Ierakstīts un norobežots daudzskaldnis lodītē. Daudzskaldnis, kas ierakstīts sfērā
Nodarbības veids: Nodarbība par jauna materiāla ieviešanu.
Nodarbības mērķi:
Ieviest daudzskaldnī ierakstītas sfēras jēdzienu; ap daudzskaldni norobežota sfēra.
Salīdziniet apļveida loku un norobežoto sfēru, ierakstīto apli un ierakstīto sfēru.
Analizēt ierakstītas sfēras un norobežotas sfēras pastāvēšanas nosacījumus.
Attīstīt problēmu risināšanas prasmes par tēmu.
Attīstīt studentu prasmes patstāvīgs darbs.
Attīstība loģiskā domāšana, algoritmiskā kultūra, telpiskā iztēle, matemātiskās domāšanas un intuīcijas attīstība, radošums izglītības turpināšanai un patstāvīgai darbībai matemātikas jomā nepieciešamajā līmenī un tās pielietojums turpmākajā profesionālajā darbībā.
Lejupielādēt:
Priekšskatījums:
Ierobežots aplis.
Definīcija: Ja visas daudzstūra virsotnes atrodas uz apļa, tad apli saucaprakstīts par daudzstūri, un daudzstūris irierakstīts aplī.
Teorēma. Ap jebkuru trīsstūri var aprakstīt apli, un tikai vienu.
Atšķirībā no trīsstūra, ne vienmēr ir iespējams aprakstīt apli ap četrstūri. Piemēram: rombs.
Teorēma. Jebkurā cikliskā četrstūrī pretējo leņķu summa ir 180 0 .
Ja četrstūra pretējo leņķu summa ir 180 0 , tad ap to var aprakstīt apli.
Lai četrstūris ABCD tiktu ierakstīts, ir nepieciešams un pietiek, ja ir izpildīts kāds no šiem nosacījumiem:
- ABCD ir izliekts četrstūris un ∟ABD=∟ACD;
- Četrstūra divu pretējo leņķu summa ir 180 0 .
Apļa centrs atrodas vienādā attālumā no katras tā virsotnes un tāpēc sakrīt ar perpendikulāro bisektoru krustpunktu daudzstūra malām, un rādiuss ir vienāds ar attālumu no centra līdz virsotnēm.
Trīsstūrim:Parastajam daudzstūrim:
Ierakstīts aplis.
Definīcija: Ja visas daudzstūra malas pieskaras aplim, tad apli saucierakstīts daudzstūrī,un daudzstūris ir aprakstīts ap šo apli.
Teorēma. Jūs varat ierakstīt apli jebkurā trīsstūrī un tikai vienā.
Ne katrs četrstūris var ietilpt aplī. Piemēram: taisnstūris, kas nav kvadrāts.
Teorēma. Jebkurā ierobežotā četrstūrī garumu summa pretējās puses ir vienādi.
Ja izliekta četrstūra pretējo malu garumu summas ir vienādas, tad tajā var ierakstīt apli.
Lai varētu aprakstīt izliektu četrstūri ABCD, ir nepieciešams un pietiek ar nosacījumu AB+DC=BC+AD (pretējo malu garumu summas ir vienādas).
Apļa centrs atrodas vienādā attālumā no daudzstūra malām, kas nozīmē, ka tas sakrīt ar daudzstūra leņķu bisektrišu krustpunktu (leņķa bisektrise). Rādiuss ir vienāds ar attālumu no apļa centra līdz daudzstūra malām.
Trīsstūrim:Par labo
Daudzstūris:
Priekšskatījums:
Ierakstīta sfēra.
Definīcija: Sfēru sauc ierakstīts daudzskaldnis, ja tas skar visas daudzskaldņa malas. Daudzskaldnis šajā gadījumā tiek saukts aprakstīts par sfēru.
Ierakstītās sfēras centrs ir visu divšķautņu leņķu bisektoru plakņu krustošanās punkts.
Tiek uzskatīts, ka sfēra ir ierakstīta divskaldņu leņķī, ja tā pieskaras tās virsmām. Divšķautņu leņķī ierakstītas sfēras centrs atrodas uz šī divskaldņa leņķa bisektora plaknes. Tiek uzskatīts, ka sfēra ir ierakstīta daudzskaldņu leņķī, ja tā skar visas daudzskaldņa leņķa skalas.
Ne katrs daudzskaldnis var uzņemt sfēru. Piemēram: lodi nevar ierakstīt taisnstūrveida paralēlskaldī, kas nav kubs.
Teorēma. Jūs varat ievietot sfēru jebkurā trīsstūrveida piramīdā un tikai vienā.
Pierādījums. Apsveriet trīsstūrveida piramīdu CABD. Uzzīmēsim tā divskaldņu leņķu bisektoru plaknes ar malām AC un BC. Tie krustojas pa taisni, kas krusto divskaldņa leņķa bisektora plakni ar malu AB. Tādējādi divšķautņu leņķu bisektoru plaknēm ar malām AB, AC un BC ir viens kopīgs punkts. Apzīmēsim to Q. Punkts Q atrodas vienādā attālumā no visām piramīdas skaldnēm. Līdz ar to piramīdā CABD ir ierakstīta atbilstoša rādiusa sfēra ar centru Q punktā.
Pierādīsim tās unikalitāti. Jebkuras CABD piramīdā ierakstītās sfēras centrs atrodas vienādā attālumā no tās virsmām, kas nozīmē, ka tā pieder pie divskaldņu leņķu bisektoru plaknēm. Tāpēc sfēras centrs sakrīt ar punktu Q. Kas bija jāpierāda.
Teorēma. Piramīdā, kurā pie pamatnes var ierakstīt apli, kura centrs kalpo par piramīdas augstuma pamatu, var ierakstīt sfēru.
Sekas. Jūs varat ievietot sfēru jebkurā regulārā piramīdā.
Pierādiet, ka regulārā piramīdā ierakstītas sfēras centrs atrodas šīs piramīdas augstumā (pierādiet pats).
Regulārā piramīdā ierakstītas sfēras centrs ir piramīdas augstuma krustpunkts ar leņķa bisektrisi, ko veido apotēma un tās projekcija uz pamatni.
Uzdevums. a, augstums ir h.
Atrisiniet problēmu.
Uzdevums. 0
Priekšskatījums:
Aprakstītā sfēra.
Definīcija. Sfēru sauc par norobežotu pie daudzskaldņa, ja______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________. Daudzskaldni sauc par _______________________________________________.
Kāda īpašība ir aprakstītās sfēras centram?
Definīcija. Punktu ģeometriskais lokuss telpā vienādā attālumā no noteikta segmenta galiem ir _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
Sniedziet piemēru daudzskaldnim, ap kuru nav iespējams aprakstīt sfēru: _________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________ .
Ap kuru piramīdu var aprakstīt sfēru?
Teorēma. ________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________.
Pierādījums. Apsveriet trīsstūrveida piramīdu ABCD. Konstruēsim plaknes, kas ir perpendikulāras attiecīgi malām AB, AC un AD un iet cauri to viduspunktiem. Apzīmēsim ar O šo plakņu krustošanās punktu. Šāds punkts pastāv, un tas ir vienīgais. Pierādīsim to. Ņemsim pirmās divas lidmašīnas. Tie krustojas, jo ir perpendikulāri neparalēlām līnijām. Apzīmēsim taisni, pa kuru krustojas pirmās divas plaknes l. Šī taisnā līnija perpendikulāri plaknei ABC. Plakne, kas ir perpendikulāra AD, nav paralēla l un nesatur to, jo pretējā gadījumā līnija AD ir perpendikulāra l , t.i. atrodas ABC plaknē. Punkts O atrodas vienādā attālumā no punktiem A un B, A un C, A un D, kas nozīmē, ka tas atrodas vienādā attālumā no visām ABCD piramīdas virsotnēm, t.i., lode ar atbilstošā rādiusa centru O ir ierobežota sfēra. piramīda.
Pierādīsim tās unikalitāti. Jebkuras sfēras centrs, kas iet cauri piramīdas virsotnēm, atrodas vienādā attālumā no šīm virsotnēm, kas nozīmē, ka tā pieder plaknēm, kas ir perpendikulāras piramīdas malām un iet cauri šo malu viduspunktiem. Līdz ar to šādas sfēras centrs sakrīt ar punktu O. Teorēma ir pierādīta.
Ap kuru citu piramīdu var aprakstīt sfēru?
Teorēma. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ap piramīdu norobežotās sfēras centrs sakrīt ar krustpunktu tai taisnei, kas ir perpendikulāra piramīdas pamatnei un iet cauri ap pamatni norobežotā apļa centram un plaknei, kas ir perpendikulāra jebkurai sānu malai, kas novilkta caur šīs līnijas vidu. mala.
Lai varētu aprakstīt sfēru ap daudzskaldni, ir nepieciešams ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
Šajā gadījumā norobežotās sfēras centrs var atrasties __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ un tiek projicēts noteiktā apļa centrā ap jebkuru seju; perpendikuls, kas nomests no ap daudzskaldni norobežotas sfēras centra uz daudzskaldņa malu, sadala šo malu uz pusēm.
Sekas. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ .
Parastās piramīdas aprakstītās sfēras centrs atrodas ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
Analizējiet problēmas risinājumu.
Uzdevums. Parastā četrstūra piramīdā pamatnes mala ir vienāda ar a, augstums ir h. Atrodiet ap piramīdu apzīmētās sfēras rādiusu.
Atrisiniet problēmu.
Uzdevums. 0
Priekšskatījums:
Atklātā nodarbība par tēmu “Ierakstīts un ierobežots daudzskaldnis”
Nodarbības tēma: Piramīdā ierakstīta lode. Aprakstīta sfēra pie piramīdas.
Nodarbības veids: Nodarbība par jauna materiāla ieviešanu.
Nodarbības mērķi:
- Attīstīt studentu patstāvīgā darba iemaņas.
- Attīstība loģiskā domāšana, algoritmiskā kultūra, telpiskā iztēle, matemātiskās domāšanas un intuīcijas attīstība, radošās spējas tādā līmenī, kāds nepieciešams tālākizglītībai un patstāvīgai darbībai matemātikas jomā un tās pielietošanai turpmākajā profesionālajā darbībā;
Aprīkojums:
- interaktīvā tāfele
- Prezentācija “Ierakstīta un aprakstīta sfēra”
- Problēmu nosacījumi zīmējumos uz tāfeles.
- Izdales materiāli (atbalsta piezīmes).
- Planimetrija. Ierakstīts un norobežots aplis.
- Stereometrija. Ierakstīta sfēra
- Stereometrija. Aprakstītā sfēra
Nodarbības struktūra:
- Nodarbības mērķu noteikšana (2 minūtes).
- Sagatavošanās jauna materiāla apguvei ar atkārtojumu (frontālā aptauja) (6 minūtes).
- Jaunā materiāla skaidrojums (15 minūtes)
- Izpratne par tēmu, patstāvīgi sastādot piezīmes par tēmu “Stereometrija. Aprakstītā joma” un tēmas pielietojums uzdevumu risināšanā (15 minūtes).
- Nodarbības rezumēšana, pārbaudot zināšanas un izpratni par pētāmo tēmu (frontālā aptauja). Studentu atbilžu izvērtēšana (5 minūtes).
- Iestudējums mājasdarbs(2 minūtes).
- Rezervēt darba vietas.
Nodarbību laikā
1. Nodarbības mērķu noteikšana.
- Ieviest daudzskaldnī ierakstītas sfēras jēdzienu; ap daudzskaldni norobežota sfēra.
- Salīdziniet apli un apzīmēto sfēru, ierakstīto apli un ierakstīto sfēru.
- Analizēt ierakstītas sfēras un norobežotas sfēras pastāvēšanas nosacījumus.
- Attīstīt problēmu risināšanas prasmes par tēmu.
2. Sagatavošanās jauna materiāla apguvei ar atkārtojumu (frontālā aptauja).
Aplis, kas ierakstīts daudzstūrī.
- Kādu apli sauc par ierakstītu daudzstūrī?
- Kā sauc daudzstūri, kurā ir ierakstīts aplis?
- Kurš punkts ir daudzstūrī ierakstīta apļa centrs?
- Kāda īpašība piemīt daudzstūrī ierakstīta riņķa centram?
- Kur ir daudzstūrī ierakstīta apļa centrs?
- Kuru daudzstūri var aprakstīt ap apli un kādos apstākļos?
Aplis, kas norobežots ap daudzstūri.
- Kuru apli sauc par daudzstūra ierobežoto apli?
- Kā sauc daudzstūri, ap kuru ir norobežots aplis?
- Kurš punkts ir ap daudzstūri norobežotā apļa centrs?
- Kāda īpašība piemīt ap daudzstūri norobežota riņķa centram?
- Kur var atrasties ap daudzstūri norobežota apļa centrs?
- Kuru daudzstūri var ierakstīt aplī un ar kādiem nosacījumiem?
3. Jaunā materiāla skaidrojums.
A . Pēc analoģijas studenti formulē jaunas definīcijas un atbild uz uzdotajiem jautājumiem.
Daudzskaldnī ierakstīta sfēra.
- Formulējiet daudzskaldnī ierakstītas sfēras definīciju.
- Kā sauc daudzskaldni, kurā var ierakstīt sfēru?
- Kāda īpašība ir daudzskaldnī ierakstītas sfēras centram?
- Kas attēlo punktu kopu telpā, kas atrodas vienādā attālumā no diedrāla leņķa skaldnēm? (trīsstūra leņķis?)
- Kurš punkts ir daudzskaldnī ierakstītas sfēras centrs?
- Kādā daudzskaldnī var ierakstīt sfēru, kādos apstākļos?
IN . Studenti pierāda teorēmu.
Sfēru var ierakstīt jebkurā trīsstūrveida piramīdā.
Strādājot stundā, skolēni izmanto atbalsta piezīmes.
AR. Studenti analizē problēmas risinājumu.
Parastā četrstūra piramīdā pamatnes mala ir vienāda ar a, augstums ir h. Atrodiet piramīdā ierakstītās sfēras rādiusu.
D. Studenti atrisina problēmu.
Uzdevums. Parastā trīsstūrveida piramīdā pamatnes mala ir 4, sānu virsmas ir slīpas pret pamatni 60 leņķī 0 . Atrodiet šajā piramīdā ierakstītās sfēras rādiusu.
4. Izpratne par tēmu, patstāvīgi veidojot piezīmes par “Ap daudzskaldni norobežota sfēra"un pielietojums problēmu risināšanā.
A. U Studenti patstāvīgi aizpilda piezīmes par tēmu “Ap daudzskaldni aprakstīta sfēra”. Atbildiet uz sekojošiem jautājumiem:
- Formulējiet ap daudzskaldni norobežotas sfēras definīciju.
- Kā sauc daudzskaldni, ap kuru var aprakstīt sfēru?
- Kāda īpašība ir ap daudzskaldni norobežotas sfēras centram?
- Kāda ir punktu kopa telpā, kas atrodas vienādā attālumā no diviem punktiem?
- Kurš punkts ir ap daudzskaldni norobežotās sfēras centrs?
- Kur var atrasties ap piramīdu aprakstītās sfēras centrs? (daudzskaldnis?)
- Ap kuru daudzskaldni var aprakstīt sfēru?
IN. Studenti patstāvīgi risina uzdevumu.
Uzdevums. Parastā trīsstūrveida piramīdā pamatnes mala ir 3, un sānu ribas ir slīpas pret pamatni 60 leņķī 0 . Atrodiet ap piramīdu apzīmētās sfēras rādiusu.
AR. Sastādītās kontūras pārbaude un problēmas risinājuma analīze.
5. Nodarbības rezumēšana, pārbaudot zināšanas un izpratni par pētāmo tēmu (frontālā aptauja). Studentu atbilžu izvērtēšana.
A. Studenti patstāvīgi apkopo stundu.
IN. Atbildiet uz papildu jautājumiem.
- Vai ir iespējams aprakstīt lodi ap četrstūrveida piramīdu, kuras pamatnē atrodas rombs, kas nav kvadrāts?
- Vai ir iespējams aprakstīt lodi ap taisnstūrveida paralēlskaldni? Ja jā, kur atrodas tās centrs?
- Kur stundās apgūtā teorija tiek pielietota dzīvē (arhitektūra, mobilā telefonija, ģeostacionārie satelīti, GPS noteikšanas sistēma).
6. Mājas darbu kārtošana.
A. Izdariet piezīmi par tēmu “Ap prizmu aprakstīta sfēra. Prizmā ierakstīta sfēra." (Apskatiet problēmas mācību grāmatā: Nr. 632 637 638)
B. Atrisiniet uzdevumu Nr.640 no mācību grāmatas.
S. No rokasgrāmatas B.G. Ziv “Didaktiskie materiāli par ģeometrijas 10. pakāpi” risina uzdevumus: Variants Nr.3 C12 (1), Variants Nr.4 C12 (1).
D. Papildus uzdevums: Variants Nr.5 C12 (1).
7. Rezervē uzdevumus.
No rokasgrāmatas B.G. Ziv “Didaktiskie materiāli par ģeometrijas 10. pakāpi” risina uzdevumus: Variants Nr.3 C12 (1), Variants Nr.4 C12 (1).
Mācību un metodiskais komplekts
- Ģeometrija, 10-11: Mācību grāmata priekš izglītības iestādēm. Pamata un profila līmeņi/ L.S. Atanasjans, V.F. Butuzovs, S.B. Kadomcevs et al., M.: Izglītība, 2010.
- B.G. Ziv “Didaktiskie materiāli par ģeometriju 10. klase”, M.: Izglītība.
Atkārtojums Apzīmēts aplis ap daudzstūri Kurš aplis ir aprakstīts kā norobežots ap daudzstūri? Kāds ir apļa centrs, kas apņem daudzstūri? Kāda īpašība piemīt ap daudzstūri norobežota riņķa centram? Kur ap daudzstūri ir norobežots apļa centrs? Kuru daudzstūri var ierakstīt aplī un ar kādiem nosacījumiem?
Atkārtojums Daudzstūrī ierakstīts aplis Kādu apli sauc par ierakstītu daudzstūrī? Kāds ir daudzstūrī ierakstīta apļa centrs? Kāda īpašība piemīt daudzstūrī ierakstīta riņķa centram? Kur ir daudzstūrī ierakstīta apļa centrs? Kuru daudzstūri var aprakstīt ap apli un kādos apstākļos?
Daudzskaldnī ierakstīta sfēra Formulējiet daudzskaldnī ierakstītas sfēras definīciju. Kā sauc daudzskaldni? Kāda īpašība ir ierakstītas sfēras centram? Kur kosmosa punktu kopa atrodas vienādā attālumā no diedrāla leņķa skaldnēm? (trīsstūra leņķis)? Kurā daudzskaldnī var ierakstīt sfēru?
Piramīdā ierakstīta sfēra
Ap daudzskaldni norobežota sfēra Formulējiet ap daudzskaldni norobežotas sfēras definīciju. Kā sauc daudzskaldni? Kāda īpašība ir aprakstītās sfēras centram? Kur atrodas kosmosa punktu kopa, kas atrodas vienādā attālumā no diviem punktiem? Kur atrodas ap piramīdu aprakstītās sfēras centrs? (daudzskaldnis?) Ap kuru daudzskaldni var aprakstīt sfēru?
Aprakstīta sfēra pie piramīdas
Apkopojot stundu. Vai ir iespējams aprakstīt lodi ap četrstūrveida piramīdu, kuras pamatnē atrodas rombs, kas nav kvadrāts? Vai ir iespējams aprakstīt lodi ap taisnstūrveida paralēlskaldni? Ja jā, kur atrodas tās centrs?
Mājasdarbs. Izdariet piezīmi par tēmu “Ap prizmu aprakstīta sfēra. Prizmā ierakstīta sfēra." (Aplūkojiet uzdevumus no mācību grāmatas: Nr. 632 637 638) Atrisiniet uzdevumu Nr. 640 no rokasgrāmatas: Variants Nr. 3 C12 (1), Variants Nr. 4 C12 (1).
Prezentācijas apraksts pa atsevišķiem slaidiem:
1 slaids
Slaida apraksts:
pašvaldības autonomā izglītības iestāde 45.vidusskola Rīku komplekts 11. klases skolēniem Sastādījusi matemātikas skolotāja augstākā kategorija Gavinska Jeļena Vjačeslavovna. Kaļiņingrada 2016.-2017 akadēmiskais gads
2 slaids
Slaida apraksts:
Daudzskaldnis, kas ierakstīts sfērā. Tēma ir līdzīga planimetrijas kursa tēmai, kur tika teikts, ka apļus var aprakstīt ap trijstūriem un regulāriem n-stūriem. Apļa analogs telpā ir sfēra, un daudzstūris ir daudzskaldnis. Šajā gadījumā trijstūra analogs ir trīsstūrveida prizma, bet regulāru daudzstūru analogs ir regulārs daudzstūris. Definīcija. Par daudzskaldni tiek teikts, ka tas ir ierakstīts sfērā, ja visas tā virsotnes pieder šai sfērai. Tiek uzskatīts, ka pati sfēra ir norobežota ap daudzskaldni.
3 slaids
Slaida apraksts:
"Sfēru var aprakstīt ap taisnu prizmu tad un tikai tad, ja ap šīs prizmas pamatni var aprakstīt apli." Pierādījums: Ja sfēra ir norobežota ap taisnu prizmu, tad visas prizmas pamatnes virsotnes pieder sfērai un līdz ar to aplim, kas ir sfēras un pamatnes plaknes krustošanās līnija. Un otrādi, aplis, kura centrs atrodas punktā O1 un rādiuss r, tiek aprakstīts taisnas prizmas pamatnes tuvumā. Tad ap prizmas otro pamatni var aprakstīt apli, kura centrs atrodas punktā O2 un ar tādu pašu rādiusu. Lai O1O2=d, O – O1O2 vidus. Tad sfēra ar centru O un rādiusu R= būs vēlamā norobežotā sfēra. 1. teorēma.
4 slaids
Slaida apraksts:
"Sfēru var aprakstīt ap jebkuru trīsstūrveida piramīdu un tikai vienu." Pierādījums. Pievērsīsimies pierādījumam, kas ir līdzīgs planimetrijas kursam. Pirmkārt, mums jāatrod punktu lokuss, kas atrodas vienādā attālumā no divām trijstūra virsotnēm. Piemēram, A un B. Šāda ģeometriskā vieta ir perpendikulāra bisektrise, kas novilkta nogriežam AB. Tad mēs atrodam punktu lokusu, kas atrodas vienādā attālumā no A un C. Šī ir perpendikulāra bisektrise nogriežam AC. Šo bisektorālo perpendikulu krustpunkts būs ap trijstūri ABC norobežotā riņķa vēlamais centrs O. 2. teorēma.
5 slaids
Slaida apraksts:
Tagad apskatīsim telpisko situāciju un izveidosim līdzīgas konstrukcijas. Dota trīsstūrveida piramīda DABC, un punkti A, B un C nosaka plakni α. Punktu ģeometriskais lokuss, kas atrodas vienādā attālumā no punktiem A, B un C, ir taisne a, kas ir perpendikulāra plaknei α un iet caur ap trijstūri ABC apzīmētā riņķa centru O1. Punktu ģeometriskais lokuss, kas atrodas vienādā attālumā no punktiem A un D, ir plakne β, kas ir perpendikulāra segmentam AD un iet caur tā virsotni - punktu E. Plakne β un taisne a krustojas punktā O, kas būs vēlamais nogriežņa centrs. ap trīsstūrveida piramīdu DABC norobežota sfēra. Patiešām, konstrukcijas dēļ punkts O atrodas vienlīdz tālu no visām DABC piramīdas virsotnēm. Turklāt šāds punkts būs unikāls, jo krustojošajai taisnei un plaknei ir viens kopīgs punkts.
6 slaids
Slaida apraksts:
Bumbiņa, kas norobežota ap regulāru piramīdu. Bumbu var aprakstīt ap jebkuru regulāru piramīdu. Bumbiņas centrs atrodas uz taisnas līnijas, kas iet cauri piramīdas augstumam un sakrīt ar apļa centru, kas apvilkts ap vienādsānu trīsstūri, kura mala ir piramīdas sānu mala, bet augstums ir piramīdas augstums. piramīda. Bumbiņas rādiuss ir vienāds ar šī apļa rādiusu. Lodes R rādiuss, piramīdas augstums H un apļa r rādiuss, kas aprakstīts pie piramīdas pamatnes, ir saistīts ar sakarību: R2=(H-R)2+r2 Šī sakarība ir spēkā arī gadījumā, kad H< R.
7 slaids
Slaida apraksts:
Problēma ir saistīta ar lodi, kas apzīmēta ap regulāru piramīdu. “Pie parastās piramīdas PABC ir aprakstīta sfēra, kuras centrs atrodas punktā O un rādiuss ir 9√3 m. Taisne PO, kas satur piramīdas augstumu, šķērso piramīdas pamatni punktā H tā, lai PH:OH = 2:1. Atrodiet piramīdas tilpumu, ja katra no tās sānu malām veido 45 grādu leņķi ar pamatnes plakni.
8 slaids
Slaida apraksts:
Dots: PABC – regulāra piramīda; bumba (O;R=9√3 m) aprakstīta pie piramīdas; RO∩(ABC)=N; PH:OH=2:1; ∟RAN=∟ RVN=∟ RSN=45o. Atrast: Vpir. Risinājums: Tā kā RN:OH=2:1 (pēc nosacījuma), tad RN:OR=2:3 RN:9√3 =2:3 RN=6√3 (m) 2. RN _ (ABC) (kā augstums no piramīdas) => => RN _ AN (pēc definīcijas) => RAS - taisnstūrveida. 3. RAS:
9. slaids
Slaida apraksts:
4. Tā kā pēc nosacījuma RABC ir regulāra piramīda un PH ir tās augstums, tad pēc definīcijas ABC ir pareiza; H ir ap ABC apvilkta apļa centrs, kas nozīmē 5. Atbilde: 486 m3.
10 slaids
Slaida apraksts:
Ap prizmu norobežota sfēra. Sfēru var aprakstīt ap prizmu, ja tā ir taisna un tās pamati ir daudzstūri, kas ierakstīti aplī. Bumbiņas centrs atrodas prizmas augstuma viduspunktā, kas savieno ap prizmas pamatnēm aprakstīto apļu centrus. Lodes R rādiuss, prizmas H augstums un ap prizmas pamatni aprakstītā riņķa rādiuss r ir saistīti ar attiecību:
11 slaids
Slaida apraksts:
Problēma ir saistīta ar sfēru, kas ir ierobežota ap prizmu. “Parastā prizma ABCDA1B1C1D1, kuras augstums ir 6 cm, ir ierakstīta lodē (tātad; R = 5 cm). Atrodiet prizmas šķērsgriezuma laukumu plaknē, kas ir paralēla pamatnes plaknēm un iet caur punktu O - lodes centru.
12 slaids
Slaida apraksts:
Dots: ABCDA1B1C1D1 – regulāra prizma; ap prizmu aprakstīta lode (O;R=5 cm); prizmas h augstums ir 6 cm; α║(ABC); O ar α. Atrast: Ssec α, Risinājums: Tā kā pēc nosacījuma prizma ir ierakstīta lodītē, tad (r ir riņķa rādiuss ap prizmas pamatni) Bet pēc nosacījuma tiek dota regulāra prizma, kas nozīmē
13. slaids
Slaida apraksts:
a) (АВВ1) ║(СС1D1) (pēc taisnas prizmas īpašības) α ∩ (АВВ1)=КМ α ∩ (СС1D1)=РН => KM ║ HP (pēc paralēlu plakņu īpašības) Ho (BCC1) ║ (ADD1) (pēc taisnas prizmas īpašības) => KM=NR (pēc paralēlu plakņu īpašības). Tas nozīmē, ka KMNR ir paralelograms (pēc atribūta) => MN=KR un MN ║ KR b) α ║ (ABC) (pēc konstrukcijas) α ∩ (ABB1)=KM (ABC) ∩ (ABB1)=AB => KM ║ AB (atbilstoši paralēlo plakņu īpašībai) 2. 3. Tā kā saskaņā ar nosacījumu ABCDA1B1C1D1 ir regulāra prizma un plaknes α griezums ir paralēls pamatiem, tad no griezuma veidotā figūra ir kvadrāts. Pierādīsim: => => =>
14. slaids
Slaida apraksts:
KMH= ABC=90o (kā leņķi ar attiecīgi izlīdzinātām malām) Tas nozīmē, ka rombs KMNR ir kvadrāts (pēc definīcijas), kas ir jāpierāda. Turklāt kvadrāti KMNR un ABCD ir vienādi. Līdz ar to pēc īpašības to laukumi ir vienādi, un līdz ar to sadaļa α.=SABCD=32 (cm2) Atbilde: 32 cm2. c) KM ║ AB (pierādīts) (BCC1) ║(ADD1) (pēc taisnas prizmas īpašības) => KM=AB=4√2 cm (pēc paralēlo plakņu īpašības). d) Līdzīgi ir pierādīts, ka MN ║ BC un MN = BC = 4√2 cm Tas nozīmē, ka MN = KM => paralelograms MNRK ir rombs (pēc definīcijas). e) MN ║ BC (pierādīts) KM ║ AB (pierādīts) => =>
15 slaids
Slaida apraksts:
Cilindrs, kas norobežots ap prizmu. Cilindru var aprakstīt ap taisnu prizmu, ja tā pamatne ir daudzstūris, kas ierakstīts aplī. Cilindra R rādiuss ir vienāds ar šī apļa rādiusu. Cilindra ass atrodas uz vienas taisnas līnijas ar prizmas augstumu H, savienojot aprakstīto apļu centrus netālu no prizmas pamatnēm. Četrstūra prizmas gadījumā (ja pamats ir taisnstūris) cilindra ass iet caur prizmas pamatu diagonāļu krustošanās punktu.
16 slaids
Slaida apraksts:
Problēma ir saistīta ar cilindru, kas apvilkts ap prizmu. Taisna prizma ABCDA1B1C1D1, kuras pamats ir taisnstūris, ir ierakstīta cilindrā, kura ģenerācija ir 7 cm un rādiuss ir 3 cm. Atrodiet prizmas sānu virsmas laukumu, ja ir leņķis starp diagonālēm ABCD ir 60 grādi. ОО1 – cilindra ass.
17. slaids
Slaida apraksts:
Dots: ABCDA1B1C1D1 – taisna prizma; cilindrs ir aprakstīts prizmas tuvumā; cilindra AA1=7 cm ģenerators; cilindra pamatnes rādiuss ir 3 cm; leņķis starp diagonālēm ABCD ir 60°; ОО1 – cilindra ass. Atrast: Sside prizma. Risinājums: Tā kā pēc nosacījuma lodē ir ierakstīta četrstūra prizma, kuras pamatnē ir taisnstūris, tad pēc īpašības AC∩ВD=O. Tas nozīmē, ka AOB=60o un AO=OB=3cm. 2. AOB, izmantojot kosinusa teorēmu.
“Bumbiņas tilpums” - paraboliskā segmenta tilpums. Atrodiet lodītes tilpumu, kas ierakstīta regulārā tetraedrā ar malu 1. Lodīte ir ierakstīta konusā, kura pamatnes rādiuss ir 1 un ģenerātors ir 2. Bumbiņas sadaļai, kas atrodas 8 cm attālumā no lodītes centra, rādiuss ir 6 cm. No lodītes ar rādiusu R nogriezta sfēriska segmenta tilpumu izsaka ar formulu .
“Apļa apļa sfēriska bumba” - ritenis. Puiši, jūs visi tagad kļūstat par datoru centra dalībniekiem. Pēc analoģijas ar apli paskaidrojiet, kas ir: a) rādiuss; b) akords; c) sfēras diametrs. Atrodiet sfēras virsmas laukumu ar rādiusu 3 m. Diametrs. Bumbiņas centrs (sfēra). Bumba un sfēra. Bumba. Atcerieties, kā tiek definēts aplis. Mēģiniet definēt sfēru, izmantojot attāluma starp punktiem jēdzienus.
“Regulārs daudzskaldnis” — ikosaedra plaknes leņķu summa katrā virsotnē ir 300?. Regulāri daudzskaldņi ir “rentablākie” skaitļi. Kuba plaknes leņķu summa katrā virsotnē ir 270?. Regulārs oktaedrs. Zemes ikozaedra-dodekaedra struktūra. Kubs ir visstabilākā no figūrām. Regulārs dodekaedrs. Regulāri izliekti daudzskaldņi.
"Bumba" - Pētniecības aktivitātesārpus skolas laika. Uzdevums Nr.1. Konuss. Teorētisko principu atkārtošana. Regulārā četrstūra piramīdā ir ierakstīta bumbiņa. Bumbiņas virsmu sauc par sfēru. Piramīda. Savā darbā mēs: Pētnieciskā prakse, darba process pie tēmas. Darbs klubos un izvēles programmās.
“Ierakstīts un ierobežots aplis” - ARHIMEDS (287-212 BC) - sengrieķu matemātiķis un mehāniķis. Ierobežoti un ierakstīti apļi. Mēs varam atbildēt problemātiski jautājumi. Aplis. Palielinoties regulāra daudzstūra malu skaitam, palielinās daudzstūra leņķis. Senie matemātiķi nepārzināja matemātiskās analīzes jēdzienus.
"Sfēra un bumba" - sadaļa, kas iet caur bumbas centru - lielais aplis. (diametriskā sadaļa). Debess debess astronomiskie novērojumi vienmēr radīja sfēras tēlu. Sfēra vienmēr ir bijusi plaši izmantota dažādās zinātnes un tehnikas jomās. Pieskares plakne sfērai. Vispārīgi jēdzieni. Uz bumbiņas virsmas ir trīs punkti.
Atklātā nodarbība par tēmu “Ierakstīts un ierobežots daudzskaldnis”
Nodarbības tēma: Piramīdā ierakstīta lode. Aprakstīta sfēra pie piramīdas.
Nodarbības veids: Nodarbība par jauna materiāla ieviešanu. Nodarbības mērķi:- Ieviest daudzskaldnī ierakstītas sfēras jēdzienu; ap daudzskaldni norobežota sfēra. Salīdziniet apli un apzīmēto sfēru, ierakstīto apli un ierakstīto sfēru. Analizēt ierakstītas sfēras un norobežotas sfēras pastāvēšanas nosacījumus. Attīstīt problēmu risināšanas prasmes par tēmu. Attīstīt studentu patstāvīgā darba iemaņas.
Loģiskās domāšanas, algoritmiskās kultūras, telpiskās iztēles, matemātiskās domāšanas un intuīcijas attīstība, radošo spēju attīstība tālākizglītībai un patstāvīgai darbībai matemātikas jomā nepieciešamajā līmenī un tās pielietošanai turpmākajā profesionālajā darbībā;
- interaktīvā tāfele
Prezentācija “Ierakstīta un aprakstīta sfēra”
Problēmu nosacījumi zīmējumos uz tāfeles. Izdales materiāli (atbalsta piezīmes).
- Planimetrija. Ierakstīts un norobežots aplis. Stereometrija. Ierakstītā sfēra Stereometrija. Aprakstītā sfēra
- Nodarbības mērķu noteikšana (2 minūtes). Sagatavošanās jauna materiāla apguvei ar atkārtojumu (frontālā aptauja) (6 minūtes). Jaunā materiāla skaidrojums (15 minūtes) Tēmas izpratne, patstāvīgi sastādot piezīmes par tēmu “Stereometrija. Aprakstītā joma” un tēmas pielietojums uzdevumu risināšanā (15 minūtes). Nodarbības rezumēšana, pārbaudot zināšanas un izpratni par pētāmo tēmu (frontālā aptauja). Studentu atbilžu izvērtēšana (5 minūtes). Mājas darbu iestatīšana (2 minūtes). Rezervēt darba vietas.
- Ieviest daudzskaldnī ierakstītas sfēras jēdzienu; ap daudzskaldni norobežota sfēra. Salīdziniet apli un apzīmēto sfēru, ierakstīto apli un ierakstīto sfēru. Analizēt ierakstītas sfēras un norobežotas sfēras pastāvēšanas nosacījumus. Attīstīt problēmu risināšanas prasmes par tēmu.
- Kādu apli sauc par ierakstītu daudzstūrī? Kā sauc daudzstūri, kurā ir ierakstīts aplis? Kurš punkts ir daudzstūrī ierakstīta apļa centrs? Kāda īpašība piemīt daudzstūrī ierakstīta riņķa centram? Kur ir daudzstūrī ierakstīta apļa centrs? Kuru daudzstūri var aprakstīt ap apli un kādos apstākļos?
- Kuru apli sauc par daudzstūra ierobežoto apli? Kā sauc daudzstūri, ap kuru ir norobežots aplis? Kurš punkts ir ap daudzstūri norobežotā apļa centrs? Kāda īpašība piemīt ap daudzstūri norobežota riņķa centram? Kur var atrasties ap daudzstūri norobežota apļa centrs? Kuru daudzstūri var ierakstīt aplī un ar kādiem nosacījumiem?
- Formulējiet daudzskaldnī ierakstītas sfēras definīciju. Kā sauc daudzskaldni, kurā var ierakstīt sfēru? Kāda īpašība ir daudzskaldnī ierakstītas sfēras centram? Kas attēlo punktu kopu telpā, kas atrodas vienādā attālumā no diedrāla leņķa skaldnēm? (trīsstūra leņķis?) Kurš punkts ir daudzskaldnī ierakstītas sfēras centrs? Kādā daudzskaldnī var ierakstīt sfēru, kādos apstākļos?
Parastā četrstūra piramīdā pamatnes mala ir vienāda ar A, augstums ir h. Atrodiet piramīdā ierakstītās sfēras rādiusu.
D. Studenti atrisina problēmu.
Uzdevums. Parastā trīsstūrveida piramīdā pamatnes mala ir 4, sānu virsmas ir slīpas pret pamatni 60 0 leņķī. Atrodiet šajā piramīdā ierakstītās sfēras rādiusu.
4. Izpratne par tēmu, patstāvīgi veidojot piezīmes par “Ap daudzskaldni norobežota sfēra"un pielietojums problēmu risināšanā.
A. U Studenti patstāvīgi aizpilda piezīmes par tēmu “Ap daudzskaldni aprakstīta sfēra”. Atbildiet uz sekojošiem jautājumiem:
Formulējiet ap daudzskaldni norobežotas sfēras definīciju.
Kā sauc daudzskaldni, ap kuru var aprakstīt sfēru?
Kāda īpašība ir ap daudzskaldni norobežotas sfēras centram?
Kāda ir punktu kopa telpā, kas atrodas vienādā attālumā no diviem punktiem?
Kurš punkts ir ap daudzskaldni norobežotās sfēras centrs?
Kur var atrasties ap piramīdu aprakstītās sfēras centrs? (daudzskaldnis?)
Ap kuru daudzskaldni var aprakstīt sfēru?
IN. Studenti patstāvīgi risina uzdevumu.
Uzdevums. Parastā trīsstūrveida piramīdā pamatnes mala ir vienāda ar 3, un sānu ribas ir slīpas pret pamatni 60 0 leņķī. Atrodiet ap piramīdu apzīmētās sfēras rādiusu.
AR. Sastādītās kontūras pārbaude un problēmas risinājuma analīze.
5. Nodarbības rezumēšana, pārbaudot zināšanas un izpratni par pētāmo tēmu (frontālā aptauja). Studentu atbilžu izvērtēšana.
A. Studenti patstāvīgi apkopo stundu.
IN. Atbildiet uz papildu jautājumiem.
Vai ir iespējams aprakstīt lodi ap četrstūrveida piramīdu, kuras pamatnē atrodas rombs, kas nav kvadrāts?
Vai ir iespējams aprakstīt lodi ap taisnstūrveida paralēlskaldni? Ja jā, kur atrodas tās centrs?
Kur stundās apgūtā teorija tiek pielietota dzīvē (arhitektūra, mobilā telefonija, ģeostacionārie satelīti, GPS noteikšanas sistēma).
6. Mājas darbu kārtošana.
A. Izdariet piezīmi par tēmu “Ap prizmu aprakstīta sfēra. Prizmā ierakstīta sfēra." (Apskatiet problēmas mācību grāmatā: Nr. 632 637 638)
B. Atrisiniet uzdevumu Nr.640 no mācību grāmatas.
S. No rokasgrāmatas B.G. Ziv “Didaktiskie materiāli par ģeometrijas 10. pakāpi” risina uzdevumus: Variants Nr.3 C12 (1), Variants Nr.4 C12 (1).
D. Papildus uzdevums: Variants Nr.5 C12 (1).
7. Rezervē uzdevumus.
No rokasgrāmatas B.G. Ziv “Didaktiskie materiāli par ģeometrijas 10. pakāpi” risina uzdevumus: Variants Nr.3 C12 (1), Variants Nr.4 C12 (1).
Mācību un metodiskais komplekts
Ģeometrija, 10-11: Mācību grāmata izglītības iestādēm. Pamata un profila līmeņi/ L.S. Atanasjans, V.F. Butuzovs, S.B. Kadomcevs et al., M.: Izglītība, 2010.
B.G. Ziv “Didaktiskie materiāli par ģeometriju 10. klase”, M.: Izglītība.
Matemātikas skolotājs
GBOU licejs-internāts "DPC"
Ņižņijnovgoroda
Par daudzskaldni tiek teikts, ka tas ir ierakstīts sfērā, ja visas tā virsotnes pieder šai sfērai. Tiek uzskatīts, ka pati sfēra ir norobežota ap daudzskaldni.
Teorēma. Sfēru ap piramīdu var aprakstīt tad un tikai tad, ja ap šīs piramīdas pamatni var aprakstīt apli.
Daudzskaldnis, kas ierakstīts sfērā
Teorēma. Lodi var aprakstīt prizmas tuvumā tad un tikai tad, ja apli var aprakstīt netālu no šīs prizmas pamatnes. Tās centrs būs punkts O, kas ir segmenta viduspunkts, kas savieno ap prizmas pamatiem aprakstīto apļu centrus. Sfēras rādiuss R aprēķina pēc formulas
Kur h- prizmas augstums, r– aprakstītā apļa rādiuss ap prizmas pamatni.
Slaidu režīmā atbildes un risinājumi parādās pēc peles noklikšķināšanas
1. vingrinājums
Vai ir iespējams aprakstīt lodi ap taisnstūrveida paralēlskaldni?
Atbilde: Jā. Tā centrs ir diagonāļu krustpunkts, un rādiuss ir vienāds ar pusi no paralēlskaldņa diagonāles
2. vingrinājums
Vai ir iespējams aprakstīt sfēru ap slīpu paralēlskaldni, kuras visas sejas ir rombi?
Atbilde: Nē.
3. vingrinājums
Vai ir iespējams aprakstīt sfēru ap slīpu prizmu?
Atbilde: Nē.
4. vingrinājums
Vai ap prizmu norobežotas sfēras centrs var atrasties ārpus prizmas?
Atbilde: Jā, ja prizmas pamatne ir strups trīsstūris.
5. vingrinājums
Vai piramīdas tuvumā aprakstītas sfēras centrs var atrasties ārpus šīs piramīdas?
Atbilde: Jā.
Ap kubu norobežota sfēra
Slaidu režīmā atbildes un risinājumi parādās pēc peles noklikšķināšanas
1. vingrinājums
Atrodiet sfēras rādiusu, kas apzīmēta ap vienības kubu.
2. vingrinājums
Atrodiet vienības sfērā ierakstīta kuba malu.
3. vingrinājums
Atrodiet rādiusu sfērai, kas apvilkta ap taisnstūrveida paralēlskaldni, kuras malas, kas stiepjas no vienas virsotnes, ir vienādas ar 1, 2, 3.
4. vingrinājums
Abas stabules šķautnes, kas stiepjas no vienas virsotnes, ir 1 un 2. Apzīmētās sfēras rādiuss ir 1,5. Atrodiet trešo malu, kas iziet no tās pašas paralēlskaldņa virsotnes.
Ap tetraedru norobežota sfēra
Slaidu režīmā atbildes un risinājumi parādās pēc peles noklikšķināšanas
1. vingrinājums
Atrodiet sfēras rādiusu, kas apzīmēta ap tetraedra vienību.
Risinājums. Tetraedrā SABC mums ir:
BE=SE=
Taisnā trīsstūrī O.B.E. mums ir:
R, mēs atradām
2. vingrinājums
Atrast regulāra tetraedra malu, kas ierakstīta vienības sfērā.
3. vingrinājums
Piramīdas pamats ir regulārs trīsstūris, kura mala ir vienāda ar 3. Viena no sānu malām ir vienāda ar 2 un ir perpendikulāra pamatnes plaknei. Atrodiet norobežotās sfēras rādiusu.
Risinājums. Ļaujiet O- aprakstītās sfēras centrs, J– ap pamatni aprakstītā apļa centrs, E– vidus S.C.. Četrstūris CEOQ- taisnstūris, kurā CE= 1, CQ= Tāpēc R=OC= 2.
Atbilde: R = 2.
4. vingrinājums
Attēlā redzama piramīda SABC, kam mala S.C. vienāds ar 2 un perpendikulārs pamatnes plaknei ABC, stūris ACB vienāds ar 90 o, AC = BC = 1 . Konstruējiet sfēras centru, kas apvilkta ap šo piramīdu, un atrodiet tās rādiusu.
Risinājums. Caur vidu D ribas AB novelkam paralēli taisnu līniju S.C.. Caur vidu E ribas S.C. novelkam paralēli taisnu līniju CD. Viņu krustošanās punkts O būs vēlamais aprakstītās sfēras centrs. Taisnā trīsstūrī OCD mums ir:
OD=CD= Pēc teorēmas
Pitagors, mēs atrodam
5. vingrinājums
Atrodiet rādiusu sfērai, kas apvilkta ap regulāru trīsstūrveida piramīdu, kuras sānu malas ir vienādas ar 1 un plaknes leņķi virsotnē ir vienādi ar 90°.
Risinājums. Tetraedrā SABC mums ir:
AB=AE= SE =
Taisnā trīsstūrī OAE mums ir:
Atrisinot šo vienādojumu par R, mēs atradām
Ap trīsstūrveida prizmu norobežota sfēra
Slaidu režīmā atbildes un risinājumi parādās pēc peles noklikšķināšanas
1. vingrinājums
Atrodiet rādiusu sfērai, kas ir noteikta ap regulāru prizmu, kuras visas malas ir vienādas ar 1.
Risinājums. Mums ir:
A.A. 1 = 1, AD=OD=
Tāpēc R=AO=
2. vingrinājums
Ap regulāru trīsstūrveida prizmu, kuras pamatnes mala ir 1, ir norobežota sfēra ar rādiusu 2. Atrodiet prizmas augstumu.
Risinājums. Mums ir: A.O. = 2, OD=
Tāpēc h = AA 1 = 2 AO=
3. vingrinājums
Ap regulāru trīsstūrveida prizmu, kuras augstums ir 1, ir norobežota sfēra ar rādiusu 1. Atrodiet prizmas pamatnes malu.
Risinājums. Mums ir: A.O. = 1 , OD=
Tāpēc AD=
nozīmē, AB =
4. vingrinājums
Atrodiet rādiusu sfērai, kas ir ierobežota ap taisnstūra trīsstūra prizmu, kuras pamatnē taisnleņķa trīsstūris ar kājiņām vienāds ar 1 un prizmas augstums vienāds ar 2.
Risinājums. Sfēras rādiuss ir vienāds ar pusi no diagonāles A 1 C taisnstūris ACC 1 A 1 .
Mums ir: A.A. 1 = 2, AC =
Tāpēc R=
Sfēra, kas norobežota ap regulāru sešstūra prizmu
Slaidu režīmā atbildes un risinājumi parādās pēc peles noklikšķināšanas
Vingrinājums
Atrodiet rādiusu sfērai, kas apvilkta ap regulāru sešstūra prizmu, kuras visas malas ir vienādas ar 1.
Risinājums. Mums ir AG = 1, OG=
Tāpēc R=AO=
Sfēra, kas norobežota ap regulāru četrstūra piramīdu
Slaidu režīmā atbildes un risinājumi parādās pēc peles noklikšķināšanas
Vingrinājums
Atrodiet rādiusu sfērai, kas apvilkta ap regulāru četrstūrveida piramīdu, kuras visas malas ir vienādas ar 1.
Sfēra, kas norobežota ap regulāru sešstūra piramīdu
Slaidu režīmā atbildes un risinājumi parādās pēc peles noklikšķināšanas
Vingrinājums
Atrodiet rādiusu sfērai, kas apvilkta ap regulāru 6 stūru piramīdu, kuras pamatnes malas ir vienādas ar 1 un sānu malas ir vienādas ar 2.
Risinājums. Trīsstūris S.A.D.– vienādmalu ar malu 2. Rādiuss R ierobežotā sfēra ir vienāda ar trijstūra ierobežotā apļa rādiusu S.A.D.. Tāpēc
Ap oktaedru norobežota sfēra
Slaidu režīmā atbildes un risinājumi parādās pēc peles noklikšķināšanas
Vingrinājums
Atrodiet sfēras rādiusu, kas apzīmēts ap oktaedra vienību.
Risinājums. Rādiuss R ierobežota sfēra ir vienāda ar pusi no kvadrāta diagonāles ABCD ar 1. pusi. Tāpēc
Ap ikosaedru norobežota sfēra
Slaidu režīmā atbildes un risinājumi parādās pēc peles noklikšķināšanas
Vingrinājums
Atrodiet sfēras rādiusu, kas apzīmēta ap vienības ikosaedru.
Risinājums. Taisnstūrī ABCD AB = CD = 1, B.C. Un AD – regulāru piecstūru diagonāles ar malām 1. Tāpēc,
BC=AD=
Saskaņā ar Pitagora teorēmu AC =
Nepieciešamais rādiuss ir vienāds ar pusi no šīs diagonāles, t.i.
Vingrinājums
Atrodiet sfēras rādiusu ap vienību dodekaedru.
Risinājums. ABCDE- regulārs piecstūris ar sāniem
Taisnstūrī ACGF AF=CG= 1, A.C. Un FG – piecstūra diagonāles ABCDE un tāpēc AC=FG=
Saskaņā ar Pitagora teorēmu
FC= Nepieciešamais rādiuss
vienāds ar pusi no šīs diagonāles, t.i.
Vingrinājums
Attēlā parādīts nošķelts tetraedrs, kas iegūts, nogriežot regulāra tetraedra trīsstūrveida piramīdas stūrus, kuru skaldnes ir regulāri sešstūri un trīsstūri. Atrodiet rādiusu sfērai, kas ir ierobežota ap nošķeltu tetraedru, kura malas ir vienādas ar 1.
Vingrinājums
Attēlā redzams nošķelts kubs, kas iegūts, no kuba stūriem nogriežot trīsstūrveida piramīdas, kuru skaldnes ir regulāri astoņstūri un trīsstūri. Atrodiet rādiusu sfērai, kas ir ierobežota ap nošķeltu kubu, kura malas ir vienādas ar 1.
Vingrinājums
Attēlā redzams nošķelts oktaedrs, kas iegūts, no oktaedra stūriem nogriežot trīsstūrveida piramīdas, kuru skaldnes ir regulāri sešstūri un trīsstūri. Atrodiet rādiusu sfērai, kas ir ierobežota ap nošķeltu oktaedru, kura malas ir vienādas ar 1.
Vingrinājums
Attēlā parādīts nošķelts ikosaedrs, kas iegūts, nogriežot piecstūra piramīdu ikosaedra stūrus, kuru skaldnes ir regulāri sešstūri un piecstūri. Atrodiet rādiusu sfērai, kas ir ierobežota ap nošķeltu ikosaedru, kura malas ir vienādas ar 1.
Vingrinājums
Attēlā parādīts nošķelts dodekaedrs, kas iegūts, no dodekaedra stūriem nogriežot trīsstūrveida piramīdas, kuru skaldnes ir regulāri desmitstūri un trīsstūri. Atrodiet rādiusu sfērai, kas ir ierobežota ap nošķeltu dodekaedru, kura malas ir vienādas ar 1.
Vingrinājums
Atrodiet sfēras rādiusu, kas apzīmēts ap kuboktaedra vienību
Risinājums. Atgādinām, ka kuboktaedru iegūst no kuba, nogriežot regulāras trīsstūrveida piramīdas ar virsotnēm kuba virsotnēs un sānu malām, kas vienādas ar pusi no kuba malas. Ja oktaedra mala ir vienāda ar 1, tad atbilstošā kuba mala ir vienāda ar Apzīmētās sfēras rādiuss ir vienāds ar attālumu no kuba centra līdz tā malas vidum, t.i. vienāds ar 1.
Atbilde: R = 1.
