Juhend. Sest võrgulahendused peate määrama maatriksavaldise. Teises etapis on vaja selgitada maatriksite mõõtmeid.

Kehtivad operatsioonid: korrutamine (*), liitmine (+), lahutamine (-), maatriksi pöördvõrdeline A^(-1) , astendamine (A^2 , B^3), maatriksi transpositsioon (A^T).
Toimingute loendi tegemiseks kasutage semikooloni (;) eraldajat. Näiteks kolme toimingu tegemiseks:
a) 3A + 4B
b) AB-BA
c) (A-B) -1
tuleb kirjutada järgmiselt: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Maatriks on ristkülikukujuline arvutabel m rea ja n veeruga, nii et maatriksit saab skemaatiliselt esitada ristkülikuna.
Nullmaatriks (nullmaatriks) nimetatakse maatriksiks, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga ja tähistavad 0.
identiteedi maatriks nimetatakse vormi ruutmaatriksiks

Teeme kindlaks põhitehted maatriksitega.

Maatriksi lisamine

Näide 6. .
Maatriksi liitmise operatsioon laieneb suvalise arvu terminite korral. Ilmselgelt A+0=A.
Rõhutame veel kord, et lisada saab ainult sama suurusega maatrikseid; erineva suurusega maatriksite puhul pole liitmistehte määratletud.

Maatriksi lahutamine

Maatrikskorrutis

Näide 7. Maatriksi andmed ja . Leidke maatriksid C = A·B ja D = B·A.
Otsus. Kõigepealt pange tähele, et korrutis A B on olemas, kuna veergude arv A-s võrdub ridade arvuga B-s.

Näide 8. Antud maatriks . Leidke 3A 2 - 2A.
Otsus.

.
; .
.
Märgime järgmist kurioosset tõsiasja.
Nagu teate, ei võrdu kahe nullist erineva arvu korrutis nulliga. Maatriksite puhul ei pruugi selline asjaolu aset leida, see tähendab, et nullist erineva maatriksi korrutis võib osutuda võrdseks nullmaatriksiga.

Maatrikslahendus on mõiste, mis üldistab tehteid maatriksitega. Matemaatiline maatriks on elementide tabel. Samasugust m rea ja n veeruga tabelit nimetatakse maatriksiks m korda n.
Maatriksi üldvaade

Maatriksi põhielemendid:
Peamine diagonaal. See koosneb elementidest a 11, a 22 ..... a mn
külgmine diagonaal. See koosneb elementidest a 1n , a 2n-1 ..... a m1 .
Enne maatriksite lahendamise juurde asumist kaaluge peamisi maatriksitüüpe:
Ruut– milles ridade arv võrdub veergude arvuga (m=n)
Null - kõik selle maatriksi elemendid on võrdsed 0-ga.
Transponeeritud maatriks- maatriks B, mis saadakse algsest maatriksist A, asendades read veergudega.
vallaline- kõik põhidiagonaali elemendid on 1, kõik teised on 0.
pöördmaatriks- maatriks, mille korrutamisel saadakse algmaatriks identiteedimaatriksiks.
Maatriks võib põhi- ja sekundaardiagonaalide suhtes olla sümmeetriline. See tähendab, et kui 12 = 21, 13 = 31, .... 23 = 32 .... a m-1n = a mn-1. siis on maatriks põhidiagonaali suhtes sümmeetriline. Sümmeetrilised on ainult ruutmaatriksid.
Läheme nüüd otse maatriksite lahendamise küsimuse juurde.

Maatriksi lisamine.

Maatrikse saab algebraliselt lisada, kui neil on sama mõõde. Maatriksi A lisamiseks maatriksile B on vaja lisada maatriksi A esimese veeru esimese rea element maatriksi B esimese rea esimese elemendiga, maatriksi esimese rea teise veeru element Maatriksi B esimese rea teise veeru elemendile tuleb lisada A jne.
Lisamise omadused
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)

Maatrikskorrutis.

Maatrikse saab korrutada, kui need on järjepidevad. Maatriksid A ja B loetakse järjepidevateks, kui maatriksi A veergude arv on võrdne maatriksi B ridade arvuga.
Kui A mõõtmed on m korda n, B mõõtmed on n korda k, siis on maatriksi C \u003d A * B mõõtmed m korda k ja see koosneb elementidest

kus C 11 on maatriksi A rea elementide ja maatriksi B veeru paarikaupa korrutiste summa, see tähendab, et element on maatriksi esimese rea esimese veeru elemendi korrutise summa A maatriksi B esimese rea esimese veeru elemendiga, maatriksi A esimese rea teise veeru elemendiga teise rea maatriksite B esimese veeru elemendiga jne.
Korrutamisel on oluline korrutamise järjekord. A*B ei võrdu B*A-ga.

Määraja leidmine.

Iga ruutmaatriks võib genereerida determinandi või determinandi. Records det. Või | maatrikselemendid |
2 x 2 maatriksite korral Määrake põhi- ja sekundaardiagonaali elementide korrutise erinevus.

3 x 3 või enama maatriksi jaoks. Determinandi leidmise toiming on keerulisem.
Tutvustame mõisteid:
Element väike- on maatriksi determinant, mis on saadud algsest maatriksist, kustutades algse maatriksi rea ja veeru, milles see element asus.
Algebraline liitmine maatriksi element on selle elemendi minoori korrutis -1 algse maatriksi rea ja veeru summa astmega, milles see element asus.
Iga ruutmaatriksi determinant on võrdne maatriksi mis tahes rea elementide ja neile vastavate algebraliste täiendite korrutisega.

Maatriksi inversioon

Maatriksi inversioon on maatriksi pöördväärtuse leidmise protsess, mille me alguses määratlesime. Pöördmaatriksit tähistatakse samamoodi nagu algset alaindeksiga -1.
Leia valemi järgi pöördmaatriks.
A -1 = A * T x (1/|A|)
Kus A * T on algebraliste komplementide transponeeritud maatriks.

Tegime maatriksite lahendamise näiteid videoõpetuse vormis

:

Kui tahad teada, siis vaata kindlasti üle.

Need on põhitehted maatriksite lahendamiseks. Kui teil on lisaküsimusi kuidas maatriksit lahendada kirjuta julgelt kommentaaridesse.

Kui te ikka ei saa sellest aru, proovige ühendust võtta spetsialistiga.

Maatriksid ja determinandid

1.1 Maatriksid. Mõisted.

Ristkülikukujulise suurusega maatriks m x n nimetatakse tervikuks mn numbrid, mis on paigutatud ristkülikukujulisse tabelisse, mis sisaldab m read ja n veerud. Kirjutame maatriksi kujul

või lühendatult A = (a ij) (i = ; j = ). Selle maatriksi moodustavaid arve a ij nimetatakse selle elementideks; esimene indeks osutab rea numbrile, teine ​​indeks veeru numbrile. Kahte ühesuurust maatriksit A ​​= (a ij) ja B = (b ij) nimetatakse võrdseteks, kui nende elemendid samades kohtades on paarikaupa võrdsed, st A = B, kui a ij = b ij .

Ühest reast või ühest veerust koosnevat maatriksit nimetatakse vastavalt reavektoriks või veeruvektoriks. Veeruvektoreid ja ridavektoreid nimetatakse lihtsalt vektoriteks.

Ühest numbrist koosnev maatriks identifitseeritakse selle numbriga. Suuruse maatriks m x n, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse 0-ga. Samade indeksiga maatriksielemente nimetatakse põhidiagonaali elementideks. Kui maatriksi ridade arv on võrdne veergude arvuga, see tähendab m = n, siis nimetatakse maatriksit järjestuse ruuduks n. Ruutmaatriksiid, milles ainult põhidiagonaali elemendid on nullist erinevad, nimetatakse diagonaalmaatriksiteks ja need kirjutatakse järgmiselt:

.

Kui diagonaalmaatriksi kõik elemendid a ii on võrdsed 1-ga, nimetatakse maatriksit identsusmaatriksiks ja seda tähistatakse tähega E:

Ruutmaatriksit nimetatakse kolmnurkseks, kui kõik põhidiagonaalist kõrgemal (või allpool) olevad elemendid on võrdsed nulliga. Transpositsioon on maatriksi teisendus, milles ridu ja veerge vahetatakse, säilitades nende numbrid. Ülekandmist tähistab ülaosas T.

Olgu maatriks (4.1) antud. Vahetage read veergudega. Hankige maatriks

A T = ,

mis transponeeritakse maatriksi A suhtes. Eelkõige veeruvektori transponeerimisel saadakse reavektor ja vastupidi.

Põhitehted maatriksitega.

Peamised aritmeetilised toimingud maatriksitega on maatriksi korrutamine arvuga, maatriksite liitmine ja korrutamine.

Jätkame maatriksite põhitehte määratlemisega.

Maatriksi lisamine : Kahe maatriksi summa, näiteks: A ja B, millel on sama arv ridu ja veerge, teisisõnu sama järku m ja n, on maatriks С = (Сij) (i = 1, 2, ... m; j = 1, 2, …n) sama järku m ja n, mille elemendid Cij on võrdsed.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1,2)

Kahe maatriksi summa tähistamiseks kasutatakse tähistust C = A + B. Maatriksite summa koostamise operatsiooni nimetatakse nende liitmiseks.

Nii et definitsiooni järgi on meil:

+ =

=

Maatriksite summa definitsioonist või õigemini valemist (1.2) järeldub otseselt, et maatriksi liitmise operatsioonil on samad omadused, mis reaalarvude liitmise operatsioonil, nimelt:

1) kommutatiivne omadus: A + B = B + A

2) assotsiatiivne omadus: (A + B) + C = A + (B + C)

Need omadused võimaldavad kahe või enama maatriksi lisamisel maatriksite järjekorrast mitte hoolida.

Maatriksi korrutamine arvuga :

Maatriksi A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) korrutis reaalarvuga on maatriks C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n), mille elemendid on võrdsed

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3)

Maatriksi korrutise tähistamiseks numbriga kasutatakse tähistust C \u003d A või C \u003d A. Maatriksi korrutise arvuga koostamise toimingut nimetatakse maatriksi korrutamiseks selle arvuga.

Valemist (1.3) on selge, et maatriksi korrutamisel arvuga on järgmised omadused:

1) jaotusomadus maatriksite summa suhtes:

(A + B) = A + B

2) assotsiatiivne omadus numbrilise teguri suhtes:

3) jaotusomadused arvude summa suhtes:

( + ) A = A + A.

Kommentaar: Kahe maatriksi erinevus Sama järku A ja B on loomulik kutsuda sellist sama järku maatriksit C, mis koos maatriksiga B annab maatriksi A. Kahe maatriksi erinevuse tähistamiseks kasutatakse naturaalset tähistust: C = A – B.

Maatrikskorrutis :

Maatriksi A = (Aij) korrutis (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), mille järgud on vastavalt võrdsed m ja n maatriksiga B = (Bij) ) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p), mille järgud on vastavalt n ja p, nimetatakse maatriksiks C = (Сij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p), mille järjestused , mis on võrdsed vastavalt m ja p, ning elemendid Cij, mis on määratletud valemiga

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1,4)

Maatriksi A korrutise tähistamiseks maatriksiga B kasutage tähistust

C=AB. Maatriksi A korrutise maatriksiga B koostamist nimetatakse nende maatriksite korrutamiseks. Eespool sõnastatud definitsioonist järeldub, et maatriksit A ​​ei saa korrutada ühegi maatriksiga B: on vajalik, et maatriksi A veergude arv oleks võrdub maatriksi B ridade arv. Selleks, et mõlemad korrutised AB ja BA oleksid mitte ainult defineeritud, vaid neil oleks ka sama järjekord, on vajalik ja piisav, et mõlemad maatriksid A ja B oleksid sama järku ruutmaatriksid.

Valem (1.4) on maatriksi C elementide koostamise reegel,

mis on maatriksi A ja maatriksi B korrutis. Seda reeglit saab sõnastada ka verbaalselt: Element Cij seisab peal i-s ristmik maatriksi C = AB rida ja j-s veerg on võrdne vastavate elementide paariskorrutiste summaga i-s rida maatriks A ja maatriksi B j-s veerg. Selle reegli rakendamise näitena esitame teist järku ruutmaatriksite korrutamise valemi

Valem (1.4) eeldab maatriksi A ja maatriksi B korrutise järgmisi omadusi:

1) assotsiatiivne omadus: (AB) C = A (BC);

2) jaotusomadused maatriksite summa suhtes:

(A + B) C = AC + BC või A (B + C) = AB + AC.

Maatriksite korrutise permutatsiooniomaduse küsimus on mõttekas ainult sama järku ruutmaatriksite puhul. Elementaarsed näited näitavad, et kahe sama järgu ruutmaatriksi korrutistel ei ole üldiselt permutatsiooni omadust. Tõepoolest, kui paneme

A = , B = , siis AB = ja BA =

Neidsamu maatrikseid, mille korrutise permutatsiooniomadus on tõene, nimetatakse tavaliselt pendeldamiseks.

Ruutmaatriksite hulgast eristame nn diagonaalmaatriksite klassi, millest igaühel on põhidiagonaalist väljaspool asuvad elemendid, mis on võrdsed nulliga. Kõigist põhidiagonaalil kokkulangevate sisestustega diagonaalmaatriksitest on eriti oluline roll kahel maatriksil. Esimene neist maatriksitest saadakse siis, kui kõik põhidiagonaali elemendid on võrdsed ühega, seda nimetatakse n-ndat järku identsusmaatriksiks ja tähistatakse sümboliga E . Teine maatriks saadakse, kui kõik elemendid on võrdsed nulliga ja seda nimetatakse n-ndat järku nullmaatriksiks ja seda tähistatakse sümboliga O. Oletame, et on olemas suvaline maatriks A, siis

AE=EA=A, AO=OA=O.

Valemitest esimene iseloomustab identiteedimaatriksi E erilist rolli, mis sarnaneb arvu 1 rolliga reaalarvude korrutamisel. Mis puutub nullmaatriksi O erirolli, siis seda ei paljasta mitte ainult teine ​​valemitest, vaid ka elementaarselt kontrollitav võrdus: A + O = O + A = A. Nullmaatriksi mõiste võib ka olla kasutusele mitte-ruutmaatriksite jaoks.

Maatriksi auaste

Vaatleme ristkülikukujulist maatriksit (4.1). Kui valime selles maatriksis suvaliselt k rida ja k veerud, siis valitud ridade ja veergude ristumiskohas olevad elemendid moodustavad ruutmaatriksi k- järjekorras. Selle maatriksi determinanti nimetatakse maatriksi A k-ndat järku minooriks. Ilmselgelt on maatriksil A minoorsed astmed 1-st väikseima arvuni. m ja n. Maatriksi A kõigi nullist erineva mollide hulgas on vähemalt üks moll, mille järjestus on suurim. Antud maatriksi alatähtede suurimat nullist erinevat järku nimetatakse maatriksi auastmeks. Kui maatriksi A aste on r, siis see tähendab, et maatriksil A on nullist erinev järjekord r, kuid iga r-st suurema järgu moll on võrdne nulliga. Maatriksi A järku tähistatakse r(A). On ilmne, et suhe

0 ≤ r(A) ≤ min(m,n).

Maatriksi auaste leitakse kas alaealiste piiride või elementaarsete teisenduste meetodi abil. Esimesel viisil maatriksi auastme arvutamisel tuleks madalama järgu alaealistelt üle minna kõrgema järgu alaealistele. Kui maatriksi A k-ndat järku nullist erinev minoor D on juba leitud, siis tuleb arvutada ainult (k + 1)-ndat järku mollid, mis piirnevad molli D-ga, s.o. sisaldades seda alaealisena. Kui need kõik on võrdsed nulliga, on maatriksi aste k.

Järgmisi maatriksteisendusi nimetatakse elementaarseteks:

1) kahe rea (või veeru) permutatsioon,

2) rea (või veeru) korrutamine nullist erineva arvuga,

3) ühele reale (või veerule) teise rea (või veeru) lisamine, mis on korrutatud mingi arvuga.

Kaht maatriksit nimetatakse ekvivalentseteks, kui üks neist saadakse teisest elementaarteisenduste lõpliku hulga abil.

Ekvivalentmaatriksid ei ole üldiselt võrdsed, kuid nende auastmed on võrdsed. Kui maatriksid A ja B on samaväärsed, kirjutatakse see järgmiselt:

Kanooniline maatriks on maatriks, mille algustäht

põhidiagonaal on mitu ühikut järjest (mille arv

võib olla võrdne nulliga) ja kõik muud elemendid on võrdsed nulliga,

Näiteks, .

Ridade ja veergude elementaarsete teisenduste abil saab mis tahes maatriksi taandada kanooniliseks. Kanoonilise maatriksi aste on võrdne selle põhidiagonaalil olevate maatriksite arvuga.

pöördmaatriks

Vaatleme ruutmaatriksit

A= .

Tähistame Δ = detA.

Ruutmaatriksit A ​​nimetatakse mittedegeneratiivseks ehk mitteainsuseks, kui selle determinant on nullist erinev, ja degeneratiivseks ehk eriliseks, kui Δ = 0.

Ruutmaatriksit B nimetatakse sama järku ruutmaatriksi A pöördväärtuseks, kui nende korrutis A B = B A = E, kus E on maatriksitega A ja B sama järku identsusmaatriks.

Teoreem. Selleks, et maatriksil A oleks pöördväärtus, on vajalik ja piisav, et selle determinant erineks nullist.

Maatriksi A maatriksi pöördväärtust tähistatakse A -1 . Pöördmaatriks arvutatakse valemiga

A -1 \u003d 1 / Δ , (4.5)

kus А ij - elementide algebralised täiendid a ij .

Kõrget järku maatriksite pöördmaatriksi arvutamine valemiga (4.5) on väga töömahukas, mistõttu on praktikas mugav pöördmaatriksi leidmine elementaarteisenduste (ET) meetodil. Mis tahes mitteainsuse maatriksit A ​​saab taandada ainult veergude (või ainult ridade) EP abil identiteedimaatriksiks E. Kui maatriksi A suhtes täiuslikud EP-d rakendatakse samas järjekorras identiteedimaatriksile E, siis on tulemus pöördmaatriks. Maatriksitel A ja E on mugav sooritada EP samaaegselt, kirjutades mõlemad maatriksid kõrvuti läbi joone. Märgime veel kord, et otsides kanooniline vorm maatriksi auastme leidmiseks võite kasutada ridade ja veergude teisendusi. Kui teil on vaja leida pöördmaatriks, peaksite teisendusprotsessis kasutama ainult ridu või ainult veerge.

2. Determinandid

Iga ruutmaatriksi jaoks on defineeritud arv, mida nimetatakse maatriksi determinandiks, maatriksi determinandiks või lihtsalt determinandiks (determinandiks).

Definitsioon. Esimest järku ruutmaatriksi determinandiks on selle maatriksi ainsa elemendiga võrdne arv: A=(a), detA=|A|=a.

Olgu A suvaline ruutmaatriks järku n, n>1:

Definitsioon N-ndat järku determinant (n-ndat järku ruutmaatriksi determinant), n>1, on arv, mis on võrdne

kus on maatriksist A esimese rea ja j-nda veeru kustutamisel saadud ruutmaatriksi determinant.

2. ja 3. järku determinantide jaoks on lihtne saada lihtsaid avaldisi maatriksielementide osas.

2. järku determinant:

3. järku määraja:

.

2.1. Minor- ja algebralise elemendi komplement

Definitsioon. Maatriksi elemendi moll on maatriksi determinant, mis saadakse selle rea ja veeru kustutamisel, milles element asub. Tähistage: elemendi a ij - moll.

Definitsioon. Maatriksi elemendi algebraline täiend on selle minor, mis on korrutatud -1-ga astmega, mis on võrdne rea- ja veerunumbrite summaga, milles element asub. Tähistage: elemendi a ij algebraline täiend.

Seega saame n-ndat järku determinandi definitsiooni ümber sõnastada:

n-ndat järku determinant n>1 võrdub esimese rea elementide ja nende algebraliste täiendite korrutistega.

Näide.

Teoreem determinandi arvutamise kohta mis tahes rea laiendamise teel

Teoreem. N-ndat järku determinant, n>1, võrdub mis tahes rea (veeru) elementide ja nende algebraliste komplementide korrutiste summaga.

Näide. Arvutame determinandi eelmisest näitest, laiendades teist rida:

Tagajärg. Kolmnurkse maatriksi determinant on võrdne diagonaalsete elementide korrutisega. (Tõesta ennast).

MAATRIKS MÄÄRATLUS. MAATRIKSITE LIIGID

Maatriksi suurus m× n nimetatakse tervikuks m n numbrid on paigutatud ristkülikukujulisse tabelisse m read ja n veerud. See tabel on tavaliselt sulgudes. Näiteks võib maatriks välja näha selline:

Lühiduse huvides võib maatriksit tähistada ühe suure tähega, näiteks AGA või AT.

Üldiselt suuruse maatriks m× n kirjuta niimoodi

.

Maatriksi moodustavaid numbreid nimetatakse maatriksi elemendid. Maatrikselemente on mugav varustada kahe indeksiga aij: esimene tähistab rea numbrit ja teine ​​veeru numbrit. Näiteks, a 23– element asub 2. reas, 3. veerus.

Kui maatriksi ridade arv on võrdne veergude arvuga, nimetatakse maatriksit nn. ruut, ja kutsutakse selle ridade või veergude arv korras maatriksid. Ülaltoodud näidetes on teine ​​maatriks ruudukujuline - selle järjekord on 3 ja neljas maatriks - selle järjekord on 1.

Kutsutakse maatriksit, milles ridade arv ei võrdu veergude arvuga ristkülikukujuline. Näidetes on see esimene ja kolmas maatriks.

Samuti on maatrikseid, millel on ainult üks rida või üks veerg.

Kutsutakse maatriksit, millel on ainult üks rida maatriks - rida(või string) ja maatriks, millel on ainult üks veerg, maatriks - veerg.

Nimetatakse maatriksit, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga null ja seda tähistatakse (0) või lihtsalt 0-ga. Näiteks

.

põhidiagonaal Ruutmaatriks on diagonaal, mis kulgeb vasakust ülanurgast paremasse alumisse nurka.

Kutsutakse ruutmaatriksit, milles kõik põhidiagonaalist allpool olevad elemendid on võrdsed nulliga kolmnurkne maatriks.

.

Ruutmaatriksit, milles kõik elemendid, välja arvatud ehk põhidiagonaalil olevad elemendid, on võrdsed nulliga, nimetatakse diagonaal maatriks. Näiteks või.

Kutsutakse diagonaalmaatriksit, milles kõik diagonaalkirjed on võrdsed ühega vallaline maatriks ja seda tähistatakse tähega E. Näiteks 3. järku identiteedimaatriksil on vorm .

TEGEVUSED MAATRIKSIDELE

Maatriksi võrdsus. Kaks maatriksit A ja B nimetatakse võrdseks, kui neil on sama arv ridu ja veerge ning nende vastavad elemendid on võrdsed aij = b ij. Nii et kui ja , siis A=B, kui a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 ja a 22 = b 22.

ülevõtmine. Mõelge suvalisele maatriksile A alates m read ja n veerud. Seda saab seostada järgmise maatriksiga B alates n read ja m veerud, kus iga rida on maatriksi veerg A sama numbriga (seega on iga veerg maatriksi rida A sama numbriga). Nii et kui , siis .

See maatriks B helistas üle võetud maatriks A ja üleminek alates A juurde B ülevõtmine.

Seega on transpositsioon maatriksi ridade ja veergude rollide ümberpööramine. Maatriks maatriksiks transponeeritud A, tavaliselt tähistatud A T.

Maatriksi vaheline suhtlus A ja selle ülevõetud saab kirjutada kui .

Näiteks. Leia maatriks, mis on transponeeritud antud maatriksile.

Maatriksi lisamine. Laske maatriksid A ja B koosnevad samast arvust ridadest ja samast arvust veergudest, st. on samad suurused. Siis selleks, et liita maatriksid A ja B vaja maatriksida elemente A lisada maatrikselemente B seisab samadel kohtadel. Seega kahe maatriksi summa A ja B nimetatakse maatriksiks C, mis on määratud reegliga, näiteks

Näited. Leidke maatriksite summa:

Lihtne on kontrollida, kas maatriksi liitmine järgib järgmisi seadusi: kommutatiivne A+B=B+A ja assotsiatiivne ( A+B)+C=A+(B+C).

Maatriksi korrutamine arvuga. Maatriksi korrutamiseks A numbri kohta k vaja iga maatriksi elementi A korrutage selle arvuga. Nii et maatriksprodukt A numbri kohta k on uus maatriks, mis määratakse reegliga või .

Mis tahes numbrite jaoks a ja b ja maatriksid A ja B võrdsused on täidetud:

Näited.

Maatrikskorrutis. See operatsioon viiakse läbi vastavalt omapärasele seadusele. Esiteks märgime, et maatrikstegurite suurused peavad olema järjepidevad. Korrutada saab ainult neid maatrikseid, mille esimese maatriksi veergude arv ühtib teise maatriksi ridade arvuga (st esimese rea pikkus võrdub teise veeru kõrgusega). tööd maatriksid A mitte maatriks B nimetatakse uueks maatriksiks C=AB, mille elemendid koosnevad järgmisel viisil:

Näiteks selleks, et saada toode (st maatriksis C) 1. rea ja 3. veeru element alates 13, peate võtma 1. maatriksi 1. rea, 2. maatriksi 3. veeru ja seejärel korrutama rea ​​elemendid vastava veeru elementidega ja liitma saadud korrutised. Ja muud korrutismaatriksi elemendid saadakse, kasutades esimese maatriksi ridade sarnast korrutist teise maatriksi veergudega.

Üldiselt, kui maatriksit korrutada A = (aij) suurus m× n maatriksiks B = (kaudu) suurus n× lk, siis saame maatriksi C suurus m× lk, mille elemendid arvutatakse järgmiselt: element c ij saadakse elementide korrutise tulemusena i maatriksi rida A asjakohaste elementide kohta j-maatriksi veerg B ja nende liitmine.

Sellest reeglist järeldub, et alati saab korrutada kaks sama järku ruutmaatriksit, mille tulemusena saame sama järjekorra ruutmaatriksi. Eelkõige saab ruutmaatriksit alati korrutada iseendaga, st. ruut üles.

Teine oluline juhtum on maatriks-rea korrutamine maatriks-veeruga ja esimese laius peab olema võrdne teise kõrgusega, mille tulemusena saame esimest järku maatriksi (ehk ühe elemendi). Tõesti,

.

Näited.

Seega näitavad need lihtsad näited, et maatriksid üldiselt ei pendelda omavahel, st. A∙B ≠ B∙A . Seetõttu peate maatriksite korrutamisel hoolikalt jälgima tegurite järjekorda.

Saab kontrollida, et maatrikskorrutis järgib assotsiatiivseid ja distributiivseid seadusi, s.t. (AB)C=A(BC) ja (A+B)C=AC+BC.

Seda on lihtne kontrollida ka ruutmaatriksi korrutamisel A identiteedimaatriksisse E samas järjekorras saame taas maatriksi A, enamgi veel AE=EA=A.

Märkida võib järgmist kurioosset fakti. Teatavasti ei võrdu 2 nullist erineva arvu korrutis 0-ga. Maatriksite puhul ei pruugi see nii olla, s.t. kahe nullist erineva maatriksi korrutis võib olla võrdne nullmaatriksiga.

näiteks, kui , siis

.

MÄÄRAJATE MÕISTE

Olgu antud teist järku maatriks – kahest reast ja kahest veerust koosnev ruutmaatriks .

Teist järku determinant sellele maatriksile vastav arv on järgmine: 11-22-12-21.

Determinant on tähistatud sümboliga .

Seega tuleb teist järku determinandi leidmiseks lahutada põhidiagonaali elementide korrutisest piki teist diagonaali elementide korrutis.

Näited. Arvutage teist järku determinandid.

Samamoodi võime käsitleda kolmandat järku maatriksit ja vastavat determinanti.

Kolmandat järku determinant, mis vastab antud kolmandat järku ruutmaatriksile, on arv, mida tähistatakse ja saadakse järgmiselt:

.

Seega annab see valem kolmandat järku determinandi laienduse esimese rea elementide osas 11, 12, 13 ja taandab kolmandat järku determinandi arvutamise teist järku determinantide arvutamiseks.

Näited. Arvutage kolmandat järku determinant.

Samamoodi võib tutvustada neljanda, viienda jne determinantide mõisteid. tellimusi, alandades nende järjestust laiendades üle 1. rea elementide, samas kui terminite märgid "+" ja "-" vahelduvad.

Seega erinevalt maatriksist, mis on arvude tabel, on determinant arv, mis on maatriksile teatud viisil määratud.

Maatriksi lisamine:

Maatriksi lahutamine ja liitmine taandatakse vastavatele toimingutele nende elementidega. Maatriksi liitmise operatsioon sisestatud ainult jaoks maatriksid sama suurusega, st jaoks maatriksid, millel on vastavalt sama arv ridu ja veerge. maatriksite summa A ja B kutsutakse maatriks C, mille elemendid on võrdsed vastavate elementide summaga. C \u003d A + B c ij \u003d a ij + b ij maatriksi erinevus.

Maatriksi korrutamine arvuga:

Maatriksi korrutamise (jagamise) tehe mis tahes suurusega suvalise arvuga taandatakse iga elemendi korrutamiseks (jagamiseks). maatriksid selle numbri jaoks. Matrix toode Ja numbrit k kutsutakse maatriks B, selline

b ij = k × a ij . B \u003d k × A b ij \u003d k × a ij. Maatriks- A \u003d (-1) × A nimetatakse vastupidiseks maatriks AGA.

Maatriksi liitmise ja maatriksi korrutamise omadused:

Maatriksi liitmise operatsioonid ja maatrikskorrutised arvul on järgmised omadused: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A \u003d 0; 5. 1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βА) = (αβ) × А; , kus A, B ja C on maatriksid, α ja β on arvud.

Maatrikskorrutis (maatrikskorrutis):

Kahe maatriksi korrutamise operatsioon sisestatakse ainult juhul, kui veergude arv on esimene maatriksid võrdub teise ridade arvuga maatriksid. Matrix toode Ja m × n edasi maatriks In n × p , nimetatakse maatriksС m×p selline, et с ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , st leida i-nda rea ​​elementide korrutiste summa maatriksid Ja j -nda veeru vastavatel elementidel maatriksid B. Kui maatriksid A ja B on ühesuurused ruudud, siis on korrutised AB ja BA alati olemas. Lihtne on näidata, et A × E = E × A = A, kus A on ruut maatriks, E - vallaline maatriks sama suur.

Maatriksi korrutamise omadused:

Maatrikskorrutis mitte kommutatiivne, st. AB ≠ BA, isegi kui mõlemad tooted on määratletud. Siiski, kui mõne maatriksid seos AB = BA on täidetud, siis selline maatriksid nimetatakse permutatsioonideks. Kõige tüüpilisem näide on singel maatriks, mis on muudetav mis tahes muuga maatriks sama suur. Permutatsioon saab olla ainult ruut maatriksid samas järjekorras. A × E = E × A = A

Maatrikskorrutis on järgmised omadused: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T B T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;

2. 2. ja 3. järgu määrajad. Determinantide omadused.

maatriksi determinant teist järku või determinant teist järku, mida nimetatakse numbriks, mis arvutatakse järgmise valemiga:

maatriksi determinant kolmas järjekord või determinant kolmas järk, mida nimetatakse numbriks, mis arvutatakse järgmise valemiga:

See arv tähistab kuuest liikmest koosnevat algebralist summat. Iga termin sisaldab täpselt ühte elementi igast reast ja igast veerust maatriksid. Iga termin koosneb kolme teguri korrutisest.

Märgid, millega liikmed maatriksi determinant sisalduvad valemis maatriksi determinandi leidmine kolmandat järku saab määrata ülaltoodud skeemi abil, mida nimetatakse kolmnurkade reegliks või Sarruse reegliks. Esimesed kolm terminit võetakse plussmärgiga ja määratakse vasakpoolse joonise järgi ning järgmised kolm mõistet võetakse miinusmärgiga ja määratakse parempoolse joonise järgi.

Määrake otsitavate terminite arv maatriksi determinant, algebralises summas saate arvutada faktoriaali: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 x 2 x 3 = 6

Maatriksi määraja omadused

Maatriksi determinantide omadused:

Atribuut nr 1:

Maatriksi determinant ei muutu, kui selle read asendatakse veergudega, iga rida sama numbriga veeruga ja vastupidi (Ülekandmine). |A| = |A| T

Tagajärg:

Veerud ja read maatriksi determinant on võrdsed, seetõttu rakendatakse ridadele omaseid omadusi ka veergude jaoks.

Atribuut nr 2:

2 rea või veeru vahetamisel maatriksi determinant muudab märgi vastupidiseks, säilitades absoluutväärtuse, st:

Atribuut nr 3:

Maatriksi determinant, millel on kaks identset rida, on võrdne nulliga.

Atribuut nr 4:

Mis tahes seeria elementide ühine tegur maatriksi determinant saab märgist välja võtta determinant.

Omaduste #3 ja #4 tagajärjed:

Kui teatud rea (rea või veeru) kõik elemendid on võrdelised paralleelseeria vastavate elementidega, siis sellised maatriksi determinant võrdub nulliga.

Atribuut nr 5:

maatriksi determinant on siis võrdsed nulliga maatriksi determinant võrdub nulliga.

Atribuut nr 6:

Kui mis tahes rea või veeru kõik elemendid determinant esitatakse 2 termini summana, siis determinant maatriksid saab esitada 2 summana määrajad valemi järgi:

Atribuut nr 7:

Kui mis tahes reale (või veergu) determinant lisage teise rea (või veeru) vastavad elemendid korrutatuna sama arvuga, siis maatriksi determinant ei muuda selle väärtust.

Näide omaduste rakendamisest arvutusse maatriksi determinant: