Dvi matricas galite padauginti tik tuo atveju, jei pirmojoje iš jų yra lygiai tiek pat stulpelių, kiek ir antrosios eilučių. Pačios vertybės gali būti ne tik visumos, bet ir dalinės. Gavę šios problemos apskaičiavimo nuorašą, galite suprasti, kaip vyksta dauginimas. Taip sutaupysite laiko ir galėsite geriau suprasti skaičiavimo subtilybes.

Tarkime, kad turite dvi matricas ir turite rasti jų sandaugą. Šis internetinis skaičiuotuvas padės tai padaryti greitai ir kuo tiksliau. Jis ne tik be vargo per porą minučių padaugins dvi matricas, bet ir leis išsamiau suprasti šių skaičiavimų algoritmą. Taigi, internetinės skaičiuoklės naudojimas padeda konsoliduoti teoriškai nagrinėjamą medžiagą. Taip pat galite iš pradžių atlikti skaičiavimus ranka, o tada patikrinti juos čia, tai puiki smegenų treniruotė.

Šios internetinės skaičiuoklės naudojimo instrukcijos nėra sudėtingos. Norėdami padauginti matricas internete, pirmiausia nurodykite stulpelių ir eilučių skaičių pirmoje matricoje, spustelėdami piktogramas "+" arba "-" kairėje nuo matricos ir po ja. Tada įveskite skaičius. Pakartokite tas pačias operacijas su antrąja matrica. Tada belieka spustelėti mygtuką „Apskaičiuoti“ - ir pamatysite norimą reikšmę kartu su išsamiu skaičiavimo algoritmu.

susidedantis iš t linijos ir P stulpeliai vadinami dydžio matrica n× m. Skaičiai a 11 , a 12 , ..., a mn jai paskambino elementai. Lentelė, žyminti matricą, rašoma skliausteliuose ir pažymėta A = (a ij ).

Jei matricos eilučių skaičius yra lygus jos stulpelių skaičiui, tada matrica vadinama kvadratas, ir jo eilučių skaičius, lygus stulpelių skaičiui, - tvarka kvadratinė matrica.

Vadinamas visų kvadratinės matricos elementų, esančių segmente, jungiančioje viršutinį kairįjį kampą su apatiniu dešiniuoju, rinkinys pagrindinė įstrižainė ir segmente, jungiančiame viršutinį dešinįjį kampą su apatiniu kairiuoju - šoninė įstrižainė.

Kvadratinė matrica vadinama įstrižainė, jei visi jo elementai, esantys ne ant pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui. Kvadratinė matrica, kurios pagrindinės įstrižainės elementai yra lygūs vienetui, o likusieji yra nuliai, vadinama viengungis ir žymimas E.

Dvi matricos ir vadinamos lygus, jei jų eilučių ir stulpelių skaičius lygus ir jei elementai atitinkamose šių matricų vietose yra lygūs.

Vadinama matrica, kurios visi elementai lygūs nuliui nulinis ir žymimas H.

Pagal apibrėžimą, padauginti matricą BET pagal skaičių r, jums reikia kiekvieno matricos elemento BET padauginti iš r.

Pavyzdys. Duota matrica A =
, raskite 3 matricą BET.

3 A = 3
=

matricų suma BET ir AT vadinama matrica C, kurios elementai lygūs atitinkamų matricų elementų sumoms BET ir AT. Galite pridėti tik tokias matricas, kuriose yra tiek pat eilučių ir stulpelių.

Pavyzdys. Matricos duomenys A =
ir AT =
. Raskite Matricą C \u003d A + B.

C =

Matricos pridėjimo savybės:

A+B=B+A

(A+B)+ C \u003d A + (B + C)

BET + H = BET

Matricos gaminys BETį matricą AT apibrėžiamas tik tuo atveju, jei matricos stulpelių skaičius BET lygus matricos eilučių skaičiui AT. Daugybos rezultate bus gauta matrica AB, kuri turi tiek eilučių, kiek yra matricoje BET, ir tiek stulpelių, kiek yra matricoje AT.

Dviejų matricų sandauga BET (m× p) ir AT(p× n) vadinama matrica NUO (m× n), kurios elementai nustatomi pagal taisyklę

NUO ij =

komentuoti. Norėdami padauginti dvi matricas, jums reikia elementų i- pirmosios matricos eilutė, padauginta iš elementų j antrosios matricos stulpelį ir pridėkite gautus produktus. Gaukite naujos matricos elementą su indeksu ij.

Pavyzdys. Pateikiamos matricos a ir b. ;. Raskite matricų sandaugą vid.

AB=

=
=

Pavyzdys. Matricos duomenys BET ir AT. BET=
ir B = .

Sprendimas: A =(2x3) AT= (3X2) => AB =(2x2)

AB=
 =
=

Matricos daugybos savybės:

AB VA;

(AB)C=A(BC);

AE= EA= BET

(AB)k = (AB)k = A(Bk)

(A+B)C = AB+BC

A(B+C) = AB + AC/

Transponuota matrica A T Matrica vadinama matrica, kurioje vietoj stulpelių rašomos eilutės, o vietoj eilučių – stulpeliai.

Pavyzdys. Tegul matrica A=
, tada

BET T =

Determinantai.

antros eilės determinantas, atitinkanti matricą BET =
, paskambino numeriu
=a 11 a 22 - a 12 a 21 .

Pavyzdys. Apskaičiuokite su antros eilės determinantu.

\u003d 1 (-3) - 2 4 \u003d -11.

trečios eilės determinantas, atitinkanti matricą

BET =
, paskambino numeriu
=a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 13 a 22 a 31 - a 12 a 21 a 33 -a 11 a 23 a 32.

Norint prisiminti, kurie sandaugai dešinėje lygybės pusėje turi būti paimami su „+“, o kurie su „-“ ženklu, naudinga naudoti taisyklę, vadinamą trikampio taisykle, parodyta Fig. vienas.

« + » « - »

1 paveikslas.

Pavyzdys. Apskaičiuokite determinantą

Antrasis būdas apskaičiuoti trečiosios eilės determinantus yra trečiosios eilės determinantų apskaičiavimo būdas, kurį sudaro pirmųjų dviejų stulpelių pridėjimas, sandaugų paieška išilgai pagrindinės įstrižainės ir lygiagrečių jai bei išilgai antrinės įstrižainės ir lygiagrečių jai.

= a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 13 a 22 a 31 - a 12 a 21 a 33 -a 11 a 23 a 32.

Kvalifikatoriaus ypatybės:

Jei determinante sukeistos dvi eilutės (stulpeliai), jo ženklas pasikeis į priešingą.

Jei determinante sukeičiamos eilutės ir stulpeliai, jo ženklas ir reikšmė nepasikeis.

Jei dvi determinanto eilutės yra proporcingos (lygios), tada ji yra lygi nuliui.

Jei kuri nors determinanto eilutė (stulpelis) padauginama iš kokio nors skaičiaus ir pridedama prie kitos eilutės (stulpelio), jos reikšmė nepasikeis.

Jei determinante bet kurios eilutės (stulpelio) elementai turi bendrą koeficientą, tai jį galima išimti iš determinanto ženklo.

Jei determinantas turi nulinę eilutę arba stulpelį, tada jis yra lygus nuliui.

Nepilnametis M ij determinantinis elementas a ij vadinamas determinantu, gautu iš originalo išbraukiant i- oi linija ir j stulpelis, kuriame yra šis elementas.

Algebrinis papildymas A ij determinantinis elementas a ij vadinamas mažuoju, padaugintu iš (-1) i + j .

Trečiasis determinantų skaičiavimo būdas yra plėtimosi teoremos pagalba.

Dekompozicijos teorema: Determinantas lygus bet kurios eilutės (stulpelio) elementų ir jų algebrinių papildinių sandaugų sumai.

Pavyzdys. Apskaičiuokite trečios eilės determinantą , išplečiant determinantą virš pirmosios eilutės elementų.

= 5 (-1) 1+1 + 3 (-1) 1+2
+ 2 (-1) 1+3
= 68.

Tą patį determinantą galima apskaičiuoti naudojant 4 savybę ir tada taikyti plėtimosi teoremą. Mūsų pavyzdyje pirmajame stulpelyje sudarome nulius. Norėdami tai padaryti, prie pirmosios eilutės elementų pridėkite antros eilutės elementus, padaugintus iš 5, o antros eilutės elementus, padaugintus iš 7, pridėkite prie trečios eilutės elementų. Ir gautą matricą išplėskite pagal pirmojo stulpelio elementus.

=
= 0
- (-1)
+0
=
\u003d 13 34 - 17 22 \u003d 68.

Po kelių sekundžių serveris pateiks tikslų sprendimą. Matricos daugyba internete bus matrica, kurio kiekvienas elementas vertinamas kaip skaliarinis dirbti pirmosios matricos eilutes į atitinkamus antrosios matricos stulpelius pagal taisyklę matricos daugybos. At matricos daugyba internete, kiekvienas gautos matricos elementas bus rezultatas daugyba vienos matricos eilutes į kitos matricos stulpelius pagal taisyklę matriciniai produktai. Rasti darbas internetu du matricos leistini matmenys sumažinami iki radimo matricos atitinkamus jų matmenis. Operacija dauginimas internete du matricos matmenys NxK ir KxM sumažinami iki radimo matricos matmenys MxN. Tai elementai matricos sudaryti skaliarą dirbti padaugintos matricos, toks rezultatas matricos daugyba internete. Rasti užduotį matricos produktai internetu arba operacija matricos daugyba internete glūdi daugyba eilučių į stulpelius matricos pagal taisyklę matricos daugybos. www.svetainė randa matricos produktas duoti matmenys režime prisijungęs. Matricos daugyba internete tam tikro matmens yra rasti atitinkamą matricos, kurios elementai bus skaliariniai, matmenį darbai atitinkamas eilutes ir stulpelius padaugintos matricos. Suradimas matricos produktai internetu plačiai paplitęs teoriškai matricos, taip pat tiesinė algebra. Matricų gaminys internete naudojamas gautai matricai nustatyti iš daugyba duota matricos. Norint apskaičiuoti matricos produktas arba apibrėžti matricos daugyba internete, jums reikia praleisti daug laiko, kol mūsų serveris ras matricų produktas internete iš daugyba du duoti matricos internete. Šiuo atveju atsakymas ieškant matriciniai produktai bus teisingi ir pakankamai tiksliai, net jei skaičiai matricos daugyba internete bus neracionalu. Svetainėje www.svetainė simbolių įrašai leidžiami elementuose matricos, tai yra matricų produktas internete gali būti pavaizduotas bendra simboline forma su matricos daugyba internete. Naudinga patikrinti atsakymą, gautą sprendžiant problemą matricos daugyba internete naudojantis svetaine www.svetainė. Atliekant operaciją matricos daugyba internete spręsdami problemą turite būti dėmesingi ir itin susikaupę. Savo ruožtu mūsų svetainė padės jums patikrinti savo sprendimą šia tema matricos daugyba internete. Jei neturite laiko ilgiems išspręstų problemų patikrinimams, tada www.svetainė tikrai bus patogus patikrinimo įrankis matricos daugyba internete.

Visų pirma, KOKS turėtų būti trijų matricų padauginimo rezultatas? Katė negimdys pelės. Jei matricos daugyba yra įmanoma, tada rezultatas taip pat bus matrica. Na, mano algebros mokytojas nemato, kaip aš paaiškinu algebrinės struktūros uždarumą jos elementų atžvilgiu =)

Trijų matricų sandaugą galima apskaičiuoti dviem būdais:

1) suraskite ir padauginkite iš matricos "ce": ;

2) arba pirmiausia suraskite , tada atlikite dauginimą.

Rezultatai būtinai sutaps ir teoriškai ši savybė vadinama matricos daugybos asociatyvumu:

6 pavyzdys

Padauginkite matricas dviem būdais

Algoritmas sprendimus dviejų žingsnių: raskite dviejų matricų sandaugą, tada vėl raskite dviejų matricų sandaugą.

1) Naudokite formulę

Pirmas veiksmas:

Antras veiksmas:

2) Naudokite formulę

Pirmas veiksmas:

Antras veiksmas:

Atsakymas:

Žinoma, labiau pažįstamas ir standartinis yra pirmasis sprendimo būdas, ten „tarsi viskas tvarkoje“. Beje, apie užsakymą. Nagrinėjamoje užduotyje dažnai kyla iliuzija, kad kalbame apie kažkokias matricų permutacijas. Jų čia nėra. Dar kartą primenu tai bendru atveju MATRIKSŲ KEISTI NETURI. Taigi, antroje pastraipoje, antrame žingsnyje, atliekame dauginimą, bet jokiu būdu. Su paprastais skaičiais toks skaičius praeitų, bet ne su matricomis.

Daugybos asociatyvumo savybė galioja ne tik kvadratinėms, bet ir savavališkoms matricoms – tol, kol jos dauginamos:

7 pavyzdys

Raskite trijų matricų sandaugą

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Pavyzdiniame sprendime skaičiavimai atlikti dviem būdais, analizuoti, kuris būdas yra pelningesnis ir trumpesnis.

Matricos daugybos asociatyvumo savybė pasireiškia didesniam skaičiui veiksnių.

Dabar atėjo laikas grįžti prie matricų galių. Matricos kvadratas yra svarstomas pačioje pradžioje ir yra darbotvarkėje.

Matricos daugyba- viena iš pagrindinių operacijų su matricomis. Matrica, gauta iš daugybos operacijos, vadinama matricų sandauga.

dirbti dydžio matrica ant dydžio matricos vadinama dydžio matrica, kurios elementai apskaičiuojami pagal formulę

Dviejų matricų dauginimo operacija yra įmanoma tik tuo atveju, jei pirmojo koeficiento stulpelių skaičius yra lygus antrojo eilučių skaičiui; šiuo atveju sakome, kad matricų forma sutiko. Visų pirma, daugyba visada įmanoma, jei abu veiksniai yra tos pačios eilės kvadratinės matricos.

Raskite matricų sandaugas AB ir BA, jei

ir

Sprendimas: turime

atgal į turinį

(38) 87. Kokios operacijos vadinamos komutacinėmis? Pavyzdžiais parodykite, kad matricos daugyba nėra komutacinė.

Komutatyvumas = Permutability.

Įprastus skaičius galima pertvarkyti: , o matricos paprastai nekeičiamos: .

Kokias matricas galima padauginti?

Kad matrica būtų padauginta iš matricos, kad matricos stulpelių skaičiusbuvo lygus matricos eilučių skaičiui.

Pavyzdys: Ar galima matricą padauginti iš matricos?

Taigi, galite padauginti matricos duomenis.

Bet jei matricos yra pertvarkytos, tokiu atveju daugyba nebegalima!

Todėl dauginti neįmanoma:

Neretai pasitaiko užduočių su gudrybe, kai mokinio prašoma padauginti matricas, kurių padauginimas akivaizdžiai neįmanomas.

Pažymėtina, kad kai kuriais atvejais matricas galima dauginti abiem būdais. Pavyzdžiui, matricoms galima ir daugyba, ir daugyba

atgal į turinį

(39) 88. Kas yra tapatumo ir atvirkštinės matricos? Kaip konstruojama (Gauso) atvirkštinė matrica?

Tegu a yra n eilės kvadratinė matrica. Atvirkštinė matrica yra matrica A -1, kad A -1 *A=E (čia A -1 ir E yra tos pačios eilės kvadratinės matricos, o E yra tapatybės matrica).

Šis apibrėžimas visiškai nereiškia, kad bet kuriai matricai A egzistuoja atvirkštinė matrica.

(0 0) - ši eilutė veda prie to, kad pirmoji šios matricos sandaugos su bet kuria kita eilutė susideda tik iš nulių (tapatybės matricoje taip nėra)

Atvirkštinės matricos radimas Gauso metodu.