9. Valge müra

9. Valge müra

• 9.1. Valge müra määratlus.
• 9.2. Gaussi valge müra.
• 9.3. Valge müra füüsilised allikad.
• 9.4. Protsesside korrelatsioon.

9.1. Valge müra määratlus

• Kitsalt statsionaarset juhuslikku protsessi, mille võimsusspektri tiheduse funktsioon on võrdne positiivse konstandiga, nimetatakse valgeks müraks.
• Nimi tuleneb optikast, valge värvus saadakse nähtavas vahemikus erineva sagedusega lainete segamisel.
• Tavaliselt on valge müra protsessis matemaatiline ootus null, m = 0.
• Kuna valge müra on kitsas tähenduses statsionaarne protsess, siis selle autokorrelatsioonifunktsioon sõltub ühest argumendist τ;
• KXX(τ) on paaris.

9.1. Valge müra määratlus

• Spektritiheduse funktsioon KXX(ω) saadakse autokorrelatsioonifunktsioonist Fourier' teisenduse abil ja kuna funktsioon KXX(ω) on paaris, saab kasutada koosinusteisendust.
• Olgu KXX(ω) = c > 0. Konstantse funktsiooni Fourier' pöördteisendus (või pöördosinusteisendus) on võrdne δ-funktsiooniga koefitsiendiga c

9.1. Valge müra määratlus

• Seetõttu on valge müra korrelatsioonita protsess, juhuslikud suurused X(t1) ja X(t2) , st nende korrelatsioon on null (teised muutujad on lineaarselt sõltumatud) mis tahes puhul. Juhusliku suuruse X(t0) jaotus valge müra definitsioonis ei ole määratud, see võib olla ükskõik milline.
• Signaali energia on võrdeline integraaliga
• Sellest järeldub, et valget müra ei eksisteeri.

9.2. Gaussi valge müra

• Vaatleme statsionaarset korrelatsioonita Gaussi protsessi.
• Olgu protsessi matemaatiline ootus a = 0, ruutkeskmine on võrdne σ-ga. Siis, pidades silmas nulli matemaatilist ootust

• Kui σ kaldub lõpmatuseni, siis selline Gaussi protsess kaldub valge mürani. Kuid reaalses rakenduses tuleb piirduda ruutkeskmise σ konkreetse väärtusega. Seame σ = 10 ja leiame sellise protsessi spektraaltiheduse.

9.2. Gaussi valge müra

• Gaussi protsessi funktsiooni KXX(τ) Fourier' teisenduse saab leida, minnes ristkülikukujulise impulsi R(σ2, ε, t) Fourier' teisenduse piirini (nagu ε kipub olema 0) (vt 3.8. Näited Fourier' teisendustest).

Paremal küljel saadakse funktsioon, mis kaldub valge müra spektraaltiheduse funktsiooni KXX(ω) ε 0 korral.

9.2. Gaussi valge müra

• Gaussi protsessist saadud spektraaltiheduse lähendamise graafikud σ = 10 juures
• kui ε = 1, 0,5, 0,1

9.2. Gaussi valge müra

• Funktsioon kipub olema konstant, kuid see konstant on null. Sellegipoolest võib piiratud sagedusvahemikus funktsiooni pidada nullist erinevaks konstandiks.
• Seega võib statsionaarset korrelatsioonita Gaussi protsessi pidada valge müra lähendamiseks. Seda kasutatakse tõesti praktilistes ülesannetes.

9.2. Gaussi valge müra

• Kasutades Gaussi protsessi ergoodilisuse omadust, hindame ühe teostuse autokorrelatsiooni ja spektraaltiheduse funktsioone mahuga n=1000 mõõtmist.
• Korreleerimata Gaussi protsessi realiseerimise graafik a = 0, σ = 10 juures.

9.2. Gaussi valge müra

• Autokorrelatsioonifunktsiooni hinnangu graafik (statistiline autokorrelatsiooni funktsioon) juures n=1000 , a = 0, σ = 10.

9.2. Gaussi valge müra

• Spektritiheduse statistilise funktsiooni graafik n=1000 , a = 0, σ = 10 (integraal arvutati ristkülikute meetodil, punane horisontaaljoon on funktsiooni keskmine väärtus)

9.2. Gaussi valge müra

• Valge müra lähenduseks saab valida mis tahes korrelatsioonita statsionaarse (piisavalt kitsas tähenduses) protsessi. Näiteks võime võtta diskreetse protsessi D(t) kahe võrdtõenäolise olekuga +1 ja -1, hetkedel t = 0, 1, 2, … protsess võtab ühe neist olekutest. (Üks häda: kui arvutada kahe sellise suuruse ühisjaotuse korrelatsioon, siis selgub, et see ei võrdu nulliga).
• Harjutus. Leida ühisjaotuse korrelatsioon, protsessi karakteristikud D(t) (matemaatiline ootus, dispersioon, autokorrelatsioonifunktsioon, spektraaltiheduse funktsioon).

9.3. Valge müra füüsilised allikad

• Valge müra, nagu ka δ-funktsioon, eksisteerib ainult matemaatilise abstraktsioonina. Mõlemad mõisted tekkisid loodusnähtustest, abstraktsed

Gaussi protsessi kaalumisel on sageli mugav esitada seda selle keskmise funktsiooni ja mõne müraprotsessi summana, mille keskväärtus on null. Seega

kus on Gaussi protsess nulli keskmisega:

Huvitavamate rakendusülesannete puhul, näiteks kaadrimüra [võrdsus ] puhul, on keskfunktsiooniks teadaolev (mitte juhuslik) signaal, vaid Gaussi müraprotsess, kitsas tähenduses statsionaarne. Veelgi enam, kuna kovariatsioonifunktsioon on võrdne korrelatsioonifunktsiooniga [vt. valem ]:

Seega määrab funktsiooni Fourier' teisendus, st võimsusspektri tihedus, protsessi täielikult nulli keskmisega.

Paljudes kommunikatsiooniteooria rakendustes tuleb tegeleda füüsilise müra allikatega, mille puhul kasulikule signaalile katva Gaussi müra võimsusspektri tihedus jääb praktiliselt konstantseks kuni sagedusteni, mis on palju kõrgemad kui signaali enda põhilised sagedused. Sellistel juhtudel tuleneb võrranditest (3.115) ja (3.116), et mürahäirete efektiivväärtust saab vähendada (ilma kasulikule signaalile soovimatut mõju avaldamata), lastes signaali ja müra summa läbi filtri, signaali jätab filtri ilma oluliste muudatusteta ja müra on suures osas summutatud (joonis 3.27). Kuna meid huvitab ainult filtri väljundis tekkiva müra võimsusspektri tihedus, siis tundub vähe tähtsust, milline on müra spekter sisendis piirkonnas, kus see läheneb nullile väljaspool filtri pääsuriba. Sellega seoses eeldatakse sageli, et sisendmüra spekter on kõigil sagedustel konstantne ja võetakse kasutusele valge Gaussi müra mõiste, mis on defineeritud kui statsionaarne Gaussi protsess, mille keskväärtus on null.

Joonis fig. 3.27. Lairiba Gaussi müra kitsasribafiltri sisenditel. Filtri väljundis ilmub täpselt sama protsess nagu valge müra sisestamisel.

ja võimsuse spektraaltihedusega

Tegelikkuses saab valge müra olla ainult fiktiivne, kuna selle keskmine koguvõimsus peab olema võrdne

mis on mõttetu. Valge müra kontseptsiooni kasulikkus tuleneb asjaolust, et selline müra, mis lastakse läbi lineaarse filtri,

muutub filtri väljundis nullkeskmisega statsionaarseks Gaussi protsessiks, mis pole sugugi mõttetu. Võrdsustest (3,114) ja (3,132) saame

kust see järeldub

See suurus on eeldusel (3,1336) lõplik. Võrdluste (3.120) ja (3.134a) kohaselt on väljundprotsessi korrelatsioonifunktsioon

Teine võrdsuse (3.125) tuletis saadakse otse valge müra korrelatsioonifunktsiooni avaldisest. Märka seda

Seega, kooskõlas võrdsusega (3.111), on protsess antud korrelatsioonifunktsioonile

mis on kasulik ka arvutustes, kuigi sellel puudub füüsiline tähendus. Võrdsusest (3.1366) järeldub, et valge Gaussi müra mis tahes kaks näidisväärtust on statistiliselt sõltumatud, olenemata sellest, kui lähedale nende vaatlushetked on valitud. Teatud mõttes kirjeldab valge Gaussi müra ülimat "juhuslikkust". Asendades avaldise (3.1366) seosega (3.110a) kohas , saame

Joonis fig. 3.28. Valge müra läbimine ideaalsest madalpääsfiltrist.

Esitades funktsioone pöörd-Fourieri teisendusena ja muutes integratsiooni järjekorda, jõuame jällegi võrdsuseni (3.135). Võrdluste parempoolset integraali (3.137) nimetatakse sageli (deterministliku) funktsiooni "korrelatsioonifunktsiooniks".

Nende tulemuste rakendamise näitena vaadake ideaalset madalpääsfiltrit, mis on näidatud joonisel fig. 3.28, mille ülekandefunktsioon on antud kui

Kui selle filtri sisendisse suunatakse valge Gaussi müra, siis protsessi keskmiste funktsiooni väljundis määrab võrdus

Normaaljaotus, nimetatud ka Gaussi jaotus või Gauss – Laplace- tõenäosusjaotus , mille ühemõõtmelisel juhul annab tõenäosuse tihedusfunktsioon , mis langeb kokku Gaussi funktsiooniga:

kus parameeter μ on jaotuse keskmine (keskmine), mediaan ja moodus ning parameeter σ on jaotuse standardhälve (σ ² on dispersioon).

Seega on ühemõõtmeline normaaljaotus kaheparameetriline jaotuste perekond. Mitme muutujaga juhtu on kirjeldatud artiklis "Mitme muutuja normaaljaotus".

standardne normaaljaotus nimetatakse normaaljaotuseks keskmise μ = 0 ja standardhälbega σ = 1 .

Tähendus

Kui teatud suurus moodustub paljude juhuslike, üksteisest nõrgalt sõltuvate suuruste liitmise tulemusena, millest igaüks annab väikese panuse kogusummasse, siis sellise suuruse tsentreeritud ja normaliseeritud jaotus kaldub normaaljaotus.

Omadused

Hetked

Kui juhuslikud muutujad X 1 (\displaystyle X_(1)) Ja X 2 (\displaystyle X_(2)) on sõltumatud ja neil on matemaatiliste ootustega normaaljaotus μ 1 (\displaystyle \mu _(1)) Ja μ 2 (\displaystyle \mu _(2)) ja dispersioonid σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2)) Ja σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2)) vastavalt siis X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) on ka normaaljaotus eeldatava väärtusega μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2)) ja dispersioon σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).) See tähendab, et tavalist juhuslikku muutujat saab esitada suvalise arvu sõltumatute normaalsete juhuslike muutujate summana.

Maksimaalne entroopia

Normaaljaotusel on maksimaalne diferentsiaalentroopia kõigi pidevate jaotuste vahel, mille dispersioon ei ületa etteantud väärtust.

kolme sigma reegel

kolme sigma reegel (3 σ (\displaystyle 3\sigma)) – peaaegu kõik väärtused normaalselt jaotunud juhuslik suurus asub intervallis (x ¯ − 3 σ ; x ¯ + 3 σ) (\displaystyle \left((\bar (x))-3\sigma ;(\bar (x))+3\sigma \right)). Täpsemalt - ligikaudu tõenäosusega 0,9973 normaalselt jaotunud juhuslik muutuja asub määratud intervallis (eeldusel, et väärtus x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) tõene ja seda ei saadud proovi töötlemise tulemusena).

Normaalsete pseudojuhuslike muutujate modelleerimine

Lihtsamad ligikaudsed modelleerimismeetodid põhinevad keskpiiri teoreemil. Nimelt kui liita mitu sõltumatut identselt jaotatud suurust lõpliku dispersiooniga , siis summa jaotub umbes Hästi. Näiteks kui lisate 100 sõltumatut standardit ühtlaselt hajutatud juhuslikud muutujad, siis on summa jaotus ligikaudu normaalne.

Tavalise jaotusega pseudojuhuslike muutujate programmiliseks genereerimiseks on eelistatav kasutada Box-Mulleri teisendust. See võimaldab teil luua ühe normaalselt jaotatud väärtuse ühe ühtlaselt jaotatud väärtuse põhjal.

Seos teiste distributsioonidega

• Normaaljaotus on XI tüüpi Pearsoni jaotus.
• Sõltumatu standardjaotusega juhuslike muutujate paari suhtel on Cauchy jaotus. See tähendab, et kui juhuslik suurus X (\displaystyle X) esindab suhet X = Y / Z (\displaystyle X = Y/Z)(Kus Y (\displaystyle Y) Ja Z (\displaystyle Z) on sõltumatud standardsed tavalised juhuslikud muutujad), siis on sellel Cauchy jaotus.
• Kui z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k)) on ühiselt sõltumatud standardsed normaaljuhuslikud suurused, s.o. z i ∼ N (0, 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)), siis juhuslik muutuja x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) on hii-ruutjaotus k vabadusastmega.
• Kui juhuslik suurus X (\displaystyle X) allub lognormaaljaotusele, siis on selle naturaallogaritmil normaaljaotus. See tähendab, et kui X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), See Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). Ja vastupidi, kui Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), See X = exp ⁡ (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \õige)).
• Kahe standardse normaaljuhusliku muutuja ruutude suhtel on Fisheri jaotus vabadusastmetega (1 , 1) (\displaystyle \left(1,1\right)).

Lugu

Esmakordselt normaaljaotus binoomjaotuse piiriks at p = 1 2 (\displaystyle p=(\tfrac (1) (2))) ilmus 1738. aastal teose teises väljaandes

A) valge müra .

statsionaarset juhuslikku protsessi konstantse võimsuse spektraaltihedusega kõigil sagedustel nimetatakse valgeks müraks.

Vastavalt Wiener-Khinchin teoreemile on valge müra korrelatsioonifunktsioon:

on null kõikjal peale punkti
. Valge müra keskmine võimsus (dispersioon) on lõpmatult suur.

Valge müra on delta-korrelatsiooniga protsess. Sellise juhusliku signaali hetkeväärtuste mittekorrelatsioon tähendab lõpmatult suurt muutuse kiirust ajas - olenemata sellest, kui väike intervall on , võib signaal selle aja jooksul muutuda mis tahes ettemääratud väärtuse võrra.

Valge müra on abstraktne matemaatiline mudel ja sellele vastavat füüsikalist protsessi looduses mõistagi ei eksisteeri. See aga ei takista meil reaalseid piisavalt lairiba juhuslikke protsesse ligilähedaselt asendamast valge müraga juhtudel, kui juhusliku signaali poolt mõjutatud ahela ribalaius osutub oluliselt kitsamaks kui müraspektri efektiivne laius.

B) Gaussi (normaal) jaotus .

Juhuslike signaalide teoorias on Gaussi tõenäosustihedus fundamentaalse tähtsusega.

(7.2)

Muutuv asendus
annab:

(7.3)

Siin Ф on tõenäosusintegraal

Funktsiooni F(x) graafik on monotoonse kõvera kujuga, mis muutub 0-st 1-ni.

16..Kitsaribaline juhuslik protsess. Rayleighi jaotus. Rayleigh-Rice'i seadus.

Uurime kitsaribaliste juhuslike signaalide omadusi, mille võimsusspektri tihedusel on teatud sageduse lähedal väljendunud maksimum , erineb nullist. Defineerime kitsaribalise juhusliku protsessi korrelatsioonifunktsiooni.

Vaatleme statsionaarset juhuslikku protsessi x(t), mille ühepoolne võimsusspekter
koondub teatud sageduse lähedusse >0. Vastavalt Wiener-Khinchin teoreemile selle protsessi korrelatsioonifunktsioon

(7.4)

nihutada protsessi spektrit sageduse lähedusest nullsageduse ümber,
(7.5)

Teostades tõenäosustiheduse (7.22) abil keskmistamise, leiame mähisjoone keskmise väärtuse ja selle dispersiooni:

(7.23)

(7.24)

Ühemõõtmelise mähisjoone tõenäosustiheduse olemasolul on kitsaribaliste juhuslike protsesside teoorias võimalik lahendada mitmeid probleeme, eelkõige leida mingi etteantud taseme mähisjoone ületamise tõenäosus.

Juhuslikud muutujad, mis on jaotatud Rayleighi seaduse järgi,

Lihtsaim ülesanne on leida koguvõnkumise mähisjoone ühemõõtmeline tõenäosustihedus. Eeldades, et kasulik signaal
, samas kui müra, kirjutame avaldise kogu protsessi X(t) rakendamiseks. See juhuslik protsess on kitsaribaline, nii et selle rakendamist saab väljendada aeglaselt muutuva mähisjoone U(t) ja algfaasina
:

Uutes muutujates, mis meil on

(7.26)

Nüüd tuleks ühemõõtmelise mähisjoone tõenäosustiheduse saamiseks integreerida valemi (7.26) parem pool üle nurkkoordinaadi, mille tulemusena leiame:

(7.27)

See valem väljendab seadust, mida nimetatakse Rice'i seaduseks. Pange tähele, et millal
, st. deterministliku signaali puudumisel muutub Rice'i seadus Rayleigh' seaduseks.

Asendades selle avaldise (7.27), saame

(7.28)

Need. saadud signaali mähisjoon jaotub sel juhul dispersiooniga ligikaudu normaalselt ja matemaatiline ootus
. Praktikas peetakse seda
saadud signaali mähisjoon normaliseeritakse.