ühest reast ja mitmest veerust.

Tegelikult oleme nende objektidega juba kohtunud. Näiteks tavaline kolmemõõtmeline vektor stereomeetriast $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ pole midagi muud kui reavektor. Teoreetilisest vaatenurgast ei ole ridade ja veergude vahel peaaegu mingit vahet. Ettevaatlik tuleb olla ainult ümbritsevate kordajamaatriksitega kooskõlastamisel.

Ülesanne 5. Korrutage:

\[\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(massiivi) \right] \cdot \left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(massiivi) \right]\]

Otsus. Meil on järjekindlate maatriksite korrutis: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Leia see tükk:

\[\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(massiivi) \right] \cdot \left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(massiivi) \right]=\left[ \begin(massiivi)(*(35) )(r)) 2\cpunkt 1+\vasak(-1 \parem)\cpunkt 2+3\cpunkt \vasak(-1 \parem) \\ 4\cpunkt 1+2\cpunkt 2+0\cpunkt 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(massiivi) \right]=\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(massiiv) \parem]\]

Vastus: $\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(massiivi) \right]$.

Ülesanne 6. Soorita korrutamine:

\[\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(massiivi) \right]\cdot \left[ \begin(massiivi)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(massiivi) \right]\]

Otsus. Jällegi on kõik ühtlane: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Arvestame tööga:

\[\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(massiivi) \right]\cdot \left[ \begin(massiivi)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(massiivi) \right]=\left[ \begin(massiivi)(*(35)( r))5 & -19 & 5 \\\end(massiivi) \right]\]

Vastus: $\left[ \begin(maatriks) 5 & -19 & 5 \\\end(maatriks) \right]$.

Nagu näete, on reavektori ja veeruvektori korrutamisel ruutmaatriksiga alati väljundiks sama suur rida või veerg. Sellel faktil on palju rakendusi, alates lahendamisest lineaarvõrrandid kõikvõimalikele koordinaatide teisendustele (mis taanduvad lõpuks ka võrrandisüsteemidele, aga kurbadest asjadest ärme räägi).

Ma arvan, et siin oli kõik ilmselge. Liigume edasi tänase õppetunni viimase osa juurde.

Maatriksi astendamine

Kõigist korrutamistoimingutest väärib erilist tähelepanu astendamine – see on siis, kui korrutame sama objekti mitu korda iseendaga. Maatriksid pole erand, neid saab tõsta ka erinevatele võimsustele.

Sellised tööd on alati kooskõlastatud:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

Ja need on tähistatud samamoodi nagu tavalised kraadid:

\[\begin(joonda) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end(joonda)\]

Esmapilgul on kõik lihtne. Vaatame, kuidas see praktikas välja näeb:

Ülesanne 7. Tõstke maatriks määratud astmeni:

$((\left[ \begin(maatriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(maatriks) \parem])^(3))$

Otsus. OK, ehitame. Teeme kõigepealt ruudu:

\[\begin(joona) & ((\left[ \begin(maatriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(maatriks) \parem])^(2))=\left[ \begin(maatriks ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(maatriks) \right]\cdot \left[ \begin(maatriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(maatriks) \right]= \\ & =\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(massiivi) \right]= \\ & =\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(massiivi) \right] \end(joonda)\]

\[\begin(joona) & ((\left[ \begin(maatriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(maatriks) \parem])^(3))=((\left[ \begin (maatriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(maatriks) \parem])^(3))\cdot \left[ \begin(maatriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( maatriks) \right]= \\ & =\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(massiivi) \right]\cdot \left[ \begin(maatriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(maatriks) \right]= \\ & =\left[ \begin(massiiv)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 ja 1 \\\end(massiivi) \right] \end(joona)\]

See on kõik.:)

Vastus: $\left[ \begin(maatriks)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(maatriks) \right]$.

Ülesanne 8. Tõstke maatriks määratud võimsuseni:

\[((\left[ \begin(maatriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(maatriks) \parem])^(10))\]

Otsus. Ärge nutke nüüd selle pärast, et "kraad on liiga kõrge", "maailm pole õiglane" ja "õpetajad on oma pangad täielikult kaotanud". Tegelikult on kõik lihtne:

\[\begin(joona) & ((\left[ \begin(maatriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(maatriks) \parem])^(10))=((\left[ \begin (maatriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(maatriks) \parem])^(3))\cdot ((\left[ \begin(maatriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ lõpp(maatriks) \parem])^(3))\cdot ((\left[ \begin(maatriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(maatriks) \parem])^(3))\ cdot \left[ \begin(maatriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(maatriks) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(maatriks) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(maatriks) \right]\cdot \left[ \begin(maatriks) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(maatriks) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(maatriks) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(maatriks) \right]\cdot \left[ \begin(maatriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(maatriks) \parem ] \right)= \\ & =\left[ \begin(maatriks) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(maatriks) \right]\cdot \left[ \begin(maatriks) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end(maatriks) \right]= \\ & =\left[ \begin(maatriks) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(maatriks) \right] \end(joona)\ ]

Pange tähele, et teisel real kasutasime korrutamise assotsiatiivsust. Tegelikult kasutasime seda eelmises ülesandes, kuid seal oli see kaudne.

Vastus: $\left[ \begin(maatriks) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(maatriks) \right]$.

Nagu näete, pole maatriksi võimsuseks tõstmises midagi keerulist. Viimase näite võib kokku võtta:

\[((\left[ \begin(maatriks) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(maatriks) \parem])^(n))=\left[ \begin(massiivi)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(massiivi) \right]\]

Seda fakti on lihtne tõestada matemaatilise induktsiooni või otsese korrutamise teel. Võimule tõstmisel pole aga kaugeltki alati võimalik selliseid mustreid tabada. Seetõttu ole ettevaatlik: sageli on lihtsam ja kiirem mitu maatriksit "tühjaks" korrutada, kui sealt mingeid mustreid otsida.

Üldiselt ärge otsige kõrgemat tähendust sealt, kus seda pole. Lõpetuseks vaatleme suurema maatriksi eksponentsiatsiooni – sama palju kui $\left[ 3\x 3 \right]$.

Ülesanne 9. Tõstke maatriks määratud võimsuseni:

\[((\left[ \begin(maatriks) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(maatriks) \parem])^(3))\]

Otsus. Ärgem otsigem mustreid. Töötame "läbi":

\[((\left[ \begin(maatriks) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(maatriks) \parem])^(3))=(( \left[ \begin(maatriks) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(maatriks) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (maatriks)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(maatriks) \parem]\]

Alustame selle maatriksi ruudustamiseks:

\[\begin(joona) & ((\left[ \begin(maatriks) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(maatriks) \parem])^( 2))=\left[ \begin(maatriks) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(maatriks) \right]\cdot \left[ \begin(maatriks ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(maatriks) \right]= \\ & =\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(massiivi) \right] \end(joona)\]

Nüüd tükeldame selle:

\[\begin(joona) & ((\left[ \begin(maatriks) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(maatriks) \parem])^( 3))=\left[ \begin(massiivi)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(massiivi) \right] \cdot \left[ \begin(maatriks) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(maatriks) \right]= \\ & =\left[ \begin( massiiv)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(massiivi) \right] \end(joona)\]

See on kõik. Probleem lahendatud.

Vastus: $\left[ \begin(maatriks) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(maatriks) \right]$.

Nagu näete, on arvutuste maht kasvanud, kuid tähendus pole üldse muutunud. :)

See õppetund võib lõppeda. Järgmisel korral kaalume pöördtehtet: otsime olemasoleva toote abil algsed kordajad.

Nagu te ilmselt juba arvasite, räägime pöördmaatriksist ja selle leidmise meetoditest.

Lineaaralgebra ülesanded. Maatriksi mõiste. Maatriksite tüübid. Tehted maatriksitega. Maatriksite teisendamise ülesannete lahendamine.

Matemaatika erinevate ülesannete lahendamisel tuleb sageli kokku puutuda arvutabelitega, mida nimetatakse maatriksiteks. Maatriksite abil on mugav lahendada lineaarvõrrandisüsteeme, sooritada paljusid tehteid vektoritega, lahendada erinevaid arvutigraafika ülesandeid ja muid inseneriülesandeid.

Maatriksit nimetatakse numbrit sisaldav ristkülikukujuline arvutabel m read ja mõned P veerud. Numbrid t ja P nimetatakse maatrikstellimusteks. Kui t = P, maatriksit nimetatakse ruuduks ja arvuks m = n- tema tellimus.

Järgnevalt kasutatakse maatriksite kirjutamiseks kas topeltkriipse või sulgusid:

Või

Lühikese maatriksitähise jaoks kasutatakse sageli kas ühte suurt ladina tähte (näiteks A) või sümbolit || a ij || ja mõnikord koos selgitusega: AGA = || a ij || = (aij), kus (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n).

Numbrid aij , mis on selle maatriksi osad, nimetatakse selle elementideks. Salvestuses aij esimene indeks і tähendab rea numbrit ja teist indeksit j- veeru number. Ruutmaatriksi puhul

(1.1)

tutvustatakse pea- ja sekundaardiagonaalide mõisteid. Maatriksi (1.1) põhidiagonaal on diagonaal 11 kuni 12 … Ann läheb selle maatriksi vasakust ülanurgast selle paremasse alumisse nurka. Sama maatriksi külgdiagonaali nimetatakse diagonaaliks a n 1 a (n -1) 2… a 1 n , läheb vasakust alumisest nurgast paremasse ülanurka.

Põhitehted maatriksitega ja nende omadused.

Liigume edasi maatriksite põhitehte määratlemise juurde.

Maatriksi lisamine. Kahe maatriksi summa A = || a ij || , kus ja B = || b ij || , kus (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) samad käsud t ja P nimetatakse maatriksiks C = || c ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n) samad käsud t ja P, elemendid koos ij-ga mis määratakse valemiga

, kus (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n)(1.2)

Kahe maatriksi summa tähistamiseks kasutame tähistust C = A + B. Maatriksite summa koostamise operatsiooni nimetatakse nende liitmiseks. Niisiis, definitsiooni järgi:

+ =

Maatriksite summa definitsioonist või õigemini valemitest (1.2) tuleneb otseselt, et maatriksi liitmise tehtel on samad omadused, mis reaalarvude liitmise operatsioonil, nimelt:

1) kommutatiivne omadus: A + B = B + A,

2) kombinatsiooni omadus: ( A + B) + C = A + (B + C).

Need omadused võimaldavad kahe või enama maatriksi lisamisel maatriksite järjekorrast mitte hoolida.

Maatriksi korrutamine arvuga. Maatriksi A korrutis = || a ij || , kus (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) reaalarvuga l, nimetatakse maatriksiks C = || c ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), mille elemendid määratakse järgmise valemiga:

, kus (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n)(1.3)

Maatriksi korrutise tähistamiseks arvuga kasutatakse tähistust C \u003d l A või C \u003d A l. Maatriksi korrutise arvuga koostamise toimingut nimetatakse maatriksi korrutamiseks selle arvuga.

Valemist (1.3) on selge, et maatriksi korrutamisel arvuga on järgmised omadused:

1) assotsiatiivne omadus numbrilise teguri suhtes: (l m) A = l (m A);

2) jaotusomadus maatriksite summa suhtes: l (A + B) = l A + l B;

3) jaotusomadus arvude summa suhtes: (l + m) A = l A + m A

kommenteerida. Kahe maatriksi erinevus AGA ja AT samad korraldused t ja P on loomulik kutsuda sellist maatriksit Koos samad käsud t ja P, mis kokku maatriksiga B annab maatriksi A. Looduslikku tähistust kasutatakse kahe maatriksi erinevuse tähistamiseks: C = A–B.

Seda erinevust on väga lihtne kontrollida Koos kaks maatriksit AGA ja AT saab reegli järgi C \u003d A + (-1) B.

Maatriksite korrutis või maatrikskorrutis.

Matrix toode A = || a ij || , kus (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) mille korraldused on vastavalt võrdsed t ja n, maatriksiks B = || b ij || , kus (i = 1, 2, ..., n , j = 1, 2, ..., p), mille korraldused on vastavalt võrdsed n ja R, nimetatakse maatriksiks C = || c ij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), mille järjestused on vastavalt võrdsed t ja R mille elemendid määratakse järgmise valemiga:

kus (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)

Maatriksi korrutise tähistamiseks AGA maatriksiks AT kasuta rekordit C = A × B. Maatriksi toote toimimine AGA maatriksiks AT nimetatakse nende maatriksite korrutamiseks.

Ülaltoodud definitsioonist järeldub, et maatriksit A ​​ei saa korrutada ühegi maatriksiga B, on vajalik, et maatriksi veergude arv AGA oli võrdne maatriksi ridade arvuga AT.

Valem (1.4) on maatriksi C elementide koostamise reegel, mis on maatriksi korrutis AGA maatriksiks AT. Selle reegli võib sõnastada ka suuliselt: maatriksi C = A B i-nda rea ​​ja j-nda veeru ristumiskohas seisev element c i j võrdub maatriksi A i-nda rea ​​vastavate elementide paarikaupa korrutistega ja maatriksi B j-s veerg.

Selle reegli rakendamise näitena esitame teist järku ruutmaatriksite korrutamise valemi.

× =

Valem (1.4) viitab järgmistele maatrikskorrutise omadustele AGA maatriksil AT:

1) assotsiatiivne omadus: (A B) C = A (B C);

2) jaotusomadus maatriksite summa suhtes:

(A + B) C = A C + B C või A (B + C) = A B + A C.

Maatriksi korrutise permutatsiooni (kommutatsiooni) omaduse küsimus A maatriksiks AT on mõttekas määrata ainult ruutmaatriksite jaoks A ja B sama järjekord.

Toome välja olulised erijuhud maatriksitest, mille puhul kehtib ka permutatsiooni omadus. Kahte maatriksit, mille korrutisele permutatsiooni omadus kehtib, nimetatakse tavaliselt kommuteerimiseks.

Ruutmaatriksite hulgast eristame nn diagonaalmaatriksite klassi, millest igaühel on põhidiagonaalist väljaspool asuvad elemendid, mis on võrdsed nulliga. Iga diagonaalmaatriks järjekorras P on vorm

D= (1.5)

kus d1, d2,… ,dn- suvaline number. On lihtne näha, et kui kõik need arvud on omavahel võrdsed, s.t. d1=d2=… = d n siis mis tahes ruutmaatriksi jaoks AGA tellida Põiglane võrdsus A D = D A.

Kõigi kattuvate kirjetega diagonaalmaatriksite (1.5) hulgas d1=d2=… = d n = = d kaks maatriksit mängivad eriti olulist rolli. Esimene neist maatriksitest saadakse järgmisega d=1 nimetatakse identiteedimaatriksiks n E. Teine maatriks saadakse koos d=0, nimetatakse nullmaatriksiks n järjekorras ja seda tähistatakse sümboliga Oh Seega

E= O=

Eespool tõestatu põhjal A E = E A ja A O = O A. Pealegi on seda lihtne näidata

A E \u003d E A \u003d A, A O = O A = 0. (1.6)

Esimene valemist (1.6) iseloomustab identiteedimaatriksi erilist rolli E, sarnaselt arvu 1 rolliga reaalarvude korrutamisel. Mis puudutab nullmaatriksi erilist rolli O, siis ei paljasta see mitte ainult valemite teine ​​(1.7), vaid ka elementaarselt kontrollitav võrdus

A + 0 = 0 + A = A.

Kokkuvõttes märgime, et nullmaatriksi kontseptsiooni saab kasutusele võtta ka mitteruutmaatriksite jaoks (null nimetatakse ükskõik milline maatriks, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga).

Ploki maatriksid

Oletame, et mingi maatriks A = || a ij || horisontaalsete ja vertikaalsete joonte abil jagatakse see eraldi ristkülikukujulisteks lahtriteks, millest igaüks on väiksema suurusega maatriks ja mida nimetatakse algmaatriksi plokiks. Sel juhul on võimalik arvestada algse maatriksiga AGA mingi uue (nn plokk)maatriksina AGA = || A a b ||, mille elemendid on määratud plokid. Nimetame need elemendid suurteks Ladina täht rõhutamaks, et need on üldiselt maatriksid, mitte numbrid ja (nagu tavalised numbrilised elemendid) pakume kaks indeksit, millest esimene näitab "ploki" rea numbrit ja teine ​​- "ploki" numbrit. " veerg.

Näiteks maatriks

saab vaadelda plokkmaatriksina

mille elemendid on järgmised plokid:

Tähelepanuväärne on asjaolu, et põhitehteid plokkmaatriksitega tehakse samade reeglite järgi, mille järgi tavaliste arvmaatriksitega, elementidena toimivad ainult plokid.

Determinandi mõiste.

Vaatleme suvalist suvalise järgu ruutmaatriksit P:

A= (1.7)

Iga sellise maatriksiga seostame täpselt määratletud arvkarakteristiku, mida nimetatakse sellele maatriksile vastavaks determinandiks.

Kui tellida n maatriksid (1,7) võrdne ühega, siis see maatriks koosneb ühest elemendist a i j on sellisele maatriksile vastav esimest järku determinant, nimetame selle elemendi väärtuseks.

siis on sellisele maatriksile vastav teist järku determinant arv, mis on võrdne 11-22-12-21 ja tähistatakse ühe sümboliga:

Nii et definitsiooni järgi

(1.9)

Valem (1.9) on reegel teist järku determinandi koostamiseks talle vastavatest maatriksi elementidest. Selle reegli verbaalne sõnastus on järgmine: maatriksile (1.8) vastav teist järku determinant on võrdne selle maatriksi põhidiagonaalil olevate elementide korrutise ja selle sekundaarse diagonaali elementide korrutise vahega. Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel kasutatakse laialdaselt teist ja kõrgemat järku determinante.

Vaatame, kuidas see toimib tehted maatriksitega MathCad süsteemis . Lihtsamaid maatriksalgebra tehteid on MathCadis realiseeritud operaatoritena. Operaatorite kirjutamine tähenduse järgi on võimalikult lähedane nende matemaatilisele tegevusele. Iga operaator on väljendatud vastava sümboliga. Mõelge MathCad 2001 maatriksi- ja vektoroperatsioonidele. Vektorid on dimensioonimaatriksite erijuht n x 1, seetõttu kehtivad nende jaoks kõik samad toimingud mis maatriksite puhul, välja arvatud juhul, kui piirangud on konkreetselt määratud (näiteks mõned toimingud kehtivad ainult ruutmaatriksite puhul n x n). Mõned toimingud kehtivad ainult vektorite puhul (näiteks skalaarkorrutis) ja mõned, hoolimata samast kirjapildist, toimivad vektorite ja maatriksite puhul erinevalt.

q Pärast nupu OK vajutamist avaneb maatriksi elementide sisestamise väli. Maatriksielemendi sisestamiseks asetage kursor märgitud kohta ja sisestage klaviatuurilt arv või avaldis.

Mis tahes toimingu tegemiseks tööriistariba abil peate:

q valige maatriks ja klõpsake paneelil töönuppu,

q või klõpsake paneelil nuppu ja sisestage maatriksi nimi märgitud kohta.

Menüü "Sümbolid" sisaldab kolme toimingut - transponeerima, ümber pöörama, determinant.

See tähendab näiteks seda, et maatriksdeterminandi saab arvutada käsu täites Sümbolid/Maatriksid/Determinant.

MathCAD-maatriksi esimese rea (ja esimese veeru) number salvestatakse muutujasse ORIGIN. Vaikimisi on pöördloendus nullist. Matemaatilises tähistuses on enam levinud lugemine alates 1. Selleks, et MathCAD loeks ridade ja veergude numbreid 1-st, tuleb määrata muutuja ORIGIN:=1.

Lineaaralgebra ülesannetega töötamiseks mõeldud funktsioonid on kogutud dialoogi "Funktsiooni lisamine" jaotisesse "Vektorid ja maatriksid" (tuletame meelde, et seda kutsutakse välja nupuga "Standard" paneelil). Peamisi funktsioone kirjeldatakse hiljem.

ülevõtmine

Sarnane teave.

Maatriks dimensiooni nimetatakse ristkülikukujuliseks lauaks, mis koosneb paigutatud elementidest m read ja n veerud.

Maatriksi elemendid (esimene indeks i− rea number, teine ​​indeks j− veeru number) võivad olla numbrid, funktsioonid jne. Maatriksid tähistatakse ladina tähestiku suurtähtedega.

Maatriksit nimetatakse ruut kui selle ridade arv on võrdne veergude arvuga ( m = n). Sel juhul number n nimetatakse maatriksi järjestuseks ja maatriksit ennast nimetatakse maatriksiks n- järjekorras.

Sama indeksiga elemendid vormi põhidiagonaal ruutmaatriks ja elemendid (st mille indeksite summa on võrdne n+1) − sekundaarne diagonaal.

Üksildane maatriks nimetatakse ruutmaatriksiks, mille põhidiagonaali kõik elemendid on võrdsed 1-ga ja ülejäänud elemendid on võrdsed 0-ga. Seda tähistatakse tähega E.

Null maatriks on maatriks, mille kõik elemendid on võrdsed 0-ga. Nullmaatriks võib olla mis tahes suurusega.

Numbri juurde lineaartehted maatriksitega seotud:

1) maatriksi liitmine;

2) maatriksite korrutamine arvuga.

Maatriksi liitmise operatsioon on defineeritud ainult sama dimensiooniga maatriksite puhul.

Kahe maatriksi summa AGA ja AT nimetatakse maatriksiks Koos, mille kõik elemendid on võrdsed maatriksite vastavate elementide summadega AGA ja AT:

.

Matrix toode AGA numbri kohta k nimetatakse maatriksiks AT, mille kõik elemendid on võrdsed antud maatriksi vastavate elementidega AGA korrutatuna arvuga k:

Operatsioon maatrikskorrutised võetakse kasutusele maatriksite jaoks, mis vastavad tingimusele: esimese maatriksi veergude arv on võrdne teise maatriksi ridade arvuga.

Matrix toode AGA mõõtmed maatriksiks AT dimensiooni nimetatakse maatriksiks Koos mõõtmed, element i-th rida ja j mille veerg on võrdne elementide korrutiste summaga i maatriksi rida AGA asjakohaste elementide kohta j-maatriksi veerg AT:

Maatriksite korrutis (erinevalt reaalarvude korrutisest) ei allu kommutatsiooniseadusele, s.t. üldiselt AGA AT AT AGA.

1.2. Determinandid. Kvalifitseerija omadused

Determinandi mõiste kasutusele ainult ruutmaatriksite jaoks.

2. järku maatriksi determinant on arv, mis arvutatakse järgmise reegli järgi

.

3. järku maatriksdeterminant on arv, mis arvutatakse järgmise reegli järgi:

Esimene plussmärgiga terminitest on maatriksi põhidiagonaalil asuvate elementide korrutis (). Ülejäänud kaks sisaldavad elemente, mis asuvad kolmnurga tippudes, mille alus on paralleelne põhidiagonaali(de)ga. Märgiga "-" kaasatakse külgdiagonaali () elementide ja selle diagonaaliga (ja) paralleelsete alustega kolmnurki moodustavate elementide korrutised.

Seda 3. järku determinandi arvutamise reeglit nimetatakse kolmnurga reegliks (või Sarruse reegliks).

Kvalifitseerija omadused Vaatleme 3. järku determinantide näidet.

1. Asendades determinandi kõik read ridadega samade numbritega veergudega, ei muuda determinant oma väärtust, s.t. determinandi read ja veerud on võrdsed

.

2. Kahe rea (veeru) vahetamisel muudab determinant oma märki.

3. Kui teatud rea (veeru) kõik elemendid on nullid, on determinant 0.

4. Determinandi märgist saab välja võtta rea ​​(veeru) kõigi elementide ühisteguri.

5. Kaht identset rida (veergu) sisaldav determinant on 0.

6. Kaht proportsionaalset rida (veergu) sisaldav determinant on võrdne nulliga.

7. Kui determinandi teatud veeru (rea) iga element esindab kahe liikme summat, siis on determinant võrdne kahe determinandi summaga, millest üks sisaldab esimesi liikmeid samas veerus (reas) ja teine - teine. Mõlema determinandi ülejäänud elemendid on samad. Niisiis,

.

8. Determinant ei muutu, kui mõne teise veeru (rea) sama arvuga korrutatud vastavad elemendid liidetakse mõne selle veeru (rea) elementidele.