Jaoskond naturaalarvud, eriti mitme väärtusega, on mugav läbi viia spetsiaalset meetodit, mida nimetatakse veeruga jagamine (veerus). Näete ka nime nurgajaotus. Vahetult märgime, et veergu saab teostada nii naturaalarvude jagamist ilma jäägita kui ka naturaalarvude jagamist jäägiga.

Sellest artiklist saame aru, kuidas veeruga jagamine toimub. Siin räägime kirjutamisreeglitest ja kõigist vahepealsetest arvutustest. Kõigepealt peatume mitme väärtusega naturaalarvu jagamisel veeruga ühekohalise arvuga. Seejärel keskendume juhtumitele, kus nii dividend kui ka jagaja on mitme väärtusega naturaalarvud. Kogu selle artikli teooria on varustatud iseloomulike näidetega naturaalarvude veeruga jagamisest koos lahenduse üksikasjalike selgituste ja illustratsioonidega.

Leheküljel navigeerimine.

Veeruga jagamisel salvestamise reeglid

Alustuseks uurime dividendi, jagaja, kõigi vahearvutuste ja naturaalarvude veeruga jagamise tulemuste kirjutamise reegleid. Ütleme kohe ära, et kõige mugavam on jaotada veergu kirjalikult paberil ruudulise joonega – nii on väiksem võimalus soovitud reast ja veerust kõrvale eksida.

Esmalt kirjutatakse dividend ja jagaja ühele reale vasakult paremale, misjärel kuvatakse kirjutatud numbrite vahele vormi sümbol. Näiteks kui dividend on arv 6 105 ja jagaja on 5 5, siis on nende õige märge veergu jagamisel järgmine:

Vaata allolevat diagrammi, mis illustreerib veeruga jagamisel dividendi, jagaja, jagatise, jäägi ja vahearvutuste kirjutamise kohti.

Ülaltoodud diagrammilt on näha, et soovitud jagatis (või jäägiga jagamisel mittetäielik jagatis) kirjutatakse jagaja alla horisontaaljoone alla. Ja vahepealsed arvutused tehakse dividendi all ja peate eelnevalt hoolitsema lehe ruumi olemasolu eest. Sel juhul tuleks juhinduda reeglist: mida suurem on märkide arvu erinevus dividendi ja jagaja kirjetes, seda rohkem ruumi on vaja. Näiteks naturaalarvu 614 808 jagamisel 51 234-ga veeruga (614 808 on kuuekohaline arv, 51 234 on viiekohaline arv, kirjete märkide arvu erinevus on 6−5=1), vahe arvutused nõuavad vähem ruumi kui arvude 8 058 ja 4 jagamisel (siin on tähemärkide erinevus 4−1=3 ). Oma sõnade kinnituseks esitame täidetud jagamise kirjed järgmiste naturaalarvude veeruga:

Nüüd saate minna otse naturaalarvude veeruga jagamise protsessi.

Naturaalarvu veeruga jagamine ühekohalise naturaalarvuga, jagamisalgoritm veeruga

On selge, et ühe ühekohalise naturaalarvu jagamine teisega on üsna lihtne ja pole põhjust neid arve veergu jagada. Siiski on kasulik harjutada esialgseid jagamisoskusi nende lihtsate näidete veeru järgi.

Näide.

Peame jagama veeru 8 2-ga.

Otsus.

Muidugi saame teha jagamise korrutustabelit kasutades ja kohe vastuse 8:2=4 kirja panna.

Kuid meid huvitab, kuidas neid numbreid veeruga jagada.

Esiteks kirjutame dividendi 8 ja jagaja 2, nagu nõuab meetod:

Nüüd hakkame välja mõtlema, mitu korda on jagaja dividendis. Selleks korrutame jagajat järjest arvudega 0, 1, 2, 3, ..., kuni tulemuseks on arv, mis on võrdne dividendiga (või dividendist suurem arv, kui on jagamine jäägiga ). Kui saame dividendiga võrdse arvu, siis kirjutame selle kohe dividendi alla ja privaatse asemele numbri, millega jagaja korrutasime. Kui saame jaguvast suurema arvu, siis jagaja alla kirjutame eelviimasel sammul arvutatud arvu ja mittetäieliku jagatise asemele arvu, millega jagaja eelviimasel sammul korrutati.

Lähme: 2 0=0 ; 2 1 = 2; 2 2=4; 2 3=6; 2 4 = 8 . Saime dividendiga võrdse arvu, seega kirjutame selle dividendi alla ja eraviisilise asemele numbri 4. Seejärel näeb rekord välja selline:

Järele jääb ühekohaliste naturaalarvude veeruga jagamise viimane etapp. Dividendi alla kirjutatud arvu alla tuleb tõmmata horisontaaljoon ja selle joone kohal olevad arvud lahutada samamoodi, nagu seda tehakse naturaalarvude lahutamisel veeruga. Pärast lahutamist saadud arv on jagamise ülejäänud osa. Kui see on võrdne nulliga, jagatakse algsed arvud ilma jäägita.

Meie näites saame

Nüüd on meil lõpetatud jagamise kirje numbriga 8 veeruga 2. Näeme, et jagatis 8:2 on 4 (ja jääk on 0).

Vastus:

8:2=4 .

Mõelge nüüd, kuidas jagatakse ühekohaliste naturaalarvude veeruga jagamine jäägiga.

Näide.

Jagage veeruga 7 3-ga.

Otsus.

Algstaadiumis näeb kanne välja järgmine:

Hakkame välja selgitama, mitu korda dividend sisaldab jagajat. Korrutame 3 arvuga 0, 1, 2, 3 jne. kuni saame arvu, mis on võrdne dividendiga 7 või sellest suurem. Saame 3 0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (vajadusel vaadake naturaalarvude artiklite võrdlust). Dividendi alla kirjutame arvu 6 (see saadi eelviimasel sammul) ja mittetäieliku jagatise asemele numbri 2 (sellega tehti korrutamine eelviimasel sammul).

Jääb teha lahutamine ning ühekohaliste naturaalarvude 7 ja 3 veeruga jagamine lõpetatakse.

Seega on osajagatis 2 ja jääk on 1.

Vastus:

7:3=2 (ülejäänud 1) .

Nüüd saame liikuda mitme väärtusega naturaalarvude jagamisele ühekohaliste naturaalarvudega veeruga.

Nüüd analüüsime veergude jagamise algoritm. Igas etapis esitame tulemused, mis on saadud mitme väärtusega naturaalarvu 140 288 jagamisel üheväärtusliku naturaalarvuga 4 . Seda näidet ei valitud juhuslikult, kuna selle lahendamisel puutume kokku kõigi võimalike nüanssidega, saame neid üksikasjalikult analüüsida.

Esiteks vaatame dividendikandes esimest numbrit vasakult. Kui selle arvuga määratletud arv on suurem kui jagaja, siis järgmises lõigus peame selle arvuga töötama. Kui see arv on väiksem kui jagaja, siis peame lisama dividendikirjesse vasakule järgmise numbri ja töötama edasi kahe kõnealuse numbriga määratud arvuga. Mugavuse huvides valime oma kirjes numbri, millega töötame.

Dividendi 140 288 esimene number vasakult on number 1. Arv 1 on väiksem kui jagaja 4, seega vaatame dividendikirjes ka järgmist numbrit vasakul. Samas näeme numbrit 14, millega tuleb edasi töötada. Valime selle numbri dividendi märkes.

Järgmisi punkte teisest neljandani korratakse tsükliliselt, kuni naturaalarvude jagamine veeruga on lõppenud.

Nüüd peame kindlaks määrama, mitu korda jagaja sisaldub arvus, millega töötame (mugavuse huvides tähistame seda arvu x-ga). Selleks korrutame jagajat järgemööda 0, 1, 2, 3, ...ga, kuni saame arvu x või arvu, mis on suurem kui x. Kui arv x on saadud, siis kirjutame selle valitud arvu alla vastavalt naturaalarvude veeruga lahutamisel kasutatavatele märkimisreeglitele. Arv, millega korrutamine läbi viidi, kirjutatakse jagatise asemele algoritmi esimesel läbimisel (algoritmi 2–4 punkti järgnevatel läbimistel kirjutatakse see arv juba seal olevatest arvudest paremale). Kui saadakse arv, mis on suurem kui arv x, siis valitud arvu alla kirjutame eelviimasel sammul saadud arvu ja jagatise asemele (või juba seal olevatest arvudest paremale) kirjutame arvu järgmiselt. mille korrutamine viidi läbi eelviimasel etapil. (Tegime sarnaseid toiminguid kahes ülalkirjeldatud näites).

Korrutame 4 jagaja arvudega 0, 1, 2, ..., kuni saame arvu, mis on võrdne 14 või suurem kui 14. Meil on 4 0 = 0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>neliteist . Kuna viimases etapis saime arvu 16, mis on suurem kui 14, siis valitud numbri alla kirjutame arvu 12, mis selgus eelviimasel sammul ja jagatise asemele kirjutame arvu 3, kuna eelviimases lõigus tehti korrutamine täpselt sellel.


Selles etapis lahutage valitud arvust veerus selle all olev arv. Horisontaalse joone all on lahutamise tulemus. Kui aga lahutamise tulemus on null, ei pea seda üles kirjutama (välja arvatud juhul, kui lahutamine selles punktis on kõige viimane toiming, mis lõpetab veeruga jagamise täielikult). Siin ei ole teie kontrollimiseks üleliigne võrrelda lahutamise tulemust jagajaga ja veenduda, et see on jagajast väiksem. Muidu on kuskil viga tehtud.

Peame veerus olevast arvust 14 lahutama arvu 12 (õige märgistuse jaoks ei tohi unustada lahutatud arvudest vasakule panna miinusmärki). Pärast selle toimingu lõpetamist ilmus horisontaalse joone alla number 2. Nüüd kontrollime oma arvutusi, võrreldes saadud arvu jagajaga. Kuna arv 2 on väiksem kui jagaja 4, võite julgelt liikuda järgmise üksuse juurde.


Nüüd kirjutame seal asuvatest numbritest paremal asuva horisontaalse joone alla (või kohast, kuhu me nulli ei kirjutanud) üles dividendikirjesse samas veerus asuva numbri. Kui selles veerus dividendikirjes numbreid pole, siis veeruga jagamine lõpeb siin. Pärast seda valime horisontaaljoone alla moodustatud arvu, võtame selle töönumbriks ja kordame sellega algoritmi 2 kuni 4 punkti.

Juba seal olevast numbrist 2 paremal oleva horisontaalse joone alla kirjutame numbri 0, kuna just number 0 on selles veerus dividendi 140 288 kirjes. Seega moodustub arv 20 horisontaaljoone alla.


Valime selle arvu 20, võtame selle töönumbriks ja kordame sellega algoritmi teise, kolmanda ja neljanda punkti toiminguid.

Korrutame 4 jagaja arvuga 0, 1, 2, ..., kuni saame arvu 20 või arvu, mis on suurem kui 20. Meil on 4 0 = 0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Viime läbi veeruga lahutamise. Kuna lahutame võrdsed naturaalarvud, siis võrdsete naturaalarvude lahutamise omaduse tõttu saame tulemuseks nulli. Me ei kirjuta nulli (kuna see pole veel veeruga jagamise viimane etapp), vaid jätame meelde koha, kuhu selle üles kirjutada (mugavuse huvides märgime selle koha musta ristkülikuga).


Meeldejäetud kohast paremal asuva horisontaalse joone alla kirjutame numbri 2, kuna just tema on selles veerus dividendi 140 288 kandes. Seega on meil horisontaaljoone all number 2 .


Võtame töönumbriks arvu 2, märgime selle ja veel kord peame sooritama sammud algoritmi 2-4 punktist.

Korrutame jagaja arvuga 0 , 1 , 2 ja nii edasi ning võrdleme saadud arve märgitud arvuga 2 . Meil on 4 0 = 0<2 , 4·1=4>2. Seetõttu kirjutame märgitud numbri alla arvu 0 (see saadi eelviimasel sammul) ja juba seal olevast numbrist paremal oleva jagatise asemele kirjutame arvu 0 (eelviimases korrutasime 0-ga samm).


Teeme veeruga lahutamise, horisontaaljoone alla saame numbri 2. Kontrollime ennast, võrreldes saadud arvu jagajaga 4 . Alates 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Arvest 2 paremal oleva horisontaalse joone alla lisame numbri 8 (kuna see on selles veerus dividendi 140 288 kirjes). Seega on horisontaaljoone all number 28.


Aktsepteerime selle numbri töötajana, märgime selle ja kordame lõikude 2.–4. samme.

Kui olete seni ettevaatlik olnud, ei tohiks siin probleeme tekkida. Pärast kõigi vajalike toimingute tegemist saadakse järgmine tulemus.

Viimaseks korraks jääb punktide 2, 3, 4 toimingud läbi viia (me pakume selle teile), pärast mida saate täieliku pildi naturaalarvude 140 288 ja 4 jagamisest veerus:

Pange tähele, et number 0 on kirjutatud rea lõppu. Kui see poleks veeruga jagamise viimane samm (st kui dividendikirje parempoolsetes veergudes oleksid numbrid), siis me seda nulli ei kirjutaks.

Seega, vaadates lõpetatud kirjet mitme väärtusega naturaalarvu 140 288 jagamiseks üheväärtusliku naturaalarvuga 4, näeme, et arv 35 072 on privaatne (ja jagamise ülejäänud osa on null, see asub alumine joon).

Loomulikult ei kirjelda te naturaalarvude veeruga jagamisel kõiki oma toiminguid nii üksikasjalikult. Teie lahendused näevad välja umbes nagu järgmised näited.

Näide.

Tehke pikk jagamine, kui dividend on 7136 ja jagaja on üksik naturaalarv 9.

Otsus.

Naturaalarvude veeruga jagamise algoritmi esimeses etapis saame vormi kirje

Pärast toimingute sooritamist algoritmi teisest, kolmandast ja neljandast punktist saab veeruga jagamise kirje kuju

Tsüklit korrates saame hakkama

Veel üks läbimine annab meile täieliku pildi naturaalarvude 7 136 ja 9 veeruga jagamisest

Seega on osajagatis 792 ja jagamise ülejäänud osa on 8.

Vastus:

7 136:9=792 (ülejäänud 8) .

Ja see näide näitab, kui pikk jagamine peaks välja nägema.

Näide.

Jagage naturaalarv 7 042 035 ühekohalise naturaalarvuga 7 .

Otsus.

Kõige mugavam on teha veeruga jagamine.

Vastus:

7 042 035:7=1 006 005 .

Jagamine mitme väärtusega naturaalarvude veeruga

Kiirustame teile meeldida: kui olete selle artikli eelmisest lõigust veeruga jagamise algoritmi hästi õppinud, siis teate juba peaaegu, kuidas seda teha jagamine mitme väärtusega naturaalarvude veeruga. See on tõsi, kuna algoritmi 2. kuni 4. sammud jäävad muutumatuks ja esimeses etapis ilmnevad ainult väikesed muudatused.

Mitme väärtusega naturaalarvude veergu jagamise esimeses etapis tuleb vaadata mitte dividendikande vasakpoolset esimest numbrit, vaid neid nii palju, kui palju on jagaja kirjes numbreid. Kui nende arvudega defineeritud arv on suurem kui jagaja, siis järgmises lõigus peame selle arvuga töötama. Kui see arv on jagajast väiksem, peame lisama tasumisele järgmise numbri dividendi kirjes vasakul. Pärast seda tehakse kuni lõpptulemuse saamiseni algoritmi lõigetes 2, 3 ja 4 näidatud toimingud.

Jääb vaid näha, kuidas näidete lahendamisel praktikas rakendatakse mitme väärtusega naturaalarvude veeruga jagamise algoritmi.

Näide.

Teeme jagamise mitme väärtusega naturaalarvude 5562 ja 206 veeruga.

Otsus.

Kuna jagaja 206 kirjes on 3 märki, siis vaatame dividendi 5 562 kirjes vasakpoolseid 3 esimest numbrit. Need numbrid vastavad numbrile 556. Kuna 556 on suurem kui jagaja 206, võtame tööarvuks arvu 556, valime selle ja jätkame algoritmi järgmise etapiga.

Nüüd korrutame jagajat 206 arvudega 0, 1, 2, 3, ..., kuni saame arvu, mis on kas võrdne 556 või suurem kui 556. Meil on (kui korrutamine on keeruline, siis on parem teha naturaalarvude korrutamine veerus): 206 0=0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556 . Kuna saime arvu, mis on suurem kui arv 556, siis valitud numbri alla kirjutame arvu 412 (see saadi eelviimasel sammul) ja jagatise asemele kirjutame arvu 2 (kuna see korrutati eelviimane samm). Veeru jaotuse kirje on järgmisel kujul:

Tehke veeru lahutamine. Saame vahe 144, see arv on väiksem kui jagaja, nii et võite ohutult jätkata vajalike toimingute tegemist.

Seal saadaolevast numbrist paremal asuva horisontaalse rea alla kirjutame numbri 2, kuna see on selles veerus dividendi 5 562 kirjes:

Nüüd töötame numbriga 1442, valime selle ja läbime uuesti sammud kaks kuni neli.

Korrutame jagajat 206 arvuga 0, 1, 2, 3, ..., kuni saame arvu 1442 või arvu, mis on suurem kui 1442. Lähme: 206 0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Lahutame veeru võrra, saame nulli, kuid me ei kirjuta seda kohe üles, vaid jätame ainult selle asukoha meelde, sest me ei tea, kas jagamine lõpeb siin või peame kordama algoritmi samme uuesti:

Nüüd näeme, et pähejäetud positsioonist paremal asuva horisontaaljoone alla ei saa me ühtegi numbrit üles kirjutada, kuna selles veerus dividendikirjes numbreid pole. Seetõttu on see veeruga jagamine lõppenud ja lõpetame kirje:

• Matemaatika. Kõik õpikud õppeasutuste 1., 2., 3., 4. klassile.
• Matemaatika. Suvalised õpikud 5 õppeasutuse klassile.

Mitmekohaliste arvude jagamist on kõige lihtsam teha veerus. Veergude jagamist nimetatakse ka nurgajaotus.

Enne kui alustame veeruga jagamist, vaatleme üksikasjalikult veeruga jagamise salvestamise vormi. Esiteks kirjutame dividendi üles ja paneme sellest paremale vertikaalse riba:

Vertikaalse joone taha, dividendi vastas, kirjutame jagaja ja joonistame selle alla horisontaalse joone:

Horisontaalse joone alla kirjutatakse arvutuste tulemusel saadud jagatis etappide kaupa:

Dividendi alla kirjutatakse vahearvutused:

Veeruga jagamise täielik vorm on järgmine:

Kuidas jagada veeruga

Oletame, et peame jagama 780 12-ga, kirjutama toimingu veergu ja alustama jagamist:

Jagamine kolonniga toimub etapiviisiliselt. Esimene asi, mida peame tegema, on määratleda mittetäielik dividend. Vaadake dividendi esimest numbrit:

see arv on 7, kuna see on jagajast väiksem, siis me ei saa sellest jagamist alustada, seega peame dividendist võtma veel ühe numbri, arv 78 on jagajast suurem, seega alustame sellest jagamist:

Meie puhul on number 78 mittetäielik jagatav, nimetatakse seda mittetäielikuks, kuna see on vaid osa jagatavast.

Olles määranud mittetäieliku dividendi, saame teada, mitu numbrit on privaatses, selleks peame arvutama, mitu numbrit jääb dividendi alles pärast mittetäielikku dividendi, meie puhul on ainult üks number - 0, mis tähendab, et jagatis koosneb kahest numbrist.

Olles välja selgitanud numbrite arvu, mis peaks privaatses numbris välja tulema, saate selle asemele panna punktid. Kui jagamise lõpus osutus numbrite arv näidatud punktidest suuremaks või väiksemaks, siis tehti kuskil viga:

Alustame jagamist. Peame kindlaks määrama, mitu korda 12 sisaldub arvus 78. Selleks korrutame jagaja järgemööda naturaalarvudega 1, 2, 3, ..., kuni saame arvu, mis on võimalikult lähedane mittetäielikule jagatavale või sellega võrdne, kuid mitte suurem. Seega saame arvu 6, kirjutame selle jagaja alla ja lahutame 78-st 72 (vastavalt veeru lahutamise reeglitele) (12 6 \u003d 72). Pärast 78-st 72 lahutamist saime jäägi 6:

Pange tähele, et ülejäänud osa näitab meile, kas oleme valinud õige numbri. Kui jääk on võrdne jagajaga või sellest suurem, siis me ei valinud õiget arvu ja peame võtma suurema arvu.

Saadud jäägile - 6 - lammutame dividendi järgmise numbri - 0. Selle tulemusena saime mittetäieliku dividendi - 60. Määrame, mitu korda 12 sisaldub arvus 60. Saame arvu 5, kirjutage see jagatisesse pärast arvu 6 ja lahutage 60-st 60 (12 5 = 60). Ülejäänud osa on null:

Kuna dividendis pole enam ühtegi numbrit järel, tähendab see, et 780 jagatakse täielikult 12-ga. Veeruga jagamise tulemusel leidsime jagatise - see on kirjutatud jagaja alla:

Vaatleme näidet, kus jagatis saadakse nullid. Oletame, et peame 9027 jagama 9-ga.

Määrame mittetäieliku dividendi - see on arv 9. Kirjutame selle jagatisesse 1 ja lahutame 9-st 9. Ülejäänud osa osutus nulliks. Tavaliselt, kui vahearvutustes on jääk null, siis seda ei kirjutata:

Lammutame dividendi järgmise numbri - 0. Tuletame meelde, et nulli jagades mis tahes arvuga, on null. Kirjutame privaatsele nullile (0: 9 = 0) ja vahearvutustes lahutame 0-st 0. Tavaliselt selleks, et mitte kuhjata vahearvutusi, nulliga arvutust üles ei kirjutata:

Lammutame dividendi järgmise numbri - 2. Vahearvutustes selgus, et mittetäielik dividend (2) on väiksem kui jagaja (9). Sel juhul kirjutatakse jagatisesse null ja dividendi järgmine number võetakse maha:

Määrame, mitu korda 9 sisaldub arvus 27. Saame arvu 3, kirjutame selle jagatisesse ja lahutame 27-st 27. Jääk on null:

Kuna dividendis pole enam ühtegi numbrit järel, tähendab see, et arv 9027 jagatakse täielikult 9-ga:

Vaatleme näidet, kus dividend lõpeb nullidega. Oletame, et peame 3000 jagama 6-ga.

Määrame mittetäieliku dividendi - see on arv 30. Kirjutame jagatisesse 5 ja lahutame 30-st 30. Jääk on null. Nagu juba mainitud, pole vahearvutustes ülejäänud osa nulli vaja kirjutada:

Lammutame dividendi järgmise numbri - 0. Kuna nulli jagades suvalise arvuga saadakse null, kirjutame selle privaatseks nulliks ja vahearvutustes lahutame 0-st:

Lammutame dividendi järgmise numbri - 0. Jagatisesse kirjutame veel ühe nulli ja vahearvutustes lahutame 0-st 0. Arvutuse päris lõpus kirjutatakse tavaliselt näitamaks, et jagamine on lõppenud:

Kuna dividendis pole enam ühtegi numbrit järel, tähendab see, et 3000 jagatakse täielikult 6-ga:

Jagamine veeruga jäägiga

Oletame, et peame jagama 1340 23-ga.

Määrame mittetäieliku dividendi - see on arv 134. Kirjutame jagatisesse 5 ja lahutame 134-st 115. Ülejäänud osa osutus 19-ks:

Lammutame dividendi järgmise numbri - 0. Määrake, mitu korda 23 sisaldub arvus 190. Saame arvu 8, kirjutame selle jagatisesse ja lahutame 190-st 184. Saame ülejäänud 6:

Kuna dividendis pole enam ühtegi numbrit järel, on jagamine lõppenud. Tulemuseks on mittetäielik jagatis 58 ja jääk 6:

1340: 23 = 58 (ülejäänud 6)

Jääb üle võtta näide jäägiga jagamisest, kui dividend on väiksem kui jagaja. Oletame, et peame jagama 3 10-ga. Näeme, et 10 ei sisaldu kunagi arvus 3, seega kirjutame selle jagatisesse 0 ja lahutame 3-st 0 (10 0 = 0). Joonistame horisontaalse joone ja kirjutame ülejäänud osa üles - 3:

3: 10 = 0 (ülejäänud 3)

Veeru jaotuse kalkulaator

See kalkulaator aitab teil veeruga jagada. Lihtsalt sisestage dividend ja jagaja ning klõpsake nuppu Arvuta.

Veeruks jagamine on noorema õpilase õppematerjali lahutamatu osa. Edasine matemaatika areng sõltub sellest, kui õigesti ta õpib seda toimingut sooritama.

Kuidas last korralikult ette valmistada uue materjali tajumiseks?

Veergude jagamine on keeruline protsess, mis nõuab lapselt teatud teadmisi. Jagamiseks peate teadma ja suutma kiiresti lahutada, liita, korrutada. Samuti on oluline teadmine numbrite numbritest.

Kõik need toimingud tuleks viia automatiseerimisse. Laps ei peaks pikalt mõtlema ja oskama ka lahutada, liita mitte ainult esimese kümne numbreid, vaid mõne sekundi jooksul saja piires.

Oluline on moodustada õige jagamise kui matemaatilise tehte mõiste. Isegi korrutamis- ja jagamistabeleid uurides peab laps selgelt aru saama, et dividend on arv, mis jagatakse võrdseteks osadeks, jagaja näitab, mitmeks osaks on vaja arv jagada, jagatis on vastus ise.

Kuidas selgitada matemaatilise tegevuse algoritmi samm-sammult?

Iga matemaatiline toiming eeldab teatud algoritmi ranget järgimist. Pika jaotuse näited tuleks teha järgmises järjekorras:

1. Näite kirjutamine nurka, kusjuures dividendi ja jagaja kohta tuleb rangelt jälgida. Et laps esimestel etappidel segadusse ei läheks, võime öelda, et vasakule kirjutame suurema numbri, paremale väiksema numbri.
2. Eraldage osa esimesele jaotusele. See tuleb jagada dividendiga ülejäänud osaga.
3. Korrutustabeli abil määrame, mitu korda jagaja mahub valitud osasse. Oluline on lapsele näidata, et vastus ei tohiks ületada 9.
4. Korrutage saadud arv jagajaga ja kirjutage see nurga vasakusse serva.
5. Järgmiseks tuleb leida vahe dividendi osa ja sellest tuleneva toote vahel.
6. Saadud arv kirjutatakse rea alla ja järgmine bitinumber võetakse maha. Selliseid toiminguid tehakse kuni perioodini, kuni jääk jääb 0-ks.

Hea eeskuju õpilastele ja lapsevanematele

Veergudeks jagamist saab selle näitega selgelt seletada.

1. Veergu kirjutatakse 2 numbrit: dividend on 536 ja jagaja 4.
2. Esimene osa jagamiseks peab olema jagatav 4-ga ja jagatis peab olema väiksem kui 9. Selleks sobib arv 5.
3. 4 mahub 5 sisse ainult 1 kord, seega kirjutame vastusesse 1 ja 4 alla 5.
4. Järgmisena tehakse lahutamine: 5-st lahutatakse 4 ja rea ​​alla kirjutatakse 1.
5. Järgmine biti number - 3 - lammutatakse üheks. Kolmeteistkümnes (13) - 4 mahub 3 korda. 4x3 \u003d 12. Kaksteist on kirjutatud 13. numbri alla ja 3 privaatselt järgmise bitinumbrina.
6. 13-st lahutatakse 12, vastuses saadakse 1. Järgmine bitinumber jälle lammutatakse - 6.
7. 16 jagatakse jälle 4-ga. Vastuseks kirjutage 4 ja jagamise veerus - 16, tõmmake joon ja 0 vahe.

Lahendades koos lapsega virnastamisprobleeme mitu korda, võite saavutada edu ülesannete kiires täitmises keskkoolis.

Juhend

Enne kahekohaliste arvude jagamise õpetamist tuleb lapsele selgitada, et arv on kümnendite ja ühikute summa. See päästab teda tulevikus üsna levinud veast, mida paljud lapsed teevad. Nad hakkavad dividendi ja jagaja esimest ja teist numbrit üksteiseks jagama.

Esiteks töötage numbritest ühekohaliste numbriteni. Seda tehnikat saab kõige paremini praktiseerida korrutustabeli teadmiste põhjal. Mida rohkem sellist praktikat, seda parem. Sellise jagamise oskused tuleks viia automaatsuseni, siis on lapsel lihtsam liikuda keerulisema teema juurde kahekohalisest jagajast, mis on sarnaselt dividendiga kümnete ja ühtede summa.

Kõige tavalisem viis kahekohaliste arvude jagamiseks on valikumeetod, mis hõlmab järjestikust jagamist arvudega 2 kuni 9, nii et lõpptoode võrdub dividendiga. Näide: jagage 87 29-ga. Põhjendage järgmist:

29 korda 2 võrdub 54 - ei piisa;
29 x 3 = 87 on õige.

Pöörake õpilase tähelepanu dividendi ja jagaja teistele numbritele (ühikutele), milles on mugav korrutustabelit kasutades liikuda. Näiteks ülaltoodud näites on jagaja teine ​​number 9. Mõelge, kui palju on vaja arvu 9 korrutada, et korrutise ühikute arv oleks 7? Sellisel juhul on vastus ainult üks - 3. See lihtsustab oluliselt kahekohalise jagamise ülesannet. Testige oma oletust, korrutades täisarvu 29.

Kui ülesanne sooritatakse kirjalikult, siis on soovitav kasutada veergudeks jagamise meetodit. See lähenemine sarnaneb eelmisele, ainult et õpilasel pole vaja numbreid peas hoida ja peast arvutada. Kirjaliku töö jaoks on parem relvastada pliiatsi või mustandlehega.

Allikad:

• kahekohaliste arvude korrutamine kahekohaliste tabelitega

Arvude jagamise teema on 5. klassi matemaatikaprogrammis üks olulisemaid. Ilma nende teadmisteta on matemaatika edasine õppimine võimatu. Jaga numbrid tulevad ellu iga päev. Ja ärge alati lootke kalkulaatorile. Kahe numbri eraldamiseks peate meeles pidama teatud toimingute jada.

Sa vajad

• Ruuduline paberileht
• pliiats või pliiats

Juhend

Kirjutage ühele reale dividend ja. Eraldage need kahe joone kõrguse vertikaalse ribaga. Tõmmake jagaja alla horisontaaljoon ja jagage eelmise joonega risti. Paremale, selle rea alla, kirjutatakse jagatis. Dividendi alla ja vasakule horisontaaljoone alla kirjutage null.

Liigutage dividendi üks vasakpoolseim, kuid veel üle kandmata number allapoole viimase horisontaaljoone alla. Märkige punktiga dividendi ülekantud number.

Võrrelge viimase horisontaalse riba all olevat numbrit jagajaga. Kui arv on jagajast väiksem, jätkake sammuga 4, muul juhul jätkake 5. sammuga.

Ühekohalisi naturaalarve on mõtteliselt lihtne jagada. Kuidas aga jagada mitmekohalisi arve? Kui arvus on juba rohkem kui kaks numbrit, võib peast loendamine võtta kaua aega ja mitmekohaliste arvudega tehte puhul suureneb vea tõenäosus.

Veeruga jagamine on mugav meetod, mida sageli kasutatakse mitme väärtusega naturaalarvude jagamiseks. See artikkel on pühendatud sellele meetodile. Allpool vaatleme, kuidas teha veeruga jagamist. Esiteks kaaluge algoritmi mitme väärtusega arvu jagamiseks ühe väärtusega arvuks ja seejärel mitme väärtusega arvu jagamiseks mitme väärtusega arvuks. Lisaks teooriale on artiklis toodud praktilisi näiteid veergudeks jagamisest.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Märkmeid on kõige mugavam hoida paberil puuris, kuna joone arvutamisel ei lase teil heitmetes segadusse sattuda. Esiteks kirjutatakse dividend ja jagaja vasakult paremale ühele reale ja eraldatakse seejärel spetsiaalse jagamismärgiga veerus, mis näeb välja järgmine:

Oletame, et peame jagama 6105 55-ga, kirjutage:

Dividendi alla kirjutame vahearvutused ja jagaja alla tulemus. Üldiselt näeb veergude jaotusskeem välja järgmine:

Tuleb meeles pidada, et arvutuste tegemiseks vajate lehel vaba ruumi. Veelgi enam, mida suurem on dividendi ja jagaja numbrite erinevus, seda rohkem on arvutusi.

Näiteks numbrite 614808 ja 51234 jagamisel kulub vähem ruumi kui arvu 8058 jagamisel 4-ga. Kuigi teisel juhul on arvud väiksemad, on nende numbrite arvu erinevus suurem ja arvutused on tülikamad. Illustreerime seda:

Praktilisi oskusi saab kõige paremini harjutada lihtsate näidete abil. Seetõttu jagame arvud 8 ja 2 veergu. Muidugi on seda toimingut lihtne teha meeles või korrutustabelit kasutades, kuid selguse huvides on kasulik teha üksikasjalik analüüs, kuigi me juba teame, et 8 ÷ 2 = 4.

Niisiis, kõigepealt kirjutame veergu dividendi ja jagaja vastavalt jagamismeetodile.

Järgmise sammuna tuleb välja selgitada, mitu jagajat dividend sisaldab. Kuidas seda teha? Korrutame jagaja järgemööda 0, 1, 2, 3-ga. . Teeme seda seni, kuni tulemuseks on arv, mis on jagatav või sellest suurem. Kui tulemuseks osutub kohe dividendiga võrdne arv, siis jagaja alla kirjutame arvu, millega jagaja korrutati.

Vastasel juhul jagatavast suurema arvu saamisel kirjutame jagaja alla eelviimasel sammul arvutatud arvu Mittetäieliku jagatise asemele kirjutame arvu, millega jagaja eelviimasel sammul korrutati.

Tuleme tagasi näite juurde.

2 0 = 0; 2 1 = 2; 2 2 = 4; 2 3 = 6; 2 4 = 8

Niisiis, saime kohe arvu, mis on võrdne jagatav. Kirjutame selle dividendi alla ja arvu 4, millega jagaja korrutasime, kirjutame selle jagatise asemele.

Nüüd jääb üle lahutada jagaja all olevad arvud (ka veeru meetodil). Meie puhul 8-8 = 0.

See näide on arvude jagamine ilma jäägita. Arv pärast lahutamist on jagamise ülejäänud osa. Kui see on võrdne nulliga, jagatakse arvud ilma jäägita.

Vaatleme nüüd näidet, kui arvud jagatakse jäägiga. Jagage naturaalarv 7 naturaalarvuga 3 .

Sel juhul kolmiku järjestikuse korrutamine 0, 1, 2, 3-ga. . tulemuseks saame:

3 0 = 0< 7 ; 3 · 1 = 3 < 7 ; 3 · 2 = 6 < 7 ; 3 · 3 = 9 > 7

Dividendi alla kirjutame eelviimases sammus saadud numbri. Jagaja järgi kirjutame arvu 2 - eelviimasel sammul saadud mittetäieliku jagatise. Korrutasime jagaja kahega, kui saime 6.

Operatsiooni lõpus lahutage 7-st 6 ja saate:

See näide on arvude jagamine jäägiga. Osajagatis on 2 ja jääk on 1.

Nüüd, pärast elementaarsete näidete kaalumist, liigume edasi mitme väärtusega naturaalarvude jagamise juurde ühe väärtusega arvudega.

Vaatleme jagamisalgoritmi veeru järgi, kasutades näidet mitmekohalise arvu 140288 jagamisest arvuga 4. Ütleme kohe, et meetodi olemust on praktiliste näidete abil palju lihtsam mõista ja see näide ei olnud juhuslikult valitud, kuna see illustreerib kõiki võimalikke naturaalarvude veeruga jagamise nüansse.

1. Kirjutame arvud koos jagamise sümboliga veeru kaupa. Nüüd vaatame dividendikirjes esimest numbrit vasakul. Võimalikud on kaks juhtumit: selle numbriga määratud arv on suurem kui jagaja ja vastupidi. Esimesel juhul töötame selle numbriga, teisel võtame täiendavalt dividendikande järgmise numbri ja töötame vastava kahekohalise numbriga. Vastavalt sellele lõigule valime näitekirjest numbri, millega algselt töötame. See arv on 14, kuna dividendi 1 esimene number on väiksem kui 4 jagaja.

2. Määrake, mitu korda lugejat saadud arv sisaldab. Tähistame seda arvu x = 14 . Korrutame jagaja 4 järjestikku naturaalarvude rea ℕ iga liikmega, sealhulgas nulliga: 0 , 1 , 2 , 3 ja nii edasi. Teeme seda seni, kuni saame tulemuseks x või arvu, mis on suurem kui x. Kui korrutamise tulemusena saadakse arv 14, kirjutame selle valitud arvu alla vastavalt veerus lahutamise kirjutamise reeglitele. Jagaja alla kirjutatakse tegur, millega jagaja korrutati. Kui korrutamise tulemus on x-st suurem arv, kirjutame valitud arvu alla eelviimasel sammul saadud arvu ja mittetäieliku jagatise asemele (jagaja alla) teguri, millega korrutamine läbi viidi. eelviimasel sammul.

Algoritmi järgi on meil:

4 0 = 0< 14 ; 4 · 1 = 4 < 14 ; 4 · 2 = 8 < 14 ; 4 · 3 = 12 < 14 ; 4 · 4 = 16 > 14 .

Valitud numbri alla kirjutame eelviimasel sammul saadud numbri 12. Jagatise asemele kirjutame teguri 3.

3. Lahutage veerg 14 12-st, kirjutage tulemus horisontaaljoone alla. Analoogiliselt esimese lõiguga võrdleme saadud arvu jagajaga.

4. Arv 2 on väiksem kui arv 4, seega kirjutame horisontaalse riba alla kahe järel numbri, mis asub dividendi järgmises numbris. Kui dividendis pole enam numbreid, siis jagamistehing lõpeb. Meie näites kirjutame pärast eelmises lõigus saadud numbrit 2 üles dividendi järgmise numbri - 0. Selle tulemusena märgime uue töönumbri - 20.

Tähtis!

Üksusi 2–4 korratakse tsükliliselt kuni naturaalarvude veeruga jagamise operatsiooni lõpuni.

2. Arvutame uuesti, mitu jagajat sisaldab arv 20. 4 korrutamine 0, 1, 2, 3-ga. . saame:

Kuna selle tulemusel saime arvu, mis on võrdne 20-ga, kirjutame selle märgitud numbri alla ja jagatise asemele kirjutame järgmises bitis üles 5 - kordaja, millega korrutamine läbi viidi.

3. Viime läbi lahutamise veerus. Kuna arvud on võrdsed, saame tulemuseks arvu nulli: 20 - 20 = 0.

4. Nulli me üles ei kirjuta, kuna see etapp ei ole veel jagamise lõpp. Meenutagem lihtsalt kohta, kuhu saime selle üles kirjutada ja kirjutame sinna kõrvale numbri dividendi järgmisest numbrist. Meie puhul on number 2.

Võtame selle arvu töönumbriks ja sooritame uuesti algoritmi sammud.

2. Korrutage jagaja 0, 1, 2, 3-ga. . ja võrrelge tulemust märgitud numbriga.

4 0 = 0< 2 ; 4 · 1 = 4 > 2

Vastavalt sellele kirjutame märgitud numbri alla arvu 0 ja jagaja järgmisesse bitti jagaja alla ka 0.

3. Teeme lahutamistehte ja kirjutame tulemuse rea alla.

4. Lisage rea alla paremale number 8, kuna see on jaguva arvu järgmine number.

Seega saame uue töönumbri - 28. Kordame algoritmi punkte uuesti.

Pärast kõike reeglite järgimist saame tulemuse:

Liigume dividendi viimase numbri – 8 allapoole. Viimast korda kordame algoritmi 2–4 samme ja saame:

Alumisele reale kirjutame arvu 0 . See number kirjutatakse alles jaotuse viimases etapis, kui toiming on lõpetatud.

Seega on arvu 140228 4-ga jagamise tulemuseks arv 35072. Antud näidet analüüsitakse väga põhjalikult ning praktiliste ülesannete lahendamisel ei ole vaja kõiki toiminguid nii põhjalikult kirjeldada.

Toome teisi näiteid arvude jagamisest veergu ja näiteid lahenduste kirjutamisest.

Näide 1. Naturaalarvude jagamine veerus

Jagage naturaalarv 7136 naturaalarvuga 9 .

Pärast algoritmi teist, kolmandat ja neljandat sammu on kirje järgmisel kujul:

Kordame tsüklit:

Viimane läbimine ja me õpetame tulemust:

Vastus: Arvude 7136 ja 9 mittetäielik osa on 792 ja jääk on 8.

Ideaalis praktilisi näiteid lahendades ära kasuta üldse sõnaliste kommentaaride vormis selgitusi.

Näide 2. Naturaalarvude jagamine veerus

Jagage arv 7042035 7-ga.

Vastus: 1006005

Mitmekohaliste arvude veergu jagamise algoritm on väga sarnane eelnevalt käsitletud algoritmiga mitmekohalise arvu jagamiseks ühega. Täpsemalt puudutavad muudatused ainult esimest lõiku, samas kui lõiked 2–4 jäävad muutmata.
Kui ühekohalise arvuga jagamisel vaatasime ainult dividendi esimest numbrit, siis nüüd vaatame nii palju numbreid, kui palju on jagajas Kui nende numbritega määratud arv on jagajast suurem, võtame seda töönumbrina. Vastasel juhul lisame dividendi järgmisest numbrist ühe numbri juurde. Seejärel järgime ülalkirjeldatud algoritmi samme.

Mõelge mitmekohalise jagamisalgoritmi rakendamisele näite abil.

Näide 3. Naturaalarvude jagamine veerus

Jagage 5562 206-ga.

Jagaja kandes on kaasatud kolm märki, seega valime dividendis kohe numbri 556.
556 > 206, seega võtame selle numbri töönumbriks ja läheme aglorütmi 2. sammu juurde.
Korrutage 206 0, 1, 2, 3-ga. . ja saame:

206 0 = 0< 556 ; 206 · 1 = 206 < 556 ; 206 · 2 = 412 < 556 ; 206 · 3 = 618 > 556

618 > 556 , seega jagaja alla kirjutame eelviimase toimingu tulemuse ja jagutava alla koefitsiendi 2

Tehke veeru lahutamine

Lahutamise tulemusena saame arvu 144. Tulemusest paremale rea alla kirjutame numbri dividendi vastavast numbrist ja saame uue töönumbri - 1442.

Kordame temaga punkte 2-4. Saame:

206 5 = 1030< 1442 ; 206 · 6 = 1236 < 1442 ; 206 · 7 = 1442

Märgitud töönumbri alla kirjutame 1442 ja jagatise järgmisse numbrisse kirjutame numbri 7 - kordaja.

Teeme veerus lahutamise ja saame aru, et jagamistehte on lõppenud: jagajas pole enam numbreid, millega neid lahutamise tulemusest paremale kirjutada.

Selle teema lõpus toome veel ühe näite mitmekohaliste arvude veergu jagamisest, juba ilma selgitusteta.

Näide 5. Naturaalarvude jagamine veerus

Jagage naturaalarv 238079 34-ga.

Vastus: 7002

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter