Selle abiga Interneti-kalkulaator leida tasapinnal olevate sirgete lõikepunkt. Antakse üksikasjalik lahendus koos selgitustega. Sirgede lõikepunkti koordinaatide leidmiseks määrake joonte võrrandi tüüp ("kanooniline", "parameetriline" või "üldine"), sisestage lahtritesse joonte võrrandite koefitsiendid ja klõpsake nuppu nuppu "Lahenda". Teoreetiline osa ja numbrilisi näiteid vt allpool.

×

Hoiatus

Kas kustutada kõik lahtrid?

Sule Kustuta

Andmete sisestamise juhend. Arvud sisestatakse täisarvudena (näited: 487, 5, -7623 jne), kümnendarvudena (nt 67., 102,54 jne) või murdudena. Murd tuleb sisestada kujul a/b, kus a ja b (b>0) on täisarvud või kümnendarvud. Näited 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 jne.

Tasapinna sirgete lõikepunkt - teooria, näited ja lahendused

1. Üldkujul antud sirgete lõikepunkt.

Oxy L 1 ja L 2:

Koostame suurendatud maatriksi:

Kui a B" 2=0 ja KOOS" 2 =0, siis süsteem lineaarvõrrandid on palju lahendusi. Sellest ka otsene L 1 ja L 2 vastet. Kui a B" 2=0 ja KOOS" 2 ≠0, siis on süsteem ebajärjekindel ja seetõttu on sirged paralleelsed ja neil puudub ühine punkt. Kui B" 2 ≠0, siis on lineaarvõrrandisüsteemil ainulaadne lahendus. Teisest võrrandist leiame y: y=KOOS" 2 /B" 2 ja asendades saadud väärtuse esimese võrrandiga, leiame x: x=−Koos 1 −B 1 y. Hankige joonte ristumispunkt L 1 ja L 2: M(x, y).

2. Kanoonilisel kujul antud sirgete lõikepunkt.

Olgu antud Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxy ja olgu selles koordinaatsüsteemis antud sirged L 1 ja L 2:

Avame sulud ja teeme teisendusi:

Sarnase meetodi abil saame sirge (7) üldvõrrandi:

Võrrandist (12) järeldub:

Kuidas leida punktis antud sirgete lõikepunkti kanooniline vorm eespool kirjeldatud.

4. Erinevates vaadetes määratletud sirgete lõikepunkt.

Olgu antud Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxy ja olgu selles koordinaatsüsteemis antud sirged L 1 ja L 2:

Otsime üles t:

Lahendame lineaarvõrrandi süsteemi suhtes x, y. Selleks kasutame Gaussi meetodit. Saame:

Näide 2. Leidke sirgete lõikepunkt L 1 ja L 2:

(21)

Sirgete lõikepunkti leidmiseks L 1 ja L 2 on vaja lahendada lineaarvõrrandisüsteem (20) ja (21). Esitame võrrandeid maatriksi kujul.

Ülesanne

Otsus

Vasakpoolne joonis (1) näitab kahte lõiku, mille mõlema jaoks on tingimus täidetud ja segmendid lõikuvad. Parempoolsel (2) joonisel on lõigu b puhul tingimus täidetud, kuid lõigu a puhul ei ole see täidetud, vastavalt lõigud ei ristu.
Võib tunduda, et kindlaks teha, kummal pool joont punkt asub, pole triviaalne ülesanne, kuid hirmul on suured silmad ja kõik pole nii keeruline. Teame, et kahe vektori vektorkorrutis annab meile kolmanda vektori, mille suund sõltub sellest, kas esimese ja teise vektori vaheline nurk on vastavalt positiivne või negatiivne, selline tehe on antikommutatiivne. Ja kuna kõik vektorid asuvad X-Y tasapinnal, siis nende vektorkorrutis (mis peab olema korrutatud vektoritega risti) omab vastavalt ainult nullist erinevat komponenti Z ja vektorite korrutised on ainult selles. komponent. Veelgi enam, vektorite korrutamise järjekorra (loe: korrutatud vektorite vahelise nurga) muutmisel seisneb see ainult selle komponendi märgi muutmises.
Seetõttu saame eralduslõigu vektori vektoripaari kaupa korrutada vektoritega, mis on suunatud eraldava lõigu algusest kontrollitud lõigu mõlemasse punkti.

Kui mõlema toote Z-komponendil on erinev märk, siis üks nurkadest on väiksem kui 0, kuid suurem kui -180 ja teine ​​on vastavalt suurem kui 0 ja väiksem kui 180, punktid asuvad nurga vastaskülgedel. sirgjoon. Kui mõlema toote Z-komponendil on sama märk, asuvad need samal pool joont.
Kui üks Z komponentidest on null, siis on meil piirjuhtum, kui punkt asub täpselt kontrollitaval sirgel. Jätame kasutaja otsustada, kas ta soovib seda ristmikku pidada.
Seejärel tuleb toimingut korrata veel ühe lõigu ja sirge jaoks ning veenduda, et ka selle lõpp-punktide asukoht vastab tingimusele.
Seega, kui kõik on korras ja mõlemad segmendid vastavad tingimusele, on ristmik olemas. Leiame selle üles ja vektorkorrutis aitab meid ka selles.
Kuna vektorkorrutis on meil ainult nullist erinev Z-komponent, on selle moodul (vektori pikkus) arvuliselt võrdne selle konkreetse komponendiga. Vaatame, kuidas ristumispunkti leida.

Vektorite a ja b vektorkorrutise pikkus (nagu saime teada, arvuliselt võrdne selle Z-komponendiga) on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga siinuse korrutisega (|a| |b | patt(ab)). Vastavalt sellele on joonisel kujutatud konfiguratsiooni jaoks järgmine: |AB x AC| = |AB||AC|sin(α) ja |AB x AD| = |AB||AD| sin(β). |AC|sin(α) on risti punktist C lõigu AB-le ja |AD|sin(β) on risti punktist D lõigu AB-le (jalg ADD"). Kuna nurgad γ ja δ on vertikaalnurgad, siis on need võrdsed, mis tähendab, et kolmnurgad PCC "ja PDD" on sarnased ning vastavalt sellele on nende kõigi külgede pikkused võrdselt proportsionaalsed.
Arvestades Z1 (AB x AC, seega |AB||AC|sin(α)) ja Z2 (AB x AD, seega |AB||AD|sin(β)), saame arvutada CC"/DD" ( mis olema võrdne Z1 / Z2) ja teades, et CC "/DD" = CP / DP, saate hõlpsalt arvutada punkti P asukoha. Mina isiklikult teen seda järgmisel viisil:

Px = Cx + (Dx-Cx)*|Z1|/|Z2-Z1|;
Py = Cy + (Dy-Cy)*|Z1|/|Z2-Z1|;

See on kõik. Mulle tundub, et see on tõesti väga lihtne ja elegantne. Kokkuvõtteks tahan anda funktsiooni koodi, mis seda algoritmi rakendab. Funktsioon kasutab isetehtud mallivektorit , mis on dimensiooni int vektormall koos tüübinime komponentidega. Need, kes soovivad, saavad funktsiooni hõlpsalt sobitada oma tüüpi vektoritega.

1 mall bool are_crossing(vektor const &v11, vektor const &v12, vektor const &v21, vektor const &v22, vektor *ristumine) 3 ( 4 vektor lõika1(v12-v11), lõika2(v22-v21); 5 vektor toode1, toode2; 6 7 prod1 = cross(cut1 * (v21-v11)); 8 prod2 = cross(cut1 * (v22-v11)); 9 10 if(märk(toode1[Z]) == märk(toode2[Z]) || (toode1[Z] == 0) || (toode2[Z] == 0)) // Trim Edge Case samuti 11 return false; 12 13 prod1 = cross(cut2 * (v11-v21)); 14 prod2 = cross(cut2 * (v12-v21)); 15 16 if(märk(toode1[Z]) == märk(toode2[Z]) || (toode1[Z] == 0) || (toode2[Z] == 0)) // Ka servade kärpimise juhtumid 17 tagastama vale; 18 19 if(crossing) ( // Kontrollige, kas peame määrama ristumispunkti 20 (*ristmik)[X] = v11[X] + cut1[X]*fabs(toode1[Z])/fabs(toode2[Z] ]-toode1[Z]); 21 (*ristumine)[Y] = v11[Y] + lõigatud1[Y]*fabs(toode1[Z])/fabs(toode2[Z]-toode1[Z]); 22 ) 23 24 return true; 25)

Olgu antud kaks sirget ja tuleb leida nende lõikepunkt. Kuna see punkt kuulub mõlemale antud sirgele, peavad selle koordinaadid vastama nii esimese kui ka teise sirge võrrandile.

Seega tuleks kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmiseks lahendada võrrandisüsteem

Näide 1. Leia sirgete lõikepunkt ja

Otsus. Leiame võrrandisüsteemi lahendamisel soovitud lõikepunkti koordinaadid

Lõikepunktil M on koordinaadid

Näitame, kuidas selle võrrandist sirgjoont konstrueerida. Joone tõmbamiseks piisab selle kahe punkti teadmisest. Iga punkti joonistamiseks anname ühele selle koordinaadile suvalise väärtuse ja seejärel leiame võrrandist teise koordinaadi vastava väärtuse.

Kui sirge üldvõrrandis ei ole mõlemad koefitsiendid praegustel koordinaatidel võrdsed nulliga, siis selle sirge konstrueerimiseks on kõige parem leida selle lõikepunktid koordinaatide telgedega.

Näide 2. Koostage sirgjoon.

Otsus. Leidke selle sirge lõikepunkt x-teljega. Selleks lahendame koos nende võrrandid:

ja saame. Nii leiti selle sirge ja abstsisstelje lõikepunkti punkt M (3; 0) (joon. 40).

Seejärel lahendades ühiselt antud sirge võrrandi ja y-telje võrrandi

leiame sirge lõikepunkti y-teljega. Lõpuks konstrueerime sirge selle kahest punktist M ja

Perpendikulaarne joon

See ülesanne on kooliõpikutes ilmselt üks populaarsemaid ja nõutumaid. Sellel teemal põhinevad ülesanded on mitmesugused. See on kahe sirge lõikepunkti määratlus, see on sirge võrrandi definitsioon, mis läbib punkti algsel sirgel mis tahes nurga all.

Me käsitleme seda teemat, kasutades oma arvutustes saadud andmeid

Seal käsitleti sirge üldvõrrandi teisendamist kaldega võrrandiks ja vastupidi ning sirge ülejäänud parameetrite määramist vastavalt etteantud tingimustele.

Millest meil puudu jääb, et lahendada probleeme, millele see leht on pühendatud?

1. Valemid kahe ristuva sirge vahelise ühe nurga arvutamiseks.

Kui meil on kaks sirget, mis on antud võrranditega:

siis arvutatakse üks nurkadest järgmiselt:

2. Antud punkti läbiva kaldega sirge võrrand

Valemist 1 näeme kahte piiririiki

a) kui siis ja seetõttu need kaks antud sirget on paralleelsed (või langevad kokku)

b) kui , siis , ja seetõttu on need sirged risti, st ristuvad täisnurga all.

Millised võivad olla selliste ülesannete lahendamise lähteandmed, välja arvatud etteantud sirge?

Punkt sirgel ja nurk, mille all teine ​​sirge seda lõikab

Sirge teine ​​võrrand

Milliseid ülesandeid saab robot lahendada?

1. On antud kaks sirget (eksplitsiitselt või kaudselt, näiteks kahe punktiga). Arvutage lõikepunkt ja nende ristumisnurgad.

2. Antud on üks sirge, punkt sirgel ja üks nurk. Määrake sirge võrrand, mis lõikub etteantud nurga all

Näited

Kaks sirget on antud võrranditega. Leidke nende sirgete lõikepunkt ja nende ristumisnurgad

rida_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Saame järgmise tulemuse

Esimese rea võrrand

y = 2,2 x + (1,2)

Teise rea võrrand

y = 0,4285714285714 x + (-5)

Kahe sirge lõikenurk (kraadides)

-42.357454705937

Kahe sirge lõikepunkt

x = -3,5

y = -6,5

Ärge unustage, et kahe rea parameetrid on eraldatud komaga ja iga rea ​​parameetrid semikooloniga.

Joon läbib kahte punkti (1:-4) ja (5:2) . Leidke sirge võrrand, mis läbib punkti (-2:-8) ja lõikub algse sirgega 30 kraadise nurga all.

Üks sirgjoon on meile teada, kuna on teada kaks punkti, mida see läbib.

Jääb kindlaks määrata teise sirge võrrand. Üks punkt on meile teada ja teise asemel on näidatud nurk, mille all esimene sirge lõikub teisega.

Tundub, et kõik on teada, kuid peamine on siin mitte eksida. Me räägime nurgast (30 kraadi) mitte x-telje ja joone vahel, vaid esimese ja teise joone vahel.

Selle jaoks postitame niimoodi. Määrame esimese rea parameetrid ja uurime, millise nurga all see lõikub x-teljega.

rida xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Üldvõrrand Ax+By+C = 0

Koefitsient A = -6

Tegur B = 4

Koefitsient C = 22

Koefitsient a= 3,6666666666667

Koefitsient b = -5,5

Koefitsient k = 1,5

Telje kaldenurk (kraadides) f = 56,309932474019

Koefitsient p = 3,0508510792386

Koefitsient q = 2,5535900500422

Punktide vaheline kaugus = 7,211102550928

Näeme, et esimene joon ületab telje nurga all 56,309932474019 kraadi.

Lähteandmed ei ütle täpselt, kuidas teine ​​joon esimesega lõikub. On ju võimalik tõmmata kaks tingimustele vastavat joont, millest esimene on pööratud 30 kraadi päripäeva ja teine ​​30 kraadi vastupäeva.

Loeme need kokku

Kui teist rida pööratakse 30 kraadi VASTUPÄEVA PÄEVAPÄEVA, siis on teisel real teatud lõikes x-teljega 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 kraadid

rida_p xa=-2;ya=-8;f=86,309932474019

Sirgjoone parameetrid vastavalt etteantud parameetritele

Üldvõrrand Ax+By+C = 0

Koefitsient A = 23,011106998916

Tegur B = -1,4840558255286

Koefitsient C = 34,149767393603

Lõikude sirgjoone võrrand x/a+y/b = 1

Koefitsient a= -1,4840558255286

Koefitsient b = 23,011106998916

Nurgakordajaga y = kx + b sirge võrrand

Koefitsient k = 15,505553499458

Telje kaldenurk (kraadides) f = 86,309932474019

sirge x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0 normaalvõrrand

Koefitsient p = -1,4809790664999

Koefitsient q = 3,0771888256405

Punktide vaheline kaugus = 23,058912962428

Kaugus punktist sirgeni li =

see tähendab, et meie teise rea võrrand on y= 15,505553499458x+ 23.011106998916

Mõne geomeetriaülesande lahendamisel koordinaatmeetodil on vaja leida sirgete lõikepunkti koordinaadid. Enamasti tuleb tasapinnal otsida kahe sirge lõikepunkti koordinaate, kuid mõnikord tuleb määrata ka kahe ruumilise sirge lõikepunkti koordinaadid. Selles artiklis käsitleme kahe sirge ristumispunkti koordinaatide leidmist.

Leheküljel navigeerimine.

Kahe sirge lõikepunkt on definitsioon.

Esmalt määratleme kahe sirge lõikepunkti.

Seega on üldvõrranditega tasapinnal määratletud kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmiseks vaja lahendada antud sirgete võrranditest koosnev süsteem.

Vaatleme näidet lahendusest.

Näide.

Leidke ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis tasapinnas võrranditega x-9y+14=0 ja 5x-2y-16=0 defineeritud kahe sirge lõikepunkt.

Otsus.

Meile on antud kaks üldist sirge võrrandit, millest me koostame süsteemi: . Saadud võrrandisüsteemi lahendused on kergesti leitavad, kui selle esimene võrrand on lahendatud muutuja x suhtes ja see avaldis asendatakse teise võrrandiga:

Võrrandisüsteemi leitud lahendus annab meile kahe sirge lõikepunkti soovitud koordinaadid.

Vastus:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 ja 5x-2y-16=0.

Niisiis, kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmine, mis on määratletud tasapinna üldvõrranditega, taandatakse kahe tundmatu muutujaga kahe lineaarvõrrandi süsteemi lahendamiseks. Aga mis siis, kui tasapinnal olevad sirged on antud mitte üldvõrranditega, vaid erinevat tüüpi võrranditega (vt tasapinna sirgjoone võrrandi tüüpe)? Nendel juhtudel saab kõigepealt viia sirge võrrandid üldkujule ja alles pärast seda leida lõikepunkti koordinaadid.

Näide.

ja .

Otsus.

Enne antud sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmist viime nende võrrandid üldkujule. Üleminek parameetrilistest võrranditest sirgele selle sirgjoone üldvõrrandiks on järgmine:

Nüüd viime läbi vajalikud toimingud sirge kanoonilise võrrandiga:

Seega on sirgete lõikepunkti soovitud koordinaadid vormi võrrandisüsteemi lahendiks . Selle lahendamiseks kasutame:

Vastus:

M 0 (-5, 1)

On veel üks võimalus leida tasapinnal kahe sirge lõikepunkti koordinaadid. Seda on mugav kasutada siis, kui üks ridadest on antud vormi parameetriliste võrranditega , ja teine ​​- erineva kujuga sirgjoone võrrand. Sel juhul saab muutujate x ja y asemel asendada avaldised mõnes teises võrrandis ja , millest on võimalik saada väärtus, mis vastab antud sirgete lõikepunktile. Sel juhul on joonte lõikepunktil koordinaadid .

Leiame sel viisil eelmisest näitest sirgete lõikepunkti koordinaadid.

Näide.

Määrake sirgete lõikepunkti koordinaadid ja .

Otsus.

Asendage otseavaldise võrrandis:

Lahendades saadud võrrandi, saame . See väärtus vastab joonte ühisele punktile ja . Arvutame lõikepunkti koordinaadid, asendades sirge parameetriliste võrranditega:
.

Vastus:

M 0 (-5, 1).

Pildi täiendamiseks tuleks arutada veel ühte punkti.

Enne kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmist tasapinnal on kasulik veenduda, et antud sirged tõesti lõikuvad. Kui selgub, et algsed sirged langevad kokku või on paralleelsed, siis selliste sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmisest ei saa juttugi olla.

Muidugi saate ilma sellise kontrollita hakkama ja koostada kohe vormi võrrandisüsteemi ja lahenda see. Kui võrrandisüsteemil on kordumatu lahend, siis annab see algsirgete lõikepunkti koordinaadid. Kui võrrandisüsteemil pole lahendeid, siis saame järeldada, et algsed sirged on paralleelsed (kuna pole olemas sellist reaalarvude x ja y paari, mis rahuldaks üheaegselt antud sirgete mõlemat võrrandit). Võrrandisüsteemi lõpmatu hulga lahendite olemasolust järeldub, et algsel sirgel on lõpmatult palju ühiseid punkte, see tähendab, et need langevad kokku.

Vaatame näiteid, mis nende olukordadega sobivad.

Näide.

Uurige, kas sirged ja lõikuvad ning kui ristuvad, siis leidke lõikepunkti koordinaadid.

Otsus.

antud võrrandid jooned vastavad võrranditele ja . Lahendame nendest võrranditest koosneva süsteemi .

Ilmselgelt väljendatakse süsteemi võrrandeid üksteise kaudu lineaarselt (süsteemi teine ​​võrrand saadakse esimesest, korrutades selle mõlemad osad 4-ga), seetõttu on võrrandisüsteemil lõpmatu arv lahendeid. Seega defineerivad võrrandid ja sama sirge ning nende sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmisest rääkida ei saa.

Vastus:

Võrrandid ja määravad ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy sama sirge, seega ei saa rääkida ristumispunkti koordinaatide leidmisest.

Näide.

Leidke sirgete lõikepunkti koordinaadid ja , kui võimalik.

Otsus.

Probleemi seisukord tunnistab, et jooned ei pruugi ristuda. Koostame nendest võrranditest süsteemi. Kohaldatav selle lahenduse jaoks, kuna see võimaldab teil tuvastada võrrandisüsteemi ühilduvuse või ebaühtluse ja kui see on ühilduv, siis leida lahendus:

Süsteemi viimane võrrand pärast Gaussi meetodi otsest kulgu muutus valeks võrrandiks, seetõttu pole võrrandisüsteemil lahendeid. Sellest võime järeldada, et algsed sirged on paralleelsed ja nende sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmisest rääkida ei saa.

Teine lahendus.

Uurime, kas antud sirged ristuvad.

- tavaline joonvektor , ja vektor on sirge normaalne vektor . Kontrollime täitmist ja : võrdsus on tõsi, kuna seega on antud joonte normaalvektorid kollineaarsed. Siis on need jooned paralleelsed või langevad kokku. Seega ei leia me algsirgete lõikepunkti koordinaate.

Vastus:

Antud sirgete lõikepunkti koordinaate on võimatu leida, kuna need sirged on paralleelsed.

Näide.

Leia sirgete 2x-1=0 lõikepunkti koordinaadid ja kui need ristuvad.

Otsus.

Koostame võrrandisüsteemi, mis on antud sirgete üldvõrrandid: . Selle võrrandisüsteemi põhimaatriksi determinant erineb nullist , seega on võrrandisüsteemil unikaalne lahendus, mis näitab etteantud sirgete lõikepunkti.

Sirgede lõikepunkti koordinaatide leidmiseks peame lahendama süsteemi:

Saadud lahendus annab meile sirgete lõikepunkti koordinaadid, st 2x-1 = 0 ja .

Vastus:

Kahe sirge ruumis lõikepunkti koordinaatide leidmine.

Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid sisse kolmemõõtmeline ruum asuvad sarnaselt.

Vaatleme näiteid.

Näide.

Leia võrranditega ruumis antud kahe sirge lõikepunkti koordinaadid ja .

Otsus.

Koostame antud sirgete võrranditest võrrandisüsteemi: . Selle süsteemi lahendus annab meile ruumis olevate sirgete lõikepunkti soovitud koordinaadid. Leiame kirjaliku võrrandisüsteemi lahenduse.

Süsteemi põhimaatriksil on vorm , ja laiendatud .

Teeme kindlaks A ja maatriksi auaste T . Me kasutame