Kui kaks sirget ei ole paralleelsed, ristuvad need ühes punktis rangelt. avastada koordinaadid punktid 2 sirge lõikumine on lubatud nii graafilise kui ka aritmeetilise meetodiga, olenevalt sellest, milliseid andmeid ülesanne annab.

Sa vajad

• - joonisel kaks sirget joont;
• – 2 sirge võrrandid.

Juhend

1. Kui jooned on graafikul tihedamalt joonistatud, leia lahendus graafiliselt. Selleks jätkake mõlemat või ühte joont nii, et need lõikuvad. Pärast seda märkige ristumispunkt ja langetage risti sellest x-teljele (oh, nagu tavaliselt).

2. Kasutades teljel olevat linnukest, leidke selle punkti x väärtus. Kui see on telje positiivses suunas (nullmärgist paremal), siis on selle väärtus õige, vastasel juhul on see negatiivne.

3. Tõene tuvastab ka ristumispunkti ordinaate. Kui punkti projektsioon asub nullmärgi kohal, on see õige, kui see on allpool, on see negatiivne. Kirjutage punkti koordinaadid kujul (x, y) - see on ülesande lahendus.

4. Kui jooned on antud valemite y=kx+b kujul, saab ülesande lahendada ka graafiliselt: joonestada koordinaatide ruudustikule jooned ja leida lahendus ülalkirjeldatud meetodil.

5. Proovige neid valemeid kasutades probleemile lahendus leida. Selleks koostage nendest võrranditest süsteem ja lahendage see. Kui võrrandid on antud kujul y=kx+b, võrdsustage mõlemad pooled primitiivselt x-ga ja leidke x. Seejärel ühendage x väärtus ühte võrrandisse ja leidke y.

6. Lahendus on lubatud leida Crameri meetodil. Sel juhul viige võrrandid kujule A1x + B1y + C1 \u003d 0 ja A2x + B2y + C2 \u003d 0. Crameri valemi kohaselt x \u003d - (C1B2-C2B1) / (A1B2-A2B1) ja y \u003d - (A1C2-A2C1) / (A1B2-A2B1). Pöörake tähelepanu, kui nimetaja on võrdne nulliga, siis on sirged paralleelsed või langevad kokku ega ristu vastavalt.

7. Kui teile antakse ruumis olevad read kanooniline vorm, enne kui hakkate lahendust otsima, kontrollige, kas jooned on paralleelsed. Selleks hinnake eksponente enne t, kui need on võrdelised näiteks x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t ja x=-1+6t, y=-1+4t, z=-5 +2t, siis on sirged paralleelsed. Lisaks võivad jooned ristuda, sel juhul pole süsteemil lahendust.

8. Kui saate teada, et sirged lõikuvad, leidke nende ristumispunkt. Esmalt määra muutujad erinevatelt ridadelt võrdseks, asendades tinglikult t esimesel real u-ga ja 2. real v-ga. Oletame, et kui teile on antud read x=t-1, y=2t+1, z=t+2 ja x=t+1, y=t+1, z=2t+8, saate avaldised nagu u-1 =v +1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.

9. Avaldage u ühest võrrandist, asendage teisega ja leidke v (selles ülesandes u=-2,v=-4). Nüüd, ristumispunkti leidmiseks asendage saadud väärtused t asemel (ei ole erinevust, esimeses või teises võrrandis) ja saage punkti koordinaadid x=-3, y=-3, z=0 .

Et pidada 2 ristuvateks otsene piisab, kui vaadelda neid tasapinnal, kuna kaks ristuvat sirget asuvad samal tasapinnal. Nende võrrandite tundmine otsene, on lubatud leida nende punkti koordinaat ristmikud .

Sa vajad

• sirgete võrrandid

Juhend

1. Descartes'i koordinaatide korral näeb sirge üldvõrrand välja selline: Ax + By + C = 0. Olgu kaks sirget ristuvad. Esimese rea võrrand on kujul Ax + By + C = 0, 2. rida - Dx + Ey + F = 0. Kõik indikaatorid (A, B, C, D, E, F) tuleb täpsustada. punkti leidmiseks ristmikud need otsene on vaja lahendada nende 2 süsteem lineaarvõrrandid.

2. Selle lahendamiseks on mugav korrutada esimene võrrand E-ga ja teine ​​​​B-ga. Selle tulemusel näevad võrrandid välja sellised: AEx + BEy + CE = 0, DBx + EBy + FB = 0. Pärast väärtuse lahutamist teise võrrandi esimesest, saad: (AE-DB)x = FB-CE. Otsel, x \u003d (FB-CE) / (AE-DB). Analoogia põhjal saab esialgse süsteemi esimese võrrandi korrutada D-ga, teise - A-ga, seejärel lahutada teise esimesest. Selle tulemusena y = (CD-FA)/(AE-DB). Saadud x ja y väärtused on punkti koordinaadid ristmikud otsene .

3. Võrrandid otsene võib kirjutada ka nurkastendaja k abil, mis on võrdne sirge kalde puutujaga. Sel juhul on sirgjoone võrrand kujul y = kx+b. Olgu nüüd esimese rea võrrand y = k1*x+b1 ja 2. rea võrrand y = k2*x+b2.

4. Kui võrdsustame nende 2 võrrandi õiged osad, saame: k1*x+b1 = k2*x+b2. Siit on lihtne saada, et x = (b1-b2)/(k2-k1). Hiljem selle x väärtuse asendamine mis tahes võrrandiga annab tulemuseks: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). Väärtused x ja y määravad punkti koordinaadid ristmikud otsene.Kui kaks sirget on paralleelsed või langevad kokku, siis neil ei ole vastavalt ühiseid punkte või on neid lõpmatult palju. Nendel juhtudel k1 = k2, punktide koordinaatide nimetajad ristmikud kaob, seega ei ole süsteemil klassikalist lahendust Süsteemil saab olla ainult üks klassikaline lahendus, mis on tingimusteta, kuna kahel sirgel, mis ei lange kokku ega ole paralleelsed, võib olla ainult üks punkt ristmikud .

Seotud videod

Ülesanne

Otsus

Vasakpoolne joonis (1) näitab kahte lõiku, mille mõlema jaoks on tingimus täidetud ja segmendid lõikuvad. Parempoolsel (2) joonisel on lõigu b puhul tingimus täidetud, kuid lõigu a puhul ei ole see täidetud, vastavalt lõigud ei ristu.
Võib tunduda, et kindlaks teha, kummal pool joont punkt asub, pole tühine ülesanne, kuid hirmul on suured silmad ja kõik pole nii keeruline. Teame, et kahe vektori vektorkorrutis annab meile kolmanda vektori, mille suund sõltub sellest, kas esimese ja teise vektori vaheline nurk on vastavalt positiivne või negatiivne, selline tehe on antikommutatiivne. Ja kuna kõik vektorid asuvad X-Y tasapinnal, siis nende vektorkorrutis (mis peab olema korrutatud vektoritega risti) omab vastavalt ainult nullist erinevat komponenti Z ja vektorite korrutised on ainult selles. komponent. Veelgi enam, vektorite korrutamise järjekorra (loe: korrutatud vektorite vahelise nurga) muutmisel seisneb see ainult selle komponendi märgi muutmises.
Seetõttu saame eralduslõigu vektori vektorpaaride kaupa korrutada vektoritega, mis on suunatud eraldava lõigu algusest kontrollitud lõigu mõlemasse punkti.

Kui mõlema toote Z-komponendil on erinev märk, siis üks nurkadest on väiksem kui 0, kuid suurem kui -180 ja teine ​​on vastavalt suurem kui 0 ja väiksem kui 180, punktid asuvad nurga vastaskülgedel. sirgjoon. Kui mõlema toote Z-komponendil on sama märk, asuvad need samal pool joont.
Kui üks Z komponentidest on null, siis on meil piirjuhtum, kui punkt asub täpselt kontrollitaval sirgel. Jätame kasutaja otsustada, kas ta soovib seda ristmikku pidada.
Seejärel tuleb toimingut korrata veel ühe lõigu ja sirge jaoks ning veenduda, et ka selle lõpp-punktide asukoht vastab tingimusele.
Seega, kui kõik on korras ja mõlemad segmendid vastavad tingimusele, on ristmik olemas. Leiame selle üles ja vektorkorrutis aitab meid ka selles.
Kuna vektorkorrutis on meil ainult nullist erinev Z-komponent, on selle moodul (vektori pikkus) arvuliselt võrdne selle konkreetse komponendiga. Vaatame, kuidas ristumispunkti leida.

Vektorite a ja b vektorkorrutise pikkus (nagu saime teada, arvuliselt võrdne selle Z-komponendiga) on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga siinuse korrutisega (|a| |b | patt(ab)). Vastavalt sellele on joonisel kujutatud konfiguratsiooni jaoks järgmine: |AB x AC| = |AB||AC|sin(α) ja |AB x AD| = |AB||AD| sin(β). |AC|sin(α) on risti punktist C lõigu AB-le ja |AD|sin(β) on risti punktist D lõigu AB-le (jalg ADD"). Kuna nurgad γ ja δ on vertikaalnurgad, siis on need võrdsed, mis tähendab, et kolmnurgad PCC "ja PDD" on sarnased ning vastavalt sellele on nende kõigi külgede pikkused võrdselt proportsionaalsed.
Arvestades Z1 (AB x AC, seega |AB||AC|sin(α)) ja Z2 (AB x AD, seega |AB||AD|sin(β)), saame arvutada CC"/DD" ( mis olema võrdne Z1 / Z2) ja teades, et CC "/DD" = CP / DP, saate hõlpsalt arvutada punkti P asukoha. Mina isiklikult teen seda järgmisel viisil:

Px = Cx + (Dx-Cx)*|Z1|/|Z2-Z1|;
Py = Cy + (Dy-Cy)*|Z1|/|Z2-Z1|;

See on kõik. Mulle tundub, et see on tõesti väga lihtne ja elegantne. Kokkuvõtteks tahan anda funktsiooni koodi, mis seda algoritmi rakendab. Funktsioon kasutab isetehtud mallivektorit , mis on dimensiooni int vektormall koos tüübinime komponentidega. Need, kes soovivad, saavad funktsiooni hõlpsalt sobitada oma tüüpi vektoritega.

1 mall bool are_crossing(vektor const &v11, vektor const &v12, vektor const &v21, vektor const &v22, vektor *ristumine) 3 ( 4 vektor lõika1(v12-v11), lõika2(v22-v21); 5 vektor toode1, toode2; 6 7 prod1 = cross(cut1 * (v21-v11)); 8 prod2 = cross(cut1 * (v22-v11)); 9 10 if(märk(toode1[Z]) == märk(toode2[Z]) || (toode1[Z] == 0) || (toode2[Z] == 0)) // Trim Edge Case samuti 11 return false; 12 13 prod1 = cross(cut2 * (v11-v21)); 14 prod2 = cross(cut2 * (v12-v21)); 15 16 if(märk(toode1[Z]) == märk(toode2[Z]) || (toode1[Z] == 0) || (toode2[Z] == 0)) // Ka servade kärpimise juhtumid 17 tagastama vale; 18 19 if(crossing) ( // Kontrollige, kas peame määrama ristumispunkti 20 (*ristmik)[X] = v11[X] + cut1[X]*fabs(toode1[Z])/fabs(toode2[Z] ]-toode1[Z]); 21 (*ristumine)[Y] = v11[Y] + lõigatud1[Y]*fabs(toode1[Z])/fabs(toode2[Z]-toode1[Z]); 22 ) 23 24 return true; 25)

Mõne geomeetriaülesande lahendamisel koordinaatmeetodil on vaja leida sirgete lõikepunkti koordinaadid. Enamasti tuleb tasapinnal otsida kahe sirge lõikepunkti koordinaate, kuid mõnikord tuleb määrata ka kahe ruumilise sirge lõikepunkti koordinaadid. Selles artiklis käsitleme kahe sirge ristumispunkti koordinaatide leidmist.

Leheküljel navigeerimine.

Kahe sirge lõikepunkt on definitsioon.

Esmalt määratleme kahe sirge lõikepunkti.

Jaotises sirgete suhtelise asukoha kohta tasapinnal on näidatud, et kaks sirget tasapinnal võivad kas kokku langeda (ja neil on lõpmatult palju ühiseid punkte) või olla paralleelsed (ja kahel sirgel pole ühiseid punkte) või ristuda. , millel on üks ühine punkt. Kahe sirge vastastikuse paigutuse ruumis on rohkem võimalusi - need võivad kokku langeda (neil on lõpmatult palju ühiseid punkte), võivad olla paralleelsed (st asetsevad samal tasapinnal ega ristu), võivad olla lõikuvad (ei asu samal tasapinnal) ja sellel võib olla ka üks ühine punkt, st lõikuda. Seega nimetatakse kahte sirget nii tasapinnas kui ka ruumis ristuvateks, kui neil on üks ühine punkt.

Lõikuvate joonte määratlusest järeldub sirgete lõikepunkti määramine: Punkti, kus kaks sirget ristuvad, nimetatakse nende sirgete lõikepunktiks. Teisisõnu, kahe risuva sirge ainus ühine punkt on nende sirgete lõikepunkt.

Selguse huvides esitame graafilise illustratsiooni kahe sirge lõikepunktist tasapinnas ja ruumis.

Lehe ülaosa

Kahe tasapinna sirge lõikepunkti koordinaatide leidmine.

Enne kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmist tasapinnal nende teadaolevate võrrandite järgi käsitleme abiülesannet.

Oxy a ja b. Eeldame, et otsene a vastab sirge ja sirge üldvõrrandile b- tüüp. Laskma olla mõni tasapinna punkt ja see on kohustatud välja selgitama, kas punkt on M 0 etteantud sirgete lõikepunkt.

Lahendame probleemi.

Kui a M0 a ja b, siis definitsiooni järgi kuulub see ka reale a ja otsene b, see tähendab, et selle koordinaadid peavad üheaegselt täitma nii võrrandit kui ka võrrandit . Seetõttu peame punkti koordinaadid asendama M 0 antud sirgete võrranditesse ja vaata, kas saadakse kaks tõelist võrdsust. Kui punkt koordineerib M 0 vastavad mõlemad võrrandid ja , Siis on joonte lõikepunkt a ja b, muidu M 0 .

Kas asja mõte M 0 koordinaatidega (2, -3) joonte lõikepunkt 5x-2a-16=0 ja 2x-5a-19=0?

Kui a M 0 on antud sirgete lõikepunkt, siis selle koordinaadid vastavad sirgete võrranditele. Kontrollime seda punkti koordinaatide asendamisega M 0 antud võrranditesse:

Seega on meil kaks tõelist võrdsust, M 0 (2, -3)- joonte lõikepunkt 5x-2a-16=0 ja 2x-5a-19=0.

Selguse huvides esitame joonise, mis näitab sirgeid ja näitab nende lõikepunkti koordinaate.

jah, punkt M 0 (2, -3) on joonte lõikepunkt 5x-2a-16=0 ja 2x-5a-19=0.

Kas jooned ristuvad? 5x+3a-1=0 ja 7x-2a+11=0 punktis M 0 (2, -3)?

Asendage punkti koordinaadid M 0 sirge võrranditesse, selle toiminguga kontrollime, kas punkt kuulub M 0 mõlemad read korraga:

Alates teisest võrrandist, kui asendada punkti koordinaadid sellesse M 0 ei muutunud tõeliseks võrdsuseks, siis point M 0 ei kuulu rida 7x-2a+11=0. Sellest faktist võime järeldada, et punkt M 0 ei ole antud sirgete lõikepunkt.

Ka jooniselt on selgelt näha, et punkt M 0 ei ole joonte lõikepunkt 5x+3a-1=0 ja 7x-2a+11=0. Ilmselgelt ristuvad antud sirged koordinaatidega punktis (-1, 2) .

M 0 (2, -3) ei ole joonte lõikepunkt 5x+3a-1=0 ja 7x-2a+11=0.

Nüüd saame asuda kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmise ülesande juurde vastavalt tasapinnal antud sirge võrranditele.

Olgu tasapinnale fikseeritud ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem Oxy ja antud kaks ristuvat joont a ja b võrrandid ja vastavalt. Tähistame antud sirgete lõikepunkti kui M 0 ja lahendage järgmine ülesanne: leidke kahe sirge lõikepunkti koordinaadid a ja b vastavalt teadaolevatele nende sirgete võrranditele ja .

Punkt M0 kuulub igale lõikuvale sirgele a ja b a-prioor. Seejärel sirgete lõikepunkti koordinaadid a ja b rahuldavad nii võrrandit kui ka võrrandit . Seetõttu kahe sirge lõikepunkti koordinaadid a ja b on võrrandisüsteemi lahendus (vt artiklit lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamine).

Seega on üldvõrranditega tasapinnal määratletud kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmiseks vaja lahendada antud sirgete võrranditest koosnev süsteem.

Vaatleme näidislahendust.

Leia kahe ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis tasapinnas võrranditega määratletud sirge lõikepunkt x-9a+14=0 ja 5x-2a-16=0.

Meile on antud kaks üldist sirge võrrandit, nendest koostame süsteemi: . Saadud võrrandisüsteemi lahendid on kergesti leitavad, kui selle esimene võrrand muutuja suhtes lahendada x ja asendage see avaldis teise võrrandiga:

Võrrandisüsteemi leitud lahendus annab meile kahe sirge lõikepunkti soovitud koordinaadid.

M 0 (4, 2)- joonte lõikepunkt x-9a+14=0 ja 5x-2a-16=0.

Niisiis, kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmine, mis on määratletud tasapinna üldvõrranditega, taandatakse kahe tundmatu muutujaga kahe lineaarvõrrandi süsteemi lahendamiseks. Aga mis siis, kui tasapinnal olevad sirged on antud mitte üldvõrranditega, vaid erinevat tüüpi võrranditega (vt tasapinna sirgjoone võrrandi tüüpe)? Sellistel juhtudel saate kõigepealt viia sirge võrrandid üldkujule ja alles pärast seda leida lõikepunkti koordinaadid.

Enne antud sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmist viime nende võrrandid üldkujule. Üleminek sirge parameetrilistest võrranditest selle sirge üldvõrrandile on järgmine:

Nüüd viime läbi vajalikud toimingud sirge kanoonilise võrrandiga:

Seega on sirgete lõikepunkti soovitud koordinaadid vormiga võrrandisüsteemi lahenduseks. Selle lahendamiseks kasutame Crameri meetodit:

M 0 (-5, 1)

On veel üks võimalus leida tasapinnal kahe sirge lõikepunkti koordinaadid. Seda on mugav kasutada, kui üks sirgetest on antud vormi parameetriliste võrranditega ja teine ​​on antud erinevat tüüpi sirge võrrandiga. Sel juhul muutujate asemel teise võrrandisse x ja y saab asendada avaldised ja , kust saab antud sirgete lõikepunktile vastava väärtuse. Sel juhul on joonte lõikepunktil koordinaadid .

Leiame sel viisil eelmisest näitest sirgete lõikepunkti koordinaadid.

Määrata joonte lõikepunkti koordinaadid ja .

Asendage otseavaldise võrrandis:

Lahendades saadud võrrandi, saame . See väärtus vastab joonte ühisele punktile ja . Arvutame lõikepunkti koordinaadid, asendades sirge parameetriliste võrranditega:
.

M 0 (-5, 1).

Pildi täiendamiseks tuleks arutada veel ühte punkti.

Enne kahe sirge lõikepunkti koordinaatide leidmist tasapinnal on kasulik veenduda, et antud sirged tõesti lõikuvad. Kui selgub, et algsed sirged langevad kokku või on paralleelsed, siis selliste sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmisest ei saa juttugi olla.

Muidugi saate ilma sellise kontrollita teha ja kohe koostada vormi võrrandisüsteem ja see lahendada. Kui võrrandisüsteemil on kordumatu lahend, siis annab see algsirgete ristumispunkti koordinaadid. Kui võrrandisüsteemil pole lahendeid, siis võime järeldada, et algsed sirged on paralleelsed (kuna sellist reaalarvude paari pole olemas x ja y, mis rahuldaks samaaegselt mõlema antud sirge võrrandi). Võrrandisüsteemi lõpmatu hulga lahendite olemasolust järeldub, et algsel sirgel on lõpmatult palju ühiseid punkte, see tähendab, et need langevad kokku.

Vaatame näiteid, mis nende olukordadega sobivad.

Uurige, kas sirged ja lõikuvad ning kui ristuvad, siis leidke lõikepunkti koordinaadid.

Antud joonte võrrandid vastavad võrranditele ja . Lahendame nendest võrranditest koosneva süsteemi.

Ilmselgelt väljendatakse süsteemi võrrandeid üksteise kaudu lineaarselt (süsteemi teine ​​võrrand saadakse esimesest, korrutades selle mõlemad osad 4 ), seetõttu on võrrandisüsteemil lõpmatu arv lahendeid. Seega defineerivad võrrandid ja sama sirge ning nende sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmisest rääkida ei saa.

võrrandid ja on defineeritud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy sama sirge, seega ei saa rääkida ristumispunkti koordinaatide leidmisest.

Leia sirgete lõikepunkti koordinaadid ja võimalusel.

Probleemi seisukord tunnistab, et jooned ei pruugi ristuda. Koostame nendest võrranditest süsteemi. Selle lahendamiseks kasutame Gaussi meetodit, kuna see võimaldab tuvastada võrrandisüsteemi ühilduvuse või ebaühtluse ning selle ühilduvuse korral leida lahenduse:

Süsteemi viimane võrrand pärast Gaussi meetodi otsest kulgu muutus valeks võrrandiks, seetõttu pole võrrandisüsteemil lahendeid. Sellest võime järeldada, et algsed sirged on paralleelsed ja nende sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmisest ei saa rääkida.

Teine lahendus.

Uurime, kas antud sirged ristuvad.

Normaalvektor on sirge ja vektor on joone normaalvektor. Kontrollime vektorite ja : kollinaarsuse tingimuse täitumist: võrdus on tõene, kuna seega on antud sirgete normaalvektorid kollineaarsed. Siis on need jooned paralleelsed või langevad kokku. Seega ei leia me algsirgete lõikepunkti koordinaate.

antud sirgete lõikepunkti koordinaate ei leia, kuna need sirged on paralleelsed.

Leidke sirgete lõikepunkti koordinaadid 2x-1 = 0 ja kui need ristuvad.

Koostame võrrandisüsteemi, mis on antud sirgete üldvõrrandid: . Selle võrrandisüsteemi põhimaatriksi determinant erineb nullist, seetõttu on võrrandisüsteemil unikaalne lahend, mis näitab etteantud sirgete lõikepunkti.

Sirgede lõikepunkti koordinaatide leidmiseks peame lahendama süsteemi:

Saadud lahendus annab meile sirgete lõikepunkti koordinaadid ehk sirgete lõikepunkti 2x-1 = 0 ja .

Lehe ülaosa

Kahe sirge ruumis lõikepunkti koordinaatide leidmine.

Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid sisse kolmemõõtmeline ruum asuvad sarnaselt.

Laske ristuvad jooned a ja b antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxyz kahe lõikuva tasandi võrrandid, see tähendab sirge a määrab vormi , ja joone süsteem b- . Las olla M 0- joonte lõikepunkt a ja b. Siis punkt M 0 definitsiooni järgi kuulub rida a ja otsene b Seetõttu vastavad selle koordinaadid mõlema sirge võrrandile. Seega sirgete lõikepunkti koordinaadid a ja b kujutavad lahendust lineaarvõrrandisüsteemile kujul . Siin vajame teavet jaotisest, mis käsitleb lineaarvõrrandisüsteemide lahendamist, milles võrrandite arv ei lange kokku tundmatute muutujate arvuga.

Vaatleme näiteid.

Leia võrrandite ja ruumis antud kahe sirge lõikepunkti koordinaadid.

Koostame etteantud sirgete võrranditest võrrandisüsteemi: . Selle süsteemi lahendus annab meile ruumis olevate sirgete lõikepunkti soovitud koordinaadid. Leiame kirjaliku võrrandisüsteemi lahenduse.

Süsteemi põhimaatriksil on vorm ja laiendatud maatriksil - .

Määrake maatriksi auaste AGA ja maatriksi auaste T. Kasutame alaealiste ääristamise meetodit, kuid determinantide arvutamist me üksikasjalikult ei kirjelda (vajadusel vaadake artiklit maatriksi determinandi arvutamise kohta):

Seega on põhimaatriksi auaste võrdne laiendatud maatriksi auastmega ja võrdub kolmega.

Seetõttu on võrrandisüsteemil ainulaadne lahendus.

Determinandi võtame aluseks minoorseks, seega tuleks võrrandisüsteemist välja jätta viimane võrrand, kuna see ei osale alusmolli moodustamisel. Niisiis,

Saadud süsteemi lahendus on kergesti leitav:

Seega on joonte lõikepunktil ja koordinaadid (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Tuleb märkida, et võrrandisüsteemil on ainulaadne lahendus siis ja ainult siis, kui jooned a ja b ristuvad. Kui otsene a ja b paralleelselt või lõikuvalt, siis pole viimasel võrrandisüsteemil lahendeid, kuna sel juhul pole sirgetel ühispunkte. Kui sirge a ja b langevad kokku, siis on neil lõpmatu arv ühiseid punkte, seetõttu on näidatud võrrandisüsteemil lõpmatu arv lahendeid. Nendel juhtudel ei saa aga rääkida sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmisest, kuna sirged ei ristu.

Seega, kui me ette ei tea, siis antud sirged ristuvad a ja b või mitte, on mõistlik koostada vormi võrrandisüsteem ja lahendada see Gaussi meetodil. Kui saame ainulaadse lahenduse, vastab see sirgete lõikepunkti koordinaatidele a ja b. Kui süsteem osutub ebajärjekindlaks, siis otsene a ja bära ristu. Kui süsteemil on lõpmatu arv lahendusi, siis otsene a ja b vaste.

Saate hakkama ilma Gaussi meetodit kasutamata. Teise võimalusena saate arvutada selle süsteemi põhi- ja laiendatud maatriksite auastmed ning saadud andmete ja Kroneckeri-Capelli teoreemi põhjal teha järelduse kas ühe lahendi olemasolu või paljude lahendite olemasolu kohta, või lahenduste puudumise kohta. See on maitse asi.

Kui sirged ja lõikuvad, siis määrake lõikepunkti koordinaadid.

Loome süsteemi, millest antud võrrandid: . Lahendame selle Gaussi meetodil maatriksi kujul:

Selgus, et võrrandisüsteemil puuduvad lahendid, mistõttu antud sirged ei lõiku ning nende sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmisest ei saa juttugi olla.

me ei leia antud sirgete lõikepunkti koordinaate, kuna need sirged ei ristu.

Kui ristuvad sirged on antud kanoonilised võrrandid sirge ruumis või sirge parameetrilised võrrandid ruumis, siis tuleks esmalt hankida nende võrrandid kahe lõikuva tasandi kujul ja alles pärast seda leida lõikepunkti koordinaadid.

Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on antud kaks lõikuvat sirget Oxyz võrrandid ja . Leidke nende sirgete lõikepunkti koordinaadid.

Seadke esialgsed sirged kahe lõikuva tasandi võrrandiga:

Sirgete lõikepunkti koordinaatide leidmiseks jääb üle lahendada võrrandisüsteem. Selle süsteemi põhimaatriksi auaste on võrdne laiendatud maatriksi auastmega ja võrdub kolmega (soovitame seda fakti kontrollida). Alusminoorseks võtame , seega saab süsteemist välja jätta viimase võrrandi. Olles lahendanud saadud süsteemi mis tahes meetodiga (näiteks Crameri meetodiga), saame lahenduse . Seega on joonte lõikepunktil ja koordinaadid (-2, 3, -5) .

Kommentaarid - 11

Ülesanne

Leidke kahe sirge lõikepunkt, mis on joonistatud kahest punktist, mille koordinaadid ja asimuutid on nendest punktidest teada.

Rakendus

Loomade käitumise uurimiseks kasutatakse sageli raadiotelemeetria meetodit: uuritav objekt märgistatakse raadiosaatjaga, mis kiirgab teatud sagedusega raadiosignaali ning seejärel jälgib uurija, kasutades vastuvõtjat ja vastuvõtuantenni, selle objekti liikumist. Üks võimalikke viise objekti täpse asukoha määramiseks on bigulatsiooni meetod. Selleks on uurijal vaja teadaolevate koordinaatidega punktidest võtta uuritavale objektile 2 asimuuti. Objekti asukoht vastab nende kahe asimuuti ristumispunktile. Punktide koordinaadid, millest asimuudid tuvastatakse, saab võtta satelliitnavigaatori (GPS) abil või asimuudid võetakse võrdluspunktidest, mille koordinaadid on ette teada. Asimuut on sel juhul saatja poolt märgitud objektilt tuleva tugevaima signaali allika suunas, mida tavaliselt mõõdetakse kraadides.

Enne arvutusi on vaja GPS-i abil saadud punktid tõlkida projekteeritud koordinaatsüsteemiks, näiteks vastavaks UTM-i tsooniks, seda saab teha DNRGarmini abil.

Selleks, et uuritava objekti arvutuslik asukoht vastaks kõige täpsemalt tegelikule asukohale, tuleks arvesse võtta järgmist:

1) tuleb proovida hetke ära oodata, et viga navigaatoris koordinaatide määramisel oleks võimalikult väike.

2) nii, et asimuutide vaheline nurk kaldub 90 kraadini (vähemalt oli see üle 30 ja alla 150 kraadi).

Kaugus, millest asimuudi võtta, sõltub saatja ulatusest, samas kehtib rusikareegel, et asimuuti määramise viga suureneb 1 meetri võrra kaugusega uuritavast objektist iga 10 m kohta. kui võtta asimuuti kaugusega objektist 100 m, on viga 10 m. See reegel kehtib aga tasasel lagedal alal. Arvestada tuleb sellega, et ebatasane maastik ning puud ja põõsad varjavad ja peegeldavad signaali. Peaksite vältima viibimist uuritava objekti vahetus läheduses, sest. esiteks raskendab liiga tugev signaal täpse asimuudi määramist ja teiseks ei ole mõnel juhul võimalik ristumispunkti arvutada, kuna teine ​​asimuut möödub punktist, kus oli esimene asimuut. võetud. Asimuudipaari võtmise vaheline ajavahemik peaks olema minimaalne, kuid see sõltub loomulikult uuritava looma liikuvusest.

Otsus

Ülesanne lahendatakse kasutades kõige lihtsamat geomeetriat ja lahendades võrrandisüsteemi.
Alustuseks saame punktist ja asimuutist sirgjoone võrrandi selleks:

Üldvõrrandist:

ax + by + c = 0

tingimusel, et b<>0 saada

y = kx + d , kus k=-(a/b) , d=-(c/b)

seega saame

k = tan(a)
d=y-tan(a)*x
b = 1

k1x + d1 = y
k2x + d2 = y

Saame kahe sirge ühispunkti (lõikepunkti) X- ja Y-koordinaadid.

Võrrandis on vaja ette näha kaks erijuhtu, kui sirged on paralleelsed (k1=k2).

Kuna me ei tegele vektorite ega kiirtega, st joontel pole algust ja lõppu, on vaja ette näha ka väljaspool huvipiirkonda jäävate joonte ristumisjuhtumeid, nn. vale ristmik. Selle ülesande lahendus saavutatakse asimuuti mõõtmisega valepunktist a3 punkti 2, kui asimuut a3 = a2, siis ristumiskoht on vale, vastupidine asimuut saadud punktist tagasi esialgsesse 2 ei tohiks olla võrdne üks algsetest asimuutidest.

Nõutav protseduur Avenuel näeb välja järgmine: