Püramiid. Kärbitud püramiid

Püramiid nimetatakse hulktahukaks, mille üks tahk on hulknurk ( alus ) ja kõik teised tahud on kolmnurgad, millel on ühine tipp ( külgmised näod ) (joonis 15). Püramiidi nimetatakse õige , kui selle alus on korrapärane hulknurk ja püramiidi tipp on projitseeritud aluse keskmesse (joonis 16). Nimetatakse kolmnurkpüramiidi, mille kõik servad on võrdsed tetraeeder .

Külgribi püramiidiks nimetatakse külgpinna külge, mis ei kuulu alusele Kõrgus püramiid on kaugus selle tipust aluse tasapinnani. Tavalise püramiidi kõik külgmised servad on üksteisega võrdsed, kõik külgpinnad on võrdsed võrdhaarsed kolmnurgad. Hariliku püramiidi tipust tõmmatud külgpinna kõrgust nimetatakse apoteem . diagonaalne lõik Püramiidi lõiku nimetatakse tasapinnaks, mis läbib kahte külgserva, mis ei kuulu samasse tahku.

Külgpind Püramiidi nimetatakse kõigi külgpindade pindalade summaks. Täispind on kõigi külgpindade ja aluse pindalade summa.

Teoreemid

1. Kui püramiidis on kõik külgservad aluse tasapinna suhtes võrdselt kallutatud, siis projitseeritakse püramiidi tipp aluse lähedale piiritletud ringi keskmesse.

2. Kui püramiidis on kõik külgmised servad võrdse pikkusega, siis projitseeritakse püramiidi tipp aluse lähedale piiritletud ringi keskmesse.

3. Kui püramiidis on kõik tahud aluse tasapinna suhtes võrdselt kallutatud, siis projitseeritakse püramiidi tipp põhjasse kirjutatud ringi keskmesse.

Suvalise püramiidi ruumala arvutamiseks on õige valem:

kus V- maht;

S peamine- baaspind;

H on püramiidi kõrgus.

Tavalise püramiidi puhul kehtivad järgmised valemid:

kus lk- aluse ümbermõõt;

h a- apoteem;

H- kõrgus;

S täis

S pool

S peamine- baaspind;

V on tavalise püramiidi ruumala.

kärbitud püramiid nimetatakse püramiidi aluse ja lõiketasandi vahele jäävat osa, mis on paralleelne püramiidi põhjaga (joon. 17). Õige kärbitud püramiid nimetatakse korrapärase püramiidi osaks, mis on suletud aluse ja püramiidi põhjaga paralleelse lõiketasandi vahele.

Vundamendid kärbitud püramiid – sarnased hulknurgad. Külgmised näod - trapetsikujuline. Kõrgus kärbitud püramiidi nimetatakse kauguseks selle aluste vahel. Diagonaal Kärbitud püramiid on segment, mis ühendab selle tippe, mis ei asu samal pinnal. diagonaalne lõik Tüvipüramiidi lõiku nimetatakse tasapinnaks, mis läbib kahte külgserva, mis ei kuulu samasse tahku.

Kärbitud püramiidi puhul kehtivad järgmised valemid:

(4)

kus S 1 , S 2 - ülemise ja alumise aluse alad;

S täis on kogupindala;

S pool on külgpindala;

H- kõrgus;

V on kärbitud püramiidi ruumala.

Tavalise kärbitud püramiidi puhul kehtib järgmine valem:

kus lk 1 , lk 2 - baasi perimeetrid;

h a- tavalise kärbitud püramiidi apoteem.

Näide 1 Tavalise kolmnurkse püramiidi puhul on kahetahuline nurk põhjas 60º. Leidke külgserva kaldenurga puutuja aluse tasapinnaga.

Otsus. Teeme joonise (joon. 18).

Püramiid on korrapärane, mis tähendab, et selle alus on võrdkülgne kolmnurk ja kõik külgpinnad on võrdsed võrdhaarsed kolmnurgad. Dihedraalne nurk põhjas on püramiidi külgpinna kaldenurk aluse tasapinna suhtes. Lineaarnurk on nurk a kahe risti vahel: st. Püramiidi tipp projitseeritakse kolmnurga keskpunkti (piiratud ringi keskpunkt ja kolmnurga sisse kirjutatud ringjoon ABC). Külgmise ribi kaldenurk (näiteks SB) on nurk serva enda ja selle põhitasandile projektsiooni vahel. Ribi jaoks SB see nurk on nurk SBD. Puutuja leidmiseks peate teadma jalgu NII ja OB. Laske segmendi pikkus BD on 3 a. punkt O joonelõik BD on jagatud osadeks: ja Alates leiame NII: Siit leiame:

Vastus:

Näide 2 Leidke tavalise kärbitud nelinurkse püramiidi ruumala, kui selle aluste diagonaalid on cm ja cm ning kõrgus on 4 cm.

Otsus. Kärbitud püramiidi ruumala leidmiseks kasutame valemit (4). Aluste pindalade leidmiseks tuleb leida alusruutude küljed, teades nende diagonaale. Aluste küljed on vastavalt 2 cm ja 8 cm See tähendab aluste pindalasid ja Asendades kõik andmed valemisse, arvutame välja kärbitud püramiidi ruumala:

Vastus: 112 cm3.

Näide 3 Leidke tavalise kolmnurkse tüvipüramiidi külgpinna pindala, mille aluste küljed on 10 cm ja 4 cm ning püramiidi kõrgus on 2 cm.

Otsus. Teeme joonise (joon. 19).

Selle püramiidi külgkülg on võrdhaarne trapets. Trapetsi pindala arvutamiseks peate teadma aluseid ja kõrgust. Alused on antud seisukorra järgi, teadmata jääb vaid kõrgus. Leia see kust AGA 1 E punktist risti AGA 1 alumise aluse tasapinnal, A 1 D- risti alates AGA 1 peale AC. AGA 1 E\u003d 2 cm, kuna see on püramiidi kõrgus. Leidmise eest DE teeme lisajoonise, millel kujutame pealtvaadet (joon. 20). Punkt O- ülemise ja alumise aluse tsentrite projektsioon. kuna (vt joon. 20) ja Teisest küljest Okei on sisse kirjutatud ringi raadius ja OM on sisse kirjutatud ringi raadius:

MK=DE.

Pythagorase teoreemi järgi alates

Külgpind:

Vastus:

Näide 4 Püramiidi põhjas asub võrdhaarne trapets, mille alused a ja b (a> b). Iga külgpind moodustab nurga, mis on võrdne püramiidi aluse tasapinnaga j. Leidke püramiidi kogupindala.

Otsus. Teeme joonise (joon. 21). Püramiidi kogupindala SABCD võrdub trapetsi pindala ja pindala summaga ABCD.

Kasutame väidet, et kui püramiidi kõik tahud on aluse tasapinna suhtes võrdselt kallutatud, siis projitseeritakse tipp alusesse kirjutatud ringi keskmesse. Punkt O- tipuprojektsioon S püramiidi põhjas. Kolmnurk SOD on kolmnurga ortogonaalprojektsioon CSD baastasandile. Lameda kujundi ortogonaalprojektsiooni ala teoreemi kohaselt saame:

Samamoodi tähendab see Seega taandus probleem trapetsi pindala leidmisele ABCD. Joonistage trapets ABCD eraldi (joonis 22). Punkt O on trapetsi sisse kirjutatud ringi keskpunkt.

Kuna trapetsi saab kirjutada ringi, siis Pythagorase teoreemi järgi või From, on meil

Ruumikujundite mahu arvutamise oskus on oluline mitmete geomeetria praktiliste ülesannete lahendamisel. Üks levinumaid kujundeid on püramiid. Selles artiklis käsitleme nii täis- kui ka kärbitud püramiide.

Püramiid kui kolmemõõtmeline kujund

Kõik teavad Egiptuse püramiididest, seega on neil hea ettekujutus sellest, millist kujundit arutatakse. Sellegipoolest on Egiptuse kiviehitised tohutu püramiidide klassi erijuht.

Vaadeldavaks geomeetriliseks objektiks on üldjuhul hulknurkne alus, mille iga tipp on seotud mingi ruumipunktiga, mis ei kuulu alustasandisse. See määratlus viib jooniseni, mis koosneb ühest n-nurgast ja n kolmnurgast.

Iga püramiid koosneb n+1 tahkest, 2*n servast ja n+1 tipust. Kuna vaadeldav joonis on täiuslik hulktahukas, järgivad märgitud elementide arvud Euleri võrrandit:

2*n = (n+1) + (n+1) – 2.

Alusel asuv hulknurk annab püramiidi nime, näiteks kolmnurkne, viisnurkne jne. Erinevate alustega püramiidide komplekt on näidatud alloleval fotol.

Punkti, kus on ühendatud joonise n kolmnurka, nimetatakse püramiidi tipuks. Kui risti langetatakse sellelt alusele ja see lõikub sellega geomeetrilises keskpunktis, nimetatakse sellist kujundit sirgeks. Kui see tingimus ei ole täidetud, on tegemist kaldus püramiidiga.

Sirget kujundit, mille aluse moodustab võrdkülgne (võrdnurkne) n-nurk, nimetatakse korrapäraseks.

Püramiidi mahu valem

Püramiidi ruumala arvutamiseks kasutame integraalarvutust. Selleks jagame joonise alusega paralleelsete risttasapindade järgi lõpmatu arvu õhukesteks kihtideks. Alloleval joonisel on kujutatud nelinurkne püramiid kõrgusega h ja küljepikkusega L, mille õhuke läbilõikekiht on tähistatud nelinurgaga.

Iga sellise kihi pindala saab arvutada järgmise valemiga:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Siin on A 0 aluse pindala, z on vertikaalkoordinaadi väärtus. Näha on, et kui z = 0, siis valem annab väärtuse A 0 .

Püramiidi ruumala valemi saamiseks peaksite arvutama integraali kogu joonise kõrguse ulatuses, see tähendab:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Asendades sõltuvuse A(z) ja arvutades antiderivaadi, saame avaldise:

V = -A 0 * (h-z) 3 / (3 * h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Oleme saanud püramiidi ruumala valemi. V väärtuse leidmiseks piisab, kui korrutada joonise kõrgus aluse pindalaga ja seejärel jagada tulemus kolmega.

Pange tähele, et saadud avaldis kehtib suvalist tüüpi püramiidi ruumala arvutamiseks. See tähendab, et see võib olla kaldu ja selle alus võib olla suvaline n-nurk.

ja selle maht

Saadud ülaltoodud lõigus üldine valem mahu jaoks saab täpsustada tavalise põhjaga püramiidi puhul. Sellise aluse pindala arvutatakse järgmise valemiga:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Siin L on n tipuga korrapärase hulknurga külje pikkus. Sümbol pi on arv pi.

Asendades avaldise A 0 üldvalemis, saame tavalise püramiidi ruumala:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Näiteks kolmnurkse püramiidi korral annab see valem järgmise avaldise:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √ 3 / 12 * L 2 * h.

Tavalise nelinurkse püramiidi puhul on mahuvalem järgmine:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Tavaliste püramiidide mahtude määramiseks on vaja teada nende aluse külge ja kujundi kõrgust.

Püramiid kärbitud

Oletame, et oleme võtnud suvalise püramiidi ja lõiganud ära osa selle külgpinnast, mis sisaldab tippu. Ülejäänud kujundit nimetatakse kärbitud püramiidiks. See koosneb juba kahest n-nurksest alusest ja n trapetsist, mis neid ühendavad. Kui lõiketasand oli joonise põhjaga paralleelne, siis moodustatakse paralleelsete sarnaste alustega kärbitud püramiid. See tähendab, et ühe neist külgede pikkused saab saada, korrutades teise külje pikkused mingi koefitsiendiga k.

Ülaloleval joonisel on näha kärbitud korrapärane Näha on, et selle ülemise aluse, nagu ka alumise, moodustab korrapärane kuusnurk.

Valem, mille saab tuletada ülaltoodud integraalarvutuse abil, on järgmine:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 * A 1)).

Kus A 0 ja A 1 on vastavalt alumise (suure) ja ülemise (väikese) aluse alad. Muutuja h tähistab kärbitud püramiidi kõrgust.

Cheopsi püramiidi maht

On uudishimulik lahendada Egiptuse suurima püramiidi mahu määramise probleem.

1984. aastal tegid Briti egüptoloogid Mark Lehner ja Jon Goodman kindlaks Cheopsi püramiidi täpsed mõõtmed. Selle algne kõrgus oli 146,50 meetrit (praegu umbes 137 meetrit). Konstruktsiooni nelja külje keskmine pikkus oli 230 363 meetrit. Püramiidi põhi on suure täpsusega ruudukujuline.

Määrame antud arvude abil selle kivihiiglase mahu. Kuna püramiid on tavaline nelinurkne, siis kehtib selle jaoks valem:

Ühendades numbrid, saame:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Cheopsi püramiidi maht on peaaegu 2,6 miljonit m 3. Võrdluseks märgime, et olümpiabasseini maht on 2,5 tuhat m 3. See tähendab, et kogu Cheopsi püramiidi täitmiseks on vaja rohkem kui 1000 sellist basseini!

- See on hulktahukas, mille moodustavad püramiidi alus ja sellega paralleelne sektsioon. Võib öelda, et kärbitud püramiid on püramiid, mille tipp on ära lõigatud. Sellel joonisel on palju ainulaadseid omadusi:

• Püramiidi külgpinnad on trapetsikujulised;
• Korrapärase kärbitud püramiidi külgmised ribid on ühepikkused ja aluse suhtes sama nurga all kaldu;
• Alused on sarnased hulknurgad;
• Tavalises kärbitud püramiidis on tahud identsed võrdhaarsed trapetsid, mille pindala on võrdne. Samuti on need ühe nurga all aluse suhtes kaldu.

Tüvipüramiidi külgpinna pindala valem on selle külgede pindalade summa:

Kuna kärbitud püramiidi küljed on trapetsikujulised, peate parameetrite arvutamiseks kasutama valemit trapetsikujuline ala. Tavalise kärbitud püramiidi puhul võib pindala arvutamiseks kasutada teist valemit. Kuna selle kõik küljed, tahud ja nurgad põhjas on võrdsed, on võimalik rakendada aluse ja apoteemi perimeetrit ning tuletada pindala ka aluse nurga kaudu.

Kui vastavalt tingimustele tavalises tüvipüramiidis on antud aluse apoteem (külje kõrgus) ja aluse külgede pikkused, siis saab pindala arvutada ümbermõõtude summa poolkorrutise kaudu. alused ja apoteem:

Vaatame kärbitud püramiidi külgpinna arvutamise näidet.
Antud on korrapärane viisnurkne püramiid. Apoteem l\u003d 5 cm, näo pikkus suures aluses on a\u003d 6 cm ja nägu on väiksemal alusel b\u003d 4 cm. Arvutage kärbitud püramiidi pindala.

Esiteks leiame aluste perimeetrid. Kuna meile on antud viisnurkne püramiid, saame aru, et alused on viisnurgad. See tähendab, et alused on viie identse küljega kujund. Leidke suurema aluse ümbermõõt:

Samamoodi leiame väiksema aluse ümbermõõdu:

Nüüd saame arvutada tavalise kärbitud püramiidi pindala. Asendame andmed valemis:

Seega arvutasime tavalise kärbitud püramiidi pindala läbi perimeetrite ja apoteemi.

Teine võimalus tavalise püramiidi külgpinna arvutamiseks on valem läbi põhja nurkade ja just nende aluste ala.

Vaatame arvutuse näidet. Pidage meeles, et see valem kehtib ainult tavalise kärbitud püramiidi kohta.

Olgu antud korrapärane nelinurkne püramiid. Alumise aluse tahk on a = 6 cm ja ülemise b = 4 cm. Dihedraalnurk põhjas on β = 60°. Leidke tavalise kärbitud püramiidi külgpindala.

Esiteks arvutame välja aluste pindala. Kuna püramiid on korrapärane, on aluste kõik tahud üksteisega võrdsed. Arvestades, et alus on nelinurk, mõistame, et see on vajalik arvutamiseks ruudu pindala. See on laiuse ja pikkuse korrutis, kuid ruudus on need väärtused samad. Leidke suurema aluse pindala:


Nüüd kasutame leitud väärtusi külgpinna arvutamiseks.

Teades mõnda lihtsat valemit, arvutasime erinevate väärtuste abil hõlpsalt välja kärbitud püramiidi külgmise trapetsi pindala.

• 09.10.2014

  Joonisel kujutatud eelvõimendi on mõeldud kasutamiseks 4 tüüpi heliallikatega nagu mikrofon, CD-mängija, raadio magnetofon jne Samas on eelvõimendil üks sisend, millega saab muuta tundlikkust 50mV pealt 500mV peale. . võimendi väljundpinge on 1000mV. Ühendades lüliti SA1 vahetamisel erinevaid signaaliallikaid, saame alati ...

• 20.09.2014

  Toiteallikas on ette nähtud koormusele võimsusega 15 ... 20 vatti. Allikas on valmistatud ühetsüklilise impulss-kõrgsagedusmuunduri skeemi järgi. Transistorile on monteeritud ostsillaator, mis töötab sagedusel 20 ... 40 kHz. Sagedust reguleeritakse mahtuvusega C5. Elemendid VD5, VD6 ja C6 moodustavad vooluringi ostsillaatori käivitamiseks. Sekundaarahelas on pärast sillaalaldit tavaline lineaarne stabilisaator mikroskeemil, mis võimaldab teil ...

• 28.09.2014

  Joonisel on K174XA11 kiibil olev generaator, mille sagedust juhib pinge. Kui muudate mahtuvust C1 560-lt 4700pF-le, saate lai valik sagedusi, samal ajal kui sagedust reguleeritakse takistuse R4 muutmisega. Näiteks sai autor teada, et C1 \u003d 560pF juures saab generaatori sagedust R4 abil muuta 600Hz-lt 200kHz-le, ...

• 03.10.2014

  Seade on ette nähtud võimsa ULF-i toiteks, see on mõeldud väljundpingele ± 27 V ja seega koormab mõlemat kätt kuni 3A. Toiteallikas on bipolaarne, valmistatud komposiittransistoridel KT825-KT827. Stabilisaatori mõlemad õlad on valmistatud sama skeemi järgi, kuid teises õlas (seda pole näidatud) muudetakse kondensaatorite polaarsust ja kasutatakse teise transistore ...