ARCHIMEDES(umbes 287-212 eKr), suurim Vana-Kreeka matemaatik ja mehaanik.

Elu.

Kreeka Sitsiilia saarel asuvast Syracuse linnast pärit Archimedes oli linna valitsenud kuningas Hieroni (ja tõenäoliselt ka tema sugulase) saatjaskond. Võib-olla elas Archimedes mõnda aega kuulsas Aleksandrias teaduskeskus Sel ajal. Asjaolu, et ta adresseeris oma avastuste aruanded Aleksandriaga seotud matemaatikutele, nagu Eratosthenes, kinnitab arvamust, et Archimedes oli üks Aleksandria koolkonna matemaatilisi traditsioone arendanud Eukleidese aktiivseid järeltulijaid. Naastes Sürakuusasse, jäi Archimedes sinna kuni oma surmani, kui roomlased 212. aastal eKr Siracusa vallutasid.

Archimedese sünniaeg (287 eKr) määratakse ühe 12. sajandi Bütsantsi ajaloolase tunnistuse põhjal. John Tzetz, mille järgi ta "elas seitsekümmend viis aastat". Liviuse, Plutarchose ja Valeri Maximuse kirjeldatud eredad pildid tema surmast erinevad vaid üksikasjade poolest, kuid nõustuvad, et geomeetriliste konstruktsioonide sügavamõttelise mõtlemisega tegelenud Archimedese häkkis Rooma sõdalane surnuks. Lisaks teatab Plutarchos, et Archimedes on väidetavalt pärandanud sugulastele ja sõpradele silindri, mida kirjeldatakse kuuli ümber, mis näitab kirjeldatud keha ruumala ja tema hauale kirjutatud keha ruumala suhet, mis oli üks tema hauale kirjutatud keha ruumala. kuulsusrikkad avastused. Cicero, kes 75 eKr oli Sitsiilias, avastas okkalisest põõsast piiluva hauakivi ja sellel - kuuli ja silindri.

Archimedese mõrv roomlaste poolt.

Archimedese legendid.

Meie ajal seostatakse Archimedese nime peamiselt tema tähelepanuväärsete matemaatiliste töödega, kuid antiikajal sai ta kuulsaks ka mitmesuguste mehaaniliste seadmete ja tööriistade leiutajana, nagu on teatanud hilisemal ajastul elanud autorid. Tõsi, Archimedese autorsus on paljudel juhtudel küsitav. Niisiis, arvatakse, et Archimedes oli nn. Archimedese kruvi, mis tõstis vett põldudele ja oli laeva- ja õhupropellerite prototüüp, kuigi ilmselt kasutati seda tüüpi seadet varem. Ei ärata palju usaldust ja seda, mida Plutarchos sisse ütleb Marcelluse elulugu. Siin räägitakse, et vastuseks kuningas Hiero palvele demonstreerida, kuidas väikese jõuga saab rasket koormat liigutada, võttis Archimedes kolmemastilise kaubalaeva, mille paljud inimesed olid varem suurte raskustega kaldale tõmbanud, pani palju inimesi sellel ja laadis selle tavalise lastiga. Pärast seda istus Archimedes eemale maha ja hakkas üle ketttõstuki visatud trossi pingevabalt tõmbama, mistõttu laev kergelt ja sujuvalt, justkui vee peal, tema poole “hõljus”. Selle looga seoses tsiteerib Plutarchos Archimedese märkust, et "kui oleks veel üks Maa, liigutaks ta meie oma, minnes sellele maale" (selle väite tuntuma versiooni teatab Aleksandria Pappus: "Anna kus ma seisan, ja ma liigutan Maa." Kahtlane on ka Vitruviuse jutustatud loo autentsus, et kuningas Hiero olevat andnud Archimedesele korralduse kontrollida, kas tema kroon on valmistatud puhtast kullast või kas juveliir omastas osa kullast seda hõbedaga legeerides. «Sellele probleemile mõeldes läks Archimedes kuidagi vanni ja seal vanni sukeldudes märkas, et üle serva voolava vee hulk võrdub tema keha poolt väljatõrjutud vee hulgaga. See tähelepanek ajendas Archimedesest krooniprobleemi lahendama ja ta hüppas sekundigi viivitamata vannist välja ja tormas otsekui alasti koju, hüüdes oma avastuse kohta täiel rinnal: “Eureka! Eureka!" (Kreeka keeles "Leitud! Leitud!")".

Usaldusväärsem on Pappuse tunnistus, et teos kuulus Archimedesele Tootmise kohta[taevalik]sfäärid, mille eesmärk oli tõenäoliselt Päikese, Kuu ja planeetide nähtavaid liikumisi reprodutseeriva planetaariumimudeli ehitamine ning võimalik, et ka tähtkujude kujutisega tähegloobus. Igal juhul teatab Cicero, et Marcellus püüdis mõlemad instrumendid Syracuse's trofeedena. Lõpuks annavad Polybios, Livius, Plutarchos ja Zetzes teada Archimedese roomlaste tõrjumiseks ehitatud grandioossetest ballistilistest ja muudest masinatest.

Matemaatilised tööd.

Archimedese säilinud matemaatilised kirjutised võib jagada kolme rühma. Esimese rühma tööd on pühendatud peamiselt kõverjooneliste kujundite või kehade pindalade ja mahtude teoreemide tõestamisele. Nende hulka kuuluvad traktaadid Pallist ja silindrist, Ringi mõõtmisest, Konoididest ja sferoididest, Spiraalidest ja Parabooli kvadratuur. Teise rühma moodustavad staatiliste ja hüdrostaatiliste probleemide geomeetrilise analüüsi tööd: Tasapinnaliste kujundite tasakaalust, Ujuvatest kehadest. Kolmas rühm sisaldab erinevaid matemaatilisi töid: Teoreemide mehaanilise tõestamise meetodist, Liivaterade arvutus, Härja probleem ja säilinud vaid fragmentidena Kõht. On veel üks töö Oletuste raamat(või Lemmade raamat), säilinud ainult araabiakeelses tõlkes. Kuigi see on omistatud Archimedesele, kuulub see praegusel kujul selgelt teisele autorile (kuna tekstis on viiteid Archimedesele), kuid võib-olla tuuakse siin tõendeid, mis ulatuvad Archimedeseni. Mitmed teised Vana-Kreeka ja Araabia matemaatikute Archimedesele omistatud tööd on kadunud.

Meieni jõudnud tööd pole säilitanud oma algset vormi. Nii et ilmselt ma raamat traktaadi Tasapinnaliste kujundite tasakaalust on väljavõte suuremast esseest Mehaanika elemendid; pealegi erineb see märgatavalt II raamatust, mis on ilmselt hiljem kirjutatud. Tõestus, mida Archimedes essees mainis Pallist ja silindrist, kaotas 2. saj. AD Töö Ringi mõõtmisest on algversioonist väga erinev ja selles sisalduv II lause on suure tõenäosusega laenatud mõnest teisest teosest. Pealkiri Parabooli kvadratuur vaevalt võis kuuluda Archimedesele endale, sest tema ajal ei kasutatud veel ühe koonuselõike nimetusena sõna "parabool". Tekstid nagu Pallist ja silindrist ja Ringi mõõtmisest, tegi tõenäoliselt muudatusi dooria-sitsiilia keelest Atika dialekti tõlkimise protsessis.

Kujundite pindalade ja kõverate joontega või pindadega piiratud kehade ruumalade teoreemide tõestamisel kasutab Archimedes pidevalt meetodit, mida tuntakse "kurnatusmeetodina". Tõenäoliselt mõtles selle välja Eudoxus (tegevuse kõrgaeg ca 370 eKr) – vähemalt Archimedes ise arvas nii. Euclid kasutab seda meetodit aeg-ajalt XII raamatus Algas. Tõestus ammendumise meetodi abil on sisuliselt kaudne tõestamine vastuoluga. Teisisõnu, väide "A on võrdne B-ga" loetakse tõeseks juhul, kui vastupidine väide "A ei ole võrdne B-ga" toob kaasa vastuolu. Kurnatusmeetodi põhiidee seisneb selles, et joonisele, mille pindala või ruumala on vaja leida, kirjutatakse (või kirjeldatakse selle ümber või kirjutatakse ja kirjeldatakse samal ajal) õiged arvud. Sissekirjutatud või piiritletud kujundite pindala või mahtu suurendatakse või vähendatakse seni, kuni leitava pindala või ruumala ja sissekirjutatud kujundi pindala või ruumala erinevus muutub väiksemaks kui etteantud väärtus. Kasu lõikama erinevaid valikuid ammendumise meetodil, suutis Archimedes tõestada erinevaid teoreeme, mis on tänapäevases tähistuses samaväärsed seostega S = 4p r 2 palli pindala jaoks, V = 4/3p r 3 selle mahu jaoks on teoreem, et parabooli segmendi pindala on 4/3 segmendiga sama aluse ja kõrgusega kolmnurga pindalast, samuti palju muid huvitavaid teoreeme.

On selge, et kasutades ammendumise meetodit (mis on pigem tõestamise, mitte uute seoste avastamise meetod), pidi Archimedese käsutuses olema mõni muu meetod, mis võimaldas tal leida teoreemide sisu moodustavaid valemeid. ta tõestas. Üks valemite leidmise meetodeid paljastab tema traktaadi Teoreemide tõestamise mehaanilisest meetodist. Traktaat kirjeldab mehaanilist meetodit, mille abil Archimedes oli vaimselt tasakaalus geomeetrilised kujundid, justkui lebaks kaalul. Olles tasakaalustanud tundmatu pindala või ruumalaga kujundi teadaoleva pindala või ruumalaga kujundiga, märkis Archimedes nende kahe kujundi raskuskeskmete suhtelised kaugused tasakaaluliikuri riputuspunktist ja vastavalt kang, leidis vajaliku pindala või ruumala, väljendades neid vastavalt teadaoleva kujundi pindala või ruumala kaudu. Üks peamisi ammendumismeetodis kasutatud eeldusi on see, et pindala loetakse väga suure "materiaalsete" sirgjoonte kogumiks, mis on üksteisega tihedalt külgnevad, ja ruumala loetakse tasapinnaliste lõikude summaks, on ka tihedalt üksteise kõrval. Archimedes uskus, et tema mehaanilisel meetodil ei ole tõendusjõudu, kuid võimaldas saada esialgse tulemuse, mida saab hiljem tõestada rangemate geomeetriliste meetoditega.

Kuigi Archimedes oli peamiselt geomeetria, tegi ta arvuliste arvutuste vallas mitmeid huvitavaid ekskursioone, kuigi tema kasutatud meetodid polnud täiesti selged. Essee III lauses Ringi mõõtmisest ta leidis, et arv p on väiksem ja suurem kui . Tõestusest on selge, et tal oli algoritm suurtest arvudest ligikaudsete ruutjuurte saamiseks. Huvitav on märkida, et ta annab ka ligikaudse hinnangu arvule , nimelt: . Teoses, mida tuntakse kui Liivaterade arvutus, Archimedes esitab originaalse süsteemi suurte arvude esitamiseks, mis võimaldas tal arv üles kirjutada, kus ise R võrdub . Ta vajas seda süsteemi, et lugeda, mitu liivatera kulub universumi täitmiseks.

Sünnitusel Spiraali kohta Archimedes uuris omadusi nn. Archimedeuse spiraal, kirjutas polaarkoordinaatidesse spiraali punktide iseloomulikud omadused, andis sellele spiraalile puutuja konstruktsiooni ja määras ka selle pindala.

Füüsika ajaloos on Archimedes tuntud kui üks geomeetria eduka rakendamise alusepanijatest staatikas ja hüdrostaatikas. Essee 1. raamatus Tasapinnaliste kujundite tasakaalust ta annab puhtalt geomeetrilise tuletise kangi seadusest. Tegelikult põhineb tema tõestus hoova üldise juhtumi taandamisel, mille käed on pöördvõrdelised neile rakendatavate jõududega, võrdse käe kangi ja võrdsete jõudude konkreetseks juhuks. Kogu tõestus algusest lõpuni on läbi imbunud geomeetrilise sümmeetria ideest.

Tema essees Ujuvatest kehadest Archimedes rakendab sarnast meetodit hüdrostaatiliste probleemide lahendamisel. Kahe geomeetrilises keeles sõnastatud oletuse põhjal tõestab Archimedes teoreeme (sugestusi) kehade sukeldatud osa suuruse ja kehade massi kohta vedelikus, nii suurema kui väiksema tihedusega kui keha ise. VII lauses, mis viitab vedelikust tihedamatele kehadele, nn. Archimedese seadus, mille kohaselt "iga vedelikku sukeldatud keha kaotab oma kaaluga võrreldes õhus sama palju kui tema poolt väljatõrjutud vedeliku kaal". II raamat sisaldab peeneid kaalutlusi paraboloidi ujuvate segmentide stabiilsuse kohta.

Archimedese mõju.

Erinevalt Eukleidesest mäletati Archimedest antiikajal vaid aeg-ajalt. Kui me tema töödest midagi teame, siis ainult tänu huvile, mis neil 6.–9. sajandil Konstantinoopoli vastu tekkis. 5. sajandi lõpus sündinud matemaatik Eutocius kommenteeris vähemalt kolme Archimedese teost, mis olid sel ajal ilmselt tuntuimad: Pallist ja silindrist, Ringi mõõtmisest ja Tasapinnaliste kujundite tasakaalust. Archimedese töid ja Eutokiose kommentaare uurisid ja õpetasid matemaatikud Anthimius of Thrallus ja Isidore of Miletos, Püha katedraali arhitektid. Sophia, püstitatud Konstantinoopolis keiser Justinianuse valitsusajal. Matemaatika õpetamise reform, mis viidi läbi Konstantinoopolis 9. sajandil. Ilmselt aitas Thessaloniki Leo kaasa Archimedese teoste kogumisele. Siis sai ta tuntuks moslemimatemaatikutele. Nüüd näeme, et araabia autoritel olid puudu mõned Archimedese olulisemad teosed, nagu Parabooli kvadratuur, Spiraalidest, Konoididest ja sferoididest, Liivaterade arvutus ja Meetodi kohta. Kuid üldiselt valdasid araablased Archimedese teistes töödes kirjeldatud meetodeid ja kasutasid neid sageli suurepäraselt.

Keskaegsed ladina keelt kõnelevad teadlased kuulsid Archimedesest esimest korda 12. sajandil, kui tema töödest ilmus kaks tõlget araabia keelest ladina keelde. Ringi mõõtmisest. Parim tõlge kuulus kuulsale tõlkijale Gerardusele Cremonast ning järgmisel kolmel sajandil oli see paljude ekspositsioonide ja laiendatud versioonide aluseks. Gerardile kuulus ka traktaadi tõlge Moosese poegade sõnad Araabia matemaatik 9. sajandist. Banu Musa, kes tsiteeris teoreeme Archimedese tööst Pallist ja silindrist tõestusega, mis sarnaneb Archimedese antud tõestusega. 13. sajandi alguses. John de Tinemuet tõlkis essee Kumeratest pindadest, mis näitab, et autor oli tuttav teise Archimedese teosega - Pallist ja silindrist. 1269. aastal tõlkis dominiiklane Wilhelm of Moerbecke kogu Archimedese teoste korpuse vanakreeka keelest, v.a. Liivaterade arvutus, meetod ja lühikesed esseed Härja probleem ja Kõht. Tõlke tegemiseks kasutas Wilhelm Moerbeke kolmest meile teadaolevast Bütsantsi käsikirjast kahte (käsikirjad A ja B). Saame jälgida kõigi kolme ajalugu. Neist esimene (käsikiri A), kõigi renessansi ajal tehtud koopiate allikas, näib olevat kadunud umbes 1544. Teine käsikiri (käsikiri B), mis sisaldab Archimedese mehaanikaalast tööd, sealhulgas esseed. Ujuvatest kehadest kadus 14. sajandil. Sellest ei tehtud ühtegi koopiat. Kolmas käsikiri (käsikiri C) oli teada alles 1899. aastal ja seda hakati uurima alles 1906. aastast. Just käsikirjast C sai hinnaline leid, kuna see sisaldas suurepärast esseed Meetodi kohta, varem tuntud vaid katkendlike fragmentide ja vanakreeka teksti järgi Ujuvatest kehadest, mis kadus pärast kaotust 14. sajandil. käsikiri B, mida kasutas tõlkes ladina keelde Wilhelm of Moerbeke. See tõlge oli käibel 14. sajandil. Pariisis. Seda kasutas ka Cremona Jacob, kui 15. sajandi keskel. ta võttis ette uus tõlge käsikirjas A sisalduvate Archimedese teoste korpus (st välja arvatud teos Ujuvatest kehadest). Just see Regiomontanuse poolt veidi parandatud tõlge avaldati 1644. aastal Archimedese teoste esimeses kreekakeelses väljaandes, kuigi mõned Wilhelmi Moerbeke tõlked ilmusid aastatel 1501 ja 1543. Pärast 1544. aastat hakkas Archimedese kuulsus kasvama, ja tema meetodid avaldasid märkimisväärset mõju sellistele teadlastele nagu Simon Stevin ja Galileo ning seeläbi, ehkki kaudselt, mõjutas tänapäevase mehaanika kujunemist.

Kreeka Sitsiilia saarel asuvast Syracuse linnast pärit Archimedes oli linna valitsenud kuningas Hieroni (ja tõenäoliselt ka tema sugulase) saatjaskond. Võib-olla elas Archimedes mõnda aega Aleksandrias, selle aja kuulsas teaduskeskuses. Asjaolu, et ta adresseeris oma avastuste aruanded Aleksandriaga seotud matemaatikutele, nagu Eratosthenes, kinnitab arvamust, et Archimedes oli üks Aleksandria koolkonna matemaatilisi traditsioone arendanud Eukleidese aktiivseid järeltulijaid. Naastes Sürakuusasse, jäi Archimedes sinna kuni oma surmani, kui roomlased 212. aastal eKr Siracusa vallutasid.

Archimedese sünniaeg (287 eKr) määratakse ühe 12. sajandi Bütsantsi ajaloolase tunnistuse põhjal. John Tzetz, mille järgi ta "elas seitsekümmend viis aastat". Liviuse, Plutarchose, Valeri Maximuse ja Tsetsi erksad pildid tema surmast erinevad vaid detailide poolest, kuid nad nõustuvad, et geomeetrilistesse konstruktsioonidesse sukeldunud Archimedese häkkis surnuks Rooma sõdalane. Lisaks teatab Plutarchos, et Archimedes on väidetavalt pärandanud sugulastele ja sõpradele silindri, mida kirjeldatakse kuuli ümber, mis näitab kirjeldatud keha ruumala ja tema hauale kirjutatud keha ruumala suhet, mis oli üks tema hauale kirjutatud keha ruumala. kuulsusrikkad avastused. Cicero, kes 75 eKr oli Sitsiilias, leidis okkalise põõsa alt piiluva hauakivi ja selle peal - pall ja silinder.

Archimedese legendid . Kuigi Archimedese kui teadlase kuulsus tuleneb peamiselt tema tähelepanuväärsetest matemaatilistest töödest, toetus tema maine antiikajal ka talle omistatud mitmesugustele mehaanilistele seadmetele ja instrumentidele, nagu hilisemal ajastul elanud autorid sageli teatavad. Niisiis, arvatakse, et Archimedes oli nn. Archimedese kruvi, mis tõstis vett põldudele ja oli laeva- ja õhupropellerite prototüüp, kuigi ilmselt kasutati seda tüüpi seadet varem. Ei ärata palju usaldust ja seda, mida Plutarchos sisse ütleb Marcelluse elulugu. Siin räägitakse, et vastuseks kuningas Hiero palvele demonstreerida, kuidas väikese jõuga saab rasket koormat liigutada, võttis Archimedes kolmemastilise kaubalaeva, mille paljud inimesed olid varem suurte raskustega kaldale tõmbanud, pani palju inimesi sellel ja laadis selle tavalise lastiga. Pärast seda istus Archimedes eemale ja hakkas ketitõstuki otsa kergelt edasi-tagasi liigutama, mis pani laeva enda poole liikuma kergelt ja sujuvalt, justkui veepinnal. Just selle looga seoses tsiteerib Plutarchos Archimedese märkust, et "kui oleks veel üks maa, liigutaks ta meie oma, minnes sellele maale" (selle väite tuntuma versiooni teatab Aleksandria Pappus: "Anna kus ma seisan, ja ma liigutan Maa." Kahtlane on ka Vitruviuse jutustatud loo autentsus, et kuningas Hiero olevat andnud Archimedesele korralduse kontrollida, kas tema kroon on valmistatud puhtast kullast või kas juveliir omastas osa kullast seda hõbedaga legeerides. «Sellele probleemile mõeldes läks Archimedes kuidagi vanni ja seal vanni istudes märkas, et üle ääre voolava vee hulk võrdub tema keha poolt väljatõrjutud vee hulgaga. See tähelepanek ajendas Archimedesest krooniprobleemi lahendama ja ta hüppas sekundigi viivitamata vannist välja ja tormas otsekui alasti koju, hüüdes oma avastuse kohta täiel rinnal: “Eureka! Eureka!" (Kreeka keeles "Leitud! Leitud!").

Usaldusväärsem on Pappuse tunnistus, et teos kuulus Archimedesele Tootmise kohta[taevalik]sfäärid, mille eesmärk oli tõenäoliselt Päikese, Kuu ja planeetide nähtavaid liikumisi reprodutseeriva planetaariumimudeli ehitamine ning võimalik, et ka tähtkujude kujutisega tähegloobus. Igal juhul teatab Cicero, et Marcellus püüdis mõlemad instrumendid Syracuse's trofeedena. Lõpuks teatavad Polybios, Livius, Plutarchos ja Zetzes Archimedese roomlaste tõrjumiseks ehitatud hullumeelsetest ballistilistest ja muudest masinatest.

Matemaatilised tööd. Archimedese säilinud matemaatilised kirjutised võib jagada kolme rühma. Esimese rühma tööd on pühendatud peamiselt kõverjooneliste kujundite või kehade pindalade ja mahtude teoreemide tõestamisele. Nende hulka kuuluvad traktaadid Pallist ja silindrist, Ringi mõõtmisest, Konoididest ja sferoididest, Spiraalidest ja Parabooli kvadratuur. Teise rühma moodustavad staatiliste ja hüdrostaatiliste probleemide geomeetrilise analüüsi tööd: Tasapinnaliste kujundite tasakaalust, Ujuvatest kehadest. Kolmas rühm sisaldab erinevaid matemaatilisi töid: Teoreemide mehaanilise tõestamise meetodist, Liivaterade arvutus, Härja probleem ja säilinud vaid fragmentidena Kõht. On veel üks töö Oletuste raamat(või Lemmade raamat), säilinud ainult araabiakeelses tõlkes. Kuigi see on omistatud Archimedesele, kuulub see praegusel kujul selgelt teisele autorile (kuna tekstis on viiteid Archimedesele), kuid võib-olla tuuakse siin tõendeid, mis ulatuvad Archimedeseni. Mitmed teised Vana-Kreeka ja Araabia matemaatikute Archimedesele omistatud tööd on kadunud.

Meieni jõudnud tööd pole säilitanud oma algset vormi. Nii et ilmselt ma raamat traktaadi Tasapinnaliste kujundite tasakaalust on väljavõte suuremast esseest Mehaanika elemendid; pealegi erineb see märgatavalt II raamatust, mis on ilmselt hiljem kirjutatud. Tõestus, mida Archimedes essees mainis Pallist ja silindrist, kaotas 2. saj. AD Töö Ringi mõõtmisest on algversioonist väga erinev ja selles sisalduv II lause on suure tõenäosusega laenatud mõnest teisest teosest. Pealkiri Parabooli kvadratuur vaevalt võis kuuluda Archimedesele endale, sest tema ajal ei kasutatud veel ühe koonuselõike nimetusena sõna "parabool". Tekstid nagu Pallist ja silindrist ja Ringi mõõtmisest, tegi tõenäoliselt muudatusi dooria-sitsiilia keelest Atika dialekti tõlkimise protsessis.

Kujundite pindalade ja kõverate joontega või pindadega piiratud kehade ruumalade teoreemide tõestamisel kasutab Archimedes pidevalt meetodit, mida tuntakse "kurnatusmeetodina". Tõenäoliselt mõtles selle välja Eudoxus (tegevuse kõrgaeg ca 370 eKr) – vähemalt Archimedes ise arvas nii. Euclid kasutab seda meetodit aeg-ajalt XII raamatus Algas. Tõestus ammendumise meetodi abil on sisuliselt kaudne tõestamine vastuoluga. Teisisõnu, kui teoreem on kirjutatud seose "A võrdub B-ga" kujul, loetakse see tõeseks juhul, kui vastupidine seos "A ei võrdu B-ga" toob kaasa vastuolu. Kurnatusmeetodi põhiidee seisneb selles, et joonisele, mille pindala või ruumala on vaja leida, kirjutatakse (või kirjeldatakse selle ümber või kirjutatakse ja kirjeldatakse samal ajal) õiged arvud. Sissekirjutatud või piiritletud kujundite pindala või mahtu suurendatakse või vähendatakse seni, kuni leitava pindala või ruumala ja sissekirjutatud kujundi pindala või ruumala erinevus muutub väiksemaks kui etteantud väärtus. Kasutades ammendumismeetodi erinevaid versioone, suutis Archimedes tõestada erinevaid teoreeme, mis on tänapäevases tähistuses samaväärsed seostega. S = 4pr 2 palli pinna jaoks, V = 4/3pr 3 selle mahu jaoks on teoreem, et parabooli segmendi pindala on 4/3 segmendiga sama aluse ja kõrgusega kolmnurga pindalast, samuti palju muid huvitavaid teoreeme.

On selge, et kasutades ammendumise meetodit (mis on pigem tõestamise, mitte uute seoste avastamise meetod), pidi Archimedese käsutuses olema mõni muu meetod, mis võimaldas tal leida teoreemide sisu moodustavaid valemeid. ta tõestas. Üks valemite leidmise meetodeid paljastab tema traktaadi Teoreemide tõestamise mehaanilisest meetodist. Traktaat kirjeldab mehaanilist meetodit, mille käigus Archimedes tasakaalustas vaimselt geomeetrilisi kujundeid, justkui lebaksid kaaludel. Olles tasakaalustanud tundmatu pindala või ruumalaga kujundi teadaoleva pindala või ruumalaga kujundiga, märkis Archimedes nende kahe kujundi raskuskeskmete suhtelised kaugused tasakaaluliikuri riputuspunktist ja vastavalt kang, leidis vajaliku pindala või ruumala, väljendades neid vastavalt teadaolevate kujundite pindala või ruumala kaudu. Üks peamisi ammendumismeetodis kasutatud eeldusi on see, et pindala loetakse lineaarsete lõikude summaks ja ruumala tasapinnaliste lõikude summaks. Archimedes uskus, et tema mehaanilisel meetodil ei olnud tõendusjõudu, kuid see võimaldas leida esialgse tulemuse, mida saab hiljem tõestada rangemate geomeetriliste meetoditega.

Kuigi Archimedes oli peamiselt geomeetria, tegi ta arvuliste arvutuste vallas mitmeid huvitavaid ekskursioone, kuigi tema kasutatud meetodid polnud täiesti selged. Essee III lauses Ringi mõõtmisest ta leidis, et arv p on väiksem ja suurem kui . Tõestusest on selge, et tal oli algoritm suurtest arvudest ligikaudsete ruutjuurte saamiseks. Huvitav on märkida, et ta annab ka ligikaudse hinnangu arvule , nimelt: . Teoses, mida tuntakse kui Liivaterade arvutus, Archimedes esitab originaalse süsteemi suurte arvude esitamiseks, mis võimaldas tal arv üles kirjutada, kus ise R võrdub . Ta vajas seda süsteemi, et lugeda, mitu liivatera kulub universumi täitmiseks.

Sünnitusel Spiraali kohta Archimedes uuris omadusi nn. Archimedeuse spiraal, kirjutas polaarkoordinaatidesse spiraali punktide iseloomulikud omadused, andis sellele spiraalile puutuja konstruktsiooni ja määras ka selle pindala.

Füüsika ajaloos on Archimedes tuntud kui üks geomeetria eduka rakendamise alusepanijatest staatikas ja hüdrostaatikas. Essee 1. raamatus Tasapinnaliste kujundite tasakaalust ta annab puhtalt geomeetrilise tuletise kangi seadusest. Tegelikult põhineb tema tõestus hoova üldise juhtumi taandamisel, mille käed on pöördvõrdelised neile rakendatavate jõududega, võrdse käe kangi ja võrdsete jõudude konkreetseks juhuks. Kogu tõestus algusest lõpuni on läbi imbunud geomeetrilise sümmeetria ideest.

Tema essees Ujuvatest kehadest Archimedes rakendab sarnast meetodit hüdrostaatiliste probleemide lahendamisel. Kahe geomeetrilises keeles sõnastatud algeeldusele tuginedes tõestab Archimedes teoreeme (sugestusi) kehade sukeldatud osa suuruse ja kehade massi kohta nii kehast enesest suurema kui ka väiksema tihedusega vedelikus. VII lauses, mis viitab vedelikust tihedamatele kehadele, nn. Archimedese seadus, mille kohaselt "iga vedelikku sukeldatud keha kaotab oma kaaluga võrreldes õhus sama palju kui tema poolt väljatõrjutud vedeliku kaal". II raamat sisaldab peeneid kaalutlusi paraboloidi ujuvate segmentide stabiilsuse kohta.

Archimedese mõju. Erinevalt Eukleidesest mäletati Archimedest antiikajal vaid aeg-ajalt. Kui me tema töödest midagi teame, siis ainult tänu huvile, mis neil 6.–9. sajandil Konstantinoopoli vastu tekkis. 5. sajandi lõpus sündinud matemaatik Eutocius kommenteeris vähemalt kolme Archimedese teost, mis olid sel ajal ilmselt tuntuimad: Pallist ja silindrist, Ringi mõõtmisest ja Tasapinnaliste kujundite tasakaalust. Archimedese töid ja Eutokiose kommentaare uurisid ja õpetasid matemaatikud Anthimius of Thrallus ja Isidore of Miletos, Püha katedraali arhitektid. Sophia, püstitatud Konstantinoopolis keiser Justinianuse valitsusajal. Matemaatika õpetamise reform, mis viidi läbi Konstantinoopolis 9. sajandil. Ilmselt aitas Thessaloniki Leo kaasa Archimedese teoste kogumisele. Siis sai ta tuntuks moslemimatemaatikutele. Nüüd näeme, et araabia autoritel olid puudu mõned Archimedese olulisemad teosed, nagu Parabooli kvadratuur, Spiraalidest, Konoididest ja sferoididest, Liivaterade arvutus ja Meetodi kohta. Kuid üldiselt valdasid araablased Archimedese teistes töödes kirjeldatud meetodeid ja kasutasid neid sageli suurepäraselt.

Keskaegsed ladina keelt kõnelevad teadlased kuulsid Archimedesest esimest korda 12. sajandil, kui tema töödest ilmus kaks tõlget araabia keelest ladina keelde. Ringi mõõtmisest.. Parim tõlge kuulus kuulsale tõlkijale Gerard of Cremonale ning järgmisel kolmel sajandil oli see paljude ekspositsioonide ja laiendatud versioonide aluseks. Gerardile kuulus ka traktaadi tõlge Moosese poegade sõnad Araabia matemaatik 9. sajandist. Banu Musa, kes tsiteeris teoreeme Archimedese tööst Pallist ja silindrist tõestusega, mis sarnaneb Archimedese antud tõestusega. 13. sajandi alguses. John de Tinemuet tõlkis essee Kumeratest pindadest, mis näitab, et autor oli tuttav teise Archimedese teosega - Pallist ja silindrist. 1269. aastal tõlkis dominiiklane Wilhelm of Moerbecke kogu Archimedese teoste korpuse vanakreeka keelest, v.a. Liivaterade arvutus, meetod ja lühikesed esseed Härja probleem ja Kõht. Tõlke tegemiseks kasutas Wilhelm Moerbeke kolmest meile teadaolevast Bütsantsi käsikirjast kahte (käsikirjad A ja B). Saame jälgida kõigi kolme ajalugu. Neist esimene (käsikiri A), kõigi renessansi ajal tehtud koopiate allikas, näib olevat kadunud umbes 1544. Teine käsikiri (käsikiri B), mis sisaldab Archimedese mehaanikaalast tööd, sealhulgas esseed. Ujuvatest kehadest kadus 14. sajandil. Sellest ei tehtud ühtegi koopiat. Kolmas käsikiri (käsikiri C) oli teada alles 1899. aastal ja seda hakati uurima alles 1906. aastast. Just käsikirjast C sai hinnaline leid, kuna see sisaldas suurepärast esseed Meetodi kohta, varem tuntud vaid katkendlike fragmentide ja vanakreeka teksti järgi Ujuvatest kehadest, mis kadus pärast kaotust 14. sajandil. käsikiri B, mida kasutas tõlkes ladina keelde Wilhelm of Moerbeke. See tõlge oli käibel 14. sajandil. Pariisis. Seda kasutas ka Cremona Jacob, kui 15. sajandi keskel. ta võttis ette käsikirjas A sisalduva Archimedese teoste korpuse uue tõlke (erandiks on teos Ujuvatest kehadest). Just see Regiomontanuse poolt veidi parandatud tõlge avaldati 1644. aastal Archimedese teoste esimeses kreekakeelses väljaandes, kuigi mõned Wilhelmi Moerbeke tõlked ilmusid aastatel 1501 ja 1543. Pärast 1544. aastat hakkas Archimedese kuulsus kasvama, ja tema meetodid avaldasid märkimisväärset mõju sellistele teadlastele nagu Simon Stevin ja Galileo ning seega, kuigi kaudselt, mõjutasid nad kaasaegse mehaanika kujunemist.

Loodusteaduste ajalugu hellenismi ja Rooma impeeriumi ajastul Rozhansky Ivan Dmitrievich

Archimedes

Archimedesel on antiikteaduses ainulaadne positsioon. See positsioon on määratletud kui iseloomulikud tunnused tema isiksusest ja teadusliku tegevuse suunast, aga eelkõige selle tõttu, et kõigist antiikmõtlejatest jõudis ta oma mõtteviisi, huvide ja püüdluste poolest kõige lähemale teadusliku uusaja tüübile. Archimedes ühendas tema isikus ühelt poolt säravat matemaatikut, kes visandas põhimõtteliselt uued viisid selle teaduse arendamiseks, teiselt poolt tähelepanuväärset inseneri, kes ületas tehniliste oskuste poolest kõiki oma eelkäijaid ja kaasaegseid. Kõige olulisem selles ühenduses oli see, et tema teoreetilised õpingud ja tema inseneritegevus ei esindanud üldse kahte eraldiseisvat, omavahel mitte ristuvat huvivaldkonda; vastupidi, tema teaduslikku tööd ajendas suuresti tolleaegne tehniline praktika; teisalt olid tema mehaanilised konstruktsioonid (vähemalt osalt) allutatud teda vaevanud teoreetiliste probleemide lahendamise või illustreerimise ülesannetele. Mis puudutab teooria ja praktika ühtsust, siis selles osas oli Archimedesel võib-olla ainult üks eelkäija - Thales Miletosest, kuid see, mis Thales oli alles lapsekingades, omandas Archimedesest küpse ja täisverelise õitsemise tunnused. Kõige selle juures ei suutnud Archimedes väljuda iidse maailmapildi raamidest ja kogu selle laiusest hoolimata iseloomustas teda teatav piiratus, mille juured olid tolleaegses maailmapildis. Milles see seisnes, näitab edasine esitlus.

Archimedes, astronoom Phidiase poeg, sündis Sürakuusas aastal 287 eKr. e. Tema ülalmainitud teadusliku ande tunnus ilmnes ilmselt üsna varakult: olles saanud selleks ajaks hiilgava matemaatilise tausta, tundis ta samas algusest peale suurt huvi mitmesuguste tehniliste probleemide vastu. Juba oma esimestes teaduslikes töödes läheneb ta nende probleemide lahendamisele täppis(matemaatika)teaduse vaatenurgast.

Kõik polnud tema jaoks korraga võimalik. Heroni "Mehaanikas", mis on meieni jõudnud araabia keeles, on pikk väljavõte Archimedese teosest pealkirjaga "Tugede raamat" ja mis ilmselt oli tema esimene teaduslik töö. Selles essees lahendab Archimedes mitmele toele toetuva tala rõhujaotuse probleemi. Ta peab mitme tugitala raskust iga vahemiku kohta võrdselt jaotunud seda vahemikku piiravate tugede vahel. Nii näiteks kolme tala toetava toe puhul AC punktides A, B ja FROM, Archimedes võtab selle kargu peale AGA AB, toel FROM vajutab raskust, mis võrdub poole kaaluga päike, ja pool raskust surub keskmisele toele AB pluss pool kaalust Päike. Seega selgub, et pool tala kogumassist surub keskmisele toele, kus iganes see ka poleks. Järeldus on täiesti vale.

See ja teised Archimedese vead selles töös (oletades muidugi, et need vead kuulusid Archimedesele endale, mitte aga teksti ümber jutustavale Heronile) olid ilmselgelt tingitud sellest, et ta ei olnud sel ajal veel aru saanud, mis on raskuskese ja ei saanud aru, et keha raskust võib pidada kontsentreerituks ühte punkti. Teisest küljest valmistas Archimedese järelduste praktiline kontrollimine iidsetele inimestele olulisi raskusi.

Mitme toega tala kaalumine viib Archimedese juhtumini, kus varras toetub ühele punktile, s.o: kangile. Teame, et ühel või teisel kujul oli kang vanim raskuste tõstmise ja liigutamise vahend. Inimesed on kangi kasutanud juba ammusest ajast, kuid nad kasutasid seda puhtalt empiiriliselt, küsimata, mis on selle lihtsa tööriista tõhususe põhjus. Eespool nägime, et katse kangi tegevust teoreetiliselt mõista sisaldub pseudoaristoteleslikus "Mehaanilistes probleemides". Kuid see oli täpselt katse, mis oli veel kaugel tõeliselt teaduslikust teooriast. Sellise teooria lõi esmakordselt Archimedes.

Kahjuks pole meieni jõudnud Archimedese töö, milles ta esmakordselt visandas kangi teooria. Võimalik, et just seda teost nimetas Pappus esseeks “Hangidel” (???? ??????). Samuti on võimalik, et talle eelnes teine ​​essee – "Raskuskeskmetest" (????????????), mida Simplicius mainib oma kommentaarides Aristotelese traktaadile "Taevast". Samuti on võimalik, et mõlemad pealkirjad viitavad samale teosele. Nii või teisiti eelnes Archimedese kangi teooria loomisele raskuskeskme kontseptsiooni mõistmine. Eelmise ajastu teadlased seda kontseptsiooni ei teadnud; me ei leia seda ei Aristotelesest ega ka mehaanilistest probleemidest. Tõsi, Heroni mehaanikas on järgmine mõistatuslik lause: „Stoik Posidonius andis raskuskeskmele ehk momendile füüsikalise seletuse, öeldes, et raskuskese ehk moment on selline punkt, et kui antud koorem riputatakse. viimasest on see jagatud kaheks võrdseks osaks. Seetõttu kaalusid Archimedes ja tema järgijad mehaanikas seda seisukohta üksikasjalikumalt ja tegid kindlaks erinevuse vedrustuspunkti ja raskuskeskme vahel.

See fraas pani mõned teadlased (Inglismaal - T. L. Heath, meie riigis - S. Ya. Lurie) väitma, et selle algsel kujul sõnastas raskuskeskme kontseptsiooni teatav 3. sajandi alguse stoik. sajandil. eKr e. Posidonius, keda aga ei tohiks segi ajada kuulsa Rhodose Posidoniusega, kes elas 1. sajandil. eKr e. Samas ei tea me sellisest stoikust rohkem midagi. Ainus III sajandi alguse stoik. eKr, kelle nime me teame, oli Kitionist pärit stoikute koolkonna Zeno asutaja. Palju mõistlikum oleks eeldada, et Heroni tekstis on tegemist hilisantiigi autoritele omase esitusjärjekorra segadusega, mille tõttu tundub, et Posidonius elas enne Archimedest.

Raskuskeskme täpse definitsiooni annab Pappus. Ei saa olla kahtlust, et see määratlus kuulub Archimedesele endale (kuigi Pappus sellele otseselt ei viita).

"Keha raskuskese on mingi punkt, mis asub selle sees ja millel on omadus, et kui raske keha on selle küljes vaimselt rippunud, siis see jääb paigale ja säilitab oma algse asendi."

Omades seda definitsiooni, saaks Archimedes sõnastada jõumomendi mõiste, kehtestada hoova tasakaalu tingimused ja selle põhjal anda tasakaalu teooria. Kuidas ta seda algselt tegi ja kas ta kasutas oma hilisemates töödes aksiomaatilist meetodit, me ei tea. Archimedese kõigist meieni jõudnud töödest varaseim - "Parabooli kvadratuurist" - eeldab juba tuntud kangi teooriat.

Archimedese jaoks oli suure tähtsusega reis Aleksandriasse, millel oli kahtlemata ergutav mõju tema edasisele tööle. Peame täiesti ebaveenvaks, et I. N. Veselovski väitis, et see reis tehti siis, kui Archimedes oli juba viiekümne aastane ja alles pärast seda võttis ta käsile puhta matemaatika ülesanded. Miski ei takista meid eeldamast, et Archimedese viibimine Aleksandrias langes kokku esimese Puunia sõja ajaga (264–241 eKr), milles Syracuse ei osalenud, hõivates soodsa neutraalse positsiooni. Egiptuse pealinnas kohtus Archimedes Aleksandria koolkonna silmapaistva teadlase Kononiga, kes töötas kuningas Ptolemaios III Euergetese ajal õukonnaastronoomina. Conon oli kakskümmend aastat vanem kui Archimedes; olles suurepärane geomeetria, tutvustas ta noorele sürakuslasele probleemide ringi, mis olid Aleksandria matemaatikute tähelepanu keskpunktis. Sürakuusasse naastes jätkas Archimedes Cononiga sidet, teavitades teda kirjadega oma teadusuuringute tulemustest. Kahjuks pole meieni jõudnud ei Aleksandria perioodi Archimedese teosed ega tema kirjad Cononile. Kui Conon suri (umbes 240 eKr), hakkas Archimedes pidama kirjavahetust Cononi õpilase Dositheusega. Säilinud on neli Archimedese kirja Dositheusele (“Parabooli kvadratuur”, “Sfääril ja silindril”, “Konoididel ja sferoididel” ja “Spiraalidel”), mida võib pidada Archimedese olulisemate matemaatiliste teoste hulka. küps periood: neis aimab antiikaja suurim teadlane kaasaegse aja integraal- ja diferentsiaalarvutuse ideid.

Teine Aleksandria õpetlane, kellega Archimedes jätkas kontakti säilitamist pärast kodumaale naasmist, oli kuulus Eratosthenes Küreeneest, kellest hiljem (alates 234 eKr) sai Aleksandria raamatukogu juhataja. Allpool tuleb juttu Archimedese kirjast Eratosthenesele (nn "Efod"), mis on meieni jõudnud.

Tuleb märkida, et Aleksandrias viibides ei lõpetanud Archimedes oma inseneritegevust. Sellest annab tunnistust Archimedese leiutatud masin Egiptuse põldude kastmiseks: see on nn Archimedese kruvi ehk “tigu”, mis sai hiljem laialt levinud muistses põllumajanduses.

Nüüd pöördume nende Archimedese teoste poole, milles ta loob seose matemaatika ja mehaanika vahel, tõestades puhtmatemaatilisi väiteid mehaaniliste meetodite abil. See oli kreeka matemaatikale varem tundmatu ja Archimedese poolt esmakordselt leiutatud protseduur: see sai võimalikuks Archimedese staatikatöö ja eelkõige kangi teooria põhjal, milles see mehaanika valdkond. muudeti täppismatemaatikateaduseks. Kõigepealt vaatleme üht varasemat meieni jõudnud Archimedese teost (kuigi kirjutamisaja poolest polnud see veel sugugi vara), nimelt “Parabooli kvadratuur”. Nagu eespool juba mainitud, kirjutati see teos kirjana Kononi õpilasele Dositheusele. Siin on selle algus: „Archimedes soovib Dositheusele õitsengut! Saanud teada Kononi surmast, kes tegi meie heaks kõik sõprusest ja et sa olid Kononiga lähedane ja valdad hästi geomeetriat, olime nii sõbra kui ka silmapaistva matemaatikuna lahkunu pärast väga kurvad. Seetõttu otsustasime kirjutada teile, nagu me varem kirjutasime Cononile, ja saata mõned geomeetrilised teoreemid, mis olid varem tundmatud, kuid nüüd meie poolt vastu võetud; need avastasime esmalt meie poolt mehaaniliste meetodite abil ja siis tõestati ka geomeetriliselt ... Tõestuseks vajalikud koonuslõigete põhiomadused on eelnevalt välja toodud.

Archimedese poolt selles töös kasutatud parabooliteooria teoreemid tõestas ilmselt Euclid või mõni teine, sama aja vähem tuntud matemaatik Aristaeus. Mõlemad kirjutasid esseesid koonuslõigete omadustest, mis meile pole jõudnud; hiljem lisati nende saadud tulemused Perga Apolloniuse (??????) kuulsasse teosesse. Näeme, et Archimedes oli oma eelkäijate matemaatikatööga hästi kursis.

Järgmisena lahendatakse parabooli ja sirgjoonega piiratud segmendi pindala leidmise probleem. Nagu ülaltoodud tsitaadist selgub, lahendab Archimedes selle probleemi kahe meetodiga ja ainult teist, geomeetrilist meetodit peab ta rahuldavaks range matemaatika nõuetele. Kuid eelkõige huvitab meid esimene, sisuliselt heuristiline meetod, mida Archimedes ise nimetas mehaaniliseks, sest see näitab tõesti Archimedese mõtlemisele iseloomulikku orgaanilist seost matemaatika ja mehaanika vahel. Insenerina muutis Archimedes mehaanika täppismatemaatikateaduseks, samal ajal matemaatikuna mõtles ta mehaanika valdkonnast võetud kujundite ja mõistete abil.

Arhimedese sõna otseses mõttes kordamata, jälgime mehaanilise meetodi abil paraboolse segmendi pindala valemi tuletamise põhietappe.

Mõelge paraboolse lõigule, mis on piiratud parabooli tükiga??? ja lõika?? (joonis 6). Probleem on püstitatud: väljendada selle segmendi pindala sellesse kirjutatud kolmnurga pindala järgi???.

Riis. 6. Parabooli pindala määramine mehaanilisel meetodil

Parabooli telg

Punktis parabooli puutuja?

Parabooli teljega paralleelne sirgjoon, mis läbib punkti ?.

Punkti läbiv sirge? ja parabooli tipp? ja??=??,

Parabooli teljega paralleelne sirgjoon, mis läbib lõigul 5 asuvat suvalist punkti ?.

Üks koonuslõigete teoorias tõestatud parabooli omadusi on järgmine:

??/?? = ??/?? või??/?? = ??/??

kust, muide, tuleneb:

(seega ?? on kolmnurga mediaan???). Edasi:

??/?? = ??/?? = ??/?? = ??/??

Puhas geomeetria kestab endiselt, kuid sellest hetkest algab mehaanika. Archimedes teeb ettepaneku esitada paraboolne segment??? ja kolmnurk??? nagu kaks teineteise peale asetatud materjaliplaati, mille kaal on määratud nende pindala järgi. Segmenti 0 peetakse lõigu lõpmatult õhukeseks ribaks, ah? nagu seesama kolmnurga riba. Nende ribade kaal määratakse nende pikkuse järgi. Liigutame riba? 0 punkti? nii, et see võtab positsiooni ?? ja selle keskpunkt (ja seega ka raskuskese) langeks kokku punktiga ?. Siis saab võrrandit (1) tõlgendada kui hoova tasakaalu tingimust, mille käed on võrdsed?? ja?? ja mis otstesse koormad riputatakse?? ja??.

Sama kehtib ka kõigi teiste segmendi kattuvate ribade kohta??? ja kolmnurk??? Viides kõik lõigu moodustavad ribad punkti ?, võime järeldada, et kogukaal paraboolne segment tasakaalustatakse kolmnurga raskusega, kui eeldame, et viimase raskuskese langeb kokku meie kangi parema õla otsaga. Oma eelmises töös näitas Archimedes, et kolmnurga raskuskese langeb kokku selle mediaanide lõikepunktiga. Olgu see punkt?. Seejärel saab lõigu ja kolmnurga tasakaalutingimuse kirjutada järgmiselt:

segmendi kaal. 2??/kolmnurkne kaal ??? = segmentide pindala. ???/kolmnurkade pindala ??? = ??/??

Geomeetriast me teame mida?? = 1/3??. Seega: segmentide pindala. ???/kolmnurkade pindala ??? = ??/??? = 1/3

Kolmnurga pindala??? = 1/2*?? *??,

Jooniselt on aga selge, et = 2?? = 4??. Selle tulemusena jõuame lõpliku vastuseni:

segmi ala. ??? = 4/3 (1/2 * ?? * ??) = 4/3 pindalast. kolmnurk ???

Vaatamata mehaanilise meetodi ebapiisavale rangusele osutub saadud suhe absoluutselt täpseks. Sellegipoolest annab Archimedes traktaadi teises osas teise (geomeetrilise) tõestuse, kus sama tulemus saadakse Eudoxuse ammendumise meetodil (joon. 7). Samas juhib Archimedes tähelepanu sellele, et ta kasutab tõestamise käigus järgmist eeldust:

"Kui on kaks ebavõrdset pindala, siis lisades endale pidevalt seda ülejääki, mille võrra suurem pindala ületab väiksemat, võib saada pindala, mis oleks suurem kui mis tahes antud piiratud pindala."

Riis. 7. Parabooli pindala määramine "kurnatuse" meetodil

Archimedes teatab, et "seda lemmat kasutasid ka varasemad geomeetrid". Näib, et ta viitab Eudoxusele ja Eukleidsele. Eudoxus, kes esimest korda ja kõige üldisemal kujul (mis tahes koguste ja mitte ainult piirkondade jaoks) selle seisukoha sõnastas, kasutas seda oma suheteteooria väljatöötamiseks, mis on esitatud Eukleidese elementide viiendas raamatus; omakorda tõestas Eukleides tema abiga teoreeme ringi pindala ning palli, püramiidi ja koonuse mahtude kohta (kaheteistkümnes elementide raamat). Seega oli selle propositsiooni autor tegelikult Eudoxus, kuigi hilisemas matemaatilises kirjanduses nimetati seda "Arhimedese aksioomideks".

Sama probleemi geomeetrilise tõestuse põhiidee on järgmine. Jällegi vaadeldakse paraboolset lõiku, millesse on kantud kolmnurk ???. Selle kolmnurga pindala on tähistatud tähega A ja paneme K=4/3 A. Segmendi pindala võib olla kas K, või mitte võrdne K. Viimasel juhul võib see olla kas rohkem K, või vähem K. Archimedes

näitab, et mõlemad eeldused viivad absurdini. Seda tehakse järgmisel viisil.

Jagades segmendi aluse neljaks võrdseks osaks (joonis 2), joonistame vertikaalsed segmendid ?? || ?? || ?? ja külgedele ehitada?? ja?? kolmnurgad??? ja???. Lihtne on näidata (ja Archimedes teebki), et nende kahe kolmnurga kogupindala on neli korda väiksem A. Samamoodi jagamine kaheksaks võrdseks osaks, ehitage segmentidele ??, ??, ?? ja?? neli kolmnurka, mille kogupindala on võrdne ühe kuueteistkümnendikuga A. Selle protseduuri jätkamine n korda, leiame, et segmenti kantud hulknurga pindala, mis on altpoolt piiratud alusega

A + A/4 + A/4 2 +… +A/4n

Näeme kohe, et millal n-> ? selle summa piiriks on avaldis:

A/(1–1/4) =4/3 A =K

Kuid Archimedese ajastul ei osatud veel lõpmatute seeriatega opereerida, seega piirdub Archimedes ainult piiratud arvu terminitega seeria käsitlemisega ja näitab, et erinevus K ja selle seeria summa võrdub ühe kolmandikuga seeria viimasest liikmest (st meie tähistuses 1/3 * A/4n). On selge, et seeria terminite arvu suurendamisega saame selle erinevuse muuta väiksemaks kui mis tahes etteantud väärtus. Teisest küljest on see erinevus ülejäänud väikeste segmentide pindala, mille võrra paraboolse segmendi pindala????? ületab sellesse lõiku kantud hulknurga pindala, mis on ehitatud ülaltoodud viisil järjestikku kahanevatest kolmnurkadest. Sellest järeldub, et paraboolse segmendi pindala????? ületada ei saa K lõplikule väärtusele, sest siis selgub, et sissekirjutatud hulknurga pindala, väljendatuna summaga (3), võib suureneda K, mida, nagu nägime, ei saa olla. On ilmne, et ja K ei saa ületada paraboolse segmendi pindala???? lõpliku väärtusega, sest siis võib sisse kirjutatud hulknurga pindala muutuda pindalast suuremaks?????, mis on samuti absurdne. Seetõttu paraboolse segmendi pindala????? on võrdne K= 4/3 A.

Viivitasime teadlikult traktaadi "Parabooli ruudu muutmine" kaalumisel, et näidata erinevust Archimedese kasutatud mehaaniliste ja geomeetriliste tõestusmeetodite vahel. Järgnevates kirjades Dositheusele (kaks tähte "Sfääril ja silindril", seejärel "Konoididel ja sferoididel" ja "Spiraalidel") me enam mehaanilist meetodit ei leia, kuid geomeetriline meetod läbib olulise paranemise. Nimelt seisnes Archimedese täiustatud meetod erinevalt Eudoxuse ammendamise meetodist (mille näide on Archimedese poolt parabooli kvadratuuris rakendatud protseduur) selles, et määratav suurus jäi kahe integraalsumma vahele. , mille vahe võiks olla väiksem kui mis tahes etteantud kogused. Sel juhul leiti soovitud väärtus mõlema summa ühiseks piiriks koos terminite arvu piiramatu suurenemisega, mis oli samaväärne arvutamise probleemiga. kindel integraal. Palli pinna määramisel, paraboloidi ja hüperboloidi segmentide ruumala ning pöördeellipsoidi leidmisel arvutas Archimedes tegelikult integraalid:

Samal meetodil lahendas Archimedes ka keerulisemaid ülesandeid - kaare pikkuste ja mitmete kõverate pindade pindala määramist.

Raske öelda, kas Archimedes oli teadlik, et igas tema käsitletud ülesandes oli jutt sama matemaatilise mõiste – kindla integraali mõiste – kohta. Igal juhul polnud tal veel vahendeid anda üldine määratlus lahutamatu.

Koos pindalade ja mahtude arvutamise meetoditega töötas Archimedes välja kõvera puutuja määramise meetodi, mida võib pidada diferentsiaalarvutuse ootuseks, kuna see taandub tegelikult tuletise leidmisele. Millegipärast esineb see meetod ainult kirjas "Spiraalidel", kus seda kasutatakse spiraali puutuja määramiseks? =?? (nn Archimedese spiraal), kuid Archimedese arutluskäik on üldist laadi ja on rakendatav mis tahes diferentseeritava kõvera korral. Archimedes kasutab sama meetodit algebraliste avaldiste äärmuslike väärtuste leidmiseks, mida saab väljendada geomeetriliste kõveratena. Täpsemalt, kasutades kaasaegset terminoloogiat, võime öelda, et ta viis läbi täieliku uuringu teatud tüüpi kuupvõrrandi positiivsete juurte olemasolu kohta. Äärmuslike väärtuste määramise probleemi taandab Archimedes vastava kõvera puutuja leidmise probleemiks.

Archimedese matemaatilised meetodid avaldasid kaasaegse matemaatika arengule tohutut mõju. Olgu siinkohal mainitud selliste 17. sajandi matemaatikute töid nagu Luca Valerio ("Kolm raamatut raskuskeskmest", 1604), Gregory Saint-Vincent ("Geomeetriline töö ringjoone kvadratuurist ja koonuslõigetest", mis ilmus aastal 1647), Paul Guldin (neli raamatut "Raskuskesest", 1635–1641), Bonaventura Cavalieri ("Geomeetria arenes uuel viisil jagamatu pideva abil", 1635; samuti selle töö jätk - "Kuus geomeetrilist uurimust", 1647), Evangelista Torricelli ("Geomeetrilised tööd", 1644) jt. Kõik need tööd kasutasid ja arendasid Archimedese sarnaste ülesannete lahendamiseks kasutatud protseduure ja valmistasid seega ette suure revolutsiooni matemaatikas, mis väljendub lõpmatu väikese analüüsi loomises Newtoni ja Leibnizi töödes. Võib vaid nõustuda I. N. Veselovskiga, kes nimetas Archimedest "17. sajandi juhtivaks matemaatikuks".

Üleminek puhtalt geomeetrilistele tõestustele ei tähendanud, et Archimedes lakkas tunnustamast mehaanilistel analoogiatel põhineva meetodi heuristlikku väärtust. See tuleneb selgelt tema hilisest, suhteliselt hiljuti leitud teosest, mis sai nime "Efod" (täielik kreekakeelne pealkiri on: ???? ??? ????????? ????????? ? ????????????????????????). Selle teose käsikirja avastas ühest Jeruusalemma kloostrist Peterburi ülikooli privatdozent, rahvuselt kreeklane Papadopulo Kerameus, kes nägi, et pärgamendil olevate vaimse sisuga tekstide all torkas silma teine, palju vanem tekst. Seda palimpsesti uuriti hoolikalt aastatel 1906–1908. kuulus taani filoloog I. L. Heiberg, kes tegi kindlaks, et algtekstis on märkimisväärne osa traktaadist "Ujuvatest kehadest", samuti "Efood", mida varem tunti vaid eraldi tsitaatide põhjal Heroni "Meetrikas". Sellise tähelepanuväärse pärgamendi avastamine ja lugemine on kahtlemata meie sajandi klassikalise filoloogia üks olulisemaid avastusi.

Efod on kirjutatud Archimedese kirja kujul Eratosthenesele. Selles annab Archimedes terve rea teoreeme, mille tõestused ta leidis esmalt mehaanilisel meetodil (nende hulgas on muide ka parabooli kvadratuuriteoreem). Kirja sissejuhatavas osas kirjutab Archimedes sel teemal järgmist: „Teades, et olete ... õppinud inimene ja teil on filosoofias õigustatult silmapaistev koht ning mõnikord saate ka matemaatilist teooriat hinnata, kaalusin. on vaja ... esitada teile mõni spetsiaalne meetod, mille abil saate mehaanika abil leida mõned matemaatilised teoreemid. Olen kindel, et see meetod pole teile vähem kasulik ka teoreemide endi tõestamisel. Tõepoolest, osa sellest, mida ma varem mehaanika abil jälgisin, tõestati hiljem ka geomeetriliselt, kuna selle meetodi kasutamine ei ole veel tõend, kuid selle meetodi kasutamine uuritavast esialgse ettekujutuse saamiseks ja siis. tõestuse leidmine ise on palju mugavam kui midagi teadmata uurimistööd teha. Seega, mis puudutab neid teoreeme koonuse ja püramiidi kohta, millele Eudoxus leidis esimesena tõestuse, nimelt et iga koonus on silindri kolmas osa ja püramiid on samaga prisma kolmas osa. aluse ja võrdse kõrgusega, annan märkimisväärse osa teenetest Demokritosele, kes oli esimene, kes avaldas selle väite mainitud arvude kohta, kuigi ilma tõenditeta. Ja juhtusime leidma teoreemid, mis on nüüd avaldatud sama meetodiga nagu eelmised; sellepärast otsustasin sellest meetodist kirjutada ja selle avalikuks teha ühelt poolt, et mu varasemad mainimised sellest tühjaks kõlaks ei jääks, ja teisalt, kuna olen veendunud, et see võib tuua märkimisväärset kasu matemaatika; Arvan, et mõned kaasaegsed või tulevased matemaatikud suudavad näidatud meetodiga leida muid teoreeme, mis meile veel pähe ei tulnud.

Teoreetilise mehaanikaga on otseselt seotud Archimedese traktaat "Tasapinnaliste kujundite tasakaalust" (???? ?????????? ??????????). See koosneb kahest osast. Esimeses osas annab Archimedes rangelt aksiomaatilise tuletise kangi tasakaaluseadusest ning määrab rööpküliku, kolmnurga ja trapetsi raskuskeskmed. Teises osas arvutatakse paraboolse segmendi ja parabooltrapetsi tsentroidid.

Selle essee kirjutamise aja kohta on erinevaid arvamusi. Inglise matemaatikaajaloolane T. L. Heath ja meie riigis S. Ya. Lurie arvasid, et traktaadi "Tasakaalu tasapinnast" esimene osa viitab Archimedese loomingu varasele perioodile, mil ta oli hõivatud raskuskeskme ja kangi tasakaalu probleemid. Heath seostab traktaadi teist osa hilisema ajaga, mil parabooli kvadratuur oli juba kirjutatud. I. N. Veselovski väljendas mittenõustumist traktaadi sellise jaotusega kaheks, loomisaja poolest erinevaks teoseks ja tõi sellega seoses välja hulga kaalutlusi, mis tunduvad meile üsna kaalukad. Lühidalt, need kaalutlused taanduvad järgmisele.

Nii traktaadi esimene kui ka teine ​​osa erinevad oma stiili poolest järsult algperioodi Archimedese töödest. Nii et näiteks parabooli kvadratuuris on mehaaniline alus, millele esimene tõestus on üles ehitatud, endiselt väga märgatav: see räägib kangidest, rippraskustest, tasakaalust, mis peaks olema praktiliselt teostatav, see tähendab, stabiilne jne. Mitte ükski neist ei ole traktaadis "Tasapinnaliste kujundite tasakaalust". See algab seitsme aksioomi sõnastamisega, millest puhta deduktsiooni abil tuletatakse võimenduse seadus. Need on aksioomid:

"üks. Võrdse pikkusega võrdsed raskused on tasakaalustatud, kuid ebavõrdse pikkusega need ei ole tasakaalustatud, vaid kaaluvad üles suurema pikkusega raskused.

2. Kui mõnel pikkusel raskuste tasakaalustamise ajal lisatakse mõnele raskusele midagi juurde, siis neid ei tasakaalustata, vaid see kaal, millele see lisati, kaalub üles.

3. Samamoodi, kui ühelt raskuselt midagi ära võtta, siis need ei tasakaalustu, vaid see raskus, millelt ära ei võetud, kaalub üles.

4. Võrdsete ja sarnaste lamedate kujundite omavahelisel kombineerimisel joonduvad ka nende raskuskeskmed.

5. Ebavõrdsete, kuid sarnaste kujundite korral paiknevad raskuskeskmed sarnaselt. (Punktide sarnase paigutuse all sarnastel joonistel peame silmas seda, kus nendest punktidest võrdsete nurkade tippudele tõmmatud jooned moodustavad vastavate külgedega võrdsed nurgad.)

6. Kui kogused on mõnel pikkusel tasakaalus, siis nendega võrdsed tasakaalustatakse samadel pikkustel.

7. Mis tahes kujundil, mille ümbermõõt on kõikjal samas suunas kumer, peab raskuskese olema kujundi sees.

Näeme, et need aksioomid jagunevad selgelt kahte rühma. Esimesse rühma kuuluvad esimene, teine, kolmas ja kuues aksioom, mis on kangi teooria aluseks. Neljas, viies ja seitsmes aksioom räägivad lamedate kujundite raskuskeskmetest ja raskuskeskme kontseptsiooni peetakse üldtuntuks. Seos mõlema aksioomirühma vahel ilmneb järgnevate tõestuste käigus ning need tõestused on äärmiselt formaalse iseloomuga: lihtsad geomeetrilised jooned astuvad füüsilise kangi asemele ja tasakaal ise muutub kuidagi ebamääraseks, abstraktselt matemaatiliseks; teoreemid on enamasti tõestatud vastuoluga ja see kehtib võrdselt nii traktaadi esimese kui ka teise osa kohta. Esimese raamatu materjal valmistab ette kõik vajaliku teise raamatu teoreemide tõestamiseks ning mõlema osa lausete vahel on tihe loogiline seos.

Seega tuleks leppida väitekirjaga, mis käsitleb traktaadi "Tasapinnaliste kujundite tasakaalust" kirjutamise üsna hilist aega. Selles töös otsustas Archimedes anda palju varem saadud tulemustele range matemaatilise vormi.

Pange tähele, et E. Mach, kes umbusaldas formaalsete deduktiivsete meetodite rakendamist mehaanikas, uskus, et Archimedese kangiteooria loogiline rangus on kujuteldav. Tema arvates ei saa ilma eksperimentaalseid andmeid kaasamata tuletada traktaadi kuuendat ja seitsmendat teoreemi, mis ütlevad, et nii võrreldavad kui ka mittevõrdlusväärsed suurused on kaaludega pöördvõrdeliste pikkustega tasakaalus. Siin on see, mida ta kirjutas selle kohta ajakirjas Mehaanika.

«Kuigi Archimedese ja järgnevate uurijate saadud tulemused tunduvad esmapilgul ülimalt rabavad, tekib meil siiski lähemal uurimisel kahtlus nende õigsuses. Ühest eeldusest võrdsete koormuste tasakaalu kohta võrdsetel vahemaadel tuletatakse pöördvõrdeline proportsionaalsus koormuse ja kangi õla vahel! Kuidas on see võimalik? Kuna üks tühine tasakaalu sõltuvus koormusest ja vahemaast oli üldse võimatu leiutada meist endist, aga oli vaja kogemusest laenata, siis seda vähem suudame spekulatiivsel teel leida selle sõltuvuse vormi, proportsionaalsust.

Machi seisukoht tekitas teadusajaloolaste seas elavat arutelu. Me ei saa sellel arutelul pikemalt peatuda, kuna see võtaks liiga palju ruumi; piirdume viitega I. N. Veselovskile, kes väitis, et Archimedese tõestused osutuvad täiesti laitmatuteks, kui mõistame kuuenda aksioomi tähendust, mis esmapilgul näib olevat puhas tautoloogia (nii tajus seda ilmselt Mach ). See tähendus on järgmine: "Antud punktis rakendatava koormuse mõju määrab ainult selle suurus, see tähendab, et see ei sõltu üldse selle kujust ega orientatsioonist."

Sel viisil mõistetuna võimaldab kuues aksioom asendada mitu massi ühega, mis on paigutatud nende raskuskeskmesse; selles mõttes kasutab Archimedes seda kuuenda ja seitsmenda esimese raamatu (nagu ka esimese teise raamatu) teoreemide tõestuses. Kangi seaduse tõestus võtab nüüd täiesti range loogilise vormi.

Nii või teisiti peeti Archimedese traktaati "Tasapinnaliste kujundite tasakaalust" sajandeid matemaatilise ranguse mudeliks. Koos kirjadega Dositheusele uurisid teda põhjalikult 17. sajandi matemaatikud, kelle hulgas olid lisaks ülalloetletud teadlastele sellised hiiglased nagu Galileo ja Huygens.

Erilise positsiooni Archimedese teaduspärandis on kahest raamatust koosnev traktaat "Ujuvatest kehadest" (???? ??? ?????????). See on ilmselt üks viimaseid, kui mitte kõige viimaseid suure Syracusa teoseid. Seda oletust toetab teise raamatu ilmselge lõpetamata lõpp. Sellegipoolest võib seda traktaati pidada peaaegu Archimedese kõrgeimaks saavutuseks, mis näitab, et kuni oma päevade lõpuni (mida, nagu teate, katkestas Rooma sõduri õnnetu mõõgahoop), oli Archimedes oma loomingulise potentsiaali tipptasemel. .

Selle traktaadi hilisem ajalugu on huvitav. Üks väheseid tolleaegseid kreeka keele tundjaid Wilhelm Moerbeke (surn. 1282) tõlkis XIII sajandil Thomas Aquino palvel hulga Archimedese (ja ka teiste kreeka teadlaste) töid ladina keelde. . Tõlketeoste hulgas oli traktaat "Ujuvatest kehadest". Varsti pärast seda läks traktaadi kreekakeelne käsikiri kuidagi kaduma. Mitu sajandit jäi traktaat tuntuks ainult Merkebe tõlkes. Ja alles XX sajandi alguses. Heiberg leidis umbes kolmveerand traktaadi algtekstist samalt palimpsestilt, millele oli kirjutatud Efod.

Traktaadi "Ujuvatest kehadest" esimene osa algab eeldusega, mida võiks nimetada füüsiliseks aksioomiks, kui see ei sisaldaks kogu füüsikalist kontseptsiooni:

"Oletame, et vedelik on oma olemuselt sedalaadi, et selle samal tasemel ja üksteisega külgnevatest osakestest surutakse vähem kokkusurutud osakesed rohkem kokkusurutuna välja ja et iga selle osakest surub kokku vedelik, mis asub kõrgemal. see loodijoonel, välja arvatud juhul, kui vedelik on suletud anumasse ja miski muu seda ei pigista.

Vedeliku käsitlemine keskkonnana, mida võib käsitleda lugematute kõrvuti asetsevate osakeste kogumina, sai hiljem kontiinumfüüsika üldtunnustatud tehnikaks ja sellel pole anatoomiaga mingit pistmist. Archimedeses kohtame seda tehnikat esimest korda.

Meie tsiteeritud eeldust kasutab Archimedes mitmete oluliste teoreemide tuletamiseks. Neist kaks esimest määravad vedeliku järgmise omaduse: "Iga paigalseisva vedeliku pind on palli kujuline, mille kese langeb kokku Maa keskpunktiga." Nüüd teame, et see omadus (mille sõnastas muuseas Aristoteles traktaadis "Taevas") on ligikaudne ja seda ei täheldata kitsastesse anumatesse suletud vedelikes. Kuid suurtes basseinides asuvate vedelike, järvede, merede ja ookeanide puhul on Archimedese tõestatud teoreem kindlasti tõsi.

Pange tähele, et see teoreem ei pälvinud tolleaegsete teadlaste seas kohe tunnustust, kuigi näib, et see oli loogiline tagajärg väitele, et Maa on sfääriline. Temaga ei nõustunud isegi Archimedese sõber Eratosthenes – seesama Eratosthenes, kes sai esmakordselt täpsed andmed maakera suuruse kohta. Strabo "Geograafia" esimesest raamatust leiame järgmised tõendid: "Kas pole nüüd naeruväärne vaadata, kuidas matemaatik Eratosthenes keeldub tunnustamast Archimedese essees "Ujuvatest kehadest" kehtestatud põhimõtet, et mis tahes vedeliku pind puhkeasendis on palli kuju, mille kese langeb kokku Maa keskpunktiga, kuid see on põhimõte, mille aktsepteerivad nüüd kõik, kes matemaatikast natukenegi teavad.

Edasi järgige Archimedese traktaadis viit teoreemi, mida tsiteerime ka sõna-sõnalt: „III. Vedelikuga võrdse kaaluga kehad, mis on sellesse vedelikku langetatud, sukeldatakse nii, et ükski nende osa ei ulatuks vedeliku pinnast kõrgemale ega liiguks alla ...<…>IV. Vedelikust kergem keha sellesse vedelikku langetades ei vaju täielikult, vaid osa sellest jääb vedeliku pinnast kõrgemale ...<…>V. Vedelikust kergem keha, mis on sellesse vedelikku sukeldatud, sukeldub nii, et sukeldatud (kehaosa) vedeliku maht on võrdne kogu keha massiga ...<…>VI. Vedelikust kergemad kehad, mis on sellesse vedelikku sunniviisiliselt langetatud, lükatakse üles jõuga, mis on võrdne raskusega, mille võrra kehaga sama mahuga vedelik on sellest kehast raskem ...<….>VII. Vedelikust raskemad kehad, mis on sellesse vedelikku sukeldatud, vajuvad, kuni jõuavad põhja, ja vedelikus muutuvad nad vedeliku kaalu võrra kergemaks mahus, mis on võrdne sukeldatud keha mahuga ... "

Need teoreemid moodustavad aluse Archimedese loodud uuele teadusele, mida hiljem nimetati hüdrostaatikaks. Neid teoreeme tõestades jäädvustas Archimedes oma nime igaveseks, sest neis sisalduvat füüsikaseadust tunneb tänapäeval iga õpilane Archimedese seadusena.

Trakaadi edasine osa on Archimedese seaduse rakendamine mõnel erijuhtumil.Esimese raamatu lõpus käsitleb Archimedes vedelikku langetatud kuuli segmendi tasakaalutingimusi, mille tihedus on väiksem kui tihedus. vedelikust (vastavalt Archimedese sõnastusele - "vedelikust kergem"),

Traktaadi teine ​​osa algab järgmise teoreemiga:

"Kui vedelikust kergem keha lastakse sellesse vedelikku, on see vedelikuga samas gravitatsioonis, nagu on vedeliku tasemest allapoole sukeldatud ruumala kogu mahu suhtes."

See teoreem on Archimedese seaduse otsene tagajärg ja seda nimetatakse praegu "hüdromeetri põhimõtteks". Järgnevalt käsitleb Archimedes üksikasjalikult vedelikku sukeldatud ristkülikukujulise konoidi tasakaalutingimusi (ristkülikukujulise konoidi all peab ta silmas pöördeparaboloidi lõiku, mis on ära lõigatud teljega risti oleva tasapinnaga). Samal ajal käsitleb Archimedes erinevaid juhtumeid: kui segmendi põhi ei puuduta vedelikku, kui see puudutab vedelikku ühel hetkel, kui see on täielikult vedelikku sukeldatud jne. meieni ei ole päris täielik, mis paneb meid oletama, et traktaati "Ujuvatest kehadest" ei lõpetanud Archimedes. Archimedese kirjutiste lisas näitab I. N. Veselovski, mis võiks olla traktaadi kirjutamata osas ja annab täieliku sõnastuse Archimedese uurimistöö tulemustest.

Me ei saa siinkohal siseneda Archimedese ujuva paraboloidi tasakaalu üksikute juhtumite käsitlemisel kasutatud meetodi üksikasjadesse. Selle meetodi matemaatiline pool on silmatorkav oma lihtsuses ja elegantsuses; mis puudutab selle füüsilist alust, siis see koosneb järgmisest. Archimedes leiab tasakaaluasendi, määrates kindlaks, kas sellest positsioonist kõrvale kaldunud paraboloid naaseb sinna või mitte. Kui jah, siis leitud asend vastab stabiilse tasakaalu positsioonile. Põhimõtteliselt erineb see meetod 19. sajandi teisel poolel välja töötatud meetodist vaid detailide poolest. Prantsuse matemaatik Ch. Dupin ja Moskva ülikooli professor A. Yu. Davõdov, kelle jaoks oli ujuvkehade tasakaalu probleem seoses laeva stabiilsuse teooriaga puhtpraktilise tähtsusega. Archimedese jaoks oli see probleem puhtalt teoreetiline ja ilmselt ei mõelnud ta selle võimalikele praktilistele rakendustele. See märkus kehtib ka teiste tulemuste kohta, mille Archimedes oma matemaatilistes töödes sai. Pole juhus, et kõigist nendest tulemustest oli Archimedes eriti uhke teoreemi üle, mille ta tõestas, et kera ruumala on võrdne 2/3 selle lähedale piiritletud silindri mahust, mille tulemusena hauakivi, tema hauale pandi silindrisse kirjutatud kera. Need avastused olid Archimedese seisukohalt iseseisev väärtus, mis ei sõltunud kuidagi nende võimalikust praktilisest kasulikkusest. Sellega seoses oli Archimedes täielikult vangistatud iidse teaduse traditsioonidest, mis kinnitasid teoreetilise spekulatsiooni ülimuslikkust mis tahes praktilise tegevuse ees. See, et ta oli samal ajal geniaalne insener, ei muutnud kuidagi tema üldteoreetilisi hoiakuid.

Vahepeal ajendasid Archimedese uurimust vedelikesse sukeldatud kehasid reguleerivate seaduste kohta ilmselt praktilised probleemid. Seda öeldes ei pea me sugugi silmas tuntud legendi, millest on juttu Vitruviuse traktaadis. Meetod, mida Archimedes Vitruviuse sõnul kasutas kuningas Hiero kuldkroonis hõbeda määramiseks, on väga ebatäpne ja sellel pole midagi pistmist Archimedese ujukehade seadusega. Hilisemates allikates esitatakse teine ​​meetod, mis põhineb Archimedese seadusel ja on kahtlemata täpsem. Kuid milline on nende aruannete usaldusväärsus ja kas need ei kujutanud endast Archimedese kogemuse hilisemat rekonstruktsiooni? Me ei tea seda.

Olulisem on selles kontekstis ajaloolase Polybiuse sõnum (mida kordasid tollal Tiitus Livius ja Plutarchos), mille kohaselt tõstis Archimedes spetsiaalselt selleks ette nähtud raudsest "käpa" abil üles ja kummutas Syracuse kaitsmise ajal Rooma laevu. Kui see sõnum oli tõsi, siis oleks sellise mehhanismi ehitamiseks tehtud arvutused pidanud arvestama Archimedese seadustega.

Mis puutub teistesse Archimedese insenerileiutistesse, siis lisaks ülalmainitud "tigule" põldude niisutamiseks ja mitte arvestada Archimedese enda poolt "Psammites" kirjeldatud seadet Päikese näiva läbimõõdu määramiseks (seda seadet võib pidada meile esmakordselt teadaolevast teadus- ja mõõtmisinstallatsiooni kirjandusest), hõlmavad järgmisi iidsete autorite mainitud seadmeid: 1. "Taevasfäär" või planetaarium, mida kirjeldas hiljem Cicero. Pärast Archimedese surma viis Rooma komandör Marcellus ta Rooma, kus ta oli mitu sajandit universaalse imetluse subjektina. Viimati mainitakse seda planetaariumit Rooma poeedi Claudianuse (umbes 400) epigrammis, millest saame eelkõige teada, et selle planetaariumi pani liikuma mingi pneumaatiline mehhanism. Sellise mehhanismi olemasolu eristas Archimedese planetaariumi oluliselt primitiivsematest "taevasfääridest", mille kreeka astronoomid lõid alates Eudoxusest, et simuleerida taevakehade liikumist.

2. Hüdrauliline orel, mida Tertullianus nimetas üheks tehnikaimeks. Tuleb aga märkida, et vanemad allikad nimetavad sellise oreli leiutajaks Aleksandria inseneri Ctesibiust, millest räägime allpool.

Archimedes parandas ilmselt ainult Ctesibiuse leiutatud orelit.

3. Arvukad sõjarelvad, mis on leidnud rakendust Sürakuusa kaitsmisel. Nende hulgas pakub erilist huvi (ja ausalt öeldes suurimaid kahtlusi) meie poolt juba mainitud “käpp”, mis Rooma laevu kinni püüdis ja ümber lükkas. Ülejäänud relvad erinesid tolleaegsetes sõdades kasutatud sarnastest seadmetest ilmselt ainult tabamuse täpsuse poolest, mida rõhutavad kõik roomlaste Sirakuusa piiramisest kirjutanud ajaloolased.

Kõigest eelnevast järeldub, et üldiselt olid Archimedese tehnilised saavutused kooskõlas tolleaegse iidse tehnika arenguga. Põhiline erinevus Archimedese ja kaasaegsete inseneride, nagu Ctesibius ja Philo vahel seisnes selles, et olles hellenismiajastu suurim teadlane, suutis ta mõista mitmete elementaarsete mehhanismide toimimist, millega inimene oli pikka aega oma igapäevatöös kokku puutunud. , ning sellega pani aluse teoreetilise mehaanika arengule – teadusele, mida antiikaeg varem ei tundnud, kuid millest sai uusajal materjalitootmise edenemises otsustav tegur.