Vene Föderatsiooni haridusministeerium

“MATI” – VENEMAA RIIK

TEHNOLOOGIAÜLIKOOL neid. K. E. TSIOLKOVSKI

Kõrgema matemaatika osakond

Kursuseülesannete variandid

Kursuseülesannete metoodilised juhised

"Funktsioonide piirid. Tuletised»

Kulakova R.D.

Titarenko V.I.

Moskva 1999

annotatsioon

Kavandatavate juhiste eesmärk on aidata esmakursuslastel omandada teoreetilist ja praktilist materjali teemal "Matemaatiline analüüs".

Igas osas analüüsitakse peale teoreetilist osa tüüpilisi ülesandeid.

Juhendis käsitletakse järgmisi teemasid: funktsioonide piirid, erinevates vormides antud funktsioonide eristamine, kõrgema järgu tuletised ja diferentsiaalid, L'Hopitali reegel, tuletise rakendamine geomeetria ja mehaanika probleemidele.

Materjali kinnistamiseks kutsutakse õpilasi täitma kursusetöid ülaltoodud teemadel.

Neid juhiseid saab kasutada kõikidel teaduskondadel ja erialadel.

1. Funktsioonide piirangud

Järjestuste ja funktsioonide piiride määramiseks kasutatakse mõnda tuntud nippi:

Kui teil on vaja leida piir

saab taandada ühiseks nimetajaks

Jagades maksimaalse astmega liikmega, saame lugejas konstantse väärtuse ja nimetajas - kõik 0-le kalduvad liikmed, see on

.

Seejärel, asendades x=a, saame:
;

4.
, kui asendada x=0, saame
.

5. Kui aga on vaja leida ratsionaalse funktsiooni piir

, siis miinimumastmega liikmega jagamisel saame

; ja lastes x-il minna 0-ks, saame:

Kui piirid sisaldavad irratsionaalseid avaldisi, siis on ratsionaalse avaldise saamiseks vaja sisestada uusi muutujaid või tõlkida irratsionaalsused nimetajast lugejasse ja vastupidi.

6.
; Teeme muutuja muudatuse. Asendame
, kell
, saame
.

7.
. Kui lugeja ja nimetaja korrutada sama arvuga, siis limiit ei muutu. Korrutage lugeja arvuga
ja jagage sama avaldisega, et piirmäär ei muutuks, ja korrutage nimetaja arvuga
ja jagada sama avaldisega. Siis saame:

Piiride määratlemiseks kasutatakse sageli märkimisväärseid piire:

; (1)

. (2)

8.
.

Sellise limiidi arvutamiseks vähendame selle 1. tähelepanuväärse piirini (1). Selleks korrutage ja jagage lugeja arvuga
ja nimetaja
, siis.

9.
Selle piiri arvutamiseks vähendame selle teise märkimisväärse piirini. Selleks valime sulgudes olevast ratsionaalsest avaldisest täisarvulise osa ja esitame selle õige murruna. Seda tehakse juhtudel, kui
, kus
, a
, kus
;

, a
, siis lõpuks
. Siin oleme kasutanud pidevate funktsioonide koosseisu järjepidevust.

2. Tuletis

Funktsiooni tuletis
nimetatakse funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte lõplikuks piiriks, kui viimane kipub olema null:

, või
.

Geomeetriliselt on tuletis funktsiooni graafiku puutuja kalle
punktis x, see tähendab
.

Tuletis on funktsiooni muutumise kiirus punktis x.

Tuletise leidmist nimetatakse funktsiooni diferentseerimiseks.

Valemid põhifunktsioonide eristamiseks:

3. Eristamise põhireeglid

Lase siis:

7) Kui , siis see on
, kus
ja
on siis tuletised
(keerulise funktsiooni diferentseerimise reegel).

4. Logaritmiline diferentseerimine

Kui teil on vaja leida võrrandist
, siis saate:

a) võta võrrandi mõlema poole logaritm

b) eristavad saadud võrdsuse mõlemad osad, kus
on x-i kompleksfunktsioon,

.

c) asendada selle avaldis x-iga

.

Näide:

5. Implitsiitsete funktsioonide eristamine

Olgu võrrand
määratleb x kaudse funktsioonina.

a) eristame võrrandi mõlemad pooled x suhtes
, saame esimese astme võrrandi suhtes ;

b) saadud võrrandist, mille me väljendame .

Näide:
.

6. Antud funktsioonide diferentseerimine

parameetriliselt

Olgu funktsioon antud parameetriliste võrranditega
,

siis
, või

Näide:

7. Tuletise rakendamine probleemidele

geomeetria ja mehaanika

Las olla
ja
, kus - nurk, mille moodustab OX-telje positiivse suunaga kõvera puutuja abstsiss-punktis .

Kõvera puutuja võrrand
punktis
tundub, et:

, kus -tuletis juures
.

Kõvera normaal on puutujaga risti ja kokkupuutepunkti läbiv sirgjoon.

Normaalvõrrandil on vorm

.

Nurk kahe kõvera vahel
ja
nende ristumispunktis
nimetatakse nurgaks nende kõverate puutujate vahel punktis
. See nurk leitakse valemiga

.

8. Kõrgemate tellimuste tuletisväärtpaberid

Kui a on funktsiooni tuletis
, siis tuletis nimetatakse teist tuletiseks või teist järku tuletiseks ja seda tähistatakse , või
, või .

Mis tahes järgu tuletisi defineeritakse sarnaselt: kolmandat järku tuletis
; n-ndat järku tuletis:

.

Kahe funktsiooni korrutise korral saate Leibnizi valemi abil saada mis tahes n-ndat järku tuletise:

9. Implitsiitse funktsiooni teine ​​tuletis

-võrrand määratleb , x kaudse funktsioonina.

a) määratleda
;

b) eristame x suhtes võrdsuse vasakut ja paremat külge
,

pealegi funktsiooni eristamine
x-is pidage seda meeles x-il on funktsioon:

;

c) asendamine läbi
, saame:
jne.

10. Parameetriliselt defineeritud funktsioonide tuletised

Leidma
kui
.

11. Esimese ja kõrgema järgu erinevused

Funktsiooni esimest järku diferentsiaal
nimetatakse põhiosaks, mis on argumendi suhtes lineaarne. Argumendi erinevus on argumendi juurdekasv:
.

Funktsiooni diferentsiaal on võrdne selle tuletise ja argumendi diferentsiaali korrutisega:

.

Diferentsiaali peamised omadused:

kus
.

Kui juurdekasv
argument on absoluutväärtuses väike
ja.

Seega saab funktsiooni diferentsiaali kasutada ligikaudsete arvutuste tegemiseks.

Funktsiooni teist järku diferentsiaal
nimetatakse esimest järku diferentsiaaliks:
.

Sarnaselt:
.

.

Kui a
ja on sõltumatu muutuja, siis arvutatakse kõrgemat järku diferentsiaalid valemitega

Leia funktsiooni esimest ja teist järku diferentsiaalid

12. Piirmäärade arvutamine L'Hopitali reegli abil

Kõik ülaltoodud piirid ei kasutanud diferentsiaalarvutuse aparaati. Kui aga on vaja leida

ja kell
mõlemad funktsioonid on lõpmata väikesed või mõlemad on lõpmata suured, siis ei ole nende suhe punktis määratletud
ja seepärast esindab ebakindlust tüüpi või vastavalt. Kuna see seos on punktis
võib olla piiratud või lõpmatu piir, siis selle piiri leidmist nimetatakse määramatuse paljastamiseks (Bernoulli L'Hospitali reegel),

ja kehtib järgmine võrdsus:

, kui
ja
.

=
.

Sarnane reegel kehtib ka siis, kui
ja
, st.
.

=

=
.

L'Hopitali reegel võimaldab paljastada ka tüübi määramatuse
ja
. Arvutada
, kus
on lõpmata väike ja
- lõpmatult suur
(tüübi mitmetähenduslikkuse areng
) on vaja toode vormindada

(tüübi mitmetähenduslikkus) või liigile (tüübi ebaselgus ) ja seejärel kasutage Lapitali reeglit.

Arvutada
, kus
ja
- lõpmatult suur
(tüübi mitmetähenduslikkuse areng
) on vaja vahe teisendada vormiks
, siis paljastage ebakindlus tüüp . Kui a
, siis
.

Kui
, siis saame tüübi määramatuse (
), mis on avalikustatud sarnaselt näitele 12).

Nagu
, siis jõuame määramatu tüübini
ja siis meil on

.

L'Hopitali reeglit saab kasutada ka tüübi määramatuse paljastamiseks
. Nendel juhtudel peame silmas avaldise piiri arvutamist
, kus
millal
on lõpmatult väike, juhul
on lõpmatult suur ja juhul
on funktsioon, mille piirväärtus on võrdne ühega.

Funktsioon
kahel esimesel juhul on lõpmatult väike funktsioon ja viimasel juhul lõpmata suur funktsioon.

Enne selliste avaldiste piiri otsimist on need logaritmilised, s.t. kui
, siis
, siis leidke piir
ja seejärel leidke piir . Kõigil ülaltoodud juhtudel
on tüüpiline ebaselgus
, mis on avalikustatud sarnaselt näitele 12).

5.

(kasuta L'Hospitali reeglit)=

=
.

Selles piiride korrutis on esimene tegur 1, teine ​​tegur on esimene tähelepanuväärne piir ja see on samuti 1 ning viimane tegur kipub olema 0, seega:

ja siis
.

=
;

.

7.
;

=
;

.

8.
;

=
;

.

KURSUSETÖÖ SISALDAS 21 ÜLESANNE.

№1-4 - funktsioonide piiride arvutamine;

#5-10 - Leia funktsioonide tuletised;

№11 – leidke esimene tuletis;

#12 – Arvutage parameetrilisel kujul antud funktsioon;

#13 – Leia d 2 y;

#14 – leidke y ( n ) ;

#15 – Võrdsusta normaal- ja puutuja punktis kõveraga x 0 ;

#16 - Arvutage funktsiooni väärtus ligikaudu diferentsiaali abil;

#17 – Leia
;

#18 – Leia ;

#19 – Leia ;

#20-21 – Arvutage piirmäär L'Hospitali reegli abil.

valik 1

№1.
.

№2.
.

№3.
.

№4.
.

Arvuta tuletis

№5.
.

Matemaatikas on täiesti võimatu lahendada füüsikalisi ülesandeid või näiteid, kui ei teata tuletist ja selle arvutamise meetodeid. Tuletis on matemaatilise analüüsi üks olulisemaid mõisteid. Otsustasime tänase artikli pühendada sellele põhiteemale. Mis on tuletis, mis on selle füüsikaline ja geomeetriline tähendus, kuidas arvutada funktsiooni tuletist? Kõik need küsimused saab ühendada üheks: kuidas tuletist aru saada?

Tuletise geomeetriline ja füüsikaline tähendus

Olgu funktsioon f(x) , antud teatud intervalliga (a, b) . Sellesse intervalli kuuluvad punktid x ja x0. Kui x muutub, muutub funktsioon ise. Argumendi muutus – selle väärtuste erinevus x-x0 . See erinevus on kirjutatud kui delta x ja seda nimetatakse argumendi juurdekasvuks. Funktsiooni muutus või juurdekasv on funktsiooni väärtuste erinevus kahes punktis. Tuletismääratlus:

Funktsiooni tuletis punktis on antud punktis oleva funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piir, kui viimane kipub olema null.

Muidu võib selle kirjutada nii:

Mis mõtet on sellist piiri leida? Aga milline:

funktsiooni tuletis punktis on võrdne OX-telje vahelise nurga puutujaga ja funktsiooni graafiku puutujaga antud punktis.

Tuletise füüsiline tähendus: tee aja tuletis on võrdne sirgjoonelise liikumise kiirusega.

Tõepoolest, kooliajast saati teavad kõik, et kiirus on eratee. x=f(t) ja aeg t . Keskmine kiirus teatud aja jooksul:

Et teada saada liikumiskiirust korraga t0 peate arvutama piirangu:

Esimene reegel: võtke konstant välja

Konstandi saab tuletise märgist välja võtta. Pealegi tuleb seda teha. Matemaatika näidete lahendamisel võtke reeglina - kui saate väljendit lihtsustada, siis kindlasti lihtsustage .

Näide. Arvutame tuletise:

Teine reegel: funktsioonide summa tuletis

Kahe funktsiooni summa tuletis on võrdne nende funktsioonide tuletiste summaga. Sama kehtib ka funktsioonide erinevuse tuletise kohta.

Me ei tõesta seda teoreemi, vaid vaatleme pigem praktilist näidet.

Leia funktsiooni tuletis:

Kolmas reegel: funktsioonide korrutise tuletis

Kahe diferentseeruva funktsiooni korrutise tuletis arvutatakse järgmise valemiga:

Näide: leidke funktsiooni tuletis:

Otsus:

Siin on oluline öelda keerukate funktsioonide tuletiste arvutamise kohta. Kompleksfunktsiooni tuletis võrdub selle funktsiooni tuletise korrutisega vaheargumendi suhtes vaheargumendi tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.

Ülaltoodud näites kohtame väljendit:

Sel juhul on vaheargument 8x viienda astmeni. Sellise avaldise tuletise arvutamiseks käsitleme esmalt välisfunktsiooni tuletist vaheargumendi suhtes ja seejärel korrutame vaheargumendi enda tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.

Neljas reegel: kahe funktsiooni jagatise tuletis

Valem kahe funktsiooni jagatise tuletise määramiseks:

Proovisime nullist rääkida mannekeenide derivaatidest. See teema pole nii lihtne, kui tundub, seega hoiatage: näidetes on sageli lõkse, seega olge tuletisinstrumentide arvutamisel ettevaatlik.

Kõigi seda ja muid teemasid puudutavate küsimustega võite pöörduda üliõpilasteeninduse poole. Lühikese ajaga aitame lahendada kõige keerulisema kontrolli ja tegeleda ülesannetega, isegi kui te pole varem tuletisinstrumentide arvutamisega tegelenud.

Ühe muutuja funktsiooni tuletis.

Sissejuhatus.

Need metoodilised arendused on mõeldud tööstus- ja ehitusteaduskonna üliõpilastele. Need on koostatud seoses matemaatika kursuse programmiga jaotises "Ühe muutuja funktsioonide diferentsiaalarvutus".

Arendused kujutavad endast ühtset metoodilist juhendit, mis sisaldab: lühikest teoreetilist teavet; "tüüpilised" ülesanded ja harjutused koos üksikasjalike lahenduste ja nende lahenduste selgitustega; juhtimisvalikud.

Täiendavad harjutused iga lõigu lõpus. Selline arenduste struktuur muudab need sobivaks lõigu iseseisvaks valdamiseks õpetaja minimaalse abiga.

§üks. Tuletise definitsioon.

Mehaaniline ja geomeetriline tähendus

tuletis.

Tuletise mõiste on matemaatilise analüüsi üks olulisemaid mõisteid, mis tekkis juba 17. sajandil. Tuletise mõiste kujunemist seostatakse ajalooliselt kahe probleemiga: muutuva liikumise kiiruse probleem ja kõvera puutuja probleem.

Need ülesanded, vaatamata erinevale sisule, viivad samasuguse matemaatilise tehteni, mis tuleb mingi funktsiooniga sooritada.See tehe on saanud matemaatikas erinimetuse. Seda nimetatakse funktsiooni eristamise operatsiooniks. Diferentseerimistehte tulemust nimetatakse tuletiseks.

Seega on funktsiooni y=f(x) tuletis punktis x0 funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piir (kui see on olemas)
juures
.

Tuletis on tavaliselt tähistatud järgmiselt:
.

Nii et definitsiooni järgi

Sümboleid kasutatakse ka tuletise tähistamiseks
.

Tuletise mehaaniline tähendus.

Kui s=s(t) on materiaalse punkti sirgjoonelise liikumise seadus, siis
on selle punkti kiirus ajahetkel t.

Tuletise geomeetriline tähendus.

Kui funktsioonil y=f(x) on punktis tuletis , siis funktsiooni graafiku puutuja kalle punktis
võrdub
.

Näide.

Leia funktsiooni tuletis
punktis =2:

1) Anname punkti =2 juurdekasvu
. Märka seda.

2) Leia funktsiooni juurdekasv punktis =2:

3) Koostage funktsiooni ja argumendi juurdekasvu suhe:

Leiame seose piiri at
:

.

Seega
.

§ 2. Mõne tuletis

kõige lihtsamad funktsioonid.

Õpilane peab õppima arvutama konkreetsete funktsioonide tuletisi: y=x,y= ja üldiselt y= .

Leia funktsiooni y=x tuletis.

need. (x)′=1.

Leiame funktsiooni tuletise

Tuletis

Las olla
siis

Tähendusfunktsiooni tuletisi avaldistes on mustrit lihtne märgata
n = 1,2,3 juures.

Seega

. (1)

See valem kehtib mis tahes reaalarvu jaoks.

Täpsemalt, kasutades valemit (1), saame:

;

.

Näide.

Leia funktsiooni tuletis

.

.

See funktsioon on vormi funktsiooni erijuht

juures
.

Kasutades valemit (1), saame

.

Funktsioonide y=sin x ja y=cos x tuletised.

Olgu y=sinx.

Jagame ∆x-ga, saame

Minnes piirini ∆x→0, saame

Olgu y=cosx .

Minnes piirini ∆x→0, saame

;
. (2)

§3. Eristamise põhireeglid.

Mõelge eristamise reeglitele.

Teoreem1 . Kui funktsioonid u=u(x) ja v=v(x) on antud punktis x diferentseeruvad, siis on ka nende summa selles punktis diferentseeruv ja summa tuletis on võrdne tuletatud liikmete summaga: (u+v)"=u"+v".(3)

Tõestus: vaatleme funktsiooni y=f(x)=u(x)+v(x).

Argumendi x juurdekasv ∆x vastab funktsioonide u ja v juurdekasvudele ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x). Seejärel suurendatakse funktsiooni y

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Seega

Niisiis, (u+v)"=u"+v".

Teoreem2. Kui funktsioonid u=u(x) ja v=v(x) on antud punktis x diferentseeruvad, siis on ka nende korrutis samas punktis diferentseeruv Sel juhul leitakse korrutise tuletis järgmise valemiga : (uv) "=u" v + uv ". ( 4)

Tõestus: Olgu y=uv, kus u ja v on mõned x-i diferentseeruvad funktsioonid. Olgu x-i suurendamine ∆x võrra, siis u-d suurendatakse ∆u võrra, v-d ∆v võrra ja y-t ∆y võrra.

Meil on y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), või

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Seetõttu ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Siit

Minnes piirini ∆x→0 ja võttes arvesse, et u ja v ei sõltu ∆x-st, saame

3. teoreem. Kahe funktsiooni jagatise tuletis on võrdne murdosaga, mille nimetaja on võrdne jagaja ruuduga ja lugeja on dividendi jagaja tuletise ja funktsiooni korrutise vahe. dividend jagaja tuletisega, s.o.

Kui a
siis
(5)

4. teoreem. Konstandi tuletis on null, s.o. kui y=C, kus С=const, siis y"=0.

5. teoreem. Konstantteguri võib tuletise märgist välja võtta, s.t. kui y=Cu(x), kus С=const, siis y"=Cu"(x).

Näide 1

Leia funktsiooni tuletis

.

Sellel funktsioonil on vorm
, kus u=x,v=cosx. Diferentseerimisreeglit (4) rakendades leiame

.

Näide 2

Leia funktsiooni tuletis

.

Rakendame valemit (5).

Siin
;
.

Ülesanded.

Leidke järgmiste funktsioonide tuletised:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Koordinaatide tasapinnal tere vaatleme funktsiooni graafikut y=f(x). Parandage punkt M (x 0; f (x 0)). Anname abstsissi x 0 juurdekasv Δх. Saame uue abstsissi x 0 +Δx. See on punkti abstsiss N, ja ordinaat on f (х 0 +Δх). Abstsisselja muutus tõi endaga kaasa muutuse ordinaadis. Seda muutust nimetatakse funktsiooni juurdekasvuks ja tähistatakse Δy.

Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). läbi punktide M ja N joonistada sekant MN, mis moodustab nurga φ positiivse telje suunaga Oh. Määrake nurga puutuja φ alates täisnurkne kolmnurk MPN.

Las olla Δх kipub nulli. Siis sekant MN kipub võtma puutuja positsiooni MT ja nurk φ muutub nurgaks α . Seega nurga puutuja α on nurga puutuja piirväärtus φ :

Funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiri, kui viimane kipub olema null, nimetatakse funktsiooni tuletiseks antud punktis:

Tuletise geomeetriline tähendus seisneb selles, et funktsiooni arvuline tuletis antud punktis võrdub nurga puutujaga, mille moodustab läbi selle punkti tõmmatud puutuja antud kõverale ja telje positiivsele suunale Oh:

Näited.

1. Leia argumendi juurdekasv ja funktsiooni juurdekasv y= x2 kui argumendi algväärtus oli 4 , ja uus 4,01 .

Otsus.

Uus argumendi väärtus x \u003d x 0 + Δx. Asendage andmed: 4.01=4+Δx, sellest ka argumendi juurdekasv Δх=4,01-4 = 0,01. Funktsiooni juurdekasv on definitsiooni järgi võrdne funktsiooni uue ja eelmiste väärtuste erinevusega, st. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Kuna meil on funktsioon y=x2, siis Δy\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Vastus: argumentide juurdekasv Δх=0,01; funktsiooni juurdekasv Δy=0,0801.

Funktsiooni juurdekasvu oli võimalik leida muul viisil: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4,01) -y (4) \u003d 4,01 2 -4 2 \u003d 16,0801-16 \u003d 0,0801.

2. Leia funktsioonigraafiku puutuja kaldenurk y=f(x) punktis x 0, kui f "(x 0) \u003d 1.

Otsus.

Tuletise väärtus kokkupuutepunktis x 0 ja on puutuja kalde puutuja väärtus (tuletise geomeetriline tähendus). Meil on: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °, nagu tg45° = 1.

Vastus: selle funktsiooni graafiku puutuja moodustab Ox-telje positiivse suunaga nurga, mis on võrdne 45°.

3. Tuletage funktsiooni tuletise valem y=xn.

Eristumine on funktsiooni tuletise leidmise toiming.

Tuletiste leidmisel kasutatakse valemeid, mis tuletati tuletise definitsiooni alusel, samamoodi nagu tuletasime tuletise astme valemi: (x n)" = nx n-1.

Siin on valemid.

Tuletise tabel sõnalisi sõnastusi hääldades on lihtsam meelde jätta:

1. Konstantse väärtuse tuletis on null.

2. X löök on võrdne ühega.

3. Konstantteguri saab tuletise märgist välja võtta.

4. Astme tuletis on võrdne selle astme eksponendi korrutisega sama alusega astme võrra, kuid astendaja on ühe võrra väiksem.

5. Juure tuletis võrdub ühega, mis on jagatud kahe sama juurega.

6. Ühtsuse tuletis jagatud x-ga on miinus üks jagatud x-ga ruudus.

7. Siinuse tuletis on võrdne koosinusega.

8. Koosinuse tuletis on võrdne miinussiinusega.

9. Puutuja tuletis võrdub ühega, mis on jagatud koosinuse ruuduga.

10. Kootangensi tuletis on miinus üks jagatuna siinuse ruuduga.

Me õpetame diferentseerimisreeglid.

1. Algebralise summa tuletis on võrdne tuletisliikmete algebralise summaga.

2. Korrutise tuletis võrdub esimese teguri tuletise korrutisega teisega pluss esimese teguri korrutis teise teguri tuletisega.

3. Tuletis "y" jagatud "ve"-ga võrdub murdosaga, mille lugejas "y on tõmme korrutatud "ve"-ga miinus "y, korrutatud joonega" ja nimetajas - "ve ruudus". ”.

4. Valemi erijuhtum 3.

Õpime koos!

1. lehekülg 1-st 1

Mis on tuletis?
Funktsiooni tuletise definitsioon ja tähendus

Paljusid üllatab selle artikli ootamatu asukoht minu autori kursusel ühe muutuja funktsiooni tuletise ja selle rakenduste kohta. Lõppude lõpuks, nagu see oli koolist: standardne õpik annab ennekõike tuletise määratluse, selle geomeetrilise, mehaanilise tähenduse. Järgmiseks leiavad õpilased funktsioonide tuletised definitsiooni järgi ja tegelikult alles siis täiustatakse diferentseerimistehnikat kasutades tuletis tabelid.

Aga minu seisukohalt on järgmine lähenemine pragmaatilisem: esiteks on soovitav HÄSTI MÕISTA funktsiooni piirang, ja eriti lõpmata väiksed. Fakt on see, et tuletise määratlus lähtub piiri mõistest, mida koolikursuses vähe arvestatakse. Sellepärast tungib märkimisväärne osa noortest graniiditeadmiste tarbijatest halvasti tuletise olemusse. Seega, kui te pole diferentsiaalarvutuses hästi kursis või tark aju on aastate jooksul sellest pagasist edukalt vabanenud, alustage funktsioonide piirangud. Samal ajal meisterdage / mäletage nende otsust.

Sama praktiline mõte viitab sellele, et see on kõigepealt kasumlik õppige leidma tuletisi, kaasa arvatud keeruliste funktsioonide tuletised. Teooria on teooria, aga nagu öeldakse, tahad alati eristada. Sellega seoses on parem loetletud põhitunnid välja töötada ja võib-olla ka saada diferentseerimise meister mõistmata isegi oma tegude olemust.

Soovitan alustada materjale sellel lehel pärast artikli lugemist. Lihtsamad ülesanded tuletisega, kus käsitletakse eelkõige funktsiooni graafiku puutuja probleemi. Kuid seda saab edasi lükata. Fakt on see, et paljud tuletise rakendused ei nõua selle mõistmist ja pole üllatav, et teoreetiline õppetund ilmus üsna hilja - kui mul oli vaja selgitada kasvu/languse ja äärmuste intervallide leidmine funktsioonid. Pealegi oli ta teemas üsna pikka aega " Funktsioonid ja graafikud”, kuni otsustasin selle varem sisse panna.

Seetõttu, kallid teekannud, ärge kiirustage tuletise olemust imema, nagu näljased loomad, sest küllastus on maitsetu ja puudulik.

Funktsiooni suurenemise, kahanemise, maksimumi, miinimumi mõiste

Palju õppejuhendid viia mõne praktilise ülesande abil tuletise mõisteni ja tõin välja ka huvitava näite. Kujutage ette, et peame reisima linna, kuhu on võimalik jõuda erineval viisil. Loobume kõverad mähisrajad koheselt ja võtame arvesse ainult sirgeid jooni. Kuid ka sirgjoonelised suunad on erinevad: linna pääseb mööda lauget kiirteed. Või künklikul kiirteel – üles-alla, üles-alla. Teine tee läheb ainult ülesmäge ja teine ​​kogu aeg allamäge. Põnevuse otsijad valivad marsruudi läbi kuru järsu kalju ja järsu tõusuga.

Kuid olenemata teie eelistustest on soovitav piirkonda tunda või vähemalt omada selle topograafilist kaarti. Mis siis, kui sellist teavet pole? Võid ju valida näiteks tasase tee, aga selle tulemusena komistada naljakate soomlastega suusanõlvale. Mitte asjaolu, et navigaator ja isegi satelliidipilt annavad usaldusväärseid andmeid. Seetõttu oleks tore raja reljeef vormistada matemaatika abil.

Mõelge mõnele teele (külgvaade):

Igaks juhuks tuletan meelde elementaarset tõsiasja: teekond toimub vasakult paremale. Lihtsuse huvides eeldame, et funktsioon pidev vaadeldavas piirkonnas.

Millised on selle diagrammi omadused?

Intervallidega funktsiooni suureneb, st iga selle järgmine väärtus rohkem eelmine. Jämedalt öeldes ajakava läheb alla üles(ronime mäkke). Ja intervallil funktsioon väheneb- iga järgmine väärtus väiksem eelmine ja meie ajakava läheb ülevalt alla(nõlvast alla minnes).

Pöörame tähelepanu ka eripunktidele. Punktis, kuhu jõuame maksimaalselt, st olemas selline teelõik, mille väärtus on suurim (kõrgeim). Samal hetkel, miinimum, ja olemas selline selle naabruskond, kus väärtus on väikseim (madalaim).

Õppetunnis käsitletakse rangemat terminoloogiat ja määratlusi. funktsiooni äärmuste kohta, kuid praegu uurime veel ühte olulist funktsiooni: intervallide kohta funktsioon suureneb, kuid see suureneb erinevatel kiirustel. Ja esimene asi, mis teile silma hakkab, on see, et diagramm tõuseb intervalliga palju lahedam kui intervallil. Kas tee järsust on võimalik mõõta matemaatiliste vahenditega?

Funktsiooni muutumise kiirus

Idee on järgmine: võtke mingi väärtus (loe "delta x"), mida me kutsume argumentide juurdekasv, ja alustame "proovimist" oma tee erinevates punktides:

1) Vaatame kõige vasakpoolsemat punkti: kaugusest mööda minnes ronime mööda nõlva kõrgusele (roheline joon). Väärtust nimetatakse funktsiooni juurdekasv, ja sel juhul on see juurdekasv positiivne (väärtuste erinevus piki telge on suurem kui null). Teeme suhte , mis on meie tee järsuse mõõdupuu. Ilmselgelt on see väga konkreetne arv ja kuna mõlemad sammud on positiivsed, siis .

Tähelepanu! Nimetus on ÜKS sümbolit, see tähendab, et te ei saa "x"-st "deltat" maha rebida ja neid tähti eraldi käsitleda. Loomulikult kehtib kommentaar ka funktsiooni juurdekasvu sümboli kohta.

Uurime saadud murdosa olemust tähendusrikkamalt. Oletame, et algselt oleme 20 meetri kõrgusel (vasakul mustas punktis). Pärast meetrite distantsi (vasak punane joon) ületamist oleme 60 meetri kõrgusel. Siis on funktsiooni juurdekasv meetrit (roheline joon) ja: . Seega igal meetril sellel teelõigul kõrgus suureneb keskmine 4 meetri võrra...kas unustasite oma ronimisvarustuse? =) Teiste sõnadega, konstrueeritud suhe iseloomustab funktsiooni KESKMISE MUUTUMIST (antud juhul kasvu).

Märge : Kõnealuse näite arvväärtused vastavad joonise proportsioonidele vaid ligikaudselt.

2) Nüüd läheme sama kaugele kõige parempoolsemast mustast punktist. Siin on tõus õrnem, seega on juurdekasv (karmiinpunane joon) suhteliselt väike ja suhe võrreldes eelmise juhtumiga jääb üsna tagasihoidlikuks. Suhteliselt öeldes meetrit ja funktsiooni kasvukiirus on . See tähendab, et siin on iga tee meeter keskmine pool meetrit ülespoole.

3) Väike seiklus mäeküljel. Vaatame ülemist musta punkti, mis asub y-teljel. Oletame, et see on 50 meetri märk. Taas ületame distantsi, mille tulemusena leiame end madalamal - 30 meetri tasemel. Kuna liikumine on tehtud ülevalt alla(telje "vastupidises" suunas), siis finaal funktsiooni juurdekasv (kõrgus) on negatiivne: meetrit (joonisel pruun joon). Ja sel juhul me räägime lagunemise kiirus Funktsioonid: , see tähendab, et selle lõigu teekonna iga meetri kohta väheneb kõrgus keskmine 2 meetri võrra. Hoolitse riiete eest viiendas punktis.

Nüüd esitame küsimuse: milline on "mõõtestandardi" parim väärtus? Selge see, et 10 meetrit on väga konarlik. Hea tosin muhke mahub neile kergesti peale. Miks on konarused, allpool võib olla sügav kuristik ja mõne meetri pärast - selle teine ​​külg edasise poolega järsk tõus. Seega ei saa me kümnemeetrise puhul sellistele teelõikudele arusaadavat tunnust läbi suhte.

Ülaltoodud arutelust järeldub järgmine järeldus: seda väiksem väärtus, seda täpsemalt kirjeldame tee reljeefi. Lisaks on tõesed järgmised faktid:

– Iga tõstepunktid saab valida väärtuse (ehkki väga väikese), mis mahub ühe või teise tõusu piiridesse. Ja see tähendab, et vastav kõrguse juurdekasv on garanteeritud positiivne ja ebavõrdsus näitab õigesti funktsiooni kasvu nende intervallide igas punktis.

- Samamoodi, iga kaldepunkt, on väärtus, mis sobib sellele kaldele täielikult. Seetõttu on vastav kõrguse kasv üheselt negatiivne ja ebavõrdsus näitab õigesti funktsiooni vähenemist antud intervalli igas punktis.

– Eriti huvitav on juhtum, kui funktsiooni muutumise määr on null: . Esiteks on null kõrguse juurdekasv () ühtlase tee märk. Ja teiseks on ka muid kurioosseid olukordi, mille näiteid näete joonisel. Kujutage ette, et saatus on meid viinud mäe tippu, kus kotkasid lendlevad, või oru põhja krooksuvate konnadega. Kui teha väike samm suvalises suunas, siis on kõrguse muutus tühine ja võime öelda, et funktsiooni muutumise kiirus on tegelikult null. Sama mustrit täheldatakse punktides.

Seega oleme lähenenud hämmastavale võimalusele funktsiooni muutumise kiirust täiuslikult täpselt iseloomustada. Matemaatiline analüüs võimaldab ju suunata argumendi juurdekasvu nullini, st muuta see lõpmatult väike.

Selle tulemusena tekib veel üks loogiline küsimus: kas tee ja selle ajakava jaoks on võimalik leida teine ​​funktsioon, mis ütleks meile kõigi tasapindade, tõusude, allamägede, tippude, madalikute kohta, samuti tõusu/languse kiiruse kohta tee igas punktis?

Mis on tuletis? Tuletise definitsioon.
Tuletise ja diferentsiaali geomeetriline tähendus

Palun lugege läbimõeldult ja mitte liiga kiiresti – materjal on lihtne ja kõigile kättesaadav! Pole hullu, kui mõnes kohas tundub midagi ebaselge, võite alati hiljem artikli juurde tagasi pöörduda. Ütlen veel, kõigi punktide kvalitatiivseks mõistmiseks on kasulik teooriat mitu korda uurida (nõuanne on eriti oluline "tehniliste" õpilaste jaoks, kelle jaoks on kõrgmatemaatika õppeprotsessis oluline roll).

Loomulikult asendame tuletise definitsioonis punktis selle järgmisega:

Milleni me oleme jõudnud? Ja jõudsime järeldusele, et seadusejärgseks funktsiooniks on joondatud muu funktsioon, mida nimetatakse tuletisfunktsioon(või lihtsalt tuletis).

Tuletis iseloomustab muutumise kiirus funktsioonid . Kuidas? Mõte läheb nagu punane niit juba artikli algusest peale. Mõelge mõnele punktile domeenid funktsioonid . Olgu funktsioon antud punktis diferentseeruv. Seejärel:

1) Kui , siis funktsioon suureneb punktis . Ja ilmselgelt on olemas intervall(isegi kui see on väga väike), mis sisaldab punkti, kus funktsioon kasvab, ja selle graafik läheb "alt üles".

2) Kui , siis funktsioon väheneb punktis . Ja seal on intervall, mis sisaldab punkti, kus funktsioon väheneb (graafik läheb "ülevalt alla").

3) Kui , siis lõpmatult lähedal punkti lähedal hoiab funktsioon oma kiirust konstantsena. See juhtub, nagu märgitud, funktsioonikonstandi ja funktsiooni kriitilistes punktides, eriti miinimum- ja maksimumpunktides.

Mingi semantika. Mida tähendab tegusõna "erituma" laiemas tähenduses? Eristada tähendab tunnuse väljatoomist. Funktsiooni eristades "valime" selle muutumise kiiruse funktsiooni tuletise kujul. Ja mida, muide, tähendab sõna "tuletis"? Funktsioon juhtus funktsioonist.

Mõisted tõlgendavad väga edukalt tuletise mehaanilist tähendust :
Vaatleme keha koordinaadi muutumise seadust, mis sõltub ajast ja liikumiskiiruse funktsioonist antud keha. Funktsioon iseloomustab keha koordinaadi muutumise kiirust, mistõttu on see funktsiooni esimene tuletis aja suhtes: . Kui looduses ei eksisteeriks mõistet “keha liikumine”, siis seda ei oleks tuletis"kiiruse" mõiste.

Keha kiirendus on kiiruse muutumise kiirus, seega: . Kui looduses ei eksisteeriks algseid mõisteid “keha liikumine” ja “keha liikumiskiirus”, siis seda polekski tuletis keha kiirenduse mõiste.