Elektrilaengute süsteemi väljatugevuse arvutamist elektrostaatiliste väljade superpositsiooni põhimõttel saab oluliselt lihtsustada, kui rakendada saksa teadlase K. Gaussi (1777-1855) avastatud teoreemi, mis määrab elektrilaengute voolu. elektrivälja tugevuse vektor läbi suvalise suletud pinna.

Intensiivsusvektori voo läbi suletud pinna definitsiooni järgi on intensiivsusvektori voog läbi raadiusega r sfäärilise pinna, mis katab selle keskel asuva punktlaengu Q (joonis 1),

See tulemus kehtib suvalise kujuga suletud pinna puhul. Tõepoolest, kui ümbritseda kera (joonis 1) suvalise suletud pinnaga, siis iga sfääri tungiv pingejoon läbib ka seda pinda.

Kui mis tahes kujuga suletud pind ümbritseb laengut (joonis 2), siis kui mis tahes pingejoon pinnaga lõikub, siis see kas siseneb või väljub sellest. Voo arvutamisel taandub paaritu arv lõikepunkte lõpuks üheks ristumiskohaks, kuna eeldatakse, et voog on positiivne, kui pingejooned lahkuvad pinnalt, ja negatiivne joonte puhul, mis sisenevad pinnale, kui suletud pind ei hõlma laengut , siis on seda läbiv voog null, seega on pinnale sisenevate pingutusjoonte arv võrdne sellelt väljuvate pingutusjoonte arvuga.

See tähendab, et suvalise kujuga pinna korral, kui see on suletud ja sisaldab punktlaengu Q, on vektori voog E on võrdne Q/ε 0-ga, st.

Voolu märk langeb kokku laengu Q märgiga.

Uurime n laengut ümbritseva suvalise pinna üldist juhtumit. Kasutades superpositsiooni printsiipi, pinge E väli, mis tekib kõigi laengutega, on võrdne intensiivsuste summaga E i väljad, mis luuakse iga laenguga eraldi. Sellepärast

Vastavalt (1) on iga integraal, mis esineb summamärgi all, võrdne Q i /ε 0 . Tähendab,

(2)

Valem (2) väljendab Gaussi teoreem elektrostaatilise välja kohta vaakumis: elektrostaatilise väljatugevuse vektori vool vaakumis läbi suvalise suletud pinna võrdub selle pinna sees olevate laengute algebralise summaga, jagatud ε 0-ga. Selle teoreemi sai matemaatiliselt suvalise olemusega vektorvälja jaoks vene matemaatik M.V. Ostrogradsky (1801-1862) ja seejärel temast sõltumatult elektrostaatilise välja suhtes - K. Gauss.

Üldjuhul saab elektrilaenguid jaotada teatud mahutihedusega ρ=dQ/dV, mis on ruumi erinevates kohtades erinev. Seejärel suletud pinna S sees olev kogulaeng, mis katab teatud ruumala V,

(3)

Kasutades valemit (3), saab Gaussi teoreemi (2) kirjutada järgmiselt:

Pingevektori tsirkulatsioon on töö, mida elektrijõud teevad ühe positiivse laengu liigutamisel mööda suletud rada L

(13.18)

Kuna elektrostaatiliste väljajõudude töö suletud ahelas on null (potentsiaalsete väljajõudude töö), siis elektrostaatilise väljatugevuse tsirkulatsioon mööda suletud ahelat on null.

Elektrostaatilise välja potentsiaal. Konservatiivse jõu välja ei saa kirjeldada mitte ainult vektorfunktsiooniga, vaid selle välja samaväärse kirjelduse võib saada, defineerides igas selle punktis sobiva skalaarsuuruse. Elektrostaatilise välja puhul on see suurus elektrostaatilise välja potentsiaal, mis on määratletud katselaengu potentsiaalse energia suhtena q selle laengu suurusele,  = W P / q, millest järeldub, et potentsiaal on arvuliselt võrdne potentsiaalse energiaga, mis on ühikulise positiivse laenguga välja antud punktis. Potentsiaali mõõtühik on volt (1 V).

Punktlaenguvälja potentsiaal K homogeenses isotroopses keskkonnas dielektrilise konstandiga :

Superpositsiooni põhimõte. Potentsiaal on skalaarfunktsioon, selle puhul kehtib superpositsiooni printsiip. Nii et punktlaengute süsteemi väljapotentsiaali kohta K 1, K 2, Qn meil on

,

Kus r i- kaugus potentsiaaliga  väljapunktist laenguni Q i. Kui laeng on ruumis meelevaldselt jaotatud, siis

,

Kus r- kaugus elementaarmahust d x,d y,d z osutama ( x, y, z), kus potentsiaal määratakse; V- ruumi maht, milles laeng jaotub.

Elektrivälja jõudude potentsiaal ja töö. Potentsiaali definitsiooni põhjal saab näidata, et elektrivälja poolt tehtav töö mõjub punktlaengu liigutamisel qühest välja punktist teise on võrdne selle laengu suuruse ja tee alg- ja lõpp-punkti potentsiaalse erinevuse korrutisega, A = q (     
Kui eeldame analoogselt potentsiaalse energiaga, et elektrilaengutest – väljaallikatest – lõpmatult kaugel asuvates punktides on potentsiaal null, siis elektrivälja jõudude töö laengu liigutamisel q punktist 1 kuni lõpmatuseni saab esitada kui A   q  1 .
Seega potentsiaal elektrostaatilise välja antud punktis on füüsikaline suurus arvuliselt võrdne tööga, mida teevad elektrivälja jõud, kui liigutatakse ühikulist positiivset punktlaengu antud välja punktist lõpmatult kaugele:  = A  / q.
Mõnel juhul on elektrivälja potentsiaal selgemalt määratletud kui füüsikaline suurus, mis on arvuliselt võrdne välisjõudude tööga elektrivälja jõudude suhtes ühikulise positiivse punktlaengu liigutamisel lõpmatusest antud punkti. Viimane määratlus on mugav kirjutada järgmiselt:

Kaasaegses teaduses ja tehnikas, eriti mikrokosmoses toimuvate nähtuste kirjeldamisel, on töö- ja energiaühik nn. elektron-volt(eV). See on töö, mida tehakse elektroni laenguga võrdse laengu liigutamisel kahe punkti vahel, mille potentsiaalide erinevus on 1 V: 1 eV = 1,6010  C1 V = 1,6010  J

Ekvipotentsiaalpinnad- mõiste, mis on kohaldatav mis tahes potentsiaalse vektorvälja jaoks, näiteks staatiline elektriväli või Newtoni gravitatsiooniväli. Ekvipotentsiaalpind on pind, millel antud potentsiaalivälja skalaarpotentsiaal omandab konstantse väärtuse (potentsiaalitasandi pind). Teine, samaväärne definitsioon on pind, mis on mis tahes punktis väljajoontega ortogonaalne.

Elektrostaatikas oleva juhi pind on potentsiaaliühtluspind. Lisaks ei muuda juhtme asetamine potentsiaaliühtlustuspinnale elektrostaatilise välja konfiguratsiooni. Seda asjaolu kasutatakse pildimeetodis, mis võimaldab arvutada elektrostaatilist välja keerukate konfiguratsioonide korral.

(Statsionaarses) gravitatsiooniväljas määratakse statsionaarse vedeliku tase piki potentsiaaliühtlustuspinda. Eelkõige võib ligikaudselt väita, et ookeanide tase kulgeb mööda Maa gravitatsioonivälja ekvipotentsiaalipinda. Ookeanide pinna kuju, mis ulatub Maa pinnale, nimetatakse geoidiks ja sellel on geodeesias oluline roll. Geoid on seega gravitatsiooni ekvipotentsiaalne pind, mis koosneb gravitatsioonilisest ja tsentrifugaalkomponendist.

Elektrostaatiline väli on teatud tüüpi aine, mille kaudu laetud kehad interakteeruvad.

Coulombi seadus: interaktsiooni jõud F kahe statsionaarse punktlaengu vahel q 1 ja q 2 on otseselt võrdeline nende laengute suurusega ja pöördvõrdeline kauguse ruuduga r nende vahel:

Kus ( e 0 – elektrikonstant);

e– keskkonna dielektriline konstant, mis näitab, mitu korda on laengute vastasmõju antud keskkonnas väiksem kui vaakumis.

Elektrivälju, mis tekivad statsionaarsete elektrilaengute poolt, nimetatakse elektrostaatiline.

Elektrostaatilise välja tugevus antud punktis on füüsikaline suurus, mille määrab katsepunkti positiivsele laengule mõjuv jõud q 0 asetatud sellesse välja punkti, see tähendab:

Elektrostaatilist välja saab graafiliselt kujutada kasutades elektriliinid.Elektriliin - see on sirge, mille puutuja igas punktis ühtib elektrostaatilise väljatugevuse vektoriga antud punktis (joon. 1, 2).

Kui välja loob punktlaeng, siis on väljajooned positiivsest laengust väljuvad radiaalsed sirgjooned (joonis 2, A) ja sisaldub negatiivses laengus (joonis 2, b).

Riis. 1 Joon. 2

Väljajoonte abil on võimalik iseloomustada mitte ainult elektrostaatilise välja tugevuse suunda, vaid ka suurust, seostades seda väljajoonte tihedusega. Väljajoonte suurem tihedus vastab suuremale pinge väärtusele (joon. 1, 2). Kvantitatiivselt on jõujoontega risti asetsevat üht piirkonda läbivate jõujoonte arv korrelatsioonis elektrostaatilise välja tugevuse suurusega. Sel juhul teatud tasu q, loob välja, vastab teatud arvule N jõujooned, mis lahkuvad laengust või sisenevad laengusse, nimelt: .

Elektrostaatilise väljatugevuse vektori voog suvalise platvormi kaudu S mida iseloomustab antud piirkonda läbivate jõujoonte arv S.

Kui sait S jõujoontega risti (joon. 3), siis voolu F E pingevektor läbi selle piirkonna S: .

Riis. 3 Joon. 4

,

Kus α – nurk pingevektorite ja koha normaalnurga vahel S.

Voolu leidmiseks F E pingevektor läbi suvalise pinna S, on vaja see pind jagada elementaarseteks aladeks dS(joonis 5), defineerige elementaarvoog dФ E iga platvormi kaudu dS valemi järgi:

,

ja siis kõik need elementaarsed vood dФ E lisada, mis viib integratsioonini:

,

Kus α – nurk pingevektorite ja normaalväärtuse vahel antud elementaarala suhtes dS.

.

Ostrogradsky-Gaussi teoreem elektrostaatilise välja jaoks.

Ostrogradsky-Gaussi teoreem elektrostaatilise välja jaoks seostab voo suurust F E elektrostaatiline väljatugevuse vektor vaakumis läbi suvalise suletud pinna S koos tasu suurusega q suletud antud suletud pinna sisse S(joonis 6).

.

See suhe on Ostrogradski-Gaussi teoreem elektrostaatilise välja jaoks.

Kuna voogu peetakse positiivseks, kui jõujooned väljuvad pinnalt S, ja negatiivne pinnal sisalduvate joonte puhul S, siis kui suvalise suletud pinna sees S pole mitte üks, vaid mitu ( n) siis vastupidised laengud Ostrogradski-Gaussi teoreem elektrostaatilise välja jaoks on formuleeritud järgmiselt:

elektrostaatilise väljatugevuse vektori vool vaakumis läbi suvalise suletud pinna on võrdne selle pinna sees olevate laengute algebralise summaga jagatud e 0-ga:

.

Teema 2. Elektrostaatiliste väljajõudude töö. potentsiaal

Kui punktlaengu tekitatud elektrostaatilises väljas q, liigub teine ​​testlaeng q 0 punktist 1 täpselt 2 mööda suvalist trajektoori (joonis 7) , siis toimub elektrostaatilise välja jõudude töö.

Elementaarne töö dA elementaarse nihke jõud on võrdne: .

Jooniselt 7 on selge, et .

Siis ().

Töö A laengu liigutamisel q 0 piki trajektoori punktist 1 asja juurde 2 :

See tähendab, et töötage laengu liigutamisel punktist 1 V

punkt 2 elektrostaatilises väljas ei sõltu liikumistrajektoorist, vaid selle määrab ainult algus- ja lõpp-punktide asukoht. Sellepärast elektrostaatiline väli punktlaeng on potentsiaal.

Elektrostaatiliste väljajõudude poolt laengu liigutamisel tehtav töö q 0 punktist 1 täpselt 2 , väljendatakse järgmiselt:

,

Kus φ 1 Ja φ 2 – elektrostaatilise välja potentsiaalid punktides 1 Ja 2 .

Elektrostaatilise välja potentsiaal määratakse kuni suvalise aditiivse konstandini KOOS, see tähendab punktlaengu välja jaoks q:

.

Siis , .

Potentsiaalne erinevus kaks punkti 1 Ja 2 elektrostaatilises väljas määrab töö, mida teevad elektrostaatilise välja jõud katsepunkti laengu liigutamisel q 0 punktist 1 täpselt 2 :

.

Elektrostaatilise välja tugevuse ja potentsiaali seos

Pinge ja potentsiaal φ elektrostaatilised väljad on omavahel seotud järgmiselt:

= – grad φ

või , Kus

– koordinaattelgede ühikvektorid Oh,Oh, Oz, vastavalt.

Miinusmärk ülaltoodud valemis tähendab, et elektrostaatilise väljatugevuse vektor on suunatud sisse maksimaalse languse pool potentsiaal j.

Elektrostaatilise välja potentsiaali jaotuse graafiliseks kujutamiseks kasutame potentsiaaliühtlustuspinnad, st pinnad, mille kõigis punktides on potentsiaal j on sama tähendusega.

Näiteks välja jaoks, mis on loodud punktlaengu abil q, potentsiaal j on määratud avaldisega: , ja ekvipotentsiaalpinnad on kontsentrilised sfäärid (joonis 8).

Sellelt jooniselt on selge, et punktlaengu korral on väljajooned (joonisel katkendlikud jooned) normaalne(risti) potentsiaaliühtlustuspindade suhtes (joonisel pidevad jooned).

See vara normaalne elektrostaatilise välja jõujoonte ja potentsiaaliühtlustuspindade suhteline asend on ühine kõigil elektrostaatilise välja juhtudel.

Seega, teades elektrostaatilise välja jõujoonte asukohta, on võimalik konstrueerida selle elektrostaatilise välja ekvipotentsiaalipinnad ja vastupidi, elektrostaatilise välja ekvipotentsiaalpindade teadaoleva asukoha põhjal on võimalik konstrueerida elektrostaatilise välja jõujooned.

Magnetväli

Teema 3. Magnetväli. Biot-Savart-Laplace'i seadus

Elektrivool loob välja, mis mõjub magnetnõelale. Nool on suunatud voolujuhtmega risti asetseval tasapinnal asuva ringi puutujaga (joonis 9).

Magnetvälja peamine omadus on vektorinduktsioon. On aktsepteeritud, et magnetvälja induktsiooni vektor on suunatud välja antud punkti asetatud magnetnõela põhjapooluse poole (joonis 9).

Analoogiliselt elektriväljaga saab magnetvälja kujutada ka graafiliselt kasutades elektriliinid (magnetvälja jooned).

elektriliin- see on sirge, mille puutuja igas punktis ühtib magnetvälja induktsioonivektoriga. Erinevalt elektrostaatilistest jõujoontest on magnetvälja jooned suletud ja ümbritsevad voolu juhtivaid juhte. Elektriliinide suund määratakse parempoolse kruvi reegliga (kruvi reegel): voolu suunas sisse keeratud kruvipea pöörleb liinide suunas Joon. 9

magnetinduktsioon (joon. 9).

Mitme magnetvälja allika puhul võrdub magnetväljade superpositsiooni põhimõtte kohaselt saadud magnetvälja induktsioon kõigi üksikute magnetväljade induktsioonide vektorsummaga:

Voolu juhtiva juhi tekitatud magnetvälja induktsioonivektorit saab määrata kasutades Biot-Savart-Laplace'i seadus. Samas tuleb sellega arvestada Biot-Savart-Laplace'i seadus võimaldab leida ainult voolu juhtiva juhtelemendi tekitatud magnetvälja induktsioonivektori suuruse ja suuna. Seetõttu on voolu juhtiva juhi loodud magnetvälja induktsioonivektori määramiseks vaja see juht algselt jagada juhtelementideks, kasutades iga elemendi jaoks Biot-Savart-Laplace'i seadus leida induktsioonivektor ja seejärel magnetväljade superpositsiooni põhimõtet kasutades lisada vektoraalselt kõik leitud induktsioonivektorid.

Nagu eespool mainitud, lepiti kokku tõmmata jõujooned sellise tihedusega, et joonte arv, mis läbistavad pinnaühikut, mis on risti ala joontega, oleks võrdne vektori mooduliga. Seejärel saab pingejoonte mustri järgi hinnata mitte ainult vektori suunda, vaid ka suurust ruumi erinevates punktides.

Vaatleme statsionaarse positiivse punktlaengu väljajooni. Need on radiaalsed sirgjooned, mis väljuvad laengust ja lõpevad lõpmatuseni. Viime läbi N sellised read. Siis eemalt r laengust raadiusega sfääri ühikpinda lõikuvate jõujoonte arv r, on võrdne. See väärtus on võrdeline punktlaengu väljatugevusega kaugusel r. Number N alati saab valida nii, et võrdsus kehtib

kus . Kuna jõujooned on pidevad, lõikub sama arv jõujooni mis tahes kujuga suletud pinnaga, mis ümbritseb laengut q. Sõltuvalt laengu märgist jõujooned kas sisenevad sellele suletud pinnale või kustuvad. Kui väljaminevate ridade arv loetakse positiivseks ja sissetulevate ridade arv negatiivseks, siis võime mooduli märgi ära jätta ja kirjutada:

Pingevektori vool. Asetame elementaarse padja pindalaga . Pindala peab olema nii väike, et elektrivälja tugevust kõigis selle punktides saaks lugeda samaks. Joonistame saidile normaalse (joonis 1.17). Selle normaalse suund valitakse meelevaldselt. Normaal teeb vektoriga nurga. Elektriväljatugevuse vektori voog läbi valitud pinna on pinna pindala ja elektrivälja tugevuse vektori projektsiooni korrutis piirkonna normaalsele:

kus on vektori projektsioon saidi normaalsele.

Kuna ühte ala läbistavate väljajoonte arv on võrdne intensiivsusvektori mooduliga valitud ala läheduses, on intensiivsusvektori vool läbi pinna võrdeline seda pinda läbivate väljajoonte arvuga. Seetõttu saab väljatugevuse vektori voolu läbi ala visuaalselt tõlgendada kui väärtust, mis võrdub seda piirkonda läbivate väljajoonte arvuga:

Pange tähele, et normaalse suuna valik on tingimuslik, seda saab suunata ka teises suunas. Järelikult on voog algebraline suurus: voolu märk ei sõltu ainult välja konfiguratsioonist, vaid ka normaalvektori ja intensiivsusvektori suhtelisest orientatsioonist. Kui need kaks vektorit moodustavad teravnurga, on voog positiivne, kui see on nüri, on voog negatiivne. Suletud pinna puhul on tavaks viia normaal väljapoole selle pinnaga kaetud ala ehk siis valida välimine normaal.

Kui väli on ebahomogeenne ja pind on suvaline, siis defineeritakse voog järgmiselt. Kogu pind tuleb jagada väikesteks elementideks pindalaga , arvutada pingevood läbi iga elemendi ja seejärel summeerida kõigi elementide vood:

Seega iseloomustab väljatugevus ruumipunkti elektrivälja. Intensiivsuse voog ei sõltu väljatugevuse väärtusest antud punktis, vaid välja jaotusest teatud ala pinnal.

Elektrivälja jõujooned saavad alata ainult positiivsete laengutega ja lõppeda negatiivsete laengutega. Need ei saa alata ega lõppeda ruumis. Seega, kui teatud suletud ruumala sees puudub elektrilaeng, peab sellesse ruumalasse sisenevate ja väljuvate ridade koguarv olema null. Kui helitugevusest väljub rohkem ridu kui sinna siseneb, siis on helitugevuse sees positiivne laeng; kui ridu tuleb rohkem sisse kui väljub, siis peab sees olema negatiivne laeng. Kui ruumala sees olev kogulaeng on võrdne nulliga või kui selles pole elektrilaengut, tungivad väljajooned sellest läbi ja summaarne voog on null.

Need lihtsad kaalutlused ei sõltu sellest, kuidas elektrilaeng mahus jaotub. See võib asuda helitugevuse keskel või helitugevust piirava pinna lähedal. Maht võib sisaldada mitut positiivset ja negatiivset laengut, mis on ruumala sees mis tahes viisil jaotatud. Ainult kogulaeng määrab sissetulevate või väljuvate pingeliinide koguarvu.

Nagu on näha (1.4) ja (1.5), elektrivälja tugevuse vektori vool läbi laengut katva suvalise suletud pinna q, võrdne . Kui pinna sees on n laenguid, siis on koguvoog välja superpositsiooni põhimõtte kohaselt kõigi laengute väljatugevuste voogude summa ja võrdub , kus antud juhul peame silmas kõigi suletud laengutega kaetud laengute algebralist summat pinnale.

Gaussi teoreem. Gauss oli esimene, kes avastas lihtsa tõsiasja, et elektrivälja tugevusvektori voog läbi suvalise suletud pinna peab olema seotud selle ruumala sees asuva kogulaenguga:

Gauss Karl Friedrich (1777–1855)

Suur saksa matemaatik, füüsik ja astronoom, füüsika absoluutse ühikusüsteemi looja. Ta töötas välja elektrostaatilise potentsiaali teooria ja tõestas kõige olulisemat elektrostaatika teoreemi (Gaussi teoreem). Loonud teooria kujutiste konstrueerimiseks keerukates optilistes süsteemides. Ta oli üks esimesi, kes jõudis ideeni mitte-eukleidilise geomeetria olemasolust. Lisaks andis Gauss silmapaistva panuse peaaegu igasse matemaatika haru.

Viimane seos on Gaussi teoreem elektrivälja kohta: intensiivsusvektori voog läbi suvalise suletud pinna on võrdeline selle pinna sees asuvate laengute algebralise summaga. Proportsionaalsustegur sõltub ühikute süsteemi valikust.

Tuleb märkida, et Gaussi teoreem saadakse Coulombi seaduse ja superpositsiooniprintsiibi tulemusena. Kui elektrivälja tugevus ei muutuks pöördvõrdeliselt kauguse ruuduga, siis oleks teoreem kehtetu. Seetõttu on Gaussi teoreem rakendatav kõikidele väljadele, milles pöördruuduseadus ja superpositsiooni põhimõte on rangelt täidetud, näiteks gravitatsioonivälja puhul. Gravitatsioonivälja puhul mängivad välja loovate laengute rolli kehade massid. Gravitatsioonivälja joonte voog läbi suletud pinna on võrdeline sellel pinnal sisalduva kogumassiga.

Laetud tasapinna väljatugevus. Lõpmatu laetud tasandi elektrivälja tugevuse määramiseks rakendame Gaussi teoreemi. Kui tasapind on lõpmatu ja ühtlaselt laetud, st pinnalaengu tihedus on igas kohas sama, siis on elektrivälja tugevusjooned mis tahes punktis selle tasapinnaga risti. Selle näitamiseks kasutame pingevektori jaoks superpositsiooni põhimõtet. Valime tasapinnal kaks elementaarset lõiku, mida võib pidada punkti punktiks A, milles on vaja määrata väljatugevus. Nagu näha jooniselt fig. 1.18, suunatakse saadud pingevektor tasapinnaga risti. Kuna tasapinda saab jagada lõpmatu arvu paarideks selliseid lõike mis tahes vaatluspunkti jaoks, on ilmne, et laetud tasandi väljajooned on tasandiga risti ja väli on ühtlane (joon. 1.19). Kui see nii ei oleks, siis kui tasapind liiguks mööda ennast, muutuks väli igas ruumipunktis, kuid see on vastuolus laetud süsteemi sümmeetriaga (tasand on lõpmatu). Positiivse laenguga tasandi puhul algavad jõujooned tasapinnast ja lõpevad lõpmatuseni, negatiivselt laetud tasandi puhul algavad jõujooned lõpmatusest ja sisenevad tasapinnale.

Riis. 1.18	Riis. 1.19

Lõpmatu positiivselt laetud tasandi elektrivälja tugevuse määramiseks valime mõtteliselt ruumis silindri, mille telg on laetud tasapinnaga risti ja alused on sellega paralleelsed ning üks alustest läbib välja punkti meile huvi pakkuv (joonis 1.19). Silinder lõikab laetud tasapinnast välja pindala ja silindri alustel, mis asuvad tasapinna erinevatel külgedel, on sama pindala.

Vastavalt Gaussi teoreemile on elektrivälja tugevuse vektori vool läbi silindri pinna seotud silindri sees oleva elektrilaenguga avaldise abil:

.

Kuna pingejooned lõikuvad ainult silindri aluseid, on silindri külgpinda läbiv vool null. Seetõttu koosneb pingevektori voog läbi silindrilise pinna ainult silindri aluseid läbivatest voogudest, mistõttu

Võrreldes intensiivsusvektori voo kahte viimast avaldist, saame

Elektrivälja tugevus vastupidiselt laetud plaatide vahel. Kui plaatide mõõtmed ületavad oluliselt nendevahelist kaugust, siis võib iga plaadi elektrivälja lugeda lõpmatu ühtlaselt laetud tasandi välja lähedaseks. Kuna plaatidevahelised vastaslaenguga plaatide elektriväljatugevuse jooned on suunatud ühes suunas (joon. 1.20), on plaatide vaheline väljatugevus võrdne

.

Välisruumis on vastupidiselt laetud plaatide elektrivälja tugevusjooned vastassuunalised, seetõttu on väljaspool neid plaate tekkiv elektrivälja tugevus null. Intensiivsuse kohta saadud avaldis kehtib suurte laetud plaatide puhul, kui intensiivsus määratakse punktis, mis asub nende servadest kaugel.

Lõpmatu pikkusega ühtlaselt laetud õhukese traadi elektrivälja tugevus. Leiame Gaussi teoreemi abil ühtlaselt laetud lõpmatu pikkusega õhukese traadi elektrivälja tugevuse sõltuvuse traadi telje kaugusest. Valime lõpliku pikkusega traadi osa. Kui lineaarne laengutihedus traadil on , siis on valitud ala laeng võrdne .

See teoreem on vaid Coulombi seaduse ja elektriväljade superpositsiooni põhimõtte tagajärg. Siin on selle sõnastus:

Elektriväljatugevuse vektori vool läbi suletud pinna vaakumis võrdub sellel pinnal sisalduvate elektrilaengute algebralise summaga, mis on jagatud elektrikonstandiga  0 .

Alustame teoreemi tõestamist kõige lihtsama juhtumiga: arvutame punktlaengu väljatugevuse vektori voo K.

Selle välja tugevus on hästi teada (vt 1.3)

Võttes arvesse välja sfäärilist sümmeetriat, valime esmalt raadiusega sfääri r, mille keskpunkt on laengu asukohas K(Joon. 2.5., 1). Pinnast läbiva pingevektori voolu on lihtne arvutada

Siin võtsime arvesse järgmist:

Riis. 2.5.

Võttes arvesse viimast märkust, kirjutame voo (2.7) järgmisel kujul:

(2.8)

Seega osutus Gaussi teoreem esimesel lihtsal juhul tõeseks. Mis sellest järeldub?

Saadud tulemus lubab järeldada, et leitud vool ei sõltu Gaussi pinna raadiusest. Seda on lihtne mõista: ju siis, kui kaugus laengust kasvab K pindala kasvavproportsionaalselt ruudu raadius ja väljatugevus vähenebvastupidiselt ruudu raadius.

Lisaks meenutagem, et intensiivsusvektori voog on võrdne Gaussi pinda läbivate väljajoonte arvuga. Voolu sõltumatus pinna raadiusest tähendab, et positiivsest laengust algava punktlaengu väljajooned ulatuvad katkestusteta edasi lõpmatuseni. Sellest ka edasised järeldused.

Punktlaengu väljatugevuse vektori läbivool ükskõik milline suletud pind (joonis 2.5, 2), punktitasu katmineK, on võrdne suhtega

See järeldus on vaieldamatu, kuna vool on võrdne suletud pinda läbistavate jõujoonte eelmise konstantse arvuga.

Pingevektori vool läbi suvalise suletud pinna, mis ei kata elektrilaengut, on võrdne nulliga (joon. 2.5, 3).

Seda järeldust on ka lihtne mõista, kuna Gaussi pinnale voolavate väljajoonte arv on võrdne sealt väljuvate joonte arvuga. Seetõttu on seda pinda läbiv koguvoog null.

Nüüd saame pöörduda üldjuhtumi käsitlemise poole: laseme suvalise suletud pinna S kaaned N punktlaenguid (joon. 2.6.). Arvutame kogu väljatugevuse vektori voolu läbi selle pinna S, võttes arvesse, et superpositsiooni põhimõtte kohaselt on saadud väli võrdne üksikute väljade vektorite summaga

Riis. 2.6.

Niisiis, kasutades voolu definitsiooni, arvutame selle läbi suvalise suletud pinna S.

(2.9)

Saadud tulemus tõendab Gaussi teoreemi kehtivust: elektrostaatilise väljatugevuse vektori vool vaakumis läbi mis tahes suletud pinna on võrdeline selle pinna sees olevate laengute algebralise summaga.

Elektriväljatugevuse E ja sellise tasase ala S korrutis, mille kõigis punktides on väljatugevus sama ja sellega risti, on pingevektori vool N läbi platvormi S;

N=ES(6)

Kui pingevektor ei ole kohaga risti, siis on vaja määrata kohaga risti olev pingevektori komponent, mida nimetatakse normaalkomponendiks (joonis 1):

N = E n S = (E*cosβ)S

Mittehomogeenses väljas pindala S suvalise pinna läbiva voo arvutamisel tuleks see pind jagada väikesteks lamedateks elementideks dS, millest igaühe väljatugevust võib pidada samaks; voolab läbi eraldi elementaarse platvormi

dN = E n dS

Pingevektori voog läbi suvalise suletud pinna leitakse elementaarvoogude summeerimisel (integreerimisel):

Pingevektori voo mõõtühiku leiame valemist (6):

[N] = = V/m * m 2 = V * m (8)

Joonis 1 Elektrivälja tugevuse vektori normaalkomponent, joonis 2 elektrilaeng sfäärilise pinna sees

Näitena leiame raadiusega R sfäärilise (sfäärilise) pinna keskpunkti asetatud punktlaengu Q väljatugevusvektori voo (joonis 2).
Laengu väljatugevus Q on selle pinna kõikides punktides sama ja vastavalt ()

Kuna pingevektorid on sfäärilise pinnaga risti, siis E n = E ja pinda läbiva väljatugevuse vektori voogu

Nagu on näha punktist (9), ei sõltu sfäärilise pinna konkreetsel juhul saadud voo avaldis ei pinna kujust ega laengu asukohast selle sees. Seetõttu kehtib valem (9) mis tahes kujuga suletud pinna ja selle sees suvaliselt paiknevate laengute puhul, mille koguväärtus on võrdne Q-ga.

Seega on elektrivälja tugevuse vektori vool läbi suletud pinna võrdne selle pinna sees olevate laengute summade ja keskkonna absoluutse dielektrilise konstandi suhtega. Saadud seost nimetatakse Gaussi teoreemiks.

Voolu kujutatakse visuaalselt elektrijoontega, nii et väljatugevuse vektor on mis tahes punktis puutuja läbi tõmmatud elektriliiniga.
see punkt. Statsionaarsete laengute elektrivälja jõujooned algavad positiivsetel ja lõpevad negatiivsetel. Antud ala läbivate joonte arv valitakse proportsionaalselt seda piirkonda läbiva voolu N väärtusega. Näidatud on punktlaengu + Q 1 elektrijooned.

Statsionaarsete laengute elektrivälja nimetatakse elektrostaatiliseks.