Definisi dan pernyataan kepada 2.2 boleh didapati dalam .

Punca polinomial ialah nombor seperti itu
.

Teorem Bezout. Untuk sebarang fungsi
dan nombor
persamaan adalah betul:

di mana
.

Akibat. Nombor ialah akar jika dan hanya jika
dibahagikan dengan
tanpa jejak.

Mudah untuk dibahagi dengan polinomial bentuk (
) ialah skim Horner. Kami melukis jadual, di baris pertama yang kami tulis semua pekali
(termasuk sifar).

- pekali hasil bahagi separa daripada pembahagian
pada (
);- baki bahagian, yang, mengikut teorem Bezout, adalah sama dengan
. Sekiranya = 0, maka kita katakan itu
dibahagikan dengan (
) dan - akar polinomial
.

Contoh 33 Bahagikan dengan
.

Penyelesaian. Mari kita gunakan skema Horner. Lukis jadual dan buat pengiraan.

Jadi, di mana - pekali bagi hasil tak lengkap. Akibatnya,.

Contoh 34 Cari nilai fungsi
pada titik

x = ‑2.

Penyelesaian. Menggunakan skema Horner, kita berpisah
kepada polinomial
. Apabila mengisi jadual, kami mengambil kira bahawa pekali pada kuasa keempat dan kedua, serta istilah bebas dalam polinomial, adalah sama dengan 0.

Hasil daripada pengiraan, kami mendapat baki yang sama dengan -8. Dengan teorem Bezout, ia adalah sama dengan nilai
pada titik x = ‑2.

Jawapan: (-8).

Algoritma pembahagian yang dibincangkan dalam 2.1 boleh digunakan untuk pembahagian dengan polinomial mana-mana darjah, manakala skema Horner hanya digunakan untuk pembahagian dengan (
).

1. Polinomial tidak boleh dikurangkan

Definisi dan pernyataan untuk 2.3 boleh didapati dalam . Polinomial dengan pekali sebenar
tidak dapat dikurangkan jika tiada polinomial
dan
dengan pekali sebenar darjah yang lebih rendah
, seperti itu
. Iaitu, polinomial tak dapat dikurangkan tidak boleh diuraikan menjadi hasil darab polinomial darjah yang lebih rendah.

Kenyataan. Polinomial tidak boleh dikurangkan dengan pekali nyata ialah polinomial darjah 1 atau 2 dengan diskriminasi negatif, dan hanya mereka.

Memfaktorkan polinomial ialah perwakilannya sebagai hasil darab polinomial tidak boleh dikurangkan.

Kaedah asas untuk pemfaktoran polinomial:

1. Mengambil faktor sepunya daripada kurungan.

2. Menggunakan rumus pendaraban yang disingkatkan.

Contoh 35
.

=. Apabila mengurai, kami menggunakan formula.

3. Kaedah pengelompokan.

Contoh 36 Memfaktorkan polinomial
.

Kami mengumpulkan istilah yang mengandungi faktor 5:

=
=
=

= [letakkan faktor sepunya di luar kurungan] =

Contoh 37 Memfaktorkan polinomial
.

Kami mengumpulkan istilah, bermula dengan yang pertama:

Kami memfaktorkan trinomial segi empat sama dengan mencari puncanya:

. Akhirnya

4. Kaedah pemilihan akar.

Kaedah ini adalah berdasarkan kenyataan berikut:

Pernyataan 1. Jika untuk polinomial

nombor
adalah akar, maka persamaan adalah benar.

Kenyataan 2. Polinomial dengan pekali utama 1 boleh mempunyai punca integer hanya sebagai pembahagi sebutan bebas.

Contoh 38 Kemungkinan punca integer bagi polinomial
mungkin nombor
. Dengan pemilihan, ia boleh ditubuhkan bahawa
dan, oleh itu, 1 ialah punca polinomial.

Contoh 39 Memfaktorkan polinomial.

Penyelesaian. Menurut Pernyataan 2, hanya pembahagi bagi -5 boleh menjadi punca integer bagi polinomial. Ini adalah nombor
. Cari nilai polinomial pada titik itu x = ‑ 1:

Oleh itu, punca polinomial
ialah x = -satu. Bahagikan polinomial
pada ( x + 1). Menurut teorem Bezout,
hendaklah dibahagikan dengan ( x + 1) integer, iaitu baki pembahagian mestilah sifar. Untuk pembahagian, kami menggunakan skema Horner.

Nombor yang diperoleh dalam lajur terakhir membolehkan anda menyemak ketepatan pengiraan. Jika sifar diperoleh, maka semua pengiraan adalah betul. Jika nombor dalam lajur terakhir berbeza daripada sifar, maka sama ada puncanya didapati salah, atau pengiraan mengikut skema Horner telah dijalankan dengan tidak betul.

Jadi: . Sejak polinomial yang terhasil
tidak boleh dikurangkan, maka proses pemfaktoran mesti diteruskan. Untuk polinomial
kemungkinan punca ialah nombor
. Kita dapati:. Oleh itu, 1 ialah punca polinomial
. Mari bahagikannya kepada ( x - 1) mengikut skema Horner.

Lajur terakhir ialah sifar. Jadi pengiraan adalah betul.

Kami ada: . Mari kita semak sama ada polinomialnya
tidak dapat dikurangkan. Kami mencari akarnya menggunakan formula standard:

. Oleh kerana diskriminasi trinomial segi empat sama ini adalah negatif, ia tidak boleh dikurangkan pada set nombor nyata.

Hartanah

Mencari akar

Kaedah mencari punca polinomial linear dan kuadratik, iaitu kaedah penyelesaian persamaan linear dan kuadratik, diketahui pada zaman dahulu. Pencarian formula untuk penyelesaian tepat persamaan umum darjah ketiga berterusan untuk masa yang lama (kaedah yang dicadangkan oleh Omar Khayyam harus disebut), sehingga mereka dinobatkan dengan kejayaan pada separuh pertama abad ke-16 dalam karya Scipio del Ferro, Niccolo Tartaglia dan Gerolamo Cardano. Formula untuk punca persamaan kuadratik dan kubik menjadikannya agak mudah untuk mendapatkan formula untuk punca persamaan darjah empat.

Fakta bahawa punca persamaan am darjah kelima dan ke atas tidak dinyatakan menggunakan fungsi rasional dan radikal daripada pekali telah dibuktikan oleh ahli matematik Norway Niels Abel pada tahun 1826. Ini tidak bermakna sama sekali bahawa punca-punca persamaan tersebut tidak dapat ditemui. Pertama, dalam kes tertentu, dengan beberapa kombinasi pekali, punca persamaan boleh ditentukan dengan sedikit kepintaran. Kedua, terdapat formula untuk akar persamaan darjah ke-5 dan lebih tinggi, yang, bagaimanapun, menggunakan fungsi khas - elips atau hipergeometrik (lihat, sebagai contoh, akar Bring).

Jika semua pekali polinomial adalah rasional, maka mencari puncanya membawa kepada mencari punca polinomial dengan pekali integer. Untuk punca rasional polinomial tersebut, terdapat algoritma untuk mencari calon melalui penghitungan menggunakan skema Horner, dan apabila mencari punca integer, penghitungan boleh dikurangkan dengan ketara dengan membersihkan akar. Juga dalam kes ini, anda boleh menggunakan algoritma LLL polinomial.

Untuk menganggarkan (dengan sebarang ketepatan yang diperlukan) punca sebenar polinomial dengan pekali nyata, kaedah lelaran digunakan, contohnya, kaedah pembahagian, kaedah pembahagian dua, kaedah Newton. Bilangan punca sebenar polinomial dalam selang boleh dianggarkan menggunakan teorem Sturm.

lihat juga

Nota

Yayasan Wikimedia. 2010 .

• Pembentungan
• Glosari istilah veksilologi

Lihat apakah "Akar Polinomial" dalam kamus lain:

Punca bagi persamaan algebra

Punca persamaan- Punca polinomial di atas medan k ialah unsur yang, selepas menggantikannya dengan x, menukarkan persamaan menjadi identiti. Sifat Jika c ialah punca polinomial p(x ... Wikipedia

Akar Bringa- Semak maklumat. Ia adalah perlu untuk menyemak ketepatan fakta dan kebolehpercayaan maklumat yang dibentangkan dalam artikel ini. Perlu ada penjelasan di halaman perbincangan. Dalam algebra, akar Bring atau ultraradikal ialah fungsi analitik seperti untuk ... ... Wikipedia

Akar (nyahkekaburan)- Akar: Wiktionary mempunyai entri untuk "akar" Akar (dalam botani) organ bawah tanah paksi vegetatif tumbuhan yang mempunyai sp ... Wikipedia

Root (dalam matematik)- Punca dalam matematik, 1) K. darjah n dari nombor a ≈ nombor x (ditandakan), darjah ke-n yang sama dengan a (iaitu, xn \u003d a). Tindakan mencari K. dipanggil pengekstrakan akar. Untuk ¹ 0, terdapat n nilai K yang berbeza (secara umumnya, ... ...

akar- I Akar (radix) adalah salah satu organ vegetatif utama tumbuhan berdaun (dengan pengecualian lumut), yang berfungsi untuk melekat pada substrat, menyerap air dan nutrien daripadanya, transformasi utama sejumlah bahan yang diserap, . .. ... Ensiklopedia Soviet yang Hebat

AKAR- 1) K. darjah n daripada nombor a n i darjah x n kepada rogo adalah sama dengan a. 2) K. persamaan algebra di atas medan K, unsur k, selepas menggantikannya dengan x, menukarkan persamaan itu menjadi identiti. K. persamaan ini dipanggil. juga K. polinomial Jika ialah ... ... Ensiklopedia Matematik

berbilang punca- polinomial f (x) = a0xn + a1xn ​​​​1 +... + an, nombor c supaya f (x) boleh dibahagikan tanpa baki dengan kuasa kedua atau lebih tinggi binomial (x c). Dalam kes ini, c dipanggil punca gandaan jika f (x) boleh dibahagikan dengan (x c) k, tetapi tidak ... ... Ensiklopedia Soviet yang Hebat

akar konjugat- Jika beberapa polinomial tak dapat dikurangkan di atas gelang diberikan dan beberapa puncanya dalam lanjutan dipilih, maka punca konjugat untuk punca polinomial tertentu ialah sebarang punca polinomial ... Wikipedia

Punca kuasa dua bagi 2- sama dengan panjang hipotenus dalam segi tiga tegak dengan panjang kaki 1. Punca kuasa dua bagi 2 ialah positif ... Wikipedia

Jika nombor c ialah punca polinomial f(x), polinomial ini diketahui boleh dibahagikan dengan x-c. Ia mungkin berlaku bahawa f (x) juga boleh dibahagikan dengan beberapa kuasa polinomial x-c, i.e. pada (x-c) k, k>1. Dalam kes ini, c dipanggil punca berbilang. Mari kita rumuskan definisi dengan lebih jelas.

Nombor c dipanggil punca gandaan k (akar lipatan k) bagi polinomial f (x) jika polinomial boleh dibahagi dengan (x-c) k, k>1 (k ialah nombor asli), tetapi tidak boleh dibahagikan dengan (x-c) k+ satu. Jika k=1, maka c dipanggil punca ringkas, dan jika k>1, punca berbilang bagi polinomial f (x).

Dalam perkara berikut, apabila menentukan kepelbagaian akar, cadangan berikut akan berguna kepada kita.

Jika polinomial f (x) diwakili sebagai f (x) = (x-c) mg (x), m ialah nombor asli, maka ia boleh dibahagikan dengan (x-c) m + 1 jika dan hanya jika g (x) boleh dibahagikan pada xs. Sesungguhnya, jika g(x) boleh dibahagi dengan x-c, i.e. g (x) \u003d (x-c) s (x), kemudian f (x) \u003d (x-c) m + 1s (x), yang bermaksud bahawa f (x) boleh dibahagikan dengan (x-c) m + 1.

Sebaliknya, jika f (x) boleh dibahagikan dengan (x-c) m + 1, maka f (x) \u003d (x-c) m + 1s (x). Kemudian (x-c) mg (x) = (x-c) m + 1s (x) dan selepas pengurangan sebanyak (x-c) m kita dapat g (x) = (x-c) s (x). Ia berikutan bahawa g(x) boleh dibahagi dengan x-c.

Sekarang mari kita kembali kepada konsep kepelbagaian akar. Mari kita ketahui, sebagai contoh, sama ada nombor 2 ialah punca bagi polinomial f (x) =x5-5x4+3x3+22x2-44x+24, dan jika ya, cari kepelbagaiannya. Untuk menjawab soalan pertama, mari kita gunakan skema Horner untuk menyemak sama ada f(x) boleh dibahagi dengan x-2. kami ada:

Jadual 4

Kami mendapat bahawa g (x) boleh dibahagikan dengan x-2 dan g (x) = (x-2) (x3-x2-5x+6). Kemudian f (x) = (x-2) 2 (x3-x2-5x+6).

Jadi f(x) boleh dibahagi dengan (x-2)2, sekarang kita perlu mengetahui sama ada f(x) boleh dibahagi dengan (x-2)3.

Untuk melakukan ini, semak sama ada h (x) \u003d x3-x2-5x + 6 boleh dibahagikan dengan x-2:

Jadual 6

Kami mendapati bahawa baki apabila membahagikan s (x) dengan x-2 ialah 3, i.e. s(x) tidak boleh dibahagikan dengan x-2. Jadi f(x) tidak boleh dibahagikan dengan (x-2)4.

Oleh itu, f (x) boleh dibahagikan dengan (x-2) 3, tetapi bukan dengan (x-2) 4. Oleh itu, nombor 2 ialah punca kedaraban 3 bagi polinomial f (x).

Biasanya, semakan akar untuk kepelbagaian dilakukan dalam satu jadual. Untuk contoh ini, jadual ini kelihatan seperti ini:

Jadual 8

Dalam erti kata lain, mengikut skema Horner, membahagikan polinomial f (x) dengan x-2, dalam baris kedua kita mendapat pekali polinomial g (x). Kemudian kita anggap baris kedua ini sebagai baris pertama sistem Horner baharu dan bahagikan g (x) dengan x-2, dan seterusnya. Kami meneruskan pengiraan sehingga kami mendapat baki bukan sifar. Dalam kes ini, kepelbagaian akar adalah sama dengan bilangan sisa sifar yang diperolehi. Garisan yang mengandungi baki bukan sifar terakhir juga mengandungi pekali hasil bahagi apabila membahagikan f (x) dengan (x-2) 3. Sekarang, menggunakan skema yang baru dicadangkan untuk menyemak punca bagi gandaan, kita akan menyelesaikan masalah berikut . Untuk apakah a dan b polinomial f (x) =x4+2x3+ax2+ (a+b) x+2 mempunyai nombor - 2 sebagai punca gandaan 2?

Oleh kerana kepelbagaian punca - 2 sepatutnya sama dengan 2, maka, melakukan pembahagian dengan x + 2 mengikut skema yang dicadangkan, kita harus mendapatkan baki 0 ​​dua kali, dan kali ketiga - baki selain sifar. Kami ada:

Jadual 9

Oleh itu, nombor - 2 ialah punca gandaan 2 polinomial asal jika dan hanya jika

Dari sini kita dapat: a=-7/2, b=-5/2.

Skim pembahagian sudut

Pembahagian polinomial

Bahagian dengan baki. Teorem. Jika P(x) dan S(x) 0 ialah dua polinomial, maka wujud dan, tambahan pula, sepasang polinomial unik Q(x) dan R(x) yang memenuhi hubungan: 1) , 2) atau darjah R(x) adalah kurang daripada atau sama dengan darjah S(x), atau R(x) = 0.

Q(x) dipanggil hasil bagi, dan R(x) ialah bakinya.

Contoh 1. , . Cari hasil bahagi dan baki selepas membahagikan polinomial P(x) dengan S(x).

Jawab: hasil bagi , baki .

Contoh 2. Cari hasil bahagi dan baki apabila dibahagikan dengan .

Jawab: hasil bagi sama ; bakinya ialah sifar.

Teorem. Polinomial P(x) boleh dibahagi dengan polinomial S(x) jika bakinya apabila membahagi P(x) dengan S(x) ialah sifar.

Ia berikutan daripada teorem bahawa untuk mengetahui sama ada polinomial P(x) boleh dibahagikan dengan S(x), seseorang boleh melakukan pembahagian dengan sudut dan mencari bakinya. Jika bakinya ialah sifar, maka polinomial P(x) boleh dibahagikan dengan polinomial S(x).

Contoh 3. Tentukan sama ada polinomial boleh dibahagikan

kepada polinomial?

Kami membahagikan polinomial P(x) kepada S(x) dengan "penjuru". Hasilnya, kita mendapat hasil bagi ialah , dan selebihnya ialah sifar. Oleh itu polinomial P(x) boleh dibahagikan dengan polinomial S(x).

Biarkan c ialah beberapa nombor nyata (umumnya, nombor kompleks). Maknanya polinomial P(x) untuk x = c ialah nombor yang diperoleh dengan menggantikan x dalam polinomial ini dan melakukan tindakan.

Jika , maka nilai polinomial ini pada x = c dilambangkan dengan P(c): .

Contoh 1. Nilai polinomial P(x) = untuk x = 2 ialah:

pada x = 0, P(0) = -5; untuk x = 1, P(1) = 3 - 2 + 4 - 5 = 0.

Oleh itu, untuk x = 0, nilai polinomial adalah sama dengan sebutan bebas:

untuk x = 1, nilai polinomial adalah sama dengan jumlah pekalinya:

Definisi. Jika nilai polinomial sama dengan sifar, maka ia dipanggil punca polinomial P(x).

Contoh 1. Polinomial diberikan. Untuk x = 2, nilai polinomial ini ialah sifar, yang bermaksud bahawa x = 2 ialah punca polinomial S(x).

Fakta bahawa pada x = 1 nilai polinomial adalah sama dengan jumlah pekalinya digunakan dalam susunan terbalik: jika jumlah pekali polinomial ialah sifar, maka x = 1 ialah punca polinomial ini.

Definisi. Jika tugasnya adalah untuk mencari semua nilai pembolehubah x yang mana polinomial f(x) adalah sama dengan sifar, maka mereka mengatakan bahawa perlu untuk menyelesaikan persamaan f(x) = 0.

Kami menyerlahkan khususnya memutuskan persamaan bermaksud mencari semua akarnya.

Dengan cara ini, persamaan algebra dipanggil persamaan f(x) = 0, dengan f(x) ialah beberapa polinomial. Jika f(x) ialah polinomial darjah ke-n, maka persamaan itu dipanggil persamaan algebra darjah ke-n .

Apabila menyelesaikan persamaan algebra, teorem berikut (dipanggil teorem Bézout) adalah berguna.

Teorem 1. Baki membahagi polinomial f(x) dengan x - a adalah sama dengan f(a) (iaitu, sama dengan nilai polinomial ini pada x = a).

Bukti

Mari kita buat pembahagian dengan baki polinomial f (x) dengan x - a:

di mana baki r(x), jika ia tidak sama dengan sifar, ialah polinomial yang darjahnya kurang daripada darjah pembahagi x - a, iaitu sama dengan sifar. Oleh itu r(x) = r ialah nombor:

Untuk mencari nombor r, kita letakkan x = a dalam kesamaan ini. Kemudian, kita mendapat f(a) = r, yang membuktikan teorem.

Akibat. Jika a ialah punca bagi polinomial f(x), maka polinomial ini boleh dibahagikan dengan .

Contoh 1. Diberi polinomial. Adalah mudah untuk melihat bahawa 1 ialah punca polinomial ini, sebenarnya: , yang bermaksud bahawa, dengan akibat teorem, polinomial mesti boleh dibahagikan dengan x - 1.

Bahagikan polinomial "penjuru" pada x - 1:

Bakinya ialah sifar, yang bermaksud polinomial boleh dibahagikan dengan x - 1.

Teorem 2. Jika semua pekali polinomial

ialah integer, maka setiap punca integer polinomial ini ialah pembahagi bagi sebutan bebas.

Bukti

Biarkan c ialah punca integer bagi polinomial f(x), i.e.

Oleh kerana nombor dalam kurungan ialah integer (memandangkan semua pekali adalah integer, mengikut syarat), ia boleh dibahagi dengan c.

Teorem terbukti sangat memudahkan pencarian punca integer polinomial dengan pekali integer.

1 . Ia adalah perlu untuk mencari dan menulis semua pembahagi istilah bebas (positif dan negatif).

2 . Periksa (mungkin melalui penggantian) yang mana antaranya merupakan punca polinomial tertentu.

3 . Jika tiada pembahagi bagi sebutan bebas menukar polinomial kepada sifar, maka polinomial ini tidak mempunyai punca integer.

Contoh 1. Selesaikan persamaan.

1. Cari pembahagi bagi sebutan bebas 12: .

2. Jika persamaan mempunyai punca integer, maka ia adalah antara pembahagi ini, semak ini. Polinomial di sebelah kiri persamaan dilambangkan dengan f(x).

f(1) = 24, jadi 1 bukan punca persamaan;

f(-1) = -24, jadi -1 bukan punca persamaan;

f(2) = 0, jadi 2 ialah punca persamaan.

3. Menurut teorem Bezout, polinomial f(x) boleh dibahagikan dengan x - 2. Dengan membuat pembahagian dengan "penjuru", kita dapati: .

Untuk mencari punca yang tinggal, anda perlu menyelesaikan persamaan

Kami mengulangi proses sebelumnya sekali lagi.

1. Kami menulis pembahagi bagi istilah percuma 6: .

2. Kami periksa mereka. Nombor 1 dan -1 telah pun disemak. Mari kita uji pembahagi lain dengan menggantikannya satu per satu ke dalam polinomial .

g(2) = -40, jadi 2 bukan punca polinomial g(x);

g(-2) = 12, -2 bukan punca;

g(3) = -48, 3 bukan punca;

g(-3) = 0, jadi -3 ialah punca bagi polinomial g(x).

Menurut teorem Bezout, ia boleh dibahagikan dengan x + 3. Hasil daripada pembahagian, kita dapat:

Untuk mencari punca lain, jika wujud, kita selesaikan persamaan kuadratik.

Oleh itu, persamaan asal darjah keempat mempunyai empat punca.

Jawab: , , , .

Komen. Kadang-kadang tidak mudah untuk menyemak punca yang sepatutnya bagi polinomial atau mengira nilainya, terutamanya jika polinomial itu adalah tinggi dan nombor yang diuji adalah besar.

Untuk memudahkan proses ini, terdapat skim Horner.

Objektif Pelajaran:

• mengajar pelajar menyelesaikan persamaan darjah yang lebih tinggi menggunakan skema Horner;
• membangunkan keupayaan untuk bekerja secara berpasangan;
• untuk mewujudkan, bersama-sama dengan bahagian utama kursus, asas untuk membangunkan kebolehan pelajar;
• membantu pelajar menilai potensinya, mengembangkan minat dalam matematik, kebolehan berfikir, bercakap mengenai topik itu.

peralatan: kad untuk kerja dalam kumpulan, poster dengan skema Horner.

Kaedah pengajaran: syarahan, cerita, penerangan, prestasi latihan latihan.

Bentuk kawalan: pengesahan masalah penyelesaian bebas, kerja bebas.

Semasa kelas

1. Detik organisasi

2. Aktualisasi pengetahuan pelajar

Apakah teorem yang membolehkan anda menentukan sama ada nombor itu adalah punca persamaan yang diberikan (untuk merumuskan teorem)?

Teorem Bezout. Baki pembahagian polinomial P(x) dengan binomial x-c adalah sama dengan P(c), nombor c dipanggil punca polinomial P(x) jika P(c)=0. Teorem membenarkan, tanpa melakukan operasi bahagi, untuk menentukan sama ada nombor yang diberikan ialah punca polinomial.

Pernyataan yang manakah memudahkan untuk mencari punca?

a) Jika pekali utama polinomial adalah sama dengan satu, maka punca polinomial perlu dicari di kalangan pembahagi sebutan bebas.

b) Jika jumlah pekali polinomial ialah 0, maka salah satu punca ialah 1.

c) Jika jumlah pekali di tempat genap adalah sama dengan jumlah pekali di tempat ganjil, maka salah satu punca adalah sama dengan -1.

d) Jika semua pekali adalah positif, maka punca polinomial adalah nombor negatif.

e) Polinomial darjah ganjil mempunyai sekurang-kurangnya satu punca nyata.

3. Mempelajari bahan baharu

Apabila menyelesaikan keseluruhan persamaan algebra, seseorang perlu mencari nilai punca polinomial. Operasi ini boleh dipermudahkan jika pengiraan dijalankan mengikut algoritma khas yang dipanggil skema Horner. Skim ini dinamakan sempena nama saintis Inggeris William George Horner. Skim Horner ialah algoritma untuk mengira hasil bahagi dan baki pembahagian polinomial P(x) dengan x-c. Secara ringkas, bagaimana ia berfungsi.

Biarkan polinomial arbitrari P(x)=a 0 x n + a 1 x n-1 + ...+ a n-1 x+ a n diberikan. Pembahagian polinomial ini dengan x-c ialah perwakilannya dalam bentuk P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Swasta g (x) \u003d pada 0 x n-1 + pada n x n-2 + ... + pada n-2 x + pada n-1, di mana pada 0 \u003d a 0, pada n \u003d sv n- 1 + a n , n=1,2,3,…n-1. Baki r (x) \u003d St n-1 + a n. Kaedah pengiraan ini dipanggil skema Horner. Perkataan "skim" dalam nama algoritma adalah disebabkan oleh fakta bahawa biasanya pelaksanaannya diformalkan seperti berikut. Jadual lukis pertama 2(n+2). Nombor c ditulis dalam sel kiri bawah, dan pekali polinomial P (x) ditulis di baris atas. Dalam kes ini, sel kiri atas dibiarkan kosong.

Nombor, yang selepas pelaksanaan algoritma ternyata ditulis dalam sel kanan bawah, adalah baki pembahagian polinomial P(x) dengan x-c. Nombor-nombor lain pada 0 , pada 1 , pada 2 ,… pada baris bawah ialah pekali hasil bagi.

Contohnya: Bahagikan polinomial P (x) \u003d x 3 -2x + 3 dengan x-2.

Kami mendapat bahawa x 3 -2x + 3 \u003d (x-2) (x 2 + 2x + 2) + 7.

4. Pengukuhan bahan yang dipelajari

Contoh 1: Faktorkan polinomial P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 dengan pekali integer.

Kami sedang mencari punca integer antara pembahagi sebutan bebas -1: 1; -satu. Mari buat jadual:

X \u003d -1 - akar

P (x) \u003d (x + 1) (2x 3 -9x 2 + 6x -1)

Jom semak 1/2.

Oleh itu, polinomial P(x) boleh diwakili sebagai

P (x) \u003d (x + 1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) \u003d (x + 1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Contoh 2: Selesaikan persamaan 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Oleh kerana jumlah pekali polinomial yang ditulis di sebelah kiri persamaan adalah sama dengan sifar, maka salah satu punca ialah 1. Mari kita gunakan skema Horner:

Kami mendapat P (x) \u003d (x-1) (2x 3 -3x 2 \u003d 2x +2). Kami akan mencari punca di kalangan pembahagi bagi istilah percuma 2.

Kami mendapati bahawa tiada lagi akar keseluruhan. Jom semak 1/2; -1/2.

Jawapan: 1; -1/2.

Contoh 3: Selesaikan persamaan 5x 4 - 3x 3 - 4x 2 -3x + 5 = 0.

Kami akan mencari punca persamaan ini di antara pembahagi sebutan bebas 5: 1; -1; 5; -5. x=1 ialah punca persamaan, kerana jumlah pekali ialah sifar. Mari gunakan skema Horner:

kami mewakili persamaan sebagai hasil darab tiga faktor: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) \u003d 0. Menyelesaikan persamaan kuadratik 5x 2 -7x+5=0, kita dapat D=49-100=-51, tiada punca.

Kad 1

1. Faktorkan polinomial: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Selesaikan persamaan: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Kad 2

1. Faktorkan polinomial: x 4 -x 3 -7x 2 + 13x-6
2. Selesaikan persamaan: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Kad 3

1. Faktorkan: 2x 3 -21x 2 + 37x + 24
2. Selesaikan persamaan: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Kad 4

1. Faktorkan: 5x 3 -46x 2 + 79x-14
2. Selesaikan persamaan: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Merumuskan

Menguji pengetahuan semasa menyelesaikan secara berpasangan dijalankan dalam pelajaran dengan mengenal kaedah tindakan dan nama jawapan.

Kerja rumah:

Selesaikan persamaan:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x + 1 \u003d 0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 \u003d 4 x 2

d) x 4 + 2x 3 -x-2 \u003d 0

kesusasteraan

1. N.Ya. Vilenkin et al., Algebra dan Permulaan Analisis Gred 10 (kajian matematik yang mendalam): Enlightenment, 2005.
2. U.I. Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Penyelesaian persamaan darjah yang lebih tinggi: Volgograd, 2007.
3. S.B. Sistem GashkovNumber dan aplikasinya.