No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka kvadrātsaknes faktoringa procedūra ir sarežģīta un nepieejama. Bet tā nav taisnība. Šajā rakstā mēs jums parādīsim, kā vienkāršā un vienkāršā veidā tuvoties kvadrātsaknēm un faktoriem un tos faktorēt. Kvadrātsakne izmantojot divas pārbaudītas metodes.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Saknes faktorēšana

Pirmkārt, definēsim kvadrātsaknes faktorizācijas procedūras mērķi. Mērķis- vienkāršojiet kvadrātsakni un ierakstiet to aprēķiniem ērtā formā.

1. definīcija

Kvadrātsaknes koeficientu noteikšana ir divu vai vairāku skaitļu atrašana, kurus reizinot viens ar otru, tiks iegūts skaitlis, kas vienāds ar oriģinālu. Piemēram: 4x4 = 16.

Ja varat atrast faktorus, varat viegli vienkāršot kvadrātsaknes izteiksmi vai to pilnībā novērst:

1. piemērs

Sadaliet radikālo skaitli ar 2, ja tas ir pāra skaitlis.

Radikālais skaitlis vienmēr ir jādala ar pirmskaitļiem, jo ​​jebkura pirmskaitļa vērtību var faktorizēt pirmskaitļos. Ja jums ir nepāra skaitlis, mēģiniet to dalīt ar 3. Nedalās ar 3? Turpiniet dalīt ar 5, 7, 9 utt.

Uzrakstiet izteiksmi kā divu skaitļu reizinājuma sakni.

Piemēram, jūs varat vienkāršot 98 šādā veidā: = 98 ÷ 2 = 49. Tas nozīmē, ka 2 × 49 = 98, tāpēc mēs varam pārrakstīt problēmu šādā veidā: 98 = (2 × 49) .

Turpiniet skaitļu sadalīšanu, līdz zem saknes paliek divu identisku skaitļu un citu skaitļu reizinājums.

Ņemsim mūsu piemēru (2 × 49):

Tā kā 2 jau ir maksimāli vienkāršots, ir jāvienkāršo 49. Mēs meklējam pirmskaitli, ko var dalīt ar 49. Acīmredzot ne 3, ne 5 nav piemēroti. Tas paliek 7: 49 ÷ 7 = 7, tātad 7 × 7 = 49.

Mēs rakstām piemēru šādā formā: (2 × 49) = (2 × 7 × 7) .

Vienkāršojiet kvadrātsaknes izteiksmi.

Tā kā iekavās mums ir reizinājums no 2 un diviem vienādiem skaitļiem (7), mēs varam izņemt skaitli 7 no saknes zīmes.

2. piemērs

(2 × 7 × 7) = (2) × (7 × 7) = (2) × 7 = 7 (2) .

Brīdī, kad zem saknes ir divi identiski skaitļi, pārtrauciet skaitļu faktorēšanu. Protams, ja esi maksimāli izmantojis visas iespējas.

Atcerieties: ir saknes, kuras var daudzkārt vienkāršot.

Šajā gadījumā tiek reizināti skaitļi, kurus mēs izņemam no saknes, un skaitļi, kas atrodas tās priekšā.

3. piemērs

180 = (2 × 90) 180 = (2 × 2 × 45) 180 = 2 45

bet 45 var faktorizēt un atkal vienkāršot sakni.

180 = 2 (3 × 15) 180 = 2 (3 × 3 × 5) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5

Ja zem saknes zīmes nav iespējams iegūt divus identiskus skaitļus, tas nozīmē, ka šādu sakni nevar vienkāršot.

Ja pēc sadalīšanās radikāla izpausme pirmskaitļu reizinājumam, ja nevarētu iegūt divus identiskus skaitļus, tad šādu sakni nevar vienkāršot.

4. piemērs

70 = 35 × 2, tātad 70 = (35 × 2)

35 = 7 × 5, tātad (35 × 2) = (7 × 5 × 2)

Kā redzat, visi trīs faktori ir pirmskaitļi, kurus nevar faktorizēt. Starp tiem nav identisku skaitļu, tāpēc no saknes nav iespējams izņemt veselu skaitli. Vienkāršot 70 tas ir aizliegts.

Pilns kvadrāts

Iegaumējiet dažus pirmskaitļu kvadrātus.

Skaitļa kvadrātu iegūst, reizinot to ar sevi, t.i. kad kvadrātā. Ja atceraties desmit pirmskaitļu kvadrātus, tas ievērojami vienkāršos jūsu dzīvi, vēl vairāk vienkāršojot saknes.

5. piemērs

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100

Ja zem kvadrātsaknes saknes zīmes ir pilns kvadrāts, tad ir vērts noņemt saknes zīmi un pierakstīt šī pilnā kvadrāta kvadrātsakni.

Grūti? Nē:

6. piemērs

1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10

Mēģiniet sadalīt skaitli zem saknes zīmes ideāla kvadrāta un cita skaitļa reizinājumā.

Ja redzat, ka radikālā izteiksme tiek sadalīta ideāla kvadrāta un kāda skaitļa reizinājumā, tad, atceroties dažus piemērus, jūs ievērojami ietaupīsit laiku un nervus:

7. piemērs

50 = (25 × 2) = 5 2. Ja radikālais skaitlis beidzas ar 25, 50 vai 75, jūs vienmēr varat to ieskaitīt skaitļa 25 un kāda skaitļa reizinājumā.

1700 = (100 × 17) = 10 17. Ja radikālais skaitlis beidzas ar 00, jūs vienmēr varat to ieskaitīt 100 un kāda skaitļa reizinājumā.

72 = (9 × 8) = 3 8. Ja radikāla skaitļa ciparu summa ir 9, to vienmēr var ieskaitīt 9 un kāda skaitļa reizinājumā.

Mēģiniet sadalīt radikālo skaitli vairāku pilnu kvadrātu reizinājumā: izņemiet tos no saknes zīmes un reiziniet.

8. piemērs

72 = (9 × 8) 72 = (9 × 4 × 2) 72 = 9 × 4 × 2 72 = 3 × 2 × 2 72 = 6 2

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Kvadrātsaknes vienkāršošanas mērķis ir to pārrakstīt formā, kuru ir vieglāk izmantot aprēķinos. Skaitļa faktorēšana ir divu vai vairāku skaitļu atrašana, kurus reizinot, tiks iegūts sākotnējais skaitlis, piemēram, 3 x 3 = 9. Atrodot faktorus, jūs varat vienkāršot kvadrātsakni vai atbrīvoties no tā pavisam. Piemēram, √9 = √(3x3) = 3.

Ja radikālais skaitlis ir pāra skaitlis, daliet to ar 2. Ja radikālais skaitlis ir nepāra, mēģiniet to dalīt ar 3 (ja skaitlis nedalās ar 3, daliet to ar 5, 7 un tā tālāk, izmantojot pirmskaitļu sarakstu). Radikālo skaitli sadaliet tikai pirmskaitļos, jo jebkuru skaitli var faktorizēt pirmskaitļos. Piemēram, jums nav jādala radikāli ar 4, jo 4 dalās ar 2 un jūs jau esat sadalījis radikāli ar 2.

Pārrakstiet uzdevumu kā divu skaitļu reizinājuma sakni. Piemēram, vienkāršosim √98: 98 ÷ 2 = 49, tātad 98 = 2 x 49. Pārrakstiet uzdevumu šādi: √98 = √(2 x 49).

Radikāla izteiksme ir algebriska izteiksme, kas atrodas zem saknes zīmes (kvadrātveida, kubiskā vai augstākās kārtas). Dažkārt dažādu izteicienu nozīmes var būt vienādas, piemēram, 1/(√2 - 1) = √2 + 1. Radikālās izteiksmes vienkāršošana ir paredzēta, lai to pievestu pie kādas kanoniskas apzīmējuma formas. Ja divas kanoniskā formā rakstītas izteiksmes joprojām atšķiras, to vērtības nav vienādas. Matemātikā tiek uzskatīts, ka kanoniskā forma radikālu izteiksmju (kā arī izteicienu ar saknēm) rakstīšana atbilst šādiem noteikumiem:

• Ja iespējams, atbrīvojieties no frakcijas zem saknes zīmes
• Atbrīvojieties no izteiksmēm ar daļskaitļiem
• Ja iespējams, atbrīvojieties no saknēm saucējā
• Atbrīvojieties no saknes pa saknes reizināšanas darbības
• Zem saknes zīmes ir jāatstāj tikai tie termini, no kuriem nav iespējams iegūt veselu skaitļa sakni

Šos noteikumus var piemērot pārbaudes uzdevumiem. Piemēram, ja esat atrisinājis problēmu, bet rezultāts neatbilst nevienai no sniegtajām atbildēm, ierakstiet rezultātu kanoniskā formā. Ņemiet vērā, ka atbildes uz testa uzdevumiem tiek sniegtas kanoniskā formā, tāpēc, rakstot rezultātu tādā pašā formā, varat viegli noteikt pareizo atbildi. Ja problēma prasa “atbildes vienkāršošanu” vai “radikālu izteicienu vienkāršošanu”, rezultāts jāraksta kanoniskā formā. Turklāt kanoniskā forma atvieglo vienādojumu atrisināšanu, lai gan dažus vienādojumus ir vieglāk atrisināt, ja kādu laiku aizmirstat par kanonisko apzīmējumu.

Soļi

Atbrīvošanās no pilniem kvadrātiem un pilniem kubiem

Atbrīvošanās no izteiksmes ar daļskaitli

Pārvērtiet izteiksmi ar daļēju eksponentu par radikālu izteiksmi. Vai, ja nepieciešams, pārveidojiet radikālo izteiksmi daļskaitlī, bet nekad nesajauciet šādas izteiksmes vienā vienādojumā, piemēram, šādi: √5 + 5^(3/2). Pieņemsim, ka jūs nolemjat strādāt ar saknēm; Kvadrātsakni no n apzīmēsim kā √n, bet n kubiksakni kā kubu√n.

Atbrīvošanās no frakcijām zem saknes zīmes

Saskaņā ar kanonisko apzīmējuma formu daļskaitļa sakne ir jāattēlo kā veselu skaitļu sakņu dalījums.

Paskaties uz radikālo izteiksmi. Ja tā ir daļa, pārejiet uz nākamo darbību.

Aizstāt frakcijas sakni ar divu sakņu attiecību atbilstoši šādai identitātei:√(a/b) = √a/√b.

• Neizmantojiet šo identitāti, ja saucējs ir negatīvs vai ietver mainīgo, kas var būt negatīvs. Šajā gadījumā vispirms vienkāršojiet daļu.

1. Vienkāršojiet ideālos kvadrātus (ja jums tādi ir). Piemēram, √(5/4) = √5/√4 = (√5)/2.

Sakņu pavairošanas darbības likvidēšana

Atbrīvošanās no faktoriem, kas ir ideāli kvadrāti

Faktorizēt radikālo skaitli. Faktori ir daži skaitļi, kurus reizinot, tiek iegūts sākotnējais skaitlis. Piemēram, 5 un 4 ir divi skaitļa 20 faktori. Ja no radikāla skaitļa nevar iegūt veselu skaitļa sakni, ieskaitiet skaitli tā iespējamajos faktoros un atrodiet starp tiem perfektu kvadrātu.

• Piemēram, pierakstiet visus koeficientus 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 ir koeficients 45 (9 x 5 = 45) un ideāls kvadrāts (9 = 3^2).

1. Ņemiet reizinātāju, kas ir ideāls kvadrāts, aiz saknes zīmes. 9 ir ideāls kvadrāts, jo 3 x 3 = 9. Atbrīvojieties no 9 zem saknes zīmes un ierakstiet 3 pirms saknes zīmes; zem saknes zīmes būs 5. Ja zem saknes zīmes ievietosiet skaitli 3, tas tiks reizināts ar sevi un ar skaitli 5, tas ir, 3 x 3 x 5 = 9 x 5 = 45. Tādējādi 3 √ 5 ir vienkāršota apzīmējuma forma √45.

   • √45 = √(9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

2. Atrodiet ideālo kvadrātu radikālajā izteiksmē ar mainīgo. Atcerieties: √(a^2) = |a|. Šādu izteiksmi var vienkāršot līdz "a", bet tikai tad, ja mainīgais ņem pozitīvas vērtības. √(a^3) var sadalīt √a * √(a^2), jo, reizinot identiskus mainīgos, to eksponenti summējas (a * a^2 = a^3).

   • Tādējādi izteiksmē a^3 ideālais kvadrāts ir a^2.

3. Izņemiet mainīgo, kas ir ideāls kvadrāts ārpus saknes zīmes. Atbrīvojieties no a^2 zem saknes zīmes un ierakstiet "a" pirms saknes zīmes. Tādējādi √(a^3) = a√a.

   Sniedziet līdzīgus terminus un vienkāršojiet visas racionālās izteiksmes.

Atbrīvošanās no saknēm saucējā (saucēja racionalizācija)

1. Saskaņā ar kanonisko formu saucējā, ja iespējams, jāiekļauj tikai veseli skaitļi (vai polinoms, ja ir mainīgais).

   • Ja saucējs ir radikāls monomāls, piemēram, [skaitītājs]/√5, reiziniet skaitītāju un saucēju ar šo sakni: ([skaitītājs] * √5)/(√5 * √5) = ([skaitītājs] * √5 )/5.
     • Kubsaknei vai lielākai saknei reiziniet skaitītāju un saucēju ar sakni ar radikāli līdz atbilstošajai pakāpei, lai racionalizētu saucēju. Ja, piemēram, saucējs ir kubs √5, reiziniet skaitītāju un saucēju ar kubu √(5^2).
   • Ja saucējs ir kvadrātsakņu summa vai starpība, piemēram, √2 + √6, reiziniet skaitītāju un saucēju ar konjugātu, tas ir, izteiksmi ar pretēju zīmi starp tā vārdiem. Piemēram: [skaitītājs]/(√2 + √6) = ([skaitītājs] * (√2 - √6))/((√2 + √6) * (√2 - √6)). Pēc tam izmantojiet kvadrātu starpības formulu ((a + b)(a - b) = a^2 - b^2), lai racionalizētu saucēju: (√2 + √6)(√2 - √6) = (√2) )^2 - (√6)^2 = 2 - 6 = -4.
     • Kvadrātu starpības formulu var attiecināt arī uz izteiksmi formā 5 + √3, jo jebkurš vesels skaitlis ir cita vesela skaitļa kvadrātsakne. Piemēram: 1/(5 + √3) = (5 - √3)/((5 + √3)(5 - √3)) = (5 - √3)/(5^2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3)/(25 - 3) = (5 - √3)/22
     • Šo metodi var piemērot kvadrātsakņu summai, piemēram, √5 - √6 + √7. Sagrupējot šo izteiksmi formā (√5 - √6) + √7 un reizinot ar (√5 - √6) - √7, jūs neatbrīvosities no saknēm, bet iegūsit formas izteiksmi. a + b * √30, kur "a" un "b" ir monomi bez saknes. Tad iegūto izteiksmi var reizināt ar tās konjugātu: (a + b * √30)(a - b * √30), lai atbrīvotos no saknēm. Tas ir, ja konjugētu izteiksmi var izmantot vienu reizi, lai atbrīvotos no noteikta sakņu skaita, tad to var izmantot tik reižu, cik nepieciešams, lai atbrīvotos no visām saknēm.
     • Šī metode ir piemērojama arī saknēm vairāk augstas pakāpes, piemēram, uz izteicienu "4. sakne no 3 plus 7. sakne no 9." Šajā gadījumā reiziniet skaitītāju un saucēju ar saucēja konjugēto izteiksmi. Bet šeit konjugāta izteiksme nedaudz atšķirsies no iepriekš aprakstītajām. Par šo gadījumu var lasīt algebras mācību grāmatās.
2. Aprakstītās metodes nevar piemērot dažām vienkāršām problēmām. Dažām sarežģītām problēmām šīs metodes ir jāpiemēro vairāk nekā vienu reizi. Soli pa solim vienkāršojiet iegūtos izteicienus un pēc tam pārbaudiet, vai galīgā atbilde ir uzrakstīta kanoniskā formā, kuras kritēriji ir norādīti šī raksta pašā sākumā. Ja atbilde ir sniegta kanoniskā formā, problēma ir atrisināta; pretējā gadījumā vēlreiz izmantojiet kādu no aprakstītajām metodēm.
3. Parasti kanoniskā apzīmējuma forma attiecas arī uz kompleksajiem skaitļiem (i = √(-1)). Pat ja komplekss skaitlis ir rakstīts kā i, nevis kā sakne, labāk ir atbrīvoties no i saucējā.
4. Dažas no šeit aprakstītajām metodēm ietver darbu ar kvadrātsaknēm. Visparīgie principi tas pats priekš kubiskās saknes vai augstākas pakāpes saknes, taču ir diezgan grūti tām piemērot dažas metodes (it īpaši saucēja racionalizācijas metodi). Turklāt jautājiet savam skolotājam par pareizu sakņu apzīmējumu (kubs√4 vai kubs√(2^2)).
5. Dažās šī raksta sadaļās jēdziens "kanoniskā forma" ir lietots nepareizi; par ko mums patiešām vajadzētu runāt, ir apzīmējuma "standarta forma". Atšķirība ir tāda, ka kanoniskajai formai ir jāraksta vai nu 1 + √2 vai √2 +1; standarta forma nozīmē, ka abas izteiksmes (1 + √2 un √2 +1) neapšaubāmi ir vienādas, pat ja tās ir rakstītas atšķirīgi. Šeit “noteikti” nozīmē aritmētisko (saskaitīšana ir komutatīva), nevis algebriskās īpašības (√2 ​​ir x^2-2 nenegatīva sakne).
6. Ja aprakstītās metodes šķiet neviennozīmīgas vai ir pretrunā viena otrai, veiciet konsekventas un nepārprotamas matemātiskas darbības un uzrakstiet atbildi, kā to prasa skolotājs vai kā noteikts mācību grāmatā.

Mēs turpinām pētīt tēmu " vienādojumu risināšana" Mēs jau esam iepazinušies ar lineārajiem vienādojumiem un virzāmies uz iepazīšanos kvadrātvienādojumi.

Pirmkārt, mēs apskatīsim, kas ir kvadrātvienādojums, kā tas tiek uzrakstīts vispārīgā formā, un sniegsim saistītās definīcijas. Pēc tam mēs izmantosim piemērus, lai detalizēti izpētītu, kā tiek atrisināti nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Pāriesim pie risinājuma pilnīgi vienādojumi, iegūsim saknes formulu, iepazīsimies ar kvadrātvienādojuma diskriminantu un izskatīsim tipisku piemēru risinājumus. Visbeidzot, izsekosim sakariem starp saknēm un koeficientiem.

Lapas navigācija.

Kas ir kvadrātvienādojums? Viņu veidi

Vispirms jums ir skaidri jāsaprot, kas ir kvadrātvienādojums. Tāpēc sarunu par kvadrātvienādojumiem ir loģiski sākt ar kvadrātvienādojuma definīciju, kā arī ar to saistītām definīcijām. Pēc tam jūs varat apsvērt galvenos veidus kvadrātvienādojumi: reducēti un nereducēti, kā arī pilnīgi un nepilnīgi vienādojumi.

Kvadrātvienādojumu definīcija un piemēri

Definīcija.

Kvadrātvienādojums ir formas vienādojums a x 2 +b x+c=0, kur x ir mainīgais, a, b un c ir daži skaitļi, un a nav nulle.

Teiksim uzreiz, ka kvadrātvienādojumus bieži sauc par otrās pakāpes vienādojumiem. Tas ir saistīts ar faktu, ka kvadrātvienādojums ir algebriskais vienādojums otrā pakāpe.

Norādītā definīcija ļauj sniegt kvadrātvienādojumu piemērus. Tātad 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 utt. Tie ir kvadrātvienādojumi.

Definīcija.

Skaitļi a, b un c sauc kvadrātvienādojuma koeficienti a·x 2 +b·x+c=0, un koeficients a tiek saukts par pirmo jeb augstāko, vai koeficients x 2, b ir otrais koeficients, vai koeficients x, un c ir brīvais termins .

Piemēram, pieņemsim kvadrātvienādojumu formā 5 x 2 −2 x −3=0, šeit vadošais koeficients ir 5, otrais koeficients ir vienāds ar −2 un brīvais loceklis ir vienāds ar −3. Ņemiet vērā: ja koeficienti b un/vai c ir negatīvi, kā tikko dotajā piemērā, tad īsā forma uzrakstot kvadrātvienādojumu formā 5 x 2 −2 x−3=0, nevis 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Ir vērts atzīmēt, ka tad, ja koeficienti a un/vai b ir vienādi ar 1 vai –1, tie parasti nav skaidri norādīti kvadrātvienādojumā, kas ir saistīts ar šādu rakstīšanas īpatnībām. Piemēram, kvadrātvienādojumā y 2 −y+3=0 vadošais koeficients ir viens, un y koeficients ir vienāds ar −1.

Reducēti un nereducēti kvadrātvienādojumi

Atkarībā no vadošā koeficienta vērtības izšķir reducētus un nereducētus kvadrātvienādojumus. Sniegsim atbilstošās definīcijas.

Definīcija.

Tiek izsaukts kvadrātvienādojums, kurā vadošais koeficients ir 1 dots kvadrātvienādojums. Pretējā gadījumā kvadrātvienādojums ir neskarts.

Saskaņā ar šī definīcija, kvadrātvienādojumi x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 utt. – dots, katrā no tiem pirmais koeficients vienāds ar vienu. A 5 x 2 −x−1=0 utt. - nereducēti kvadrātvienādojumi, kuru vadošie koeficienti atšķiras no 1.

No jebkura nereducēta kvadrātvienādojuma, abas puses dalot ar vadošo koeficientu, var pāriet uz reducēto. Šī darbība ir līdzvērtīga transformācija, tas ir, šādā veidā iegūtajam reducētajam kvadrātvienādojumam ir tādas pašas saknes kā sākotnējam nereducētajam kvadrātvienādojumam vai, tāpat kā tam, nav sakņu.

Apskatīsim piemēru, kā tiek veikta pāreja no nereducēta kvadrātvienādojuma uz reducētu.

Piemērs.

No vienādojuma 3 x 2 +12 x−7=0 pārejiet uz atbilstošo reducēto kvadrātvienādojumu.

Risinājums.

Mums vienkārši jāsadala abas sākotnējā vienādojuma puses ar vadošo koeficientu 3, tas nav nulle, lai mēs varētu veikt šo darbību. Mums ir (3 x 2 +12 x-7):3=0:3, kas ir vienāds, (3 x 2):3+(12 x):3-7:3=0, un tad (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, no kurienes . Tādā veidā mēs ieguvām reducēto kvadrātvienādojumu, kas ir līdzvērtīgs sākotnējam.

Atbilde:

Pilnīgi un nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Kvadrātvienādojuma definīcija satur nosacījumu a≠0. Šis nosacījums ir nepieciešams, lai vienādojums a x 2 + b x + c = 0 būtu kvadrātisks, jo, kad a = 0, tas faktiski kļūst par lineāru vienādojumu formā b x + c = 0.

Kas attiecas uz koeficientiem b un c, tie var būt vienādi ar nulli gan atsevišķi, gan kopā. Šajos gadījumos kvadrātvienādojumu sauc par nepilnīgu.

Definīcija.

Tiek izsaukts kvadrātvienādojums a x 2 +b x+c=0 nepilnīgs, ja vismaz viens no koeficientiem b, c ir vienāds ar nulli.

Savukārt

Definīcija.

Pilnīgs kvadrātvienādojums ir vienādojums, kurā visi koeficienti atšķiras no nulles.

Tādi vārdi netika doti nejauši. Tas kļūs skaidrs no turpmākajām diskusijām.

Ja koeficients b ir nulle, tad kvadrātvienādojums iegūst formu a·x 2 +0·x+c=0, un tas ir ekvivalents vienādojumam a·x 2 +c=0. Ja c=0, tas ir, kvadrātvienādojuma forma ir a·x 2 +b·x+0=0, tad to var pārrakstīt kā a·x 2 +b·x=0. Un ar b=0 un c=0 iegūstam kvadrātvienādojumu a·x 2 =0. Iegūtie vienādojumi atšķiras no pilnā kvadrātvienādojuma ar to, ka to kreisajā pusē nav ne vārda ar mainīgo x, ne brīvo vārdu, vai abus. Līdz ar to viņu nosaukums - nepilnīgi kvadrātvienādojumi.

Tātad vienādojumi x 2 +x+1=0 un −2 x 2 −5 x+0,2=0 ir pilnīgu kvadrātvienādojumu piemēri, un x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 = 0 , −x 2 −5 x=0 ir nepilnīgi kvadrātvienādojumi.

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana

No iepriekšējā punktā sniegtās informācijas izriet, ka ir trīs veidu nepilnīgi kvadrātvienādojumi:

• a·x 2 =0, tam atbilst koeficienti b=0 un c=0;
• a x 2 +c=0, ja b=0;
• un a·x 2 +b·x=0, ja c=0.

Pārbaudīsim secībā, kā tiek atrisināti katra no šiem tipiem nepilnīgi kvadrātvienādojumi.

a x 2 =0

Sāksim ar nepilnu kvadrātvienādojumu risināšanu, kuros koeficienti b un c ir vienādi ar nulli, tas ir, ar vienādojumiem formā a x 2 =0. Vienādojums a·x 2 =0 ir ekvivalents vienādojumam x 2 =0, ko iegūst no oriģināla, abas daļas dalot ar skaitli, kas nav nulle a. Acīmredzot vienādojuma x 2 =0 sakne ir nulle, jo 0 2 =0. Šim vienādojumam nav citu sakņu, kas izskaidrojams ar to, ka jebkuram skaitlim p, kas nav nulle, pastāv nevienādība p 2 >0, kas nozīmē, ka p≠0 vienādība p 2 =0 nekad netiek sasniegta.

Tātad nepilnīgajam kvadrātvienādojumam a·x 2 =0 ir viena sakne x=0.

Kā piemēru sniedzam nepilna kvadrātvienādojuma atrisinājumu −4 x 2 =0. Tas ir ekvivalents vienādojumam x 2 =0, tā vienīgā sakne ir x=0, tāpēc sākotnējam vienādojumam ir viena saknes nulle.

Īsu risinājumu šajā gadījumā var uzrakstīt šādi:
−4 x 2 =0,
x 2 = 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Tagad apskatīsim, kā tiek atrisināti nepilnīgi kvadrātvienādojumi, kuros koeficients b ir nulle un c≠0, tas ir, vienādojumi formā a x 2 +c=0. Mēs zinām, ka, pārvietojot vārdu no vienas vienādojuma puses uz otru ar pretēju zīmi, kā arī sadalot abas vienādojuma puses ar skaitli, kas nav nulle, iegūst līdzvērtīgu vienādojumu. Tāpēc mēs varam veikt šādas nepilnīgā kvadrātvienādojuma a x 2 +c=0 ekvivalentas transformācijas:

• pārvietojiet c uz labo pusi, kas dod vienādojumu a x 2 =-c,
• un sadaliet abas puses ar a, mēs iegūstam .

Iegūtais vienādojums ļauj izdarīt secinājumus par tā saknēm. Atkarībā no a un c vērtībām izteiksmes vērtība var būt negatīva (piemēram, ja a=1 un c=2, tad ) vai pozitīva (piemēram, ja a=−2 un c=6, tad ), tā nav nulle , jo pēc nosacījuma c≠0. Apskatīsim gadījumus atsevišķi.

Ja , tad vienādojumam nav sakņu. Šis apgalvojums izriet no fakta, ka jebkura skaitļa kvadrāts ir nenegatīvs skaitlis. No tā izriet, ka kad , tad jebkuram skaitlim p vienādība nevar būt patiesa.

Ja , tad situācija ar vienādojuma saknēm ir atšķirīga. Šajā gadījumā, ja atceramies par , tad uzreiz kļūst acīmredzama vienādojuma sakne, tas ir skaitlis, jo . Ir viegli uzminēt, ka skaitlis ir arī vienādojuma sakne, patiešām, . Šim vienādojumam nav citu sakņu, ko var parādīt, piemēram, ar pretrunu. Darīsim to.

Apzīmēsim tikko paziņotā vienādojuma saknes kā x 1 un −x 1 . Pieņemsim, ka vienādojumam ir vēl viena sakne x 2, kas atšķiras no norādītajām saknēm x 1 un −x 1. Ir zināms, ka tā sakņu aizstāšana ar vienādojumu, nevis x, pārvērš vienādojumu par pareizu skaitlisko vienādību. Attiecībā uz x 1 un −x 1 mums ir , un attiecībā uz x 2 mums ir . Skaitlisko vienādību īpašības ļauj veikt pareizu skaitlisko vienādību atņemšanu pa termiņam, tāpēc, atņemot atbilstošās vienādību daļas, iegūst x 1 2 −x 2 2 =0. Darbību ar skaitļiem īpašības ļauj iegūto vienādību pārrakstīt kā (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Mēs zinām, ka divu skaitļu reizinājums ir vienāds ar nulli tad un tikai tad, ja vismaz viens no tiem ir vienāds ar nulli. Tāpēc no iegūtās vienādības izriet, ka x 1 −x 2 =0 un/vai x 1 +x 2 =0, kas ir vienāds, x 2 =x 1 un/vai x 2 = −x 1. Tātad mēs nonācām pie pretrunas, jo sākumā mēs teicām, ka vienādojuma sakne x 2 atšķiras no x 1 un −x 1. Tas pierāda, ka vienādojumam nav citu sakņu kā un .

Apkoposim informāciju šajā punktā. Nepabeigtais kvadrātvienādojums a x 2 +c=0 ir līdzvērtīgs vienādojumam, kas

• nav sakņu, ja
• ir divas saknes un , ja .

Aplūkosim piemērus nepilnu kvadrātvienādojumu risināšanai formā a·x 2 +c=0.

Sāksim ar kvadrātvienādojumu 9 x 2 +7=0. Pēc brīvā termina pārvietošanas uz vienādojuma labo pusi tas iegūs formu 9 x 2 =−7. Sadalot abas iegūtā vienādojuma puses ar 9, mēs nonākam pie . Tā kā labajā pusē ir negatīvs skaitlis, šim vienādojumam nav sakņu, tāpēc sākotnējam nepilnīgajam kvadrātvienādojumam 9 x 2 +7 = 0 nav sakņu.

Atrisināsim vēl vienu nepilnu kvadrātvienādojumu −x 2 +9=0. Pārvietojam deviņus uz labo pusi: −x 2 =−9. Tagad abas puses sadalām ar −1, iegūstam x 2 =9. Labajā pusē ir pozitīvs skaitlis, no kura secinām, ka vai . Pēc tam pierakstām galīgo atbildi: nepilnīgajam kvadrātvienādojumam −x 2 +9=0 ir divas saknes x=3 vai x=−3.

a x 2 +b x=0

Atliek risināt pēdējā veida nepilnīgo kvadrātvienādojumu atrisinājumu c=0. Nepilnīgi kvadrātvienādojumi formā a x 2 + b x = 0 ļauj atrisināt faktorizācijas metode. Acīmredzot mēs varam, kas atrodas vienādojuma kreisajā pusē, kam pietiek ar kopējo koeficientu x izņemt no iekavām. Tas ļauj pāriet no sākotnējā nepilnīgā kvadrātvienādojuma uz līdzvērtīgu vienādojumu formā x·(a·x+b)=0. Un šis vienādojums ir ekvivalents divu vienādojumu kopai x=0 un a·x+b=0, no kuriem pēdējais ir lineārs un kura sakne ir x=-b/a.

Tātad nepilnīgajam kvadrātvienādojumam a·x 2 +b·x=0 ir divas saknes x=0 un x=−b/a.

Lai konsolidētu materiālu, mēs analizēsim risinājumu konkrētam piemēram.

Piemērs.

Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums.

Izņemot x no iekavām, tiek iegūts vienādojums . Tas ir līdzvērtīgs diviem vienādojumiem x=0 un . Atrisinām to, ko esam ieguvuši lineārais vienādojums: , un veicot sadalīšanu jaukts numurs ieslēgts kopējā frakcija, mēs atradām . Tāpēc sākotnējā vienādojuma saknes ir x=0 un .

Pēc nepieciešamās prakses iegūšanas šādu vienādojumu risinājumus var uzrakstīt īsi:

Atbilde:

x=0 , .

Diskriminants, kvadrātvienādojuma sakņu formula

Lai atrisinātu kvadrātvienādojumus, ir saknes formula. Pierakstīsim to kvadrātvienādojuma sakņu formula: , Kur D=b 2 −4 a c- ts kvadrātvienādojuma diskriminants. Ieraksts būtībā nozīmē, ka .

Ir noderīgi zināt, kā tika iegūta saknes formula un kā tā tiek izmantota kvadrātvienādojumu sakņu atrašanai. Izdomāsim šo.

Kvadrātvienādojuma sakņu formulas atvasināšana

Atrisināsim kvadrātvienādojumu a·x 2 +b·x+c=0. Veiksim dažas līdzvērtīgas transformācijas:

• Mēs varam dalīt abas šī vienādojuma puses ar skaitli a, kas nav nulle, kā rezultātā iegūstam šādu kvadrātvienādojumu.
• Tagad atlasiet pilnu kvadrātu tās kreisajā pusē: . Pēc tam vienādojums iegūst formu .
• Šajā posmā ir iespējams pārcelt pēdējos divus terminus uz labo pusi ar pretējo zīmi, mums ir .
• Un pārveidosim arī izteiksmi labajā pusē: .

Rezultātā mēs nonākam pie vienādojuma, kas ir ekvivalents sākotnējam kvadrātvienādojumam a·x 2 +b·x+c=0.

Mēs jau esam atrisinājuši vienādojumus, kas līdzīgi pēc formas iepriekšējās rindkopās, kad mēs pārbaudījām. Tas ļauj izdarīt šādus secinājumus par vienādojuma saknēm:

• ja , tad vienādojumam nav reālu atrisinājumu;
• ja , tad vienādojumam ir forma , tāpēc, , no kura ir redzama tā vienīgā sakne;
• ja , Tad vai , kas ir tāds pats kā vai , Tas ir, vienādojumam ir divas saknes.

Tādējādi vienādojuma sakņu esamība vai neesamība un līdz ar to sākotnējais kvadrātvienādojums ir atkarīgs no izteiksmes zīmes labajā pusē. Savukārt šīs izteiksmes zīmi nosaka skaitītāja zīme, jo saucējs 4·a 2 vienmēr ir pozitīvs, tas ir, izteiksmes b 2 −4·a·c zīme. Šo izteiksmi sauca b 2 −4 a c kvadrātvienādojuma diskriminants un apzīmēta ar vēstuli D. No šejienes ir skaidra diskriminanta būtība - pamatojoties uz tā vērtību un zīmi, viņi secina, vai kvadrātvienādojumam ir reālas saknes, un, ja ir, tad kāds ir to skaits - viens vai divi.

Atgriezīsimies pie vienādojuma un pārrakstīsim to, izmantojot diskriminanta apzīmējumu: . Un mēs izdarām secinājumus:

• ja D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ja D=0, tad šim vienādojumam ir viena sakne;
• visbeidzot, ja D>0, tad vienādojumam ir divas saknes vai, ko var pārrakstīt formā vai, un pēc daļskaitļu izvēršanas un salikšanas līdz kopsaucējam iegūstam.

Tātad mēs atvasinājām kvadrātvienādojuma sakņu formulas, tās izskatās kā , kur diskriminantu D aprēķina pēc formulas D=b 2 −4·a·c.

Ar to palīdzību ar pozitīvo diskriminantu jūs varat aprēķināt abas kvadrātvienādojuma reālās saknes. Ja diskriminants ir vienāds ar nulli, abas formulas dod vienu un to pašu saknes vērtību, kas atbilst unikālam kvadrātvienādojuma risinājumam. Un ar negatīvu diskriminantu, mēģinot izmantot kvadrātvienādojuma sakņu formulu, mēs saskaramies ar negatīva skaitļa kvadrātsaknes izņemšanu, kas mūs izved ārpus darbības jomas un skolas mācību programma. Ar negatīvu diskriminantu kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu, bet tam ir pāris komplekss konjugāts saknes, kuras var atrast, izmantojot tās pašas sakņu formulas, kuras mēs ieguvām.

Algoritms kvadrātvienādojumu risināšanai, izmantojot saknes formulas

Praksē, risinot kvadrātvienādojumus, varat nekavējoties izmantot saknes formulu, lai aprēķinātu to vērtības. Bet tas vairāk saistīts ar sarežģītu sakņu atrašanu.

Tomēr skolas algebras kursā mēs parasti runājam nevis par sarežģītām, bet par reālām kvadrātvienādojuma saknēm. Šajā gadījumā pirms kvadrātvienādojuma sakņu formulu izmantošanas ieteicams vispirms atrast diskriminantu, pārliecināties, ka tas nav negatīvs (pretējā gadījumā mēs varam secināt, ka vienādojumam nav reālu sakņu), un tikai pēc tam aprēķiniet sakņu vērtības.

Iepriekš minētais pamatojums ļauj mums rakstīt Kvadrātvienādojuma risināšanas algoritms. Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu a x 2 +b x+c=0, jums ir nepieciešams:

• izmantojot diskriminanta formulu D=b 2 −4·a·c, aprēķina tā vērtību;
• secināt, ka kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu, ja diskriminants ir negatīvs;
• aprēķina vienīgo vienādojuma sakni, izmantojot formulu, ja D=0;
• atrast divas kvadrātvienādojuma reālās saknes, izmantojot saknes formulu, ja diskriminants ir pozitīvs.

Šeit mēs tikai atzīmējam, ka, ja diskriminants ir vienāds ar nulli, varat izmantot arī formulu; tā dos tādu pašu vērtību kā .

Varat pāriet uz kvadrātvienādojumu risināšanas algoritma izmantošanas piemēriem.

Kvadrātvienādojumu risināšanas piemēri

Apskatīsim trīs kvadrātvienādojumu risinājumus ar pozitīvo, negatīvo un nulles diskriminantu. Izskatot to risinājumu, pēc analoģijas būs iespējams atrisināt jebkuru citu kvadrātvienādojumu. Sāksim.

Piemērs.

Atrodiet vienādojuma saknes x 2 +2·x−6=0.

Risinājums.

Šajā gadījumā mums ir šādi kvadrātvienādojuma koeficienti: a=1, b=2 un c=−6. Saskaņā ar algoritmu vispirms ir jāaprēķina diskriminants; lai to izdarītu, mēs aizstājam norādītos a, b un c diskriminanta formulā, mums ir D=b 2 –4·a·c=2 2 –4·1·(–6)=4+24=28. Tā kā 28>0, tas ir, diskriminants ir lielāks par nulli, kvadrātvienādojumam ir divas reālas saknes. Atradīsim tos, izmantojot saknes formulu, mēs iegūstam , šeit jūs varat vienkāršot iegūtās izteiksmes, rīkojoties reizinātāja pārvietošana ārpus saknes zīmes kam seko frakcijas samazināšana:

Atbilde:

Pāriesim pie nākamā tipiskā piemēra.

Piemērs.

Atrisiniet kvadrātvienādojumu −4 x 2 +28 x−49=0 .

Risinājums.

Mēs sākam, meklējot diskriminantu: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Tāpēc šim kvadrātvienādojumam ir viena sakne, ko mēs atrodam kā , tas ir,

Atbilde:

x=3,5.

Atliek apsvērt kvadrātvienādojumu risināšanu ar negatīvu diskriminantu.

Piemērs.

Atrisiniet vienādojumu 5·y 2 +6·y+2=0.

Risinājums.

Šeit ir kvadrātvienādojuma koeficienti: a=5, b=6 un c=2. Mēs šīs vērtības aizstājam diskriminējošā formulā, kas mums ir D=b 2 –4·a·c=6 2 –4·5·2=36–40=–4. Diskriminants ir negatīvs, tāpēc šim kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu.

Ja jums ir jānorāda sarežģītas saknes, mēs izmantojam labi zināmo kvadrātvienādojuma sakņu formulu un veicam operācijas ar kompleksajiem skaitļiem:

Atbilde:

īstu sakņu nav, sarežģītās saknes ir: .

Vēlreiz atzīmēsim, ka, ja kvadrātvienādojuma diskriminants ir negatīvs, tad skolā parasti uzreiz pieraksta atbildi, kurā norāda, ka īstu sakņu nav un sarežģītas saknes nav atrastas.

Saknes formula pat otrajam koeficientam

Kvadrātvienādojuma sakņu formula, kur D=b 2 −4·a·c ļauj iegūt kompaktākas formas formulu, ļaujot atrisināt kvadrātvienādojumus ar pāra koeficientu x (vai vienkārši ar koeficients, kura forma ir, piemēram, 2·n vai 14· ln5=2·7·ln5 ). Izvedīsim viņu ārā.

Pieņemsim, ka jāatrisina kvadrātvienādojums formā a x 2 +2 n x+c=0. Atradīsim tās saknes, izmantojot mums zināmo formulu. Lai to izdarītu, mēs aprēķinām diskriminantu D = (2 n) 2 -4 a c = 4 n 2 -4 a c = 4 (n 2 -a c), un tad mēs izmantojam saknes formulu:

Apzīmēsim izteiksmi n 2 −a c kā D 1 (dažreiz to apzīmē ar D "). Tad apskatāmā kvadrātvienādojuma sakņu formula ar otro koeficientu 2 n iegūs formu , kur D 1 =n 2 −a·c.

Ir viegli redzēt, ka D=4·D 1 vai D 1 =D/4. Citiem vārdiem sakot, D 1 ir diskriminanta ceturtā daļa. Ir skaidrs, ka D 1 zīme ir tāda pati kā D zīme. Tas ir, zīme D 1 ir arī kvadrātvienādojuma sakņu esamības vai neesamības rādītājs.

Tātad, lai atrisinātu kvadrātvienādojumu ar otro koeficientu 2·n, jums ir nepieciešams

• Aprēķināt D 1 =n 2 −a·c ;
• Ja D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ja D 1 =0, tad aprēķina vienīgo vienādojuma sakni, izmantojot formulu;
• Ja D 1 >0, tad, izmantojot formulu, atrodiet divas reālas saknes.

Apsvērsim piemēra risināšanu, izmantojot šajā punktā iegūto saknes formulu.

Piemērs.

Atrisiniet kvadrātvienādojumu 5 x 2 −6 x −32=0 .

Risinājums.

Šī vienādojuma otro koeficientu var attēlot kā 2·(−3) . Tas ir, jūs varat pārrakstīt sākotnējo kvadrātvienādojumu formā 5 x 2 +2 (-3) x-32=0, šeit a=5, n=-3 un c=-32, un aprēķināt ceturto daļu diskriminējošais: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Tā kā tā vērtība ir pozitīva, vienādojumam ir divas reālas saknes. Atradīsim tos, izmantojot atbilstošo saknes formulu:

Ņemiet vērā, ka kvadrātvienādojuma saknēm bija iespējams izmantot parasto formulu, taču šajā gadījumā būtu jāveic vairāk skaitļošanas darba.

Atbilde:

Kvadrātvienādojumu formas vienkāršošana

Dažreiz, pirms sākt aprēķināt kvadrātvienādojuma saknes, izmantojot formulas, nenāk par ļaunu uzdot jautājumu: "Vai ir iespējams vienkāršot šī vienādojuma formu?" Piekrītiet, ka aprēķinu ziņā kvadrātvienādojumu 11 x 2 −4 x−6=0 būs vieglāk atrisināt nekā 1100 x 2 −400 x−600=0.

Parasti kvadrātvienādojuma formas vienkāršošanu panāk, reizinot vai dalot abas puses ar noteiktu skaitli. Piemēram, iepriekšējā rindkopā bija iespējams vienkāršot vienādojumu 1100 x 2 −400 x −600=0, abas puses dalot ar 100.

Līdzīga transformācija tiek veikta ar kvadrātvienādojumiem, kuru koeficienti nav . Šajā gadījumā abas vienādojuma puses parasti tiek dalītas ar tā koeficientu absolūtajām vērtībām. Piemēram, ņemsim kvadrātvienādojumu 12 x 2 −42 x+48=0. tā koeficientu absolūtās vērtības: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Sadalot abas sākotnējā kvadrātvienādojuma puses ar 6, iegūstam līdzvērtīgu kvadrātvienādojumu 2 x 2 −7 x+8=0.

Un kvadrātvienādojuma abu pušu reizināšana parasti tiek veikta, lai atbrīvotos no daļskaitļa koeficientiem. Šajā gadījumā reizināšanu veic ar tā koeficientu saucējiem. Piemēram, ja kvadrātvienādojuma abas puses tiek reizinātas ar LCM(6, 3, 1)=6, tad tas iegūs vienkāršāku formu x 2 +4·x−18=0.

Noslēgumā mēs atzīmējam, ka viņi gandrīz vienmēr atbrīvojas no mīnusa pie augstākā kvadrātvienādojuma koeficienta, mainot visu terminu zīmes, kas atbilst abu pušu reizināšanai (vai dalīšanai) ar −1. Piemēram, parasti no kvadrātvienādojuma −2 x 2 −3 x+7=0 pāriet uz risinājumu 2 x 2 +3 x−7=0 .

Kvadrātvienādojuma sakņu un koeficientu saistība

Kvadrātvienādojuma sakņu formula izsaka vienādojuma saknes caur tā koeficientiem. Pamatojoties uz saknes formulu, jūs varat iegūt citas attiecības starp saknēm un koeficientiem.

Vispazīstamākās un pielietojamākās Vjetas teorēmas formulas ir formā un . Konkrēti, dotajam kvadrātvienādojumam sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretēju zīmi, un sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu. Piemēram, aplūkojot kvadrātvienādojuma formu 3 x 2 −7 x + 22 = 0, mēs uzreiz varam teikt, ka tā sakņu summa ir vienāda ar 7/3, bet sakņu reizinājums ir vienāds ar 22. /3.

Izmantojot jau uzrakstītās formulas, jūs varat iegūt vairākus citus savienojumus starp kvadrātvienādojuma saknēm un koeficientiem. Piemēram, kvadrātvienādojuma sakņu kvadrātu summu var izteikt ar tā koeficientiem: .

Bibliogrāfija.

• Algebra: mācību grāmata 8. klasei. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M.: Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičs A.G. Algebra. 8. klase. 2 stundās.1.daļa.Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs. - 11. izd., dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

8. klasē skolēni matemātikas stundās tiek iepazīstināti ar jēdzienu “radikāls” jeb, vienkārši sakot, “sakne”. Toreiz viņi pirmo reizi saskārās ar sarežģītu radikāļu vienkāršošanas problēmu. Sarežģīti radikāļi ir izteiksmes, kurās viena sakne atrodas zem otras. Tāpēc tos dažreiz sauc par ligzdotiem radikāļiem. Šajā rakstā matemātikas un fizikas pasniedzējs detalizēti runā par kā vienkāršot sarežģītu radikālu.

Sarežģītu radikāļu vienkāršošanas metodes

Vienkāršot sarežģītu radikālu nozīmē atbrīvoties no ārējās saknes. Vislabāk ir sākt pētīt šo tēmu, vienkāršojot dubulto radikāļu. Galu galā, ja mēs iemācīsimies vienkāršot dubulto radikāļu, tad mēs varēsim vienkāršot arī sarežģītākus.

Kā atbrīvoties no ārējās saknes? Ir skaidrs, ka šim nolūkam ir jāpārveido radikālā izteiksme, parādot to pilnīga kvadrāta formā. Lai to izdarītu, mēs izmantosim labi zināmo formulu “Starpības kvadrāts”:

Šeit, kā redzat, negatīvajam vārdam ir faktors labajā pusē. Tāpēc ņemsim šo faktoru zem saknes. Lai to izdarītu, mēs to piedāvājam kā produktu no:

Tad un. Atliek tikai pievērst uzmanību tam, ka . Tagad mēs redzam, ka zem saknes mums ir kvadrātveida atšķirība:

Tagad atcerēsimies to. Tieši modulis. Šeit tas ir ļoti svarīgi, jo kvadrātsakne ir pozitīvs skaitlis. Tad mēs iegūstam:

Nu, kopš title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="21" width="61" style="vertical-align: -3px;">, модуль раскрывается со знаком минус. В результате в ответе получаем:!}

Tā mums izdevās vienkāršot šo radikāli. Bet ir arī sarežģītāki gadījumi, kad uzreiz nav iespējams uzminēt, kā attēlot radikālu izteiksmi pilnīga kvadrāta formā. Piemēram, nākamajā piemērā.

Lai ilgstoši nesabojātu smadzenes, varat izmantot šādu metodi.

Ļaujiet man atgādināt, ka mūsu mērķis ir attēlot izteiksmi zem saknes kā perfektu kvadrātu. Konkrēti šajā piemērā summas kvadrāta formā:

Nu, summas kvadrāts tiek atklāts pēc labi zināmās formulas, kuru mēs jau šodien rakstījām:

Tātad ideja patiesībā ir pieņemt radikālā izteiksmes iracionālo daļu un racionālo daļu par. Tad izrādās nākamā sistēma vienādojumi:

Ir skaidrs ka . Pretējā gadījumā sistēmas otrais vienādojums nav izpildīts. Tad mēs izsakām koeficientu no otrā vienādojuma:

Šīs daļas saucējs nav vienāds ar nulli, kas nozīmē, ka tā skaitītājs ir vienāds ar nulli. Iegūstam bikvadrātisku vienādojumu, kuru var atrisināt standarta veidā (sīkāk skatīt pievienotajā video). Atrisinot to, mēs iegūstam pat 4 saknes. Jūs varat ņemt jebkuru. Man tas vairāk patīk. Tad . Tātad, mēs beidzot saņemam:

Šeit ir veids, kā vienkāršot sarežģītu radikālu. Ir vēl viens. Tiem, kam patīk iegaumēt sarežģītas formulas, kas man nav. Bet pilnības labad es jums pastāstīšu arī par viņu.

Sarežģītu radikāļu formula

Formula izskatās šādi:

Diezgan biedējoši, vai ne? Bet nebaidieties, dažos gadījumos to patiešām var veiksmīgi izmantot. Apskatīsim piemēru:

Mēs aizstājam atbilstošās vērtības formulā:

Šī ir atbilde.

Tātad, šodien klasē es runāju par to, kā vienkāršot sarežģītu radikālu. Ja iepriekš nezinājāt šodien apspriestās metodes, tad, visticamāk, jums vēl ir daudz jāmācās, lai justos pārliecināti vienotajā valsts eksāmenā vai iestājeksāmenā matemātikā. Bet neuztraucieties, es varu jums to visu iemācīt. Visa nepieciešamā informācija par manām nodarbībām ir ieslēgta. Veiksmi tev!

Materiālu sagatavojis Sergejs Valerijevičs