Igal matemaatika eksamiks valmistuval õpilasel on kasulik korrata teemat “Joondevahelise nurga leidmine”. Nagu näitab statistika, tekitavad sertifitseerimistesti läbimisel selle stereomeetria jaotise ülesanded raskusi suur hulkõpilased. Samas leidub USE-s nii põhi- kui ka profiilitasemel ülesandeid, mis nõuavad sirgete vahelise nurga leidmist. See tähendab, et igaüks peaks suutma need lahendada.

Põhilised hetked

Ruumis on 4 joonte vastastikust paigutust. Need võivad kokku langeda, ristuda, olla paralleelsed või ristuvad. Nende vaheline nurk võib olla terav või sirge.

Ühtse riigieksami või näiteks lahenduse joonte vahelise nurga leidmiseks saavad Moskva ja teiste linnade koolilapsed selles stereomeetria jaotises probleemide lahendamiseks kasutada mitmeid meetodeid. Ülesande saate täita klassikaliste konstruktsioonide abil. Selleks tasub selgeks õppida stereomeetria põhiaksioomid ja teoreemid. Õpilane peab oskama loogiliselt üles ehitada arutluskäiku ja koostada jooniseid, et viia ülesanne planimeetrilise ülesandeni.

Võite kasutada ka vektorkoordinaatide meetodit, kasutades lihtsaid valemeid, reegleid ja algoritme. Peamine asi on sel juhul kõigi arvutuste korrektne sooritamine. Shkolkovo haridusprojekt aitab teil lihvida oma oskusi stereomeetria ja muude koolikursuse osade probleemide lahendamisel.

Definitsioon. Kui kaks sirget on antud y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , siis defineeritakse nende joonte vaheline teravnurk järgmiselt

Kaks sirget on paralleelsed, kui k 1 = k 2 . Kaks sirget on risti, kui k 1 = -1/ k 2 .

Teoreem. Sirged Ax + Vy + C \u003d 0 ja A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 on paralleelsed, kui koefitsiendid A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB on proportsionaalsed. Kui ka С 1 = λС, siis jooned langevad kokku. Nende sirgete võrrandisüsteemi lahendusena leitakse kahe sirge lõikepunkti koordinaadid.

Antud punkti läbiva sirge võrrand

Selle joonega risti

Definitsioon. Punkti M 1 (x 1, y 1) läbiv ja sirgega y \u003d kx + b risti kulgev sirge on esitatud võrrandiga:

Kaugus punktist jooneni

Teoreem. Kui on antud punkt M(x 0, y 0), siis kaugus sirgeni Ax + Vy + C \u003d 0 on määratletud kui

.

Tõestus. Olgu punkt M 1 (x 1, y 1) punktist M antud sirgele langetatud risti alus. Seejärel punktide M ja M 1 vaheline kaugus:

(1)

Koordinaate x 1 ja y 1 võib leida võrrandisüsteemi lahendusena:

Süsteemi teine ​​võrrand on sirgjoone võrrand, mis läbib antud punkti M 0, mis on risti antud sirgega. Kui teisendame süsteemi esimese võrrandi vormiks:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 järgi + C = 0,

siis lahendades saame:

Asendades need avaldised võrrandisse (1), leiame:

Teoreem on tõestatud.

Näide. Määrake sirgete vaheline nurk: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Näide. Näidake, et sirged 3x - 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y - 3 = 0 on risti.

Otsus. Leiame: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, seega on jooned risti.

Näide. Kolmnurga A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) tipud on antud. Leidke tipust C tõmmatud kõrguse võrrand.

Otsus. Leiame külje AB võrrandi: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3a + 3 = 0;

Soovitud kõrgusvõrrand on: Ax + By + C = 0 või y = kx + b. k = . Siis y = . Sest kõrgus läbib punkti C, siis selle koordinaadid vastavad sellele võrrandile: kust b = 17. Kokku: .

Vastus: 3x + 2a - 34 = 0.

Antud punkti antud suunas läbiva sirge võrrand. Kaht etteantud punkti läbiva sirge võrrand. Nurk kahe joone vahel. Kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimus. Kahe sirge lõikepunkti määramine

1. Antud punkti läbiva sirge võrrand A(x 1 , y 1) etteantud suunas, mille määrab kalle k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

See võrrand määratleb punkti läbivate joonte pliiatsi A(x 1 , y 1), mida nimetatakse kiire keskpunktiks.

2. Kaht punkti läbiva sirge võrrand: A(x 1 , y 1) ja B(x 2 , y 2) on kirjutatud nii:

Kaht etteantud punkti läbiva sirge kalle määratakse valemiga

3. Sirgete vaheline nurk A ja B on nurk, mille võrra tuleb esimest sirget pöörata Aümber nende joonte lõikepunkti vastupäeva, kuni see langeb kokku teise sirgega B. Kui kaldevõrranditega on antud kaks sirget

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

siis määratakse nendevaheline nurk valemiga

Tuleb märkida, et murdosa lugejas lahutatakse esimese sirge kalle teise sirge kaldest.

Kui sirge võrrandid on antud üldkujul

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

nendevaheline nurk määratakse valemiga

4. Kahe joone paralleelsuse tingimused:

a) Kui sirged on antud võrranditega (4) kaldega, siis vajalik ja piisav seisukord nende paralleelsus seisneb nende nurkkoefitsientide võrdsuses:

k 1 = k 2 . (8)

b) Juhul, kui sirged on antud võrranditega üldkujul (6), on nende paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus, et koefitsiendid vastavatel voolukoordinaatidel nende võrrandites on võrdelised, s.t.

5. Kahe joone perpendikulaarsuse tingimused:

a) Juhul, kui sirged on antud võrranditega (4) kaldega, on nende perpendikulaarsuse vajalik ja piisav tingimus, et nende kalded on suuruselt pöördsuurused ja vastasmärgilised, s.t.

Selle tingimuse saab kirjutada ka vormile

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Kui sirgete võrrandid on antud üldkujul (6), siis on nende perpendikulaarsuse tingimuseks (vajalik ja piisav) võrdsuse täitmine

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid leitakse võrrandisüsteemi (6) lahendamisel. Sirged (6) lõikuvad siis ja ainult siis

1. Kirjutage punkti M läbivate sirgete võrrandid, millest üks on paralleelne ja teine ​​risti antud sirgega l.

a. Olgu antud kaks joont Need jooned, nagu 1. peatükis märgitud, moodustavad erinevaid positiivseid ja negatiivseid nurki, mis võivad olla nii teravad kui ka nüri. Teades üht neist nurkadest, leiame hõlpsasti ka mõne teise.

Muide, kõigi nende nurkade puhul on puutuja arvväärtus sama, erinevus võib olla ainult märgis

Sirgede võrrandid. Arvud on esimese ja teise sirge suunavektori projektsioonid, mille vaheline nurk on võrdne ühe sirge moodustatud nurgaga. Seetõttu on ülesanne taandatud vektorite vahelise nurga määramisele, saame

Lihtsuse huvides võime terava positiivse nurga mõistmiseks kokku leppida kahe sirge vahelise nurga (nagu näiteks joonisel 53).

Siis on selle nurga puutuja alati positiivne. Seega, kui valemi (1) paremal küljel saadakse miinusmärk, siis tuleb see kõrvale jätta, st jätta alles ainult absoluutväärtus.

Näide. Määrake ridade vaheline nurk

Valemi (1) järgi on meil

koos. Kui on märgitud, kumb nurga külgedest on selle algus ja milline lõpp, siis nurga suunda alati vastupäeva lugedes saame valemitest (1) veel midagi välja võtta. Nagu jooniselt fig. 53 valemi (1) paremal küljel saadud märk näitab, milline nurk - terav või nüri - moodustab teise joone esimesega.

(Tõepoolest, jooniselt 53 näeme, et esimese ja teise suunavektori vaheline nurk on kas võrdne soovitud joontevahelise nurgaga või erineb sellest ±180° võrra.)

d. Kui sirged on paralleelsed, siis on paralleelsed ka nende suunavektorid Rakendades kahe vektori paralleelsuse tingimust, saame!

See on vajalik ja piisav tingimus, et kaks sirget oleksid paralleelsed.

Näide. Otsene

on paralleelsed, sest

e. Kui sirged on risti, siis on ka nende suunavektorid risti. Rakendades kahe vektori perpendikulaarsuse tingimust, saame kahe sirge perpendikulaarsuse tingimuse, nimelt

Näide. Otsene

risti, sest

Seoses paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimustega lahendame kaks järgmist ülesannet.

f. Joonistage läbi punkti antud sirgega paralleelne sirge

Otsus tehakse nii. Kuna soovitud sirge on paralleelne antud sirgega, siis saame selle suunavektoriks võtta sama, mis antud sirge oma, st vektori projektsioonidega A ja B. Ja siis kirjutatakse soovitud sirge võrrand. kujul (§ 1)

Näide. Sirgega paralleelset punkti (1; 3) läbiva sirgjoone võrrand

on järgmine!

g. Joonistage joon läbi punkti, mis on risti antud sirgega

Siin ei sobi enam võtta vektorit projektsioonidega A ja suunavaks vektoriks, vaid on vaja winnow vektorit, mis on sellega risti. Seetõttu tuleb selle vektori projektsioonid valida vastavalt tingimusele, et mõlemad vektorid on risti, st vastavalt tingimusele

Seda tingimust saab täita lõpmatul arvul viisidel, kuna siin on üks võrrand kahe tundmatuga. Aga kõige lihtsam on see võtta. Siis kirjutatakse soovitud sirge võrrand kujul

Näide. Perpendikulaarsel sirgel punkti (-7; 2) läbiva sirge võrrand

on järgmine (teise valemi järgi)!

h. Juhul, kui read on antud vormi võrranditega

Ma teen lühidalt. Kahe sirge vaheline nurk on võrdne nende suunavektorite vahelise nurgaga. Seega, kui teil õnnestub leida suunavektorite a \u003d (x 1; y 1; z 1) ja b \u003d (x 2; y 2; z 2) koordinaadid, saate nurga leida. Täpsemalt nurga koosinus vastavalt valemile:

Vaatame, kuidas see valem konkreetsetel näidetel töötab:

Ülesanne. Punktid E ja F on märgitud kuubis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - vastavalt servade A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskpunktid. Leidke nurk sirgete AE ja BF vahel.

Kuna kuubi serv ei ole määratud, siis määrame AB = 1. Tutvustame standardse koordinaatsüsteemi: alguspunkt on punktis A ja x, y, z teljed on suunatud vastavalt AB, AD ja AA 1 suunas. . Ühiklõik on võrdne AB = 1. Nüüd leiame oma sirgete suunavektorite koordinaadid.

Leia vektori AE koordinaadid. Selleks vajame punkte A = (0; 0; 0) ja E = (0,5; 0; 1). Kuna punkt E on lõigu A 1 B 1 keskpunkt, on selle koordinaadid võrdsed otste koordinaatide aritmeetilise keskmisega. Pange tähele, et vektori AE alguspunkt ühtib alguspunktiga, seega AE = (0,5; 0; 1).

Nüüd käsitleme BF-vektorit. Samamoodi analüüsime punkte B = (1; 0; 0) ja F = (1; 0,5; 1), sest F - segmendi B 1 C 1 keskosa. Meil on:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Niisiis, suunavektorid on valmis. Joontevahelise nurga koosinus on suunavektorite vahelise nurga koosinus, seega on meil:

Ülesanne. Korrapärases kolmnurkses prismas ABCA 1 B 1 C 1, mille kõik servad on võrdsed 1-ga, on märgitud punktid D ja E - vastavalt servade A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskpunktid. Leidke nurk sirgete AD ja BE vahel.

Tutvustame standardset koordinaatsüsteemi: alguspunkt on punktis A, x-telg on suunatud piki AB, z - mööda AA 1 . Suuname y-telje nii, et OXY tasand langeb kokku ABC tasandiga. Ühiklõik on võrdne AB = 1. Leidke soovitud sirgete suunavektorite koordinaadid.

Kõigepealt leiame AD vektori koordinaadid. Vaatleme punkte: A = (0; 0; 0) ja D = (0,5; 0; 1), sest D - segmendi A 1 B 1 keskosa. Kuna vektori AD algus langeb kokku alguspunktiga, saame AD = (0,5; 0; 1).

Nüüd leiame vektori BE koordinaadid. Punkti B = (1; 0; 0) on lihtne arvutada. Punktiga E - segmendi keskosa C 1 B 1 - veidi keerulisem. Meil on:

Jääb üle leida nurga koosinus:

Ülesanne. Korrapärases kuusnurkses prismas ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, mille kõik servad on võrdsed 1-ga, on märgitud punktid K ja L - servade A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskpunktid, vastavalt. Leidke sirgete AK ja BL vaheline nurk.

Tutvustame prisma standardset koordinaatide süsteemi: asetame koordinaatide alguspunkti alumise aluse keskele, suuname x-telje mööda FC-d, y-telje läbi lõikude AB ja DE keskpunktide ning z-telje. vertikaalselt ülespoole. Ühiklõik on jällegi võrdne AB = 1. Kirjutame välja meile huvipakkuvate punktide koordinaadid:

Punktid K ja L on vastavalt lõikude A 1 B 1 ja B 1 C 1 keskpunktid, seega leitakse nende koordinaadid läbi aritmeetilise keskmise. Teades punkte, leiame suunavektorite AK ja BL koordinaadid:

Nüüd leiame nurga koosinuse:

Ülesanne. Tavalises nelinurkses püramiidis SABCD, mille kõik servad on võrdsed 1-ga, on tähistatud punktid E ja F – vastavalt külgede SB ja SC keskpunktid. Leidke nurk sirgete AE ja BF vahel.

Tutvustame standardset koordinaatsüsteemi: alguspunkt on punktis A, x- ja y-telg on suunatud vastavalt AB ja AD ning z-telg vertikaalselt ülespoole. Ühiku segment on võrdne AB = 1.

Punktid E ja F on vastavalt lõikude SB ja SC keskpunktid, seega leitakse nende koordinaadid otste aritmeetilise keskmisena. Kirjutame üles meile huvipakkuvate punktide koordinaadid:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Teades punkte, leiame suunavektorite AE ja BF koordinaadid:

Vektori AE koordinaadid langevad kokku punkti E koordinaatidega, kuna punkt A on alguspunkt. Jääb üle leida nurga koosinus: