Suureneva ja kahaneva funktsiooni tuletise märk. Suurenevad ja kahanevad funktsioonid intervallil, äärmused
1°. On teada, et konstantse funktsiooni tuletis on segmendi igas punktis võrdne nulliga. AT täiskursused analüüs tõestab vastupidist, et funktsioon f (x) on lõigul [a, b] konstantne, kui lõigu igas punktis on selle tuletis f "(x) võrdne nulliga.
Illustreerime seda geomeetriliselt. Kui a f"(x)=0 segmendi igas punktis [a, b], siis funktsiooni graafiku puutuja y=f(x) in iga punkti x (a ≤ x ≤ b) teljega paralleelne Oh.Ülemineku ajal Xühest väärtusest selle järgmiste väärtuste punktini M. puutepunktiks oleva funktsiooni graafik nihkub paremale, kuid jääb punktis tõmmatud puutuja suunas M, kuna puutuja selle ülemineku ajal oma suunda ei muuda. Selle tulemusena segmendil [a,b]
funktsiooni graafik y=f(x) muutub sirgjooneks MN, teljega paralleelne Oh, ja funktsiooni väärtus on võrdne f(a), jääb muutumatuks.
2°. Kui vahepeal a
positiivsed väärtused. Selle tulemusena on selle piiriks tuletis f "(x) - positiivne või võrdne nulliga
f "(x) ≥ 0
Kui vahepeal a<х funktsiooni y=f(x) vähenedes, siis suurenedes X funktsiooni iga järgmine väärtus on eelmisest väiksem. Seega mis tahes antud väärtuse x puhul ajal, mil juurdekasv Δx positiivne, juurdekasv Δy negatiivne suhtumine ∆y/∆x võtab ainult negatiivseid väärtusi ja püüdes Δx nullini on selle piiriks negatiivne arv ehk null, st.
f "(x) ≤ 0.
Kuna tuletise väärtus f "(x) võrdne funktsiooni graafiku puutuja kaldega y = f(x):
f "(x) = tgφ,
ja suurendava funktsiooni jaoks f "(x) = tgφ ≥ 0, siis moodustub suureneva funktsiooni graafiku puutuja koos teljega Oh teravnurk või paralleelne teljega Oh(joonis 106). Väheneva funktsiooni jaoks f "(x) \u003d tgφ ≤ 0 graafi vormide puutuja teljega Oh nürinurk või paralleelne teljega Oh(pagan.).
Vahepeal a
Suureneva (või kahaneva) funktsiooni graafiku punktid, kus puutuja on paralleelne teljega härg, on eraldi punktid selles mõttes, et nende abstsissid ei moodusta segmenti. Pagan võtaks. ja põrgu. sellised punktid on R ja R 1.
3°. Täielikes analüüsikursustes tõestatakse järgmised piisavad kriteeriumid funktsiooni suurendamiseks ja vähendamiseks:
funktsioon f(x) suureneb (või väheneb) intervallis a
1) tuletis f "(x) ei ole negatiivne (või mitte positiivne) intervallis a<х
f"(x) ≥ 0 (või f"(x) ≤ 0)
2) selles intervallis pole lõiku a 1 ≤ x ≤ b 1 (ja<а 1 .
4°. Näide. Määrake funktsiooni suurendamise ja vähendamise intervallid: y \u003d x 3 - x 2 - 8x + 2.
Otsus. Funktsioonide suurenemise ja kahanemise märkide rakendamiseks leiame selle funktsiooni tuletise ja määrame väärtused X, mille alusel see on positiivne või negatiivne:
y" \u003d Zx 2 - 2x - 8.
Jagame teise astme trinoomi teguriteks, kuna korrutise märki on tegurite märkide järgi palju lihtsam hinnata kui summa märki terminite märkide järgi.
Trinoomi juured:
|
y" \u003d 3 (x + 4/3) (x-2).
kordaja x + 4/3 negatiivne juures X< - 4/3 и положителен при X> - 4/3. Faktor X - 2 on negatiivne juures X< 2 и положителен при X> 2. Toote tähis on olenevalt punkti asukohast üks või teine X teljel Oh punktide -4/3 ja 2 suhtes.
Punktid -4/3 ja 2 jagavad kogu telje kolmeks tühikuks;
1) - ∞
Tuletise märgi määramiseks igas intervallis koostame tabeli:
| tühimiku number | Lõhe omadus | Sign x+4/3 | Sign x-2 | Sign f'(x) | See funktsioon |
| - ∞ < x< - 4/3 | - | - | + | suureneb | |
| -4/3 < x < 2 | + | - | - | väheneb | |
| 2 < х < + ∞ | + | + | + | suureneb |
Seetõttu suureneb see funktsioon intervallidega
- ∞
Selle funktsiooni graafik on näidatud joonisel fig.
5°.Funktsioon y = x 3(kurat) omab tuletist y \u003d 3x2, mis on positiivne iga väärtuse puhul X, nullist erinev. Kell x = 0 tuletis y" = 0. Funktsioon y = x 3 intervall suureneb ∞
Funktsiooni maksimum ja miinimum
Suuruste suurimate ja väiksemate väärtuste leidmise probleemid on tehnoloogias väga olulised ja, nagu näidetest selgub, taandatakse funktsiooni maksimumi ja miinimumi leidmisele.
Definitsioon. üks. Funktsioonil f(x) on x=c maksimum, kui selle väärtus x=c jaoks on suurem kui mis tahes muu x väärtuse puhul, mis on võetud punkti x=c mõnes naabruses.
2. Funktsioonil f(x) on x=c miinimum, kui selle väärtus x=c jaoks on väiksem kui mis tahes muu x väärtuse puhul, mis on võetud punkti x=c mõnes naabruses.
Mõisted "maksimaalne" ja "minimaalne" on nende jaoks ühendatud üheks ühiseks terminiks - "äärmus".
Kutsutakse välja argumendi väärtus, mis annab funktsiooni maksimumi (või miinimumi). maksimaalne (minimaalne) punkt või äärmuspunkt.
Funktsioonil saab olla ainult maksimum, näiteks funktsioon y = 60x-2x2(joonis 111) või ainult miinimum, näiteks funktsioon y \u003d 2x + 72 / x(dev. 112) või on
maksimum ja miinimum, näiteks funktsioon y \u003d x 3 - - x 2 - 8x + 2(joonis 108). Funktsioonil võib olla mitu maksimumi ja miinimumi (joonis 113) ning sel juhul vahelduvad maksimumid ja miinimumid. Funktsioonil ei pruugi olla ei maksimumi ega miinimumi. Näiteks funktsioonid y \u003d x 3, y \u003d ctgx, y \u003d a x ei ole ei maksimumi ega miinimumi, kuna suurenedes X-∞ kuni +∞, esimene ja kolmas funktsioon suurenevad, teine aga ainult väheneb.
Funktsiooni maksimum (minimaalne) ei pruugi olla selle maksimaalne (väikseim) väärtus. Niisiis, kujutatud põrgus. 113 funktsioonil on punkt koos. väärtus on suurem kui maksimum s 1 M 1 ja 3 M2-ga, ja punktis alates 0 väärtus väiksem kui miinimum c 2 m 1, ja c 4 m 2, miinimum c 4 m 2 rohkem kui maksimum s 1 M 1. Funktsiooni maksimum (miinimum) antud punktis on üldjuhul funktsiooni suurim (väikseim) väärtus võrreldes selle väärtustega punktides, mis asuvad äärmuspunktist vasakul ja paremal vaid sellele piisavalt lähedal.
Tundide ajal:
Õpetaja tegevusÕpilaste tegevused
Vahendid
2 minutit
I. Organisatsioonimoment.
Tervitan õpilasi,kontrollib tunniks valmisolekut, soovib edu.
Mõelge eesmärgi üle.
märkmikud
5 min
II. Kodutöö kontrollimine: nbh lahendada lahendamata ülesandeid, selgitada.
Näidake oma teadmisi.
tabelid
10 minutit
II. Uue teema uurimine
Kui selle funktsiooni tuletis on positiivne kõigi x väärtuste korral intervallis ( a;sisse), st. f"(x) > 0, siis funktsioon selles intervallis suureneb.
Kui selle funktsiooni tuletis on kõigi väärtuste puhul negatiivne X intervallis ( a;sisse), st. f"(x) < 0, то функция в этом интервале убывает.
Monotoonsuse intervallide leidmise järjekord:
Leidke funktsiooni ulatus.
Leia funktsiooni esimene tuletis.
Leidke kriitilised punktid, uurige esimese tuletise märki intervallides, milleks leitud kriitilised punktid funktsiooni domeeni jagavad.
Leia funktsioonide monotoonsuse intervallid.
Uurime saadud intervallides tuletise märki, lahendus esitatakse tabeli kujul.
Piisavaks tingimuseks maksimumi olemasoluks on tuletise märgi muutmine kriitilise punkti läbimisel "+"-lt "-"-ks, miinimumi puhul "-"-lt "+"-ks. Kui tuletis kriitilist punkti läbides märki ei muuda, siis ekstreemumit selles punktis ei ole.
Vaatleme mõningaid näiteid suurenemise ja vähenemise funktsiooni uurimisest.
Leia funktsioonide suurenemise ja kahanemise intervallid
1) f(x) = 3–0,5x,
2) f(x) = - x2+2x-3,
3) f(x) = 4x-5,
4) f(x) = 5x 2- 3x+1.
(-∞;1)-suureneb, (1;+∞)-väheneb
(-∞;+∞)-suureneb
(-∞;0,3)-suureneb, (0,3;+∞)-väheneb
(-∞;+∞)-väheneb
Näidake oskusi.
plakatid
Valemid
Õpik
min
IV. Teadmiste kinnistamine Töö õpikuga nr 258, nr 261
f). 2. Leidke f"( x).3. Leida statsionaarsed punktid, st. punktid kus f"( x) = 0 või f"( x) ei eksisteeri.
(Tuletis on 0 lugeja nullidel, tuletist nimetaja nullidel ei eksisteeri)
4. Järjesta D( f) ja need punktid koordinaatjoonel.
5. Määrake tuletise märgid igal intervallil
6. Rakenda märke. 7. Kirjuta vastus üles.
3 min
V. Tunni kokkuvõte.õpilaste enesehinnang oma õppetegevuse tulemuste kohta.Viib läbi refleksiooni.
Mida uut sa tunnis õppisid?
Kas teie jaoks oli huvitavaid hetki?
Kirjutage oma arvamus tunni kohta kleebistele.
Kaardid
2 minutit
VI.Kodutöö. Selgitab kodutöö nr 259, nr 257 iseärasusi
päevikutesse kirjutama.
Päevik
Kasvava funktsiooni definitsioon.
Funktsioon y=f(x) suureneb intervalliga X, kui mõne ja 
ebavõrdsus on rahuldatud. Teisisõnu, argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele.
Funktsiooni määratluse vähendamine.
Funktsioon y=f(x) väheneb intervalli jooksul X, kui mõne ja 
ebavõrdsus 
. Teisisõnu, argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.
MÄRKUS: kui funktsioon on defineeritud ja on pidev suurendamise või vähendamise intervalli lõpus (a;b), ehk millal x=a ja x=b, siis kaasatakse need punktid suurenemise või vähenemise intervalli. See ei ole vastuolus intervalli suureneva ja kahaneva funktsiooni definitsioonidega X.
Näiteks põhiliste elementaarfunktsioonide omaduste põhjal teame seda y = sinx on defineeritud ja pidev kõigi argumendi tegelike väärtuste jaoks. Seetõttu saame intervalli siinusfunktsiooni suurenemise põhjal väita intervalli suurenemist.
Äärmuspunktid, äärmusfunktsioon.
Punkti nimetatakse maksimaalne punkt funktsioonid y=f(x) kui kõigi jaoks x selle naabruses on ebavõrdsus tõsi. Kutsutakse funktsiooni väärtust maksimumpunktis funktsiooni maksimum ja tähistada .
Punkti nimetatakse miinimumpunkt funktsioonid y=f(x) kui kõigi jaoks x selle naabruses on ebavõrdsus tõsi. Kutsutakse funktsiooni väärtust miinimumpunktis funktsiooni miinimum ja tähistada .
Punkti naabrusena mõistetakse intervalli 
, kus on piisavalt väike positiivne arv.
Nimetatakse miinimum- ja maksimumpunktid äärmuslikud punktid, ja kutsutakse äärmuspunktidele vastavad funktsiooni väärtused funktsiooni äärmus.
Ärge ajage funktsiooni äärmusi segamini funktsiooni maksimaalse ja minimaalse väärtusega.
Esimesel joonisel funktsiooni suurim väärtus segmendil saavutatakse maksimumpunktis ja on võrdne funktsiooni maksimumiga ning teisel joonisel saavutatakse funktsiooni maksimaalne väärtus punktis x=b, mis ei ole maksimumpunkt.
Piisavad tingimused funktsioonide suurendamiseks ja vähendamiseks.
Funktsiooni suurenemise ja vähenemise piisavate tingimuste (märkide) alusel leitakse funktsiooni suurenemise ja vähenemise intervallid.
Siin on intervalli suurenemise ja kahanemise märkide sõnastused:
kui funktsiooni tuletis y=f(x) positiivne mis tahes jaoks x intervallist X, siis funktsioon suureneb võrra X;
kui funktsiooni tuletis y=f(x) negatiivne mis tahes x intervallist X, siis funktsioon väheneb võrra X.
Seega on funktsiooni suurendamise ja vähenemise intervallide määramiseks vaja:
Vaatleme algoritmi selgitamiseks näidet suurenevate ja kahanevate funktsioonide intervallide leidmisest.
Näide.
Leia funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallid.
Otsus.
Esimene samm on funktsiooni määratluse ulatuse leidmine. Meie näites ei tohiks nimetaja avaldis seetõttu kaduda.
Liigume edasi funktsiooni tuletise leidmise juurde: 
Funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallide määramiseks piisava kriteeriumi alusel lahendame võrratused ja definitsioonipiirkonnas. Kasutame intervallmeetodi üldistust. Lugeja ainus tõeline juur on x=2, ja nimetaja kaob kell x=0. Need punktid jagavad definitsioonipiirkonna intervallideks, milles funktsiooni tuletis säilitab oma märgi. Märgime need punktid numbrireale. Plusside ja miinustega tähistame tinglikult intervalle, millel tuletis on positiivne või negatiivne. Allolevad nooled näitavad skemaatiliselt funktsiooni suurenemist või vähenemist vastaval intervallil. 
Funktsiooni lokaalse suurenemise ja vähenemise tunnused.
Funktsiooni uurimise üks peamisi ülesandeid on selle suurenemise ja kahanemise intervallide leidmine. Sellist uuringut on tuletise abil lihtne läbi viia. Sõnastame vastavad väited.
Piisav kriteerium funktsiooni suurendamiseks.
Kui f'(x) > 0 intervalli I igas punktis, siis funktsioon f suureneb I võrra.
Funktsiooni vähenemise piisav kriteerium.
Kui f'(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
Nende tunnuste tõendamine toimub Lagrange'i valemi alusel (vt punkt 19). Võtke suvalised kaks arvu x 1 ja x2 intervallist. Las x 1
(1)
Arv c kuulub intervalli I, kuna punktid x 1 ja x2 kuuluvad I-sse. Kui f"(x)>0 x∈I korral, siis f'(с)>0 ja seega F(x) 1 )
Märkide visuaalne tähendus ilmneb füüsilisest arutlusest (kinnisuse huvides võtke arvesse suurenemise märki).
Olgu ajahetkel t piki y-telge liikuval punktil y-ordinaat y = f(t). Siis on selle punkti kiirus ajahetkel t võrdne f "(t) (vt joonis fig. Vahetu kiirus ). Kui f’ (t)>0 igal ajahetkel intervallist t, siis punkt liigub y-telje positiivses suunas, st kui t 1
Märkus 1.
Kui funktsioon f on pidev suurenemise (vähenemise) intervalli mis tahes otsas, siis on see punkt lisatud sellele intervallile.
Märkus 2.
Võrratuste f "(x)>0 ja f" (x) lahendamiseks<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.
Vajalikud ja piisavad tingimused funktsiooni ekstreemumi olemasoluks punktis.
Ekstreemumi vajalik tingimus
Funktsioonil g(x) on punktis ekstreemum (maksimaalne või miinimum), kui funktsioon on määratletud punkti kahepoolses naabruses ja mõne ala kõigi punktide x jaoks: võrratus vastavalt
(maksimumi korral) või (miinimum puhul).
Funktsiooni ekstreemumi saab leida tingimusest: kui tuletis on olemas, s.o. võrdsustage funktsiooni esimene tuletis nulliga.
Piisav äärmuslik seisund
1) Esimene piisav tingimus:
a) f(x) on pidev funktsioon ja on defineeritud mõne punkti naabruses nii, et esimene tuletis antud punktis võrdub nulliga või seda ei eksisteeri.
b) f(x)-l on funktsiooni spetsifikatsiooni ja pidevuse läheduses lõplik tuletis
c) tuletis säilitab teatud märgi punktist paremal ja samast punktist vasakul, siis saab punkti iseloomustada järgmiselt
See tingimus ei ole eriti mugav, kuna peate kontrollima palju tingimusi ja jätma tabeli meelde, kuid kui kõrgemat järku tuletistest pole midagi öeldud, on see ainus viis funktsiooni ekstreemumi leidmiseks.
2) Teine piisav tingimus
Kui funktsioonil g(x) on teine tuletis ja mingil hetkel on esimene tuletis võrdne nulliga ja teine tuletis on nullist erinev. Siis punkt funktsiooni äärmus g(x), ja kui , siis punkt on maksimum; kui , siis punkt on miinimum.
Suurenevad ja kahanevad intervallid annavad funktsiooni käitumise kohta väga olulist teavet. Nende leidmine on osa funktsioonide uurimise ja joonistamise protsessist. Lisaks pööratakse funktsiooni suurimate ja väiksemate väärtuste leidmisel teatud intervallil erilist tähelepanu äärmuspunktidele, kus toimub muutus tõusust vähenemiseni või langusest suurenemiseni.
Käesolevas artiklis anname vajalikud definitsioonid, sõnastame piisava kriteeriumi funktsiooni suurendamiseks ja vähendamiseks intervallil ning piisavad tingimused ekstreemumi olemasoluks ning rakendame kogu seda teooriat näidete ja ülesannete lahendamisel.
Leheküljel navigeerimine.
Kasvav ja kahanev funktsioon intervallil.
Kasvava funktsiooni definitsioon.
Funktsioon y=f(x) suureneb intervallil X, kui mis tahes ja korral 
ebavõrdsus on rahuldatud. Teisisõnu, argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele.
Funktsiooni määratluse vähendamine.
Funktsioon y=f(x) väheneb intervallil X, kui mis tahes ja korral ebavõrdsus 
. Teisisõnu, argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.
MÄRKUS: kui funktsioon on defineeritud ja pidev suurenemise või kahanemise intervalli (a;b) otstes, st punktides x=a ja x=b , siis kaasatakse need punktid suurenemise või kahanemise intervalli. See ei ole vastuolus intervalli X kasvava ja kahaneva funktsiooni definitsioonidega.
Näiteks põhiliste elementaarfunktsioonide omadustest teame, et y=sinx on defineeritud ja pidev kõigi argumendi tegelike väärtuste jaoks. Seetõttu saame intervalli siinusfunktsiooni suurenemise põhjal väita intervalli suurenemist.
Äärmuspunktid, äärmusfunktsioon.
Punkti nimetatakse maksimaalne punkt funktsioon y=f(x), kui ebavõrdsus on tõene kõigi selle naabruses asuvate x-ide jaoks. Kutsutakse funktsiooni väärtust maksimumpunktis funktsiooni maksimum ja tähistada .
Punkti nimetatakse miinimumpunkt funktsioon y=f(x), kui ebavõrdsus on tõene kõigi selle naabruses asuvate x-ide jaoks. Kutsutakse funktsiooni väärtust miinimumpunktis funktsiooni miinimum ja tähistada .
Punkti naabrusena mõistetakse intervalli 
, kus on piisavalt väike positiivne arv.
Nimetatakse miinimum- ja maksimumpunktid äärmuslikud punktid, ja kutsutakse äärmuspunktidele vastavad funktsiooni väärtused funktsiooni äärmus.
Ärge ajage funktsiooni äärmusi segamini funktsiooni maksimaalse ja minimaalse väärtusega.
Esimesel joonisel saavutatakse funktsiooni maksimaalne väärtus lõigul maksimaalses punktis ja on võrdne funktsiooni maksimumiga ning teisel joonisel saavutatakse funktsiooni maksimaalne väärtus punktis x=b , mis ei ole maksimumpunkt.
Piisavad tingimused funktsioonide suurendamiseks ja vähendamiseks.
Põhineb piisavad tingimused suurenevate ja kahanevate funktsioonide (märgid) on funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallid.
Siin on intervalli suurenemise ja kahanemise märkide sõnastused:
- kui funktsiooni y=f(x) tuletis on positiivne mis tahes intervalli X korral x , siis funktsioon suureneb X võrra;
- kui funktsiooni y=f(x) tuletis on negatiivne mistahes x jaoks vahemikust X , siis funktsioon on kahanev X .
Seega on funktsiooni suurendamise ja vähenemise intervallide määramiseks vaja:
Vaatleme algoritmi selgitamiseks näidet suurenevate ja kahanevate funktsioonide intervallide leidmisest.
Näide.
Leia funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallid.
Otsus.
Esimene samm on funktsiooni ulatuse leidmine. Meie näites ei tohiks nimetaja avaldis seetõttu kaduda.
Liigume edasi funktsiooni tuletise leidmise juurde: 
Funktsiooni suurenemise ja kahanemise intervallide määramiseks piisava kriteeriumi alusel lahendame võrratused ja definitsioonipiirkonnas. Kasutame intervallmeetodi üldistust. Lugeja ainus tegelik juur on x = 2 ja nimetaja kaob, kui x=0. Need punktid jagavad definitsioonipiirkonna intervallideks, milles funktsiooni tuletis säilitab oma märgi. Märgime need punktid numbrireale. Plusside ja miinustega tähistame tinglikult intervalle, millel tuletis on positiivne või negatiivne. Allolevad nooled näitavad skemaatiliselt funktsiooni suurenemist või vähenemist vastaval intervallil. 
Seega 
ja 
.
Punktis x=2 funktsioon on defineeritud ja pidev, seega tuleb see lisada nii kasvavale kui ka kahanevale intervallile. Punktis x=0 ei ole funktsioon defineeritud, mistõttu see punkt ei sisaldu nõutavate intervallide hulgas.
Esitame funktsiooni graafiku, et võrrelda sellega saadud tulemusi.
Vastus:
Funktsioon suureneb kell 
, väheneb intervallil (0;2] .
Funktsiooni ekstreemumi jaoks piisavad tingimused.
Funktsiooni maksimumide ja miinimumide leidmiseks võite kasutada mis tahes kolmest ekstreemumimärgist, muidugi juhul, kui funktsioon vastab nende tingimustele. Kõige tavalisem ja mugavam on neist esimene.
Ekstreemumi esimene piisav tingimus.
Olgu funktsioon y=f(x) diferentseeruv punkti -naabruses ja pidev punktis endas.
Teisisõnu:
Algoritm ekstreemumipunktide leidmiseks funktsiooni ekstreemumi esimese märgi järgi.
- Funktsiooni ulatuse leidmine.
- Funktsiooni tuletise leiame definitsioonipiirkonnast.
- Määrame lugeja nullid, tuletise nimetaja nullid ja domeeni punktid, kus tuletist ei eksisteeri (kõik loetletud punktid on nn. võimaliku äärmuse punktid, läbides neid punkte, saab tuletis lihtsalt oma märki muuta).
- Need punktid jagavad funktsiooni domeeni intervallideks, milles tuletis säilitab oma märgi. Määrame tuletise märgid igal intervallil (näiteks arvutame funktsiooni tuletise väärtuse ühe intervalli mis tahes punktis).
- Valime punktid, kus funktsioon on pidev ja mille läbimisel tuletis muudab märki – need on ekstreemumipunktid.
Liiga palju sõnu, vaatleme mõnda näidet funktsiooni ekstreemumipunktide ja ekstreemumite leidmisest, kasutades funktsiooni ekstreemumi esimest piisavat tingimust.
Näide.
Leia funktsiooni äärmuspunkt.
Otsus.
Funktsiooni ulatus on kogu reaalarvude komplekt, välja arvatud x=2 .
Leiame tuletise: 
Lugeja nullpunktid on punktid x=-1 ja x=5 , nimetaja läheb nulli, kui x=2 . Märkige need punktid numbrireale 
Määrame igal intervallil tuletise märgid, selleks arvutame tuletise väärtuse iga intervalli mis tahes punktis, näiteks punktides x=-2, x=0, x=3 ja x= 6 .
Seetõttu on tuletis intervalli suhtes positiivne (joonisel paneme selle intervalli kohale plussmärgi). Samamoodi 
Seetõttu panime teisele intervallile miinuse, kolmandale miinuse ja neljandale plussi.
Jääb valida punktid, kus funktsioon on pidev ja selle tuletis muudab märki. Need on äärmuslikud punktid.
Punktis x=-1 funktsioon on pidev ja tuletis muudab märgi plussist miinusesse, seetõttu on ekstreemumi esimese märgi järgi x=-1 maksimumpunkt, see vastab funktsiooni maksimumile 
.
Punktis x=5 funktsioon on pidev ja tuletis muudab märgi miinusest plussiks, seega x=-1 on miinimumpunkt, see vastab funktsiooni miinimumile 
.
Graafiline illustratsioon.
Vastus:
TÄHELEPANU: ekstreemumi esimene piisav märk ei nõua, et funktsioon oleks punktis endas diferentseeritav.
Näide.
Leia funktsiooni äärmuslikud punktid ja äärmused 
.
Otsus.
Funktsiooni domeeniks on kogu reaalarvude komplekt. Funktsiooni enda saab kirjutada järgmiselt: 
Leiame funktsiooni tuletise: 
Punktis x=0 tuletist ei eksisteeri, kuna ühepoolsete piiride väärtused ei lange kokku, kui argument kaldub nulli: 
Samal ajal on algfunktsioon punktis x=0 pidev (vt funktsiooni pidevuse uurimise jaotist): 
Leidke argumendi väärtused, mille juures tuletis kaob: 
Märgime kõik saadud punktid reaaljoonele ja määrame iga intervalli tuletise märgi. Selleks arvutame tuletise väärtused iga intervalli suvalistes punktides, näiteks millal x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.
St 
Seega ekstreemumi esimese märgi järgi on miinimumpunktid 
, on maksimumpunktid 
.
Arvutame funktsiooni vastavad miinimumid 
Arvutame funktsiooni vastavad maksimumid 
Graafiline illustratsioon.
Vastus:
.
Funktsiooni ekstreemumi teine märk.
Nagu näete, nõuab see funktsiooni ekstreemumi märk tuletise olemasolu vähemalt teise järguni punktis .