Įbrėžtas ir apribotas daugiabriaunis rutuliukas. Į sferą įrašyta daugiakampė

Pamokos tipas:Įvadas į naują medžiagą.

Pamokos tikslai:

Supažindinti su rutulio, įrašyto į daugiakampį, samprata; sfera, apibrėžta apie daugiakampį.

Palyginkite apibrėžtąjį apskritimą ir apibrėžtą sferą, įbrėžtą apskritimą ir įbrėžtą sferą.

Išanalizuoti įbrėžtosios sferos ir apribotos sferos egzistavimo sąlygas.

Ugdykite problemų sprendimo įgūdžius.

Studentų savarankiško darbo įgūdžių ugdymas.

Ugdyti loginį mąstymą, algoritminę kultūrą, erdvinę vaizduotę, ugdyti matematinį mąstymą ir intuiciją, kūrybinius gebėjimus tokiu lygiu, kuris reikalingas tęstiniam mokymuisi ir savarankiškam darbui matematikos srityje ir jos pritaikymui būsimoje profesinėje veikloje.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

apibrėžtas ratas.

Apibrėžimas: Jei visos daugiakampio viršūnės yra ant apskritimo, tada apskritimas vadinamasapribotas apie daugiakampį, ir daugiakampisįrašytas į apskritimą.

Teorema. Netoli bet kurio trikampio galima apibūdinti apskritimą, be to, tik vieną.

Skirtingai nuo trikampio, ne visada įmanoma apibrėžti apskritimą aplink keturkampį. Pavyzdžiui: rombas.

Teorema. Bet kuriame įrašytame keturkampyje priešingų kampų suma yra 180 0 .

Jei keturkampio priešingų kampų suma lygi 180 0 , tada aplink jį galima apibūdinti apskritimą.

Kad keturkampis ABCD būtų įrašytas, būtina ir pakanka, kad būtų įvykdyta bet kuri iš šių sąlygų:

ABCD yra išgaubtas keturkampis ir ∟ABD=∟ACD;
Dviejų priešingų keturkampio kampų suma yra 180 0 .

Apskritimo centras yra vienodu atstumu nuo kiekvienos jo viršūnės ir todėl sutampa su daugiakampio kraštinių vidurio statmenų susikirtimo tašku, o spindulys lygus atstumui nuo centro iki viršūnių.

Dėl trikampio:Įprastam daugiakampiui:

Įrašytas apskritimas.

Apibrėžimas: Jei visos daugiakampio kraštinės liečia apskritimą, tada apskritimas vadinamasįrašytas į daugiakampįir daugiakampis aprašyta aplink šį ratą.

Teorema. Bet kuriame trikampyje galite įrašyti apskritimą, be to, tik vieną.

Ne kiekvienas keturkampis gali būti įrašytas į apskritimą. Pavyzdžiui: stačiakampis, kuris nėra kvadratas.

Teorema. Bet kuriame apibrėžtame keturkampyje priešingų kraštinių ilgių sumos yra lygios.

Jei išgaubto keturkampio priešingų kraštinių ilgių sumos yra lygios, tai į jį galima įrašyti apskritimą.

Kad išgaubtas keturkampis ABCD būtų apibrėžiamas, būtina ir pakanka, kad būtų įvykdyta sąlyga AB+DC=BC+AD (priešingų kraštinių ilgių sumos yra lygios).

Apskritimo centras yra vienodu atstumu nuo daugiakampio kraštinių, o tai reiškia, kad jis sutampa su daugiakampio kampų bisektorių susikirtimo tašku (kampo bisektoriaus savybė). Spindulys lygus atstumui nuo apskritimo centro iki daugiakampio kraštinių.

Dėl trikampio:Už dešinę

Poligonas:

Peržiūra:

įrašyta sfera.

Apibrėžimas: Sfera vadinamaįrašytas į daugiakampį, jei jis liečia visus daugiakampio paviršius. Daugiakampis šiuo atveju vadinamas aprašyta aplink sferą.

Įbrėžtosios sferos centras yra visų dvikampių kampų pusiausvyros plokštumų susikirtimo taškas.

Sakoma, kad sfera yra įbrėžta dvikampiu kampu, jei ji liečiasi su jos paviršiais. Rutulio, įbrėžto į dvisienį kampą, centras yra šio dvikampio kampo pusiausvyros plokštumoje. Manoma, kad rutulys yra įrašytas į daugiakampį kampą, jei jis liečia visus daugiakampio kampo paviršius.

Ne kiekvienas daugiakampis gali būti įrašytas į sferą. Pavyzdžiui: rutulio negalima įrašyti į stačiakampį gretasienį, kuris nėra kubas.

Teorema. Į bet kurią trikampę piramidę galima įrašyti rutulį, be to, tik vieną.

Įrodymas. Apsvarstykite trikampę piramidę CABD. Nubraižykime jos dvikampių kampų su kraštinėmis AC ir BC bisektorines plokštumas. Jie susikerta tiesia linija, kuri kerta dvikampio kampo pusiausvyros plokštumą su briauna AB. Taigi dvikampių kampų su briaunomis AB, AC ir BC bisektorinės plokštumos turi vieną bendrą tašką. Pažymime jį kaip Q. Taškas Q yra vienodu atstumu nuo visų piramidės paviršių. Todėl į piramidę CABD įrašyta atitinkamo spindulio sfera, kurios centras yra taške Q.

Įrodykime jos unikalumą. Bet kurios sferos, įrašytos į piramidę CABD, centras yra vienodu atstumu nuo jos paviršių, o tai reiškia, kad jis priklauso dvikampių kampų pusiausvyrinėms plokštumoms. Todėl sferos centras sutampa su tašku Q. Ką reikėjo įrodyti.

Teorema. Piramidėje, kurios pagrindas gali būti įbrėžtas apskritimu, kurio centras yra piramidės aukščio pagrindas, gali būti įbrėžtas rutulys.

Pasekmė. Sfera gali būti įrašyta į bet kurią taisyklingą piramidę.

Įrodykite, kad į taisyklingą piramidę įrašytos sferos centras yra šios piramidės aukštyje (įrodykite patys).

Į taisyklingą piramidę įbrėžtos sferos centras yra piramidės aukščio susikirtimo taškas su kampo, kurį sudaro apotemos ir jo projekcijos į pagrindą, pusiausvyra.

Užduotis. a , aukštis yra h.

Išspręsti problemą.

Užduotis. 0

Peržiūra:

Aprašyta sritis.

Apibrėžimas. Sfera vadinama ribota šalia daugiakampio, jei __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________. Daugiakampis vadinamas ______________________________________.

Kokią savybę turi apibrėžtos sferos centras?

Apibrėžimas. Taškų vieta erdvėje vienodais atstumais nuo tam tikros atkarpos galų yra ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

Pateikite daugiakampio, aplink kurį neįmanoma apibūdinti sferos, pavyzdį: _________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________ .

Prie kurios piramidės galima apibūdinti sferą?

Įrodymas. Apsvarstykite trikampę piramidę ABCD. Sukurkime plokštumas, statmenas atitinkamai kraštinėms AB, AC ir AD ir einančias per jų vidurio taškus. Šių plokštumų susikirtimo tašką pažymėkite O. Toks taškas egzistuoja ir yra unikalus. Įrodykime tai. Paimkite pirmuosius du lėktuvus. Jos susikerta, nes yra statmenos nelygiagrečioms tiesėms. Tiesę, iš kurios susikerta pirmosios dvi plokštumos, pažymėkime kaip l Ši linija l statmena plokštumai ABC. Plokštuma, statmena AD, nėra lygiagreti l ir jo nėra, nes priešingu atveju linija AD yra statmena l , t.y. guli plokštumoje ABC. Taškas O yra vienodu atstumu nuo taškų A ir B, A ir C, A ir D, o tai reiškia, kad jis yra vienodu atstumu nuo visų ABCD piramidės viršūnių, t. piramidė.

Įrodykime jos unikalumą. Bet kurios sferos, einančios per piramidės viršūnes, centras yra vienodu atstumu nuo šių viršūnių, o tai reiškia, kad jis priklauso plokštumoms, kurios yra statmenos piramidės kraštams ir eina per šių briaunų vidurio taškus. Todėl tokios sferos centras sutampa su tašku O. Įrodyta teorema.

Prie kokios kitos piramidės galima apibūdinti sferą?

Teorema. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Prie piramidės apibrėžiamos sferos centras sutampa su piramidės pagrindui statmenos tiesės, kertančios šalia pagrindo apibrėžto apskritimo centrą ir plokštumą, statmeną bet kuriam šoniniam kraštui, nubrėžtą per piramidės vidurį, susikirtimo tašku. šis kraštas.

Kad sfera būtų apibūdinta šalia daugiakampio, būtina, __________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________.

Šiuo atveju apibrėžiamos sferos centras gali būti ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ir yra projektuojamas į apibrėžtojo centrą šalia bet kurio apskritimo paviršiaus; statmenas, numestas nuo sferos centro, apribotos šalia daugiakampio, iki daugiakampio krašto dalija šią briauną.

Pasekmė. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ .

Aprašytos sferos centras šalia taisyklingosios piramidės yra _________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________.

Išanalizuokite problemos sprendimą.

Užduotis. Taisyklingoje keturkampėje piramidėje pagrindo kraštinė lygi a , aukštis yra h. Raskite piramidės apribotos sferos spindulį.

Išspręsti problemą.

Užduotis. 0

Peržiūra:

Atvira pamoka tema „Įrašytos ir apribotos daugiakampės“

Pamokos tema: Į piramidę įrašyta sfera. Sfera, apribota šalia piramidės.

Pamokos tipas: Įvadas į naują medžiagą.

Pamokos tikslai:

Studentų savarankiško darbo įgūdžių ugdymas.
Vystymas loginis mąstymas, algoritminė kultūra, erdvinė vaizduotė, matematinio mąstymo ir intuicijos ugdymas, kūrybiniai gebėjimai tokiu lygiu, kuris reikalingas tęstiniam mokymuisi ir savarankiškai veiklai matematikos srityje ir jos pritaikymui būsimoje profesinėje veikloje;

Įranga:

interaktyvi lenta
Pristatymas „Įrašyta ir apribota sfera“
Problemų sąlygos lentos brėžiniuose.
Dalomoji medžiaga (pagalbiniai užrašai).

Planimetrija. Įbrėžtas ir apibrėžtas apskritimas.
Stereometrija. įrašyta sfera
Stereometrija. Aprašyta sfera

Pamokos struktūra:

Pamokos tikslų išsikėlimas (2 min.).
Pasiruošimas naujos medžiagos studijoms kartojimo būdu (frontalinė apklausa) (6 min.).
Naujos medžiagos paaiškinimas (15 min.)
Temos supratimas savarankiškai rengiant santrauką tema „Stereometrija. Aprašyta sfera“ ir temos taikymas sprendžiant uždavinius (15 min.).
Pamokos apibendrinimas tikrinant žinias ir supratimą apie studijuojamą temą (priekinis tyrimas). Studentų atsakymų vertinimas (5 min.).
Namų darbų ruošimas (2 min.).
Rezervuoti užduotis.

Per užsiėmimus

1. Pamokos tikslų išsikėlimas.

Supažindinti su rutulio, įrašyto į daugiakampį, samprata; sfera, apibrėžta apie daugiakampį.
Palyginkite apibrėžtąjį apskritimą ir apibrėžtą sferą, įbrėžtą apskritimą ir įbrėžtą sferą.
Išanalizuoti įbrėžtosios sferos ir apribotos sferos egzistavimo sąlygas.
Ugdykite problemų sprendimo įgūdžius.

2. Pasirengimas naujos medžiagos studijoms kartojimo būdu (frontalinė apklausa).

Į daugiakampį įrašytas apskritimas.

Koks apskritimas vadinamas įrašytu į daugiakampį?
Kaip vadinamas daugiakampis, į kurį įrašytas apskritimas?
Kuris taškas yra apskritimo centras, įrašytas į daugiakampį?
Kokią savybę turi į daugiakampį įbrėžto apskritimo centras?
Kur yra apskritimo centras, įrašytas į daugiakampį?
Kokį daugiakampį galima apibrėžti apie apskritimą, kokiomis sąlygomis?

Apskritimas apie daugiakampį.

Koks apskritimas vadinamas daugiakampiu?
Kaip vadinasi daugiakampis, aplink kurį apibrėžiamas apskritimas?
Kuris taškas yra apskritimo centras, apibrėžtas aplink daugiakampį?
Kokią savybę turi apie daugiakampį apibrėžto apskritimo centras?
Kur gali būti apskritimo, apibrėžto apie daugiakampį, centras?
Kurį daugiakampį galima įrašyti į apskritimą ir kokiomis sąlygomis?

3. Naujos medžiagos paaiškinimas.

BET . Pagal analogiją studentai formuluoja naujus apibrėžimus ir atsako į pateiktus klausimus.

Į daugiakampį įrašyta sfera.

Suformuluokite sferos, įrašytos į daugiakampį, apibrėžimą.
Kaip vadinamas daugiakampis, į kurį galima įrašyti sferą?
Kokią savybę turi sferos centras, įrašytas į daugiakampį?
Kokia yra erdvės taškų rinkinys, nutolęs vienodu atstumu nuo dvikampio kampo paviršių? (trikampis kampas?)
Kuris taškas yra rutulio centras, įrašytas į daugiakampį?
Į kurį daugiakampį, kokiomis sąlygomis galima įrašyti sferą?

AT . Mokiniai įrodo teoremą.

Sfera gali būti įrašyta į bet kurią trikampę piramidę.

Dirbdami pamokoje mokiniai naudoja pagalbinius užrašus.

NUO. Mokiniai analizuoja problemos sprendimą.

Taisyklingoje keturkampėje piramidėje pagrindo kraštinė lygi a , aukštis yra h. Raskite į piramidę įrašytos sferos spindulį.

D. Mokiniai išsprendžia problemą.

Užduotis. Įprastoje trikampėje piramidėje pagrindo kraštinė yra 4, šoniniai paviršiai pasvirę į pagrindą 60 kampu 0 . Raskite į šią piramidę įrašytos sferos spindulį.

4. Temos supratimas savarankiškai rengiant konspektą apie "Sfera, apibrėžta apie daugiakampį» ir pritaikymas sprendžiant problemas.

A. U mokiniai savarankiškai pildo santrauką tema „Sfera aprašyta prie daugiakampio“. Atsakykite į pateiktus klausimus:

Suformuluokite sferos, apribotos šalia daugiakampio, apibrėžimą.
Kaip vadinamas daugiakampis, aplink kurį galima apibūdinti sferą?
Kokią savybę turi apie daugiakampį apibrėžtos sferos centras?
Kokia yra taškų aibė erdvėje vienodu atstumu nuo dviejų taškų?
Kuris taškas yra sferos centras, apibrėžtas aplink daugiakampį?
Kur gali būti šalia piramidės aprašytos sferos centras? (daugiakampis?)
Apie kokį daugiakampį galima apibūdinti sferą?

AT. Mokiniai patys išsprendžia problemą.

Užduotis. Taisyklingoje trikampėje piramidėje pagrindo kraštinė yra 3, o šoniniai kraštai pasvirę į pagrindą 60 kampu 0 . Raskite sferos, esančios šalia piramidės, spindulį.

NUO. Problemos sprendimo metmenų patikrinimas ir analizė.

5. Pamokos apibendrinimas tikrinant žinias ir supratimą apie studijuojamą temą (frontalinė apklausa). Studentų atsakymų vertinimas.

BET. Mokiniai patys apibendrina pamoką.

AT. Atsakykite į papildomus klausimus.

Ar galima apibūdinti sferą aplink keturkampę piramidę, kurios pagrinde yra rombas, kuris nėra kvadratas?
Ar galima apibūdinti sferą aplink stačiakampį gretasienį? Jei taip, kur yra jos centras?
Kur gyvenime pritaikoma pamokoje studijuota teorija (architektūra, mobilusis telefonas, geostacionarūs palydovai, GPS aptikimo sistema).

6. Namų darbų pareiškimas.

A. Padarykite santrauką tema „Sfera, aprašyta šalia prizmės. Į prizmę įrašyta sfera. (Apsvarstykite užduotis iš vadovėlio: Nr. 632 637 638)

B. Išspręskite uždavinį Nr. 640 iš vadovėlio.

C. Iš mokymo vadovo B.G. Ziv "Didaktinė medžiaga apie geometriją 10 klasė" išsprendžia uždavinius: Variantas Nr. 3 C12 (1), Variantas Nr. 4 C12 (1).

D. Papildoma užduotis: Variantas #5 C12 (1).

7. Rezervuoti užduotis.

Iš mokymo vadovo B.G. Ziv "Didaktinė medžiaga apie geometriją 10 klasė" uždaviniams spręsti: Variantas Nr. 3 C12 (1), Variantas Nr. 4 C12 (1).

Mokomasis ir metodinis rinkinys

Geometrija, 10-11: Vadovėlis ugdymo įstaigoms. Pagrindiniai ir profilio lygiai / L.S. Atanasjanas, V.F. Butuzovas, S.B. Kadomtsev ir kt., Maskva: Švietimas, 2010 m
B.G. Ziv "Didaktinė medžiaga apie geometriją 10 klasė", M.: Nušvitimas.
Kartojimas Apskritimas apie daugiakampį Koks apskritimas vadinamas daugiakampiu? Koks yra daugiakampio apskritimo centras? Kokią savybę turi apie daugiakampį apibrėžto apskritimo centras? Kur yra aplink daugiakampį apibrėžto apskritimo centras? Kurį daugiakampį galima įrašyti į apskritimą ir kokiomis sąlygomis?
Kartojimas Į daugiakampį įbrėžtas apskritimas Koks apskritimas vadinamas įbrėžtu daugiakampyje? Kas yra apskritimo, įbrėžto į daugiakampį, centras? Kokią savybę turi į daugiakampį įbrėžto apskritimo centras? Kur yra apskritimo centras, įrašytas į daugiakampį? Kokį daugiakampį galima apibrėžti apie apskritimą, kokiomis sąlygomis?
Sfera, įrašyta į daugiakampį Suformuluokite rutulio, įbrėžto į daugiakampį, apibrėžimą. Koks daugiakampio pavadinimas? Kokią savybę turi įbrėžtos sferos centras? Kur yra taškų rinkinys erdvėje, nutolęs vienodu atstumu nuo dvikampio kampo paviršių? (trikampis kampas)? Į kurį daugiakampį galima įrašyti sferą?
Sfera, įrašyta į piramidę
Sfera, apibrėžta šalia daugiakampio Suformuluokite sferos, apibrėžtos šalia daugiakampio, apibrėžimą. Koks daugiakampio pavadinimas? Kokią savybę turi apibrėžtos sferos centras? Kur yra erdvės taškų, kurie yra vienodu atstumu nuo dviejų taškų, rinkinys? Kur yra šalia piramidės aprašytos sferos centras? (daugiakampio?) Prie kurio daugiabriaunio galima apibūdinti sferą?
Sfera, apibrėžta šalia piramidės
Apibendrinant pamoką. Ar galima apibūdinti sferą aplink keturkampę piramidę, kurios pagrinde yra rombas, kuris nėra kvadratas? Ar galima apibūdinti sferą aplink stačiakampį gretasienį? Jei taip, kur yra jos centras?
Namų darbai. Padarykite apibendrinimą tema „Aprašyta sfera prie prizmės. Į prizmę įrašyta sfera. (Apsvarstykite užduotis iš vadovėlio: Nr. 632 637 638) Išspręskite vadovėlio uždavinį Nr. 640. Išspręskite vadovo uždavinius: Variantas Nr. 3 C12 (1), Variantas Nr. 4 C12 (1).

Pristatymo aprašymas atskirose skaidrėse:

1 skaidrė

Skaidrės aprašymas:
Savivaldybės autonominė bendrojo ugdymo įstaiga 45 vidurinė mokykla Metodinis vadovas 11 klasės mokiniams Sudarė aukščiausios kategorijos matematikos mokytoja Gavinskaja Elena Viačeslavovna. Kaliningradas 2016-2017 mokslo metai

2 skaidrė

Skaidrės aprašymas:
Į sferą įrašyta daugiakampė. Tema panaši į planimetrijos kurso temą, kur buvo pasakyta, kad apskritimus galima apibūdinti aplink trikampius ir taisyklingus n-kampius. Apskritimo analogas erdvėje yra rutulys, daugiakampis – daugiakampis. Šiuo atveju trikampio analogas yra trikampė prizmė, o taisyklingųjų daugiakampių analogas yra taisyklingasis daugiakampis. Apibrėžimas. Daugiakampis vadinamas įrašytu į sferą, jei visos jo viršūnės priklauso šiai sferai. Sakoma, kad pati sfera yra įrašyta šalia daugiakampio.

3 skaidrė

Skaidrės aprašymas:
"Sfera gali būti apibūdinta šalia dešinės prizmės tada ir tik tada, kai galima apibūdinti apskritimą šalia šios prizmės pagrindo." Įrodymas Jei sfera yra apibrėžiama šalia tiesios prizmės, tai visos prizmės pagrindo viršūnės priklauso sferai, taigi ir apskritimui, kuris yra rutulio ir pagrindo plokštumos susikirtimo linija. Ir atvirkščiai, šalia tiesios prizmės pagrindo apibrėžiamas apskritimas, kurio centras yra taške O1 ir spindulys r. Tada aplink antrąjį prizmės pagrindą taip pat galima apibūdinti apskritimą, kurio centras yra taške O2 ir kurio spindulys yra toks pat. Tegu О1О2=d, О yra O1O2 vidurys. Tada rutulys, kurio centras O ir spindulys R=, bus norima apibrėžta sfera. 1 teorema.

4 skaidrė

Skaidrės aprašymas:
"Prie bet kokios trikampės piramidės galima apibūdinti sferą ir tik vieną." Įrodymas. Pereikime prie įrodymų, panašių į planimetrijos eigą. Visų pirma, reikia rasti taškų, esančių vienodu atstumu nuo dviejų trikampio viršūnių, vietą. Pavyzdžiui, A ir B. Tokia geometrinė vieta yra į atkarpą AB nubrėžtas statmenas bisektorius. Tada randame taškų, esančių vienodais atstumais nuo A ir C, lokusą. Tai yra statmena atkarpos AC pusiausvyra. Šių vidurinių statmenų susikirtimo taškas bus norimas apie trikampį ABC apibrėžto apskritimo centras O. 2 teorema.

5 skaidrė

Skaidrės aprašymas:
Dabar apsvarstykite erdvinę situaciją ir padarykite panašias konstrukcijas. Tegu duota trikampė piramidė DABC, o taškai A, B ir C apibrėžia plokštumą α. Taškų, nutolusių vienodu atstumu nuo taškų A, B ir C, vieta yra tiesė a, statmena plokštumai α ir einanti per aplink trikampį ABC apibrėžto apskritimo centrą O1. Taškų, esančių vienodu atstumu nuo taškų A ir D, vieta yra plokštuma β, statmena atkarpai AD ir einanti per jos viršūnę – tašką E. Plokštuma β ir tiesė a susikerta taške O, kuris bus norimas atkarpos centras. sfera, apribota šalia trikampės piramidės DABC. Iš tiesų, dėl konstrukcijos taškas O yra vienodai pašalintas iš visų piramidės DABC viršūnių. Be to, toks taškas bus vienintelis, nes susikertanti linija ir plokštuma turi vieną bendrą tašką.

6 skaidrė

Skaidrės aprašymas:
Šalia taisyklingos piramidės apribotas rutulys. Rutulį galima apibūdinti šalia bet kurios taisyklingos piramidės. Rutulio centras yra tiesėje, einančioje per piramidės aukštį, ir sutampa su apskritimo centru, apribotu lygiašoniu trikampiu, kurio kraštinė yra piramidės šoninė briauna, o aukštis yra aukštis. piramidės. Sferos spindulys lygus šio apskritimo spinduliui. Rutulio R spindulys, piramidės aukštis H ir apskritimo, apibrėžiamo šalia piramidės pagrindo, spindulys yra susiję su ryšiu: R2=(H-R)2+r2 Šis ryšys galioja ir tuo atveju, kai H< R.

7 skaidrė

Skaidrės aprašymas:
Problema apie rutulį, apribotą šalia taisyklingos piramidės. „Šalia taisyklingosios piramidės RABC aprašyta sfera, kurios centras yra taške O, o spindulys 9√3m. Tiesė RO, kurioje yra piramidės aukštis, kerta piramidės pagrindą taške H taip, kad PH:OH=2:1. Raskite piramidės tūrį, jei kiekviena jos šoninė briauna sudaro 45 laipsnių kampą su pagrindo plokštuma.

8 skaidrė

Skaidrės aprašymas:
Duota: RABC yra taisyklinga piramidė; šalia piramidės aprašytas rutulys (O;R=9√3 m); RO∩(ABC)=H; PH:OH=2:1; ∟RAN=∟ RVN=∟ RSN=45о. Rasti: Vpir. Sprendimas: Kadangi PH:OH=2:1 (pagal sąlygą), tada PH:OR=2:3 PH:9√3 =2:3 PH=6√3 (m) 2. PH _ (ABC) (kaip aukštis piramidės) => => RN _ AN (pagal apibrėžimą) => RAS – stačiakampis. 3. RAS:

9 skaidrė

Skaidrės aprašymas:
4. Kadangi pagal sąlygą RABC yra taisyklinga piramidė, o PH yra jos aukštis, tai pagal apibrėžimą ABC yra teisinga; H yra apibrėžto apskritimo aplink ABC centras, o tai reiškia 5. Atsakymas: 486 m3.

10 skaidrės

Skaidrės aprašymas:
Aplink prizmę apribota sfera. Sfera gali būti apibrėžiama apie prizmę, jei ji yra tiesi, o jos pagrindai yra daugiakampiai, įrašyti į apskritimą. Rutulio centras yra prizmės, jungiančios šalia prizmės pagrindų aprašytų apskritimų centrus, aukščio viduryje. Rutulio R spindulys, prizmės H aukštis ir apskritimo r spindulys, apribotas šalia prizmės pagrindo, yra susiję taip:

11 skaidrė

Skaidrės aprašymas:
Uždavinys apie sferą, apibrėžtą šalia prizmės. „Į rutulį įrašyta teisinga prizmė ABCDA1B1C1D1, kurios aukštis 6 cm (taigi; R = 5 cm). Raskite prizmės skerspjūvio plotą plokštuma, lygiagrečia pagrindo plokštumoms ir kertančia tašką O - rutulio centrą.

12 skaidrė

Skaidrės aprašymas:
Duota: ABCDA1B1C1D1 yra taisyklinga prizmė; šalia prizmės aprašomas rutulys (O; R=5 cm); prizmės aukštis h yra 6 cm; α║(ABC); O su α. Rasti: Ssec α, Sprendimas: Kadangi pagal sąlygą prizmė įrašyta į rutulį, tada (r yra apskritimo, apibrėžiamo šalia prizmės pagrindo, spindulys) Bet pagal sąlygą duota teisinga prizmė, o tai reiškia

13 skaidrė

Skaidrės aprašymas:
a) (АВВ1) ║(СС1D1) (pagal tiesios prizmės savybę) α ∩ (АВВ1)=КМ α ∩ (СС1D1)=РН => KM ║ HP (pagal lygiagrečių plokštumų savybę) ║ Ho (BCC1) (ADD1) (pagal tiesios prizmės savybę) => KM = HP (pagal lygiagrečių plokštumų savybę). Vadinasi, KMNR yra lygiagretainis (pagal požymius) => MN=KR ir MN ║ KR b) α ║ (ABC) (pagal konstrukciją) α ∩ (ABB1)=KM (ABC) ∩ (ABB1)=AB => KM ║ AB (pagal lygiagrečių plokštumų savybę) 2. 3. Kadangi pagal sąlygą ABCDA1B1C1D1 yra taisyklingoji prizmė, o pjūvis pagal plokštumą α lygiagreti pagrindams, pjūvio suformuota figūra yra kvadratas. Įrodykime: => => =>

14 skaidrė

Skaidrės aprašymas:
KMH= ABC=90o (kaip kampai su atitinkamai nukreiptomis kraštinėmis) Vadinasi, KMNR rombas yra kvadratas (pagal apibrėžimą), kurį reikėjo įrodyti. Be to, kvadratai KMNR ir ABCD yra lygūs. Todėl pagal savybę jų plotai lygūs, todėl Ssec α.=SABCD=32 (cm2) Atsakymas: 32 cm2. c) KM ║ AB (įrodyta) (BCC1) ║(ADD1) (pagal tiesios prizmės savybę) => KM=AB=4√2 cm (pagal lygiagrečių plokštumų savybę). d) Panašiai įrodyta, kad MH ║ BC ir MH=BC=4√2 cm Vadinasi, MH=KM => lygiagretainis MNRK yra rombas (pagal apibrėžimą). e) MN ║ BC (įrodyta) KM ║ AB (įrodyta) => =>

15 skaidrė

Skaidrės aprašymas:
Cilindras, apribotas šalia prizmės. Cilindras gali būti aprašytas šalia stačios prizmės, jei jo pagrindas yra daugiakampis, įbrėžtas apskritime. Cilindro R spindulys lygus šio apskritimo spinduliui. Cilindro ašis yra toje pačioje tiesėje su prizmės aukščiu H, jungiančia šalia prizmės pagrindų aprašytų apskritimų centrus. Keturkampės prizmės atveju (jei pagrindas yra stačiakampis), cilindro ašis eina per prizmės pagrindų įstrižainių susikirtimo tašką.

16 skaidrė

Skaidrės aprašymas:
Problema dėl cilindro, apriboto šalia prizmės. Tiesi prizmė ABCD1B1C1D1, kurios pagrindas yra stačiakampis, yra įrašyta į cilindrą, kurio generatorius yra 7 cm, o spindulys yra 3 cm. Raskite prizmės šoninio paviršiaus plotą, jei kampas tarp įstrižainės ABCD yra 60 laipsnių. OO1 yra cilindro ašis.

17 skaidrė

Skaidrės aprašymas:
Duota: ABCDA1B1C1D1 - tiesi prizmė; cilindras aprašomas šalia prizmės; cilindro generatrix AA1=7 cm; cilindro pagrindo spindulys yra 3 cm; kampas tarp įstrižainių ABCD lygus 60o; OO1 yra cilindro ašis. Rasti: Sside.prism. Sprendimas: Kadangi pagal sąlygą keturkampė prizmė, kurios pagrinde į rutulį įrašytas stačiakampis, tai pagal savybę AC∩BD=O. Taigi AOB=60o ir AO=OB=3cm. 2. AOB pagal kosinuso teoremą.

„Rumutulio tūris“ – parabolinio segmento tūris. Raskite rutulio, įbrėžto į taisyklingąjį tetraedrą, kurio briauna 1, tūrį. Rutulys įbrėžtas į kūgį, kurio pagrindo spindulys 1 ir generatrica 2. Rutulio pjūvis plokštuma, nutolusia nuo rutulio centro 8 cm atstumu, spindulys yra 6 cm. Rutulio formos rutulio, kurio aukštis h, tūris, atkirstas nuo rutulio, kurio spindulys yra R, išreiškiamas taip: formulę.
"Apskritimo apskritimo rutulys" - Ratas. Vaikinai, jūs visi dabar tampate Skaičiavimo centro nariais. Pagal analogiją su apskritimu paaiškinkite, kas yra: a) spindulys; b) akordas; c) rutulio skersmuo. Raskite 3 m spindulio rutulio paviršiaus plotą. Skersmuo. Rutulio (rutulio) centras. Rutulys ir rutulys. Kamuolys. Prisiminkite, kaip apibrėžiamas ratas. Pabandykite apibrėžti sferą naudodami atstumo tarp taškų sąvokas.
„Taisyklingasis daugiakampis“ – ikosaedro plokštuminių kampų suma kiekvienoje viršūnėje yra 300?. Įprasti daugiakampiai yra „palankiausios“ figūros. Kubo plokštuminių kampų suma kiekvienoje viršūnėje yra 270?. Taisyklingas oktaedras. Ikozaedrinė-dodekaedrinė Žemės struktūra. Kubas yra stabiliausias iš figūrų. Teisingas dodekaedras. Taisyklingas išgaubtas daugiakampis.
„Kamuolys“ – tiriamoji veikla ne mokyklos valandomis. Užduotis numeris 1. Kūgis. Teorinių pozicijų kartojimas. Į taisyklingą keturkampę piramidę įrašytas rutulys. Rutulio paviršius vadinamas rutuliu. Piramidė. Savo darbe mes: Tiriamoji praktika, darbo prie temos procesas. Darbas būreliuose, pasirenkant.
„Įbrėžtas ir apibrėžtas apskritimas“ – ARCHIMEDAS (287–212 m. pr. Kr.) – senovės graikų matematikas ir mechanikas. apriboti ir užrašyti apskritimai. Galime atsakyti į probleminius klausimus. Apskritimas. Didėjant taisyklingo daugiakampio kraštinių skaičiui, daugiakampio kampas didėja. Senovės matematikai matematinės analizės sąvokų nežinojo.
„Sfera ir rutulys“ – rutulio centrą einanti atkarpa yra didelis apskritimas. (skersmens pjūvis). Astronominiai dangaus skliauto stebėjimai visada sukelia sferos vaizdą. Apimtis visada buvo plačiai naudojama įvairiose mokslo ir technologijų srityse. Sferos liestinė. Bendrosios sąvokos. Sferos paviršiuje pateikiami trys taškai.

Atvira pamoka tema „Įrašytos ir apribotos daugiakampės“

Pamokos tema: Į piramidę įrašyta sfera. Sfera, apribota šalia piramidės.
Pamokos tipas:Įvadas į naują medžiagą. Pamokos tikslai:
Įranga:
Pamokos struktūra:
Per užsiėmimus 1. Pamokos tikslų išsikėlimas.
2. Pasirengimas naujos medžiagos studijoms kartojimo būdu (frontalinė apklausa).Į daugiakampį įrašytas apskritimas.
Apskritimas apie daugiakampį.
3. Naujos medžiagos paaiškinimas. BET . Pagal analogiją studentai formuluoja naujus apibrėžimus ir atsako į pateiktus klausimus.Į daugiakampį įrašyta sfera.
AT . Mokiniai įrodo teoremą.Į bet kurią trikampę piramidę galima įrašyti sferą.Dirbdami pamoką mokiniai naudojasi informaciniais užrašais. Mokiniai analizuoja problemos sprendimą.
Taisyklingoje keturkampėje piramidėje pagrindo kraštinė lygi a, aukštis yra h. Raskite į piramidę įrašytos sferos spindulį.

D. Mokiniai išsprendžia problemą.

Užduotis. Taisyklingoje trikampėje piramidėje pagrindo kraštinė lygi 4, šoniniai paviršiai į pagrindą pasvirę 60 0 kampu. Raskite į šią piramidę įrašytos sferos spindulį.

4. Temos supratimas savarankiškai rengiant konspektą apie "Sfera, apibrėžta apie daugiakampį» ir pritaikymas sprendžiant problemas.

A. U mokiniai savarankiškai pildo santrauką tema „Sfera aprašyta prie daugiakampio“. Atsakykite į pateiktus klausimus:
AT. Mokiniai patys išsprendžia problemą.

Užduotis. Taisyklingoje trikampėje piramidėje pagrindo kraštinė lygi 3, o šoninės briaunos į pagrindą pasvirusios 60 0 kampu. Raskite sferos, esančios šalia piramidės, spindulį.

NUO. Problemos sprendimo metmenų patikrinimas ir analizė.

5. Pamokos apibendrinimas tikrinant žinias ir supratimą apie studijuojamą temą (frontalinė apklausa). Studentų atsakymų vertinimas.

BET. Mokiniai patys apibendrina pamoką.

AT. Atsakykite į papildomus klausimus.
6. Namų darbų pareiškimas.

A. Padarykite santrauką tema „Sfera, aprašyta šalia prizmės. Į prizmę įrašyta sfera. (Apsvarstykite užduotis iš vadovėlio: Nr. 632 637 638)

B. Išspręskite uždavinį Nr. 640 iš vadovėlio.

C. Iš mokymo vadovo B.G. Ziv "Didaktinė medžiaga apie geometriją 10 klasė" išsprendžia uždavinius: Variantas Nr. 3 C12 (1), Variantas Nr. 4 C12 (1).

D. Papildoma užduotis: Variantas #5 C12 (1).

7. Rezervuoti užduotis.

Iš mokymo vadovo B.G. Ziv "Didaktinė medžiaga apie geometriją 10 klasė" uždaviniams spręsti: Variantas Nr. 3 C12 (1), Variantas Nr. 4 C12 (1).

Mokomasis ir metodinis rinkinys
Matematikos mokytojas

GBOU licėjaus internatinė mokykla "DPC"

Nižnij Novgorodas

Daugiakampis vadinamas įrašytu į sferą, jei visos jo viršūnės priklauso šiai sferai. Pati sfera vadinama apibrėžtąja šalia daugiakampio.
Teorema. Sfera gali būti apibrėžiama šalia piramidės tada ir tik tada, kai šalia šios piramidės pagrindo galima apibrėžti apskritimą.

Į sferą įrašyta daugiakampė
Teorema. Sfera gali būti apibrėžiama šalia prizmės tada ir tik tada, kai šalia šios prizmės pagrindo galima apibrėžti apskritimą. Jo centras bus taškas O, kuris yra atkarpos, jungiančios šalia prizmės pagrindų aprašytų apskritimų centrus, vidurys. Sferos spindulys R apskaičiuojamas pagal formulę
kur h yra prizmės aukštis, r yra apskritimo spindulys, apibrėžtas šalia prizmės pagrindo.
Skaidrių režimu atsakymai ir sprendimai pasirodo spustelėjus pelę

1 pratimas
Ar galima apibūdinti sferą aplink stačiakampį gretasienį?
Atsakymas: Taip. Jo centras yra įstrižainių susikirtimo taškas, o spindulys lygus pusei gretasienio įstrižainės

2 pratimas
Ar įmanoma apibūdinti sferą aplink pasvirusį gretasienį, kurio visi veidai yra rombai?
Atsakymas: Ne.

3 pratimas
Ar galima apibūdinti sferą šalia pasvirusios prizmės?
Atsakymas: Ne.

4 pratimas
Ar šalia prizmės apribotos sferos centras gali būti už prizmės ribų?
Atsakymas: Taip, jei prizmės pagrindas yra bukas trikampis.

5 pratimas
Ar šalia piramidės esančios sferos centras gali būti už šios piramidės?
Atsakymas: Taip.

Sfera, apibrėžta apie kubą
Skaidrių režimu atsakymai ir sprendimai pasirodo spustelėjus pelę

1 pratimas
Raskite sferos, apribotos apie vienetinį kubą, spindulį.

2 pratimas
Raskite kubo kraštinę, įrašytą į vienetinį sferą.

3 pratimas
Raskite rutulio, apribotos apie stačiakampį gretasienį, kurio briaunos, išeinančios iš vienos viršūnės, spindulį yra lygios 1, 2, 3.

4 pratimas
Iš tos pačios viršūnės išeinančios dvi stačiakampės briaunos yra lygios 1 ir 2. Apribotos sferos spindulys lygus 1,5 . Raskite trečią kraštą, išeinantį iš tos pačios dėžutės viršūnės.

Sfera, apibrėžta apie tetraedrą
Skaidrių režimu atsakymai ir sprendimai pasirodo spustelėjus pelę

1 pratimas
Raskite sferos, apribotos apie vienetinį tetraedrą, spindulį.
Sprendimas. tetraedre SABC mes turime:
BE=SE=
Stačiakampiame trikampyje OBE mes turime:
R, mes randame

2 pratimas
Raskite taisyklingo tetraedro, įbrėžto į vienetinį sferą, kraštą.

3 pratimas
Piramidės pagrindas yra taisyklingas trikampis, kurio kraštinė lygi 3. Viena iš šoninių kraštinių lygi 2 ir yra statmena pagrindo plokštumai. Raskite apibrėžtos sferos spindulį.
Sprendimas. Leisti O yra aprašytos sferos centras, K yra apskritimo, apibrėžto šalia pagrindo, centras, E- vidurys SC. keturkampis CEOQ yra stačiakampis, kuriame CE= 1, CQ= Vadinasi, R=OC= 2.
Atsakymas: R = 2.

4 pratimas
Paveikslėlyje pavaizduota piramidė SABC, kuriam kraštas SC lygus 2 ir statmenas pagrindo plokštumai ABC, kampas ACB lygus 90 maždaug, AC = BC = vienas . Sukurkite apie šią piramidę apibrėžtos sferos centrą ir suraskite jos spindulį.
Sprendimas. per vidurį Dšonkauliai AB nubrėžkite lygiagrečią liniją SC. per vidurį Ešonkauliai SC nubrėžkite lygiagrečią tiesią liniją CD. Jų susikirtimo taškas O bus norimas apibrėžtos sferos centras. Stačiakampiame trikampyje OKS mes turime:
OD = CD = Pagal teoremą
Pitagoras, mes randame

5 pratimas
Raskite rutulio, apribotos apie taisyklingąją trikampę piramidę, kurios šoninės briaunos lygios 1, o plokštieji kampai viršūnėje lygūs 90 o, spindulį.
Sprendimas. tetraedre SABC mes turime:
AB=AE= SE =
Stačiakampiame trikampyje OAE mes turime:
Sprendžiant šią lygtį R, mes randame

Sfera, apibrėžta apie trikampę prizmę
Skaidrių režimu atsakymai ir sprendimai pasirodo spustelėjus pelę

1 pratimas
Raskite rutulio, apribotos apie taisyklingąją prizmę, kurios visos briaunos lygios 1, spindulį.
Sprendimas. Mes turime:
AA 1 = 1, AD=OD=
Vadinasi, R=AO=

2 pratimas
2 spindulio rutulys apibrėžiamas šalia taisyklingosios trikampės prizmės, kurios pagrindo kraštinė yra 1. Raskite prizmės aukštį.
Sprendimas. Mes turime: AO = 2, OD=
Vadinasi, h=AA 1 = 2 AO=

3 pratimas
Sfera, kurios spindulys yra 1, yra apibrėžta šalia taisyklingosios trikampės prizmės, kurios aukštis yra 1. Raskite prizmės pagrindo kraštinę.
Sprendimas. Mes turime: AO = 1 , OD=
Vadinasi, AD=
Reiškia, AB=

4 pratimas
Raskite rutulio, apribotos apie stačią trikampę prizmę, kurios pagrinde yra stačiakampis trikampis, kurio kojelės yra lygios 1, o prizmės aukštis yra 2, spindulį.
Sprendimas. Rutulio spindulys yra pusė įstrižainės A 1 C stačiakampis ACC 1 A 1 .
Mes turime: AA 1 = 2, AC=
Vadinasi, R=

Sfera, apibrėžta apie taisyklingą šešiakampę prizmę
Skaidrių režimu atsakymai ir sprendimai pasirodo spustelėjus pelę

Pratimas
Raskite rutulio, apibrėžtos apie taisyklingą šešiakampę prizmę, kurios visos briaunos lygios 1, spindulį.
Sprendimas. Mes turime AG= 1, OG=
Vadinasi, R=AO=

Sfera, apibrėžta apie taisyklingą keturkampę piramidę
Skaidrių režimu atsakymai ir sprendimai pasirodo spustelėjus pelę

Pratimas
Raskite rutulio, apibrėžtos apie taisyklingą keturkampę piramidę, kurios visos briaunos lygios 1, spindulį.

Sfera, apibrėžta apie taisyklingą šešiakampę piramidę
Skaidrių režimu atsakymai ir sprendimai pasirodo spustelėjus pelę

Pratimas
Raskite rutulio, apibrėžtos apie taisyklingą 6 kraštų piramidę, kurios pagrindo kraštai yra 1, o šoniniai kraštai yra 2, spindulį.
Sprendimas. Trikampis LIŪDNAS- lygiakraštis su kraštine 2. Spindulys R apibržtas rutulys lygus trikampio apskritimo spinduliui LIŪDNAS. Vadinasi,

Sfera, apibrėžta apie oktaedrą
Skaidrių režimu atsakymai ir sprendimai pasirodo spustelėjus pelę

Pratimas
Raskite sferos, apribotos apie vienetinį oktaedrą, spindulį.
Sprendimas. Spindulys R apribotas rutulys yra lygus pusei kvadrato įstrižainės ABCD su 1 puse. Todėl

Sfera, apibrėžta apie ikosaedrą
Skaidrių režimu atsakymai ir sprendimai pasirodo spustelėjus pelę

Pratimas
Raskite sferos, apribotos apie vienetinį ikosaedrą, spindulį.
Sprendimas. stačiakampyje ABCD AB=CD= 1, pr. Kr ir REKLAMA – taisyklingų penkiakampių įstrižainės su kraštinėmis 1. Todėl
BC=AD=
Pagal Pitagoro teoremą AC=
Norimas spindulys lygus pusei šios įstrižainės, t.y.

Pratimas
Raskite sferos, apibrėžtos apie vienetinį dodekaedrą, spindulį.
Sprendimas. A B C D E yra taisyklingas penkiakampis su šonu
stačiakampyje ACGFAF=CG= 1, AC ir FG – penkiakampio įstrižainės A B C D E taigi AC=FG=
Pagal Pitagoro teoremą
FC= Norimas spindulys
yra lygus pusei šios įstrižainės, t.y.

Pratimas
Paveiksle pavaizduotas nupjautas tetraedras, gautas nupjovus taisyklingo trikampių piramidžių tetraedro kampus, kurių paviršiai yra taisyklingi šešiakampiai ir trikampiai. Raskite sferos, apribotos apie nupjautą tetraedrą, kurio briaunos lygios 1, spindulį.

Pratimas
Paveiksle pavaizduotas nupjautas kubas, gautas iš kubo kampų nupjovus trikampes piramides, kurių paviršiai yra taisyklingi aštuonkampiai ir trikampiai. Raskite rutulio, apibrėžto apie nupjautą kubą, kurio briaunos yra 1, spindulį.

Pratimas
Paveiksle pavaizduotas nupjautas oktaedras, gautas iš oktaedro kampų nupjovus trikampes piramides, kurių paviršiai yra taisyklingi šešiakampiai ir trikampiai. Raskite sferos, apribotos apie nupjautą oktaedrą, kurio briaunos lygios 1, spindulį.

Pratimas
Paveiksle pavaizduotas nupjautas ikosaedras, gautas iš ikosaedro kampų nupjovus penkiakampes piramides, kurių paviršiai yra taisyklingi šešiakampiai ir penkiakampiai. Raskite sferos, apribotos apie nupjautą ikosaedrą, kurio briaunos lygios 1, spindulį.

Pratimas
Paveiksle pavaizduotas nupjautas dodekaedras, gautas iš dodekaedro kampų nupjovus trikampes piramides, kurių paviršiai yra taisyklingi dešimtkampiai ir trikampiai. Raskite sferos, apribotos apie nupjautą dodekaedrą, kurio briaunos lygios 1, spindulį.

Pratimas
Raskite sferos, apribotos apie vienetinį kuboktaedrą, spindulį
Sprendimas. Prisiminkite, kad kuboktaedras gaunamas iš kubo nupjaunant taisyklingas trikampes piramides, kurių viršūnės kubo viršūnėse ir šoninės briaunos lygios pusei kubo krašto. Jei oktaedro briauna lygi 1, tai atitinkamo kubo kraštas lygus Apribotosios sferos spindulys lygus atstumui nuo kubo centro iki jo briaunos vidurio, t.y. lygus 1.
Atsakymas: R = 1.
Taip pat skaitykite tema:

Įbrėžtas ir apribotas daugiabriaunis rutuliukas. Į sferą įrašyta daugiakampė

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Peržiūra:

Peržiūra:

Peržiūra:

Taip pat skaitykite tema: