Kasvava funktsiooni definitsioon.

Funktsioon y=f(x) suureneb intervalliga X, kui mõne ja ebavõrdsus on rahuldatud. Teisisõnu, argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele.

Funktsiooni määratluse vähendamine.

Funktsioon y=f(x) väheneb intervalli jooksul X, kui mõne ja ebavõrdsus . Teisisõnu, argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.

MÄRKUS: kui funktsioon on defineeritud ja on pidev suurendamise või vähendamise intervalli lõpus (a;b), ehk millal x=a ja x=b, siis kaasatakse need punktid suurenemise või kahanemise intervalli. See ei ole vastuolus intervalli suureneva ja kahaneva funktsiooni definitsioonidega X.

Näiteks põhiliste elementaarfunktsioonide omaduste põhjal teame seda y = sinx on defineeritud ja pidev kõigi argumendi tegelike väärtuste jaoks. Seetõttu saame intervalli siinusfunktsiooni suurenemise põhjal väita intervalli suurenemist.

Äärmuspunktid, äärmusfunktsioon.

Punkti nimetatakse maksimaalne punkt funktsioonid y=f(x) kui kõigi jaoks x selle naabruses on ebavõrdsus tõsi. Kutsutakse funktsiooni väärtust maksimumpunktis funktsiooni maksimum ja tähistada .

Punkti nimetatakse miinimumpunkt funktsioonid y=f(x) kui kõigi jaoks x selle naabruses on ebavõrdsus tõsi. Kutsutakse funktsiooni väärtust miinimumpunktis funktsiooni miinimum ja tähistada .

Punkti naabrusena mõistetakse intervalli , kus on piisavalt väike positiivne arv.

Nimetatakse miinimum- ja maksimumpunktid äärmuslikud punktid, ja kutsutakse äärmuspunktidele vastavad funktsiooni väärtused funktsiooni äärmus.

Ärge ajage funktsiooni äärmusi segamini funktsiooni maksimaalse ja minimaalse väärtusega.

Esimesel joonisel funktsiooni suurim väärtus segmendil saavutatakse maksimumpunktis ja on võrdne funktsiooni maksimumiga ning teisel joonisel saavutatakse funktsiooni maksimaalne väärtus punktis x=b, mis ei ole maksimumpunkt.

Piisavad tingimused funktsioonide suurendamiseks ja vähendamiseks.

Funktsiooni suurenemise ja vähenemise piisavate tingimuste (märkide) alusel leitakse funktsiooni suurenemise ja vähenemise intervallid.

Siin on intervalli suurenemise ja kahanemise märkide sõnastused:

kui funktsiooni tuletis y=f(x) positiivne iga jaoks x intervallist X, siis funktsioon suureneb võrra X;

kui funktsiooni tuletis y=f(x) negatiivne mis tahes x intervallist X, siis funktsioon väheneb võrra X.

Seega on funktsiooni suurendamise ja vähenemise intervallide määramiseks vaja:

Vaatleme algoritmi selgitamiseks näidet suurenevate ja kahanevate funktsioonide intervallide leidmisest.

Näide.

Leia funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallid.

Lahendus.

Esimene samm on funktsiooni määratluse ulatuse leidmine. Meie näites ei tohiks nimetaja avaldis seetõttu kaduda.

Liigume edasi funktsiooni tuletise leidmise juurde:

Funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallide määramiseks piisava kriteeriumi alusel lahendame võrratused ja definitsioonipiirkonnas. Kasutame intervallmeetodi üldistust. Lugeja ainus tõeline juur on x=2, ja nimetaja kaob kell x=0. Need punktid jagavad definitsioonipiirkonna intervallideks, milles funktsiooni tuletis säilitab oma märgi. Märgime need punktid numbrireale. Plusside ja miinustega tähistame tinglikult intervalle, millel tuletis on positiivne või negatiivne. Allolevad nooled näitavad skemaatiliselt funktsiooni suurenemist või vähenemist vastaval intervallil.

Suurenevad ja kahanevad intervallid annavad funktsiooni käitumise kohta väga olulist teavet. Nende leidmine on osa funktsioonide uurimise ja joonistamise protsessist. Lisaks pööratakse funktsiooni suurimate ja väiksemate väärtuste leidmisel teatud intervallil erilist tähelepanu äärmuspunktidele, kus toimub muutus tõusust vähenemiseni või langusest suurenemiseni.

Käesolevas artiklis anname vajalikud definitsioonid, sõnastame piisava testi funktsiooni suurendamiseks ja vähendamiseks intervallil ning piisavad tingimused ekstreemumi olemasoluks ning rakendame kogu seda teooriat näidete ja ülesannete lahendamisel.

Leheküljel navigeerimine.

Kasvav ja kahanev funktsioon intervallil.

Kasvava funktsiooni definitsioon.

Funktsioon y=f(x) suureneb intervallil X, kui mis tahes ja korral ebavõrdsus on rahuldatud. Teisisõnu, argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele.

Funktsiooni määratluse vähendamine.

Funktsioon y=f(x) väheneb intervallil X, kui mis tahes ja korral ebavõrdsus . Teisisõnu, argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.

MÄRKUS: kui funktsioon on defineeritud ja pidev suurenemise või kahanemise intervalli (a;b) otstes, st punktides x=a ja x=b , siis kaasatakse need punktid suurenemise või kahanemise intervalli. See ei ole vastuolus intervalli X kasvava ja kahaneva funktsiooni definitsioonidega.

Näiteks põhiliste elementaarfunktsioonide omadustest teame, et y=sinx on defineeritud ja pidev kõigi argumendi tegelike väärtuste jaoks. Seetõttu saame intervalli siinusfunktsiooni suurenemise põhjal väita intervalli suurenemist.

Äärmuspunktid, äärmusfunktsioon.

Punkti nimetatakse maksimaalne punkt funktsioon y=f(x), kui ebavõrdsus on tõene kõigi selle naabruses asuvate x-ide jaoks. Kutsutakse funktsiooni väärtust maksimumpunktis funktsiooni maksimum ja tähistada .

Punkti nimetatakse miinimumpunkt funktsioon y=f(x), kui ebavõrdsus on tõene kõigi selle naabruses asuvate x-ide jaoks. Kutsutakse funktsiooni väärtust miinimumpunktis funktsiooni miinimum ja tähistada .

Punkti naabrusena mõistetakse intervalli , kus on piisavalt väike positiivne arv.

Nimetatakse miinimum- ja maksimumpunktid äärmuslikud punktid, ja kutsutakse äärmuspunktidele vastavad funktsiooni väärtused funktsiooni äärmus.

Ärge ajage funktsiooni äärmusi segamini funktsiooni maksimaalse ja minimaalse väärtusega.

Esimesel joonisel saavutatakse funktsiooni maksimaalne väärtus lõigul maksimaalses punktis ja on võrdne funktsiooni maksimumiga ning teisel joonisel saavutatakse funktsiooni maksimaalne väärtus punktis x=b , mis ei ole maksimumpunkt.

Piisavad tingimused funktsioonide suurendamiseks ja vähendamiseks.

Funktsiooni suurenemise ja vähenemise piisavate tingimuste (märkide) alusel leitakse funktsiooni suurenemise ja vähenemise intervallid.

Siin on intervalli suurenemise ja kahanemise märkide sõnastused:

• kui funktsiooni y=f(x) tuletis on positiivne mis tahes intervalli X korral x , siis funktsioon suureneb X võrra;
• kui funktsiooni y=f(x) tuletis on negatiivne mistahes x jaoks vahemikust X , siis funktsioon on kahanev X .

Seega on funktsiooni suurendamise ja vähenemise intervallide määramiseks vaja:

Vaatleme algoritmi selgitamiseks näidet suurenevate ja kahanevate funktsioonide intervallide leidmisest.

Näide.

Leia funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallid.

Lahendus.

Esimene samm on funktsiooni ulatuse leidmine. Meie näites ei tohiks nimetaja avaldis seetõttu kaduda.

Liigume edasi funktsiooni tuletise leidmise juurde:

Funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallide määramiseks piisava kriteeriumi alusel lahendame võrratused ja definitsioonipiirkonnas. Kasutame intervallmeetodi üldistust. Lugeja ainus tegelik juur on x = 2 ja nimetaja kaob, kui x=0. Need punktid jagavad definitsioonipiirkonna intervallideks, milles funktsiooni tuletis säilitab oma märgi. Märgime need punktid numbrireale. Plusside ja miinustega tähistame tinglikult intervalle, millel tuletis on positiivne või negatiivne. Allolevad nooled näitavad skemaatiliselt funktsiooni suurenemist või vähenemist vastaval intervallil.

Sellel viisil, ja .

Punktis x=2 funktsioon on defineeritud ja pidev, seega tuleb see lisada nii kasvavale kui ka kahanevale intervallile. Punktis x=0 ei ole funktsioon defineeritud, mistõttu see punkt ei sisaldu nõutavate intervallide hulgas.

Esitame funktsiooni graafiku, et võrrelda sellega saadud tulemusi.

Vastus:

Funktsioon suureneb kell , väheneb intervallil (0;2] .

Funktsiooni ekstreemumi jaoks piisavad tingimused.

Funktsiooni maksimumide ja miinimumide leidmiseks võite kasutada mis tahes kolmest ekstreemumimärgist, muidugi juhul, kui funktsioon vastab nende tingimustele. Kõige tavalisem ja mugavam on neist esimene.

Ekstreemumi esimene piisav tingimus.

Olgu funktsioon y=f(x) diferentseeruv punkti -naabruses ja pidev punktis endas.

Teisisõnu:

Algoritm ekstreemumipunktide leidmiseks funktsiooni ekstreemumi esimese märgi järgi.

• Funktsiooni ulatuse leidmine.
• Funktsiooni tuletise leiame definitsioonipiirkonnast.
• Määrame lugeja nullid, tuletise nimetaja nullid ja domeeni punktid, kus tuletist ei eksisteeri (kõik loetletud punktid on nn. võimaliku äärmuse punktid, läbides neid punkte, saab tuletis lihtsalt oma märki muuta).
• Need punktid jagavad funktsiooni domeeni intervallideks, milles tuletis säilitab oma märgi. Määrame tuletise märgid igal intervallil (näiteks arvutades funktsiooni tuletise väärtuse ühe intervalli mis tahes punktis).
• Valime punktid, kus funktsioon on pidev ja mille läbimisel tuletis muudab märki – need on ekstreemumipunktid.

Liiga palju sõnu, vaatame parem mõnda näidet funktsiooni äärmuspunktide ja ekstreemumite leidmiseks, kasutades esimest piisav seisukord funktsiooni äärmus.

Näide.

Leia funktsiooni äärmuspunkt.

Lahendus.

Funktsiooni ulatus on kogu reaalarvude komplekt, välja arvatud x=2 .

Leiame tuletise:

Lugeja nullpunktid on punktid x=-1 ja x=5 , nimetaja läheb nulli, kui x=2 . Märkige need punktid numbrireale

Määrame iga intervalli tuletise märgid, selleks arvutame tuletise väärtuse iga intervalli mis tahes punktis, näiteks punktides x=-2, x=0, x=3 ja x= 6 .

Seetõttu on tuletis intervalli suhtes positiivne (joonisel paneme selle intervalli kohale plussmärgi). Samamoodi

Seetõttu panime teisele intervallile miinuse, kolmandale miinuse ja neljandale plussi.

Jääb valida punktid, kus funktsioon on pidev ja selle tuletis muudab märki. Need on äärmuslikud punktid.

Punktis x=-1 funktsioon on pidev ja tuletis muudab märgi plussist miinusesse, seetõttu on ekstreemumi esimese märgi järgi x=-1 maksimumpunkt, see vastab funktsiooni maksimumile .

Punktis x=5 funktsioon on pidev ja tuletis muudab märgi miinusest plussiks, seega x=-1 on miinimumpunkt, see vastab funktsiooni miinimumile .

Graafiline illustratsioon.

Vastus:

TÄHELEPANU: ekstreemumi esimene piisav märk ei nõua, et funktsioon oleks punktis endas diferentseeritav.

Näide.

Leia funktsiooni äärmuslikud punktid ja äärmused .

Lahendus.

Funktsiooni domeeniks on kogu reaalarvude komplekt. Funktsiooni enda saab kirjutada järgmiselt:

Leiame funktsiooni tuletise:

Punktis x=0 tuletist ei eksisteeri, kuna ühepoolsete piiride väärtused ei lange kokku, kui argument kaldub nulli:

Samal ajal on algfunktsioon punktis x=0 pidev (vt funktsiooni pidevuse uurimise jaotist):

Leidke argumendi väärtused, mille juures tuletis kaob:

Märgime kõik saadud punktid reaaljoonele ja määrame iga intervalli tuletise märgi. Selleks arvutame tuletise väärtused iga intervalli suvalistes punktides, näiteks millal x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

See on,

Seega ekstreemumi esimese märgi järgi on miinimumpunktid , on maksimumpunktid .

Arvutame funktsiooni vastavad miinimumid

Arvutame funktsiooni vastavad maksimumid

Graafiline illustratsioon.

Vastus:

.

Funktsiooni ekstreemumi teine ​​märk.

Nagu näete, nõuab see funktsiooni ekstreemumi märk tuletise olemasolu vähemalt teise järguni punktis .

Tundide ajal:

Õpilaste tegevused

Vahendid

2 minutit

I. Organisatsioonimoment.

Tervitan õpilasi,kontrollib tunniks valmisolekut, soovib edu.

Mõelge eesmärgi üle.

märkmikud

5 min

II. Kodutöö kontrollimine: nbh lahendada lahendamata ülesandeid, selgitada.

Näidake oma teadmisi.

tabelid

10 min

II. Uue teema uurimine

Kui selle funktsiooni tuletis on positiivne kõigi x väärtuste korral intervallis ( a;sisse), st. f"(x) > 0, siis funktsioon selles intervallis suureneb.
Kui selle funktsiooni tuletis on kõigi väärtuste puhul negatiivne X intervallis ( a;sisse), st. f"(x) < 0, то функция в этом интервале убывает.

Monotoonsuse intervallide leidmise järjekord:

Leidke funktsiooni ulatus.

Leia funktsiooni esimene tuletis.

Leida kriitilised punktid, uurida esimese tuletise märki intervallides, milleks leitud kriitilised punktid funktsiooni domeeni jagavad.

Leia funktsioonide monotoonsuse intervallid.

Uurime saadud intervallides tuletise märki, lahendus esitatakse tabeli kujul.

Piisavaks tingimuseks maksimumi olemasoluks on tuletise märgi muutmine kriitilise punkti läbimisel "+"-lt "-"-ks, miinimumi puhul "-"-lt "+"-ks. Kui tuletis kriitilist punkti läbides märki ei muuda, siis ekstreemumit selles punktis ei ole.

Vaatleme mõningaid näiteid suurenemise ja vähenemise funktsiooni uurimisest.

Leia funktsioonide suurenemise ja kahanemise intervallid

1) f(x) = 3–0,5x,

2) f(x) = - x2+2x-3,

3) f(x) = 4x-5,

4) f(x) = 5x 2- 3x+1.

(-∞;1)-suureneb, (1;+∞)-väheneb

(-∞;+∞)-suureneb

(-∞;0,3)-suureneb, (0,3;+∞)-väheneb

(-∞;+∞)-väheneb

Näidake oskusi.

plakatid

Valemid

Õpik

min

IV. Teadmiste kinnistamine Töö õpikuga nr 258, nr 261

3. Leida statsionaarsed punktid, st. punktid kus f"( x) = 0 või f"( x) ei eksisteeri.
(Tuletis on 0 lugeja nullidel, tuletist nimetaja nullidel ei eksisteeri)

4. Järjesta D( f) ja need punktid koordinaatjoonel.

5. Määrake tuletise märgid igal intervallil

6. Rakenda märke. 7. Kirjuta vastus üles.

3 min

V. Tunni kokkuvõte.õpilaste enesehinnang oma õppetegevuse tulemuste kohta.Viib läbi refleksiooni.

Mida uut sa tunnis õppisid?

Olid teie jaoks olemas huvitavaid hetki?

Kirjutage oma arvamus tunni kohta kleebistele.

Kaardid

2 minutit

VI.Kodutöö. Selgitab funktsioone kodutöö № 259, № 257

päevikutesse kirjutama.

Päevik

Olgu f lõigul pidev ja diferentseeruv selle lõigu sisemistes punktides. Siis on sellel lõigul selline sisepunkt, et abstsisspunktiga c punktis c joonestatud funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne kõõluga AB, kus A(a;f(x)) ja B(b;f) (x)). Või: sujuval kaarel AB on alati punkt c, mille puutuja on paralleelne kaare otste ühendava kõõluga.

Olgu f lõigul pidev ja diferentseeruv selle lõigu sisemistes punktides. Siis on sellest segmendist selline sisepunkt, et

Järeldus 1: kui funktsioon f on lõigul pidev ja selle tuletis on selle lõigu sees võrdne nulliga, siis on funktsioon f segmendil konstantne.

Järeldus 2: kui funktsioonid f ja g on lõigul pidevad ja neil on selle lõigu sees samad tuletised, siis erinevad need konstantse liikme poolest.

2. Piisav märk funktsiooni suurenemisest:

Kui f[/](x)>0 intervalli I igas punktis, siis funktsioon f suureneb intervallil I.

3. Piisav kriteerium funktsiooni vähendamiseks:

Kui f[/](x)

Tõestame neid märke Lagrange'i valemiga:

Võtke suvalised kaks numbrit ja intervallist. Lase. Lagrange'i valemi järgi on selline arv, et.

Arv c kuulub intervalli I, kuna punktid ja kuuluvad sellesse intervalli. Kui f[/](x)>0 jaoks, siis f[/](c) >0 ja seega - see tuleneb valemist (1), kuna ->0. See tõestab, et funktsioonid f suurenevad intervallil I. Kui f[/](x) 0, siis funktsioon f väheneb intervallil I.

Näide 1. leidke suureneva ja kahaneva funktsiooni intervallid

2. Leia funktsiooni ja selle kriitiliste punktide tuletis: või

3. Märgistame reaalteljel ekstreemumite punktid ja leiame funktsiooni suurenemise ja vähenemise intervallid

Vastus: - funktsioon suureneb

Funktsioon väheneb

Näide 2. Uurige funktsiooni suurendamist (langetamist):

2. Leia funktsiooni tuletis- ja ekstreemumipunktid:

3. Märgime arvuteljele kriitilise punkti ja leiame funktsiooni suurenemise (vähenemise) intervallid:

Vastus: - funktsioon väheneb

Funktsioon tõuseb

II. kriitilised punktid. Funktsiooni maksimumi ja miinimumi leidmise märgid.

1. Kriitilised punktid

Definitsioon: funktsiooni kriitilised punktid on funktsiooni domeeni sisemised punktid, kus selle tuletis on võrdne nulliga või seda ei eksisteeri.

nr 1. Leia funktsiooni f kriitilised punktid: a) g(x) =

Vastus: kus; , kus b) g(x) =

2. Funktsiooni maksimumi ja miinimumi leidmise märgid.

Funktsioonide maksimumi märk:

Kui funktsioon f on pidev punktis x0 ja f[/](x)>0 intervallil (a;x0) ja f[/](x)

Või: kui punktis x0 tuletis muudab märgi plussist miinusesse, siis on x0 maksimumpunkt.

Tõestus:

Tuletis f[/](x)>0 intervallil (a; x0) ja funktsioon on pidev punktis x0, seega funktsioon f suureneb intervallil (a; x0] ja seetõttu f(x)

Intervallil [x0; c) funktsioon väheneb ja seetõttu f(x)

Funktsiooni miinimummärgid:

Kui funktsioon f on pidev punktis x0 ja f[/](x) 0 intervallil (x0;v), siis on punkt x0 funktsiooni f miinimumpunkt.

Või: kui punktis x0 tuletis muudab märgi miinusest plussiks, siis x0 on miinimumpunkt.

Tõestus:

Tuletis f[/](x) f (x0) kõigi x-ide jaoks vahemikust (a; x0).

Intervallil [x0; c) funktsioon f suureneb ja seetõttu f(x) > f (x0) kõigi jaoks alates intervallist (a; c), st x0 on f miinimumpunkt.

III. Teine tuletis. Märgid kumerusest ja nõgususest.

Olgu punktis olemas ka teine ​​tuletis. Siis, kui, siis punkt on miinimumpunkt ja kui, siis punkt funktsiooni maksimumpunkt.

Kui, siis on kumerus suunatud allapoole. Kui, siis on kumerus suunatud ülespoole.

IV. Kaldus asümptoodid

Definitsioon: Sirge on funktsioonigraafiku kaldus asümptoot, kus ja

Kaldus asümptoodi võrrand

Vertikaalsed asümptoodid kaldu asümptoodi võrrand

V. Funktsiooniuuringute kava

1. Leidke funktsiooni domeen.

2. Uurige funktsiooni tasasuse (veidruse) jaoks.

3. Leidke graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega ja määrake funktsiooni märgi intervallid.

4. Leia tuletis.

5. Leia funktsiooni äärmuspunktid ning funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallid.

6. Tee laud.

7. Leia teine ​​tuletis.

8. Leidke funktsiooni graafiku käändepunktid ja määrake selle graafiku kumeruse ja nõgususe intervallid.

9. Leia vajadusel funktsiooni graafiku asümptoodid.

10. Koostage selle funktsiooni graafiku visand.

11. Leia funktsiooni väärtuste hulk.

VI. Näited funktsiooniuuringu kohta

2). Funktsiooni paarsusest ei saa rääkida.

5) Leidke funktsiooni äärmuspunktid ning funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallid:

Funktsioon tõuseb

Funktsioon väheneb

6) Tee tabel x

7) Leia teine ​​tuletis

8) Leidke pöördepunktid: või

punnis üles

kumeraks allapoole

9) Otsida kaldus asümptoote ei eksisteeri. kaldus asümptoote pole.

10) Graafik

; x=2 - vertikaalne asümptoot

2). Funktsiooni paarsusest ei saa rääkida

3) Leia graafiku lõikepunktid OX-teljega.

Leiame graafiku lõikepunktid y-teljega.

4) Leidke funktsiooni tuletis:

5) Leidke funktsiooni äärmuspunktid ning funktsiooni kasvu- ja languspunktid:

Funktsioon tõuseb

Funktsioon väheneb

6) Tee tabel x

7) Leidke teine ​​tuletis:

8) Leidke pöördepunktid: pöördepunkte pole

kumeraks allapoole

punnis üles

Kaldus asümptoodi võrrand

10) Graafik

Vertikaalne asümptoot

2) funktsiooni ühtlusest ei saa rääkida

OX-teljega lõikepunkte pole.

Ei eksisteeri. Selliseid punkte pole.

4) Leidke tuletis:

Funktsioon väheneb

Funktsioon tõuseb

6) Teeme tabeli:

7) Koostame funktsiooni graafiku:

Vertikaalne asümptoot

2) - funktsiooni ühtlusest ei saa rääkida

3) Leia graafiku lõikepunktid OX-teljega.

Leiame graafiku lõikepunktid OY teljega.

4) Leidke tuletis:

5) Leia funktsiooni äärmuspunktid ning funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallid.

Kriitilised punktid puuduvad.

Maksimaalseid ja minimaalseid punkte pole.

6) Teeme tabeli:

↘ 7) Leidke teine ​​tuletis:

8) Leidke funktsioonigraafiku käändepunktid ja määrake kumerus- ja nõgususvahemikud:

Murdepunkte pole.

punnis üles

kumeraks allapoole

9) Leidke kaldus asümptoote:

Horisontaalne asümptoodi võrrand, kuna k = 0.

10) Koostame funktsiooni graafiku:

; - vertikaalsed asümptoodid

2) on paaritu funktsioon, kuna. Graafik on lähtekoha suhtes sümmeetriline.

3) Leia graafiku lõikepunktid OX-teljega.

Leiame graafiku lõikepunktid OY teljega.

4) Leidke tuletis:

5) Leidke suurenemise ja kahanemise funktsiooni äärmuspunktid ja intervallid:

Otsust ei ole.

Funktsioon väheneb

Funktsioon tõuseb

6) Teeme tabeli:

↘ Pole olemas.

↗ 7) Leidke kaldus asümptoote:

Kaldus asümptoote pole.

8) Leidke teine ​​tuletis:

9) Leidke pöördepunktid: või või

kumeraks allapoole

punnis üles

10) Koostame graafiku

VII. Ajaloo viide.

Lõpp oli hoopis teistsugune. elutee teine ​​matemaatilise analüüsi looja - Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716). Aga kõigepealt asjad kõigepealt.

Tema esivanemad olid pärit Poolast ja kandsid perekonnanime Lubenitz. Pärast Leipzigisse kolimist hakati nende perekonnanime hääldama saksapäraselt. Huvitav on märkida, et ka selle linna nimi ise on slaavi, tähendab\u003e. Leibniz sündis filosoofiaprofessori perre. Leipzigi Ülikool. Ta kaotas varakult oma vanemad: 6-aastaselt jäi ta ilma isata ja 17-aastaselt emata. Kooliajal hämmastas Leibniz oma õpetajaid oskusega koostada ladina ja kreeka keel kirg filosoofia ja matemaatika vastu. Teda eristas suur uudishimu, ta õppis paljusid aineid iseseisvalt, enne nendega kohtumist koolis. Tema mälu oli ebaühtlane: talle jäid kergesti meelde keerulised asjad ja veel hullem – lihtsad; ei osanud pikka aega arvutusi teha, vaid kaldus üldistuste ja abstraktsioonide poole. Ja selline mälestus ja mõtteviis jäi Leibnizile kogu eluks.

15-aastaselt õppis Leibniz Leipzigi ülikooli filosoofiateaduskonnas. See teaduskond valmistas ette õigusteadust ja teoloogiat. Pärast filosoofia- ja seejärel õigusteaduskonna hiilgavalt lõpetamist ei saanud 20-aastane Leibniz oma kodulinnas soovitud kohta. Konservatiivne kord ülikoolis seadis doktorikraadi omandamisele materiaalsed tõkked. Ta sõidab Nürnbergi ja kaitseb sealses ülikoolis enneolematu eduga õigusteaduse doktorikraadi. Märgati noore teadlase erakordset annet. Diplomaatilisse teenistusse kutsub teda Mainzi linna kuurvürst (vürst, kellel on õigus valida kuningat) ja hiljem Hannoveri hertsog.

Kui Leibniz viibis Pariisis valija äritegevuses, kohtus ta paljude kuulsate teadlastega. Arutelud erinevaid probleemeäratas temas huvi matemaatika vastu. Hiljem meenutas ta kirjas I. Bernoullile: >. Pärast ülikooli lõpetamist (1666) avaldas Leibniz filosoofilise ja matemaatilise töö, nii et omast rääkides pidas ta silmas teadmatust matemaatika viimastest saavutustest. Et tutvuda uute tulemuste ja ideedega, mis tol ajal matemaatikas tekkisid, pöördus ta abi saamiseks Huygensi poole. Ta soovitab tal mitmeid teoseid hoolikalt uurida ja Leibniz asub tööle kadestamisväärse innuga: uurib Saint-Vincenti ja Wallise, Descartes'i ja Pascali teoseid ning tegeleb oma uurimistööga.

Kuid kui ta läheb Londonisse diplomaatilise äriga ja teatab oma tulemustest inglise matemaatikutele, on ta üllatunud, kui saab teada, et paljud neist tulemustest on neile juba teada Newtoni käsikirjast>, mis on talletatud Kuninglikus Seltsis. Leibniz kirjutab selle seltsi sekretäri Oldenburgi (1615 - 1677) kaudu Newtonile oma tööst. Samas kirjas palub ta Newtonil oma tulemused teatada. Vastuseks saab ta (taas Oldenburgi kaudu) kaks kirja, milles Newton selgitab seeriate abil diferentseerimise ja integreerimise toiminguid.

Leibniz ei kiirustanud oma tulemusi uues arvutuses avaldama, oodates võib-olla Newtoni väljaandeid. Kuid 1683. aastal avaldas Chirnhaus artikli algebraliste kõverate kvadratuuri kohta. Selles ei mainita Leibnizi nime, kuigi Chirnhaus võlgnes talle nende probleemide lahendamisel palju. Selleks, et peopesa selles piirkonnas püsiks, tuleb Leibniz sisse järgmine aasta prindib artikli > ja aasta hiljem - >. Esimene neist sisaldas diferentsiaalarvutuse põhitõdesid, teine ​​- integraali.

Ta pani uue teaduse aluseks diferentsiaali mõiste. Nüüd on funktsiooni y \u003d f (x) diferentsiaal df (x0) punktis x0 valemiga df (xo) \u003d f "(xo) dx, kus f" (xb) on tuletis, mis arvutatakse punktis x0 punkt xo, nende on argumendi juurdekasv. Leibniz defineerib diferentsiaali iseloomuliku kolmnurga ühe jalana, millest oli juttu eelmises peatükis (9. jagu). Joonis 46 näitab, et need määratlused on samaväärsed.

Leibniz annab reeglid summa, vahe, korrutise, jagatise, astme diferentsiaali arvutamiseks, lahendab diferentsiaalvõrrandeid. Integraali defineerib ta diferentsiaalide summana, rõhutades diferentseerimise ja lõimimise operatsioonide vastastikust pöördvõrdelisust: >. Kust järgneb integraalide omadused ja nende arvutamise meetodid. Järgmistes artiklites töötas Leibniz välja uue analüüsi. Ta tõestas, et iga integreeritav funktsioon on piiratud (integreeritavuse vajalik tingimus), töötas välja teatud tüüpi integraalide arvutamise algoritmi, eriti meetodi ratsionaalsete funktsioonide integreerimiseks. Selle meetodi väärtust ei saa ülehinnata, kuna erinevate asenduste abil taandatakse palju erinevaid integraale ratsionaalsete funktsioonide integraalideks. Vaatleme seda meetodit üksikasjalikumalt.

Suvaliste funktsioonide integreerimise probleemi graafiliseks lahendamiseks leiutas Leibniz (1693) mehaanilise seadme - integraatori. Kui liigutate selle seadme ühte tihvti mööda funktsiooni graafikut, siis teine ​​joonistab antiderivaadi graafiku.

Kasutame Leibnizi tänaseni välja töötatud algoritme ja tähistusi, aga ka enamikku tema kasutusele võetud matemaatikaterminitest: funktsioon, muutuja, konstant, koordinaadid, abstsiss, algoritm, diferentsiaal jne. Paljusid neist terminitest kasutati ka varem, kuid siiski kasutati. ei oma konkreetset tähendust, mis neile Leibnizi andis.

Järgmise sajandi alguses puhkes tuline arutelu analüüsi leiutamise prioriteedi üle. Selle põhjuseks oli Leibnizi ülevaade (1704) Newtoni loomingust, kus ta tõi välja Newtoni ja Fabry lõpmatu väikese tõlgenduse ideoloogilise ühtsuse. Selline suure inglase võrdlus vähetuntud prantsuse matemaatiku Hon o're Fabryga (1607 - 1688) põhjustas inglise teadlaste nördimust. (Ja Leibnizil ei olnud tagamõtteid; Fabry raamat oli lihtsalt üks väheseid, mis aitas tal Pariisi perioodil likvideerida.) Nad nägid seda Newtoni teenete halvustamisena ja alustasid. Selles vaidluses kaitsesid Newtoni õigusi inglise teadlased ja Leibnizi - mandri teadlased. Leibnizi toetus enamiku mandri matemaatikute poolt seletati asjaoluga, et tema tähistus osutus nii täiuslikuks ja õpetus ise nii ligipääsetavaks, et nad leidsid kohe toetajaid paljude Euroopa teadlaste seas, mis on uue teooria puhul äärmiselt haruldane. ilmub.

Ilmselt pidas tähelepanuväärne vene luuletaja Valeri Brjusov just seda vaidlust silmas, kui ta neid ridu kirjutas:

O Leibniz, oo tark, prohvetlike raamatute looja! Sa olid maailmast kõrgemal, nagu muistsed prohvetid. Sinu vanus, imestades sind, ei jõudnud ettekuulutusteni Ja segas meeletuid etteheiteid meelitustega.

Tegelikult olid mõlema poole väited alusetud. Mõlemad teadlased jõudsid iseseisvalt diferentsiaal- ja integraalarvutuse loomiseni ning nende lähenemisviisid olid täiesti erinevad. Newton kasutas võimsusridade aparaati ja Leibniz - diferentsiaali mõistet. Tuline vaidlus viis selleni, et Inglise matemaatikud eirasid kõike, mis Leibnizilt ja tema koolilt tuli, ning mandri matemaatikud brittide tööd. Kuna kontinendil tugineti Leibnizi sümboolikale, mis oli täiuslikum kui Newtoni oma, ja teadlasi ühendasid ühised avaldatud ja kõigile kättesaadavad ideed, läksid mandri matemaatikud Newtoni järgsel perioodil ingliskeelsetega võrreldes kaugele ette.

Ent Leibnizi saatuses mängis saatuslikku rolli vaen inglise ja mandri matemaatikute vahel. Hertsog, kelle jaoks ta oli raamatukoguhoidja, ajaloolane ja biograaf, olles saanud (1714) Inglise kuningaks, lahkus Londonisse. Leibniz ei saanud teda järgida, kuna tema suhted inglise matemaatikutega olid kahjustatud. Lisaks oli hertsog rahulolematu oma historiograafiga, arvates, et too ei pööranud piisavalt tähelepanu oma otsestele ametiülesannetele. Leibniz pidi jääma hertsogi raamatukogusse tööle. Äsja küpsetatud Inglise kuninga ebasoosingus viis teadlase keskkond tugevasti hõrenemiseni. Ta suri kaks aastat hiljem, tema viimasele teekonnale saatsid vaid sekretär ja matjad. Saatuse solvav ülekohus suure teadlase suhtes, kes tegi palju.

Vaatamata sellele, et Leibniz oli väga hõivatud hertsogimaja ajaloo koostamisega, millest sai Lääne-Euroopa ajalugu, ja muudest teadusest eemale viivatest ülesannetest, jättis Leibniz palju töid matemaatika, filosoofia, bioloogia, teadmiste teooria, poliitika, õiguse ja keeleteaduse kohta. Mitmekülgselt andekas teadlane andis hindamatu panuse kõigis neis valdkondades. Ideid voolas temast nagu küllusesarvest: iga kiri, iga märkus või artikkel sisaldas vaadeldavas teadusvaldkonnas midagi põhimõtteliselt uut, määrates kohati selle edasise arengu. Tema otsesel osalusel on palju ära tehtud. Berliinis organiseeris ta teadusseltsi, mis hiljem muudeti Berliini Teaduste Akadeemiaks ja sai selle esimeseks presidendiks. Ta oli esimene Pariisi Teaduste Akadeemia välisliige. Leibniz kohtus Berliinis korduvalt Peeter I-ga, kelle jaoks töötas ta välja hulga projekte Venemaa hariduse ja riigivalitsemise arendamiseks ning Peterburi Teaduste Akadeemia loomiseks.

Kuid kõige olulisem oli tema panus matemaatikasse. Sellesse sisenedes suutis ta selle täielikult muuta. Pärast tema ja tema lähimate kaastöötajate tööd ei ilmunud mitte ainult matemaatiline analüüs, vaid kogu matemaatika astus uude ajastusse.

märgid kohalik tõus ja funktsiooni vähenemine.

Funktsiooni uurimise üks peamisi ülesandeid on selle suurenemise ja kahanemise intervallide leidmine. Sellist uuringut on tuletise abil lihtne läbi viia. Sõnastame vastavad väited.

Piisav kriteerium funktsiooni suurendamiseks. Kui f'(x) > 0 intervalli I igas punktis, siis funktsioon f suureneb I võrra.

Funktsiooni vähenemise piisav kriteerium. Kui f'(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Nende tunnuste tõendamine toimub Lagrange'i valemi alusel (vt punkt 19). Võtke suvalised kaks arvu x 1 ja x2 intervallist. Las x 1 seal on arv с∈(х 1, x 2), nii et

(1)

Arv c kuulub intervalli I, kuna punktid x 1 ja x2 kuuluvad I-sse. Kui f"(x)>0 x∈I korral, siis f'(с)>0 ja seega F(x) 1 )) — see tuleneb valemist (1), kuna x 2-x1 >0. See tõestab, et funktsioon f suureneb I võrra. Kui f’ (x)<0 для х∈I то f"(с)<0, и потому f(x 1 )>f (x 2 ) tuleneb valemist (1), kuna x 2-x1 >0. Tõestame, et funktsioon f väheneb I võrra.

Märkide visuaalne tähendus ilmneb füüsilisest arutlusest (kinnisuse huvides võtke arvesse suurenemise märki).

Olgu ajahetkel t piki y-telge liikuval punktil y-ordinaat y = f(t). Siis on selle punkti kiirus ajahetkel t võrdne f "(t) (vt joonis fig. Vahetu kiirus ). Kui f’ (t)>0 igal ajahetkel intervallist t, siis punkt liigub y-telje positiivses suunas, st kui t 1 ). See tähendab, et funktsioon f kasvab intervallil I.

Märkus 1.

Kui funktsioon f on pidev suurenemise (vähenemise) intervalli mis tahes otsas, siis on see punkt lisatud sellele intervallile.

Märkus 2.

Võrratuste f "(x)>0 ja f" (x) lahendamiseks<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.

Vajalikud ja piisavad tingimused funktsiooni ekstreemumi olemasoluks punktis.

Ekstreemumi vajalik tingimus

Funktsioonil g(x) on punktis ekstreemum (maksimaalne või miinimum), kui funktsioon on määratletud punkti kahepoolses naabruses ja mõne ala kõigi punktide x jaoks: võrratus vastavalt

(maksimumi korral) või (miinimum puhul).

Funktsiooni ekstreemumi saab leida tingimusest: kui tuletis on olemas, s.o. võrdsustage funktsiooni esimene tuletis nulliga.

Piisav äärmuslik seisund

1) Esimene piisav tingimus:

a) f(x) on pidev funktsioon ja on defineeritud mõne punkti naabruses nii, et esimene tuletis antud punktis on võrdne nulliga või seda ei eksisteeri.

b) f(x)-l on funktsiooni spetsifikatsiooni ja pidevuse läheduses lõplik tuletis

c) tuletis säilitab teatud märgi punktist paremal ja samast punktist vasakul, siis saab punkti iseloomustada järgmisel viisil

See tingimus ei ole eriti mugav, kuna peate kontrollima palju tingimusi ja jätma tabeli meelde, kuid kui kõrgemat järku tuletistest pole midagi öeldud, on see ainus viis funktsiooni ekstreemumi leidmiseks.

2) Teine piisav tingimus

Kui funktsioonil g(x) on teine ​​tuletis ja mingil hetkel on esimene tuletis võrdne nulliga ja teine ​​tuletis on nullist erinev. Siis punkt funktsiooni äärmus g(x), ja kui , siis punkt on maksimum; kui , siis punkt on miinimum.